Download 5. Funciones Trigonométricas

Funciones matemática
1. Introducción
2. Funciones
3. Aplicaciones de las funciones reales
4. Consecuencias de la definición de logaritmo
5. Funciones Trigonométricas
6. Conclusiones
7. Bibliografía
1. Introducción
En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes
funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida
cotidiana.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:
Función Trigonométrica
Función Cuadrática
Función Afín (Lineal)
Función Logarítmica
Función Exponencial
Función Polinómica
El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las
funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método de
investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma.
2. Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar
una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva,
como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el
definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma
que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se
asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de
X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable
independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el
dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su
recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada
elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se
escribe y=f (x). En símbolos, f: A  B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe
cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del
dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún
elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: A B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:
X Y
-1 1
0 0
½ ¼
1 1
2 4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable
real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes
cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A
3. Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser
humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia
con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las
funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida
diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de
medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área
social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona
un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en
pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos
escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la
cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la
oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y
las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en
cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir
cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.
Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los
consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx +
b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.
Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el
entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del
experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados
pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es
una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el
origen de coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática
sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la
trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al
caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la
cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al
tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción
de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables
amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos
nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de
explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta
principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo
palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada
verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S
es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de
gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su
gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y
admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas
para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo.
La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala
de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de
un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta
utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les
permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se
puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el
cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad
del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la
intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral
auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da
como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
4. Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es
igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,
0<N<1, es negativo si la base b del logaritmo es b>1.
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,
0<N<1, es positivo si la base b del logaritmo es b<1.
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
Propiedades de los logaritmo
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos
de cada uno de ellos.
logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador.
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el
índice de la raíz.
Función Exponencial
Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal
naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley
exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.
En la química, el PH de es la concentración deH+, donde H+una sustancia
se define como : H = -Log iones de una sustancia expresada en moles por litro.
El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice
que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los
ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto
dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre
de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento
del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae
exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la
masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en
días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años,
parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo
matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el
tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista
inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para
determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que
como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía
resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto
tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de
crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano,
de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.
En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés
compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos
que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual
del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha
ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que
se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses
se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de
interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días,
etc.).
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y
distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia
de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Ecuaciones Exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones
exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación
exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y
propiedades:
x = y1. ax = ay
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la
ecuación como potencias de la misma base.
5. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la
magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de
coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con
el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y
que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y
pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se
encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P
está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e
igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente
manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se
añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las
otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las
inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje
y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el
conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como
90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en
este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180°
tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede
ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q
varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier
valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual
que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones
trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo
función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las
definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden
aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la
intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte
positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen
q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se
pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles,
se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras,
que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
se pueden hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el
transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones
deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para
unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las
demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el
siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para
resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas
en otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el
ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena
poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical.
Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un
observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo
de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al
desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la
altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación
y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una
placa de cierto material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad
formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la
distancia que se encuentran entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco,
siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse
directamente al punto destino correcto.
Funciones Polinómicas
Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales
(o más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de
una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es
una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor
potencia de la variable se la llama grado del polinomio.
Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable
real, en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x
+ 2, sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera
(interpretando las x como variables numéricas) se pueden generalizar las
operaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, que
quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a +
b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.
Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos
por el número.
Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se
suman.
Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un
polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m],
y se suman los resultantes
División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un
polinomio).
P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de
algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado.
P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A –
xl, donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta
asociado a todas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma
canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de
un cierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se numeran
comenzando por el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad
entre el índice que caracteriza un término y su orden.
P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del
conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas características
constituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad coincide con el
grado mencionado.
P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no
puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior
pertenecientes a k.
P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.
6. Conclusiones
Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en
que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras
ciencias, en especial la física y la química.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a
lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al
haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que
podemos aplicar frente a cierta problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo,
ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que
también esta monografía nos será útil en la practica.
7. Bibliografía
Enciclopedia Microsoft Encarta 1999
Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20
Resumen
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas,
comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra
función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas,
tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín
y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras
ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos
permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que
incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos
una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la
matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han
facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener
resultados precisos para cada situación.