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1o cuatrimestre (2009)
Álgebra 1
Trabajo Práctico Nº7: “Rectas y Planos”
Rectas en el Plano
⎛ x ⎞ ⎛− 2 ⎞
⎟⎟ + λ
1) Representar en el plano los puntos sobre la recta r : ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y⎠ ⎝ 5 ⎠
correspondientes a los siguientes valores del parámetro λ :
1
5
λ = 0 , 1, 2 ,
, − 1, , − 3.
2
2
⎛ 3⎞
⎜⎜ ⎟⎟ , λ ∈ R ,
⎝1 ⎠
1
⎧
⎫
2) Representar gráficamente el subconjunto de R 2 S = ⎨(− 3, 1) + t ( 5, 2) / − ≤ t < 2⎬ .
2
⎩
⎭
3) Para cada recta, obtener una representación paramétrica, una ecuación vectorial, la
ecuación implícita (o general) y la explícita (pendiente-ordenada al origen). Graficar:
G ⎛ 2⎞
a) La recta que pasa por el punto P ( − 6 , − 1 ) en la dirección del vector u = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝1 ⎠
b) La recta que pasa por los puntos P (-5,2 ) y Q (0 ,7).
⎧ x = 9 − 4t
, t∈R .
c) La recta que pasa por R( 3 , 0 ) y es paralela a ⎨
⎩ y= t
G ⎛8⎞
d) La recta que pasa por S(4,-1 ) y es perpendicular al vector d = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝1 ⎠
e) La recta perpendicular a 2 x -3 y + 6 = 0 que pasa por el origen.
Rectas en el Espacio
⎧ x =1
⎪
4) Determinar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta r : ⎨ y = 2 + t
⎪z =t
⎩
A( 0 , 1 ,-2 )
,
B( 1 , -9 ,-11)
,
C( 1 , 7 , 3 )
,
, t ∈R :
D( 1 , 10 , 8)
5) Para cada una de las siguientes rectas:
i) Escribir una representación paramétrica y una ecuación vectorial.
ii) Determinar analíticamente los puntos de intersección con los planos coordenados.
iii) Grafícarla, señalando los puntos encontrados en el inciso anterior.
⎛1 ⎞
G ⎜ ⎟
a) La recta que pasa por P(2, 0 ,0 ) y es paralela a v = ⎜ 3 ⎟ .
⎜4 ⎟
⎝ ⎠
b) La recta por los puntos P(5 , 3 ,4 ) y Q( -2 , 3 , -1 ).
⎛5 ⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
c) La recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano generado por ⎜ 2 ⎟ y ⎜ 6 ⎟ .
⎜ 4 ⎟ ⎜1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
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Álgebra 1
Planos
6) i) Representar gráficamente los puntos (x ,y, z) que verifican las siguientes ecuaciones:
a) x = 3
b) z – 5 = 0
c) x – y = 0 ¿Qué representa esta ecuación
en R2 ? ¿Y en R3?
d) x + z - 2 = 0
e) z –5 x = 0
f)
g)
h)
i)
j)
k)
5y–3z=2
2 x + 3 y + 4 z = 12
-2 x + y - 5 z - 10 = 0
x+y–z=0
3x+y–2z+6=0
2x+2y–z=0
ii) En cada caso, encontrar un vector normal al plano y representarlo en el mismo gráfico.
7) Encontrar las ecuaciones implícita, vectorial y paramétricas del plano que:
⎛ − 1⎞
G ⎜ ⎟
a) pasa por P ( − 2, 1 , 0 ) y es perpendicular a r = ⎜ 2 ⎟ .
⎜5 ⎟
⎝ ⎠
b) pasa por Q( 2 , 0 ,-6) y es paralelo al plano 4 x – y - 2 z = 10.
⎛5 ⎞
⎛2 ⎞
G ⎜ ⎟
G ⎜ ⎟
c) pasa por el punto P (-9,1,2) y es paralelo a los vectores a = ⎜ 0 ⎟ y b = ⎜1 ⎟ .
⎜2 ⎟
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
d) contiene a los puntos P (1,1,1) , Q (2,3,4) y R (5,2,6).
⎧ x = 2λ +3μ
⎪
e) es paralelo a r : ⎨ y = 6
⎪ z = 7−λ + μ
⎩
λ , μ ∈ R y pasa por M ( 0, − 2 , 5 ) .
⎛ x ⎞ ⎛0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f) contiene a la recta s : ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + μ
⎜ z ⎟ ⎜3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ , μ ∈ R y al punto
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎛2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g) contiene a las rectas r : ⎜ y ⎟ = ⎜1 ⎟ + α
⎜ z ⎟ ⎜6 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟ .
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎧y = 4
.
⎜ 0 ⎟ , α ∈ R y s: ⎨
⎩z = 0
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
8) Encontrar el valor de las constantes h y k de modo tal que el plano π : hx + ky + z + 5 = 0 :
a) pase por los puntos P(1 , 2 ,-4) y Q(-2 ,3 ,1) .
⎛3 ⎞
G ⎜ ⎟
b) sea perpendicular al vector n = ⎜ 6 ⎟ .
⎜1⎟
⎝ ⎠
c) sea paralelo al plano α : 3x − 5 y + z − 9 = 0 .
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Álgebra 1
9) Responder a las siguientes preguntas, realizando gráficos para ilustrar sus respuestas :
a) ¿Puede ser nulo el vector director de una recta? Justifique.
b) ¿Cómo deben ser entre sí los dos vectores directores de un plano?
⎛ 6⎞
⎛ 3⎞
⎛ x ⎞ ⎛0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
c) ¿Qué tipo de conjunto representa la ecuación ⎜ y ⎟ = ⎜1 ⎟ + α ⎜ − 1⎟ + β ⎜ − 2 ⎟ ?
⎜ 8 ⎟
⎜ 4⎟
⎜ z ⎟ ⎜0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
G
G
d) Si el plano ax + by + cz = d tiene vectores directores u y v ,¿qué relación existe entre
⎛a⎞
G ⎜ ⎟ G G
los vectores n = ⎜ b ⎟ y u × v ?
⎜c ⎟
⎝ ⎠
e) ¿Qué particularidad tiene un plano de ecuación ax + by + cz = 0 ?
f) ¿Qué puede decir sobre los planos ax + by + cz = d y ax + by + cz = e si d ≠ e ?
g) Dados dos puntos distintos del espacio, ¿qué debe cumplir un tercer punto para que sólo
exista un plano que contenga a los tres?
h) Si se sabe que una recta r es paralela a cierta recta s, ¿cómo deben ser r y s para que
existan infinitos planos que contengan a ambas rectas a la vez?
G
i) Dado un vector de R 3 − 0 , ¿cómo se distribuyen todos los vectores ortogonales a él?
{ }
3