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13 CORRIENTE ALTERNA (RLC EN SERIE) OBJETIVOS Para un circuito de corriente alterna LRC en serie: Medir la corriente eficaz Medir voltajes eficaces en el condensador y en la bobina Medir la impedancia total Medir indirectamente la resistencia óhmica total Medir las reactancias capacitiva e inductiva Por medio de operaciones con fasores, contrastar los resultados experimentales con la teoría MATERIALES Tablero electrónico de entrenamiento Condensador Dos bobinas distinguidas con los números 1 y 2 Dos tester digitales Fuente de corriente alterna de voltaje variable Cables y conectores PARTE TEÓRICA Un circuito de corriente alterna (ac) está formado por elementos eléctricos y una fuente de alimentación de voltaje alterno. En la figura 1 se muestra el diagrama de un circuito de ac con un solo elemento resistivo. Si la fuente de voltaje alterno es del tipo sinusoidal: E = E0sent donde es la frecuencia angular ( 2f ). El voltaje a través de la resistencia es también, una función sinusoidal de la forma: V V0 sent (1) con V0 = E0 Que oscila entre los valores extremos instantáneos: +V0 y –V0 siendo V0 el voltaje pico. 1 La corriente a través de la resistencia también varía en forma sinusoidal: I V V0 sent I 0 sent R R (2) donde I0 es la corriente pico. La figura 2 muestra las gráficas del voltaje y de la corriente, en función del tiempo. Observa que están en fase, esto es: alcanzan valores de cero y valores extremos al mismo tiempo. Fig. 1 Fig. 2 Como la corriente oscila entre + V0 y –V0 en cada ciclo, y el valor promedio de la función sen(2f )t en uno o más ciclos completos es cero, la corriente promedio es cero. Pero, el hecho de que la corriente promedio sea cero, no significa que no haya calentamiento por efecto joule, esto es; disipación de energía. La disipación de energía instantánea se obtiene utilizando la corriente instantánea: P I 2 R I 02 Rsen 2 2ft (3) Como el cuadrado de la corriente siempre es positivo, el valor promedio de la potencia instantánea: I 2 R es diferente de cero. El promedio de I 2 es: y, el promedio de I 2 I 02 sen 2 2ft I 02 sen 2 2ft sen 2 1 1 cos 2 1 2 2 Tenemos para la potencia media: P 1 2 I0 R 2 (4) Escribiendo la potencia media para la corriente alterna como se expresa en los circuitos de corriente directa ( P I 2 R ) tenemos: 2 2 P I rms R (5) donde: I rms I0 2 0.707 I0 (6) Al valor I rms se lo denomina corriente eficaz o corriente rms (siglas que en ingles significan raíz cuadrática media). Por un razonamiento similar se deduce el voltaje eficaz o voltaje rms V Vrms 0 0.707V0 (7) 2 La ley de Ohm para un circuito de corriente alterna se escribe: Vrms I rms R (8) para los efectos de disipación de energía, un circuito ac es equivalente uno de corriente directa (dc) por el cual circule una corriente continua I de valor I = Irms y esté sometido a un potencial V = Vrms CIRCUITO CAPACITIVO Conectemos una fuente de fuerza electromotriz de corriente alterna con una capacitancia pura, formando el circuito que se muestra en la figura 3. Aplicando la regla de las mallas se tiene E VC 0 V0 sent donde Q 0 C respecto del tiempo: VC Q C entonces; y Q CV0 sent I (9) Fig. 3 La corriente I es la derivada de Q dQ CV0 cost dt (10) con la identidad trigonométrica cos sen se puede escribir la corriente como: 2 I CV0 sen 2 (11) I 0 CV0 Así, se tiene para la corriente un valor pico igual a: (12) Por analogía con el circuito resistivo, para el cual, la relación correspondiente es: 3 V0 . La resistencia efectiva de un circuito capacitivo, llamada reactancia capacitiva R Xc, tiene unidades de ohms y se define como I0 XC 1 C (13) La ecuación (12) toma la forma I0 V0 y, para la corriente eficaz: XC V (14) I rms rms XC La ecuación 11 muestra que en un circuito puramente capacitivo, la corriente adelanta al o 90º. En la figura 4 se grafica este 2 comportamiento. voltaje en Fig. 4 CIRCUITO INDUCTIVO Ahora, en el circuito alimentado por la fuerza electromotriz ac, remplazamos el capacitor por un inductor (Fig. 5). Repitiendo el procedimiento anterior, aplicamos la regla de las mallas para los potenciales en una trayectoria cerrada V0 sen(t ) VL 0 V0 sen(t ) L dI 0 dt VL L donde dI dI dt V0 sent dt L Integrando esta ecuación obtenemos para la corriente: Fig.5 I V0 cos(t ) L Usando la identidad trigonométrica cos sen 2 I V0 sen t L 2 (15) La corriente pico a través del inductor es: 4 I0 V0 L y, la corriente eficaz: I rms Vrms L (16) Con argumentos similares a los usados en el circuito anterior, tenemos para la resistencia efectiva en un circuito puramente inductivo el valor L . A esta resistencia efectiva se le llama reactancia inductiva XL, tiene unidades de ohms y se define como: X L L (17) La ecuación 15 muestra que en un circuito puramente inductivo, la corriente se retrasa o 90º. En la figura 6 se 2 grafica este comportamiento. respecto al voltaje en Fig. 6 CIRCUITO LRC EN SERIE Estudiaremos ahora un circuito que contiene los tres elementos en serie, una resistencia R, un condensador C y un inductor L (Fig. 7). VR, VL y VC representan los voltajes en cada uno de estos elementos en un instante determinado. Con la notación: VR0, VL0 y VC0, representaremos los voltajes máximos (pico) de estos voltajes alternos. Los voltajes a través de cada uno de estos elementos seguirán las relaciones de fase que se describieron en las secciones anteriores. Es decir, VR estará en fase con la corriente, VL adelantará a la corriente en 90º y VC estará retrasado con relación a la corriente en 90º. Asimismo, en cualquier tiempo el voltaje total E suministrado por la fuente será igual a Fig. 7 E = VR VC VL Pero; como los diferentes voltajes no están en fase (alcanzan su valor máximo en diferentes tiempos), la suma de los voltajes eficaces o rms no es igual al voltaje rms de la fuente, ni la suma de los voltajes pico es igual al voltaje pico de la fuente. Esta característica de los circuitos de corriente alterna, obliga a tomar en cuenta las relaciones de fase entre voltajes y corrientes cuando se opera matemáticamente con estas magnitudes. Para determinar los voltajes en cada elemento debemos conseguir la corriente total del circuito en serie, la cual debe ser la misma para todos los componentes. Así, la corriente en cada elemento tiene la misma fase, aunque los voltajes tengan diferentes relaciones de fase. 5 Por comodidad tomaremos para la corriente I I 0 senwt . Para analizar este tipo de circuito LRC es conveniente hacerlo mediante un diagrama fasorial, en el cual, tanto los voltajes, como las corrientes se representan por medio de una flecha o fasor (como vectores en el plano) en un sistema cartesiano “xy” (Fig. 8). La longitud de cada flecha roja representa la magnitud del voltaje pico a través de cada elemento. VR 0 I 0 R VL 0 I 0 X L , VC 0 I 0 X C Fig. 8 La corriente I0 se representa con la flecha azul que hace con el eje “x” un ángulo t . Como VR0 está en fase con la corriente, el fasor que lo representa tiene igual dirección que la corriente. Puesto que VL0 precede a la corriente en 90º, también se adelanta a VR0 en 90º .VC0 se retrasa 90º respecto a la corriente, en consecuencia, también lo hace respecto de VR0 . Conforme transcurre el tiempo, el ángulo t aumenta y todo el diagrama gira en contra de las agujas del reloj, manteniendo las relaciones de fases constantes. Por medio de esta representación fasorial, se puede encontrar el voltaje total V sumando los tres fasores, de la misma manera como se suman vectores. En la figura 9 se muestra el voltaje resultante de la suma de VL y VC y en la figura 10 el fasor correspondiente al voltaje total V cuyo valor pico V0 está dado por: V0 VR20 VL 0 VC 0 I 02 R 2 I 0 X L I 0 X C 2 2 I 0 R 2 X L X C 2 Fig. 9 I0Z (18) Fig. 10 Donde Z, por la ley de Ohm, corresponde a la resistencia efectiva al paso de la corriente. Esta resistencia efectiva del circuito ac, recibe el nombre de impedancia. Para el circuito en serie la impedancia Z está dada por: 6 Z R X L X C 2 2 1 R L C 2 2 (19) Los valores pico I0 y eficaz Irms, de la corriente son respectivamente I0 V0 Z I rms (20) Vrms Z (21) VOLTAJE EN EL INDUCTOR (VL ) Voltaje eficaz en el inductor. El voltaje eficaz ( Vrms ) está dado por: VLrms I rms X L VrmsL 1 R 2 L C 2 (22) VOLTAJE EN EL CONDENSADOR (VC ) Voltaje eficaz en el inductor De igual manera que para el inductor, encontramos que el voltaje eficaz (VCrms), en el condensador es: Vrms VCrms I rms X C C R 2 L 1 C 2 (23) VOLTAJE EN LA RESISTENCIA ( VR) Voltaje eficaz en la resistencia: VRrms I rms R Vrms R 1 R 2 L C 2 (24) 7 PARTE EXPERIMENTAL Se estudiará el comportamiento de un circuito ac compuesto con los elementos R, L y C en serie, donde la resistencia R del circuito, se debe principalmente a la resistencia eléctrica del enrollado de la bobina L, por eso, la denotaremos como RL. Esta resistencia se puede considerar conectada en serie. El esquema del montaje se muestra en la figura 11, donde los elementos están conectados en serie a una fuente de tensión alterna de amplitud variable Hz. 0 y frecuencia fija f = 60 Fig. 11 En este circuito, como ya fue indicado, la resistencia eléctrica RL puede considerarse conectada en serie, y la impedancia del elemento: bobina más su resistencia, es la impedancia de un circuito RL en serie. O sea; una resistencia RL más una reactancia inductiva XL: Z1 R 2 X L R 2 L 2 2 (25) En consecuencia, el voltaje eficaz VLR(rms) está dado por la relación: VLR ( rms) I rms RL2 X L2 I rms RL2 2 L2 (26) ACTIVIDADES DURANTE LA SESIÓN DE PRÁCTICA Fig.12 Fig. 13 8 El análisis y procesamiento de los datos se hará en el libro de Excel: “Circuito de Corriente Alterna” ACTIVIDAD 1 1. El circuito mostrado en la figura 11, lo encontrarás montado, solo debes cuidar que esté conectado a una sola bobina; la indicada con el número 1. El circuito está alimentado con una fuente variable (0-15 V) de voltaje alterno y frecuencia fija de 60 Hz. 2. Los terminales donde medirás el voltaje de salida de la fuente y los voltajes del condensador y de la bobina, están debidamente indicados en el tablero de conexiones. 3. Revisa que el control del voltaje de la fuente esté en posición de mínima salida antes de prenderla. 4. La corriente en el circuito, la medirás con el tester identificado con “A”, este tester debe estar en la modalidad de miliamperímetro para corriente alterna y en la escala de 400 mA (Fig.12) 5. El tester que se usa como voltímetro (identificado con “V”) debe estar en la modalidad de voltaje alterno y en la escala de 20 V (Fig. 13) 6. Prende la fuente y sube el voltaje lentamente hasta que el amperímetro indique una corriente de 380 mA aproximadamente (no excedas de 390 mA) 7. Mide el voltaje de salida de la fuente (Fig. 14), el voltaje en el condensador (Fig. 15) y en la bobina (Fig. 16), y la corriente en el circuito (tester “A”). Recuerda que todas estas medidas, corresponden a valores eficaces. Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 8. Repite 12 veces el paso 7, bajando cada vez el voltaje de la fuente, hasta llegar, más o menos, a 3.4 mA, lo que corresponde a un voltaje de salida de la fuente de 0.06 V aproximadamente. 9. Cuando termines de medir, baja el voltaje de la fuente hasta el mínimo y apágala. 10. De las ecuaciones: 19, 21, 23 y 26, podemos despejar los valores de C, RL y L, en función de las magnitudes medidas, lo que corresponde a las siguientes expresiones: C I rms ; VCrms L 1 2VCrms I rms V 2 LR ( rms ) 2 2 VCrms Vrms 9 VLR ( rms) RL I rms 2 1 2 2 2 VLR ( rms ) VCrms Vrms 2VCrms I rms 2 VLR ( rms) I rms 2 L 2 11. Con la ayuda del Excel, encuentra los valores de C, RL y L con sus respectivos errores estándar. 12. Compara por medio de la diferencia porcentual, cada uno de los valores medidos con su valor indicado en el tablero o en la bobina. Diferencia porcentual Valor medido Valor indicado 100 Valor indicado ACTIVIDAD 2 13. Cambia la bobina que estabas usando, por las dos bobinas conectadas en serie (la 1 con la 2) 14. Repite los pasos del 6 al 11 y mide la resistencia equivalente RLE y la inductancia equivalente LE , de las dos bobinas en serie 15. Usando los valores nominales indicados en las bobinas, calcula los valores equivalentes de la resistencia y de la inductancia, predichos por la teoría: RLE = RL1 + RL2 y, LE = L1 + L2 16. Compara por medio de la diferencia porcentual, cada uno de los valores medidos con su valor calculado. Diferencia porcentual Valor medido Valor calculado 100 Valor calculado 17. Apaga la fuente y los tester e imprime tu informe. ACTIVIDAD 3 (APLICACIÓN TEÓRICA) Para un circuito RLC en serie, se estudiará el comportamiento en función de la frecuencia de las siguientes variables: la resistencia debida a la bobina, o reactancia 1 inductiva X L L . La resistencia del condensador o reactancia capacitiva X C C Y, la resistencia total del circuito o impedancia Z 1 2 Z R 2 X L X C R 2 L C 2 10 Un circuito RLC en serie tiene una resistencia óhmica R = 1000 Ω, y cuando se le aplica un voltaje alterno de frecuencia f = 2000 Hz, las reactancias capacitiva e inductiva adquieren igual magnitud, esto es: |XL| = |XC |= 1884 Ω. 1.- Encuentre los valores del condensador y de la inductancia. 2.- Elabore una tabla que muestre los valores de XL, XC y Z, para f = 200, 300, 600, 800, 1.000, 1.200, 1.500, 2.000, 2.500, 3.000, 4.000, 6.000, 7.000, 9.000 y 10.000 Hz. 3.- En un mismo gráfico representa las curvas correspondientes a: XL, XC y Z en función de ω 4.- Analiza cuál de las reactancias predomina en las bajas frecuencias, y cuál en las altas frecuencias. 5.- ¿Para qué frecuencia la impedancia es mínima y cuánto vale? 11