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1o cuatrimestre (2009) Álgebra 1 Trabajo Práctico Nº7: “Rectas y Planos” Rectas en el Plano ⎛ x ⎞ ⎛− 2 ⎞ ⎟⎟ + λ 1) Representar en el plano los puntos sobre la recta r : ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ y⎠ ⎝ 5 ⎠ correspondientes a los siguientes valores del parámetro λ : 1 5 λ = 0 , 1, 2 , , − 1, , − 3. 2 2 ⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , λ ∈ R , ⎝1 ⎠ 1 ⎧ ⎫ 2) Representar gráficamente el subconjunto de R 2 S = ⎨(− 3, 1) + t ( 5, 2) / − ≤ t < 2⎬ . 2 ⎩ ⎭ 3) Para cada recta, obtener una representación paramétrica, una ecuación vectorial, la ecuación implícita (o general) y la explícita (pendiente-ordenada al origen). Graficar: G ⎛ 2⎞ a) La recta que pasa por el punto P ( − 6 , − 1 ) en la dirección del vector u = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1 ⎠ b) La recta que pasa por los puntos P (-5,2 ) y Q (0 ,7). ⎧ x = 9 − 4t , t∈R . c) La recta que pasa por R( 3 , 0 ) y es paralela a ⎨ ⎩ y= t G ⎛8⎞ d) La recta que pasa por S(4,-1 ) y es perpendicular al vector d = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1 ⎠ e) La recta perpendicular a 2 x -3 y + 6 = 0 que pasa por el origen. Rectas en el Espacio ⎧ x =1 ⎪ 4) Determinar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta r : ⎨ y = 2 + t ⎪z =t ⎩ A( 0 , 1 ,-2 ) , B( 1 , -9 ,-11) , C( 1 , 7 , 3 ) , , t ∈R : D( 1 , 10 , 8) 5) Para cada una de las siguientes rectas: i) Escribir una representación paramétrica y una ecuación vectorial. ii) Determinar analíticamente los puntos de intersección con los planos coordenados. iii) Grafícarla, señalando los puntos encontrados en el inciso anterior. ⎛1 ⎞ G ⎜ ⎟ a) La recta que pasa por P(2, 0 ,0 ) y es paralela a v = ⎜ 3 ⎟ . ⎜4 ⎟ ⎝ ⎠ b) La recta por los puntos P(5 , 3 ,4 ) y Q( -2 , 3 , -1 ). ⎛5 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) La recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano generado por ⎜ 2 ⎟ y ⎜ 6 ⎟ . ⎜ 4 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1o cuatrimestre (2009) Álgebra 1 Planos 6) i) Representar gráficamente los puntos (x ,y, z) que verifican las siguientes ecuaciones: a) x = 3 b) z – 5 = 0 c) x – y = 0 ¿Qué representa esta ecuación en R2 ? ¿Y en R3? d) x + z - 2 = 0 e) z –5 x = 0 f) g) h) i) j) k) 5y–3z=2 2 x + 3 y + 4 z = 12 -2 x + y - 5 z - 10 = 0 x+y–z=0 3x+y–2z+6=0 2x+2y–z=0 ii) En cada caso, encontrar un vector normal al plano y representarlo en el mismo gráfico. 7) Encontrar las ecuaciones implícita, vectorial y paramétricas del plano que: ⎛ − 1⎞ G ⎜ ⎟ a) pasa por P ( − 2, 1 , 0 ) y es perpendicular a r = ⎜ 2 ⎟ . ⎜5 ⎟ ⎝ ⎠ b) pasa por Q( 2 , 0 ,-6) y es paralelo al plano 4 x – y - 2 z = 10. ⎛5 ⎞ ⎛2 ⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ c) pasa por el punto P (-9,1,2) y es paralelo a los vectores a = ⎜ 0 ⎟ y b = ⎜1 ⎟ . ⎜2 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d) contiene a los puntos P (1,1,1) , Q (2,3,4) y R (5,2,6). ⎧ x = 2λ +3μ ⎪ e) es paralelo a r : ⎨ y = 6 ⎪ z = 7−λ + μ ⎩ λ , μ ∈ R y pasa por M ( 0, − 2 , 5 ) . ⎛ x ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) contiene a la recta s : ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + μ ⎜ z ⎟ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ , μ ∈ R y al punto ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g) contiene a las rectas r : ⎜ y ⎟ = ⎜1 ⎟ + α ⎜ z ⎟ ⎜6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ . ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎧y = 4 . ⎜ 0 ⎟ , α ∈ R y s: ⎨ ⎩z = 0 ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ 8) Encontrar el valor de las constantes h y k de modo tal que el plano π : hx + ky + z + 5 = 0 : a) pase por los puntos P(1 , 2 ,-4) y Q(-2 ,3 ,1) . ⎛3 ⎞ G ⎜ ⎟ b) sea perpendicular al vector n = ⎜ 6 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ c) sea paralelo al plano α : 3x − 5 y + z − 9 = 0 . 2 1o cuatrimestre (2009) Álgebra 1 9) Responder a las siguientes preguntas, realizando gráficos para ilustrar sus respuestas : a) ¿Puede ser nulo el vector director de una recta? Justifique. b) ¿Cómo deben ser entre sí los dos vectores directores de un plano? ⎛ 6⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ x ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) ¿Qué tipo de conjunto representa la ecuación ⎜ y ⎟ = ⎜1 ⎟ + α ⎜ − 1⎟ + β ⎜ − 2 ⎟ ? ⎜ 8 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ z ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G d) Si el plano ax + by + cz = d tiene vectores directores u y v ,¿qué relación existe entre ⎛a⎞ G ⎜ ⎟ G G los vectores n = ⎜ b ⎟ y u × v ? ⎜c ⎟ ⎝ ⎠ e) ¿Qué particularidad tiene un plano de ecuación ax + by + cz = 0 ? f) ¿Qué puede decir sobre los planos ax + by + cz = d y ax + by + cz = e si d ≠ e ? g) Dados dos puntos distintos del espacio, ¿qué debe cumplir un tercer punto para que sólo exista un plano que contenga a los tres? h) Si se sabe que una recta r es paralela a cierta recta s, ¿cómo deben ser r y s para que existan infinitos planos que contengan a ambas rectas a la vez? G i) Dado un vector de R 3 − 0 , ¿cómo se distribuyen todos los vectores ortogonales a él? { } 3