Download Unidad Nº 3: CEROS de POLINOMIOS

Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Unidad Nº 3:
CEROS de POLINOMIOS
Polinomio: definición. Igualdad de polinomios. Función polinómicas. Ceros o raíces de
polinomio. Raíces de un polinomio de 1er. y 2do. grado. Ecuación algebraica de grado
superior al 2do. Grado. Ecuación recíproca de cuarto y quinto grado. Teorema
Fundamental del Álgebra. Teorema de la Descomposición Factorial Relación entre
coeficientes y raíces de un polinomio. Raíces múltiples de una ecuación algebraica.
Evaluación de raíces racionales. Determinación de raíces irracionales. Acotación de
raíces reales. Separación- Métodos numéricos de aproximación de raíces: Método
Dicotómico - Método de Newton-Raphson -Método de la secante (cuerda).
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios,
está entre los problemas más antiguos de la matemática.
Polinomio
Definición:
Sea el cuerpo F = IR o C, x una variable o indeterminada que no pertenece a F.
“Llamaremos polinomio sobre el cuerpo F en la indeterminada x” a la expresión
de la forma:
P(x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + .... + an −1 x + a n =
n
k =0
ak x n − k
Donde: a0, a1,……., an-1, an son elementos de F y los llamaremos coeficientes del
polinomio P(x).
a0 lo llamaremos “coeficiente director” y an término independiente.
• Al conjunto de todos los polinomios definidos sobre el cuerpo F, lo indicaremos
con F[x]. En particular si los coeficientes son números reales denotaremos con IR[x] y
si los coeficientes son números complejos denotaremos al conjunto de dichos
polinomios con C [x].
• Llamaremos grado de un polinomio al exponente de mayor potencia de la variable
cuyo coeficiente es no nulo.
Si a0 ≠ 0 entonces el grado del polinomio P(x) es n y denotaremos
gr P(x) = n
Si todos los coeficientes son nulos, el polinomio es “idénticamente nulo”,
es decir: P(x) = 0 y no le asignamos grado. En cambio si el único
coeficiente no nulo es a0, es decir P(x) = a0 x0 = a0 entonces el gr. P(x) = 0 y
dicho polinomio se llama polinomio constante.
•
Completar un polinomio significa escribir todos los coeficientes de las potencias
menores que la del grado del polinomio.
Por ejemplo en el polinomio: P(x) = -3x4 + 5x2 – 7
Donde el gr. P(x) = 4; a0 = -3 y
an = -7 y el polinomio completo es:
P(x) = -3x4 + 0x3 + 5x2 + 0x – 7.
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-1-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Igualdad de polinomios
n
Sean P(x) =
K =0
n
aK xn−K y
Q[x] =
K =0
bK x n−K
P(x) = Q[x] ⇔ ak = bk ∀k = 0,1, 2, ……, n
En éste caso diremos que los polinomios son idénticos.
Observemos que:
P(x) = Q[x] ⇔ P(x) - Q[x] = 0, el polinomio idénticamente nulo.
Función polinómica
n
Sea
P(x) =
K =0
a K x n − K Si sustituimos x por un número complejo α
n
obtenemos el número
K =0
aKα
n−K
que representa al “valor numérico del
polinomio” y lo indicaremos con P (α).
De este modo cada polinomio es una función:
P: C
C
α
P(α)
Si el gr P(x) = 0, es decir P(x) = a0 entonces la función polinómica es la función
constante.
Si P(x) es un polinomio real, entonces P es una función real o compleja según se
sustituya la variable por un número real o complejo respectivamente.
•
Diremos que el número complejo α es un cero o raíz de P(x) sí y sólo sí
P(α) = 0
Por ejemplo si: P(x) = x2 + 2x – 8
P(2)= 22 + 2.2 – 8 = 0 y P(-4) = (-4)2 + 2(-4) – 8 = 0
Luego 2 y -4 son raíces de P(x)
n
•
Hallar los ceros del polinomio P(x) =
n
K =0
K =0
a K x n − K o resolver la ecuación
a K x n − K = 0 será exactamente lo mismo. Por lo que:
Los ceros de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
n
α ε C es un cero de P(x) ⇔
K =0
aKα
n−K
=0
El conjunto Op = {α
α ∈ C / P(α
α) = 0} es el conjunto de ceros o raíces del polinomio
P(x) o las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-2-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Antes de encontrar los ceros de un polinomio recordemos el “Algoritmo de la
división” para polinomios:
Si P(x) y Q(x) ∈ F[x] y si Q(x) ≠ 0 entonces existen polinomios únicos C(x) y R(x)
tales que: P(x) = Q(x) C(x) + R(x), donde R(x) = 0 o el gr R(x) < gr Q(x).
El polinomio C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de P(x) entre Q(x)
Un caso especialmente útil del algoritmo de la división se presenta cuando se
divide un polinomio P(x) entre x - α, donde α ∈ IR. Si P(x) es divisible por x - α es
decir x - α es un factor de P(x) entonces:
P(x) = (x - α ). C(x) para algún cociente C(x) y resto R(x) = 0
Si x - α no es factor de P(X) entonces gr R(x) < gr (x - α) y por lo tanto
gr R(X) ≠ 0 Esto significa que el resto es un número distinto de cero y en
consecuencia tenemos que:
P(x) = (x - α ). C(x) + k con k ≠ 0
Si sustituimos x por α obtenemos:
P(α) = (α - α ). C(α) + k = k
Esto demuestra el Teorema de Resto
Si un polinomio P(x) se divide entre x - α entonces el Resto es P(α).
P(α) = 0 sí y sólo sí P(x) tiene un factor x - α
Si P(α) = 0 entonces P(x) = (x - α) C(x) entonces α es una raíz de P(x), si β es
otra raíz de P(x) distinta de α entonces β es raíz C(x). Luego el cociente C(x)
contiene a todas las restantes raíces de P(x).
Para obtener el cociente de un polinomio P(x) entre x - α podemos utilizar el
método de la división sintética conocida también como Regla de Ruffini (como es
conocida por los alumnos).
Con éstos conocimientos básicos vamos a comenzar a analizar los ceros de
polinomios
Raíces de un polinomio de primer y segundo grado
P(x) = a0 x + a1
Si n = 1
Evidentemente admite una raíz α =
Luego 0P = {
− a1
pues P(α) = a0
a0
(
− a1
a0
) + a1 = 0
− a1
}
a0
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-3-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
P(x) = a0 x2 + a1x + a2
Si n = 2
Buscamos los números α tal que P(α) = 0
a0 α2 + a1 α +a2 =0
Los números que verifican esta igualdad también verifican:
4a02 α2 + 4a0 a1 α +4a0a2 = 0
4a02 α2 + 4a0 a1 α + a12 = a12 - 4a0a2
( 2a0 α + a1 ) 2 = a12 - 4a0a2
2
α=
− a 1 ± a 1 - 4a 0 a 2
2a 0
Esta expresión permite determinar las dos raíces α1 y α2.
Si los coeficientes de esta ecuación de segundo grado son números reales, y
llamando ∆ = a12 - 4 a0 a2 , la ecuación tiene:
∆ >0
dos raíces reales e iguales, si ∆ = 0
dos raíces complejas conjugadas, si ∆
dos raíces reales y distintos, si
<0
Además las raíces verifican las propiedades:
− a1
a2
α1 + α2 =
y
α1 . α2 =
a0
a0
Ecuaciones algébricas de grado superior al segundo
Vimos cómo obtener las raíces de ecuaciones de 1º y 2º grado. Ahora tendremos
que seguir analizando para ver cómo obtener las raíces de ecuaciones superiores al 2º
grado.
Las raíces de las ecuaciones de tercero y cuarto grado pueden calcularse para el
caso general, mediante un proceso trabajoso con radicales. Es decir existen expresiones
para resolver las ecuaciones:
a0 x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3 = 0
a0 x 4 + a1 x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4 = 0
Demostraremos más adelante que la ecuación de tercer grado tiene tres raíces, la
de cuarto grado cuatro raíces y en general, una ecuación de grado n tiene n raíces.
Sobre éste tema se han investigado desde la antigüedad, desarrollándose diversas
teorías para calcular mediante fórmulas, las raíces de ecuaciones.
Se crearon métodos que permiten encontrar las raíces de ecuaciones particulares
y se inventaron algoritmos que dan valores aproximados de las raíces reales de
ecuaciones con coeficientes reales.
Matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano, Ferrari, en el siglo XVI
encontraron fórmulas con radicales que permiten calcular raíces de grado menor o igual
a cuatro. Pero el matemático noruego, Abel demostró en 1824 que una ecuación de
grado 5º o mayor no es resoluble por fórmula, es decir, no sólo no se conoce fórmulas
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-4-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
sino que no vale la pena buscarlas porque no existen ( Ruffini lo había intentado
en1799). El matemático francés Galois dio condiciones necesarias y suficientes para
determinar cuando una ecuación de grado n cualquiera es resoluble por radicales. Esta
es la llamada Teoría de Galois.
Ecuaciones Particulares
Analizaremos algunos casos particulares de ecuaciones en los que es posible
hallar la expresión de sus raíces.
Los coeficientes de las siguientes ecuaciones son números complejos.
I) a0 x n + an = 0 , a0 0
a
a
x n = − n o sea las raíces enésimas de − n que sabemos que son n
a0
a0
x= n−
an
a0
II ) Ecuaciones BICUADRADAS
ax 2 n + bx n + c = 0 , a ≠ 0
Sustituyendo xn = u tendremos la ecuación au 2 + bu + c = 0 que tiene dos
raíces: u1 y u2
Cada una de las ecuaciones xn = u1 y xn = u2 tiene n soluciones ellas son las 2n
raíces de la ecuación dada.
Ejemplo: Resolver la ecuación x 4 − 5 x 2 + 4 = 0
Llamamos u = x2 y sustituimos en la ecuación, obteniendo:
u 2 − 5u + 4 = 0 que es una ecuación de 2º grado en la variable u.
Resolvemos u 2 − 5u + 4 = 0
u1, 2 =
u1 =
+ 5 ± ( −5) 2 − 4 .1. 4
2 .1
+5+3
= 4 → u1 = 4
2
=
+ 5 ± 25 − 16 + 5 ± 9 + 5 ± 3
=
=
2
2
2
u2 =
+5−3
= 1 → u2 = 1
2
Reemplazamos u por x2 para obtener las cuatro raíces:
u1 = 4
x2 = 4
u2 = 1
x1,2 = ± 4
x2 = 1
x3,4 = ± 1
Por lo tanto las raíces son:
OP = {2, -2, 1, -1}
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-5-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
III) Ecuaciones RECÍPROCAS
•
De cuarto grado
ax 4 + bx3 + cx 2 + bx + a = 0
Multiplicando por
a x2 +
1
1
1
: ax 2 + bx + c + b + 2 a = 0
2
x
x
x
1
1
+b x+
+c = 0
2
x
x
Sustituyendo u = x +
1
x
u2 = x 2 + 2 +
1
x2
, x2 +
1
= u2 – 2
2
x
Se tiene a (u2 -2) + bu +c = 0
au2 + bu + c -2 a = 0 y sus raíces son u1 y u2,
por lo cual u1 = x +
1
x
y u2 = x +
1
x
entonces x u1 = x2 +1 y x u2 = x2 +1
x2 – x u1 +1 = 0 y x2 – x u2 + 1 = 0
con raíces x1, x2
y con raíces x3, x4
que son las cuatro raíces de la ecuación dada.
•
De quinto grado
Caso 1:
ax 5 + bx 4 + cx3 + cx 2 + bx + a = 0
Es evidente que α = -1 es raíz de la ecuación.
P(x) = (x + 1) Q(x),
Q(x) es un polinomio recíproco de cuarto grado.
Verifique efectuando la división de P(x): (x + 1).
Como verificaron Q(x) = 0 es una ecuación recíproca de cuarto grado y se
resuelve con el procedimiento anterior. Por lo tanto se obtienen las cinco raíces
de la ecuación dada.
Caso 2:
ax 5 + bx 4 + cx3 − cx 2 − bx − a = 0
En este caso α = 1 es raíz de la ecuación, se procede como en el caso anterior y
se obtiene una ecuación recíproca de cuarto grado. Al resolverla se obtiene las
cinco raíces buscadas.
En los dos casos de la ecuación recíproca de quinto grado, suponiendo a > 0, se
admite una raíz ± 1, de signo contrario al término independiente.
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-6-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Ejemplo: Resolver la ecuación x 5 + 3 x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 1 = 0
Como podemos observar, es una ecuación recíproca de 5º grado, caso 2. Por lo
tanto α = 1 es una raíz.
1
1
1
3
-2
2
-3
-1
1
4
2
4
1
4
2
4
1
0
P ( x) = x 5 + 3 x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 1 = ( x − 1).( x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 1)
donde x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 es una ecuación recíproca de cuarto grado.
Resolvemos esta ecuación:
1 1
1
Multiplicando por 2 : x 2 + 4 x + 2 + 4 + 2 = 0
x
x x
1
1
x2 + 2 + 4 x +
+2=0
x
x
1
Sustituyendo u = x +
x
1
1
u2 = x 2 + 2 + 2 , x 2 + 2 = u2 – 2
x
x
Por lo tanto
Se tiene a (u2 -2) + 4 u + 2 = 0
u2 + 4 u = 0 y sus raíces son u1 = 0 y u2 = - 4
por lo cual u1 = x +
0 = x+
1
x
y u2 = x +
1
x
y
1
x
- 4 = x+
1
x
entonces x . 0 = x2 +1 y x . (- 4) = x2 +1
x2 +1 = 0
x1,2 = - 1
x1 = + i
x2 + 4 x + 1 = 0
y
y
; x2 = − i
−4 ± 12
Luego:
2
−4 + 12
−4 − 12
; x3 =
= − 2 + 3 y x4 =
= −2 − 3
2
2
x3,4 =
El matemático alemán Kart Friedrich Gauss, considerado por muchos como el
matemático más grande de todos los tiempos, demostró en 1799 que todo polinomio a
coeficientes complejos tiene al menos una raíz. A éste teorema se lo conoce como:
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-7-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA (TFA)
“Todo polinomio de grado no nulo a coeficientes complejos tiene al menos
una raíz”.
Para su demostración se requiere resultados avanzados del campo de la
matemática, por lo cual no demostraremos en este curso.
El Teorema Fundamental del Álgebra hace posible expresar a todo polinomio
P(x) con n > 0 como un producto de polinomios de grado 1, llamado:
TEOREMA DE LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Se enuncia de la siguiente manera:
Si P(x) ∈ C[x] es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n números
complejos α1, α2, …….. , αn tales que:
P(x) = a0 (x - α1) (x - α2)…... (x - αn) = a0
n
∏ (x −α )
i =1
i
Donde a0 es el coeficiente director de P(x) y cada número complejo αk es raíz de
P(x)
Demostración: Para ello utilizaremos el Principio de Inducción completa con
respecto al grado del polinomio (P.I.C).
Para n =1 P(x) = a0 x + a1 ⊗
Por el TFA P(x) tiene por lo menos una raíz sea α1 entonces
P (α1) = a0α1 + a1 = 0 entonces a1 = - a0α1
Reemplazando en ⊗ P(x) = a0 x - a0α1 = a0 (x - α1)
Luego es Verdadero para n = 1 pues P(x) = a0 (x - α1)
Supongo V para n = h (Hipótesis inductiva)
Es decir aceptamos que la propiedad se verifica para el grado de P = h
Probaremos para n = h + 1 es decir:
Si el gr. P(x) = h + 1, por el TFA P(x) tiene al menos una raíz sea α1 y por el
Algoritmo de la división P(x) = Q(x) (x - α1) * Como el polinomio cociente Q(x)
contiene las restantes raíces de P(x) y el gr Q(x) = h. cuyo coeficiente director
es a0.
Entonces por hipótesis inductiva
Q(x) = a0 (x - α2) (x - α3)…... (x - αh+1) = a0
h +1
∏ (x −α )
i=2
i
Luego sustituyendo en *
P (x) = a0 (x - α1) (x - α2)…... (x - αh+1) = a0
Con lo que queda probado para ∀n ∈ IN
h +1
∏ (x −α )
i =1
i
Ahora vamos a probar que:
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-8-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
“Un polinomio de grado n >0 tiene a lo sumo n ceros”
Daremos una demostración indirecta (Por el contrarecíproco)
Supongamos que P(x) tiene más de n ceros complejos diferentes. Si el gr P(x) =n
y considerando que tiene n+1 ceros: α 1, α 2,….., α n, α Por el Teorema de
Factorización y sustituyendo x por α :
P (x) = a0 (x - α1) ( x - α2) …...( x - αn)
P ( α ) = a0 ( α - α1) ( α - α2) …...( α - αn) = 0
Sin embargo P( α ) 0 pues a0 0 y α α k ∀ k = 1, 2, ….., n
Esta contradicción se obtuvo al suponer que tiene más de n ceros.
Con lo cual afirmamos que:
∀ P(x) ∈C[x] / gr P(x) = n tiene exactamente n raíces.
Las raíces α 1, α 2,….., α n no son necesariamente todas distintas.
Si un factor (x - α ) se presenta k veces en la factorización entonces α es una raíz
de multiplicidad k.
Observación:
Todo polinomio de grado n puede descomponerse en un producto de n + 1
factores, uno de los cuales es el coeficiente director a0 y los otros n son
binomios de primer grado (binomios irreducibles).
• Todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces y no se excluye que haya
binomios iguales.
•
Ejemplo:
P(x) = 3 (x – 1) (x – 1) (x – 1) (x + 3) (x + 3) (x + 5) = 3 (x – 1)3 (x +3)2 (x + 5)
α1 = 1 es una raíz múltiple cuyo orden de multiplicidad es 3
α2 = -3 es una raíz doble
α3 = -5 es una raíz simple (no múltiple)
En general:
Si α 1, α 2,….., α r son las raíces distintas de P (x) cuyos ordenes de
multiplicidad son k1, k2, … ,kr respectivamente, entonces
P(x) = a0 (x - α1) k1 ( x - α2) k2 …...( x - αn) kr /
k1 + k2 + … + kr = n
Ejemplo:
Determinar los ceros del siguiente polinomio y expresar como producto lineales:
P(x) = x5 – 4x4 + 13 x3 comenzando por factorizar x3
P(x) = x3 ( x2 – 4x + 13) .
Aplicando la fórmula para la ecuación de 2º grado, obtenemos las raíces 2 ± 3i.
Por lo tanto, el polinomio factorizado es:
P(x) = x3 ( x – 2-3i) (x – 2+3i)
Dado que x – 0 se presenta 3 veces como factor, el número 0 es una raíz
de multiplicidad 3 y las restantes raíces son: 2+3i y 2-3i
.
Como podemos observar en éste polinomio de coeficientes reales tiene dos
raíces complejas conjugadas: 2+3i y 2-3i. Esta relación no es casual , puesto que el
siguiente resultado general es verdadero.
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
-9-
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
TEOREMA sobre PAREJAS de CEROS CONJUGADOS de un POLINOMIO A
COEFICIENTES REALES
b
Si un polinomio P(x) de grado n > 1 tiene coeficientes reales y si z = a + bi con
0 es un cero de P(x), entonces z = a – bi también es cero de P(x)
Demostración:
P(x) = a0 x n + a1 x n −1 + .... + an −1 x + a n / ak ∈IR con k = 0,1,…, n y
Como z = a + bi es un cero,
P (z) = a0 z n + a1 z n −1 + .... + an −1 z + a n = 0
Utilizando las propiedades de la conjugación:
P ( z )= a0 z n + a1 z
n −1
+ .... + an −1 z + a n =
n
k =0
ak z
n−k
=
n
k =0
ak z n − k = P ( z ) = 0 = 0
Consecuencias:
• El número de raíces complejas de un polinomio a coeficientes reales es par.
• Si un polinomio a coeficientes reales es de grado impar, tiene por lo menos una
raíz real
• Si las raíces complejas z es de multiplicidad m su conjugada también tiene
multiplicidad m.
RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES DE UN POLINOMIO
Sea el polinomio: P(x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + .... + an −1 x + a n con a0 0
Si α 1, α 2, α3,….., α n son las raíces del polinomio, entonces:
a
S1 = α 1 + α 2 + α3 +…. + α n = − 1
a0
S2 = α 1 α 2 + α 1 α 3 +… + α 1 α n + α 2 α 3 +…+ α 2 α n +…+ α n-1 α n =
S3 = α 1 α 2 α 3 + α 1 α 2 α 4 +…+ α 1 α 2 α n +… + α n-2 α n-1 α n = −
a2
a0
a3
a0
……………………………………………………………
a
Sn = α 1 α 2 α3…. α n = (−1) n n
a0
Siendo ∀ x ∈ C
a0 x n + a1 x n −1 + ... + .... + an −1 x + a n = a0 (x - α1) (x - α2) …...(x - αn)
O equivalente:
a1 n −1
a
a
x + ... + .... + n −1 x + n = (x - α1) (x - α2) …...(x - αn)
a0
a0
a0
Se puede probar aplicando el Principio de Inducción Completa que:
xn +
(x - α1) (x - α2)…... (x - αn) = x n - S1 x n −1 + S 2 x n − 2 - ...... + (−1) n Sn
DETERMINACIÓN DE RAÍCES REALES
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 10 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
En general, la evaluación o determinación de raíces reales de una ecuación
algebraica es una tarea complicada. Por lo que es conveniente conocer algunos métodos
para encontrarlas.
En éstos últimos temas de la unidad nos ocuparemos en hallar las raíces reales
solamente.
La investigación de encontrar las raíces reales de una ecuación algebraica de
coeficientes enteros se resuelve teniendo en cuenta las siguientes etapas
1. Acotación: consiste en encontrar un intervalo del eje real que contenga todas las
raíces reales de la ecuación. Este proceso se llama “ Acotación de raíces”
2. Determinación de las raíces enteras y fraccionarias: únicamente cuando los
coeficientes de las ecuaciones son números racionales es posible, mediante
verificaciones metódicas, encontrar las raíces enteras y fraccionarias, si además
tiene raíces irracionales, se debe proceder a:
3. Separación de raíces reales: consiste en obtener subintervalos del intervalo de
acotación de modo que cada intervalo parcial contenga una sola raíz. Esta puede
ser de gran dificultad ya que alguna puede esta muy próxima.
4. Aproximación: utilizar procesos iterativos para obtener aproximación de las
raíces reales.
1. ACOTACIÓN
Dado un polinomio P(x), se procede a determinar un intervalo (l, L) de acotación
tal que en él se encuentren todas las raíces reales.
Un número real L se denomina cota superior de los ceros de la ecuación
P(x) = 0 si ninguna de las raíces es mayor que L. Análogamente, un número real l se
denomina cota inferior de las raíces reales de P(x) = 0 si ningún cero es menor que l.
Para encontrar las cotas superior e inferior de las raíces reales de la ecuación se
aplica el siguiente TEOREMA.
Criterio de LAGUERRE o teorema de cotas para ceros reales de
polinomios.
Sea P(x) un polinomio:
P(x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + .... + an −1 x + a n / ai ∈ ∀ i = 0, 1,…, n y a0 > 0
Si en la división de P(x) por (x – L) todos los coeficientes del cociente y el resto
son positivos, entonces L es una cota superior de las raíces reales de P(x).
Demostración: Por el algoritmo de la división
P(x) = Q(x) (x – L) +R y por hipótesis todos los coeficientes de Q(x) y R son
positivos.
Si suponemos que α es raíz y α > L, tendremos que es imposible que P ( α ) se
anule. Luego toda raíz α es menor o igual L.
En forma similar se prueba que:
Si se divide P(x) entre (x – l) y si l < 0 el cociente y el resto son alternativamente
positivos y negativos entonces l es una cota inferior de las raíces reales de P(x).
Ejemplo:
P(x) = 2x3 + 5x2 - 8x – 7
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 11 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
2
5
1
-8
2
2
-7
2
7
2
-1
7
2
5
-8
-7
4
18
20
9
10
13
No hay garantía que pueda toma L = 1
Luego se puede toma la cota L = 2
Ahora busquemos una cota inferior:
Probamos para -1, no hay garantía que sirva como cota inferior; para -2
tampoco, ni -3, recién para l = -4 resulta:
2
5
-8
-7
-4
-8
-3
2
12
4
-16
-23
Luego l = -4 y el intervalo se acotación es (-4, 2)
Observamos que en la práctica se eligen valores enteros crecientes hasta lograr
obtener que los coeficientes sean alternativamente positivos y negativos.
2. DETEMINACIÓN DE RAÍCES RACIONALES
Si P(x) = 0 es una ecuación algebraica con coeficientes racionales es posible
calcular exactamente sus raíces racionales. Podemos suponer que los coeficientes de la
ecuación son números enteros, pues en caso contrario se multiplica la ecuación por el
mínimo común múltiplo de todos los denominadores de los coeficientes faccionarios.
La nueva ecuación tiene las mismas raíces que la anterior:
P ( α ) = 0 sí y sólo si h. P ( α ) = 0
Para polinomios a coeficientes enteros tenemos el siguiente criterio.
Teorema de Gauss
Sea P(x) =
n
k =0
ak x n − k un polinomio a coeficientes enteros.
Si la fracción irreducible
p
es raíz del polinomio P(x) entonces p es divisor de
q
an y q es divisor de a0.
Demostración:
p
p
Si
es raíz de P(x) entonces P ( ) = 0 o sea
q
q
a0
p
q
n
+ a1
p
q
n −1
+ ... + an −1
p
+ a n = 0 multiplicando por qn
q
a0 p n + a1 p n −1q + .... + an −1 pq n −1 + a n q n = 0
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 12 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Entonces
a0 p n = − q ( a1 p n −1 + .... + an −1 pq n − 2 + a n q n −1 )
− p (a0 p n −1 + a1 p n − 2 q + .... + an −1 q n −1 ) = a n q n
Las cantidades entre paréntesis son números enteros N1 y N2, entonces
a0 n
p = - N1
a0 p = -q N1
q
a
− pN 2 = a n q n
− N2 = n qn
p
p
Como N1 y N2 ∈ Z y como la fracción
es irreducible entonces
q
p es divisor de an y q es divisor de a0.
n
p
sea una
q
raíz racional o sea que los “candidatos” a numerador son los divisores del término
independiente y los “candidatos” a denominador son los divisores del coeficiente
director.
Este criterio da una condición necesaria pero no suficiente para que
Ejemplo:
Sea P(x) = 4 x3 – 24x2 + 23x +18
p es divisor de 18: ± 1, ± 2, ± 3, ±6, ±9, ±18
q es divisor de 4 : ±1, ±2, ±4
Luego las posibles raíces son:
p
1
1
3
3
9
: ± , ± , ± , ± , ±
q
2
4
2
4
2
1
Verifique aplicando la Regla de Ruffini que: - es una raíz, obteniendo como
2
cociente la ecuación 4x2 – 26 x + 36 = 0 o bien 2 x2 – 13 x + 18 = 0 y las raíces de ésta
9
ecuación son:
y 2.
2
1
9
La descomposición factorial es: P(x) = 4 (x + ) (x - ) (x -2)
2
2
Ya vimos cómo encontrar un intervalo donde se encuentran todas las raíces
reales de una ecuación algebraica. Ahora veremos cómo obtener subintervalos donde se
encuentre una sola raíz. Esto consiste en:
3. SEPARACIÓN DE RAÍCES REALES
Tanto el proceso de separación como el de aproximación de raíces se basan en
resultados del Análisis Matemático. Sabemos que la función polinomial es continua
para cada x0 .
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 13 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
TEOREMA de BOLZANO, también llamado TEOREMA del VALOR MEDIO
Si P(x) asume valores de distintos signos en los extremos del intervalo [ a, b ]
entonces existe al menos una raíz α de la ecuación P(x) = 0 en el intervalo (a, b ).
P (a). P (b) < 0
∃α ∈ (a, b) / P (α ) = 0
Interpretación gráfica:
P( x) continua en [a, b]
y
P(a ) 0 ∧ P (b) 0
∴ P (a ) . P(b) 0
P(a)
a
b
∃α ∈ (a, b ) / P(α ) = 0
x
P(b)
El método de separación consiste en utilizar éste teorema para lograr subintervalos
del intervalo de acotación que sean suficientemente pequeños en los cuales se encuentre
sólo una raíz. Este proceso puede resultar muy trabajoso ya que si dos raíces son muy
próximas es prácticamente imposible separarlas.
Ejemplo:
Separar las raíces del polinomio P(x) = x3 -3x2 -2x + 1
Hallamos el intervalo de acotación (-1, 4)
Observamos que P (-1) < 0; P(0) > 0; P(1) < 0; P(2) < 0; P(3) < 0; P(4) > 0
Por suerte hemos podido separarlas, las tres raíces se encuentran en los intervalos:
-1 < α 1< 0 ;
0<α2<1 ,
1 < α3<4
Observación:
• Si el polinomio tiene el mismo signo en los extremos de un intervalo, hay en el
intervalo un número par de raíces o ninguno.
• Si conocemos de la existencia de una raíz real α en un intervalo se trata de
lograr una determinación exacta o aproximada de la misma.
APROXIMACIÓN DE RAÍCES IRRACIONALES
Sabemos que si P(a). P (b) < 0 entonces existe una raíz en el intervalo (a, b).
Deseamos obtener un valor aproximado para α tratando que el error que se cometa sea
menor que un cierto número dado (muy pequeño). Existen variados métodos para
lograrlo.
MÉTODO DICOTÓMICO O DE BISECCIÓN
Este método también llamado del punto medio permite resolver ecuaciones no
lineales de la forma f(x) = 0. Es uno de los métodos llamados de “convergencia
asegurada” ya que si se cumplen las hipótesis del trabajo los resultados que se obtienen
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 14 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
convergen a la raíz buscada. Aunque es lento ya que se necesitan muchas iteraciones
para lograr una buena aproximación.
Por subdivisiones sucesivas del intervalo (a, b) dado, se logrará un subintervalo
que contiene la raíz buscada y cuya amplitud es menor que un número ∈ determinado.
Proceso: Si el signo de P(a) signo de P(b), consideramos el punto medio
a+b
comparamos el signo de P(c) con el signo del polinomio en los extremos.
c=
2
Seleccionamos el subintervalo donde se produce el cambio de signo (en él esta la raíz).
Repetimos el procedimiento en este subintervalo, calculando el punto medio y
seleccionando nuevamente el subintervalo donde se produce el cambio de signo. Luego
de un cierto número de reiteraciones, la raíz esta en un intervalo suficientemente
pequeño (ah, bk). Elegimos como raíz aproximada el punto medio de dicho intervalo.
Por ejemplo: En el caso de la siguiente figura, la raíz que buscamos esta en el intervalo
(c, b) pues el signo de P(c) signo de P(b). Repetimos el proceso en el intervalo (c, b) y
luego de un número de reiteraciones, la raíz esta en un intervalo suficientemente
a +b
pequeño (ah, bk) tal que el punto medio h h ´= α ∗
2
El error que se comete puede acotarse:
a +b
∈= α − α ∗ ≤ h h
2
y
P(b)
a
c
*
P(c)
b
x
P(a)
Ejemplo:
En el polinomio: P(x) = 12x4 - 11 x3 - 22 x2 + 22x – 4
Separar las raíces reales, hallar los intervalos de acotación, elegir uno cualquiera
y aproximar al menos una raíz. Estimar el error.
Hallamos el intervalo de acotación (-2,2)
P(-2) = 144 >0
P(1/2) = 7/8 > 0
P(2) = 56 > 0
P(-1) = -25 < 0
P(1) = -3
Hemos podido encontrar los cuatro intervalos donde se encuentran las raíces
-2 < α 1< -1 ;
-1 < α 2 < 1/2 ,
1/2 < α 3 < 1, 1 < α 4 < 2
Elegimos el intervalo α 4 = (1, 2)
P(a) = P(1) = -3 < 0
P(b) = P(2) = 56 > 0
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 15 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Ahora encontramos el punto medio entre a y b, es decir entre los extremos del
a + b 1+ 2 3
intervalo: c =
=
=
2
2
2
3
Calculamos P(c) = P
>0
2
3
3
La raíz está entre 1 y , el nuevo intervalo es (1, ) = (a, c)
2
2
3 5
1+
2=2=5
Encontramos el punto medio c`=
2
2 4
5
Calculamos P
< 0 Luego la raíz α está entre c´ y c . El error
4
3 5
−
1
∈= α − α ∗ ≤ 2 4 = = 0,125
2
8
5 3
+
c
´
+
c
17
≅ 4 2≅
≅ 1, 0625
α∗ ≅
2
2
16
MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON o (Método de las tangentes)
Supongamos que la función polinomial P(x) =
n
k =0
ak x n − k con a0
0 tenga un
cero en cierto intervalo (a, b), además es una función derivable y su derivada es una
función de grado n – 1 que también es derivable.
Este método consiste en la búsqueda de raíces, para ello se determina la
ecuación de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente al extremo
seleccionado. Se considera el extremo del intervalo en el cual el signo de la derivada
segunda coincide con el signo del polinomio en el extremo, por ejemplo (a, P(a)).
La recta tangente a la curva en dicho punto tiene por ecuación:
y – P(a) = P´(a) (x – a)
y
•
P(b)
a
1
P( 1)
P(a)
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
2
•
•
1
b
x
•
- 16 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
El punto de intersección de la recta con el intervalo (a, b) es una primera
aproximación 1 de la raíz .
P (a )
P´(a )
Se repite el proceso trazando la tangente en el punto ( 1, P( 1) ).
Reiterando se logran mejores aproximaciones 2, 3, … , n. Es un método de
convergencia rápida.
1
•
•
=α−
Este método puede aplicarse sin analizar previamente el extremo de trabajo. Se
toma cualquiera de ellos y se calcula la intersección de la recta tangente a la
curva con el eje de abscisas. El valor obtenido se elige como valor inicial y se
realizan las sucesivas reiteraciones.
Es un método de “convergencia condicionada”, en casos excepcionales puede
converger, alejándose de la solución. Puede aplicarse con algún recurso que
permita lograr intervalos de amplitud reducida que contengan la raíz, con el
objeto de acotar el error que se comete en las aproximaciones.
MÉTODO DE LA CUERDA O REGLA DE LA FALSA POSICIÓN
Es conocido también como método de la secante o método de la interpolación
lineal inversa o método de las partes proporcionales.
Tracemos la recta que une los puntos (a, P(a)) y (b, P(b)). La cuerda que une
estos puntos intersecta al eje x en una 1ª aproximación de la raíz .
P(b) − P(a )
Su ecuación es: y − P(b) =
( x − b) ,
b−a
( 1, 0)
la intersección con el eje x: y = 0
− P(b) =
α1 = b −
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
P(b) − P(a)
(α 1 − b)
b−a
P(b)
P(b) − P(a )
b−a
- 17 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
y
•
P(b)
•
a
2
P(a)
1
b
x
•
Reiterando el proceso se obtendrán los valores 1, 2, 3,…, n. Es un método de
“convergencia asegurada”, aunque resulta más lento que el método anterior.
Ejemplo
Considerando el polinomio P(x) = 12x4 - 11 x3 - 22 x2 + 22x – 4 y trabajando
con la raíz que aproximamos por el método anterior 4 = (1, 2)
P(a) = P(1) = -3
y
P(b) = P(2) = 56
Tracemos la recta que une los puntos (a, P(a)) =( 1, -3) y (b, P(b)) = (2, 56)
56 − (−3)
y+3=
y = 59( x − 1) − 3
( x − 1)
2 −1
y = 59 x − 62
La intersección con el eje x, y= 0, obtenemos una primera aproximación de la
raíz:
59x – 62 = 0 x= 1 = 62/59 = 1,05
1 = 1,05
P ( 1) = P(1,05) - 3,30
Reiterando el proceso, ahora con la recta que pasa por los puntos:
(b, P(b)) = (2, 56) ( 1, P ( 1)) = (1,05 , -3,3)
56 + 3,3
y + 3,3 =
( x − 1, 05)
2 − 1, 05
59,3
y=
( x − 1, 05) − 3, 3 = 1186( x − 1, 05) − 3,3
0, 05
y = 1186 x − 1248, 6
La intersección con el eje x, y= 0, obtenemos una segunda aproximación de la
raíz:
1186 x − 1248, 6 = 0
1248, 6
≅ 1, 0527825
1186
Logrando una mejor aproximación.
x = α2 =
La combinación del método de la tangente con el método de la cuerda permite
obtener dos sucesiones de valores aproximados de la raíz.
Método de la tangente: 1, 2, 3,…, n
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 18 -
FCEyT - UNSE
Álgebra y Geometría Analítica
UNIDAD Nº 2: Ceros de Polinomios
Año 2010
Método de la cuerda: 1, 2, 3,…, n
El intervalo (α 1 , β1 ) ⊂ (a , b ) nos da una mejor aproximación de la raíz
Podemos reiterar el procedimiento obtenido:
... ⊂ (α 3 , β 3 ) ⊂ (α 2 , β 2 ) ⊂ (α 1 , β 1 ) ⊂ (α , β )
Lic. Silvia Suárez de Rodríguez
- 19 -
FCEyT - UNSE
.