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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Tasa de variación. Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea.
Consideremos una función y=f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje
de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real.
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], y se
representa por
(léase incremento de y) a la diferencia entre las ordenadas
correspondientes a los puntos de abscisa a y a+h, o sea:
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por
al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado
sobre el eje de abcisas h, esto es:
Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I.) en el punto "a", al límite, cuando h
tiende a cero de la T.V.M., esto es:
En ocasiones estas tasas de variación pueden representarse usando otra
nomenclatura, llamando:
b = a+h, lo cual implica que h=b-a, queda:
En el siguiente dibujo puede entenderse el significado geométrico de estos tres
conceptos:
La tasa de variación es, por definición, el segmento CB o diferencia entre las
ordenadas correspondientes a los extremos del intervalo.
En el triángulo rectángulo ACB, la tasa de variación media es:
siendo
el ángulo que forma la recta secante a la curva por los puntos A y B con
la horizontal.
Cuando
, entonces
y la recta secante por A y B tiende a
convertirse en la recta tangente a la curva por el punto A. La T.V.I. será, pues, la
tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el
punto A con la horizontal, o mejor aún, la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto A.
Veamos en algunos ejemplos como calcular estas magnitudes:
Dada la función
, calcular T.V., T.V.M. en el intervalo [-
1, 3]. Y la T.V.I. en el punto x=-1
Se tendrá, teniendo en cuenta que h=3-(-1)=4, que:
Calcular la tasa de variación instantánea de
en el punto x=2
Será:
2. Derivada de una función en un punto. Función derivada.
Siendo la primera y la segunda formas de notación las que utilizaremos con
preferencia, en especial la primera. La tercera forma A la tasa de variación
instantánea en un punto a, definida en el apartado anterior, se la llama también y
con mayor frecuencia, derivada de la función f(x) en el punto "a" . La derivada en
un punto se denota de las siguientes formas:
de notación, llamada notación diferencial (se lee diferencial de f con relación a x en
el punto a), se usará más adelante como introducción al cálculo integral.
Según lo dicho en el párrafo anterior, podemos poner para la derivada de f(x) en el
punto "a":
con "b" el extremo superior de [a, b]
Si dada una función y=f(x) calculamos la derivada de ella en cada uno de los
puntos de su dominio, obtenemos una nueva función que hace corresponder a cada
punto del dominio de f(x) el valor de su derivada en él, esta función se representa
por f'(x) y se define así:
Con esta definición, calcularemos en apartados siguientes las derivadas de las
funciones elementales para elaborar con ellas una tabla de derivadas que el alumno
deberá memorizar.
Como anticipo veamos el siguiente ejemplo:
Calcular la función derivada de
Tenemos:
Que es la función derivada pedida.
3. Interpretación geométrica y física de la derivada.
Insistimos en lo ya afirmado de que la derivada de una función en un punto
representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el mencionado
punto.
Esto constituye su interpretación geométrica.
La aplicación de esta interpretación geométrica es la posibilidad de encontrar con
facilidad las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva de ecuación
y=f(x) en un punto de su gráfica de abcisa x=a. Veamos cómo hacerlo.
a. Recta tangente:
Supongamos que la recta tangente tiene la forma explícita a determinar:
Puesto que la pendiente "m" de dicha recta es, por definición, la derivada en el
punto x=a, podemos poner:
Pero la recta ha de pasar por el punto de coordenadas (a, f(a)) ó bien (a, b), llamado
b=f(a), este punto ha de satisfacer la ecuación anterior, esto es:
Y sustituyendo:
Que es la forma más sencilla de recordarla.
b. Recta normal:
Se defina la recta normal a una curva en un punto como la recta perpendicular a la
recta tangente en dicho punto. Recordando de la geometría analítica que las
pendientes m y m' de dos rectas perpendiculares han de cumplir:
Si tenemos en cuenta lo ya afirmado de que la pendiente m de la recta tangente a la
curva en el punto (a, b) es f'(a), quedará para la recta normal:
Veamos un ejemplo:
Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación
y=2x2 en el punto de abcisa x=-3.
Previamente calcularemos la derivada en ese punto:
Ahora calculamos la ordenada que en la curva le corresponde a x=-3:
Las rectas pedidas son:
Tangente:
Normal:
En el dibujo adjunto pueden verse en trazo grueso la curva dada y en trazos finos
las rectas halladas:
Veamos ahora la interpretación física.
En Física suele representarse la ecuación del movimiento de un móvil mediante una
función en la que la variable dependiente es el espacio "e" y la independiente el
tiempo "t", de manera que la función adopta la forma e=f(t).
Si conocemos la ecuación de un movimiento a lo largo de un intervalo de tiempo
podemos calcular, usando las ideas anteriores, tanto su velocidad media (T.V.M.)
en él como su velocidad instantánea en un instante del recorrido, recordando que la
velocidad de un móvil es la derivada del espacio con relación al tiempo. Se tendrá:
Indicándonos la primera que si el móvil hubiera recorrido la distancia total siempre
a la velocidad indicada por vm, el tiempo total invertido hubiera sido el mismo que
el real. La 2* nos da el valor de la velocidad en un determinado momento (la que
indica el velocímetro en ese instante).
Ejemplo:
Calcular las velocidades media, en el intervalo [4, 7], e instantánea ( en t=6
segundos) de un móvil cuya ecuación de movimiento es
la distancia total recorrida en ese intervalo temporal.
Será:
, así como
1. Reglas de derivación.
El cálculo de la derivada usando cada vez la definición dada es engorroso, por eso
es conveniente recordar unas reglas generales de derivación que nos faciliten el
cálculo de derivadas, reglas que, por otro lado surgen todas ellas de la definición.
Cuando finalicemos este apartado, habremos elaborado una tabla de derivadas de
funciones elementales que el alumno deberá memorizar.
a. Derivada de la función constante:
Sea f(x) = k, su derivada será:
La derivada de una constante es nula.
b. Derivada de la función potencial:
Sea f(x) = ax3:
Obsérvese que en la derivada se ha multiplicado el coeficiente por el exponente y
se ha reducido éste en una unidad. Generalizando el proceso tendríamos para f(x)
= axn el siguiente resultado:
c. Derivada de un radical:
Dado que un radical puede ponerse en forma de potencia de exponente
fraccionario, la derivada de un radical se reduce a la de una función potencial y
tenemos:
En el caso particular de
con n=1 y m=2 queda:
d. Derivada de la función logarítmica:
Sea la función
La derivada será:
En el caso particular del logaritmo neperiano
lne=1 con lo que queda:
, tenemos que a=e y que
e. Regla de la cadena. Derivada de la función compuesta:
Consideremos la función
Y sean
tales que
, donde:
, la derivada será:
Haciendo:
Y cuando h tiende a cero, también lo hace k ya que k=f(x+h)-f(x) y f(x) es
continua. Tenemos, pues:
Esto es: la derivada de una función compuesta se obtiene derivando la segunda
función (en el orden en que actúan) con relación a la primera considerada
como variable independiente multiplicada por la derivada de la primera con
relación a "x".
Ejemplo:
Derivar
Aquí:
Por tanto:
La igualdad demostrada anteriormente se conoce con el nombre de regla de la
cadena y, escrita usando la notación diferencial para las derivadas parece una
identidad algebraica aunque no lo es:
que es generalizable a más de dos funciones compuestas.
f. Derivada logarítmica:
Usando los conocimientos adquiridos en los dos últimos apartados d) y e) y
combinándolos, podemos derivar fácilmente productos, cocientes o potencias de
funciones.
Los pasos a seguir serán:

Tomar logaritmos neperianos en la función dada.

Derivar ambos miembros considerando que el primero es una función compuesta de
"y" y del ln y por tanto, según la regla de la cadena siempre quedará

Despejar y'

Escribir y en función de x
f.1) Derivada de un producto:
Sea la función
. Aplicando la derivada logarítmica:
O en palabras: la derivada de un producto de funciones se obtiene sumando a la
derivada de la primera por la segunda, la primera por la derivada de la
segunda.
f.2.) Derivada de un cociente:
Sea la función
. Aplicando la derivada logarítmica será:
Y en palabras: la derivada de un cociente es igual a la derivada del primero por
el segundo menos el primero por la derivada del segundo partido todo por el
segundo al cuadrado.
f.3) Derivada de la función exponencial:
Sea ahora la función
. Tenemos por derivación logarítmica que:
En el caso particular en que a=e, se tendrá que lne=1 y queda:
siendo ésta la única función que coincide con su derivada.
Ejemplo1:
Derivar
Derivaremos como producto teniendo en cuenta que el segundo factor es una
función compuesta:
Ejemplo 2:
Derivar
Derivaremos como cociente poniendo previamente el radical en forma de potencia:
Entonces:
a. Derivada de las funciones trigonométricas:
Sea la función
. Aplicando la definición de derivada:
Y transformando en producto el numerador (véase trigonometría):
Veamos que este último límite es la unidad. En efecto, recordando el significado
geométrico del seno y la tangente sobre la circunferencia goniométrica y
contemplando la siguiente figura, podemos poner:
Dividiendo todos los miembros de la desigualdad anterior por
, tenemos:
Y tomando límites cuando
Si el límite anterior está comprendido entre 1 y 1 es porque su valor es la unidad
(regla del sandwich).
Por tanto, cuando el valor del ángulo tiende a cero, el cociente entre el seno y el
ángulo tiende a uno (se dice que el seno y el ángulo son infinitésimos
equivalentes).
Volviendo a nuestro cálculo de la derivada, vemos, aplicando lo anterior que:
Y queda entonces:
La derivada del seno es el coseno.
Calculemos ahora la derivada del coseno, es decir de
. Por
trigonometría sabemos que el coseno de un ángulo es igual al seno de su
complementario, es decir:
Y derivando esta última como una función compuesta:
La derivada del coseno es menos el seno.
Veamos la derivada de la tangente, ahora
Como:
:
podemos derivar como un cociente para obtener:
La derivada de la tangente es la inversa del coseno al cuadrado o también uno
más la tangente al cuadrado.
Las otras tres funciones trigonométricas se pueden derivar considerando que son
recíprocas de las tres anteriores y utilizando la regla del cociente:
Ejemplo:
Derivar
Por la regla de la cadena para tres funciones compuestas:
b. Derivada de la función inversa:
Se nos plantea ahora la situación de tener que derivar la función
la derivada de
.
conociendo
Existe un Teorema que afirma que "Si f(x) es derivable en x con
y
admite inversa f-1(x), entonces existe la derivada de f-1(x) en y=f(x) y se cumple
que
"
Aunque la demostración rigurosa del mismo no es propia de este curso,
utilizaremos este Teorema para calcular las derivadas de las funciones
trigonométricas inversas.
h.1) Derivada del arco seno:
Sea
Entonces
Y aplicando el Teorema:
h.2) Derivada del arco coseno:
Sea
Entonces
h.3) Derivada del arco tangente:
Sea
Entonces
Para finalizar este apartado, vamos a resumir en una tabla todas las reglas de
derivación de funciones elementales que sería conveniente fuese memorizada por el
alumno:
Función
Ecuación
Derivada
Operaciones


Suma
y=f(x)+g(x)
y'=f'(x)+g'(x)

Resta
y=f(x)-g(x)
y'=f'(x)-g(x)
Producto por una
y=kf(x)
y'=kf'(x)
y=f(x)g(x)
Y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
constante


Producto

Cociente
Regla de la cadena
Potenciales

Constante
y=k
y'=0

Identidad
y=x
y'=1

Monomio
y=axn
y'=naxn-1

Polinomio
y=anxn+an-1xn-
y'=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+...+a1
1

Raíz cuadrada

Raíz n-ésima
+...+a1x+a0
Exponenciales

De base a
y=ax
Y'=axlna

De base e
y=ex
Y'=ex
Logarítmicas

De base a
y=logax

De base e
y=lnx
Trigonométricas

Seno
y= sen x
Y'= cos x


Coseno
y= cos x
Tangente
y= tg x
Y'= -senx
Trigonométricas
inversas

Arco seno
y= arcsen x
Arco coseno
y= arccosx
Arco tangente
y= arctg x


1. Continuidad y derivabilidad.
Relacionando los aspectos tratados hasta el momento con los conceptos sobre
continuidad del tema anterior, podemos extraer las siguientes conclusiones de gran
interés:

Si una función es derivable en un punto, ha de ser continua en él. En efecto:
Si f(x) es derivable en x=a, se tiene que existe:
Donde el límite anterior se diferencia de la fracción en un infinitésimo (una función
cuyo límite cuando h tiende a cero es cero, o sea:
Despejando el numerador y calculando el límite en h tiende a cero:
Y de ahí:
Y haciendo:
a+h=x, lo que implica que si h tiende a cero, x tiende a "a", queda:
Que es la definición de continuidad en un punto.

Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él, en efecto:
Sea la función:
Que es equivalente a:
Esta función es continua en x=4 ya que los límites laterales son:
que coinciden
Además está definida en x=-4 tomando el valor f(-4)=0, luego:
estado probada la continuidad.
La función, sin embargo, no es derivable en x=-4 ya que las derivadas laterales no
coinciden, en efecto:
La gráfica es:
Se dice que en el punto x=-4 hay un punto anguloso.
Con este contraejemplo queda probado que continuidad no implica derivabilidad
pero derivabilidad sí que implica continuidad
El Teorema contrarecíproco también es cierto, esto es:
Si una función no es continua en un punto no puede ser derivable en él.
Ejemplo:
Estudia la derivabilidad y continuidad de la función definida a trozos:
Dado que los tres trozos son funciones continuas para todo valor real, estudiaremos
únicamente los puntos de corte.
Se tiene:
Los límites laterales son en x=0:
no existe límite en x=0, la función presenta en él una discontinuidad de salto finito.
En x=3:
no existe límite en x=3 presentando en él una discontinuidad de salto finito.
Como la función no es continua en x=0 ni en x=3 no puede ser derivable en esos
puntos. En los restantes, la función derivada es:
Siendo la gráfica:
1. Derivadas sucesivas.
De forma análoga a como hemos definido la función derivada, se podría reiterar el
proceso siempre que f'(x) fuese nuevamente derivable y obtener así las derivadas
segunda, tercera, etc. que denotaremos por f''(x), f'''(x), fIV(x), etc.
Así sería, por un proceso inductivo
En ocasiones pude llegarse a una fórmula general que exprese, en función de "n" la
derivada de cualquier orden, pero ello no siempre es posible.
Ejemplo:
Calcular las derivadas sucesivas de
:
Será, por aplicación de las reglas de derivación (concretamente la regla del
cociente):
2. Monotonía de una función. Puntos críticos.
Se dice que una función y=f(x) es monótona creciente si se cumple que:
Es decir, al aumentar el valor de la abcisa, aumenta el valor de la función o
permanece igual.
Se dice que es monótona decreciente si se cumple:
Al aumentar el valor de la abcisa disminuye, o permanece igual, el valor de la
función.
Si es las desigualdades anteriores no existe posibilidad del signo igual, esto es:
Se dice, respectivamente, que la función es estrictamente creciente o
estrictamente decreciente.
Las siguientes gráficas muestran el aspecto que presentan una función
estrictamente creciente y otra estrictamente decreciente respectivamente:
Vamos a demostrar que, si la función y=f(x) es derivable en un punto, si su
derivada es positiva, la función será creciente en él y que si la derivada es
negativa será decreciente en él:
En efecto:
Tomado un punto "a" sobre el eje de abcisas y un número real "h" positivo, la
derivada en el punto "a" será, por definición:
Llamando a+h=b, de donde h=b-a, y si "h" tiende a cero, entonces "b" tiende a "a"
y queda:
Pero como "h" es positivo entonces a<b y entonces, por ser monótona creciente
y la fracción anterior es entonces positiva al ser el cociente de dos
valores positivos, esto es:
Y tomando límites cuando b tiende a "a" y teniendo en cuenta que el signo de la
fracción anterior y el del límite serán iguales en un entorno del punto "a", se tiene
que:
Análogamente se demuestra que si la función es derivable y decreciente en un
punto "a":
Ahora nos preguntamos: ?Qué ocurrirá entonces si f'(a)=0?. Pues, bien, entonces,
en el opunto "a" la función pasa de crecer a decrecer o al contrario. Se dice que "a"
es un punto crítico.
Si en el punto crítico la función pasa de ser creciente a ser decreciente se dice
que en él hay un mínimo relativo. Si pasa de decreciente a creciente hay un
mínimo relativo.
En los puntos críticos, la recta tangente a la curva es horizontal ya que según la
interpretación geométrica de la derivada si ésta es nula, su pendiente también lo es
y la recta forma ángulo nulo con el sentido positivo del eje X, o sea, es horizontal.
¿Cómo determinamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función
y sus puntos críticos?
Hay dos formas;
a. Usando sólo la derivada primera:

Averiguamos los puntos que no pertenecen al dominio.

Calculamos la derivada y vemos qué valores la anulan (puntos críticos).

Dividimos el eje real en varios intervalos que tengan por extremos tanto los puntos
críticos como los valores en los que la función no está definida.

Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos (podemos por
ejemplo tomar un punto arbitrario de cada uno de ellos porque entre dos puntos
críticos el signo de la derivada no cambia.

En los puntos donde la función pase de creciente a decreciente y pertenezcan al
dominio, la función tendrá un mínimo relativo.

En los puntos donde pase de decreciente a creciente y pertenezcan al dominio, la
función tendrá un máximo relativo.
Ejemplo:
Estudiar la monotonía de la función
El dominio es todo R al tratarse de un polinomio.
Derivemos e igualemos a cero para obtener los puntos críticos:
Hay, pues tres puntos críticos, el eje real quedará dividido así:
A la izquierda de -1, por ejemplo tomamos x=-2 y vemos que:
la función decrece.
Entre -1 y 0 tomamos x=-1/2
crece
Entre 0 y 1 tomamos x=1/2:
decrece
A la derecha del 1 tomamos x=2:
crece.
En el gráfico representamos el crecimiento por una flecha ascendente y el
decrecimiento por una descendente y tenemos:
Decimos pues:
La función es creciente en
Es decreciente en
Presenta un máximo relativo en x=0
Presenta dos mínimos relativos en x=-1 y en x=1
La gráfica es
:
a. Usando la derivada segunda:
Se cumple que:
Ya que si f'' es positiva, f' es creciente y, como se anula en x=a, en ese punto ha de
pasar de negativa a positiva, por tanto, a la izquierda de a f será decreciente y a la
derecha creciente. En a hay pues un mínimo relativo.
Si f'' es negativa, f' es decreciente y, como se anula en x=a, es ese punto pasa de ser
positiva a ser negativa, por tanto, a la izquierda de a f será creciente y a la derecha
decreciente. En a hay pues un máximo relativo.
Ejemplo:
Estudiar la monotonía de
en el primer giro
Derivemos dos veces:
Calculamos los puntos críticos que anulan f'(x) en el primer giro:
Veamos el signo de f''(x) en esos puntos:
En
hay un máximo relativo
En
hay un mínimo relativo.
La función crece en
Decrece en
1. Curvatura. Puntos de inflexión.
Se dice que una función es convexa en un punto, vista desde el sentido positivo del
eje Y , si la tangente a la curva en dicho punto está por encima de la curva.
Se dice que es cóncava en un punto, vista desde el mismo sentido que antes, si la
tangente a la curva en dicho punto está por debajo de la curva.
Gráficamente:
En x=a la función es cóncava, pues la tangente está por debajo de la curva.
En x=b la función es convexa, pues la tangente está por encima de la curva.
Decir que la gráfica está por encima de la tangente (cóncava) es como decir que:
Decir que está por debajo (convexa) es como decir que:
Si la función es cóncava, las pendientes de las tangentes van creciendo, entonces
f'(x) es creciente y por tanto f''(x) es positiva.
Si es convexa las pendientes de las tangentes van decreciendo, entonces f'(x) es
decreciente y por tanto f''(x) es negativa.
En los puntos donde la curva pasa de ser cóncava a convexa o al contrario, se dice
que hay punto de inflexión. Estos puntos de inflexión pueden ser cóncavoconvexos o convexo-cóncavos según el cambio de curvatura que se produzca en
ellos.
Para estudiar la curvatura de una función procederemos así:

Determinamos los puntos que no pertenecen al dominio.

Determinamos los puntos que anulan la segunda derivada (posibles puntos de
inflexión).

Dividiremos el eje real en los intervalos cuyos extremos sena los puntos anteriores.

Estudiaremos el signo de f''(x) es cada intervalo tomando un número arbitrario de
cada uno de ellos.
Ejemplo:
Estudiar la curvatura y la monotonía de la función
El dominio es
Derivando para obtener los puntos críticos:
absurdo
No hay puntos críticos, la función siempre crece o siempre decrece en todo su
dominio. Como el denominador de f'(x) es siempre positivo y el numerador es
negativo, diremos que la función crece en
y carece de
máximos o mínimos.
Derivando de nuevo:
absurdo. No hay puntos de inflexión.
Veamos la curvatura:
A la izquierda de x=1, por ejemplo en x=0 se tiene:
Convexa
A la derecha de x=1 por ejemplo en x=2
Cóncava.
Tenemos:
Siendo la función convexa en
y cóncava en
no existiendo puntos de
inflexión pues en x=1 no está definida.
La gráfica de la función es:
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A OTRAS DISCIPLINAS
El cálculo de derivadas tiene multitud de aplicaciones en otros campos de la ciencia
fuera de las Matemáticas propiamente dichas. Sin pretender ser exhaustivos,
veamos algunos:
a. Al cálculo de valores aproximados:
Vamos a introducir el concepto de diferencial de una función.
De la definición de derivada en el punto a:
Ignorando el límite, se puede considerar que:
Al producto de la derivada de la función en un punto por h se le llama diferencial
de la función en ese punto.
Llamando a la T.V. dy (se lee diferencial de y) y a "h" dx (se lee diferencial de x),
tenemos:
Expresión de donde surge la notación diferencial para la derivada de la que ya
hablamos en otro momento.
La diferencial nos da una aproximación del valor de la función en un punto
próximo a "a" (a+h) medido, no hasta la curva sino hasta la tangente a la misma en
ese punto. Veamos en gráfico siguiente:
En él:
En esta última expresión podemos calcular fácilmente dy para aproximar f(a+h)
cometiendo un error BC que será más pequeño cuanto más pequeño sea "h".
Ejemplo:
Calcular, usando la aproximación por la diferencial
y estimar el error
cometido.
Tomando la función
y tomando para "a" el valor más próximo a 31 que
tenga raíz cúbica exacta (a=27), tenemos:
El valor exacto de la raíz cúbica de 31 con la calculadora es 3,141 (redondeando
hasta las milésimas). Siendo el error cometido de 0,007 lo que supone un 0,22 %.
b. A LA FÍSICA:
En Física se define:

La velocidad como la derivada del espacio con relación al tiempo (v=e'(t)).

La aceleración como la derivada de la velocidad con relación al tiempo, o lo que
eslo mismo, la derivada segunda del espacio con relación al tiempo (a=v'(t)=e''(t)).
Con estas definiciones estamos en condiciones de resolver problemas como el
siguiente:
Ejemplo:
Un móvil recorre una circunferencia centrada en el origen de radio r=1 m con
una frecuencia angular de
.Y su proyección sobre el eje de
abscisas realiza un movimiento vibratorio armónico simple, siendo en cada
instante la distancia respecto al origen dada por la ecuación
.
Determinar su distancia al origen, la velocidad y la aceleración en el instante
t=2 segundos. Representar gráficamente, sobre los mismos ejes las funciones
espacio, velocidad y aceleración
Será:
Donde para t= 2 segundos, r= 1 metro y
Siendo la gráfica de las tres funciones:
segundos queda:
Donde en el eje de abcisas está representado el tiempo en segundos y la escala del eje de
ordenadas está en metros para la línea negra de trazo fino (espacio), en m/s. Para la línea
azul (velocidad) y en m/s2 para la línea negra gruesa (aceleración).
c) A LA ECONOMÍA:
Las acciones de una determinada empresa varían con el tiempo (durante 3
días), según la ecuación
, siendo v(t) el valor en función del
tiempo en miles de ptas.. y t el tiempo en días. Determinar en qué instantes el
valor es máximo (?A cuánto asciende?) y en qué instantes el valor es nulo ?En
qué intervalo de tiempo el valor crece? ?En cuál decrece?
Derivando con relación al tiempo dos veces:
Los puntos críticos salen de:
Para ese valor la segunda derivada es negativa pues es constantemente -2, luego en
él hay un máximo. La función crece (las acciones aumentan de valor) en
decrece (disminuyen de valor en
y
La máxima cotización será de:
La gráfica ptas.-tiempo de evolución del valor de las acciones será:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
Se llaman problemas de optimización a aquéllos en los que se trata de hacer
máxima o mínima una función.
La resolución de estos problemas se realiza según el siguiente proceso:

Determinamos las incógnitas y, si procede hacemos un dibujo o gráfico.

Escribimos la función a optimizar (maximizar o minimizar).

Caso de tener la función más de una variable, hemos de dejar sólo una para ello
haremos uso de las condiciones del problema.

Derivamos la función para determinar los puntos críticos.

Calculamos la derivada segunda para ver si los puntos críticos obtenidos son
máximos o mínimos.

Discutimos los resultados obtenidos para eliminar aquéllos que no sean posibles o
sean absurdos.
En estos problemas se hace uso frecuente de fórmulas de la geometría del plano o
del espacio. A continuación presentamos una tabla con las más usuales.
PLANO
Nombre
Perímetro
Triángulo
P=a+b+c
Cuadrado
P=4a
Rectángulo
P=2a+2b
Rombo
P=4a
Romboide
P=2a+2b
Trapecio
P=b+B+c+d
Polígono regular
P=na
Circunferencia y
círculo
Área
Arco y sector
circular
ESPACIO
Nombre
Área/as
Volumen
Prismas
Cilindro
Ortoedro
Pirámides
Cono
Ejemplo:
De entre todos los cilindros de 0,5 m3 de volumen, determinar el de área total
mínima.
Llamamos:
r= radio del cilindro.
h= altura del cilindro.
Hay que minimizar la ecuación:
Que tiene dos variables, pero sabemos que:
Y sustituyendo en At:
Y en los puntos críticos ha de anularse la derivada de esta función, o sea:
Entonces tenemos para la altura:
Veamos si la solución obtenida es máxima o mínima. Calculamos la derivada
segunda de At(r) y tenemos:
Y para r= =0,43 da:
Luego la solución obtenida es mínima.
Ejemplo 2:
De una hoja de cartón de rectangular de lados 4 cm. y 8 cm. hay que cortar un
cuadrado de cada vértice para construir una caja abierta de volumen máximo
?Qué dimensiones debe tener el cuadrado que cortamos?
El gráfico será
La caja que construyamos será un ortoedro sin tapa. Su volumen es:
O sea, operando:
Obtengamos los puntos críticos anulando la derivada primera:
Veamos si son máximos o mínimos mediante la derivada segunda:
:
el máximo volumen de la caja se obtiene
recortando un cuadrado por cada vértice de 0,9 cm.