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Semana 5
Congruencia de triángulos
Semana 5
Congruencia de triángulos
Del tópico anterior sabemos que, cuando se
aplica algún movimiento sobre una figura, obtenemos otra igual, en forma y tamaño, que la
original. Veamos, por ejemplo, que cuando sacas
una fotocopia a tu cédula (sin reducciones ni ampliaciones), esta es “similar” a la original. Puedes
chequear que al superponerla con la copia “coinciden”, es decir, son congruentes. Posteriormente
afinaremos esta idea con más ejemplos que evidencien que la congruencia está intrínsecamente relacionada con nuestro quehacer diario.
La idea central de este tema es establecer unos criterios de congruencia que nos
permitan determinar cuándo dos triángulos son congruentes; para ello usaremos un
“modelo” que nos facilite la construcción de estos.
Resuelve el crucigrama que, aparte de divertirte, te permitirá repasar algunos conceptos claves.
1
2
4
3
5
6
7
8
Verticales
1.
2.
4.
5
Isometría que representa una imagen reflejada en un espejo. En plural.
Una traslación queda definida si conocemos su distancia y…
Uno de los mosaicos que aparece en la alhambra de Granada.
Movimiento que realizas cuando abres o cierras una puerta.
Horizontales
190
3.
6.
7.
8.
Se conservan las distancias en las rotaciones, traslaciones y simetrías.
Una rotación queda determinada si se conoce su centro de giro y...
Triángulo que tiene dos lados iguales.
Triángulo que tiene sus ángulos menores de 60º
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Congruencia de triángulos
Cuando una pieza del auto se deteriora, por ejemplo un pistón, se debe buscar en
el mercado otra pieza exactamente igual a la dañada, para que el reemplazo pueda
hacerse de manera eficiente y rápida. Ambas piezas, la sustituida y la nueva, deben ser
congruentes, es decir, deben tener la misma forma y tamaño.
Siguiendo con esta idea, en la industria se emplean tecnologías para la fabricación de envases
plásticos que utilizan un molde de acero, una pieza hueca en la que se vierte el plástico fundido
para que adquiera su forma. Para esto, los plásticos se introducen a presión en los moldes y así las
maquinarias producen grandes series de piezas.
¿Cómo son las piezas entre ellas?
Figuras congruentes
En un plano, dos figuras P y P´ son congruentes si una es la imagen de la otra mediante una o varias isometrías, en cuyo caso escribimos: P = P´. Para expresar la congruencia se usa el símbolo = y se lee “es congruente con”.
Naturalmente, al coincidir las figuras, los lados y ángulos coinciden, entonces se dice
que dos segmentos o lados, son congruentes si tienen igual longitud. Dos ángulos
son congruentes si al superponerlos tienen la misma medida. Observemos las figuras
37 y 38.
F
A
D
B
A
C
E
B
C
Figura 37
En la figura 37 denotamos el
notamos así: AB = CD
A=
D
Figura 38
B. Para la congruencia de segmentos lo de-
Para comprobar que dos polígonos son congruentes, debemos mostrar que sus lados y ángulos correspondientes guardan congruencia.
Los lados y ángulos que coinciden se llaman correspondientes u homólogos.
Por ejemplo, los polígonos de la figura 39 son congruentes, lo cual expresamos así: ABCDE = LMNOP
LMNOP
ABCDE
A
O
B
E
C
D
N
P
L
Figura 39
M
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Congruencia de triángulos
Criterios de congruencia de triángulos
¿Cómo determinamos si dos triángulos son congruentes? Ciertamente si conoces
los tres ángulos y los tres lados de cada triángulo y compruebas que las medidas de
estos son iguales, garantizas la congruencia entre ellos. Pero, ¿será necesario comparar todos esos elementos para demostrar la congruencia?, ¿se podrá demostrar la
congruencia considerando menos elementos? A continuación, te ofreceremos los criterios de congruencia; sin embargo, te proponemos que, para profundizar más al respecto, consultes la sección Saber más.
Criterio de los tres lados o criterio LLL (Lado-Lado-Lado)
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente congruentes.
Observa los triángulos UVW y XYZ (figura 40).
Y
W
U
X
Z
V
Figura 40
Como UW = XZ, UV = XY, VW =YZ, entonces UVW = XYZ. Se deduce que U = X, V=Y y
W= Z
Criterio de dos lados y un ángulo o criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente congruentes (o iguales) dos
de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. Consideremos los triángulos ABC
y DEF
D
A
B
C
F
E
Figura 41
De la figura 41 tenemos que AB = DE, AC = DF y el A = B, dado que se ha establecido
una correspondencia, decimos que los triángulos son congruentes ABC = DEF; de
esta manera, tenemos que, los tres pares de lados y los tres ángulos son congruentes.
Escribimos el resto de las congruencias: BC = EF, B = E, C = F
Criterio de dos ángulos y un lado o criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también son congruentes. A estos ángulos se les
llama adyacentes al lado. Observa los triángulos OPQ y RST (figura 42).
T
Q
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O
P
R
Figura 42
S
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Congruencia de triángulos
En los triángulos se tiene que O = R, P = S y OP = RS . Se concluye que OPQ = RST.
Podemos deducir que Q = T, OQ = RT y QP = TS
Ahora, apliquemos estos conceptos. La figura 43 representa un triángulo isósceles
ABC. Demostrar que ABD = ACE, sabiendo que BD = CE
A
B
D
E
C
base
Figura 43
Por definición, el triángulo isósceles tiene dos lados iguales; por tanto, tenemos que
AB = AC. También, por definición, el triángulo isósceles tiene los ángulos de la base
iguales, por tanto, B = C. Si organizamos toda esta información, tenemos dos pares
de lados y un ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. Así que,
por el criterio LAL, concluimos que los dos triángulos son congruentes: ABD = ACE.
Intenta completar y denotar el resto de los elementos que faltan.
Saber más
Para profundizar los criterios de congruencias, te recomendamos consultar la siguiente dirección web: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=137527
1. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
Justifica en cada caso.
a) Todos los triángulos equiláteros son congruentes……………………….( )
b) Un triángulo isósceles puede ser congruente con uno escaleno….….…( )
c) Los triángulos que se forman al unir el centro con cada uno de los vértices
en un hexágono regular son congruentes………………………………( )
d)
Dos triángulos rectángulos cuyos catetos son iguales son
congruentes……………………………………………………………….( )
2. En cada caso, los triángulos son congruentes. ¿Por qué? Establece el criterio
utilizado y denota la congruencia entre los triángulos dados. Asigna letras a los
vértices de los triángulos.
b
c
d
a
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Congruencia de triángulos
3. En el cuadrilátero ABCD se tiene que BC = AD y AB = CD, entonces
¿Por qué?
A
D
B
C= A C
Figura 44
4. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura 45 son congruentes, es
necesario saber que:
a) AB = DC b) <BAO = <DCO c) AB //CD
d) AO = DO y AB = CD e) BO = CO y AO = DO
Selecciona la opción correcta.
D
B
O
A
C
Figura 45
Mosaicos de Escher
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), un holandés nacido en Leewarden, conocido
por sus famosas figuras imposibles, cuando se planteó el problema de recubrir el plano con un mismo motivo, partiendo de una figura geométrica muy sencilla, a la que va
aplicando sucesivas transformaciones, llega a la construcción de un motivo que rellena el plano. El mosaico se genera después, mediante giros, simetrías y traslaciones.
Figura 46
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Figura 47
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Congruencia de triángulos
Basándose en la propiedad recubridora de los triángulos equiláteros, Escher diseñó
un mosaico (figura 47), donde cada pez está creado a partir de un triángulo equilátero; por lo tanto, es necesario que seis peces se unan por la cola para formar 360º. Se
alternan tres colores: rojo, azul y amarillo.
Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguiente dirección web: http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/mosaicos/marco_mosaicos20.htm
Completa el dibujo de la alfombra (figura 48), sabiendo que las líneas oscuras son
ejes de simetría. Colorea la alfombra de manera que se respete también la simetría del
color.
Figura 48
Los hombres construimos demasiados muros y no suficientes puentes.
Isaac Newton
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