Download 8.- Geometría Analítica

Colegio La Presentación
MATEMÁTICAS I
Granada
Relación de Ejercicios
Relación 8: Geometría Analítica
de Matemáticas
→
→
1 →
 1 →
(i) Sea OABC un paralelogramo. Demuestra que OA+  OC− OA = OB .
2
2
∆
(ii) Sea ABC un triángulo cualquiera. Calcula:
→
→
→
→
→
→
(a) AB+ BC + CA
(b) AB+ CB+ AC
 A ( x,1)

Dados los puntos:  B ( 3, 2 ) . Calcula:

C (1, x )
(a) Calcula x para que a y b sean:
 a =  AB 

 

b = CB 
(i) Linealmente independientes.
(ii) Linealmente dependientes.
{ }
→
(b) Los vectores u = AB
{ }
→
v = AC
{ }
→
w = AD forman una base B = {u , v , w} .
Dados los puntos A(1,0), B(1,3), C(2,6).
→
(a) Halla los puntos del segmento BC que dividan al segmento en 4 partes iguales.
(b) ¿Qué entiendes por vectores de posición de A?
(c) Expresa x = (1, − 1) como combinación lineal de los vectores de posición de B y
C.
1 1
(d) Si los vectores {b , a } forman base y el vector x =  , −  está expresada en
3 3
dicha base. Halla sus coordenadas en la base canónica.
Dados los puntos A(-2,3) y B(1,7) se pide, calcula el punto M tal que el vector OM
tenga de módulo 2 y sea perpendicular a
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AB .
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El módulo de la diferencia de dos vectores a y b es 7. Sabiendo que el módulo de
a es 8 y que a y b forman un ángulo de 60º. Calcula el módulo de b .
Sean A(0,0), B(8,2) y C(2,6) los vértices de un triángulo. Halla:
(a) El punto medio del segmento BC
(b) El baricentro G del triángulo ABC
(c)  AG  +  BG  + CG 
(d) Un vector equivalente a BC que comience en Q(1,3)
( )
3
Sean los vectores a y b tales que a = 4 , b = 8 , cos a , b =
. Calcula:
2
(a) (a + b) ⋅ (a − b)
(b) (a + b) 2
(c) (a − b) 2
Los vectores p = OP y q = OQ forman ángulos agudos α y β, respectivamente, con
1
y que los módulos de los
3
vectores son p = 6 y q = 12 , calcula el producto escalar p ⋅ q .
el eje OX. Sabiendo que sen α =
2
3
y sen β =
Halla la proyección del vector u = −3 i + 5 j sobre el vector v = −7 i − j .
Expresa –5x + 2y – 3 = 0 en todas sus formas. Halla una paralela por P(2, –3).
Una recta r está determinada por el punto A( − 1,0) y el vector u = ( − 2,1) . Calcula:
(a) Ecuación de r en todas las formas.
(b) Posición de r con respecto a 5x − 3y + 4 = 0.
(c) Ángulo que forma r con
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x−2
= y+4.
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Las rectas ax + 2y − 6 = 0; 2x − y − 2 = 0 son perpendiculares y concurren en un
punto con la recta 4x + by − 16 = 0. Halla a y b.
Halla m y n en las ecuaciones de las rectas:
r ≡ m x − 2 y + 3 = 0
 para que:
s ≡ x − 3y + n = 0 
(a) Las rectas sean coincidentes.
(b) Paralelas.
(c) Perpendiculares.
(d) Para que r y s pertenezcan al haz de rectas de vértice el punto P(1,3).
Determina m para que las rectas mx + y = 12 y 4 x − 3 y = m + 1 sean paralelas, y halla
su distancia.
Halla los puntos de la recta y = x + 1 que distan del punto A(1,3) 4 unidades.
Dados los puntos A(1,1), B(4,2) y C(3,m), halla m para que el triángulo ABC tenga 2
unidades de área.
Sea A(2,4) y r ≡ 2x + y – 2 = 0.
(a) Por A se traza la perpendicular a r. Halla un punto de esta perpendicular que
equidiste de A y de la recta.
(b) La recta r corta en un punto B al eje de ordenadas. Halla el ángulo que forma el
vector BA con la recta r.
(c) Halla el área del triángulo determinado por A, el punto B de corte de r con el eje
 x = 2t
de ordenadas y el punto C de corte de r con la recta paralela a 
 y = 1− t
por el
punto medio del segmento AB .
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Dada la recta r ≡ x + 2 y − 6 = 0 . Halla:
(a) El simétrico del punto P (3, 6) respecto a r.
x = 3 − t
(b) El ángulo que forma con la recta s ≡ 
.
y = t
(c) Una recta paralela a r y que diste 2 unidades del punto P(1,-1).
(d) Bisectriz del ángulo que forman r y s.
Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 5x – 3y – 2 = 0
y pasa por A(2,0) y B(0, –2).
Un triángulo isósceles tiene los vértices en los puntos (2,0) y (8,0) y el tercer vértice
se halla situado en la recta 3x – 2y = 1. Determina la ecuación de la circunferencia
circunscrita a dicho triángulo.
Halla la posición de las circunferencias:
(a) x 2 + y 2 − 4 x + 4 y − 17 = 0 ;
(b) ( x + 2) + ( y + 1) = 16 .
2
2
2
Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia ( x − 1) + ( y − 2) = 10 en
2
el punto de abscisa x = 2.
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