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2 | Los planetas y satélites
Desde la más remota antigüedad, el hombre se ha esfor­
zado en conocer y comprender el Universo, pero ha sido
necesario que transcurra la mayor parte de la historia de
la humanidad para que se dé cuenta de su descomunal
magnitud.
Ahora sabemos que el Sol es una de las estrellas de una
galaxia, la Vía Láctea, que contiene unos doscientos mil
millones de estrellas. El tamaño de nuestra galaxia es tal
que su diámetro tiene, aproximadamente, una longitud
igual a la distancia que la luz recorre en ¡mil siglos! En los
viajes espaciales realizados por los astronautas en la
segunda mitad del siglo xx, la máxima distancia a la que
un hombre se ha alejado de la Tierra corresponde a la
que recorre la luz en menos de dos segundos. Com­
parando estos datos se hace evidente que la Vía Láctea
tiene una extensión extremadamente desproporcionada
para nosotros.
Sin embargo, a escala cósmica, una galaxia es algo
insignificante, puesto que el Universo existen cientos de
miles de millones de ellas.
Pero ¿ por qué se forman las galaxias y todos los astros que
las pueblan?, ¿cómo se explica su movimiento?, ¿es posi­
ble viajar desde la Tierra a otros astros de nuestra galaxia?,
¿cuál sería la forma más efectiva de hacerlo?, ....
En el fondo de las respuestas a estas preguntas y a otras
similares está siempre la fuerza que gobierna la forma­
ción y el movimiento de los astros y las galaxias: la fuer­
za de la gravedad. Su conocimiento, por lo tanto, es
esencial para comprender y explorar el Universo.
En esta unidad abordaremos el estudio teórico de la
fuerza de la gravedad a partir de la mecánica clásica y lo
aplicaremos después a los planetas y satélites del siste­
ma solar y a la navegación espacial.
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2 | Los planetas y satélites
C O N O C I M I E N T O S P R E V I O S D E M AT E M Á T I C A S
Círculos máximos de una esfera
La intersección de una esfera con un plano que la cor ta es siempre un círculo.
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mayor posible, por lo que se denomina círculo máximo.
El radio de un círculo máximo es igual al radio de la esfera.
La elipse. Focos de una elipse
La elipse es la línea formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
B
P
b
Los segmentos PF y PF’ que unen un punto de la elipse con los
focos se llaman radios vectores.
La elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí,
AA’(eje mayor) y BB’(eje menor), y un centro de simetría, O, en el
punto donde se cor tan.
A’
F’
O
A
A’
F’
B’
Las longitudes de OA (semieje mayor), OB (semieje menor) y OF
(semieje focal) se designan respectivamente por a, b y c.
B
P
Estas tres longitudes cumplen:
B
A’
F’
P
a
b
a 2 = b 2 + c 2.
La suma de los dos radios vectores
de cualquier punto
de la elipse
A’ F’
O
F A
es: PF + PF’ = 2a.
F
c
O
c
a
F
A
La excentricidad de una elipse es el cociente ε = .
Su valor puede variar entre 0 y 1: 0 ≤ ε ≤ 1.
B’
B’
En la siguiente figura se ve cómo el valor de la excentricidad afecta a la forma de una elipse.
F
F’
ε=0:c=0
F’
F
ε = 0,6
F’
F
ε = 0,8
F’
F
ε=1:c=a
Cuando la excentricidad es nula se cumple c = 0; por lo tanto, ambos focos se confunden en un solo punto:
el centro. La elipse es, en ese caso, una circunferencia de radio a.
Cuando la excentricidad es 1 se cumple c = a; por lo tanto, los focos coinciden con los extremos de eje
mayor. La elipse se transforma, en ese caso, en el segmento AA’.
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1 | La esfera celeste
Cuando miramos al cielo, lo vemos como una inmensa cúpula que nos
rodea. Durante el día aparece de un luminoso color azul y podemos ver en
ella el Sol y, en muchos momentos, la Luna. De noche la cúpula es casi
negra, está poblada por numerosos puntos brillantes que llamamos estrellas y también suele verse la Luna. A todos estos cuerpos que podemos
contemplar en el firmamento les damos el nombre genérico de astros.
Para representar las direcciones en que se ven los diversos astros del firmamento, independientemente de la distancia a que se encuentran de
nosotros, se define en Astronomía la esfera celeste. Es una esfera imaginaria tan grande que, comparada con ella, la Tierra puede considerarse un
punto. Precisamente en ese punto imaginamos situado el centro O de la
esfera celeste (Fig. 1). Nosotros, como estamos en la Tierra, obser vamos
el firmamento desde el punto O y vemos los astros como si estuviesen
situados en la super ficie de la esfera celeste.
Por ejemplo, si miramos desde O a los astros a y b, la luz que proviene de
ellos nos llega en las direcciones de los segmentos Oa y Ob, llamados
visuales de a y de b.
a
b
A
B
O
1. Si la Tierra se reduce al punto O, para
un observador situado sobre ella, las
posiciones aparentes de los astros a y b
son los puntos A y B en la superficie de la
esfera celeste.
El ángulo central AOB correspondiente al
arco de cículo máximo AB expresa la
distancia angular entre ambos astros.
Vemos los astros a y b representados en la figura 1 como si ocuparan las
posiciones A y B de la esfera celeste (intersecciones de la super ficie de
esta con las visuales Oa y Ob).
Los puntos A y B se denominan posiciones aparentes de los astros a y b.
El ángulo central AOB, que es el valor angular del arco de círculo máximo
AB, se llama distancia angular entre los astros a y b. Por medio de estas
distancias angulares determinamos las posiciones relativas de unos astros
respecto a otros.
Cuando obser vamos el firmamento desde un terreno per fectamente llano,
lógicamente, solo podemos ver la mitad de la esfera celeste.
Z
La circunferencia NESW de la figura 2, llamada horizonte astronómico, es
la intersección de la esfera celeste con el plano horizontal del lugar desde
donde observamos el firmamento. Sus puntos N, S, E y W son los llamados
puntos cardinales: Nor te, Sur, Este y Oeste.
La mitad de la esfera celeste situada por encima del horizonte astronómico
es la que podemos ver en su totalidad si no lo impiden obstáculos como
casas, montañas, etc. La semiesfera situada por debajo del horizonte
astronómico es la zona no visible.
El punto de la esfera celeste más alto para nosotros es el que se encuentra
en la ver tical sobre nuestra cabeza. Corresponde al punto Z de la figura y
se denomina el cenit. El punto Z’, opuesto al cenit en la esfera celeste, se
halla en la zona no visible y se llama el nadir.
La circunferencia EQWQ’, intersección de la esfera celeste con el plano
del Ecuador de la Tierra, recibe el nombre de Ecuador celeste. Cor ta al
horizonte astronómico en los puntos este y oeste.
El segmento PP’, perpendicular al plano del Ecuador, es el eje de rotación
de la Tierra y se le llama eje del mundo. Sus intersecciones con la esfera
celeste son los puntos P, Polo Norte celeste, y P’, Polo Sur celeste.
La mayoría de las estrellas está tan lejos de nosotros que el movimiento
relativo de unas respecto a otras resulta imperceptible. Decimos que son
estrellas fijas.
Q
P
E
N
S
W
P’
Q’
Z’
Figura 2.
PP’: eje del mundo.
P: polo norte celeste
P’: polo sur celeste
ZZ’: vertical del lugar de observación
Z: cenit
Z’:nadir
Circunferencia NESW: horizonte astronómico
N: punto norte
S: punto sur
E: punto este
W: punto oeste
Circunferencia EQWQ’: ecuador celeste
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Para facilitar su identificación, unimos con segmentos rectilíneos las estrellas más destacadas para formar con ellas diversas figuras imaginarias.
Estas agrupaciones de estrellas son las llamadas constelaciones. Algunas
de las constelaciones más fáciles de reconocer son: la Osa Mayor,
Casiopea, Orión, el Cisne, la Lira, Andrómeda y Pegaso.
Si dirigimos un telescopio hacia una estrella y lo mantenemos fijo, observaremos que el astro desaparece en poco tiempo del campo visual. La
fotografía de la figura 3 nos muestra lo que ocurre: todas las estrellas describen un movimiento circular.
Podemos imaginar que las estrellas están fijas sobre la super ficie de la
esfera celeste y que es esta la que realiza el movimiento de rotación.
3. Esta fotografía del cielo nocturno,
realizada con larga exposición, muestra
claramente el movimiento circular de las
estrellas.
El centro de todas las circunferencias que
describen es el Polo Norte celeste.
Este movimiento es circular uniforme. Se produce de forma que la esfera
celeste da una vuelta completa cada 24 horas alrededor del eje del mundo
y se denomina movimiento diurno.
Para una persona situada en el Hemisferio Norte, el sentido de rotación de
la esfera celeste es el mismo en que giran las agujas de un reloj. Se llama
sentido retrógrado.
En la figura 4 se puede ver el movimiento diurno de tres astros sobre la
esfera celeste. Uno está situado en el Hemisferio Nor te celeste, otro en el
Ecuador celeste y el tercero en el Hemisferio Sur celeste.
Los astros son visibles cuando se hallan en la zona situada sobre el horizonte astrronómico. Se ha señalado esa par te de sus órbitas rellenándola
de color amarillo.
Z
P
S1
N
S2 S3
P1
P2
S
P3
P’
Z’
4. Movimiento diurno de tres astros.
La rotación de la esfera celeste, en
sentido retrógrado como indica la flecha,
les hace describir las circunferencias en
trazo rojo, en planos paralelos entre sí y
perpendiculares al eje del mundo PP’.
El primero, en el Hemisferio Norte celeste,
sale en S1 y se pone en P1; la mayor parte
del tiempo está en zona visible, sobre el
horizonte astronómico.
El segundo, en el Ecuador celeste, sale en
S2 y se pone en P2 ; está 12 horas en zona
visible y otras 12 en zona no visible.
El tercero, en el Hemisferio Sur celeste,
sale en S3 y se pone en P3; la mayor parte
del tiempo está en zona no visible, bajo el
horizonte astronómico.
5. Trayectoria del Sol cerca del Polo Norte en verano. Este Sol que no llega a ponerse
nunca, se conoce como Sol de medianoche.
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2 | El sistema solar desde la Tierra
Acabamos de ver que las estrellas fijas, por estar inmóviles con relación a
la esfera celeste, poseen el mismo movimiento que esta (movimiento
diurno).
Z
P
Pero hay astros más cercanos que no permanecen en una posición fija de
la esfera celeste, sino que se desplazan sobre ella (movimiento propio).
El movimiento resultante de estos astros es, por tanto, la superposición de
dos movimientos simultáneos: el diurno (de la esfera celeste) y el propio
(del astro respecto a la esfera celeste).
Eso es lo que sucede con los astros del sistema solar, entre los cuales, los
más fácilmente obser vables a simple vista son el Sol, la Luna y los planetas Venus, Mar te, Júpiter y Saturno. Ninguno de ellos es un astro fijo, ya
que cada uno posee movimiento propio con relación a la esfera celeste.
Veamos cómo son esos movimientos.
El Sol, en su movimiento propio, recorre cada año la circuferencia correspondiente a un círculo máximo de la esfera celeste. Esta trayectoria se
denomina eclíptica y el Sol la describe en sentido directo (contrario al de
las agujas del reloj, tal como indica la flecha de la figura 6). El plano de la
eclíptica forma un ángulo de 23º 27’ con el plano del Ecuador.
σ
Q
S
γ’
N
S
γ
P’
Q’
σ’
Z’
6. A lo largo de un año, el Sol (S) recorre
en sentido directo un círculo máximo de la
esfera celeste: la eclíptica.
Las intersecciones de la eclíptica con el
Ecuador celeste son el punto Aries o
equinoccio de primavera (g) y el punto Libra
o equinoccio de otoño (g’).
Se ha de distinguir el movimiento propio del Sol de su movimiento diurno.
Por el movimiento diurno, el Sol sale cada mañana, se desplaza por el firmamento hasta alcanzar su máxima altura sobre el horizonte y se pone al
anochecer. Podemos imaginar que este movimiento es el de la esfera celeste, que arrastra al Sol con ella.
Por su movimiento propio, el Sol no está fijo sobre la esfera celeste sino
que se desplaza sobre ella recorriendo la eclíptica. Es un movimiento
muchísimo más lento que el diurno, ya que emplea un año en completar
una vuelta. Pero, en períodos de varios días o semanas, son claramente
perceptibles sus efectos, ya que altera la posición de la salida y de la puesta del Sol, así como la duración del día.
El movimiento diurno del Sol tiene sentido retrógrado y da lugar a las diversas par tes del día, como la mañana, la tarde o la noche.
El movimiento propio tiene sentido directo y da lugar a las cuatro estaciones del año.
7. La salida del Sol sobre el mar muestra
la intersección del movimiento propio del
astro con el horizonte astronómico.
Obser va en la figura 6 los puntos g, g’, σ y σ’ de la eclíptica.
El punto g, conocido como punto Aries, se encuentra en la intersección
de la eclíptica con el Ecuador celeste y es un impor tante punto de referencia en astronomía. Los puntos g, g’, σ y σ’ dividen a la eclíptica en cuatro
arcos iguales de 90º. El paso del Sol por estos puntos determina el comienzo de las cuatro estaciones del año, por lo que reciben las siguientes
denominaciones:
Punto Aries g: equinoccio de primavera,
σ: solsticio de verano,
g’: equinoccio de otoño,
σ’: solsticio de invierno.
La Luna, como todos los astros, se desplaza con la esfera celeste en su
movimiento diurno, describiendo cada día una circunferencia alrededor del
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eje del mundo. Pero posee, además, un movimiento propio por el que recorre en 27,32 días, en sentido directo, la circunferencia correspondiente a
un círculo máximo de la esfera celeste. La trayectoria de la Luna no está en
el mismo plano que la eclíptica, sino que forma un pequeño ángulo con ella
de 5º, aproximadamente.
Una consecuencia de los movimientos propios del Sol y de la Luna es que
cada 29,53 días hay plenilunio o Luna llena, es decir, podermos ver totalmente iluminada la cara visible de nuestro satélite.
8. El proyector de un planetario.
Sobre la cúpula semiesférica, que
representa la zona visible de la esfera
celeste, se proyectan las imágenes de los
astros tal como se verían en cualquier
hora, fecha y lugar de la superficie
terreste. Se reproduce también su
movimiento, acelerándolo
convenientemente para que pueda
observarse en un tiempo corto.
Los planetas del sistema solar tienen un movimiento propio cuyas trayectorias, obser vadas desde la Tierra, son complicadas. En la figura 8 se
pueden ver, proyectadas en un planetario, las imágenes de las trayectorias
descritas por algunos planetas a lo largo de varios años.
3 | Sistema de referencia heliocéntrico
En lugar de considerar los movimientos de los planetas vistos desde la
Tierra, es muy conveniente referirlos al Sol. Para ello se utiliza un sistema
de referencia heliocéntrico, es decir, con el origen de coordenadas en el
centro del Sol. De este modo, el movimiento de los planetas se simplifica
enormemente.
Johannes Kepler (1571-1630) determinó que todos los planetas describen
elipses con el Sol en uno de sus focos.
Las órbitas de la mayoría de los planetas del sistema solar tienen una
excentricidad pequeña; son casi circunferencias. Pero las órbitas de
Mercurio y del planeta enano Plutón son de mayor excentricidad (0,206 y
0,249). Aun así, si dibujáramos la órbita de Plutón con su eje mayor de
10 cm, el eje menor mediría 9,7 cm; tan solo 3 mm menos. A simple vista,
esta órbita también nos parecería una circunferencia.
9. Trayectorias de un planeta del sistema
solar en la esfera celeste, proyectadas en
un planetario sobre un fondo de estrellas
fijas.
23º 27’
La Tierra describe alrededor del Sol una elipse de muy pequeña excentricidad (0,017). En la figura 10 no lo parece, porque se supone que se ve en
perspectiva. Pero hay un detalle que lo indica: el Sol, en uno de los focos
de la elipse, aparece prácticamente en el centro de esta.
La Tierra posee, además, un movimiento de rotación alrededor de la recta
que pasa por los polos (eje del mundo). En este movimiento todos los puntos de nuestro planeta describen cicunferencias paralelas al Ecuador. Por
eso decimos que el plano de rotación de la Tierra es el plano del Ecuador.
Por otra par te, el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol,
visto desde nuestro planeta, es el movimiento propio del Sol sobre la eclíptica. No se trata de dos movimientos diferentes, sino de uno solo, pero
descrito desde dos sistemas de referencia distintos. Así pues, la órbita de
la Tierra alrededor del Sol está en el plano de la eclíptica.
10. El eje de rotación de la Tierra no es
perpendicular a su órbita aldedor del Sol.
Forma un ángulo de 23º 27’ con la
perpendicular a esta.
Los planos de los dos movimientos de la Tierra no coinciden, ya que forman
un ángulo de 23º27’, tal como se ha señalado al explicar los elementos de
la esfera celeste. Como el ángulo de dos planos es el que forman las perpendiculares a ambos, en la figura 10 el ángulo del Ecuador y la eclíptica
aparece como el que forma el eje del mundo (perpendicular al Ecuador) con
la perpendicular al plano de la órbita terrestre (plano de la eclíptica).
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Los planetas no giran alrededor del Sol en el mismo plano que la Tierra.
Sus órbitas poseen cierta inclinación respecto a la órbita terrestre (Fig. 11).
Esa inclinación es pequeña, excepto en el caso de Mercurio, que es de 7º,
y en el de Plutón, que supera los 17º.
La extraña forma de las órbitas planetarias vistas desde la Tierra (Fig. 9) se
comprende si se tiene en cuenta que se trata de un cuerpo que describe
una elipse, visto desde otro cuerpo (la Tierra) que está recorriendo una
elipse diferente, en otro plano y con distinta velocidad.
La Luna describe, asimismo, una trayectoria elíptica de pequeña excentricidad (0,055) en torno a nuestro planeta.
La órbita de la Luna respecto a la Tierra no se encuentra en el mismo plano
que la de la Tierra respecto al Sol, sino que forma con ella un ángulo de
unos 5º (Fig. 12).
A pesar de su diversidad, las órbitas de los planetas y de sus satélites tienen
algo en común: todas son elipses. La causa está en la fuerza que gobierna
el movimiento de los astros: la fuerza de la gravedad. El estudio de las órbitas condujo a Newton al conocimiento de las propiedades de esta fuerza,
cuya naturaleza sigue siendo objeto de investigación en nuestros días.
11. Todos los planetas describen elipses
alrededor del Sol. Pero son órbitas de
distinta longitud y excentricidad, están en
planos diferentes y no son recorridas con
la misma velocidad.
Luna
Sol
So
ol
5º
5º
Tierra
12. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra está algo inclinada respecto al plano de la
eclíptica.
4 | Ley de la gravitación universal
Isaac Newton, en el siglo xvii, par tiendo de sus conocimientos sobre el
movimiento de los cuerpos, que se expresan en las tres leyes de la dinámica, halló la forma de calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la
Tierra y la Luna. Y tuvo, además, el acier to de generalizarla a todos los
cuerpos en la llamada ley de Newton de la gravitación universal.
Según esta ley, la intensidad de la fuerza de atracción entre dos partículas
de masas m y m’ separadas por una distancia r es:
F =G
m m’
r2
G es una constante llamada constante de gravitación universal.
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La ley de Newton permite calcular la fuerza de atracción entre par tículas,
es decir, entre cuerpos cuyo tamaño es despreciable frente a la distancia
que los separa. Pero también se puede aplicar a cuerpos de forma esférica
y densidad uniforme (igual densidad en todos sus puntos), considerando r
como la distancia entre sus centros.
Newton no llegó a determinar la constante de gravitación universal, aunque
tenía una idea aproximada de su valor. Fue el físico y químico inglés Henr y
Cavendish quien lo hizo en 1798. Para ello tuvo que detectar y medir la
pequeñísima fuerza con que dos pesadas bolas de plomo atraían a otras
dos de menor tamaño colocadas en los extremos de una varilla horizontal colgada de un hilo. El valor de G obtenido por Cavendish difería en
menos de un 1 % del actualmente aceptado, que es:
G = 6,67  10–11 N m2 kg–2
(Las unidades de G se deducen fácilmente de la ecuación que expresa la
ley de la gravitación universal.)
13. Lord Cavendish determinó la
constante de gravitación universal a
finales del siglo xviii.
El valor numérico de la constante de gravitación universal es extremadamente pequeño. Eso explica que la fuerza de atracción entre dos cuerpos
solo sea apreciable cuando al menos uno de ellos posee una masa enormemente grande. Así, notamos per fectamente el peso de una silla, por ser
la fuerza con que es atraída por la Tierra; pero la fuerza de atracción entre
dos sillas, aunque existe, nos resulta totalmente indetectable.
e j emplo
1. C
onociendo el radio de la Tierra (6 380 km), calcula su masa mediante la ley de la gravitación
universal.
Sabemos que, en la super ficie de la Tierra, el peso de un cuerpo de masa m = 1 kg es P = 1 kp =
= 9,8 N. Por otra par te, la distancia que lo separa del centro de la Tierra es el radio de la Tierra
RT = 6 380 km = 6,38  106 m.
La fuerza con que la Tierra atrae a ese cuerpo es su peso:
P =G
MT m
R T2
.
Despejando la masa de la Tierra, resulta:
5 | Satélites
Todos sabemos que, si se suelta un cuerpo desde alguna altura sin comunicarle una velocidad inicial, cae ver ticalmente hasta chocar con el suelo.
Pero si lo lanzamos en dirección horizontal con cier ta velocidad inicial, cae
describiendo un arco de parábola.
Imaginemos que en la Tierra no hubiera atmósfera, de forma que el rozamiento con el aire no frenase el movimiento de los cuerpos, y que se lanza horizontalmente un proyectil a gran velocidad desde un punto P (Fig. 14) a cierta
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altura sobre la superficie terrestre. La atracción gravitatoria del planeta le
hará describir una curva PA hasta chocar con el suelo en un punto A. En un
movimiento tan amplio, la gravedad no es constante en todo el recorrido, por
lo que la trayectoria PA no es un arco de parábola, sino de elipse, como se
indica en la figura. Si se aumenta la velocidad inicial del proyectil, el arco de
elipse que describirá será mayor, como el PB y PC de la figura.
La velocidad inicial del lanzamiento podría aumentarse hasta que la elipse
descrita por el proyectil fuese tan grande que no cor tara en ningún punto a
la super ficie terrestre. El planeta entero quedaría entonces en el interior
de la trayectoria, que se cerraría sobre sí misma (línea morada de la figura 14). El proyectil permanecería, así, describiendo indefinidamente la
misma elipse. Se habría satelizado, es decir, se habría conver tido en un
satélite de la Tierra.
Un cuerpo satelizado sigue una trayectoria cur vilínea a causa de la atracción gravitatoria de la Tierra. Si no existiera esta atracción, no actuaría
ninguna fuerza sobre él y su trayectoria sería recta. Por lo tanto, se puede
afirmar que está cayendo, como los proyectiles que acaban chocando con
el suelo. La diferencia con estos es que la trayectoria del satélite, debido a
su forma y tamaño, no cor ta a la super ficie de la Tierra y llega a cerrarse
sobre sí misma.
P
A
B
C
14. Trayectorias elípticas de un proyectil
lanzado horizontalmente desde un punto
elevado P. Los puntos A, B y C de impacto
con la Tierra corresponden a velocidades
iniciales de lanzamiento cada vez
mayores. Si esta velocidad es
suficientemente grande, la trayectoria no
corta a la superficie terrestre y el proyectil
queda satelizado (órbita morada).
Si la velocidad del satélite es la adecuada, su trayectoria puede ser una
circunferencia (elipse de excentricidad nula) y, en este caso, su movimiento
es circular uniforme.
Con los conocimientos adquiridos sobre la dinámica y la gravitación se
puede calcular fácilmente la velocidad de un satélite cuando su órbita es
circular.
Efectivamente, en el movimiento circular uniforme, la resultante de las
fuerzas sobre el móvil es la fuerza centrípeta:
Fc = –
m v2
r
Pero, por otra parte, la única fuerza que actúa sobre el satélite es su peso,
P, debido a la atracción del planeta (Fig. 15). Si la masa del planeta es M,
el peso del satélite, según la ley de la gravitación universal, será:
P =–
v
Fc
r
GM m
r2
En este caso, la única fuerza que actúa es el peso, luego la fuerza centrípeta es P:
–
m v2
GM m
=–
r
r2
Despejando v se obtiene:
v =
r
15. La fuerza centrípeta F c, que actúa
sobre el satélite en órbita
circular, es la
r
atracción gravitatoria P que ejerce el
planeta sobre él.
GM
r
Así pues, la velocidad de un satélite en órbita circular alrededor de un determinado planeta depende exclusivamente del radio, r, de su órbita. Cuanto
mayor es este, menor es la velocidad orbital del satélite.
Todo lo explicado aquí se puede aplicar también a todo cuerpo que gire en
órbita circular alrededor de otro cuerpo que lo atrae. Estos podrían ser los
casos de un planeta doble, una estrella doble o un planeta que gira alrededor de una estrella.
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2 | Los planetas y satélites
e j emplos
2. a
) ¿Qué velocidad debe poseer un satélite artificial de la Tierra para que describa una órbita circular a
h = 500 km de altura?
b) ¿Cuál será su período orbital (tiempo que emplea en dar una vuelta completa a la Tierra)?
Datos: masa de la Tierra: M = 5,98  1024 kg. Radio de la Tierra: RT = 6,38  106 m.
a) La distancia del satélite en órbita al centro de la Tierra es el radio de la órbita:
R = RT + h = 6,36  106 m + 0,5  106 m = 6,86  106 m
El peso del satélite en su órbita es: P = –
. La fuerza centrípeta del movimiento circular del satéli-
r2
m v2
te es: Fc = –
. Como hemos visto, la velocidad del satélite es:
r
v =
GM m
GM
=
r
6,67  10 –11 N m 2 kg –2  5,98  10 24 kg
6
6,86  10 m
= 7,63  10 3 m/s
Esta velocidad equivale a 27 500 km/h.
b) La longitud del arco recorrido es la longitud de la órbita completa: ∆s = 2π r.
Despejando ∆t de la ecuación v = ∆s/∆t obtenemos:
∆t =
∆s
2π r
2π  6,86  10 6 m
=
=
= 5 649 s
v
v
7,63  10 3 m/s
El satélite tarda en dar una vuelta a la Tierra 5 649 s, que es 1 hora y 34 minutos.
3. S
abemos que la Tierra se encuentra a 1,5  108 km del Sol y tarda 1 año en dar una vuelta alrededor
de este siguiendo una órbita aproximadamente circular. Calcula, con estos datos, un valor aproximado de la masa del Sol.
La velocidad con que la Tierra recorre su órbita es:
v =
∆s
2π r
2π  6,86  10 6 m
=
=
= 29 900 m/s
365  24  60  60 s
∆t
∆t
Igualando la fuerza de atracción del Sol a la fuerza centrípeta del movimiento circular de la Tierra, como
en el ejemplo anterior, llegamos a la misma igualdad: –
m la de la Tierra y r la distancia entre ellos.
m v2
GM m
=–
, donde M es la masa del Sol,
r
r2
Despejando M resulta:
M =
v2 r
2π r
(29 900 m/s)2  1,5  10 11 m
=
=
= 2,0  10 30 Kg
G
∆t
6,67  10 –11 N m 2 Kg 2
6 | Campo gravitatorio
En la figura 16 se han representado algunas de las fuerzas de atracción
gravitatoria que un cuerpo de masa M, en una posición fija, ejerce sobre
una par tícula de masa m situada en diferentes puntos.
En cada posición actúa una fuerza sobre la partícula. Decimos que la masa
M ha creado a su alrededor un campo de fuerzas gravitatorias.
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Los planetas y satélites | 2
Llamaremos campo gravitatorio a un campo vectorial en el que a cada punto del
espacio le corresponde un vector, denominado intensidad de campo gravitatorio.
Se llama intensidad del campo gravitatorio en un punto a la fuerza gravitatoria que actúa sobre la unidad de masa situada en ese punto.
r
M
Si, en un punto, actúa una fuerza F sobre una partícula de masa m, la intensidad del campo gravitatorio en ese punto es:
r
r
F
g =
m
r
Dado que la masa m siempre es positiva, la intensidad
r de campo g es un
vector de la misma dirección y sentido que la fuerza F .
En el SI, el módulo del vector intensidad de un campo gravitatorio se expresa en newtons por kilogramo (N/kg).
La intensidad de un campo gravitatorio en un punto es de 1 N/kg cuando
actúa una fuerza de 1 N sobre una masa de 1 kg situada en ese punto.
16. Fuerza de atracción gravitatoria que
ejerce la masa M sobre una masa puntual
en diferentes posiciones.
El conjunto de todas estas fuerzas
constituye un campo de fuerzas
gravitatorias.
7 | Campo gravitatorio creado por una masa
puntual
A par tir de la ley de Newton se puede deducir fácilmente el módulo de la
intensidad del campo gravitatorio creado por una masa puntual.
Efectivamente, la fuerza de atracción gravitatoria que una par tícula de
masa m ejercería sobre otra par tícula de masa m’ situada a una distancia
r de la primera, es:
F =
G m m’
r2
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por m en el punto
donde se encuentra m’ será, por lo tanto:
r
F
g =
=
m’
G m m’
m
r2
=G 2
m’
r
O
Para expresar vectorialmente esta intensidad de campo estableceremos
unos convenios previos:
• En cada semirrecta con origen en el punto O, donde se halla la par tícula
de masa m, adoptaremos como sentido positivo el que se sigue al alejarse de O (Fig. 17).
Figura 17.
P
r
• Llamaremos r al vector posición del punto P, donde se encuentra la partícula de masa m’ (Fig. 18).
r
• Simbolizaremos por r la distancia del punto O al P, que siempre es positir
va, por lo que coincide con el módulo del vector r .
r
r
• Representaremos por u r el vector unitario en la dirección y sentido del
r
vector r :
r
r
r
ur =
r
ur
O
Figura 18.
69
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2 | Los planetas y satélites
g
P
ur
La intensidad del campo gravitatorio creado en un punto cualquiera P por
una par tícula de masa m, situada en un punto O, se puede expresar
vectorialmente como:
r
M r
g = – G 2 ur
r
r
O
r
19. El vector g representa la intensidad,
en el punto P, del campo gravitatorio
creado por una masa puntual situada en O.
r
El signo negativo se debe a que el sentido del vector g es contrario al del
r
vector unitario u r , porque la fuerza que actúa sobre toda par tícula situada
en P siempre tiene sentido hacia O (Fig. 19).
Como las líneas de campo han de tener la dirección y el sentido del vector
r
g , son un conjunto de semirrectas concurrentes en el punto O con sentido
hacia ese punto (Fig. 20).
La expresión de la intensidad del campo creado por una masa puntual es
válida también para el campo gravitatorio en el espacio que rodea a una
masa esférica homogénea.
ur
r
F
Hemos
visto que la intensidad de un campo gravitatorio es g =
, donde
r
F es la fuerza que ejerce el campo sobre un cuerpo de masa m. um
r
F
Pero, según el principio fundamental
de la dinámica, el cociente es igual
r
m
a la aceleración que la fuerza F comunica al cuerpo.
20. Líneas de campo correspondientes al
campo gravitatorio creado por una masa
puntual.
Así pues, la intensidad de un campo gravitatorio equivale a una aceleración
y su valor se puede expresar tanto en N/kg como en m/s2.
EjEMPLo
4. E
n el punto O, cuyas coordenadas se dan en Mm, situado en (3, 1), hay una partícula de masa
m = 9  1023 kg. Expresa vectorialmente la intensidad del campo gravitatorio que crea en el punto
P (11, 7).
El vector posición del punto P es:
r
r
r
r r
r = rp – r0 = (11, 7) – (3, 1) = 8 i + 6 j (Mm)
P
7
g
La distancia de O a P es:
r
r = r =
rp
8 2 + 6 2 = 10 (Mm)
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio en P será:
r
9  10 23 kg
g = 6,67  10 –11 N m 2 Kg –2 
= 0,60 N/kg
(10  10 6 m)2
r
r
El vector unitario u r en la dirección y sentido de r es:
r
1
ro
O
m
3
11
r
r
r
r
r
r
r
8i +6j
=
= 0,8 i + 0,6 j
ur =
r
10
r
r
Como la intensidad de campo g tiene sentido de P hacia O (contrario al del vector unitario u r ) será:
r
r
r
r
r
r r
g = – g u r = –0,60 (0,8 i + 0,6 j ) = 0,48 i – 0,36 j (N/kg)
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Los planetas y satélites | 2
Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en la super ficie de la
Tierra, consideraremos esta como un cuerpo per fectamente esférico y
homogéneo. El campo es, entonces, equivalente al creado por una partícula de igual masa que la Tierra, situada en su centro.
g
g
M
R
r
21. La intensidad g del campo gravitatorio de la Tierra en su super ficie es la misma
que la del campo de una masa puntual igual a la de la Tierra colocada en su centro.
Si la masa de la Tierra es M = 5,98  1024 kg y su radio, R = 6,38  106 m,
la intensidad del campo gravitatorio tendrá como módulo en su super ficie:
r
5,98  10 24 kg
g = 6,67  10 –11 N m 2 kg –2 
= 9,8 N/kg
(6,38  10 6 m)2
Esto equivale a decir que la aceleración de la gravedad en la super ficie
de la Tierra es de 9,8 m/s2.
Como la Tierra no es un cuerpo per fectamente esférico y homogéneo, la
intensidad del campo gravitatorio no es exactamente igual en todos los
puntos de su super ficie. Se ha acordado aceptar cómo valor normal de la
gravedad 9,80665 m/s2, que corresponde a un lugar de latitud de 45º al
nivel del mar. En la tabla adjunta se puede ver cómo varía el valor de la
aceleración de la gravedad (o intensidad del campo gravitatorio) con la latitud geográfica, desde el Ecuador hasta el polo.
De la misma forma, se puede calcular la intensidad del campo gravitatorio en la super ficie de cualquier planeta o de sus satélites, siempre que
podamos suponerlos homogéneos y esféricos.
Aceleración de la gravedad
al nivel del mar
Latitud
Gravedad
0º (Ecuador)
9,780 ms–2
10º
9,782 ms–2
20º
9,786 ms–2
30º
9,793 ms–2
40º
9,802 ms–2
50º
9,811 ms–2
60º
9,819 ms–2
70º
9,826 ms–2
80º
9,831 ms–2
90º (Polo)
9,832 ms–2
E j E M P L os
5. E
l radio del planeta Marte es R = 3 400 km y su masa M = 6,42  1023 kg. Suponiendo que este planeta
es homogéneo y perfectamente esférico, calcula el valor de la aceleración de la gravedad en su
superficie.
La intensidad del campo gravitatorio en la super ficie de Mar te es:
r
M
6,42  10 23 kg
g = G  2 = 6,67  10 –11 N m 2 kg –2 
= 3,7 N/kg
(3,4  10 6 m)2
R
Como N/kg equivale a m/s2, podemos considerar que la aceleración de la gravedad en la super ficie de
Mar te es 3,7 m/s2.
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2 | Los planetas y satélites
6. U
n cuerpo que cae sin velocidad inicial desde una altura de 10 m sobre la superficie de la Luna tarda
3,46 s en llegar al suelo. ¿Cuál es el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie
lunar? ¿Cuántos kp pesaría en la Luna una persona de masa 60 kg?
Como la Luna carece de atmósfera, no hay rozamiento durante la caída del cuerpo, por lo que su movimiento será uniformemente acelerado, de ecuación: ∆s = v0 ∆t + ½ a (∆t)2.
1
a (∆t)2.
2
Como v0 = 0, la anterior ecuación se reduce a: ∆s =
Despejando la aceleración a se obtiene: a = 2 ∆s / (∆t)2 = 2  10 m / (3,46 s)2 = 1,67 m/s2.
Como la aceleración de la gravedad en m/s2 es igual a la intensidad del campo gravitatorio en N/kg,
podemos afirmar que esta es de 1,67 N/kg.
El anterior resultado expresa que una masa de 1 kg pesa 3,67 N en la super ficie de la Luna; por consiguiente, una persona de 60 kg pesaría:
60 kg 
1,67 N
1 kp
= 100 N, que en kp es: 100 N 
= 10,2 kp
1 Kg
9,8 N
7. En la superficie de un planeta la aceleración de la gravedad es g1 = 12 m/s2.
Determina cuál sería su valor en la superficie de otro planeta de triple masa y:
a) doble radio que el primero,
b) igual densidad que el primero.
a) Si llamamos M1 a la masa del primer planeta y R1 a su radio, sabemos que: g 1 = G
Para el segundo planeta se cumplirá, asimismo, que: g 2 = G
Dividiendo ambas igualdades, resulta:
g1
g2
=
M 1  R 22
M 2  R 12
M2
R 22
M1
R 12
.
.
.
Despejando g2, resulta:
g2 = g1
M 2  R 12
M1  R
2
2
= g1
3M 1  R 12
M 1  (2R 1 )
2
= g1
3M 1  R 12
4M 1  R
2
1
=
3
g1
4
Sustituyendo g1 por su valor, obtenemos: g 2 = 12 m/s2 

b) El volumen de una esfera V =

3
= 9 m / s2 .
4

4
= π R 3  es proporcional al cubo de su radio.
3

Por lo tanto, si el segundo planeta tiene doble radio que el primero, su volumen es 23 = 8 veces mayor.
Y, como ambos planetas poseen igual densidad, la masa del segundo será también 8 veces mayor
que la del primero: M2 = 8 M1.
g2 = g1
M 2  R 12
M 1  R 22
= g1
8M 1  R 12
M 1  (2R 1 )2
= 2 g1
8M 1  R 12
4M 1  R 12
= 2  12 m/s2 = 24 m / s 2
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Los planetas y satélites | 2
8 | Energía potencial gravitatoria
Todo cuerpo atraído gravitatoriamente por otro posee una energía que
depende de su posición, es decir, una energía potencial.
A par tir de la ley de gravitación universal se demuestra que la energía
potencial de un cuerpo de masa m’, situado a una distancia r de otro cuerpo
de masa m que lo atrae gravitatoriamente, es:
Ep = – G
m m’
r
La anterior expresión, como la ley de Newton, se puede aplicar, no solo a
masas puntuales, sino también a cuerpos de forma esférica. En este caso,
ha de interpretarse r como la distancia entre los centros.
Como m, m’ y r son cantidades positivas, la energía potencial gravitatoria,
según la anterior expresión, es negativa. Pero, si la distancia r es infinitamente grande, es nula. Esto no significa que el cuerpo en el infinito no posea
energía potencial gravitatoria. De hecho, podemos asignar a la energía
potencial en una posición cualquiera el valor que queramos y, al hacerlo,
quedará determinado su valor en cada uno de los restantes puntos del espacio. Esa arbitrariedad no supone ningún inconveniente, ya que el valor de la
energía potencial en una posición es irrelevante; solo importan las diferencias de energía entre las distintas posiciones, y estas no dependen del valor
arbitrario que hayamos asignado a una determinada posición.
m
m’
Ep
r
La energía potencial en el infinito, aunque le asignemos el valor 0, es máxima, ya que en los restantes puntos del espacio es negativa.
En la figura 22 se puede ver cómo varía la energía potencial con la distancia
entre los cuerpos que se atraen mutuamente.
En el curso anterior se calculaba la energía potencial gravitatoria de un cuerpo situado a una altura h como: EP = m g h. Pero esta expresión solo es aplicable si el cuerpo se mantiene en una zona del espacio tan pequeña que la
intensidad del campo gravitatorio (g) puede considerarse constante.
22. Variación de la energía potencial
gravitatoria con la distancia.
EjEMPLo
8. S
uponiendo nula la resistencia del aire, calcula la velocidad con que llegaría al suelo un cuerpo de masa
m que se dejara caer sin velocidad inicial desde una altura de: a) h = 160 m; b) h = 1 600 km.
Datos: masa de la Tierra: M = 6  1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km.
Constante de gravitación universal: G = 6,67  10–11 N m2 kg–2.
Como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso, se conser vará su energía mecánica:
Ek1 + EP1 = Ek2 + EP2
a) En el primer caso es:
Ek1 = 0, EP1 = m g h, E k2 =
1
m v 2 y EP2 = 0.
2
Por lo tanto, podemos escribir:
mgh =
1
m v 2.
2
73
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2 | Los planetas y satélites
Despejando v se obtiene:
v =
2gh =
2  9,8 m/s2  160 m = 56 m/s.
b) En una caída de 1 600 km no se puede considerar constante el peso del cuerpo, por lo que no es
correcto calcular su energía potencial como m g h.
En este caso, sería:
–G
Mm
1
Mm
=
m v2 – G
R+h
2
R
Despejando v, se obtiene:
Mm
1
Mm
, E k2 =
m v 2 y E P2 = – G
.
R+h
2
R
Así pues, la conservación de la energía mecánica se tiene que expresar ahora de la siguiente forma:
Ek1 = 0, E P1 = – G
v =
2GM
h
= 5 000 m/s.
R (R + h)
Al caer desde 1 600 km de altura, el cuerpo llegaría al suelo con una velocidad de 5 000 m/s.
9 | Deducción del valor de la energía
potencial gravitatoria
El conjunto de todas las fuerzas de atracción gravitatoria que ejerce una
masa puntual m sobre otra masa puntual m’ al situar a esta en diferentes
posiciones, constituye un campo central de fuerzas. La expresión de la
fuerza que actúa sobre m’ en función de su distancia a m (centro del
campo) viene dada por la ley de Newton:
F (r ) = – G
m m’
r2
Para determinar la energía potencial en un punto de este campo conser vativo escogeremos el infinito como posición de energía potencial nula. En
ese caso, la energía potencial de la masa m’ en un punto cualquiera P será,
por definición, el trabajo cambiado de signo de la fuerza del campo desde
el infinito hasta el punto P. Si el punto P está situado a una distancia r del
centro del campo, será:
Ep = – W = –

r
∞
F (r ) dr =
 –1 
= G m m’  
 r 
r
∞

r
∞
–G
m m’
r
2
dr = G m m’

r
∞
r –2 dr =
 1

m m’
= G m m’  – – 0  = – G
r
r


Así pues, la energía potencial de un cuerpo de masa m’, situado a una distancia r de otro cuerpo de masa m que lo atrae gravitatoriamente, es:
Ep = – G
m m’
r
74
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Los planetas y satélites | 2
10 | Energía mecánica orbital
Hemos visto que la velocidad de un satélite en órbita circular es:
v =
GM
r
De modo que su energía cinética es:
Ek =
1
1
M
1
Mm
m v2 =
mG
=
G
2
2
r
2
r
También conocemos el valor de su energía potencial: E p = – G
Mm
.
r
Por lo tanto, la energía mecánica total del satélite en órbita es:
EM = Ek + Ep =
1
Mm
Mm
1
Mm
G
–G
=– G
2
r
r
2
r
Este resultado muestra que la energía mecánica de un satélite en órbita es
siempre negativa.
Obser va que, debido a su signo negativo, la energía mecánica del satélite
es mayor cuanto más grande es el radio de la órbita. Lo mismo sucede con
su energía potencial gravitatoria.
Por el contrario, la energía cinética, que es positiva, es menor cuanto mayor
es el radio de la órbita.
Para que un cuerpo sobre el que solo actúa la atracción gravitatoria de un
planeta se mueva siguiendo una curva cerrada (circunferencia o elipse) la
única condición que debe cumplirse es que su energía mecánica sea negativa (EM < 0). Si dicha trayectoria corta a la superficie del planeta, se estrellará
contra él; pero, en caso contrario, permanecerá indefinidamente en su órbita
como satélite.
En estas condiciones podemos decir que el cuerpo está capturado por el
campo gravitatorio del planeta, ya que no puede separarse de él alejándose
indefinidamente.
Para que un cuerpo pueda escapar por su propio impulso del campo gravitatorio de un planeta, es necesario que posea la energía mecánica suficiente para
separarse de él hasta una distancia infinita. Para eso ha de poseer, como
mínimo, la energía potencial que tendría en el infinito Esta energía es 0. Por
lo tanto, la condición para que un cuerpo se pueda alejar indefinidamente
de un planeta es que su energía mecánica sea nula o positiva (EM ≥ 0).
Si EM > 0, la trayectoria es una rama de hipérbola con su foco en el centro
del planeta. En este caso, el cuerpo se aleja indefinidamente, a no ser que
su trayectoria cor te en un punto a la super ficie del planeta y se estrelle
contra él.
En el caso de que la energía mecánica del cuerpo fuese nula (EM = 0), el
cuerpo tendría la energía mínima necesaria para escapar del campo gravitatorio del planeta que lo atrae y su trayectoria sería una parábola con su
foco en el centro del planeta. Pero este es un caso solo teórico, imposible
en la práctica, pues requeriría que la energía mecánica fuese exactamente
cero, y sabemos que no existen medidas exactas, ya que todas poseen un
margen de incer tidumbre.
Todo lo explicado para los satélites de un planeta es también aplicable a
los planetas que se mueven en torno a una estrella bajo la acción del
campo gravitatorio de esta.
75
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2 | Los planetas y satélites
E j E M P L os
9. U
n objeto se mueve con una velocidad de 3 km/s cuando se halla a 100 000 km de la superficie de la
Tierra, pero no choca con ella. ¿Es un satélite de nuestro planeta?
Datos: masa de la Tierra: M = 5,98  1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km.
La distancia del objeto al centro de la Tierra es: R + h = 108 m + 6,4  106 m = 1,064  108 m.
La energía mecánica del objeto se calcula como:
EM =
1
Mm
m v2 – G
2
R+r
Su valor es:
EM =
1
5,98  10 24 kg  m
m (3 000 m/s)2 – 6,67  10 –11 N m 2 Kg –2 
2
1,064  10 8
Efectuando las operaciones indicadas obtenemos la energía mecánica en función de la masa m del
objeto (no conocida): EM = 7,51 m (J).
Como su energía mecánica es positiva, el objeto no está satelizado alrededor de la Tierra y se alejará
indefinidamente, siguiendo una trayectoria que es una rama de hipérbola.
10. Una nave espacial de masa m = 5 000 kg se mueve en una órbita circular a h = 500 km de altura
sobre la superficie terrestre. Determina la energía que se le ha de comunicar para que abandone su
órbita y se aleje indefinidamente de la Tierra.
Datos: masa de la Tierra: M = 5,98  1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km.
El radio de la órbita es:
r = R + h = 6 400 km + 500 km = 6 900 km = 6,9  106 m
La nave en su órbita posee una energía mecánica de:
EM = –
1
Mm
1
5,98  10 24kg  5  10 3 kg
G
= –  6,67  10 –11 N m 2 Kg –2 
= – 1,45  10 11 J
2
r
2
6,9  10 8 m
A una distancia infinita el valor mínimo de la energía mecánica es 0. Por lo tanto, se han de suministrar
a la nave, como mínimo, 1,45  1011 J = 145 GJ.
11 | Velocidad de escape
V2
V1
V0
23. Velocidad de un cuerpo que se está
alejando de la Tierra. En rojo se representa,
la fuerza con que es atraído por la Tierra.
Si lanzamos un cuerpo ver ticalmente hacia arriba, sube hasta que su velocidad se anula y después cae. Cuanto mayor es la velocidad inicial que se
le comunica, mayor altura alcanza antes de caer. Podemos proponer entonces una sorprendente pregunta: ¿es posible lanzar un cuerpo con tal velocidad inicial que no caiga nunca, es decir, que se aleje indefinidamente de
la super ficie de la Tierra?
La respuesta es afirmativa. En efecto, si no hay rozamiento, la única fuerza
que actúa a partir del momento en que el cuerpo sale lanzado con una velocidad inicial v0, es su peso, es decir, la atracción de la Tierra. Esta fuerza
frenará el movimiento (Fig. 23). Pero, como se trata de una fuerza conservativa, la energía mecánica del móvil no variará en todo el recorrido. Así
pues, la energía mecánica inicial del móvil será igual a la que poseería en
el infinito (ya que suponemos que se aleja indefinidamente de la Tierra).
76
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Los planetas y satélites | 2
Si M es la masa de la Tierra, R su radio y m, la masa del móvil, su energía
mecánica en el instante inicial del lanzamiento será:
EM = Ek + Ep =
0
0
0
1
Mm
m v 02 – G
2
R
Hemos visto que, a una distancia infinita del centro de la Tierra, la energía
potencial gravitatoria del móvil es nula. Pero como el móvil, a lo largo de su
recorrido, va perdiendo velocidad, si se ha lanzado con la mínima energía
para que se aleje indefinidamente, su velocidad en el infinito será cero. Por
consiguiente su energía mecánica final (en el infinito) sería:
24. Lanzamiento del Apolo XI hacia la
Luna.
EM = EK + EP = 0 + 0 = 0
Como la energía mecánica se conserva, podemos igualar sus valores inicial
y final:
1
Mm
m v 02 – G
=0
2
R
Despejando v0 se obtiene:
v0 =
2GM
R
La velocidad inicial mínima para que un cuerpo lanzado desde la super ficie
de un planeta se aleje indefinidamente de él se llama velocidad de escape
o segunda velocidad cósmica.
De su expresión matemática se deduce que esta velocidad es independiente de la masa del móvil. Solo depende de la masa y del radio del planeta.
Así pues, la velocidad de escape es una característica propia de cada
planeta.
Teniendo en cuenta que la masa de la Tierra es de 5,98  1024 kg y su
radio, 6,38  106 m, la velocidad de escape de nuestro planeta resulta:
vo = 11 200 m/s ≈ 40 000 km/h
Si un proyectil se lanza desde la super ficie de la Tierra hacia el espacio, en
dirección no perpendicular al suelo con una velocidad superior a la de escape, su trayectoria es una hipérbola y el cuerpo no se sateliza, sino que se
aleja indefinidamente.
DOCUMENTo
Posibilidad de atmósfera en los planetas
Como sabes, las moléculas de los gases están en
constante y desordenado movimiento. Su velocidad
media es tanto mayor cuanto más elevada es la temperatura y cuanto menor es su peso molecular.
Las moléculas de los gases que podrían formar la
atmósfera de algunos planetas, a la temperatura que
se alcanza en su superficie, poseen una velocidad
que llega a superar la velocidad de escape. Los gases
se difunden entonces en el espacio sin poder ser
retenidos por la atracción gravitatoria del planeta.
Los planetas solo pueden tener atmósfera cuan-
do su velocidad de escape es superior a la velo­
cidad de las moléculas gaseosas existentes en su
super ficie. Para ello es necesario que la masa del
planeta sea suficientemente grande. La Luna y los
asteroides, por ejemplo, carecen de atmósfera
porque su masa es demasiado pequeña.
Para que en un planeta se desarrolle la vida, es
necesario algún tipo de atmósfera. Por eso puede
afirmarse que uno de los factores que determinan
la posibilidad de que exista vida en un planeta es
su velocidad de escape.
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2 | Los planetas y satélites
12 | Órbitas elípticas
El astrónomo alemán Johannes Kepler, en el siglo xvii, logró describir correctamente el movimiento de los planetas. El resultado de su trabajo quedó
enunciado en las tres leyes siguientes:
Primera ley de Kepler
Las órbitas de los planetas son elipses, uno de cuyos focos está situado
en el centro del Sol.
Segunda ley de Kepler
El segmento cuyos extremos son los centros del Sol y de un planeta
barre áreas iguales en tiempos iguales.
Cuando un planeta se desplaza alrededor del Sol, el segmento rectilíneo
que une sus centros cambia de dirección y de longitud. Todos los puntos
por los que pasa ese segmento a lo largo de un inter valo de tiempo constituyen la super ficie que denominamos el área barrida (Fig. 26).
25. Johannes Kepler.
P5
P4
Si corresponden a iguales inter valos de tiempo, las áreas barridas representadas en la figura han de tener áreas iguales. Para que sea así, en las
zonas donde el planeta está más alejado del Sol, el arco de trayectoria que
recorre debe ser más cor to, es decir, su velocidad será menor.
P3
Tercera ley de Kepler
P6
P2
P1
Figura 26.
El cuadrado del tiempo que tarda un planeta en describir su órbita es
directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.
El tiempo que tarda un planeta en completar una órbita alrededor del Sol se
llama período y se designa por T.
Así pues, la tercera ley de Kepler se puede expresar matemáticamente de
la siguiente forma:
T2
a3
= C (constante)
La tercera ley de Kepler se puede demostrar muy fácilmente para una órbita
circular.
En efecto, la velocidad de un satélite en órbita circular es igual al cociente
entre la longitud de la órbita (2 π r) y el tiempo empleado en recorrerla, es
decir el, período (T):
v =
2πr
T
Sustituyendo v por este cociente en la expresión de la velocidad del satélite,
tenemos:
v0 =
GM
r
Y elevándola al cuadrado resulta:
(2 π r )2
T
2
=
GM
r
Haciendo operaciones se obtiene:
r3
T2
=
GM
4 π2
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Los planetas y satélites | 2
El segundo miembro de esta igualdad es constante, por lo que queda comprobado que T2 es directamente proporcional a r3, tal como afirma la tercera
ley de Kepler.
Las leyes de Kepler no solo son válidas para los planetas del sistema solar,
sino también para otros cuerpos que se mueven en órbita en torno un astro
que los atrae gravitatoriamente, como los cometas alrededor del Sol y los
satélites naturales o ar tificiales alrededor de los planetas.
EjEMPLo
11. El radio medio de la órbita que describe alrededor del Sol el asteroide Gaspra es de 2,21 UA.
Calcula el período de revolución de Gaspra.
UA significa unidad astronómica, que es una
longitud muy aproximadamente igual a la distancia media de la Tierra al Sol:
1 UA = 1,496  1011 m
Simbolizaremos por RG y RT los radios medios de
las órbitas de Gaspra y la Tierra, y por TG y TT
sus respectivos períodos de revolución alrededor del Sol.
Por la tercera ley de Kepler se cumplirá que:
RG3
=
TG 2
RT3
TT 2
Dado que esta fórmula es homogénea, podemos
expresar los valores de las magnitudes que
inter vienen en cualquier unidad (naturalmente, ha de ser la misma en ambos miembros de
la igualdad).
Gaspra es una roca de unos 20 km de longitud que forma parte
del cinturón de asteroides que giran en órbita alrededor del
Sol. La sonda Galileo se aproximó a él en octubre de 1991 y
envió esta fotografía.
Expresaremos los radios de las órbitas en UA,
con lo que será RT = 1 UA (por definición).
Y, expresando en años los períodos de revolución, es TT = 1 año.
Sustituyendo valores en la anterior igualdad tendremos:
(2,21 UA)3
T
2
G
=
(1 UA)3
(1 any)2
Despejando TG se obtiene:
TG =
2,213 = 3,29 años.
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2 | Los planetas y satélites
vmáx
c
A’
vmín
F’
F
a
A
La energía mecánica de un satélite de masa m que se mueve alrededor de
un planeta de masa M en una órbita elíptica se calcula de la misma forma
que en una órbita circular, pero sustituyendo el radio del círculo por el
semieje mayor de la elipse:
EM = –
a
1
Mm
G
2
a
La longitud a se denomina tambíen radio medio de la órbita.
27. Satélite en órbita elíptica alrededor de
la Tierra, situada en el foco F de la elipse.
En A (perigeo) la distancia a la Tierra (a – c)
es la mínima y la velocidad es la máxima.
En A’ (apogeo) la distancia a la Tierra
(a + c) es máxima y la velocidad mínima.
En uno de los extremos del eje mayor de las órbitas elípticas la distancia
entre el satélite y el planeta, situado en uno de los focos de la elipse, es
mínima (punto A de la figura 27) e igual a la diferencia a – c entre el semieje
mayor y el semieje focal.
Si el planeta es la Tierra, ese punto se llama perigeo. En él la energía
potencial es mínima y la cinética es máxima.
En el otro extremo del eje mayor de la órbita la distancia entre el satélite y
el planeta es máxima (punto A’ de la figura 27) e igual a la suma a + c del
semieje mayor y el semieje focal.
Para los satélites de la Tierra ese punto se llama apogeo. En él es máxima
la energía potencial y mínima la cinética.
Conociendo las distancias máxima, rmáx, y mínima, rmín, entre un planeta y
su satélite se pueden determinar fácilmente las valores de los semiejes
mayor, menor y focal de la órbita así como su excentricidad. Para ello basta
tener en cuenta que:
rmáx = a + c 

rmín = a – c 
De donde se deduce:
a =
rmáx + rmín
2
y c =
rmáx – rmín
2
A par tir de los valores de a y c podemos calcular la longitud del semieje
menor de la órbita (b) y su excentricidad (ε):
b =
a2 – c2 y ε =
c
a
Todo lo dicho se puede aplicar a cualquier astro que gire en órbita aldedor
de otro. En el caso de los planetas, asteroides y cometas del sistema solar,
la posición de máxima distancia al Sol se denomina afelio y la de mínima
distancia, perihelio (ambas palabras proceden del vocablo griego helios,
que significa ‘Sol’).
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Los planetas y satélites | 2
EjEMPLo
12. En el año 2005 se descubrió un nuevo planeta del sistema solar al que se ha dado el nombre de Eris.
Su afelio se encuentra a 97,5 UA del Sol y su perihelio a 37,8 UA.
Determina:
a) El radio medio en m y la excentricidad de su órbita.
b) El valor de la energía orbital de Eris en función de su masa m.
c) Su velocidad orbital máxima en km/s.
Datos: 1 UA = 1,496  1011 m. Masa del Sol: M = 1,99  1030 kg.
a) Llamaremos a al semieje mayor y c al semieje focal de la órbita.
La distancia de Eris al Sol en el afelio es a + c = 97,5 UA y, en el perihelio, a – c = 37,8 UA.
De las anteriores igualdades se deduce:
a =
(97,5 + 37,8) UA
= 67,65 UA y
2
c =
(97,5 – 37,8) UA
= 29,85 UA
2
El radio medio de la órbita es: a = 67,65 UA 
La excentricidad de la órbita de Eris es: ε =
1,496  10 11 m
= 1,01  10 13 m
1 UA
c
29,85 UA
=
= 0,441
a
67,65 UA
b) La energía mecánica orbital en función de la masa m de Eris es:
EM = –
1
Mm
1
1,99  10 30 kg  m
G
= –  6,67  10 –11 N m 2 kg –2 
= (6,57  10 6 J/kg)  m
2
r
2
1,01  10 13 m
c) El planeta alcanza su velocidad máxima v en el perihelio, donde su distancia al Sol es la mínima:
r = a – c = 37,8 UA = 37,8  1,496  1011 m/UA = 5,655  1012 m.
A lo largo de la órbita se mantiene constante la energía mecánica del planeta: EM = Ek + Ep.
Para calcular su velocidad, despejaremos la energía cinética EM = Ek – Ep, es decir:
Aplicando los valores que conocemos a las magnitudes de esta expresión, tenemos:

1
M m
m v 2 = EM – – G

2
r 

1
1,99  10 30 m
m v 2 = 6,57  10 6 m + 6,67  10 –11
2
5,655  10 12
Multiplicando por 2 y dividiendo entre m la anterior ecuación, resulta:
v 2 = 2 × 6,57  10 6 + 2  6,67  10 –11
1,99  10 30
5,655  10 12
= 1,314  107 + 4,694  107 = 6,008  107
De donde se deduce: v = 7,75  103 m/s = 7,75 km/s.
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2 | Los planetas y satélites
13 | Astronáutica
En el mes de octubre del año 1957 tuvo lugar un acontecimiento que causó
sensación en el mundo y que marcó el principio de lo que se ha dado en
llamar «la era de la navegación espacial»: el lanzamiento del primer satélite
ar tificial de la Tierra, el Sputnik I. Era una esfera de 83 kg que se puso en
órbita por los técnicos y científicos de la Unión Soviética y que se mantuvo
en órbita alrededor de nuestro planeta durante 57 días.
Poco después, en enero de 1958, en Estados Unidos también se logró
poner en órbita un satélite artificial, el Explorer, un cilindro de 14 kg y unos
2 m de longitud.
Desde entonces hasta nuestros días se han puesto en el espacio innumerables ingenios espaciales:
• Satélites ar tificiales con o sin tripulación.
28. Estación Espacial Internacional, un
ambicioso proyecto cuya infraestrutura se
proyectó completar el año 2010.
• Estaciones espaciales en órbita como las Salyut, la Skylab, la MIR y la
estación Espacial Internacional IIS.
• Sondas no tripuladas que se han aproximado a diversos planetas, satélites, asteriodes y un cometa del sistema solar; incluso, se han posado
sobre la super ficie de algunos de ellos.
• Naves espaciales tripuladas, como el Apolo XI, que llevó por primera vez
al hombre hasta la super fie de la Luna, el 20 de julio de 1969.
• El telescopio Hubble, en órbita alrededor de la Tierra, que ha proporcionado valiosa información sobre el universo.
29. El telescopio Hubble ha sido una de
las herramientas fundamentales para el
conocimiento del universo en los últimos
años.
Las aplicaciones de todos estos ingenios espaciales han sido innumerables para la investigación científica, para el desarrollo tecnológico, para las
comunicaciones, para la obser vación y obtención de datos sobre nuestro
planeta y sobre el universo, etc.
Sobre estos temas podrás encontrar interesante y amplia información en
Internet.
RECURSOS INFORMÁTICOS
Para la obser vación de los astros, su posición y movimiento aparente sobre la esfera celeste se pueden
encontrar recursos introduciendo en el buscador de Internet términos como los siguientes: planisferio
celeste, astronomía, planetario vir tual, constelaciones, universo.
Para encontrar programas de simulación que te permitan experimentar con el movimiento de satélites y, en
general, de cuerpos sometidos a fuerzas mutuas de interacción gravitatoria, introduce en el buscador la
frecuencia simulador de órbitas.
Para encontrar información sobre ingenios espaciales y la historia de la navegación espacial, introduce en
el buscador algunos de los siguientes términos o secuencias: astronáutica, astronave, sonda espacial,
estación espacial, satélite artificial, o el nombre concreto del ingenio sobre el que quieras obtener información.
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Los planetas y satélites | 2
RESUMEN
La esfera celeste es una esfera imaginaria concéntrica a la Tierra y de radio mucho mayor que esta,
sobre cuya super ficie proyectamos todos los astros
del firmamento.
La visual de un astro es la recta que une la Tierra
(donde se encuentra el obser vador) con el astro,
considerando a ambos como masas puntuales.
La posición aparente de un astro es el punto de
intersección de la visual del astro con la super ficie
de la esfera celeste.
La distancia angular entre dos astros de posiciones aparentes A y B es el valor angular del arco de
circulo máximo de la esfera celeste comprendido
entre A y B.
El Polo Norte y Polo Sur celestes son los puntos de
intersección del eje del mundo con la super ficie
de la esfera celeste.
El movimiento diurno es el movimiento de rotación
de la esfera celeste alrededor del eje del mundo
dando una vuelta cada 24 horas en sentido retrógrado (el de las agujas del reloj) para un observador
del Hemisferio Nor te.
El movimiento propio es el movimiento de algunos
astros a respecto a los astros que ocupan una posición fija sobre la esfera celeste. El movimiento
propio de los planetas del sistema solar sigue trayectorias complicadas.
El sistema de referencia heliocéntrico es el que
sitúa su origen de coordenadas en el centro del
Sol; en él quedan muy simplificados los movimientos de los planetas.
Un satélite es un cuerpo que gira en órbita circular
o elíptica en torno a un planeta que lo atrae gravitatoriamente. Si un satélite describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M,
su movimiento es circular uniforme y su fuerza centrípeta es la fuerza de atracción gravitatoria del
planeta. La velocidad del satélite es:
v =
GM
r
Según la ley de Newton de la gravitación universal,
dos masas puntuales cualesquiera, m y m’, sepà­
radas por una distancia r, se atraen mutuamente
con una fuerza cuya intensidad es F =
G m m’
r2
,
donde G (constante de gravitación universal) es
6,67  10–11 N m2 kg–2.
La intensidad del campo gravitatorio en un punto
es la fuerza gravitatoria que actúa sobre la unidad
de masa situada en ese punto. Su valor es igual al
de la aceleación de la gravedad en ese punto. Se
expresa en N/kg, que equivalen a m/s2.
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio
creado por una masa m (puntual o esférica homogénea) en un punto situado a una distancia r de su
centro es:
r
m
g =G 2
r
La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de
masa m’ en el campo creado por otro cuerpo de
masa m, si sus centros están a una distancia r, es:
Ep = – G
m m’
(si los cuerpos son puntuales o
r
esféricos homogéneos).
La energía mecánica orbital de un cuerpo de masa
m que describe una órbita circular de radio r alre­
dedor de otro de masa M, es la suma de sus energías cinética y potencial gravitatoria. Su valor es: EM = –
1
Mm
G
.
2
r
La velocidad de escape o segunda velocidad cósmica es la velocidad inicial minima para que un
cuerpo lanzado desde la super ficie de un planeta
se aleje indefinidamente de él. Su valor es:
v =
2GM
R
Leyes de Kepler: 1. Las órbitas de los planetas son
elipses con un foco situado en el centro del Sol. 2. El
segmento que une los centros del Sol y de un planeta
barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del período un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.
En órbitas elípticas la posición de máxima distancia
de un satálite a la Tierra se llama apogeo y la de
mínima distancia, perigeo. En las órbitas alrededor
del Sol esas posiciones se denominan afelio y perihelio. Si a es el semieje mayor de la órbita elíptica
y c el semieje focal, la distancia máxima es
a + c y la mínima, a – c.
La energía mecánica orbital en una órbita elíptica
es E M = –
1
Mm
G
, donde a es el semieje mayor
2
a
de la elipse o radio medio de la órbita.
Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
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2 | Los planetas y satélites
ACTIVIDADES
Ley de la gravitación universal
1 Determina la intensidad de la fuerza de atracción gravitatoria entre dos bolas de plomo, de
masa m = 200 kg cada una, cuyos centros
están separados por una distancia d = 50 cm.
2 Calcula la fuerza con la que el Sol atrae al
planeta Mercurio. Razona si Mercurio atrae
al Sol con la misma fuerza.
Masa de Mercurio: MM = 3,30  1023 kg.
Masa del Sol: MS = 1,99  1030 kg.
Distancia entre Mercurio y el Sol:
d = 5,97  107 km.
3 Calcula y compara las fuerzas de atracción que
ejercen la Tierra y el Sol sobre la Luna a partir
de los siguientes datos:
Masa del Sol: 1,99  10 kg; masa de la
Tierra: 5,98  1024 kg; masa de la Luna:
7,35  1022 kg; distancia Tierra-Luna:
3,8  108 m; distancia Sol-Luna: 1,50  1011 m.
30
4 Calcula con qué fuerza atrae el Sol a una persona de 60 kg que se encuentra en la Tierra.
Masa del Sol: 2  1030 kg.
Distancia Tierra-Sol: 1,5  108 km.
5 ¿Cuánto pesará en la superficie de la Luna una
persona de masa m = 60 kg? Compara su
peso en la Luna con su peso en la Tierra.
Masa de la Luna: ML = 7,35  1022 kg.
Radio de la Luna: RL = 1 600 km.
6 ¿Con qué fuerza atrae el planeta Júpiter a un
camión de 10 TM situado en la superficie de la
Tierra cuando ambos planetas se aproximan a
600 millones de km?
Masa de Júpiter: 1,9  1027 kg.
7 Si la Tierra se contrajera hasta que su radio
fuese de solo 20 km, ¿cuánto pesaría en la
super fice terrestre una manzana de masa
200 g?
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
8 Una nave espacial viaja de la Tierra a la
Luna. Suponiendo que esté alineada con los
centros de ambos astros, ¿en qué punto
serán iguales las fuerzas de atracción de la
Tierra y de la Luna sobre la nave?
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Masa de la Luna: 7,35  1022 kg.
Distancia Tierra-Luna: 3,8  108 m.
9 Calcula la pérdida de peso que experimenta un
hombre de 70 kg al subir a la torre Eiffel (altura: 300 m). Se supone que sube en ascensor,
ya que, si lo hiciera por la escalera, perdería
mucho más peso, aunque por distinto motivo.
Masa de la Tierra = 6  1024 kg.
Radio de la Tierra = 6 400 km.
Velocidad en órbita circular
10 Un satélite artificial de la Tierra describe una
órbita circular a una altura de 1 600 km.
Calcula su período.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6 400 km.
11 Desde un lugar de la Tierra se obser va el
paso de un satélite ar tificial cada 100 minutos. Suponiendo que sigue una órbita circular, calcula:
a) El radio de su órbita.
b) Su altura sobre la superficie terrestre en km.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6,38  106 m.
12 Un planeta tiene un satélite que describe una
órbita de radio 200 000 km en 250 ho­ras.
¿Cuál sería el período de un satélite de
ese planeta si describiera una órbita de
500 000 km de radio?
13 Se llama primera velocidad cósmica de un
planeta a la velocidad que teóricamente
de­bería poseer un satélíte para mantenerse
en órbita circular al nivel de la super ficie del
planeta.Se ha de suponer que el planeta no
posee atmósfera, que frenaría el movimienmto del satélite y que no presenta obstáculos con los que podría chocar. Calcula la primera velocidad cósmica de la Tierra.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6 400 km.
14 El planeta Júpiter, per fectamente visible a
simple vista, posee cuatro grandes satélites: Io, Europa, Ganímedes y Calisto, visibles con prismáticos. Se ha obser vado que
Io da una vuelta alrededor del planeta en
42,5 horas. El radio de la órbita se estima
en 422 000 km.
Suponiendo que la órbita es circular, calcula la
masa de Júpiter.
G = 6,67  10–11 N m2 kg–2.
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Los planetas y satélites | 2
dificultad:
SENcILLA
media
ALTa
15 Calcula a qué distancia de la superficie terrestre ha de situarse un satélite en órbita circular
para que sea geoestacionario, es decir, para
que permanezca constantemente sobre el
mismo punto del Ecuador. Para ello, ha de dar
una vuelta a la Tierra en 24 horas. Este es el
caso de los satélites de televisión.
Masa de la Tierra: MT = 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: RT = 6,38  106 m.
Intensidad de campo gravitatorio
16 Calcula la intensidad del campo gravitatorio en
la superficie de Marte sabiendo que su masa
es 6,4  1023 kg y su diámetro, 6 790 km.
17 ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad en
la super ficie de un planeta de la misma densidad que la Tierra, pero de doble radio?
18 El campo gravitatorio en la super ficie de un
planeta tiene una intensidad de 7 N/kg.
Calcula la masa de un cuerpo que pesa
350 N en la super ficie de ese planeta.
¿Cuánto pesaría el mismo cuerpo en la superficie de otro planeta cuyo campo gravitatorio
tiene una intensidad de 20 N/kg?
19 La aceleración de la gravedad en la super ficie del planeta Mercurio es de 2,35 m/s2.
¿Con qué fuerza atraerá a un cuerpo de
masa 800 kg que se encuentra a una distancia de su super ficie de 4 960 km?
Radio de Mercurio: 2 480 km.
Energía potencial gravitatoria
20 Calcula la energía potencial de la Luna en el
campo gravitatorio de la Tierra.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Masa de la Luna: 7,35  1022 kg.
21 Calcula la energia potencial gravitatoria de
un cuerpo de 20 kg de masa en la super ficie
de la Luna y a una altura de 400 km sobre el
suelo lunar.
¿Con qué velocidad inicial habría que lanzar
ver ticalmente ese cuerpo desde la super ficie de la Luna para que llegara a la citada
altura de 400 km?
Masa de la Luna: ML = 7,35  1022 kg.
Radio de la Luna: RL = 1 600 km.
22 Un planeta tiene una masa de M = 3  1025 kg
y su radio es R = 107 m.
Desde una altura h = 5  106 m sobre la superficie del planeta, se deja caer un cuerpo sin
velocidad inicial. Calcula la velocidad que
alcanzará al llegar al suelo del planeta.
23 Una nave espacial, cuando se encuentra a
100 000 km del centro de la Tierra, se aleja
con una velocidad de 6 km/s. Si se mueve
por inercia, sin que se le apor te energía,
¿cuál será su velocidad cuando se halle a
una distancia de 200 000 km?
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
24 Un meteorito se mueve hacia la Tierra con
una velocidad de 5 km/s cuando está a
23 600 km de la super ficie terrestre. ¿Con
qué velocidad llegaría al suelo si la atmósfera no lo frenase?
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6,38  106 m.
25 Una nave espacial de 2 000 kg de masa se
encuentra a 23 000 km de la super ficie de la
Tierra, alejándose de ella a 18 000 km/h.
Calcula su energía mecánica.
¿Es suficiente esa energía para que escape de
la atracción gravitatoria de nuestro planeta?
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6,38  106 m.
26 En 1910 el cometa Halley se movía con una
velocidad de 55 km/s cuando se hallaba a
8,8  107 km del centro del Sol. Su velocidad
era de 42 km/s cuando se encontraba a
la misma distancia del Sol que la Tierra:
1,5  108 km. Aplicando la conservación de
la energía mecánica, calcula la masa del Sol.
Energia orbital
27 Calcula la energía mecánica orbital de un
satélite ar tificial de masa m = 250 kg que
recorre una órbita circular a h = 800 km de
altura sobre la super ficie de la Tierra.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6,38  106 m.
28 Un satélite artificial en órbita circular tiene una
energía cinética de 2,4  1011 J. Determina, sin más datos, los valores de su energía potencial gravitatoria y de su energía
mecánica.
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2 | Los planetas y satélites
ACTIVIDADES
29 ¿Qué energía se ha de comunicar a un cuerpo
de 500 kg, que está en reposo en la superfi­
cie de la Tierra, sobre el Ecuador, para situarlo
en una órbita circular a 4 000 km de altura?
Masa de la Tierra = 6  1024 kg.
Radio de la Tierra = 6 400 km.
30 Determina la energía que se ha de comunicar a un satélite artificial de la Tierra situado
en una órbita de radio r1 = 7 000 km para
transferirlo a una segunda órbita circular
cuya velocidad sea la mitad que en la primera. Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Velocidad de escape
31 Calcula el valor de la velocidad de escape de
la Luna.
Masa de la Luna: 7,35  1022 kg.
Radio de la Luna: 1,74  106 m.
32 Una nave de 20 000 kg de masa se encuentra
en reposo sobre la superficie de Marte; ¿cuál
es la mínima energía necesaria para hacerla
alejarse indefinidamente del planeta?
La masa de Marte es de 6,4  1023 kg y su diámetro de 6 790 km.
33 Sabiendo que la masa de la Tierra es 81,4
veces la de la Luna y el radio de la Tierra
3,67 veces el de la Luna, compara la energía
necesaria para que un cuerpo escape de la
atracción gravitatoria de una y otra, suponiendo que se encuentra inicialmente en
reposo sobre su super ficie.
Tercera ley de Kepler
34 A par tir de la siguiente tabla de datos reales
sobre los planetas del sistema solar, comprueba la tercera ley de Kepler.
35 El período de Plutón es de 247,7 años. Cal­
cula su distancia media al Sol.
Distancia media de la Tierra al Sol:
1,5  1011 km.
36 Calcula el período del asteroide Ceres,
sabiendo que el radio de su órbita alrededor
del Sol es 2,77 veces mayor que el de la
órbita terrestre.
Órbitas elípticas
37 Un planeta tiene un satélite que recorre su
órbita en 5 horas. Su máxima distancia al
centro del planeta es de 20 000 km y la mínima, de 12 000 km.
a)Determina la excentricidad de su órbita.
b)¿A qué distancia del centro del planeta
tendría que situarse otro satélite en órbita
circular para que recorriese su órbita en
el mismo tiempo?
38 El asteroide Ícaro tiene una forma casi esférica de 1,4 km de diámetro. Recorre una
elipse de mucha excentricidad que le hace
pasar cerca de la órbita terrestre. Sabiendo
que su afelio es de 1,9692 UA y su perihelio, de 0,1866 UA, determina su período
orbital.
39 Un satélite ar tificial de la Tierra posee una
masa de m = 400 kg. Su máxima distancia
a la super ficie de la Tierra es de 1 250 km y
la mínima, de 370 km.
Calcula la excentricidad de su órbita y su energía
mecánica orbital.
Masa de la Tierra: 5,98  1024 kg.
Radio de la Tierra: 6,38  106 m.
Planeta
Período (s)
Distancia media
al Sol (m)
Venus
1,94  107
1,08  1011
40 Razona en cuál de las dos órbitas cuyas
características se dan a contiuación tendría
mayor energía mecánica un satélite.
La Tierra
3,16  107
1,50  1011
Mar te
5,94  10
2,28  10
• Órbita 1. Distancia máxima al centro del
planeta: 10 000 km Excentricidad: 0,6.
Júpiter
3,74  108
7,78  1011
• Órbita 2. Distancia máxima al centro del
planeta: 8 000 km. Excentricidad: 0,2.
Saturno
9,30  108
1,43  1012
Urano
2,65  109
2,87  1012
Neptuno
5,20  109
4,50  1012
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