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15 Probabilidad
ACTIVIDADES INICIALES
15.I.
Con los datos de 2010, ¿cuál fue la probabilidad de tener un accidente si se realizó un vuelo
durante ese año? ¿Y la probabilidad de fallecer en ese accidente?
La probabilidad de tener un accidente fue de 0,61 por millón, es decir, 1 entre 1 600 000 vuelos,
aproximadamente. La probabilidad de fallecer fue de 786 entre 2400 millones, que equivale
aproximadamente a una entre tres millones.
15.II. Calcula el promedio de fallecidos diarios por accidentes de coche en España y de avión en el
mundo. ¿Cómo interpretas esos resultados?
El promedio es de 6,79 fallecidos en accidentes de tráfico en España frente a 2,15 fallecidos en
accidentes aéreos en todo el mundo. Aunque no tengamos el dato del número de viajes en coche,
podemos interpretar sin equivocarnos que el avión tiene una siniestralidad mucho menor.
15.III. En la lotería de Navidad se sortea el Gordo de Navidad entre 85 000 números. Compara la
probabilidad de que te toque el Gordo jugando un solo número con la de sufrir un accidente de
avión y con la de fallecer en ese accidente.
Actualmente la probabilidad de conseguir el Gordo de navidad es una entre 100 000, es
aproximadamente 16 veces mayor que la de sufrir un accidente aéreo, y unas 31 veces mayor que la
de fallecer en un accidente aéreo.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
15.1. Actividad resuelta.
15.2. Se considera el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española.
a)
¿Es aleatorio el experimento?
b)
Forma los sucesos:
a)
b)
A = “sacar figura”
C = “sacar un as”
B = “sacar copas”
D = “sacar 3 de oros”
Sí, es un experimento aleatorio si se extrae sin mirar.
Indicaremos Los palos con O = Oros; C = Copas; E = Espadas; B = Bastos; las cartas las
indicaremos por su valor y las figuras serán S = Sota, C = Caballo; R = Rey; A = As. Cada carta
será codificada según su valor y palo (por ejemplo 7C = 7 de copas; SB = Sota de bastos).
A = {SO; CO; RO; SC; CC; RC; SE; CE; RE; SB; CB; RB}
B = {AC; 2C; 3C; 4C; 5C; 6C; 7C; SC; CC; RC}
C = {AO; AC; AE; AB}
D = {3O}
15.3. En una urna hay cinco bolas rotuladas con las vocales. Se extrae una bola al azar.
Halla el espacio muestral y forma dos sucesos compuestos y sus contrarios.
Espacio muestral: E = {a, e, i, o, u}
Dos sucesos compuestos: A = {a, e, o} (vocales abiertas) y B = {o, u}
Sus contrarios:
=
A
18
Unidad 15 | Probabilidad
i, u}; B {a, e, i}
{=
15.4. Actividad interactiva.
15.5. Actividad resuelta.
15.6. De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 se extrae una y se anota su número.
Se consideran los sucesos A = {1, 5, 9}, B = {4, 8} y C = {3, 5, 7, 9}.
a)
Halla los sucesos A ∪ C y ( B ∪ C ) ∩ C .
b)
Señala cuáles de entre los sucesos A, B y C son incompatibles y cuáles compatibles.
a)
A ∪ C = {1, 3, 5, 7, 9} y ( B ∪ C ) ∩ C = C = {3, 5, 7, 9}
b)
A y B son incompatibles ya que no tienen elementos en común ( A ∩ B =
∅ ).
También lo son B y C ya que C ∩ B =
∅ . En cambio A ∩ C =
{5, 9} , luego A y C sí son
compatibles.
15.7. Se lanza un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número. Describe
dos sucesos A y B incompatibles cuya unión coincida con E. ¿Tiene que ser B el suceso
contrario de A?
Sirven por ejemplo A = {“sacar par”} = {2, 4, 6} y B = {“sacar impar”} = {1, 3, 5}.
B debe ser el contrario de A para que la unión coincida con E ya que su intersección es vacía por ser
incompatibles.
15.8. Actividad interactiva.
15.9. Actividad resuelta.
15.10. En el experimento de extraer una carta de una baraja española, halla la probabilidad de:
a)
Sacar un as.
c) Sacar una figura.
b)
Sacar un basto.
d) Sacar el 2 de oros.
a)
P ( sacar un As
=
)
b)
P ( sacar un basto=
)
4
1
= = 0,1
40 10
10 1
= = 0,25
40 4
c)
P ( sacar una figura
=
)
d)
P ( sacar el 2 de oros
=
)
12
3
= = 0,3
40 10
1
= 0,025
40
15.11. Tenemos 50 tarjetas numeradas del 1 al 50. Al tomar al azar una de ellas, calcula.
a)
Probabilidad de que el número sea primo.
b)
Probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.
a)
Los números primos menores que 50 son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
P ( sea primo
=
)
b)
15
3
= = 0,3
50 10
50 : 3 = 16,666…, por tanto hay 16 múltiplos de 3 menores que 50, es decir,
P ( sea múltiplo de =
3)
16
= 0,32 .
50
15.12. Actividad resuelta.
Probabilidad | Unidad 15
19
15.13. Actividad resuelta.
15.14. En una reunión participan 6 empresarios españoles, 8 portugueses, 10 italianos, 7 chinos y 5
canadienses. Elegido un portavoz al azar, halla:
a)
P(ser español)
d)
P(ser europeo)
b)
P(ser chino)
e)
P(no ser francés)
c)
P(ser occidental)
f)
P(no ser español)
En total hay 36 empresarios.
a)
b)
c)
d)

6
1
= = 0,16
36 6

7
P ( ser chino
=
) = 0,194
36

29
=
P ( ser occidental
) = 0,805
36

24 2
= = 0,6
P ( ser europeo=
)
36 3
P ( ser español=
)
e)
P ( no ser francés ) = 1 (no hay franceses)
f)
P ( no ser español ) =−
1 P ( ser español ) =−
1

6
30 5
= ==
0,83
36 36 6
15.15. Lucía tiene dos dados cúbicos, uno morado y otro verde, y sabe que uno de ellos está trucado
para aumentar la probabilidad de que salga un 5. Para averiguar cuál es el dado trucado, ha
lanzado los dos 200 veces, anotando que con el dado morado ha salido 70 veces el número 5,
mientras que con el verde ha salido en 40 ocasiones. ¿Cuál es el dado trucado?
La probabilidad teórica en un dado equilibrado sería 1/6 = 0,1666….
70
40
= 0,35 y
= 0,20 , el que más se aleja de la probabilidad teórica es el morado, por
200
200
tanto es de esperar que esté trucado.
Como
15.16. En una urna hay seis bolas verdes numeradas del 1 al 6 y ocho bolas rojas numeradas
del 1 al 8. Se extrae una bola y se anota el resultado. Si A = “sacar número impar”,
B = “sacar bola verde” y C = “sacar un número múltiplo de 4”, halla las probabilidades de:
a)
A∪B
b) A ∪ C
c) B ∪ C
Aunque es fácil “contar” los casos favorables y aplicar la regla de Laplace lo resolveremos
haciendo uso de la ecuación: P ( A ∪ B=
) P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) .
3
14
3
=
A ∩ B {impar y verde} =
⇒ P (A ∩ B)
14
A ∩ C = {impar y múltiplo de 4} = ∅ ⇒ P ( A ∩ C ) = 0 A y C son incompatibles.
1
=
B ∩ C {verde y múltiplo=
de 4} ⇒ P ( B ∩ C )
14
P (A
=
)
20
7
14
P (B
=
)
6
3
=
14 7
P (C
=
)
a)
P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
b)
P ( A ∪ C ) =P ( A ) + P (C ) =
c)
P ( B ∪ C ) = P ( B ) + P (C ) − P ( B ∩ C ) =
Unidad 15 | Probabilidad
7
6
3 10 5

+
−
=
= =0,714285
14 14 14 14 7
7
3 10 5

+
=
= =0,714285
14 14 14 7
6
3
1
8
4

+
−
=
= =0,571428
14 14 14 14 7
15.17. En una determinada ciudad se sabe que, para personas de más de 60 años, la probabilidad de
padecer una enfermedad del corazón es 0,15, la de padecer artrosis es 0,25 y la probabilidad
de sufrir ambas enfermedades es 0,08. Elegida al azar una persona de más de 60 años, ¿cuál
es la probabilidad de que enferme de corazón o de artrosis?
Si llamamos a los sucesos A = {Padecer una enfermedad del corazón} y B = {Padecer artrosis}
P ( A ∪ B )= P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )= 0,15 + 0,25 − 0,08= 0,32
La probabilidad de padecer alguna de las dos es 0,32.
EJERCICIOS
Experimentos y sucesos aleatorios.
15.18. Indica si los siguientes experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, describe el espacio
muestral.
a) Anotar el espacio recorrido por un vehículo en 2 horas si circula a 85 kilómetros por hora.
b) Extraer una bola de una urna que contiene bolas de color verde y rojo y anotar el color.
c) Hacer girar la flecha de una ruleta dividida en seis sectores numerados del 1 al 6 y anotar
el número en que se detiene.
a) Es determinista. Cualquier vehículo en esas condiciones recorrerá 170 kilómetros.
b) Es aleatorio. E = {Verde, Rojo} (no son necesariamente equiprobables).
c) Es aleatorio. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
15.19. Un sobre contiene cinco tarjetas verdes numeradas del 1 al 5 y cinco tarjetas rojas numeradas
del 3 al 7. Se extrae al azar una tarjeta y se anota su color y número.
a) Describe el espacio muestral.
b) Forma el suceso A = “sacar número par” y su contrario.
c) Indica un suceso seguro y uno imposible.
a) E = {V1, V2, V3, V4, V5, R3, R4, R5, R6, R7}
b) A
=
c)
V 2, V 4, R 4, R 6} A {V 1, V 3, V 5, R 3, R 5, R 7}
{=
Suceso seguro:
Suceso imposible:
C = {sacar un número menor que 8}
D = {anotar 1 rojo}
Operaciones con sucesos.
15.20. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con 10 caras numeradas del 1 al 10
consideramos los siguientes sucesos:
A = “salir un número par” y B = “salir un número múltiplo de 4”.
a) Forma los sucesos A, B y sus contrarios.
b) Halla A ∪ B, A ∩ B , A ∪ B, A ∩ B .
c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B? ¿Y los sucesos A y B? Razona tus respuestas.
a) A
=
b)
c)
2, 4, 6, 8, 10} A {1,=
3, 5, 7, 9}
B {=
4, 8}
B {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10}
{=
A ∪ B = A = {2, 4, 6, 8, 10}
A ∩ B = B = {4, 8}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
A ∩ B = A = {1, 3, 5, 7, 9}
A
=
A
y
B
son
compatibles
1, 3, 5, 7, 9} y B {4, 8}
{=
porque
su
intersección
no
es
vacía.
Los
sucesos
si son incompatibles porque A ∩ B =
∅.
Probabilidad | Unidad 15
21
15.21. Al extraer una carta de una baraja española, se consideran los sucesos A = “sacar un 5”,
B = “sacar una figura”, C = “sacar un caballo” y D = “sacar una copa”. Halla los sucesos:
a)
A∪B
d)
B∩C
g)* A ∩ C
k)
C∪D
b)
B∪C
e)
A∪C
h)
B∩ C
l)
B∩C∩D
c)
(A ∪ B) ∩ D
f)
B∪D
i)
A∩D
m) C ∩ D
a)
A ∪ B = {5O, 5C, 5E, 5B, SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB}
b)
B ∪ C = B = {SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB}
c)
(A ∪ B) ∩ D = {5C, SC, CC, RC}
d)
B ∩ C = C = {CO, CC, CE, CB}
e)
A ∪ C = {5O, 5C, 5E, 5B, CO, CC, CE, CB}
f)
B ∪ D = {SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C}
g)
A∩C=Ø
h)
B ∩ C = {SO, SC, SE, SB, RO, RC, RE, RB}
i)
A ∩ D = {5C}
k)
C ∪ D = {CO, CC, CE, CB, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, SC, RC}
l)
B ∩ C ∩ D = {CC}
m)
C ∩ D = {CO, CE, CB}
Probabilidad experimental.
15.22. Si al lanzar un dado cúbico 600 veces sale un 3 en 85 ocasiones, ¿cuál es la diferencia
aproximada entre la probabilidad experimental y la teórica?
La probabilidad teórica en un dado equilibrado es
1
para cada valor. La diferencia es:
6
85 1
15
1
− =
−
=
−
=
−0,025 (un 2,5 % menos de veces de lo que indica la teoría).
600 6
600
40
15.23. Laura, Pablo y Leticia han lanzado al aire dos monedas 50
Laura
Pablo
Leticia
veces y cada uno ha anotado en un papel el número de
cruces obtenidas en cada lanzamiento (0, 1 o 2). Con los
0
13
11
12
resultados han formado esta tabla:
1
23
28
25
a) Calcula la probabilidad experimental de los
siguientes sucesos.
2
14
11
13
A = “no obtener ninguna cruz”
B = “obtener una cruz”
C = “obtener dos cruces”
b) Compara las probabilidades experimentales obtenidas con las probabilidades teóricas
esperadas. ¿Podemos asegurar que alguna de las monedas está cargada?
a) El número total de lanzamientos es 150.
13 + 11 + 12
=
150
23 + 28 + 25
P (=
B)
=
150
14 + 11 + 13
P (C
)
=
=
150
P (=
A)
b)
36
=
150
76
=
150
38
=
150
6
= 0,24
25

38
= 0,506
75

19
= 0,253
75
Las probabilidades teóricas son.
1
1
1
= 0,25
P(una cruz) =
= 0,5
P(dos cruces) =
= 0,25
4
2
4
Las diferencias son muy pequeñas. No parecen estar cargadas.
P(ninguna cruz) =
22
Unidad 15 | Probabilidad
Probabilidad de un suceso. Propiedades.
15.24. En un lanzamiento de un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6, ¿cuál es el suceso
contrario al de obtener un múltiplo de 3? ¿Cuál es su probabilidad?
Si A = {obtener múltiplo de 3} = {3,6}, entonces A=
{1, 2, 4, 5}
y P ( A=
)

4 2
= = 0,6
6 3
15.25. Se hace girar la flecha de la ruleta que aparece en la imagen.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Salir un número par.
b) Salir un número impar y el color rojo.
c) Salir un número impar o el color amarillo.
d) Salir un número par o el color verde.
e) No salir el color rojo.
1
2
a)
P (P ) =
b)
1
P (I ∩ R ) =
4
c)
1 1 1 5
P (I ∪ A) =P (I ) + P ( A) − P (I ∩ A) = + − =
2 4 8 8
d)
1 3 1 5
P (P ∪ V ) =P (P ) + P (V ) − P (P ∩ V ) = + − =
2 8 4 8
e)
P (R ) =1 − P (R ) =1 −
3 5
=
8 8
15.26. Se extrae al azar una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos
de la ficha sacada sea superior a 5.
16 4
Número de fichas: 28 ⇒ P (suma mayor que 5) =
=
28 7
15.27. En un experimento aleatorio se ha obtenido que la probabilidad de un suceso A es 0,31 y la de
un suceso B es 0,69. ¿Podemos asegurar que A y B son sucesos contrarios?
No. Pueden tener intersección no vacía (o incluso que A esté contenido en B completamente).
Ejemplo: Se elige al azar un número entre 1 y 100. A = {es menor que 32} y B = {es menor que 70}
cumplen las condiciones y no son contrarios.
Probabilidad | Unidad 15
23
15.28. La baraja francesa está compuesta de 54 cartas, de las cuales 2 son comodines.
Calcula la probabilidad de que al extraer una carta al azar:
a) Sea una pica o una figura.
b) Sea de palo rojo.
c) Sea de palo negro o figura.
d) Sea de palo rojo y menor que 5.
e) No sea un comodín.
a)
P ( pica o figura ) = P (pica) + P (figura) − P (figura de picas) =
b)
P ( palo rojo ) = P (corazones) + P (diamantes) =
c)
P ( palo negro o figura
=
)
32 16

= = 0,592
54 27
d)
P ( roja y menor que =
5)
8
4

= = 0,148
54 27
e)
P ( no sea comodín ) =−
1 P ( comodín ) =−
1
13 12 3
22 11

+
−
=
=
= 0,407
54 54 54 54 27
13 13 26 13

+
=
=
= 0,481
54 54 54 27
2
52

= =
0,962
54 54
15.29. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)
El suceso contrario al suceso seguro es el suceso imposible.
b)
P(A) puede ser igual a 1,3.
c)
A y B son incompatibles si A ∪ B =
Ø.
d)
Si P(A U B) = P(A) + P(B), entonces A y B son compatibles.
e)
Si P(A ∩ B) =
a)
Verdadera
b)
Falsa. Ninguna probabilidad puede ser mayor que 1.
c)
Falsa. Si son incompatibles A ∩ B =
∅.
d)
Falsa. Si son compatibles la probabilidad de la intersección no sería cero y, por tanto,
P ( A ∪ B=
) P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) .
e)
3
1
2
5
, P(A) =
y P(B) =
, entonces P ( A ∪ B ) =
7
5
7
7
2 3 1 10 + 15 − 7 18
Falsa: P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = + − =
=
7 7 5
35
35
15.30. Si lanzo una moneda 9 veces y aparece cara en todos los lanzamientos, ¿es más probable que
a la décima vez salga cruz en lugar de cara? Razona tu respuesta.
No, la probabilidad sigue siendo la misma. La moneda no tiene memoria.
24
Unidad 15 | Probabilidad
15.31. ¿En cuál de las siguientes urnas es más
probable extraer una bola roja?
1ª urna: P ( R ) =
1
2
3ª urna: P ( R ) =
2
3
2ª urna: P ( R ) =
3
5
4ª urna: P ( R ) =
4
9
Luego es más probable extraer bola roja en la
tercera urna.
15.32. ¿Qué es más probable?
a) Que aparezca un 3 al tirar un dado de 6 caras.
b) Que salga una espada al extraer una carta.
c) Que acabe en 8 el gordo de la lotería.
P ( Obtener un 3 ) =
1
6
P ( Sacar espada
=
)
10 1
=
40 4
P ( Que acabe en 8 el gordo ) =
1
10
Luego es más probable sacar una espada al extraer una carta.
15.33. De los 32 alumnos de una clase, 15 están matriculados en Latín; 17, en Música, 9 cursan las
dos materias, y el resto, ninguna de las dos.
Se escoge un estudiante al azar. Calcula la probabilidad de que:
a)
Estudie Latín.
b)
Estudie Música.
c)
Curse ambas materias.
d)
Estudie Latín, pero no Música.
e)
Estudie Música, pero no Latín.
f)
No curse ninguna de las dos materias.
a)
P (Estudie Latín ) =
d)
P (Latín pero no música ) = P (Estudie Latín ) − P (Estudie ambas ) =
e)
P (Música pero no Latín ) = P (Estudie Música ) − P (Estudie ambas ) =
f)
P (No curse ninguna ) =
1 − P (Estudie Latín o Música ) =
15
32
b)
P (Estudie Música ) =
17
32
P (Latín y Música ) =
c)
9
32
15 9
6
3
−
=
=
32 32 32 16
17 9
8
1
−
=
=
32 32 32 4
=
1 − ( P (Estudie Latín ) + P (Estudie Música ) − P (Estudie Latín y Música ) ) =
 15 17 9  9
=−
1 
+
−
=
 32 32 32  32
Probabilidad | Unidad 15
25
1
, ¿quiere decir que hay cuatro casos posibles en el experimento y solo uno
4
favorable al suceso A? Justifica la respuesta.
15.34. Si P(A) =
No. Significa que la cuarta parte de los casos son favorables. Por ejemplo, extraer una carta de copas
1
)
de una baraja española. (10 casos favorables de 40 posibles. Probabilidad:
4
15.35. Explica razonadamente si la siguiente desigualdad es cierta o falsa sean cuales sean los
sucesos A y B:
P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) Es cierta, ya que la probabilidad de un suceso siempre es mayor o igual
que cero y P ( A ∪ B=
) P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) ≤ P ( A) + P (B ) .
15.36. Una asociación juvenil ha organizado una rifa para recaudar fondos y poder mejorar sus
instalaciones. El sorteo consiste en extraer una bola al azar de un bombo que contiene bolas
numeradas del 1 al 1000.
Se consideran los siguientes sucesos.
A = “que la bola extraída sea múltiplo de dos”
B = “que la bola extraída sea múltiplo de cinco”
a)
Calcula P(A), P(B) y P ( A ∪ B ) .
b)
¿Son A y B sucesos compatibles o no?
a)
P ( A=
)
500
1
=
1000 2
P (A ∪ B) =
b)
26
P ( B=
)
200
1
=
1000 5
P ( A ∩ B=
)
100
1
=
1000 10
1 1 1
6
3
+ −
=
=
2 5 10 10 5
A y B son compatibles. Los elementos de la intersección son los múltiplos de 10.
Unidad 15 | Probabilidad
15.37. Un equipo de fútbol vende camisetas de sus jugadores numeradas del 1 al 25. Puedes
comprarlas blancas o azules, pero los números se alternan con los colores; es decir, la 1 es
siempre blanca; la 2, azul; la 3, blanca…, y así sucesivamente.
Se escoge una camiseta al azar de un montón que contiene las 25.
a) Calcula las siguientes probabilidades.
P(ser blanca o múltiplo de seis)
P(ser azul o múltiplo de cinco)
P(ser blanca o número primo)
P(no ser múltiplo de 10)
b) Inventa un suceso seguro y uno imposible para este experimento aleatorio.
a) Los sucesos “ser blanca” o “ser múltiplo de 6” son sucesos incompatibles, porque las camisetas
blancas son siempre números impares y, por tanto, no pueden ser múltiplos de 6.
•
17


 •  13 4
P  Blanca o 6  = P (Blanca ) + P  6  =
+
=


  25 25 25
•
•
2
15 3


•

 12 5
P  Azul o 5  = P ( Azul ) + P  5  − P  Azul y 5  =
+
−
=
=


 

 25 25 25 25 5
P (Blanca o primo ) = P (Blanca ) + P (Primo ) − P (Blanca y Primo ) =
1 P ( Ser múltiplo de 10 ) =−
1
P (No ser múltiplo de 10 ) =−
b)
13 9
8
14
+
−
=
25 25 25 25
2
23
=
25 25
“Ser blanca y número par” es un suceso imposible, ya que no hay ninguna camiseta que sea
blanca y tenga un número par y, por tanto, P(ser blanca y par) = 0.
“Sea azul o número impar” es un suceso seguro, ya que todas las camisetas azules tienen
número par y, por tanto, P(ser azul o número impar) = 1.
15.38. En un experimento aleatorio, los sucesos A, B y C cumplen P(A) =
1
1
1
, P(B) =
y P(C) = .
2
3
4
Además A y B son incompatibles y B y C también lo son.
¿Entre qué valores se encuentra la P ( A ∩ C ) ?
Por ser A y C incompatibles con B, A y C están contenidos en el contrario de B.
(
)
(
P (C )= P ( A ∩ C ) + P A ∩ C ⇒ P ( A ∩ C )= P (C ) − P A ∩ C
(
)
)
(
)
Por tanto, la probabilidad pedida será máxima cuando P A ∩ C =
0 y mínima cuando P A ∩ C sea
máximo.
(
)
(
)
Como P A ∩ B =P A ∪ B =
1 − P( A ∪ B) =
1−
1 1 1
− = tendremos que
2 3 6
1 1
1
1
− =
≤ P (A ∩C) ≤ .
4 6 12
4
Probabilidad | Unidad 15
27
PROBLEMAS
15.39. Jimena ha escrito cada una de las 12 letras de la palabra EXPERIMENTAL en 12 tarjetas
diferentes, alternando una letra mayúscula con una minúscula.
Ha introducido las 12 tarjetas en una bolsa y ha extraído una al azar. Calcula las siguientes
probabilidades.
a)
P(ser vocal o mayúscula)
b)
P(ser consonante o minúscula)
c)
P(ser mayúscula o minúscula). ¿Cómo se llama a este suceso?
a)
P ( vocal o Mayúscula ) =
P ( Vocal ) + P (Mayúscula ) − P ( Vocal y Mayúscula ) =
=
b)
P ( consonante o minúscula ) = P ( consonante ) + P (minúscula ) − P ( consonante y minúscula ) =
=
c)
5
6
2
9
3
+
−
=
=
12 12 12 12 4
7
6
3 10 5
+
−
=
=
12 12 12 12 6
P (Mayúscula o minúscula ) = 1 . Este suceso se llama “Suceso seguro”.
15.40. Los alumnos de 4.º de ESO de un centro escolar sortean un ordenador portátil para conseguir
ingresos destinados a su viaje de fin de curso. Venden papeletas numeradas del 1 al 100.
Calcula la probabilidad de ganar el ordenador si se adquieren todos los boletos que sean
múltiplos de 3 o de 5.
Múltiplos de 3. Como

100
= 33,3 , tenemos 33 múltiplos de 3 menores o iguales que 100.
3
Múltiplos de 5: Como
100
= 20 , tenemos 20 múltiplos de 5 menores o iguales que 100.
5
Los múltiplos de 3 y 5 son los múltiplos de 15: Como

100
= 6,6 tenemos 6 múltiplos de 15 menores o
15
iguales que 100.

20
6
47




   33
Por tanto: P  3 o 5  = P  3  + P  5  − P  15  =
+
−
=
100
100
100
100


 
 
 
La probabilidad de ganar será
28
Unidad 15 | Probabilidad
47
.
100
15.41. Una baraja de cartas infantil consta de 5 familias de colores numeradas todas ellas del 1 al 6.
Los colores de las familias son rojo, verde, azul, amarillo y negro. Se definen los siguientes
sucesos.
A = “salir un 6”
B = “salir un número impar”
C = “salir una carta de la familia azul”
D = “salir un múltiplo de 3”
Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.
a)
B ∪C
a)
P ( B ∪ C ) = P ( B ) + P (C ) − P ( B ∩ C ) =
b)
P ( A ∩ D ) = P ( A) =
c)
P (C ∩ D ) =
d)
P C ∩ D = P (C ) − P (C ∩ D ) =
(
b) A ∩ D
c) C ∩ D
d) C ∩ D
15 6
3
18 3
+
−
=
=
30 30 30 30 5
5
1
=
30 6
2
1
=
30 15
)
6
2
4
2
−
=
=
30 30 30 15
15.42. En la primera evaluación, 5 de los 25 alumnos de una clase de 4.º de ESO, aprobaron todas las
asignaturas, 19 tuvieron 3 o menos suspensos, y 4 alumnos suspendieron 5 o más
asignaturas. Escogiendo al azar un alumno de esa clase, calcula las probabilidades de los
siguientes sucesos.
a) Que haya suspendido 1, 2 o 3 asignaturas.
b) Que tenga exactamente 4 suspensos.
c) Que haya suspendido alguna asignatura.
a)
2 o 3 ) P (Haya suspendido 3 o menos ) − P (Haya aprobado=
todo )
P ( Haya suspendido 1, =
=
19 5
14
−
=
25 25 25
b)
Como de los 25 alumnos, 19 tuvieron 3 o menos suspensos, y 4 tuvieron 5 o más, quedan 2 con
2
.
4 suspensos, luego P (Haya suspendido 4 ) =
25
c)
1 P (Haya aprobado todas ) =−
1
P (Haya suspendido alguna ) =−
5
20 4
= =
25 25 5
Probabilidad | Unidad 15
29
15.43. Rodrigo sospecha que la ruleta de uno de sus juegos, que está dividida en ocho secciones
iguales con los números del 1 al 8, está trucada. Para comprobar si se encuentra en lo cierto,
ha hecho girar la ruleta 80 veces y ha anotado los resultados en la siguiente tabla.
Número de la ruleta
Veces que ha salido
1
5
2
7
3
6
4
8
5
24
6
11
7
9
8
10
a)
Calcula las probabilidades experimentales de cada uno de los posibles resultados y
compáralas con las probabilidades teóricas.
b)
¿Tiene fundamento la sospecha de Rodrigo?
a)
b)
30
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
Probabilidad
Experimental
5
1
=
80 16
7
80
6
3
=
80 40
8
1
=
80 10
24
3
=
80 10
11
80
9
80
10 1
=
80 8
Probabilidad
Teórica
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
Diferencia
0,0625
0,0375
0,05
0,025
0,175
0,0125
0,0125
0
Parece estar muy sesgada hacia el n.º 5 ya que la diferencia entre la probabilidad teórica y la
práctica ronda el 17 %.
Unidad 15 | Probabilidad
15.44. En una tómbola se venden boletos a un euro cada
uno. En cada uno se obtienen siempre 1, 5, 10, 15, 50
o 100 puntos. Por acumulación de puntos, se pueden
conseguir estos premios.
Esta tabla muestra el porcentaje de papeletas con
cada una de las puntuaciones.
Puntos
1
5
10
15
50
100
%
40
25
15
10
7
3
Si solo compramos un boleto, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a)
A = “ganar una bicicleta”
b)
B = “ganar un reproductor de MP4”
c)
C = “no ganar ningún premio”
d)
D = “obtener algún premio”
1€ = 1 boleto
3
= 0,03
100
a)
P ( sacar boleto de 100
=
)
b)
P ( sacar boleto de 100 o sacar un boleto de 50 ) =
= P ( sacar boleto de 100 ) + P ( sacar un boleto de 50 ) =
3
7
10
+
=
= 0,1
100 100 100
c)
40
25
65
0,65
P ( no ganar ) =
P ( sacar boleto de 5 ) + P ( sacar un boleto de 1) =
=+
==
100 100 100
d)
1 − P ( no ganar ) =
1−
P ( ganar alguno ) =
65
0,35
=
100
15.45. Julio tiene una diana en forma de tangram en la que cada pieza es de un color diferente.
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dardo lo clave en la zona coloreada de azul?
Todas las áreas de las figuras tangram son múltiplos del triángulo pequeño, que llamamos u.
Triángulo pequeño = 1u
Triángulo mediano = 2u
Cuadrado = 2u
Romboide = 2u
P ( romboide=
)
Triángulo grande = 4u
2u
1
= = 0,125
16u 8
Probabilidad | Unidad 15
31
15.46. Un juego de mesa consiste en colocar al azar nueve fichas en las nueve casillas del tablero de
la figura. Cuatro de ellas son blancas; otras cuatro, negras, y una, verde.
a)
Sin necesidad de calcular probabilidades, di si la posibilidad de que haya por lo menos
una fila, columna o diagonal con 3 fichas del mismo color es exactamente el doble de la
probabilidad de que haya por lo menos una fila, columna o diagonal con 3 fichas blancas.
Justifica tu respuesta.
b)
Calcula la probabilidad de que la ficha verde ocupe la casilla central.
c)
Calcula la probabilidad de que la ficha verde ocupe la casilla central y, además, no haya
dos fichas del mismo color contiguas.
a)
No es justo el doble, ya que se debe restar la probabilidad de que haya (por lo menos) una fila,
columna o diagonal con tres fichas blancas y otra fila, columna o diagonal con tres fichas negras.
b)
Los casos posibles son las permutaciones con repetición de 3 elementos que se repiten 4 veces
9!
(fichas blancas), 4 veces (fichas negras) y 1 vez (ficha verde). Casos posibles
= 630 .
4!4!
Para calcular los casos favorables, una vez colocada la ficha verde, hay que situar las restantes
fichas en los 8 huecos. Los casos favorables son las permutaciones con repetición de 2
elementos que se repiten 4 veces (fichas negras) y 4 veces (fichas blancas).
Casos favorables:
8!
= 70
4!4!
P (casilla verde central)=
c)
70
1
=
630 9
Los casos posibles son los mismos que en el apartado b. Los casos favorables son 2. Una vez
colocada la ficha verde en la casilla central, hay 2 maneras de colocar las fichas
alternativamente.
P(verde casilla central y no hay dos fichas de igual color contiguas) =
32
Unidad 15 | Probabilidad
2
1
=
630 315
AMPLIACIÓN
15.47. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un divisor de 60 resulte menor que 7?
a)
1
6
b)
1
4
c)
1
3
d)
1
2
div(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Seis de ellos son menores que 7. La probabilidad pedida es P (divisor menor que 7)=
6
1
=
12 2
La respuesta es d).
15.48. Lanzamos una moneda al aire cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al menos
dos veces?
a)
13
16
b)
7
16
c)
1
4
d)
3
16
El caso contrario a “obtener al menos 2 caras” es “obtener ninguna o 1 cara”.
P (obtener al menos 2 caras) =−
1 P (obtener ninguna o una cara) =−
1
1
5
26 13
−
= =
32 32 32 16
La respuesta es a).
15.49. Al lanzar al aire dos dados, numerados del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de que el producto
de los números de la cara superior sea impar?
a)
1
6
b)
1
4
c)
1
3
d)
1
2
Para obtener un producto impar ambos números han de ser impares. De las 36 parejas tenemos 9
9
1
formadas por números impares, por tanto, la probabilidad pedida es: P (producto impar)
= =
36 4
La respuesta es b).
15.50. Se elige al azar un número N de 3 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que sea potencia de 2?
a)
1
450
Sabemos que 2
b)
10
1
300
c)
1
225
d)
3
899
7
7
8
9
= 1024 y 2 = 128, luego solo 3 potencias de 2 son números de 3 cifras: 2 , 2 y 2 .
Como hay 900 números de tres cifras, la probabilidad pedida es
3
1
.
=
900 300
La respuesta es b).
Probabilidad | Unidad 15
33
AUTOEVALUACION
15.1. Se hace girar la perindola de la figura y se anota el número del lado sobre el que queda
apoyada.
Se consideran los sucesos:
A = {2, 3, 5}, B = {3, 4} y C = {1, 4}
a) Halla:
A∪B
A∪C
A∩B
B∪C
A∩C
B∩C
b) ¿Cuáles son incompatibles?
La perindola está numerada con números del 1 al 6.
a)
A ∪ B = {2, 3, 4, 5}
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
B ∪ C = {1, 3, 4}
A∩C=Ø
B ∩ C = {4}
b) Son incompatibles los sucesos A y C porque A ∩ C = Ø.
15.2. Se extrae una bola de una urna que contiene 40 bolas numeradas del 1 al 40. Se consideran los
siguientes sucesos.
A = “salir un número múltiplo de 3”
B = “salir un número múltiplo de 7”
C = “salir un número par”
a)
Escribe los sucesos A, B y C, y calcula sus probabilidades.
b)
Halla las probabilidades de A ∪ B y A ∪ C.
a)
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} ;
B = { 7, 14, 21, 28, 35}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
b)
=
P (A ∪ B)
17
40
=
P (A ∪C)
27
40
15.3. Durante el año pasado, en el hospital en el que trabaja María nacieron 2450 bebés, de los que
1421 fueron niñas. Calcula la probabilidad experimental correspondiente al suceso “nacer
niña” en ese hospital y compárala con la probabilidad teórica.
Probabilidad experimental de "nacer =
niña"
Probabilidad teórica de "nacer niña" = 0,5
Diferencia : 0,08
34
Unidad 15 | Probabilidad
1421
= 0,58
2450
15.4. De dos sucesos A y B se conocen las siguientes probabilidades.
P(A)=
(
)
3
1
2
, P(B)=
y P A∩B =
4
3
5
Calcula:
a)
P ( A ∩ B)
b)
P ( A ∪ B)
c)
P A∪B
a)
P ( A ∩ B ) =1 − P A ∩ B =1 −
b)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) =
c)
P A ∪ B =1 − P ( A ∪ B ) =1 −
(
)
(
(
)
)
3 1
=
4 4
1 2 1 20 + 24 − 15 29
+ − =
=
3 5 4
60
60
29 31
=
60 60
15.5. Una urna contiene cuatro bolas blancas numeradas del 1 al 4, tres negras con los números del
5 al 7 y tres rojas con los números del 8 al 10. Si se extrae una bola al azar, calcula las
siguientes probabilidades.
a)
P(salir una blanca o un número par)
b)
P(salir una negra o un número impar)
c)
P(no salir una blanca o un número múltiplo de 3)
a)
P ( blanca o impar ) = P ( blanca ) + P ( impar ) − P ( blanca e impar ) =
b)
P ( negra o impar ) = P ( negra ) + P ( impar ) − P (negra e impar ) =
c)


3
1
8
4




 6
P  no blanca o 3  = P ( no blanca ) + P  3  − P  no blanca y 3  =
+
−
=
=


 

 10 10 10 10 5
4
5
2
7
+
−
=
10 10 10 10
3
5
2
6
3
+
−
=
=
10 10 10 10 5
Probabilidad | Unidad 15
35
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Calcula y opina > Sobreventa
Los pasajeros que hayan sido víctimas de la sobreventa tienen derecho, además de a la devolución
íntegra del precio de su billete, a una indemnización. Los pasajeros que no puedan embarcar por
cancelación de vuelo o por overbooking recibirán, según la distancia del vuelo:
Menos de 1500 km
De 1500 a 3500 km
Más de 3500 km
Importe del billete
más 250 euros
Importe del billete
más 400 euros
Importe del billete
más de 400 a 600 euros
La aerolínea SkyCrowd va a fletar un avión de 80 plazas para volar de Barcelona a Milán, y vende los
billetes a 120 euros. También ha encargado un estudio matemático y ha averiguado que la
probabilidad de que un pasajero con billete no se presente es de 0,05.
15.1. ¿Cuánto dinero ingresará SkyCrowd si vende exactamente 80 plazas y todos los pasajeros
acuden?
Si acuden todos: 80 · 120 = 9600 euros.
15.2. Estima cuáles serán sus ingresos si vende 80, 82 y 100 plazas, respectivamente, teniendo en
cuenta las posibles devoluciones de billetes y las indemnizaciones.
95 % de 80 · 120 = 76 · 120 = 9120 euros
95 % de 82 = 77,9. Como 77,9 ≅ 78, podemos estimar que aparecerán 78 pasajeros y sus ingresos
serán de 78 · 120 = 9360 euros.
Si reserva 100 plazas, es muy probable que aparezcan 95 pasajeros, de los cuales 80 volarán, pero
tendrá que indemnizar a 15, así que sus ingresos serán de 80 · 120 – 15 · 250 = 5850 euros.
15.3. ¿Cuántos billetes debe vender SkyCrowd para maximizar sus ingresos?
Sabemos que el número está entre 82 y 100. Hagamos una tabla para ver cómo son las cosas:
Plazas
reservadas
Estimación
de pasajeros
Pasajeros
Pasajeros que
Ingresos
Indemnizaciones
que viajarán
no viajarán
Total
ingresos
82
78
78
9360
0
0
9360
83
79
79
9480
0
0
9480
84
80
80
9600
0
0
9600
85
81
80
9600
1
250
9350
86
82
80
9600
2
500
9100
87
83
80
9600
3
750
8850
Como vemos que a partir de 84 pasajeros los ingresos comienzan a bajar, el número de plazas
reservadas que maximiza los beneficios es 84.
También podríamos calcular 0,95 · x = 80, que nos da x = 84,2 y, por tanto, 84 maximiza los
beneficios.
36
Unidad 15 | Probabilidad
15.4. Como habrás visto, para maximizar los ingresos, la compañía debe realizar overbooking. ¿Te
parece que los beneficios justifican esta práctica, o piensas que hay consideraciones más allá
de lo económico por las que no es defendible? Argumenta tu opinión en un breve escrito y
ponlo en común con tus compañeros.
Respuesta abierta.
15.5. Ve más allá e investiga los derechos de los pasajeros en www.e-sm.net/4esoz71. ¿A qué tienes
derecho si tu vuelo se retrasa 6 horas? ¿Y si te pierden el equipaje?
Respuesta abierta.
Analiza e interpreta > Probabilidad en Navidad
En 2011, la Lotería de Navidad ha cambiado alguna de sus reglas. Este ha sido el primer año en el
que se han puesto a la venta todos los números posibles de 5 cifras (del 00 000 al 99 999) y no solo
hasta el 85 000, como se hacía anteriormente. El Gordo ascendió a 400 000 euros al décimo.
15.1. Un décimo costaba 20 euros. ¿Cuál era en este sorteo la
probabilidad de que nos tocara el Gordo?
La probabilidad de ganar el Gordo era de
1
.
100000
15.2. En 2010, el premio mayor era de 3 millones, pero solo había 85
000 números. ¿La probabilidad era mayor o menor?
1
por lo tanto era mayor aunque
La probabilidad en 2010 era de
85 000
el premio fuese menor.
15.3. Suponiendo que los premios en 2010 recayeran en números
distintos, la distribución de premios sería la que aparece en la
tabla de la derecha. Se dice que la lotería es el impuesto para los
que no saben matemáticas. ¿Estás de acuerdo?
Números
premiados
Ganancia
por euro
jugado
1
14 999
1
4999
1
2499
2
999
8
249
2
99
2
61,5
2
47
4816
4
8499
0
71 666
–1
El estado reparte en premios el 70 % de los ingresos previstos, por lo
tanto la esperanza matemática es la de perder un 30 % .
Respuesta abierta al último comentario.
Probabilidad | Unidad 15
37
Aprende a pensar > La esperanza de ganar.
En algunos juegos de azar solo hay dos posibilidades: si aciertas, multiplicas lo que has apostado,
pero si no, lo pierdes todo. Vamos a utilizar la probabilidad para determinar si algunos de estos
juegos son justos, favorables al jugador o desfavorables para él.
En un juego, la ganancia es la diferencia entre lo que pagas y lo que ganas. Si juegas 1 euro a doble
o nada a cara o cruz, la ganancia puede ser 1 euro si aciertas o (–1) euro (pérdida) si fallas.
Llamaremos E a la esperanza matemática de ganar. Se obtiene sumando los productos de la
ganancia en cada caso por la probabilidad de que ocurra ese caso.
Por ejemplo, supongamos que el juego consiste en apostar un euro al lanzar un dado. Si se obtiene
un 6, se multiplica la cantidad apostada por tres. Si no, se pierde todo. En este caso
1
5
3
1
E = ·2 + ·(−1) =− =− . Este valor es fácil de interpretar: al ser negativo, el juego es
6
6
6
2
desfavorable para el jugador. La esperanza indica la probabilidad de ganar si se hace un número alto
de apuestas.
En los últimos años han surgido muchas casas de apuestas en internet, que ofrecen premios por
acertar el resultado de un partido o quién marcará el primer gol. En todos los casos se trata de
apuestas negativas para el jugador, ya que el objetivo de estas webs es ganar dinero.
15.1. Un “amigo” nos ofrece apostar por quién va a sacar en el partido de esta noche, y nos ofrece
1,8 euros por cada euro jugado. Analiza matemáticamente la apuesta.
1
1
Los dos equipos tienen la misma probabilidad de sacar. E = ·0,8 − =
−0,1 . Es desfavorable para
2
2
el jugador.
15.2. ¿Qué cantidad debería pagar por cada euro jugado en la apuesta anterior para que el juego
fuese justo (E = 0)?
E=
1
1
· x − = 0  x = 1. Debería premiarse 2 a 1.
2
2
15.3. También se puede usar la esperanza matemática para los casos en los que hay varias
posibilidades de premio. En el primer ejemplo, supongamos que además nos pagan el doble
de lo apostado si conseguimos un 5. ¿Será ahora un juego favorable para nosotros?
1
1
4
1
E = ·2 + ·1 + ·( −1) =− , sigue siendo desfavorable.
6
6
6
6
15.4. Ahora, nos proponen otro juego, que consiste en que paguemos 4 euros, tiremos el dado y
ganemos la cantidad obtenida. ¿Es justo?
Como en todos los casos la probabilidad es
1
1
E = · ( −3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 ) =−
6
2
Sigue siendo desfavorable.
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Unidad 15 | Probabilidad
1
, la esperanza en este juego será
6
15.5. Elisa participa en un concurso en el que hay que elegir la respuesta correcta a cada pregunta
entre cuatro opciones. En este momento ganaría 10 000 y si acertara la última ganaría 50 000,
pero si fallara se quedaría solo con 1000. Como en esta parte las preguntas son muy difíciles,
cree que tendrá que contestar al azar. El presentador le ofrece plantarse o seguir.
Matemáticamente, ¿qué debería hacer? Y tú, ¿qué harías?
Suponiendo que juegue, está apostando los 10 000 euros que tiene ahora, para ganar 40 000 más
3
1
3
1
(probabilidad ) o perder 9000 (probabilidad ). Calculamos E = 40000· − 9000· = 3 250 . ¡Ojo!
4
4
4
4
Esto quiere decir que si repitiera la apuesta muchas veces, terminaría ganando dinero, pero si
contesta una sola vez al azar es más probable que pierda.
15.6. Los juegos son divertidos, pero apostar puede resultar peligroso. Todos los años un número
importante de personas se enganchan a algún tipo de juego, llegando a perder su dinero, su
casa, su familia… Los juegos de casino están fuertemente regulados en muchos países, pero
otros son mucho más accesibles. ¿Qué opinas de los juegos de apuestas por dinero? Debate
con tus compañeros.
Respuesta abierta.
Probabilidad | Unidad 15
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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan
Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su
enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
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