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Wilson Herrera 1
El Sistema de los Números Reales
Guía de Ejercicios
Ejercicio 1 Dados los axiomas de cuerpo de los números reales y teoremas, corolarios que se
deducen de este. Demostrar:
a) 0 = −0.
b) 1−1 = 1.
c) El cero no tiene recíproco.
Ejercicio 2 Dados los axiomas de orden de los números reales. Demostrar:
a) No existe ningún número real x tal que x2 + 1 = 0.
b) Si a>0 entonces
1
> 0.
a
Ejercicio 3 Hallar el conjunto solución de:
a) ax + b = 0, b 6= 0.
c) ax + b > 0.
b) (2x + 4)(5x − 1) = 0.
d) 3x + 6 > 0.
Ejercicio 4 Efectuar:
a) (2x3 − x)4
b) (5x + 1)(5x − 1)
c) (a − b)(a2 + ab + b2 )
a) El entero 72.
d) 9x2 + 24x + 16
g) 2x2 + 2xy + x + y
b) 4x2 + x
e) 16x2 − 25y 2
h) a3 − b3
c) x2 + 2x + 1
f ) 98ax2 − 8ay 2
Ejercicio 5 Factorizar:
i) a3 + b3
Ejercicio 6 Hallar el mínimo común múltiplo de x2 + x, x3 − x2 , 4x2 − 4.
Ejercicio 7 Reducir las siguientes expresiones:
a)
5x2 + 10xy
15xy + 30y 2
b)
2x2 y − 2xy − 4y
x+1
c)
x2k − y 2k
y k+1 + xk y
d)
x − x1
x+2+
Ejercicio 8 Efectuar y simplificar:
³ a2 − ab
´
− a b + b2
a)
a+b
b
+
b
a−b
d)
b)
x−y
x2
·
y 2 + xy x2 − xy
e)
3x2 − 25 9x − 5
x+5
+
+
x2 + 3x
3x + 9
3x
c)
x+2
2−x
÷
2
x − 4x + 4 x − 2
f)
x
x2 + 4
x+2
−
+ 3
2x
2x − 4 x − 4x
b
1
x
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Ejercicio 9 Probar:
(x + 1)[x2 − x(x − 2)]
a)
−2=0
x2 + x
b)
³ x + y ´2
2
−
³ x − y ´2
2
c)
d)
= xy
³a − 1
´
a + 1´ ³ 5
a
−
·
− −a =5
a+1 a−1
4a 4
x2 + 3x − 10
− (x − 2)2 = 0
1
1
÷
x−2
x+5
Ejercicio 10 Simplificar las siguientes expresiones:
a) x2 (y − 6) + x(y + 6) − 2y = 0. Despejar y.
b) (x2 − y 2 )z + 2xy(3z − 1) − yz(2x − 5y) = 0. Despejar z.
c) v 2 = v02 + 2ax. Despejar x.
m0
d) m = r
v
1 − ( )2
c
e) MR =
. Despejar
v
.
c
3P2 L
. Despejar h.
2ah2
Ejercicio 11 Resolver las siguientes ecuaciones.
a)
x+2 4
5x + 4
+ =
4
3
6
b)
2x + 5
x
x+6
+
=
x2 + x x + 1
x
c) 3 −
2x − 4
3x
=
x2 − 1
x+1
Ejercicio 12 Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
a) |x| = 3
d) |3x + 4| = |6x − 1|
b) |x − 1| = 6
e) |x| < 5
c) |x − 2| = |x + 5|
f ) |2x + 5| > 7
¯x + 4¯
¯
¯
g) ¯
¯<8
x
¯ 3 − 2x ¯
¯
¯
h) ¯
¯≤5
x+1
Ejercicio 13 Encontrar δ, que dependa de ² > 0, dado, de tal modo que la siguiente implicación
sea verdadera.
|8x − 6| < ² ⇒ |4x − 3| < δ
Ejercicio 14 Calcular las primeras ocho (08) potencias de i.
Ejercicio 15 Si escribimos z para indicar su conjugado, probar que:.
b) zz = |z|2
a) z = z
Ejercicio 16 Dados los siguientes complejos z1 = 2 − 3i y z2 = 4 + 5i, calcular:
z1
.
z1 + z2 ; z1 · z2 ; z1 − z2 ; |z1 |; |z2 | y
z2
Ejercicio 17 Hallar a para que el cociente
Ejercicio 18 Calcular
2 + ai
sea un número real.
3 − 4i
√
i.
Ejercicio 19 Hallar los complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.