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Métodos de Investigación
2
¿Qué es la Lógica?
¿Para qué sirve y quién la usa?
Definición

La lógica es una ciencia formal, que estudia las
estructuras lógicas del pensamiento y el
lenguaje que se utiliza para expresar dicho
pensamiento.

Una definición formal : ciencia que estudia las
formas de los pensamientos como medio para
lograr la corrección y verdad de los mismos.
¿Qué lenguaje usa la lógica?


El lenguaje de la lógica puede ser natural o
simbólico (aunque la naturaleza del lenguaje sea
precisamente ser una forma simbólica de
referirnos a los objetos).
En Métodos 2 se estudia el concepto y sus
operaciones para determinar su importancia
lógico-metodológica en la construcción y
formalización de los conceptos necesarios en la
elaboración de una investigación


En el estudio de la Lógica se trata de
aprender el uso del lenguaje simbólico
(es decir, de la manera de representar
lingüísticamente a los objetos).
La finalidad es que comprendas la
intencionalidad de las expresiones
lingüísticas y puedas determinar las
relaciones lógicas que subyacen en el
lenguaje natural o cotidiano.
Objetivos


Se trata de conocer las aplicaciones
metodológicas del razonamiento y su vinculación
con los diferentes métodos utilizados en la
investigación científica.
Para evitar la ambigüedad e imprecisión que a
veces puede resultar del modo de organizar y
argumentar nuestras ideas, es necesario
estructurarlas de forma lógica y precisa para
comunicar con exactitud lo que pensamos a
nuestros semejantes.
Orígenes de la lógica


Los sofistas (grupo de filósofos anteriores y/o
contemporáneos a Sócrates) van a convertir la Retórica
en una técnica argumentativa realizando investigaciones
lingüísticas, a tal grado que crean la Gramática y la
Sintaxis; pero como la Retórica implicaba el arte de la
oratoria, tuvieron que esbozar una doctrina sobre el arte
de probar y refutar las argumentaciones.
Aristóteles estableció los principios lógicos de
identidad, de no contradicción y de tercero
excluido; propuso la teoría del concepto, del juicio, del
razonamiento, de la argumentación, de la probabilidad,
de la verdad, y trató el problema de las ciencias
deductivas y de las ciencias experimentales.

No fue Aristóteles (384322 A. C.) quien le puso
nombre a esta ciencia de
la Lógica, sino sus
discípulos, los cuales al
darse cuenta de que los
apuntes tomados en las
clases de su maestro
continuamente se referían
a la razón, decidieron darle
el nombre de Lógica
(logiké), que significa “lo
relativo a la razón”.
Posteriormente Francis
Bacon (1561-1626)
realizó uno de los
primeros intentos de
sistematización de la
inducción en la época
moderna con la creación
de las tablas inductivas
que permitían el manejo
de una variable como
causa directa del
fenómeno

Las Tablas Inductivas de Bacon
Tablas Causales
Descripción
De Presencia
La presencia de la causa originaba el efecto, por lo
que en ella se registraban todos los casos diferentes
en los que ocurría el mismo fenómeno.
De Ausencia
Donde se aseguraba que si se quitaba la causa, el
efecto desaparecía. En ella se anotaban los casos en
los que el fenómeno no ocurría a pesar de que se
presentaban las mismas circunstancias en las que
solía ocurrir el fenómeno.
De Grados
Donde se suponía que la variación de la causa
ocasionaba la variación del efecto. El registro que en
ella se hacía era sobre las variaciones que
presentaban los diferentes casos analizados del
fenómeno.
Otros filósofos que desarrollaron
la lógica como ciencia

Son interesantes también
los avances aportados por
Galileo Galilei, John Stuart
Mill, G. W. F. Hegel, Johann
Heinrich Lambert, George
Boole, F. L. G. Frege, y a los
considerados como los
grandes sistematizadores de
la Lógica Matemática
Clásica: Bertrand Russel
y Alfred North
Whitehead, autores de la
famosa obra Principia
Mathematica, publicada
entre 1910 y 1913

Esta lógica matemática se
convierte en una ciencia
particular, independiente de
la filosofía, y se distingue de
la Lógica Tradicional
Aristotélica, entre otras
cosas, por el tipo de estudio
que realiza de las
estructuras del
pensamiento, mediante un
lenguaje simbólico riguroso
y formalmente constituído.
Ahora se estudian dos tipos de
lógica al menos:
Tipo de Lógica
Lógica Formal
Descripción
Estudia las condiciones para que un pensamiento
pueda considerarse correcto. Se subdivide en el
estudio del concepto, del juicio y del raciocinio.
Dentro de este tipo de lógica está la Aristotélica y la
Simbólica o Matemática
Se considera correcto al pensamiento que está de
acuerdo con su propia estructura, con las leyes de la
razón y es congruente consigo mismo. No quiere decir
que dicho pensamiento sea verdadero fácticamente.
Lógica Material
Estudia las condiciones para llegar a un pensamiento
verdadero. Se subdivide en el estudio de la verdad, la
certeza, la ciencia y sus métodos.
En cuanto pensamiento verdadero, se entiende
correspondiente y objetivo con la realidad.
Lógica Proposicional, simbólica o
matemática (dentro de la lógica
formal)





¿Qué es una proposición? En lógica se entiende
que una proposición es una oración o enunciado
declarativo afirmativo o negativo:
“La ventana es rectangular”
“El disco es redondo”
“El agua contiene dos elementos químicos
diferentes”
“La tierra es un planeta que gira alrededor del
sol”, etcétera
Simples o Atómicas: Son aquellas que
constan de sólo una proposición, como
las mencionadas anteriormente:
“La ventana es rectangular”, “el disco es
redondo”, etc.
Hay dos tipos
de
proposiciones
Compuestas o Moleculares: Son
aquellas que constan de dos o más
proposiciones, unidas mediante las
llamadas conectivas lógicas: la
conjunción, la disyunción, la condicional y
la bicondicional:
“La ventana es rectangular y el marco es
de madera”
“Si hoy es lunes entonces mañana es
martes”
Tabla de simbolización
Elementos naturales:
Simbolización:
Proposiciones simples:
“La ventana es de cristal”
“El marco es de madera”
P
Q
“El agua contiene oxígeno”
“El agua contiene hidrógeno”
R
S
Conectivas Lógicas:
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Negación
Proposiciones compuestas:
“La ventana es de cristal y el marco es de madera”
“Si el agua contiene oxígeno entonces el agua contiene
también hidrógeno”
Ʌ
V
→
↔
~
PɅQ
R →S
Tablas de verdad


En estas tablas de lo que se trata es de
establecer la validez formal de una
proposición. En ese sentido se trata de
establecer cuándo una proposición es válida
(independientemente de su veracidad
objetiva).
Para realizar estas tablas es necesario
conocer y aplicar las reglas de las tablas de
verdad de cada conectiva que se usa
Cada proposición, hipotéticamente, puede ser
verdadera o falsa, por lo que las tablas de
verdad, en cada proposición, examinan ambas
posibilidades:
P
Q
R
~P
~Q
~R
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
Cuando tenemos una proposición compuesta por dos o más
proposiciones, se tiene que considerar la combinación total de
los valores hipotéticos, de acuerdo con el número de
proposiciones o con la fórmula 2n donde el 2 es el número de
valores (veradero y falso) y n es el número de proposiciones.
Dicha fórmula se usa para determinar el número de
combinaciones probables en una proposición compuesta o
molecular.
Para resolver una tabla de verdad, primero se asignan los
valores combinados de verdad y falsedad, de acuerdo al
número de proposiciones que hay: en este caso 3, es decir
23 lo que nos da un resultado de 8 combinaciones:
{P
Ʌ
(Q
→
R)}
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
En este caso, a P le ponemos la mitad de 8 como verdaderos y la
otra mitad falsos, a Q la mitad de la mitad (2, 2, 2, 2) y a R una y
una.
Una vez que tememos hecha la asignación de la combinación
de los valores, examinamos los signos de agrupación para
aplicar la regla correspondiente:
{P
(Q
→
R)}
V
V
V
V
1
V
V
F
F
2
V
F
V
V
3
V
F
V
F
4
F
V
V
V
5
F
V
F
F
6
F
F
V
V
7
F
F
V
F
8
Ʌ
Número de
combinaciones
Lo primero que tenemos que resolver es el paréntesis que agrupa a Q con R a
través de la condicional, cuya regla dice: “la condicional es verdadera en todos los
casos, excepto cuando el antecedente (Q) es verdadero y el consecuente (R) es
falso”. Esto ocurre en la combinación 2 y 6. Todos los demás casos son verdaderos
Una vez que tenemos los valores de la condicional entre Q y R, con
esos valores obtenemos los de la conjunción que une a P con la
proposición dentro del paréntesis:
{P
Ʌ
(Q
→
R)}
V
V
V
1
V
F
F
2
V
V
V
3
V
V
V
4
F
F
V
5
F
F
F
6
F
F
V
7
F
F
V
8
Número de
combinaciones
Para resolver esta conjunción, se toman los valores de P y los de la
condicional que acabamos de obtener. La regla de la conjunción dice
que es verdadera sólo si ambas proposiciones son verdaderas. Tal es
el caso en las combinaciones 1, 3 y 4.
Reglas de implicación o
inferencia


Son proposiciones simbolizadas que, a
través de premisas (generalmente dos)
nos permiten realizar u obtener
conclusiones a partir de ellas.
Sirven para mostrar la forma en la que
válidamente se pueden obtener
conclusiones.
Principales reglas de inferencia
Reglas que funcionan
exclusivamente con
condicional
Simbolización
(de dos premisas
obtenemos una
tercera)
Ejemplificación
Modus Ponendo Ponens
MPP (Modo Afirmar
Afirmando)
1) P → Q
2) P
»
(por lo tanto)
3) Q
1) Si la tierra es un planeta,
entonces gira alrededor del
sol
2) La tierra es un planeta
» (por lo tanto)
3) Gira alrededor del sol
1) P → Q
2) ~ Q
»
3) ~ P
1) Si el agua es un metal,
entonces su estado
permanente es sólido
2) Su estado permanente no
es sólido
»
3) El agua no es un metal
En una proposición, si
afirmamos el antecedente,
tenemos que afirmar el
consecuente
Modus Tollendo Tollens
MTT (Modo Negar
Negando)
En una proposición, si negamos
el consecuente, entonces la
regla nos permite negar el
antecedente
Modus Tollendo
Ponens
MTP
1) P V Q
2) ~ P
»
3) Q
1) O este animal es vertebrado
o es invertebrado
2) Este animal no es
vertebrado
»
3) Es invertebrado
Simplificación
LS
1) P Ʌ Q
»
2) P
(o Q)
1) Las flores son amarillas y el
cielo es azul
»
2) Las flores son amarillas
Adición
Ad
1) P
»
2) P V Q
1) El oxígeno es un gas
»
2) El oxígeno es un gas o es un
líquido
Conjunción
Conj
1) P
2) Q
»
3) P Ʌ Q
1) El hierro es un metal
2) El oxígeno es un gas
»
3) El hierro es un metal y el oxígeno
es un gas
(funciona exclusivamente con
la disyunción)
Si negamos una parte de una
disyunción, entonces
afirmamos la otra.
Si tenemos una conjunción, esta
regla nos permite dejar sola a
alguna de las dos proposiciones
Si tenemos una proposición
simple, la podemos unir a otra
con la disyunción
Si tenemos dos proposiciones
simples o compuestas
separadas, entonces las
podemos unir mediante la
conjunción
1) P → Q
2) Q→ R
»
3) P → R
1)
Dilema Constructivo
DC
1) (p→q) Ʌ (r→ s)
2) (p V r)
»
3) (q V s)
1) Si la Tierra es un planeta entonces el sol es
una estrella, y si la Tierra gira alrededor del
sol, entonces el sol es su centro de
gravedad
2) La Tierra es un planeta o gira alrededor del
sol
»
3) El sol es una estrella o el sol es centro de
gravedad
Dilema Destructivo
DD
1) (p→ q) Ʌ (r→ s)
2) (~q V ~s)
»
3) (~p V ~r)
1) Si la tierra es un planeta entonces el sol es
una estrella, y si la Tierra gira alrededor del
sol, entonces el sol es su centro de
gravedad
2) El sol no es una estrella o el sol no es su
centro de gravedad
»
3) La Tierra no es un planeta o la Tierra no gira
alrededor del sol
Silogismo hipotético
SH
Funciona como una cadena
de condicionales: unimos
condicionalmente el
antecedente de la primera
condicional con el
consecuente de la segunda
condicional.
Si tenemos en una premisa la unión
conjuntiva de dos condicionales, y en
otra premisa la unión disyuntiva de
los antecedentes de esas dos
condicionales, entonces podemos
obtener como conclusión la unión
disyuntiva de los consecuentes de
esas dos condicionales
Si tenemos en una premisa la unión
conjuntiva de dos condicionales y en
otra premisa la unión de los
consecuentes negados de esas
condicionales, entonces podemos
concluir con la unión disyuntiva de los
antencedentes negados de esas
condiconales
2)
Si mezclo dos átomos de hidrógeno y
uno de oxígeno entonces obtengo
agua
Si obtengo agua entonces puedo
experimentar sus tres estados físicos
»
3) Si mezclo dos átomos de hidrógeno y
uno de oxígeno entonces puedo
experimentar sus tres estados
Extensión
Ejemplo
Contenido
+
Libro
-
A mayor extensión,
menor contenido del
concepto
Libro de matemáticas
A menor extensión mayor
contenido
-
Libro de matemáticas 1°
grado
Libro de matemáticas 1°
grado para Bachilleres
+
El concepto “libro” cuenta con mayor extensión (porque se habla de un
libro cualquiera) pero tan pronto comenzamos a definirlo como de
matemáticas y su grado, su extensión es menor pero su contenido es
mayor.
Ejercicios con reglas de
implicación

Veamos estos
ejercicios y su
solución:

1. q → ~ (s V p)
2. q

\ ~ (s V p)

A:
B:
1. (r V q)
2. (r → t) ˄ (q → s)
\
3. (t V s)
1. ~ (q → s) V f
2. ~ f
\
3. ~ (q → s)
C:
D:
1. (t V p) → s
2. r → (t V p)
\
1. ~ m → t
2. ~ t
\
3. r → s
3. m
¿Por dónde comenzar?
1. q → ~ p
2. r → p p
3. q ˄ s p
\~r˄s
├───
4.
p

La premisa 3 es una
conjunción, y la
conclusión a la que
tenemos que
demostrar también es
una conjunción
1. q → ~ p
p
2. r → p
p
3. q ˄ s
p
\ ~ r ˄ s (esto es lo que hay

que demostrar)
├───
4. q
Simpl. en 3

Si simplificamos q de la
premisa 3, que es una
conjunción entonces
obtenemos el
antecedente de la
condicional de la premisa
1: q
Tenemos que justificar la
premisa 4 señalando de
dónde salió y con qué
regla
1. q → ~ p
p
2. r → p
p
3. q ˄ s
p
\~r˄s
├───
4. q
Simpl. en 3
5. ~ p MPP en 1 y 4




La premisa 5 es el
resultado de la 1 y de
la 4, las cuales
ponemos aquí así
para que se vea que
entre ellas se aplica
un MPP:
1. q → ~ p
4. q
5. ~ p
1. q → ~ p
p
2. r → p
p
3. q ˄ s
p
\~r˄s
├───
4. q
Simpl. en 3
5. ~ p MPP en 1 y 4
6. ~ r
MTT en 2 y 5




La premisa 6, del
mismo modo, es
resultado de un MTT
aplicado en las
premisas 2 y 5:
2. r → p
5. ~ p
6. ~ r
1. q → ~ p
p
2. r → p
p
3. q ˄ s
p
\~r˄s
├───
4. q
Simpl. en 3
5. ~ p MPP en 1 y 4
6. ~ r
MTT en 2 y 5
7. s
Simpl. en 3


La premisa 7 es
resultado de volver a
aplicar la regla de la
simplificación en la
premisa 3, pero ahora
simplificando s:
7. s
1. q → ~ p
p
2. r → p
p
3. q ˄ s
p
\~r˄s
├───
4. q
Simpl. en 3
5. ~ p MPP en 1 y 4
6. ~ r
MTT en 2 y 5
7. s
Simpl. en 3
8. ~ r ˄ s Conj. en 6 y 7
La premisa 8, que
es finalmente la
demostración de la
conclusión que se
pedía, es resultado
de una unión
conjuntiva de las
premisas 6 y 7:
6. ~ r
7. s
8. ~ r ˄ s

El siguiente ejercicio
consta de 4 premisas:
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
(conclusión
hay que demostrar)
p
p
p
que

1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x

\t˄s
4. r → s
simpl. 1
Podemos arrancar de
la conjunción en la
premisa 1, lo cual nos
permite simplificar
cualquiera de las
condicionales. En este
caso tal vez nos
convenga iniciar con
r → s porque en la
premisa 3 tenemos r,
el cual es su
antecedente y
prefigura un MPP
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
5. r → s simpl. 1
6. s
MPP en 5 y 3




Con la simplificación
de esa conjunción en
la premisa 1 que nos
permite separar la
primera condicional, y
con r en la premisa 3
obtenemos s:
5. r → s
3. r
6. s Por un MPP


Una vez que tenemos
s, le podemos añadir
mediante la
disyunción de la ley
de adición cualquier
otra proposición, y en
este caso nos
conviene adicionar t,
con el fin de formar el
antecedente de la
condicional de la
segunda premisa:
7. s V t
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
5. r → s simpl. 1
6. s
MPP en 5 y 3
7. s V t
Ad. en 6




El siguiente paso es
aplicar un MPP en las
premisas 2 y la 8,
puesto que s V t es el
antecedente de esa
condicional de la
premisa 2:
2. (s V t) → q
7. s V t
8. q
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
5. r → s simpl. 1
6. s
MPP en 5 y 3
7. s V t
Ad. en 6
8. q
MPP en 2 y 8


Ya tenemos q, que es
una parte de la
proposición que como
conclusión se tiene que
demostrar (q ˄ x), y
ahora nos falta la otra
parte que es x, la cual
está unida
conjuntivamente en la
premisa 4, por lo que es
necesario simplificarla:
9. x
en 4
por simplificación
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
5. r → s Simpl. 1
6. s
MPP en 5 y 3
7. s V t
Ad. en 6
8. q
MPP en 2 y 8
9. x
Simpl. en 4
1. (r → s) ˄ (p → t)
2. (s V t) → q
3. r
4. f ˄ x
\q˄x
5. r → s
6. s
7. s V t
8. q
9. x
10. q ˄ x
Simpl. 1
MPP en 5 y 3
Ad. en 6
MPP en 2 y 8
Simpl. en 4
Conj. en 8 y 9




El último paso es unir,
mediante la regla de
la conjunción, dos
premisas que ya
tenemos (q y x) en
las premisas 8 y 9:
8. q
9. x
10. q ˄ x
Reglas de Equivalencia
Nombre
Abreviatura
Fórmula
Doble Negación
DN
~~ P ↔ P
Conmutación
Conm.
a) (p ˄ q) ↔ (q ˄ p)
b) (p V q) ↔ (q V p)
De Morgan
DM
a) ~(p ˄ q) ↔ (~p) V (~q)
b) ~(p V q) ↔ (~p) ˄ (~q)
Asociación
Asoc.
a) [(p ˄ q) ˄ r] ↔ [ p ˄ (q ˄ r)]
b) [(p V q) V r] ↔ [ p V (q V r)]
Distribución
Distr.
a) [p ˄ (q V r)] ↔ [(p ˄ q) V (p ˄ r)]
b) [p V (q ˄ r)] ↔ [(p V q) ˄ (p V r)]
Contraposición
Contr.
(p → q) ↔ (~q → ~p)
ImportaciónExportación
Imp.-exp.
[(p ˄ q) → r] ↔ [p → (q→ r)]
Ejercicio de equivalencia
•
•
Tomemos este
ejercicio, que consta
de 4 premisas y la
conclusión a
demostrar, la cual es
~(r V t).
De inmediato
podemos notar que
se puede aplicar un
MTP en 1 y 4
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)

Aplicamos así el MTP
y de inmediato
podemos aplicar un
MTT en 3 y 5 para
obtener la negación
de t
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

Podemos unir
conjuntivamente a
~p (premisa 5) con
~q (premisa 4). Esa
conjunción nos
servirá para aplicar
una Ley de Morgan.
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4
8. ~(p V q) D M, 7
Aplicamos la Ley de
Morgan en la premisa
7 y obtenemos
7. ~p ˄ ~q
8. ~(p V q) D M, 7

Con lo cual podemos
aplicar un MTT en 2 y
8
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y
4
8. ~(p V q) D M, 7
9. ~r
MTT, 2, 8




Al aplicar el MTT
en las premisas 2
y 8 obtenemos la
negación del
antecedente , o
sea
2. r → (p V q)
8. ~ (p Vq)
9. ~ r Por el
mencionado MTT

Ahora unimos
conjuntivamente
las premisas 9 y 6
para luego aplicar
la regla De
Morgan y obtener
así aquello que
estábamos
demostrando
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4
8. ~(p V q) D M, 7
9. ~r
MTT, 2, 8
10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6

El paso final es
aplicar a la
premisa 10 la Ley
de Morgan y
obtenemos así la
unión disyuntiva
de r y t, pero
negada. Y eso es
todo, pues
hemos llegado a
la demostración
que se solicitó.
1. ~ p V q
2. r → (p V q)
3. t → p
4. ~ q
\ ~(r V t)
5. ~ p MTP en 1 y 4
6. ~ t MTT en 3 y 5
7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4
8. ~(p V q) D M, 7
9. ~r
MTT, 2, 8
10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6
11. ~(r V t) D M, 10