Download ejercicios de refuerzo para alumnos con las

IES Serpis
Valencia
Matemáticas pendientes de 1º (2º parcial)
1
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS
PARA ALUMNOS CON LAS
MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES
2º PARCIAL
Fecha tope para entregarlos: 17 de abril de 2015
Examen el 23 de abril de 2015
I.E.S. SERPIS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Matemáticas pendientes de 1º (2º parcial)
IES Serpis
Valencia
Álgebra. Ecuaciones de primer grado
Un monomio es una expresión algebraica formada por un producto de números y letras. Un polinomio es
una expresión algebraica formada por una suma de monomios.
Ejercicio nº1.- Expresa de forma algebraica los siguientes enunciados matemáticos:
a La suma de un número, a, y su doble.
b El triple de la mitad de un número, n.
c El área de un cuadrado de lado a.
Ejercicio nº 2.- Expresa de forma algebraica los siguientes enunciados matemáticos:
a El triple de sumar siete a un número, n.
b El número siguiente al número natural x.
c El doble de restar quince a un número, n.
Ejercicio nº 3.- Rodea con un círculo aquellas expresiones algebraicas que sean monomios.
6x3  3y4
6ab
7y5  4x3
5xyz
2y3
Ejercicio nº 4.- Rodea con un círculo aquellas expresiones algebraicas que sean monomios.
7xyz
5xy
2x5  3y3
9xy2
4x2  3y
Ejercicio nº 5.- Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado de cada
monomio:
MONOMIO
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
GRADO
2
5x y
 7 yz 5
5
 x 2y 4
6
Ejercicio nº 6.- Rodea con un círculo los monomios que sean semejantes en cada serie:
3x 3y 2
2x2y
- 5x 3y 2
-3 x 2 y
5 xy 2
4x 2y
2 xy
6a 2 b
Ejercicio nº 7.- Opera y reduce:
a) 2a + 8a - 6a - 3a + 6a =
b) 9b + 7a - 6b - 3a - 2a - 2b =
c) 9 x 3 - 7 xy 2 - 4 x 3 - 5 x 3 + 5 xy 2 + 9 xy 2 + 3 x 3 =
d) 2a + 7a - 3a - 5 a + 4 a =
e) 5b + 7a - 8b - 9a + 3a + 5b =
f) 5 x 3 - 4 xy 2 + 9 x 3 - 4 x 3 + 5 xy 2 + 6 xy 2 - x 3 =
9 xz
- x3y 2
3 2
x y
5
6y 3 z 2
2
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Ejercicio nº 8.- Opera y reduce:
a) ( 3a ) × ( 5b ) =
(
)
b) 5 x 2 y × ( 3 xy ) =
æ2 ö
c) ( 6ab ) × ç ab ÷ =
è3 ø
d) ( -2b ) × ( -2a ) =
(
)(
)
e) 3 x 2 y 2 × - 2 x 3 y =
æ1
ö æ1
ö
f) ç a 2 b ÷ × ç a 3 b 2 ÷ =
è3
ø è2
ø
Ejercicio nº 9.- Opera y simplifica:
12 x 2 y 2
=
3 xy
a)
( )
y ) : ( 6x y ) =
b) ( 9 x ) : 3 x 2 =
(
c) 3 x 2
d)
2
6x 4 y 3z3
=
2x 3y 2z 3
(
)(
)
f) ( 20a b c ) : ( 4a b c ) =
e) 25a 4 b 3 : 5a 3 b =
3
3
2
4
2
2
Ejercicio nº 10.- Halla en cada caso, el valor de x que es solución de la ecuación:
a 3x  4  10 
b 5x  6  9 
x
x
c 5x  4  6 
d 2x  4  2 
x
x
Ejercicio nº 11.- Completa la tabla señalando los miembros y los términos de cada ecuación:
ECUACIÓN
PRIMER MIEMBRO
SEGUNDO MIEMBRO
3x  5  2x  4
2x  3  5 x
x  6  2x  4
Ejercicio nº 12.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 8 = 3 x + 4
b) 3 x + 4 = 5 x - 2
c) x + 3 = 2 x + 1
d) 4 x + 2 = 5 x - 1
Ejercicio nº 13.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 ( x - 1) = 4 x - 3
b) - 5 ( x + 3 ) + 8 ( x + 2 ) = 10
c) 11 - ( x + 7 ) = 3 x - ( 5 x - 6 )
d) 3 ( x - 1) + 4 ( x + 1) = 22
TÉRMINOS
3
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Ejercicio nº 14.3x
4x
+4 =
+3
2
2
x x x
b) + = + 3
3 6 4
2x
x
c)
+2 = +5
3
3
x 3 x
d) + = + 1
2 8 4
a)
Ejercicio nº 15.a) 2 ( x - 3 ) + 3 ( x - 4 ) = 12
b) 6 ( x - 2 ) - 3 x = 2 ( x - 2 ) + 3
2x
5x
+5 =
+2
3
3
x x
d) + + 7 = 15
5 3
c)
Soluciones
1.- a) a + 2a, b) x + 1, c) a 2 2.- a)3(n+7), b)
3n
, c) 2(n - 15) 3. - 6ab , 5xyz , 2y 3
2
4. - 7xyz , 5xy , 9xy 2
5. MONOMIO
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
GRADO
5x 2 y
-7yz5
5
-7
x2 y
yz5
3
6
5
6
x2 y 4
6
5
- x2 y 4
6
-
6
7.- a) 2a + 8a - 6a - 3a + 6a = 7a, b) 9b + 7a - 6b - 3a - 2a - 2b = 2a + b
c) 9x 3 - 7xy 2 - 4x 3 - 5x 3 + 5xy 2 + 9xy 2 + 3x 3 = 3x 3 + 7xy 2 ,d) 2a + 7a - 3a - 5a + 4a = 5a
e) 5b + 7a - 8b - 9a + 3a + 5b = a + 2b, f) 5x 3 - 4xy 2 + 9x 3 - 4x 3 + 5xy 2 + 6xy 2 - x 3 = 9x 3 + 7xy 2
(
)
8.- a) ( 3a ) × ( 5b ) = 3 × a × 5 × b = 15ab, b) 5x 2 y × ( 3xy ) = 5 × x 2 × y × 3 × x × y = 15x 3 y 2
æ2 ö
c) ( 6ab ) × ç ab ÷ = 4a 2b 2 , d)
è3 ø
( -2b ) × ( -2a ) = 4ab, e)
( 3x y ) × ( - 2x y ) = -6x y , f)
2
2
3
5
3
1 5 3
ab
6
4
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9.- a)
5
12x 2 y 2
4× 3 ×x× x ×y× y
3
1
5b
=
= 4xy, b) , c) ,d) 3xy, e) 5ab 2 , f)
3xy
3×x×y
x
2
a
10. - a) x = 2, b) x = 3, c) x = -2, d) x = -3
11. ECUACIÓN
PRIMER MIEMBRO
SEGUNDO MIEMBRO
TÉRMINOS
3x - 5 = 2x + 4
2x - 3 = 5x
x - 6 = 2x + 4
3x - 5
2x - 3
x-6
2x + 4
5x
2x + 4
3x, 5, 2x, 4
2x, 3, 5x
x, 6, 2x, 4
12.- a) x = 2, b)x = 3, c) x = 2, d) x = 3
14.- a) x = 2, b) x = 12, c) x = 9, d) x =
13.- a)x =
5
2
1
, b) x = 3, c)
2
x = 2, d)
x=3
15.- a) x = 6, b) x = 11, c) x = 3, d) x = 15
Elementos en el plano
Ejercicio nº 1.Traza tres rectas a, b y c de forma que a sea perpendicular a b y que b sea perpendicular a c.
¿Cómo son entre sí las rectas a y c ?
Ejercicio nº 2.Traza una recta perpendicular a este segmento por su punto medio. ¿Qué nombre recibe esa recta?
¿Qué propiedad cumplen todos sus puntos?
Ejercicio nº 3.Traza una semirrecta que tenga su origen en el vértice del ángulo y lo divida en dos ángulos iguales.
¿Cómo se llama esa semirrecta? ¿Qué tienen en común todos sus puntos?
Ejercicio nº 4.Dibuja un círculo y traza un eje de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo? ¿Cuál es el
punto común a todos ellos?
Ejercicio nº 5.Busca entre estos ángulos parejas de complementarios:
Aˆ  35 
Dˆ  25 
Gˆ  50 
Bˆ  65 
Eˆ  40 
Hˆ  30 
Cˆ  55 
Fˆ  60 
Iˆ  120 
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Ejercicio nº 6.Construye, utilizando el transportador, un ángulo de 45 y un ángulo de 135.
Ejercicio nº7.Expresa en grados, minutos y segundos:
72 800''
1570’
Ejercicio nº 8.Completa las siguientes equivalencias:
a) 30 ...............'
b) 3 600' .........
c) 60' ..............''
d) 15 ..............''
Ejercicio nº 9.Dos de los ángulos de un triángulo miden, respectivamente, 29 45' y 110. ¿Cuál es la medida del
tercer ángulo? (Recuerda que los ángulos de un triángulo suman dos rectos).
Ejercicio nº 10.Realiza las siguientes operaciones:
a) 16 45'  23 13''
b) 35 54'  23 35''
Ejercicio nº 11.Calcula:
a) 72 56' 57'' : 3
b) 15 23' 36''  5
Ejercicio nº 12.Dos ángulos consecutivos miden, respectivamente, 42 26' y 32 48'. ¿Cuánto mide el ángulo
formado por las bisectrices de ambos?
Soluciones
1.-
Las rectas a y c son paralelas.
2.-
La recta es la mediatriz del segmento.
Todos sus puntos están a igual distancia de los extremos del segmento
3.-
Esa semirrecta es la bisectriz del ángulo y todos sus puntos equidistan de los lados de dicho ángulo.
4.-
Un círculo tiene infinitos ejes de simetría. Todos ellos pasan por el centro de la circunferencia.
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5.-
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Son complementarios:
Aˆ y Cˆ  Aˆ  Cˆ  90 
Bˆ y Dˆ  Bˆ  Dˆ  90 
Eˆ y Gˆ  Eˆ  Gˆ  90 
Fˆ y Hˆ  Fˆ  Hˆ  90 
6.7.-
72 800''  20 13' 20''
1570’ = 26º 10’
8.-
a) 30  1 800'
b) 3 600' = 60
c) 60'  3 600''
d) 15  54 000''
9.-
10.-
11.-
12.42 26' : 2  21 13' mide la mitad del primero.
32 48' : 2  16 24' mide la mitad del segundo.
21 13'  16 24'  37 37' mide el ángulo formado por
las bisectrices.
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Triángulos
Ejercicio nº 1.Clasifica cada uno de estos triángulos según sus lados y sus ángulos:
Ejercicio nº 2.a) Construye un triángulo escaleno y obtusángulo.
b) Dibuja un triángulo obtusángulo e isósceles.
Ejercicio nº 3.a) Construye un triángulo equilátero de 3 cm de lado.
b) Construye un triángulo de lados 6 cm, 4,5 cm y 3 cm.
Ejercicio nº 4.-
a) Con los siguientes datos, Lado b = 5 cm, Aˆ = 60o y Bˆ = 130o ¿es posible construir un triángulo?
Razona tu respuesta.
b) ¿Por qué un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos?
Ejercicio nº 5.Traza en cada triángulo el elemento que se pide:
Mediana desde A
Altura desde B
Bisectriz desde C
Ejercicio nº 6.a) Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm respectivamente. Averigua si ese triángulo es
rectángulo.
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b) Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Es ese triángulo
rectángulo?
Ejercicio nº 7.a) Los dos lados menores de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide el tercer
lado?
b) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, respectivamente. Calcula la longitud
de la hipotenusa.
Ejercicio nº8.a) Calcula la diagonal de este rectángulo:
b)
b) ¿Cuál es la distancia mínima que debe recorrer una hormiga para subir desde la base hasta el
vértice del cono?
1.-
Soluciones
2.3.4.- a) No, porque 60  130 180.
b) Porque entre los dos sumarían más que la suma total de los ángulos de un triángulo, que es 180.
5.-
6.a) Según el teorema de Pitágoras, a2  b2  c2. Como 52  32  42, sí es rectángulo.
2
2
2
2
2
2
b) Según el teorema de Pitágoras, a  b  c . Como 6  4  5 , la respuesta es no.
7.a)
Por Pitágoras, a 2  b 2  c 2  a 2  6 2  8 2  a 2  36  64  a  100  10 cm debe medir el tercero.
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b)
Por Pitágoras, a 2 = b 2 + c 2
Hipotenusa
® a 2 = 82 + 152
® a 2 = 289 ® a = 289 = 17 cm mide la hipotenusa
8.- a) a 2 = 82 + 152 ® a = 289 = 17 cm
b) Por Pitágoras
a 2  16 2  122
a  400
a  20 cm es la distancia mínima.
Polígonos y circunferencia
Ejercicio nº 1.Indica, razonando tu respuesta, si cada uno de estos cuadriláteros es o no un paralelogramo:
Ejercicio nº 2.Marca con una cruz V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
 En un paralelogramo:
Ejercicio nº 3.Marca al lado de cada frase V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
Ejercicio nº 4.¿Cómo se llaman los paralelogramos que tienen todos los lados iguales? ¿Y los que tienen los
ángulos iguales? ¿Y los que tienen los lados y los ángulos iguales?
Ejercicio nº 5.Subraya, entre las características que se enumeran a continuación, aquellas que se corresponden
con un rombo:
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11
 Sus lados opuestos son perpendiculares.
 Sus lados opuestos son paralelos.
 Sus ángulos son todos iguales.
 Sus ángulos opuestos son iguales.
 Sus diagonales son paralelas.
 Sus diagonales son perpendiculares.
 Tiene un eje de simetría.
 Tiene dos ejes de simetría.
 No tiene centro de simetría.
Ejercicio nº 6.Si los lados de un rectángulo miden, respectivamente, 16 cm y 30 cm, ¿cuánto mide su diagonal?
Ejercicio nº 7.Las dos diagonales de un rombo son iguales y miden 20 cm. ¿Cuánto mide el lado de ese rombo?
(Aproxima el resultado hasta las décimas).
Soluciones
1.Sí; lados opuestos paralelos.
Sí; lados opuestos paralelos.
2.-
3.-
4.Todos los lados iguales  Rombo y cuadrado
Todos los ángulos iguales  Rectángulo y cuadrado
Lados y ángulos iguales  Cuadrado
5.-
 Sus lados opuestos son paralelos.
 Sus ángulos opuestos son iguales.
 Sus diagonales son perpendiculares.
 Tiene dos ejes de simetría
6.-
No; solo dos lados paralelos
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Matemáticas pendientes de 1º (2º parcial)
Por Pitágoras, a 2  b 2  c 2
mide la diagonal

a 2  16 2  30 2

a 2  10 2  10 2

a  1156

12
a  34 cm
7.-
Por Pitágoras, a 2  b 2  c 2

a  200

a  14,1 cm mide el lado.
Circunferencia
1.- Construïx un pentàgon regular inscrit en una circumferència de radi r = 3 cm. Traça’n, en roig, totes les
diagonals: hi obtindràs una estrella de cinc puntes. Aquesta estrella era el símbol dels pitagòrics.
2.- Construïx amb regle, compàs i escaire un quadrat de costat 4 cm. Calcula el radi de la circumferència
circumscrita. Quant mesura l’apotema?
3.- Construïx un hexàgon regular inscrit en una circumferència de radi r = 3 cm. Calcula’n l’apotema.
4.- Construïx un triangle equilàter el costat del qual faça l = 6 cm. Les mitjanes també són altures i
mediatrius.
5.- Traça una circumferència de 5 cm de radi i tres rectes que passen a 3 cm, 5 cm i 8 cm, respectivament,
del centre de la circumferència.
6.- Una recta, s, que determina una corda de 6 cm (AB= 6 cm) talla una circumferència de 5 cm de radi.
Quina distància hi ha del centre de la circumferència a la recta?
1.-
Solucions
2.- radi, 2,85cm; apotema 2 cm
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3.- a=3,4 cm
4.-
5.-
6.- d= 4cm
Perímetros y áreas
Ejercicio nº 1. Calcula el área y el perímetro de estas figuras:
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Ejercicio nº 2.- Calcula el área y el perímetro de estas figuras:
Ejercicio nº 3.- Calcula el área y el perímetro de estas figuras:
Ejercicio nº 4.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 32,5 cm y uno de sus lados mide 26
cm. ¿Cuál es su área y su perímetro?
Ejercicio nº 5.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 cm y uno de los catetos mide 21
cm. Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo.
Ejercicio nº 6.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide
su hipotenusa y halla su perímetro y su área.
Ejercicio nº 7.- Halla la superficie y el perímetro de este sector circular:
Ejercicio nº 8.- Un sector circular mide 45 y tiene 6 cm de radio. ¿Cuál es su área
y su perímetro?
Ejercicio nº 9.- Calcula el área y el perímetro de esta figura:
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Ejercicio nº 10.Calcula el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 42 cm y 27 cm y el lado no
paralelo mide 12,5 cm.
Ejercicio nº 11.Calcula el área y el perímetro de este trapecio:
Ejercicio nº 12.Calcula el área y el perímetro de un triángulo equilátero de 8 cm. de lado
Ejercicio nº 13.Calcula el área de la zona sombreada en ambas figuras. ¿En cuál es mayor?
Soluciones
1.Hexágono regular
Rectángulo
El perímetro es: 6 · 6  36 cm El área es S =
El perímetro es: 18 · 2  9 · 2  54 cm
P × a 36 × 5, 2
=
= 93, 6 cm2
2
2
El área es: S  b · a  18 · 9  162 cm2
Círculo 1 El perímetro es: P  2r  2 · 3,14 · 7  43,96 cm
El área es: S   · r2  3,14 · 72  153, 86 cm2
2.Círculo 2 El perímetro es: P  2r  2 · 3,14 · 12  75,36 cm El área es: S   · r2  3,14 · 122  452,16 cm2
Trapecio
El perímetro es: 10  10  14  26  60 cm El área es
Romboide El perímetro es: 9  6  9  6  30 cm
3.-Triángulo El perímetro es: 18+ 24+ 30= 72 cm
S=
( b + b ') × a ( 26 + 14 ) × 8
2
=
2
= 160 cm2
El área es: S  a · b  9 · 4  36 cm2
El área es: S 
b  a c  c ' 18  24


 216 cm 2
2
2
2
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Rectángulo El perímetro es: 14  22  14  22  72 cm
16
El área es: S  a · b  14 · 22  308 cm2
Círculo 3 El perímetro es: P  2r  2 · 3,14 · 10  62,8 cm
El área es: S   · r2  3,14 · 102  314 cm2
4.- Por Pitágoras,
a2  b2  c 2
b2  a2  c 2

b 2  32,5 2  26 2

Así, Perímetro  32, 5  26  19, 5  78 cm y S 

b  380,25  19, 5 cm
c  c ' 26  19, 5

 253, 5 cm 2
2
2
5.- Por Pitágoras,
a2  b2  c 2

b2  a2  c 2

b 2  29 2  212
Así, Perímetro  20  21  29  70 cm y S 

b
400
b  20 cm

a  17 cm
c  c ' 20  21

 210 cm 2
2
2
2
2
2
2
2
2
6.- Por Pitágoras, a  b  c  a  8  15  a  289
Así, Perímetro  8  15  17  40 cm y S 

c  c ' 8  15

 60 cm 2
2
2
7.El perímetro de la circunferencia es: 2 ·  · r  2 · 3,14 · 10  62,8 cm
62, 8
Así:
 15, 7 cm mide el arco.
4
Luego el perímetro del sector es: 15,7  10  10  35,7 cm
  r 2  n 3,14  10 2  90
El área es: S 

 78, 5 cm 2
360
360
8.2    r  n 2  3,14  6  45

 4, 7 cm
360
360
Luego el perímetro del sector es: 6  6  4,7  16,7 cm
  r 2  n 3,14  6 2  45
Y el área es: S 

 14,1 cm 2
360
360
El perímetro del arco del sector es: P 
9.- El perímetro es: 16 · 4  64 cm
2
2
d2
 d
 D
Como l 2       , 16 2 
 12, 8 2 
4
 2
 2
D  d 25, 6  19, 2
Y el área es: S 

 245, 76 cm 2
2
2
10.-
d2
 16 2  12, 8 2
4

d
368, 64  19, 2 cm
Matemáticas pendientes de 1º (2º parcial)
IES Serpis
Valencia
Por Pitágoras, a 2  b 2  c 2

c 2  a2  b2

c
c 2  12, 5 2  7,5 2

100  10 cm
Así, el perímetro: 42 + 27 + 12,5 · 2  94 cm
b  b'  a   42  27   10  345 cm2
Y S
2
2
11.-
Por Pitágoras, a 2  b 2  c 2

a2  6, 32  8, 42

a
110, 25  10, 5 cm
Así, el perímetro: 21  8,4  10,5 · 2  50,4 cm
b  b'  a   21  8, 4  8, 4  S  123, 48 cm 2
Y S
2
2
12.-
Perímetro 8 × 3 = 24 cm
Altura
Área =
82 - 42 = 6,9 cm
8 × 6,9
= 27,6 cm2
2
13.-
Primer caso:
 Área del cuadrado: l 2  10 2  100 cm 2
 Área de los cuatro círculos:   r 2  4  3,14  2, 5 2  4  78, 5 cm 2
 Área de la zona sombreada: 100  78, 5  21, 5 cm 2
Segundo caso:
 Área del cuadrado: l 2  10 2  100 cm 2
 Área del círculo: S    r 2  3,14  5 2  78, 5 cm 2
 Área de la zona sombreada: 100  78, 5  21, 5 cm 2
En ambos casos el área es la misma.
17