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Francesco Semerari
Lógica Matemática
Unidad #2 – Razonamiento lógico
1
Razonamiento lógico
Teoría deductiva
Un razonamiento es un conjunto de proposiciones, que
podemos dividir en dos partes:
La primera parte contiene las premisas, es decir las proposiciones
que aceptamos ser verdaderas.
La segunda parte contiene una o más proposiciones, que representan
la conclusión, o deducción.
Un razonamiento es válido si nos asegura que de premisas verdaderas
llegamos a conclusiones verdaderas.
A un razonamiento válido se le llama deducción lógica.
PREMISAS
CONCLUSION
P1
Verdadera
P2
Verdadera
.
.
.
Pn Verdadera
P
Verdadera
La deducción lógica es válida si y solo si la implicación
( P1  P2  P3  ...  Pn)  P
es una tautología.
Reglas de inferencia
Hay varias reglas de deducción lógica (reglas de inferencia), que
nos permiten formular razonamientos válidos.
2
Modus ponendo ponens
Esta regla de deducción se puede sintetizar según el siguiente esquema:
Premisas
pq
p
Conclusión
q
Ejemplos:

Si trabajo horas extras entonces incremento mis ingresos.
Trabajo horas extras
Incremento mis ingresos

Quien rompe paga el daño.
Juan rompió.
Juan paga.
Modus tollendo tollens
Esta regla de deducción se puede sintetizar según el siguiente esquema:
Premisas
pq
q
Conclusión
p
Ejemplos:

Si trabajo horas extras entonces incremento mis ingresos.
No incremento mis ingresos.
Conclusión: no he trabajado horas extras.
3

Una investigación establece lo siguiente: Si Juan es culpable,
entonces también Juana es culpable.
Profundizando la investigación resulta que Juana no es culpable.
Entonces Juan no es culpable, porque si lo fuera lo sería también
Juana, la cual se comprobó que no lo es.
Silogismo hipotético
El silogismo representa el tipo fundamental de razonamiento
deductivo de la lógica aristotélica.
Es compuesto de tres proposiciones:
Las primeras dos constituyen las premisas, que se suponen
verdaderas.
La tercera proposición es la conclusión, cuyo valor de verdad
depende necesariamente de la verdad de las premisas.
Las reglas del modus ponens y modus tollens representan dos
de los más importantes silogismos lógicos.
Regla de deducción del silogismo hipotético:
El silogismo hipotético es un argumento válido si sigue la siguiente
forma argumental:
Premisa 1
Premisa 2
Conclusión
En otros términos, en este tipo de argumentos:
Si A implica a B, y B implica a C, transitivamente el primero (A)
implica al tercero (C).
 ( A  B)  (B  C)   ( A  C)
Ejemplos:


Si llueve no salgo, y si no salgo miro la TV. Conclusión: si llueve
miro la Tv.
48 es múltiplo de 12, y 12 es múltiplo de 4. Entonces 48 es
múltiplo de 4.
4
Silogismo disyuntivo (Modus tollendo ponens)
Esta regla de deducción se puede sintetizar según el siguiente esquema:
Premisas
pq
Conclusión
q
p
Ejemplo:

Juan escucha música o estudia
Juan no estudia
Juan escucha música.
5
INDUCCION MATEMATICA
Conjuntos Inductivos.
Definición. Un conjunto S de números es un conjunto inductivo (o tiene
la propiedad de dominó) sí y sólo sí S tiene las siguientes propiedades:


1 S
k  S  (k  1)  S
Ejemplo 1.
El conjunto de los enteros positivos es un conjunto inductivo.
Ejemplo 2.
El conjunto de los números Reales es un conjunto inductivo.
Ejemplo 3.
El conjunto S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no
obstante que 1
S1; (1+1) S1.
Principio de Inducción Matemática.
Sea Pn una propiedad (función proposicional) cuyo
conjunto
referencia es Z+. Si Pn satisface las siguientes dos condiciones:


P1 (La propiedad p es cierta por n=1)
Pk  Pk 1 (Si P es verdadera por n=k, entonces es verdadera
también por n=k+1)
Entonces Pn es cierta para todo n
6
Z +.
de
De hecho, por las condiciones consideradas:
P1  P2  P3  ...  Pn  Pn1  ...
Como
este
razonamiento
continúa
indefinidamente,
podremos
``capturar'' a todos los números enteros positivos, concluyendo que la
propiedad P es cierta por todo n entero positivo.
Ejemplo 4.
Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares
positivos es n2.
Observamos que cualquier número impar se puede considerar como el
anterior de un numero par positivo, es decir que, si n es impar,
entonces n =2k-1 (un numero par menos 1)
Sea Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = k2 (hipótesis de inducción)
Entonces hay que demostrar que S1 es cierta y que
Sk  Sk 1
es cierta.
S1= 1 = 12
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)
Entonces, Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2
Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares
positivos es n2.
7
Ejemplos resueltos
Demuestra por inducción matemática que:
1) Si n es un entero positivo, entonces n( n + 1 ) es divisible
por 2.
a ) Sea n =1, entonces n( n + 1 ) =2.
P(1) ( Verdadero )
b) Hipótesis inductiva P(k) verdadero:
k( k + 1 ) es divisible por 2
c ) Demostramos que P(k+1) es verdadero, es decir que:
( k + 1 )( k + 2 ) es divisible por 2
d ) Demostración:
( k + 1 )( k + 2 ) = k( k + 1 ) + 2( k + 1 )
k( k + 1 ) es divisible por 2 (hipótesis)
2( k + 1 ) es divisible por 2 ( entero par )
Por lo tanto ( k + 1 )( k + 2 ) es divisible por 2
2 ) an - bn es divisible por a - b
a ) Si n = 1, entonces an - bn = a - b ( Verdadero )
b ) Hipótesis inductiva: ak - bk es divisible por a - b
c ) Demostramos que: ak + 1 - bk + 1 es divisible por a - b
d ) Demostración:
ak - bk es divisible por a - b
( hipótesis )
k
k
k
a( a - b ) + b ( a - b ) es divisible por a - b
ak + 1 - bk + 1 es divisible por a - b
3 ) a2n - b2n es divisible por a + b
a ) Si n = 1,
entonces a2n - b2n = a2 - b2 =
( a + b )( a - b )
( Verdadero )
es divisible por a + b
b ) Hipótesis inductiva: a2k - b2k
c ) Demostramos que:
a2( k + 1 ) - b2( k + 1 ) es divisible por a + b
d ) Demostración:
a2k - b2k es divisible por a + b ( hipótesis )
a2( a2k - b2k ) + b2k( a2 - b2 ) es divisible por
a2( k + 1 ) - b2( k + 1 ) es divisible por a + b
8
a + b
4) 2 + 6 + 10 + ........... + ( 4n - 2 ) = 2n2
a ) Si n = 1, entonces 2 = 2 ( Verdadero )
b ) Hipótesis inductiva:
2 + 6 + 10 + ..... + ( 4k - 2 ) = 2k2
c ) Demostramos que:
2 + 6 + 10 + ...... + ( 4k - 2) + (4(k + 1) - 2)= 2(k + 1)2
d ) Demostración:
2 + 6 + 10 + ..... + ( 4k - 2 ) = 2k2 ( hipótesis )
2 + 6 + 10 + ...... + (4k - 2) + (4(k + 1) - 2)=
=2k2 + (4(k + 1) - 2)
=2k2 + (4k + 4 - 2)
=2k2 + (4k + 2) = 2k2 + 2(2k +1)
Entonces:
2 + 6 + 10 + ...... + (4k - 2) + (4(k + 1) - 2)= 2( k + 1 )2
Ejercicios
1. Compruebe si son válidos los siguientes razonamientos lógicos:
[(p  q)  q]  q
[( p  q)  p]  q (Modus ponens)

[( p  q)  (q  r )]  ( p  r ) (Silogismo)


n
2.
Demuestre que por inducción y por deducción que:  k 
k 1
Utilice el principio de inducción
siguientes:
para realizar las demostraciones
n
3. Demuestre que:
 (4k  2)  2n
2
k 1
n
4. Demuestre que:
n(n  1)
2
 (2k  1)  n
k 1
9
2
 2n
n
5. Demuestre que:
 (4k  1)  n
2
n
k 1
n
6. Demuestre que:
 (4k  1)  n(2n  3)
k 1
n
7. Demuestre que:
 (3k  2) 
k 1
n
8.
n(3n  1)
2
Demuestre que:  k (k  1) 
k 1
n(n  1)(n  2)
3
9. Demuestre que:
 n(n  1) 
k


 2 
k 1
10. Demuestre que:
4(4n 2  1)
(2k  1) 

3
k 1
n
2
3
n
2
11. Demuestre por inducción y por deducción que la suma de los
primero n números pares es
n(n  1) .
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