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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el
Universo”.
Galileo Galilei
MATEMATICAS
GRADO QUINTO
2012
PGF03-R03
Tabla de Contenido
UNIDAD Nº 1 ....................................................................................................................................... 4
NÚMEROS NATURALES, RELACIONES Y OPERACIONES ............................................................. 4
LECTURA AFECTIVA .......................................................................................................................... 5
VALOR POSICIONAL DE NÚMEROS HASTA CENTENA DE BILLÓN .............................................. 9
OPERACIONES BÁSICAS: SUMA Y RESTA ................................................................................... 14
OPERACIONES BÁSICAS: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ............................................................. 17
POTENCIACIÓN Y SUS PROPIEDADES.......................................................................................... 22
RADICACIÓN .................................................................................................................................... 28
LOGARITMACIÓN ............................................................................................................................. 32
DIVISIBILIDAD .................................................................................................................................. 35
MÚLTIPLOS, DIVISORES, DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS .... 39
UNIDAD Nº 2 ..................................................................................................................................... 46
NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS ........................................ 46
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR ............................................................ 47
CONCEPTO, CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES ...................................... 50
ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................. 54
FRACCIONES EQUIVALENTES ....................................................................................................... 57
OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS ...................................................................... 62
NÚMEROS MIXTOS Y FRACCIONARIOS ........................................................................................ 67
UNIDAD Nº 3 ..................................................................................................................................... 74
NÚMEROS DECIMALES, RAZONES Y PROPORCIONES ............................................................... 74
LECTURA AFECTIVA …………………………………………………………………………….76
NÚMEROS DECIMALES ................................................................................................................... 77
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES ............................................................................... 80
CONCEPTO DE RAZONES Y PROPORCIONES ............................................................................. 87
MAGNITUDES DIRECTAS O INVERSAMENTE PROPORCIONALES ............................................. 91
APLICACIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA O INVERSA ............................................... 97
PORCENTAJE ................................................................................................................................. 100
UNIDAD Nº 4 ........................................................................................................................ 110
NÚMEROS ENTEROS, OPERACIONES Y RELACIONES .................................................. 110
LECTURA AFECTIVA……………………………………………………………………………115
CONCEPTO Y CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROS ENTEROS. ............................... 115
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ..................................................................... 121
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ..................................................... 121
SIGNOS DE AGRUPACIÓN EN SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS ............ 126
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON LOS NÚMEROS ENTEROS ..................................... 131
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ....................................................................... 136
ECUACIONES ADITIVAS ..................................................................................................... 139
ECUACIONES MULTIPLICATIVAS ...................................................................................... 142
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................... 148
WEBGRAFIA ........................................................................................................................ 149
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INTRODUCCIÓN
¿Para qué necesitamos saber matemáticas? Es la pregunta que a veces se hacen los
jóvenes, y vaya que hay varias razones. Nadie duda que vivimos en un mundo de incesantes
cambios, determinados por la conquista del espacio, las comunicaciones, la era de la
informática, robótica, inventos inimaginables, todo lo cual determina nuevas relaciones de
convivencia humana, cultural, política, científica, esa es la realidad en que a las actuales y
más aún a las futuras generaciones, nos tocará vivir.
Cada vez reconocemos, que la matemática y así lo reconocen todas las culturas, desde
tempranas edades, es un instrumento formidable para el desarrollo del pensamiento lógico,
crítico, con un inmenso valor informativo, formativo, instrumental y práctico. Con razón, diría
Galileo: 'la naturaleza es un libro abierto y el lenguaje en que está escrito es el de las
matemáticas'.
Gracias a ella, otras ciencias han alcanzado sitios importantes de desarrollo y son
consideradas entre las ciencias exactas. El mundo contemporáneo y el de las próximas
generaciones, plantea al ser humano, nuevas condiciones y dimensiones en su formación,
porque así exigen las necesidades y saberes. Necesitamos seres que: "Sepan tomar
decisiones, solucionen problemas, sean solidarios, utilicen adecuada y conscientemente
productos de alta tecnología, trabajen en equipo, procesen e interpreten información,
respeten las diferencias y toleren la oposición, respeten racionalmente la naturaleza,
preserven la paz y prevengan las causas de la violencia, convivan y se complementen
integral y armónicamente entre culturas diversas.
No olvidemos que desde ahora es posible aprender con las matemáticas, recuperando las
vivencias del niño o niña que se reflejan cuando cuenta 1, 2, 3 goles y brinca de alegría con
la selección Colombia, o cuando disfruta por sí mismo en los deportes de su preferencia, al
jugar canicas, contar paquetes de cocadas, hacer mandados que impliquen ensayar las
operaciones fundamentales, actividades en que no sólo utiliza nociones, conceptos y
operaciones matemáticas, sino que pone a prueba sus destrezas y habilidades cognitivas y
sicomotoras.
Para esto se requiere: 'Aprender a amar, a aprender, a crear, a investigar, a convivir, a
comunicarnos, a cooperar, a decidir, a imaginar, a cambiar, a ser autónomo, a ser flexible, a
trascender. Si todo esto lo interiorizáramos en la práctica, los resultados serían fabulosos
para el desarrollo integral del ser humano, en los ámbitos del saber, hacer y ser. ¿No creen
entonces que son suficientes razones para que, desde la enseñanza de la matemática,
contribuyamos a este propósito educativo?
COMITÉ DE MATEMATICAS
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UNIDAD Nº 1
NÚMEROS NATURALES, RELACIONES Y OPERACIONES
PROPÓSITO: Comprender las características y propiedades del conjunto de los números
naturales para solucionar ejercicios y problemas relacionados con nuestra cotidianidad que
favorezcan el trabajo en equipo, la toma de decisiones y el desarrollo de habilidades del
pensamiento.
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LECTURA AFECTIVA
Dicen que los zorros son muy astutos y que siempre están engañando a los otros animales
del bosque. Pero en este cuento, la urraca es más inteligente que él. ¿Quieres saber cómo la
urraca engañó al zorro?
Había una vez una corneja que tenía un nido en un árbol, donde vivía con sus tres cornejitas
aún sin plumas. Un zorro que vivía en aquel bosque se dio cuenta de esto y, queriéndose
comer a las cornejitas, pensó en cómo engañar a la madre. Por eso gritó:
- ¡Eh, señora corneja! Soy leñador y el Rey en persona me ha ordenado que corte este árbol.
La corneja, asustada, comenzó a suplicar:
-Se lo ruego, señor leñador, deme un poco de tiempo. Cuando mis hijos hayan crecido me iré
a otra parte y podrá talar el árbol.
-Aunque yo crea lo que dice, el Rey no creerá en lo que yo le diga, contestó el zorro. Tendría
que llevarme a uno de sus hijos como prueba.
De esta manera, la corneja le entregó uno de sus polluelos al zorro.
A la mañana siguiente, el zorro volvía a estar al pie del árbol:
- Señora corneja, hoy sí debo cortar el árbol sin falta.
La corneja se asustó aún más y volvió a suplicar:
- Deme más tiempo, por favor. Le daré a otro de mis hijos.
El zorro buscó excusas, fingió estar enfadado, pero finalmente aceptó y se fue con otra de
las cornejitas.
Al cabo de unos días, pasó cerca del nido una urraca, que vio cómo la corneja estaba muy
triste, acompañada de un solo polluelo.
- ¿Qué le ocurre que está tan triste, señora corneja? preguntó la urraca.
La corneja le explicó todo lo que había pasado.
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- Seguro que esto ha sido culpa del zorro, que la ha engañado ?respondió la urraca. ? Si el
zorro vuelve a aparecer, dígale sin miedo: ¡Váyase y no vuelva! No pienso darle ninguno de
mis hijos, porque ya sólo me queda uno".
Al día siguiente, el zorro volvió con la misma historia de siempre, pero la corneja le dijo que
se fuera. Y aunque el zorro dio golpes con la cola al árbol, la corneja no le dio el único hijo
que le quedaba.
- ¡Esto ha sido culpa de la urraca, seguro! ¡Gritó furioso el zorro! ¡Pero ya verá!, ¡me vengaré
de ella!
Se fue corriendo y cerca del árbol se tumbó en la hierba y se hizo el muerto.
Al poco tiempo apareció la urraca, que empezó a volar alrededor del zorro para asegurarse
de que realmente estaba muerto. Cuando se aseguró que no se movía, pensó:
- "¡Qué festín me voy a dar! Pero voy a empezar por la cola, porque si empiezo por la cabeza
podría pillarme con los dientes."
Y dicho y hecho, la urraca empezó a picotear la cola del zorro. Pero al llegar a la cabeza, el
zorro, que no se había movido para no asustar a la urraca, abrió la boca y atrapó al pájaro.
La urraca, sin perder la esperanza, dijo:
- ¿Por qué me ha atrapado entre sus dientes, señor zorro? ¿A caso le he hecho algún mal?
- ¿Qué si me ha hecho algún mal? ?contestó el zorro enfurecido.- ¡Le ha metido ideas raras
en la cabeza a la corneja y no me querido dar el último de sus hijos!
Pero la ira es mala consejera: el zorro no se acordó de que la urraca tenía alas, y justo en el
momento en que abrió la boca, el pájaro salió volando y se posó en la rama más alta del
primer árbol que vio.
El zorro, fuera de sí por la rabia, intentó trepar al árbol, para comerse a la urraca, pero en
mitad de la subida cayó y murió al instante. Y así fue como acabó el zorro que había
engañado a la corneja.
Invéntate y escribe una historia en tu cuaderno, de un animal doméstico que no sabe contar
sino pequeñas cantidades.
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Nuestros antepasados seguramente sabían contar tanto como la corneja. El lenguaje de
algunas tribus que aún hoy existen en apartadas regiones lo confirman. Existen palabras
que significan uno, dos y hasta tres, pero de ahí en adelante cualquier cantidad se dice…
muchos.
Pero, ¿ desde cuándo se tiene certeza qué comenzó el uso de los numerales?
La idea de número surge del concepto de unidad, intuitivo en el hombre y que constituye la
base de todo sistema numérico. El origen de la aritmética rama de la matemática que tiene
por objeto el estudio del número estuvo en la necesidad que al hombre se le planteó en
épocas muy lejanas de encontrar un procedimiento por el cual pudiera contar objetos y
conjunto de objetos que le rodeaban y que tenían para el un interés práctico, así como la
necesidad de medir.
Fueron los griegos los primeros en superar el carácter estrictamente empírico de los cálculos
aritméticos de egipcios, sumerios e hindúes.
En una época tan remota como el año 3.000 a.c ,en Egipto había ciudades prosperas con
mercados y casa de comercio. Llevar los registros comerciales requería el uso de grandes
números. Así que los egipcios establecieron el uso de numerales con los cuales cuales
podían expresar cifras que iban desde las unidades hasta los cientos de miles.
En otro valle, entre los ríos Tigris y Eúfrates, en el territorio conocido actualmente como Irak,
tambíen surgió una próspera civilización: Los “Babilonios”. Ellos desarrollaron la aritmética
bajo dos ejes: “el número 10” y “el número 60”. “El número 10” se explica por los dedos de la
mano y el “60” se debe a las observaciones astronómicas y a la divisíon del año en 360 días.
En la evolución de la aritmética tuvo especial importancia la ampliación progresiva del
concepto de número natural. De esta manera se llegó al número entero, que permitía
solucionar ciertas ecuaciones y operaciones que eran imposibles dentro del conjunto de los
números naturales.
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COMPRENSIÓN DE LECTURA
Escribe el número de la proposición donde se encuentra la respuesta a cada pregunta.
 Nombres de las civilizaciones que intervinieron en la lectura________________________
__________________________________________________________________________
El significado de aritmética___________________________________________________
__________________________________________________________________________
¿Cuál es la base de todo sistema numérico
¿Qué requerían los registros comerciales?______________________________________
__________________________________________________________________________
 Entre qué ríos está ubicado Irak______________________________________________
__________________________________________________________________________
 Bajo qué ejes los babilonios desarrollaron la aritmetica____________________________
_________________________________________________________________________
 ¿Porqué los babilonios tomaron el número 10 como uno de los ejes de la
aritmética?_________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
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VALOR POSICIONAL DE NÚMEROS HASTA CENTENA DE BILLÓN
Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello
objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más
adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por
ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. A lo largo de
la historia ha habido distintos sistemas de numeración, como el maya, el chino o el sistema
romano, con simbolos y reglas diferentes a los nuestros. Nuestro sistema de numeración
decimal procede de la India, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa.
El sistema de numeración más usado es el sistema de numeración decimal. La base de éste
sistema es 10, es decir emplea 10 símbolos básicos que son los números dígitos y las
agrupaciones se hacen de10 en 10.
Los números se pueden escribir de acuerdo a su valor relativo, polinomial y /o exponencial.
El sistema de numeracióndecimal
es un sistema posicional, es decir
que el valor o la magnitud de cada
número depende de la posición que
ocupa.
En el sistema de numeración decimal se tienen las siguientes equivalencias.
1 decena
1 centena
1 unidad de mil
1 decena de mil
1 centena de mil
1 millón
1 unidad de
billón
10 unidades
10 decenas = 100 unidades.
10 centenas= 1000 unidades.
10 unidades de mil=10.000 unidades.
10 decenas de mil = 100.000 unidades
10 centenas de mil = 1000.000 unidades
10 centenas de millón =1”000.000.000.000
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Observemos el cuadro se mencionan los planetas de nuestro sistema solar; la distancia
media que los separa del sol y su diámetro.
Nombre del
planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Distancia media al sol (Km)
Diámetro(m)
58 000 000
108 000 000
149 000 000
229 000 000
782 000 000
1435 000 000
2890 000 000
4800 000
12 200 000
12 700 000
6 800 000
143 000 000
120 000 000
48 280 000
Neptuno
4500 000 000
45 000 000
Plutón
5950 000 000
5 800 000
a. Ordenemos los planetas del más pequeño al más grande; toma como base los datos
de la columna “diámetros”. (escribe el número 1 frente al nombre del planeta más
pequeño, el 2 frente al que sigue, etc.).
b. ¿Qué distancia hay entre la órbita de Venus y la de Marte?
_______________________________________________
c. ¿Está más cerca Venus de la tierra que Urano de Neptuno?
______________________________________________
1. Lee mentalmente, cada número sepáralo correctamente y escribe en tu cuaderno como se
leen:
a. 345 896 706
b. 4 780 654 032
c. 6 782 120 065 056
d. 51 249 003 005 654
e. 208 080 080 543 216
2. Completa hasta centena de billón los siguientes números.
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Doce
billones
trescientos
seis
mil
…………..………………….…………..………………………………………
…………………………………………………………………………….......
--------------------------
……………………………………………………………………………..
Trescientos
tres
billones
cuatrocientos
tres
mil
………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………
---------------------------
………………………………………………………………………………..
Noventa
y
tres
billones
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
---------------------------
……………………………………………………………………………….
Seiscientos
cuatro
billones
seiscientos
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
---------------------------
…………………………………………………………………………………..
3. Selecciona la respuesta correcta
A. .El número 56.895.356 se escribe exponencialmente …
a) 5 * 107 + 6 * 106 + 8 * 105 + 9 * 104 + 5 * 103 + 3 * 102 + 5 * 101 + 6 * 100
b) 5 * 107 + 9 * 104 + 5 * 103 + 3 * 102 + 6 * 106 + 5 * 101 + 6 * 100 + 8 * 105
c) 6 * 107 + 5 * 106 + 5 * 105 + 9 * 104 + 5 * 103 + 3 * 102 + 5 * 101 +0 * 100
d) Ninguna de las anteriores
B .Escribe en el cuaderno los siguientes números, forma polinomial y exponencial.
a) 3.567.890.545.789
b)
67.890.654.876.456
c)
343.098.675.432.453
d)
23.456.743.905.324
e)
56.981.043.678.196
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1. Completa el cuadro, haciendo la descomposición exponencial de cada número y escribe
como se leen.
Número
145.600.950.005
Descomposición
Lectura
Número
620.150.000.800
Descomposición
Lectura
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Número
5.120.000.200.000
Descomposición
Lectura
2. Escriba los números que cumplan con la condición dada.
a. Estén comprendidos entre un billón y dos billones, pero más próximos a un billón.
b. Estén comprendidos entre trece billones y catorce billones, pero más próximos a catorce
billones.
3. Construye cada número, léelo y escríbelo correctamente, luego inventa una adición y una
sustracción con estos valores.
a) 5UMILLON - 1C DE MIL MILLON- 2DMIL MILLON- 9D- 3UMIL- 6DMILLON
b) 9U- 2C- 8D DE MIL DE MILLÓN- 1UMILLON- 3B- 7D- 5CMIL DE MILLÓN
Adición
Sustracción
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OPERACIONES BÁSICAS: SUMA Y RESTA
En la vida real existen múltiples situaciones que se pueden plantear e
interpretar en forma de problema y cuya solución involucra las
operaciones básicas con naturales.
Los términos o partes de la adición son: sumandos y total.
Los términos o partes de la resta o sustracción son: minuendo, sustraendo y
diferencia.
1. Escribamos en cada vértice un número entero del 1 al 12 inclusive, sin repeticiones, de
modo que en cada uno de los 5 cuadrados la suma de los cuatro números de sus vértices
sea la misma.
2. Don Enrique y su esposa la Sra. Ana han decidido ordenar sus cuentas para estudiar la
posibilidad de comprarse un lavadora por un valor de $965.742 y un televisor plasma por $
1· 245.670 en el mes de abril. Para esto han decidido hacer un balance mes a mes de todas
las entradas y gastos de la familia.
En el mes de enero Don Enrique tenía un saldo de $ 194.890
El mes siguiente (Febrero) aumentó sus entradas por trabajos extra de don Enrique a
$456.000 y se gastaron $ 120.000 en una salida a la playa de 10 días. Calcula el saldo final
de Febrero.
En Marzo mejoraron las cosas aunque siguieron los gastos: los trabajos extra de don Enrique
aumentaron el saldo en $700.000 y las ventas del Kiosco a $280.000 y además recibió
$80.000 de su padre... Calcula el saldo de Marzo.
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En Abril se mantuvieron las entradas de Marzo y se
36.0000
Calcula el saldo de Abril.; ahora responda:
recibieron una bonificación por $
¿Les alcanza el dinero a Don Enrique y a su esposa para comprar lo que desean?
¿Qué cantidad le sobra o les falta?
1. Soluciona los siguientes problemas mentalmente
A. En el colegio de mi hermana hay el triple de mujeres que de hombres. ¿Cuántas mujeres
hay en el colegio si hay 250 hombres? _______
B. Don Pedro tiene el triple de la edad de su hijo Tomás. Si Tomás tiene 14 años, ¿cuántos
años tiene Don Pedro?_______
C. Carlos y su hermano Juan tienen una sociedad. Carlos aportó el triple del capital que
aportó Juan. Si Juan aportó $200.000. ¿Cuánto aportó Carlos? ________
D. Mateo triplicó las ventas de su empresa en 5 años. Si inició vendiendo $120.000 diarios
¿cuánto vende ahora? ______________
E. Don Francisco hace 4 viajes al día transportando 36 cajas con 72 tarros de conserva cada
una. ¿Cuantos tarros transporta Don Nicolás al día?_____________
F. En el condominio donde vive Isabella hay seis torres de 13 pisos. Si las torres tienen 4
apartamentos por piso, ¿cuántos apartamentos tienen el condominio? __________
G. En una biblioteca hay dos estantes. Uno de 7 divisiones con 22 libros cada una y el otro
estante de 12 divisiones con 25 libros. ¿Cuántos libros hay en total?___________
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H. En un restaurante se paga a los empleados $16.000 diarios en jornada diurna y $ 21.000
por cada turno con noche. ¿Cuánto ganó Pablo este mes trabajando 18 días y 4
turnos?_________
1.Determina los números que faltan de modo que los siguientes cuadrados resulten mágicos,
o sea, que el producto de filas y columnas sean siempre el mismo número
45
24
45
16
67
60
2. Escribe los resultados de estas operaciones.
a. (354 + 122) + 123 (463 + 117) + 312
b. (121 + 12) + 200 35 + (403 + 234)
c. 203 + (128 + 330) (147 + 540) + 233
3. Agrupa con paréntesis y encuentra el valor de cada ejercicio.
a) 1.123.000 + 2.077.987 - 1.003.005
b) 2.704.653 + 1.613.895 - 2.242.000
c) 3.124.980+ 9.704.765 + 1.567.900
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OPERACIONES BÁSICAS: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
La multiplicación es la forma abreviada de expresar una adición de sumandos iguales. Los
términos de la multiplicación son los factores y el producto.
La división es la operación inversa a la multiplicación y se utiliza ante dos circunstancias:
1. Cuando se quiere repartir en grupos iguales cierta cantidad. Se conoce la cantidad de
grupos y se necesita averiguar cuántos
objetos lleva cada grupo.
2. Cuando queremos repartir cierta cantidad de objetos en diferentes grupos.
Los términos o partes de la multiplicación son: multiplicando, multiplicador y producto.
Los términos o partes de la división son: dividendo, divisor, cociente y residuo.
A.Lee cada enunciado y descubre el número que cumple con la condición dada
1.Multiplicando por 3 la mitad de un número, obtenemos el 15. ¿Qué número es?
____________________________________________________________________
2.- Dividiendo por 2 el triple de un número, obtenemos el 12. ¿De qué número se trata?
____________________________________________________________________
3.- ¿Qué cifra hay que añadir al triple de 6 para obtener 20?
____________________________________________________________________
4.- ¿Qué número obtendremos de añadir el 9 a cuatro decenas?
____________________________________________________________________
5.- Si restamos una decena de un número y lo dividimos entre 2, obtendremos el 20. ¿Qué
número es?
____________________________________________________________________
6.- ¿Cuál es el triple de la mitad de 12?
____________________________________________________________________
7.- ¿Cuántos grupos de 12 unidades se pueden formar con 60?
____________________________________________________________________
8.- La tercera parte de un número es 25. ¿Qué número es?
____________________________________________________________________
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9.- ¿Cuál es el resultado de restar 2 decenas a 29?
B.Resuelve el siguiente problema, de acuerdo con la siguiente información:
La tabla muestra las tarifas que cobra el correo aéreo para transportar cartas, o paquetes
dentro del territorio colombiano.
Un mensajero envió 5 paquetes de 1500 g cada uno, 6 de 3000 g cada uno, 54 cartas de 62
g cada una y 2 cartas de 82 g cada una.
PESO EN
GRAMOS
0 – 25
COSTO
500
26 – 50
1000
51 – 100
1500
101 – 250
251 – 500
2000
2500
501 – 1000
3000
1001 – 2000
3700
Kilo Adicional
700
a. ¿Cuánto pago el mensajero en total?_____________
b. Si pago con 7 billetes de $ 20.000¿Cuánto le devolvieron?__________
1. Completemos los diagramas, realizando las operaciones indicadas y el cálculo numérico.
a. 34. 345 + 3567

X 26 
b. 9245 56 - 6894 98 
X 6
X x 5 145
+ 5.568 
c.
/23
11
X4
+4456773

38712
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2. Realiza las siguientes operaciones y escribe verdadero o falso
a. 345.789 x 456= 157679784
b.2.947.854 / 48 =61.423
c. 6.432.926 x 819= 526.856.484
d. 651.456.712 / 765= 851.566
e. 923.456.195/ 167= 5.529.867
f. 23.456.790.000- 14.678.109.765= 8.778.680.240
3.Relaciona cada división con su cociente y su residuo
85.687 : 5 142
301
333.600 : 3 475
47
569.685 : 1.892
96
292.126 : 6.215
75
21
193
37
0
4.Soluciona los problemas:
Lee, analiza y responde las situaciones que se pueden dar en el restaurante.
1. Una botella de aceite es suficiente para freir 86 empanadas. Para freir 1204
empanadas, ¿cuántas botellas hay que gastar?
2. Tres libras de arroz alcanza para preparar 25 porciones, en la semana se sirvieron 5
925 porciones. ¿Cuántas libras de arroz se utilizaron?
3. En una zapatería, el total del recio del calzado que está en inventario es de
$34.569.876, si hay 465 pares ¿Cuál es el precio promedio de cada par de zapatos?
4. El matrimonio García decidió planear las próximas vacaciones junto con sus hijos:
Matías, Laura y Ezequiel, de trece, diez y cinco años respectivamente., el costo por
persona es de 1.567.943. Si tienen ahorrado 5.432.178. ¿Qué cantidad de dinero les
falta para cumplir con lo planeado?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
19
PGF03-R03
Soluciona los problemas 1,2,3 y 4 de acuerdo con la siguiente información.
Una compañía de automóviles reportó sus ventas durante el tercer trimestre del año.
Mes
ENERO
FEBRERO
MARZO
Total de ventas en pesos.
463’986. 395
204’ 582.002
566’ 152.000
1. ¿Cuál es el total de las ventas del trimestre?
a.1234’720.397
b. 3214’620.576
c.1324’610.576
d. 1579’359.426
2. ¿Cuál es la diferencia en pesos entre las ventas enero y febrero?
a.259’404.393
b.259’406.256
c.265’506394
d.369’504.206
3. Si la compañía vende aproximadamente doce vehículos Sprint durante un mes, a un costo
de $21’587.600 ¿Cuál es el total de las ventas en un mes?
a. 259’051.200
b. 359’061.300
c. 259’051.120
d. 825’396.200
4. Durante el mes de marzo, los automóviles estuvieron en oferta. Si vendieron 24 autos y el
total de ventas fue $566’152.080. ¿Cuál es el precio de cada automóvil?
a. 23’589.670
b. 42’869.670
c. 26’942.820
d. 13’589.670
5. Don Daniel tiene una crianza de pollos, patos, pavos y conejos angora. Para ordenar su
negocio, construyó el siguiente cuadro, en el que figura el número de animales de cada
especie que tiene en su parcela, el costo de crianza y el precio de venta por unidad; pero, le
faltó colocar los precios por el total de cada especie. Ayúdale a Don Daniel realizando los
procesos en cada caso.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
20
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 5
21
PGF03-R03
POTENCIACIÓN Y SUS PROPIEDADES
Una forma de representar cantidades es la notación científica o
exponencial, que se obtiene cuando un número se multiplica por sí
mismo una cantidad definida de veces. Por ejemplo, si se multiplica ocho
por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.
BASE: Factor que se repite en la multiplicación.
EXPONENTE: Las veces que se repite el factor.
POTENCIA: Resultado de la multiplicación es decir, el producto
Si Una forma de representar cantidades es la notación científica o exponencial, que se
obtiene cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces. Por
ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.
Si
se
escribe
en
forma
exponencial
se
anota,
8 5.
En este caso, al número ocho se le llama base (número que se va a multiplicar por sí mismo)
y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al ocho por sí
mismo).
De
85
acuerdo
=
8
Elevar
con
X
lo
8
a
X
una
anterior,
8
X
se
8
puede
X
potencia
decir
8
el
=
32
número
que:
768
10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número. Por ejemplo:
104
=
10
X
10
X
10
X
10
=
10
000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros, así se puede decir que 10 8 es igual a un
uno y 8 ceros, o sea 100 millones.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
22
PGF03-R03
EJEMPLO: En una reserva hay 3 leonas que tienen 3 crías hembras cada una. Después de
dos años estas crías tienen a su vez 3 crías hembras cada una. Representemos la situación
Leona 1
Leona 2
Leona 3
EJEMPLO 2 :En esta tabla se expresan las distancias aproximadas de cada planeta al Sol.
Escribe estas distancias de forma simplificada, utilizando potencias de base diez:
MERCURIO
57.900.000 km.
VENUS
108.000.000 km.
TIERRA
149.600.000 km.
MARTE
227.900.000 km.
JÚPITER
778.000.000 km.
SATURNO
1.427.000.000 km
URANO
2.870.000.000 km
NEPTUNO
4.500.000.000 km.
PLUTÓN
579 x 105
5.900.000.000
MATEMATICAS – Matemáticas 5
23
PGF03-R03
1. Completa el cuadro, utilizando la potenciación y sus términos.
Productos
Potencias
3 x 3x3x3x3x3x3
2 x 2 x 2x2x2x2
4x4x4x4
6x6x6x6x6
5x5x5x5x5x5x5
1x1x1x1x1x1x1
8x8x8x8
( 7x7 ) . (7x7x7)
2 a la cero
Base
Exponente
Se lee
2. Completemos los siguientes enunciados:
a. 4 es el cuadrado de de 2 porque ____________________________
b. 9 es el ------------------- de --------- porque -------------------c. ------- es el cubo de 2 porque ---------------------------------d. 125 es el ---------------------- de -------------porque
e. -----------es el ------------------de 3 porque ------------------f. El cuadrado de 10 es -----------------porque
g. El -------------------- de 5 es ------------------porque ------------h. 1000 es el --------------------- de 10 porque
i. ------------es el cuadrado de 4 porque ----------------3. Resuelve los siguientes problemas:
a. ¿Cuántos huevos hay en una docena de huevos?
b. Un tanque tiene 75 cm de arista ¿Cuál es el volumen?
c. Un patio cuadrado tiene 1 m de lado ¿Cuál es su área?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
24
PGF03-R03
d. Si un decámetro tiene 10 metros, un metro tiene 10 decímetros, un decímetro tiene 10
centímetros y un centímetro tiene 10 milímetros. ¿Cuantos milímetros tiene un decámetro?
e. ¿Cuál es el área de la alcoba de Juan Si tiene en uno de sus lados 15m?
3. Completa la tabla:
1
2
3
CUADRADO
1
4
9
CUBO
1
8
4
5
6
7
8
9
10
4.Realiza las sumas de cada expresión y encuentra la potencia correspondiente.
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = .............
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = ..............
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ................ = ................
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ................ = ..............
5. Encuentra el valor de cada potencia aplicando sus propiedades
52 +52 = ..............................................................................................................
32 x 32 = ..............................................................................................................
102 / 10 = ............................................................................................................
12 + 32 = ..............................................................................................................
32 . 33 = ..............................................................................................................
12 + 22 + 32 = ................................................................................. .....................
MATEMATICAS – Matemáticas 5
25
PGF03-R03
6. Cada tarjeta de la izquierda tiene una equivalente a la derecha. Colorea del mismo
color las tarjetas que son equivalentes.
9x9x9xx9
10 a la tres
Tres a la cinco
4x4x4x4
0x1x 2 a la dos
1 a la seis
7x7x7x7
5x5x5
1
243
0
125
6561
2401
256
1000
7.Completa la palabra que hace falta en cada enunciado:
a. Una multiplicación en la que todos los factores son iguales, se indica abreviadamente en
una -----------------b. En una potencia el factor que se repite se llama -------------------------------y el número de
veces que se repite es el --------------------------c. La multiplicación abrevia adiciones en las que todos los sumandos son --------------------, la
potenciación, multiplicaciones en las que todos los ----------------------------son iguales.
Realiza las operaciones, aplica las propiedades de las potencias y ubica las respuestas en el
dibujo.
a) 2 a la tres por 2 a la dos.
Potencia 2 a la cinco
Resultado 32
b) 5 a la cuatro dividido 5 a la dos
Potencia
Resultado
c) tres a la cuatro + tres a la cero
Potencia
Resultado
d) 9 a la dos elevado a la dos
MATEMATICAS – Matemáticas 5
26
PGF03-R03
Potencia
Resultado
e) 4 a la ocho dividido 4 a la 2
Potencia
Resultado
f)8 a la nueve dividido 8 a la seis.
Potencia
Resultado
g) 10 a la 5 por 10 a la tres.
Potencia
Resultado
h) Dos a la tres elevado a la potencia 6
Potencia
Resultado
MATEMATICAS – Matemáticas 5
27
PGF03-R03
RADICACIÓN
En la radicación buscamos el valor de una base que elevada a
ese orden n nos de como resultado el radicando. Ejemplo:
,
Los términos o partes de un radical son: índice, cantidad subradical
radicando y base o raíz.
o
Para encontrar la raíz exacta de un número más grande se realiza la descomposición de
números en sus factores primos. Observa el ejemplo:
Encuentra las raíces cuadradas de cada expresión.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
28
PGF03-R03
64
100
121
36
49
144
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
81
400
900
625
529
784
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
=
................................
1. Encuentra la raíz de cada ejercicio propuesto y transfórmala en una potencia.
2. Convierte cada potencia en raíz, ubicando correctamente sus términos:
a. trece a las dos.
b. 9 a la seis
c.10 a la diez
MATEMATICAS – Matemáticas 5
29
PGF03-R03
d. cuatro a la ocho
e. cinco a la cuatro.
3. Selecciona la respuesta correcta, realizando el proceso necesario en cada caso.
a. Si a=+100, b=44, n=6; el término 2
a)
4
b) 144
c) 124
d) 170
a b . n es igual a:
b .Si a=3, b=4, c=8, x=0 el valor de a. (b+c) + x(b-5c) y su raíz cuadrada el resultado es:
a) 6
b) 30
c) 33
d)
3
c. El resultado de
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
3
8000 es:
d. La operación 66 + (4)4 da como resultado:
a) 46.912
b) 612.000
c) 512.171
d) 612.171
e. La raíz cúbica de un número es 343, el número es:
a) 7
b) 49
c) 63
d) 3
MATEMATICAS – Matemáticas 5
30
PGF03-R03
Resuelve los siguientes problemas
a. El tablero de ajedrez es un cuadrado que tiene un total de 64 cuadrados para jugar.
¿Cuántos cuadrados tiene por cada lado?
b. Un parque de forma cuadrada tiene una superficie de 1225 m. Si hay un camino que
rodea al parque y Edgar se entrena allí dando 4 vueltas a su alrededor ¿cuántos metros
recorre?
c. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado que mide 81 cm de área? Justifica tu
respuesta_____________________________
d. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado que mide 10.000 cm
___________________________________________
de área?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
31
PGF03-R03
LOGARITMACIÓN
Los geofísicos son los profesionales de las ciencias de la tierra, que se
encargan de estudiar la estructura y composición del suelo, así como los
posibles cambios y modificaciones que puede tener con el paso del
tiempo, o por alteraciones naturales o generadas por el hombre.
Para el estudio de un suelo se requiere conocer la edad del mismo y
para esto los geofísicos usan una relación matemática que contiene una
operación matemática conocida como logaritmo.
El proceso de hallar el exponente desconocido conociendo la base y la
potencia es llamado logaritmación.
El símbolo de la operación es Log.
1. Escribe los siguientes productos como potencias, luego convierte a raíces y logaritmos.
12 · 12
=
2·2·2
=
35 · 35 · 35
=
108 · 108
=
95 95 · 95
=
2. Completa el siguiente cuadro
Potencia
Resultado
Raíz
Logaritmo
62
253
1013
3. Encuentra el valor de cada logaritmo.
a. Log en base 7 de 343 es igual a
b. Log en base 10 10.000 es igual a
MATEMATICAS – Matemáticas 5
32
PGF03-R03
c. Log en base 4 de 256 es igual a
d. Log en base 2 de 256 es igual a
e. Log en base 5 de 3.125 es igual a
1. Une los ejercicios propuestos con sus respuestas, utilizando raíces, potencias y
logaritmos.
2. Observa la solución a cada logaritmo y escribe si es verdadero o falso.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Log8(64) =
Log4(64) =
Log8(82) =
Log4(43) =
Log9 (6561) =
Log2 (1024) =
Log7 (2401) =
2
3
2
2
4
10
3
MATEMATICAS – Matemáticas 5
33
PGF03-R03
3. Completa cada expresión, de acuerdo a su enunciado.
2 3= 8.
a. log2 8 = 3
porque
b.log10 100000=
--------------------------------
c.log9 = 729 =
----------------------------------
d. 2 4 = 16 =
----------------------------------
e.log 121728 =
--------------------------------
f. log7 49 =
g. (17) 2 = 289
-----------------------------------------------------------------------
1. Encuentra la base a cada logaritmo y descubre el número que hace falta.
a) Log(729) = 3
b) Log(1296) = 4
c) Log(512) = 3
d) Log(128) = 7
e) Log(144) = 2
2) Calcula el valor de x en cada caso.
a.
b.
c.
d.
e.
3 = Log3(x)
(4)=Logx( 256)
3 = Log5(x) =
x = Log8(4096)
Log10(10000) = x
MATEMATICAS – Matemáticas 5
34
PGF03-R03
DIVISIBILIDAD
Divisible
por:
Criterio
Ejemplo
2
Un número es divisible por 2 cuando la cifra
54328
de las unidades es múltiplo de 2 (número par)
3
Un número es divisible por 3 si la suma de los
valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 34218
3
4
Un número es divisible por 4 cuando el
número formado por las dos últimas cifras es 5612
múltiplo de 4
5
Un número es divisible por 5 cuando la cifra
de las unidades es múltiplo de 5 2345- 4500
(0 ó 5)
6
7
Un número es divisible por 6 cuando es
divisible por 2 y por 3
34218
Un número es divisible por 7 cuando la
diferencia entre el número sin la cifra de las
147
unidades y el doble de la cifra de las unidades
es múltiplo de 7
8
Un número es divisible por 8 cuando el
número formado por las tres últimas cifras es 548
múltiplo de 8
9
Un número es divisible por 9 si la suma de los
valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 981
9
10
Un número es divisible por 10 si la cifra de las
600
unidades es cero
MATEMATICAS – Matemáticas 5
35
PGF03-R03
Escriba en el cuadro anterior ejemplos de números que cumplan con los criterios de
divisibilidad.
1. Analicemos cada enunciado y argumentemos.
a) ¿Puede el número 4592 ser divisible
________________________
por
b) ¿Puede el número 5724 ser divisible por
________________________
2. Escribamos el número que corresponda en cada caso.
2
?_________
3?
________
¿Por
qué?
¿Por
qué?
a) El doble del sucesor par de 54 -------------------b) El triple del impar antecesor de 141
c) El séxtuplo del par antecesor del sucesor de 100.
3. Leamos cada enunciado y escribe una V si es verdadero y F si es falsa:
______ El número 72 es divisible por 2 y 3 entonces también es por 6
______ El 10 es divisible por 1 - 2 y 5
______ 780 es divisible por 5
______ El 40 es divisible por: 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 y 40
______ El 1.000 es divisible por 2 y 5
______ Todos los múltiplos de 10 son divisibles por dos
4. Resuelve las siguientes situaciones:
a) Busca cuatro números divisibles por 2 que se puedan formar combinando los dígitos
8 – 2 – 5- 7- 6
b) Busca cuatro números de tres cifras que sean divisibles por 2 y 3 a la vez:
c) Determina el dígito que es necesario suprimir para transformar el número 1.830 en
un número de tres cifras que sea divisible por 9:
d) El número aba es múltiplo de 3 y de 5 ¿cuánto valdrán entonces a y b?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
36
PGF03-R03
5. Completa la siguiente tabla, marcando con una X cuando el número sea divisible entre los
dígitos dados.
Divisible entre
Números
2
3
4
5
6
7
8
9
1760
1485
1200
5764
8240
12342
45680
7612
6. Encierra en un cuadrado los números divisibles por:
2=
48
-
65 - 123
- 574
5=
91
-
75
-
100
- 334
3=
24
-
32
-
231
-
346
6=
63
-
85
-
450
-
684
9=
36
-
66
-
648
-
712
10 = 40
-
35
-
234
-
890
7. Agrega el último dígito para que sea divisible por:
D2 =
8_
*
13_
*
9.75_
D3 =
7_
*
24_
*
D5 =
6_
*
35_
*
8.62_
D8 =
5_
*
46_
*
2.47_
D9 =
4_
*
*
7.93_
D10 =
9_
*
68_
*
3.58_
57_
1.35_
8. Lee cada enunciado y escribe una V si es verdadero y F si es falsa:
______ Algunos números divisibles por 5 son divisibles por 10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
37
PGF03-R03
______ Los números pares son divisibles por 10
______ 625 es divisible por 5
______ El número 12 es divisible por 1 – 2 – 3 – 4 – 6 - 12
______ El número 177 es divisible por 3
______ El número 333 es divisible por 9
1. Escribe verdadero o falso
a. Los divisores de 6 son 1, 2, 3,4 y 6
b. Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
c. Los divisores de 7 son 1 ,2 y 7
d. Un número es PRIMO si sólo admite dos divisores: el 1 y el propio número.
2. Encierra los números primos y compuestos de diferente color de la siguiente tabla.
456
4987
345
19
13
63
101
4578
450
321
3421
4580
533
12401
MATEMATICAS – Matemáticas 5
38
PGF03-R03
MÚLTIPLOS, DIVISORES, DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES
PRIMOS
MÚLTIPLOS: Un múltiplo es un número que contiene a otro exactamente, se
encuentran utilizando la adición o la multiplicación.
DIVISORES:
Un divisor es un número que contiene a otro exactamente.
NÚMERO PRIMO Y NÚMERO COMPUESTO.
Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por 1.
Si un número no es primo diremos que es compuesto, es decir, que tiene más de dos
divisores
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS
Para descomponer un número en sus factores primos se procede así :
1. Traza una línea vertical y coloca el número a descomponer en la parte superior
izquierda.
2. Divide el número por el menor primo que sea posible, 2, 3, 5,... (puedes aplicar los
criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no). Coloca el divisor (el
número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.
3. Repite el proceso hasta que en la parte izquierda te aparezca un 1 con lo que la
descomposición habrá terminado
1. En cada caso, escribamos los múltiplos y los divisores de cada número.
a. Cinco múltiplos de 16
b. Cinco múltiplos de 28
c. Cinco múltiplos de 90
d. Cinco múltiplos de 11
MATEMATICAS – Matemáticas 5
39
PGF03-R03
e. Divisores de 40
f. Divisores de 100
g. Divisores de 120
h. Divisores de 77
2. Encontremos los divisores de cada número y determina si es primo o compuesto
Número
23
48
63
36
41
64
29
101
72
103
501
Primo/
Compuesto
Divisores
3. Factoriza cada número en sus factores primos, utilizando los criterios de divisibilidad.
a.
b.
c.
d.
340
800
1240
670
1. Realiza las operaciones y selecciona la respuesta correcta.
a. La suma de los números primos del 20 al 30, más la suma del décimo múltiplo de 800
menos 6420, multiplicado por 369.
a) 612.870
b) 612.000
c) 602.208
d) 612.171
b. Quinto múltiplo de 76, menos los divisores de 70, más la mitad del octavo múltiplo de 8,
dividido entre 69.
a) 4
b) 3
c) 2
MATEMATICAS – Matemáticas 5
40
PGF03-R03
d) 15
2. Encuentra todos los divisores de.
a) 240
b) 1830
c) 360
3. Escriba el número a que corresponde a la factorización de los números en sus factores
primos.
a) 23 · 32 . 53 =
b) 22 · 33 · 5. 72 =
c) 22 · 3 · 42 =
d) 3². 5³. 7. 11=
4. Realiza una tabla y en cada cuadro escriba los números del 100 al 150 colorea de
colores diferentes los múltiplos de 2, excepto el 2,los múltiplos de tres excepto el 3, los
múltiplos de 4, los múltiplos de 5exepto el número 5, los múltiplos de 6, los múltiplos de 7,
excepto el 7, los múltiplos de 9. Los números que quedaron sin colorear son los números
primos, escríbelos.
5. Encuentra el valor en cada caso
a) El doble del séptimo múltiplo de 49 + el cuadrado de 12
b) El triple del cuarto múltiplo de 1.000 – el cubo de 8
c) La mitad del décimo múltiplo de 800 por el cuadrado de 9
d) La tercera parte DE 12000 es
6.Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1. El conjunto de los múltiplos de 7 mayores que 21 y menores que 63 es
a)
b)
c)
d)
0 – 7 -14- 21 – 28 – 35
7 – 14 – 21 – 28 – 35 – 42
28 – 35 – 42 – 49 – 56 – 63
28 – 35 – 42 – 49 – 56
2. El MCM entre 24 y 32 es
a) 32
b) 24
c) 69
d) 96
3. Los divisores del 60 son en total
MATEMATICAS – Matemáticas 5
41
PGF03-R03
a)
b)
c)
d)
8
10
12
N.A.
4. El número que tiene los siguientes divisores 2 – 3 – 9 -18 – 1 – 6 es el
a) 12
b) 16
c) 18
d) 9
5. El MCD entre 14 y 21 es el
a)
b)
c)
d)
7
1
14
21
6. Factorizar un número consiste en descomponer ….
a)
b)
c)
d)
el número en factores iguales
el número en factores diferentes
el número en factores primos
sumar los números
7. La factorización prima del número 65 es
a)
b)
c)
d)
5 * 12 + 5
5 * 13
5*5*3
N. A.
8. La factorización 2 * 2 * 3 * 5 corresponde al número
a)
b)
c)
d)
65
60
55
45
9. La factorización completa 23 * 32 * 53 * 7 corresponde al
a) 6.300
MATEMATICAS – Matemáticas 5
42
PGF03-R03
b) 63.000
c) 630.000
d) Ninguna de las anteriores.
1. Colorea los múltiplos de 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, de un color diferente
1
11
21
31
41
51
61
71
2
12
22
32
42
52
62
72
3
13
23
33
43
53
63
73
4
14
24
34
44
54
64
74
5
15
25
35
45
55
65
75
6
16
26
36
46
56
66
76
7
17
27
37
47
57
67
77
8
18
28
38
48
58
68
78
9
19
29
39
49
59
69
79
10
20
30
40
50
60
70
80
2. Escriba 10 números primos y 10 números compuestos.
Resuelve los problemas 1,2, y 3 de acuerdo a la siguiente
información.
El día de su cumpleaños, Andrés, con el permiso de sus
padres, organizó una fiesta a la que invitó algunos compañeros
de su curso. Andrés es muy amigo de Natalia ambos son muy
aficionados a los juegos y los acertijos, así que organizaron una
sesión de juegos para los niños y niñas de la fiesta. A la fiesta hay
38 personas invitadas y los papás de Andrés necesitan organizar el
presupuesto para la fiesta. Andrés tiene una colección de carros miniatura. Natalia propuso
diseñar las placas de estos carritos de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Usar sólo las letras A y B
2. Usar sólo los números 4, 7 y 2
3. Cada placa debe tener una letra y los tres números
4. No puede repetirse un número en una misma placa
5. La letra siempre debe ir primero.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
43
PGF03-R03
1. ¿Cuál de las siguientes placas NO cumple con las reglas establecidas?
A. B 442
B. A 427
C. B 247
D. A 724
2. Si se compraron 38 Helados y cada uno costó $1.850 y cancelaron con cinco billetes de
$20.000 ¿Cuánto costaron todos los helados? ¿Cuánto les devolvieron?
A. $ 73.000 y $19.000
b. $ 34.0000 y $29.000
C. $70.300 y $29.700
d. $ 14.800 y $ 85.200
3. La fiesta en total costó $ 936.750, el costo aproximado por persona es de:
A. $25.000
B. $15.897
C. $ 24. 651
D. $ 25.456
4. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que no
acierta. Si de 30 tiros acierta 13, ¿En que situación queda después del juego?
A. No gana, ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero ganado.
B. Le quedan $ 14.150 porque: 13. 500 + (17). (450) = 14.150.
C. Gana $ 650 porque el número de aciertos es mayor que el número de perdidas.
D. Queda debiendo $1150 porque: 17. (450) – ( 13 . 500 ) = 1.150.
5 .Ernesto tiene 12 años y Camilo es 10 años mayor que Ernesto, Ángela es 5 años menor
que Camilo y Júnior es 4 años mayor que Ángela. La persona que tiene mayor edad es
A. Ernesto
B. Júnior
C. Camilo
D. Ángela
6. El peso de cualquier objeto en la tierra es seis veces mas que lo que pesa en la luna. Un
adulto que en la tierra pesa 70 kg, en la luna tiene un peso de:
A. 10.6 kg, porque la suma de 10 kg con 59.4 kg da 70 kg
B. 11.666... kg, porque esta cantidad es la sexta parte de 70 kg
C 12 kg, porque 12 es una aproximación de 11.666666...
D.70/6 kg, porque el peso de la persona en la tierra corresponde a seis veces el peso de
esta en la luna.
7. La potenciación es una operación que permite encontrar el resultado o potencia, la
radicación la raíz y el logaritmo nos permite encontrar el exponente
El resultado de ( 13) ³ es:
A. 2.197
B. 1.696
C. 3.456
D. 2.255
MATEMATICAS – Matemáticas 5
44
PGF03-R03
8. El cubo de un número es 343, el número expresado en logaritmo es:
A. Log en base 7 de 343 es igual a 5
B. Log en base 7 de 5 es igual a 5
C. Log en base 7 de 343 es igual a 3
D. Log en base 7 de 343 es igual a 9
9- Aplicando las propiedades de las potencias escribe la expresión correspondiente
1. 10 a la ocho dividido 10 a la 2 = 10 --2. 6 a la nueve multiplicado 6 a la seis. = 6 -3. 10 a la 8, 6 a la 2, 6 a la uno= ----10. Escriba todos los divisores de 230 y 1230
1.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
45
PGF03-R03
UNIDAD Nº 2
NÚMEROS RACIONALES Y OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS.
Propósito: Utilizar los números mixtos y fraccionarios para comprender información del
entorno, realizando procesos de lectura, análisis y los procedimientos que se requieran para
solucionar diferentes situaciones planteadas.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
46
PGF03-R03
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor
múltiplo común distinto de cero.
El máximo común divisor de dos o más números es el número, más
grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo se
utiliza el proceso con divisores o el proceso con descomposición de
números en sus factores primos-
M.C.M con múltiplos:
20:
10:
20, 40, 60, 80...
10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Ejemplo con descomposición: 20,40
2
10,20
2
5,10
2
5, 5
5
Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
10:
1, 2, 4, 5, 10 y 20
1, 2, 5 y 10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
47
PGF03-R03
Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la
descomposición de factores.
10,20
2
5,10
5
M.C.D.= 10 PORQUE 2X5 = 10
1 ,2
1. Escribe verdadero o falso a cada ejercicio:
a. El máximo común divisor de 12 y 24 es = 12
b. El máximo común divisor de 90 y 36.= 18
c. El mínimo común múltiplo de 12 y 24 = 24
2. Hallar el M.C.D. y el mcm de los siguientes números:
a) 6 y 10
b) 12 y 10
3. Halla el máximo común divisor de los siguientes números utilizando descomposición de
números en sus factores primos.
a.280 y 840
b. 315 y 945
c. 32, 68 y 52
4. Resuelve los problemas.
1) En el Mercado pasan varias micros hacia el Norte:
 El línea 14 pasa cada 5 minutos :
 El Línea 7 pasa cada 8 minutos.
La última vez pasaron juntos a las 14 horas. ¿A qué hora se volverán a encontrar?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
48
PGF03-R03
2) Tres amigas trabajan como voluntarias, de acuerdo a sus posibilidades, en un Hogar
de Ancianos. Una de ellas va cada 5 días, otra lo hace cada 10 días y la otra cada 15
días. Suponiendo que un día se encuentran las tres en el Hogar. ¿Cuántos días
después volverán a encontrarse? _______________________
5. Encuentra el máximo común divisor entre:
a) 12 y 18
b) 15, 20 y 25
c) 21, 28 y 35
6. Encuentra el mínimo común múltiplo entre:
a) 2, 3 y 4
b) 3, 5, 8
c) 2, 3, 4, 5, 8 y 10
7. Resuelve los problemas de m.c.d. y m.c.m.
1. El ebanista ahorrador
Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en
cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
2. Una cita en Bogotá: Un viajero va a Bogotá cada 18 días, otro va a Bogotá cada 15 días y
un tercero va a Bogotá cada 8 días. Hoy 4 de abril han coincidido en Bogotá los tres
viajeros ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Bogotá?
1. Halla el máximo común divisor de: a. 13 y 11.
b 61 y 59 .
c.. 72 y 26 .
2. Halla el mínimo común múltiplo de: a. 20 y 30. b. 13 y 11.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
49
PGF03-R03
3. Trabajando individualmente, resuelve el siguiente problema: Para la próxima reunión de
grupo de scout, Coni debe llevar trozos de cordel para aprender a hacer nudos. En su casa
encuentra un pedazo de cáñamo de 90 cm y otro de 54 cm. Con ese material necesita cortar
trozos de igual longitud y lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cada uno obtiene?
¿Cuántos centímetros mide cada trozo?
CONCEPTO, CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
Los números fraccionarios surgen a partir de la
comparación que se hace de cantidades enteras, es decir,
las razones. Cuando se determina una razón y se halla el
cociente entre los enteros que la forman, no siempre es posible
obtener un número entero, en ese caso el resultado es un número
fraccionario.
de

Los números racionales son todos los números posibles de ser expresado como
fracción.

La forma de un número racional es
forma pero distinto de cero.
en el cual a es un número entero y b de igual
}
Las
partes
de
un
fraccionario
son:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
50
PGF03-R03
Lee atentamente la clasificación de las fracciones y escribe otro ejemplo de cada una
de ellas
· Fracción Propia
Numerador menor que el denominador
· Fracción Unitaria
Numerador igual que el denominador
· Fracción Impropia
Numerador mayor que el denominador
· Fracción Equivalente
Es equivalente si después de amplificar o
simplificar las fracciones se obtienen dos
fracciones iguales.
· Fracción Irreductible
Fracción que no puede seguir simplificándose
· Fracción Decimal
Es aquella fracción cuyo denominador es una
potencia de 10.
1) Representa mediante dibujos las fracciones:
1
3
6
5
9
15
;
;
;
; 2 ;
;
; 4
2
4
8
8
7
4
MATEMATICAS – Matemáticas 5
51
PGF03-R03
2) Simplifica las fracciones:
6 36 150 125 242 1225 999 77
; ;
;
;
;
;
;9 42 105 175 110 525 81 150
3) Representa en la recta numérica las siguientes fracciones:
a. 8/10
b. 4/3
c. 11/5
d. 6/7
e. 9/2
5) Dibuja un cuadro y divídelo en 18 partes, colorea 2/6 de él con color rojo y 1/4 de color
azul.
4. Resuelve los problemas
a. ¿Cuántos minutos son ½ de 1/3 de hora?
b. ¿Cuántos gramos son 1/5 de ¼ de Kg?
c. ¿Cuántos días son 1/3 de 1/2 de mes?
d. ¿Cuántos centímetros son ¾ de 1/5 de metro?
e. Juan tiene $8000000 en el banco si retira 2/5 del dinero para hacer una compra ¿Qué
cantidad de dinero le quedó?
2. Escribe el número fraccionario que corresponde a cada representación y escribe el
nombre de cada fracción.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
52
PGF03-R03
5.Escribe tres ejemplos de cada clase de fracción y representa un ejemplo de cada uno.
6. Convierte las siguientes fracciones impropias en números mixtos y ubícalas en la recta
numérica.
7.Escribe la fracción que representa cada representación gráfica y luego escribe las
fracciones homogéneas y hetrogéneas.
1. Escribe la fracción que representa cada figura.
2. Inventa 3 fracciones impropias y represéntalas en la recta numérica.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
53
PGF03-R03
3. Escribe la fracción que representa cada enunciado.
a. Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres, entonces ¿cuál es la
fracción que representa el número de hombres del curso?
b. ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?
c. ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?
d. Si me como 3/8 de un pastel. ¿Qué parte del pastel quedó?
ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Para comparar fracciones se debe observar si las fracciones son homogéneas o
heterogéneas, si son homogéneas se escribe el mismo denominador y se comparan sus
numeradores y si son heterogéneas se halla el MCM de los denominadores de las
fracciones, se divide por cada denominador y se multiplica por su respectivo numerador para
convertirlas en fracciones homogéneas y finalmente se comparan de acuerdo a su
numerador.
1. Encuentra el valor que cumpla con el enunciado planteado y ordena los resultados de
mayor a menor
1. 4/10 de 6300 kilogramos de maíz
2. 3/8 de 1440 litros de zumo de limón.
3. 3/8 de 6000 personas.
4. 3/9 de 3150 sillas de cinemark
5. 3/4 de 2080 peces de un acuario.
1. Ordena de mayor a menor las fracciones
MATEMATICAS – Matemáticas 5
54
PGF03-R03
a. 6/5, 5/8, 4/9, 4/9
b .3/6. 7/6, 9/6,49/6
c. 4/3, 4/8, 6/4, 8/6
d. 3/10, 5/10, 4/4
e. 8/12, 6/6, 9/3
2. Resuelve los problemas realizando en cada caso el proceso necesario.
a. A una persona le han preguntado ¿Cuánto pesa? Responde así: la mitad de la cuarta
parte de mi peso es igual a 10 kilos. ¿Cuánto pesa esa persona?
b. En cada caja hay tres cuarto de kilo de bombones, cada Kilo equivalente a 150 bombones
¿Cuántos bombones hay en total, si cada bombón cuesta $220 y venden kilo y medio?
¿Qué cantidad de dinero se recoge por la venta?
c. Una máquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 metros. Al día siguiente teje los 2/7 de
lo que había quedado el día anterior. ¿Cuántos metros ha tejido en los dos días?
¿Qué parte de la pieza queda por tejer?
3. Compara los siguientes de fracciones de acuerdo a cada letra
a. De mayor a menor a,d,f
b. De menor a mayor b,c,g c. De mayor a menor a,e,h
1
4
a)
=
b)
=
2
8
7
=
10
c)
3
=
5
d)
e)
2
=
3
f)
5
=
6
g)
4
=
7
h)
8
=
9
4. Lee cada problema y encuentra su respuesta.
A. Ismael es un campesino ha recolectado 360 kilos de café. Decide
repartirlos así: 1/3 para su hermano Miguel, 2/5 de lo que queda para su
hermana Luisa. 5/12 partes de lo que todavía queda para su amigo
MATEMATICAS – Matemáticas 5
55
PGF03-R03
Fernando y el resto para él. ¿Cuántos kilos ha regalado a cada uno y cuántos le quedaron a
Ismael? Ordena las cantidades correspondientes de menor a menor de cada uno de ellos.
B. En una ciudad viven 20.000 personas 1/5 de las cuales son inmigrantes, y
3/4 de los inmigrantes son jóvenes. ¿Qué fracción de la población representa
los inmigrantes jóvenes?
C. Una familia, cuyos ingresos mensuales son 1.800.000 pesos invierte las
3/10 partes de su presupuesto en comida. 1/5 en ropa, 1/10 en ocio y 1/4 en
otros gastos. ¿Cuánto ahorran en un año?
1. Un depósito, con una capacidad de 1.500 litros está lleno de agua. Se saca primero 2/5 de
su contenido y, después, 1/3 de lo que quedaba. ¿Qué fracción del depósito se ha extraído?
¿Qué fracción del depósito queda? ¿Cuántos litros se han extraído? ¿Cuántos litros quedan?
2 Una pelota al caer al suelo rebota hasta los 3/5 de la altura desde la que ha caído. Se deja
caer la pelota desde una altura de 10 metros. ¿A qué altura llega después del tercer rebote?
3. Compara cada grupo de fracciones y escríbelas según el orden que se indica
a . De mayor a menor: ¼ ½ 1/10 1 /3
b. De menor a mayor 3/5 2/7 6/2
c. De mayor a menor 9 /1, 87/1 15 /1 23/1
MATEMATICAS – Matemáticas 5
56
PGF03-R03
FRACCIONES EQUIVALENTES
Una fracción equivalente representa la misma parte de una unidad, para encontrarlas se
utiliza la complificación y/o la simplificación.
Amplificar o complificar una fracción es multiplicar el numerador y el denominador por un
mismo número. Ejemplo: 2/3, 4/6, 12/18
Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por un mismo número
Ejemplo: 20/10, 10/5, 2/1
Realiza los siguientes ejercicios con ayuda de tu profesor (a)
1. Simplifica cada fracción obteniendo fracciones equivalentes y ubica las respuesta en
cada dibujo :
a. 60/100
b. 45/90
c. 1000/700
d. 500/250
e. 340/120
12/810
f.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
57
PGF03-R03
2. Encuentra el número que cumple la condición para que las fracciones sean
equivalentes
a. 3/7 = x/21
b. 4/8= 16/x
c. 5/x =8/16
3. Comprueba por medio de dibujos si las fracciones son equivalentes:
a) 3/4
9/12
b) 4/8
3/6
c) 8/12
3/4
d) 27/9
8/2
1. Utiliza diferentes estrategias para encontrar fracciones equivalentes ahora
2. Observa las gráficas y luego responde:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
58
PGF03-R03
A
B
C
D
a. De las anteriores figuras la que representa una fracción de área sombreada diferente a las
demás es: ___________
b: Escribe las letras de las fracciones que son equivalentes. ____
3.Simplifica las fracciones para encontrar fracciones equivalentes
4
1
6
8
2
14
4
3
10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
59
PGF03-R03
4. Completa las fracciones de la tabla siguiente.
Expresión de una fracción en letra
Fracción
Fracción equivalente
seis décimos
treinta y cinco centésimos
tres novenos
cinco quintos
tres dieciochavos
1. Completa en los espacios que faltan los números para que las fracciones sean
equivalentes
1
2
1
6
2
10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
60
PGF03-R03
1
2
3
3
6
2. Escribe 5 fracciones y cada una de ellas encuentra dos fracciones equivalentes, luego
representa gráficamente dos de ellas.
2. Escribe = si las fracciones son equivalentes o, ≠ si no lo son, puedes utilizar la
multiplicación en equis o la representación gráfica.
a. ½
2/4
c. 5/10
b. 1/7
3/21
d. 2/5
4/8
6/2
e. 4/10
f. 7/8
20/50
5/10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
61
PGF03-R03
OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS
¿CÓMO SURGIÓ? ¿Y EN QUÉ SE APLICA?
Los números fraccionarios surgen a partir de la comparación que se hace de cantidades
enteras, es decir, de las razones. Cuando se determina una razón y se halla el cociente
entre los enteros que la forman, no siempre es posible obtener un número entero, en ese
caso el resultado es un número fraccionario.
OPERACIONES CON FRACCIONARIOS:
Suma y resta de fracciones homogéneas: Se escribe el mismo denominador y se realizan las
operaciones entre sus numeradores y se simplifica la respuesta si es posible.
Suma y resta de fracciones heterogéneas: se halla el MCM de los denominadores de las
fracciones, se divide por cada denominador y se multiplica por su respectivo numerador.
Finalmente se suma o se resta y se simplifica la respuesta si es posible
Multiplicación entre fracciones: Se multiplican numeradores y denominadores entre sí y se
simplifica la respuesta si es posible
División de fracciones: se invierte el término de la segunda fracción y se multiplican
numeradores y denominadores entre sí o se multiplica en equis y se simplifica la respuesta
si es posible
1. Ana vive cerca de Maloka que es un sitio
popular por sus diversas exposiciones para
niños. Ella planea visitar este lugar y desarrollar
todos los experimentos que hay allí.
El martes, Ana desarrolla los ⅜ de los
experimentos que hay en Maloka y el miércoles
otros ⅞ de ellos. ¿Qué fracción de los
experimentos ha desarrollado en esos dos días?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
62
PGF03-R03
Para saberlo se debe hallar la suma de estas dos fracciones de igual denominador. Para ello,
sólo es necesario sumar los numeradores y dejar el denominador que es común:
Ana desarrolla los siete octavos de los experimentos en esos dos días.
Para restar fraccionarios con el mismo denominador se sigue el mismo procedimiento que
con la suma.
2. En el club de natación hay 48 deportistas. La mitad practican nado libre, la tercera parte
practica mariposa, la cuarta parte practica pecho, la sexta parte participa en relevos
calificación. Encontrar la cantidad de deportistas que hay en cada categoría.
Solución:
Nado libre:
½ x 48 = 24
Mariposa:
1/3 x 48= 16
Pecho:
¼ x 48= 12
Relevos:
1/6 x 48= 8
3. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 3/7+17/7=
b) 3/8+ (4/8)=
c) 4/5+(9/5)=
d) 2/3+(5/6)+2/9=
e) 7/8+(4/3)+(5/24)=
f) 8/5. ( 9/7)=
g) 7/5/ 6/2 =
h) 8/3+(3/5. 4/2 ) /5/3=
4. Resuelve los siguientes problemas
MATEMATICAS – Matemáticas 5
63
PGF03-R03
Un furgón lleva 2 y 2/3 toneladas de arena 2 y 1/5 toneladas de cemento y 3 y 2/4
toneladas de varilla, el conductor desea transportar yeso. Si puede transportar 10
toneladas de carga ¿Qué cantidad de yeso puede transportar?
El señor Botero recibe ¾ de su sueldo la primera semana y la segunda 2/5. Si su
salario es de $2 000000 mensuales. ¿Qué dinero recibe en la otra quincena?
5. Realiza operaciones combinadas con los números fraccionarios
1)
1
2
2
5
2)
1 2
2 5
3)
1
2
4)
1 1
2 3
3
7
3
7
1 4
3 5
1
8
4 1
5 8
6.Completa la tabla realizando los procesos necesarios
Suma
Resultado
3/4 + 1/8
31/2 x (3/8)
7/10 / 3y 2/5
11/12 + 2y1/4
1/12 + 5/12
7. Completa los números que hacen falta en cada ejercicio, relizando las operaciones
indicadas.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
64
PGF03-R03
5
3
6
4
6
1
1
2
4
3
1
3
8
4
8
a.
12
12
1
____
b.
4
c.
1
1
3
6
8
1
d.
6
6
8. Encuentra el valor de cada ejercicio con ayuda de tu profesor (a):
a)
3
2
b)
5
6
2
4
3
8
c)
d)
3
4
e)
3
43
f)
34
5
g)
3
7
3
3
4
MATEMATICAS – Matemáticas 5
65
PGF03-R03
9. Encuentra el valor de cada raíz.
1)
6)
3
196
2)
3
512
8
7)
5
216
3)
3
64
27
4)
3
729
1000
1
243
8)
4
1
81
9)
6
64
729
5)
7
1
128
Resuelve las operaciones indicadas y escribe verdadero o falso
a) 6/5 + 2/7
__________ 52/35
b) 2/7 + ¼
----------------- 1 /28
c) 3 x (6/2 )
__________ 8
d) 18/6 / 12/4 -----------------1
e) 4/9 – ( 1/18) _________4/18
f) 3/8 x 1/16 --------------------3/40
MATEMATICAS – Matemáticas 5
66
PGF03-R03
NÚMEROS MIXTOS Y FRACCIONARIOS
Números mixtos y fraccionarios
Para solucionar ejercicios y problemas con números mixtos y/ o fracciones sedebemos
transformar los números mixtos a fracciones impropias, luego, se realizan las operaciones
con fracciones y se simplifica la respuesta o se convierte a número mixto Ejemplo:
1. Lea cada enunciado y escribe el número mixto que corresponda y convierte a fracción:
a. 2 años y medio año ¿A cuántos meses equivalen?
b. ¿A cuántos meses equivalen 75 días?
c. Tres piñas y dos cuartos.
d. Cuatro kilos y un medio de arroz ¿A cuántos gramos equivalen?
e. Una persona ha ganado $ 840.000 en un mes, ¿cuánto le corresponde en 15 días del
salario?
2. Realiza las operaciones con números mixtos y fraccionarios
a. 5 y 2 /6 + 4 y 3 /6
b. 8 y 3 /4 x 6 y 1 /2
MATEMATICAS – Matemáticas 5
67
PGF03-R03
c. 6y 6/9 /
5 y 3 /5
d. 1 y 2/7 + 2 y 3 /4
e. 2 y 3/8 - 3 y1/2
3. Escribe verdadero o falso a la solución de cada ejercicio.
a.
4 y 2/3 x 3 y 3/7
14/3 x 24/7 = 16
b
= 18/5
c. 6 y 2/3 +3 1/3
d. 4 y 2 /8 x 3 y 2 /5
20/3 + 10/3 = 7/3
-34/8 x 17/5 = - 234/40
---------------------------------------------------
4. Representa gráficamente los números mixtos y realiza la operación:
a.
b.
c.
d.
1 y 3 /5 x 2 y 4 /6
2 y 2 /7 + 3 y 3 /4
3 y 2 /4 / 2 y 2 /9
1y 4/5 - 3 y 4 /10
Resuelve los problemas.
1 .De una pieza de tela para la sudadera del colegio se ha vendido de 50 85 m. y 12 34 m. Si
el rollo tiene a 150 m ¿Qué cantidad de tela queda?
2. Un viajero debe permanecer en un puerto 16 125 hrs. Si ha empleado en varias diligencias
1 34 hrs, 2 54 hrs, 3 23 hrs, 2 125 hrs y 1 157 hora. ¿Qué tiempo de queda disponible? Expresar el
resultado en horas y minutos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
68
PGF03-R03
3. Samuel tiene un terreno de 336 hectáreas y vendió
3
8
del terreno, ¿Cuántas hectáreas
vendió y cuántas le faltan por vender?
4. Un obrero trabaja 8 y ½ horas al día. ¿Cuántas horas trabaja en una semana, de lunes a
sábado? Si por cada hora gana $ 5 .600 ¿Qué cantidad de dinero gana en una semana?
5. Tenía $ 50.000 y gasté 3/5 en una comida ¿Qué cantidad de dinero gasté y cuánto me
quedó?
3
de sus ahorros en un viaje a una finca con su familia, si tenía
4
1.456.890¿Qué cantidad de dinero la queda?
6. Una persona gasta
1. Resuelve las operaciones
a. 2 y 1/3 – 1 y 3 /4
b. 4 y 1/3 x 2 2/5
c. 3 y2/6 / 3 y 1/5
d. 2 y 1/7 +3 y 1/6
2. Lee atentamente cada problema y soluciónalo utilizando la operación indicada.
7
a. Los
de un curso son varones. ¿Cuál es el número de niñas si en total hay 34
12
estudiantes?
b. 48 estudiantes presentan un examen, obteniendo así los siguientes resultados: 28
1
aprobaron,
del curso quedó pendiente, y el resto reprobó. ¿Qué fracción del curso reprobó
4
el examen?
c. Pedro logró ganar en un momento $ 120000 en el casino. Luego perdió los
5
3
y prestó
6
5
del resto a sus amigos. ¿Con cuánto dinero se quedó Pedro?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
69
PGF03-R03
Las fracciones y los números mixtos son muy utilizados en nuestra cotidianidad; éstos
representan cada una de las partes en las que se divide una unidad, las fracciones según la
unidad se clasifican en propias, impropias, unitarias o iguales a la unidad y según el
denominador se clasifican en fracciones homogéneas y heterogéneas.
DE ACUERDO A LA INFORMACIÓN RESPONDE LAS PREGUNTAS 1, 2, 3, 4 y 5
1 .En un curso de 30 estudiantes, la mitad prefiere leer cuentos de misterio (CM), una cuarta
parte prefiere leer artículos de revistas (AR) y el resto prefiere leer dibujos animados (DA).
Una forma de representar las preferencias de los 30 estudiantes es
a. 1/2, 1/2, ¼, ½,
b. 1/2, ¼. ¼
c. 1/3, ¼, 1/6
d. ½. , ½, ½.
2 Una fracción impropia es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador. En caso
contrario se llaman fracciones propias. Las fracciones impropias se pueden escribir en
forma de número mixto, es decir, con un número entero y una fracción propia. El grupo de
fracciones impropias es:
a. 4/7, 5/9, 5/2, 4/5
b. 45/3, 6/7, 54/9, 56/9
c. 34/2, 23/5, 45/9, 78/4
d. 89/67, 4/9, 34/9, 24/67
3. Tres hermanos se han sentado frente a una canasta llena de frutillas. Ignacio comió el
doble que Ramiro, y Álvaro la mitad de lo que comió Ignacio. ¿Quién comió más?
a. Ignacio.
b. Ramiro.
c. Álvaro.
d. Todos comieron lo mismo.
4. A una pastelería llegan 18 personas después de un juego. Cada uno quiere comer una
ración de unas tortas que tienen en la pastelería .Cada ración corresponde a un 1/8 de torta
Eso quiere decir que en total se comen 18/8 de torta, por tanto se comieron:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
70
PGF03-R03
a. 2 y 1/8
b. 3y 1/8
c. 2 y 2/8
d. 3 y 1/5
ANALIZA LA GRÁFICA Y RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 Y 6 UTILIZANDO EL
CONCEPTO DE FRACCIONES
1 kilo
1/2
kilo
¼ kilo
5. ¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 kilogramo de azúcar?
a. 3
b. 5
c. 6
d. 4
6. Si se tienen 6 Kilos y ¾ la fracción impropia que corresponde a éste valor es:
a. 27/7
b. 18/4
c. 27/4
d. 18/5
7. La fracción impropia 56/ 16 que corresponde al número mixto es
a. 3 y 8/16
b. 5 y 4/7
c.3 y 16/8
d.5 y 7/4
Las fracciones son útiles para solucionar problemas cuando se requiere encontrar una
cantidad que hace parte de otra en grupos iguales. Ejemplo: 6/ 10 de 60 = 36 por que 60 /
10 = 6 y 6 x 6 = 36
MATEMATICAS – Matemáticas 5
71
PGF03-R03
DE ACUERDO AL EJEMPLO RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
8. En la finca de Felipe hay 84 animales, ¼ del total son vacas, 2/7 del total son caballos, 1/
3 del total son aves y el resto son perros ¿Cuántos caballos hay?
a. 24
b.11
c. 25
d.32
9. Isabella tiene una cometa tiene 108 metros de hilo, si desea soltar los ¾ de ella ¿Qué
cantidad de hilo le queda?
a.27 m
b.81 m
c.56m
d.108m
10. Martín gasta 6/9 de una libra de harina para preparar unas galletas y 5/9 de una libra de
harina para preparar una torta. Qué cantidad de harina gastó?
a. 1 libra y 2/9
b.2 libras y 4/9 libra
c. 7/9 libras
d. 8/9 libras
Para comparar
fracciones
primero observamos los
denominadores, si las fracciones son homogéneas o
heterogéneas si son fracciones homogéneas comparamos los
numeradores y si son fracciones heterogéneas es necesario
convertirlas en fracciones homogéneas, utilizando el proceso del m.c.m.
DE ACUERDO A LO ANTERIOR SELECCIONA LA RESPUESTA CORRECTA
11. Las fracciones homogéneas ordenadas correctamente de menor a mayor son:
a. 2/6, 5/ 4,5/9,2/4
b. 5/6,7/6,9/6,10/6
c.5/7,6/7,9/7.1/7
d.5/8,1/8,6/8,2/8
12. Las fracciones ordenadas de mayor a menor del siguiente grupo de heterogéneas
3/4,2/8,4/5 es:
a. 3/4,2/8,4/5
b. 2/8,4/5,3/4
c. 4/5,3/4,2/8
d. 4/5,3/4,2/8
13. Si se tienen 6 Kilos y ¾ la fracción impropia que corresponde a éste valor es:
a. 27/7
MATEMATICAS – Matemáticas 5
72
PGF03-R03
b. 18/4
c. 27/4
d. 18/5
14. Eduardo y Esperanza están cocinando, tienen 2 ½ kilo de chocolate para hacer la torta
de cumpleaños, de él ocuparon 1 ½ kilo. ¿Cuánto chocolate les sobró?
a. 1 Kilo
b. 2 kilos
c. 1 ½ kilo
d. 3 kilos
1.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
73
PGF03-R03
UNIDAD Nº 3
NÚMEROS DECIMALES, RAZONES Y PROPORCIONES
PROPOSITO: Interpretar y resolver problemas de proporcionalidad, mediante el uso de
fracciones, porcentajes y números decimales, haciendo procesos cálculos mentales y
escritos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
74
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
“Mundo de los Q” (Cuento-Guía)
(Danny Perich C.)
No recordaba claramente cómo llegó hasta allí. Su última imagen era la de su madre dándole
un beso y deseándole que durmiera bien, pero como el sueño no llegaba, se entretuvo
observando en la penumbra de su cuarto la repisa llena de juguetes acumulados a lo largo
de sus once años de vida.
El movimiento ondulatorio de las paredes no le impresionó, ni tampoco el gracioso baile de
su osito de felpa favorito, ni menos al encontrarse tendido sobre un prado perfumado y
multicolor bajo un cielo que mostraba dos hermosos soles.
Ya su abuelo le había contado sobre sus viajes al mundo de los Q y por eso nada de lo que
ocurría le causaba temor, pero sí mucha curiosidad. Como ser, el hermoso y perfecto coro de
aves-Q que trinaban la melodía más bella jamás escuchada. Se encontraba en plena
meditación cuando un gemido le hizo incorporarse y pudo observar el movimiento agitado y
temeroso de una tortuga-Q, la cual al verlo, sin sorprenderse, se dirigió a él diciendo:
¡Oh, cielos!, ¿qué podemos hacer. Esto será el final de nuestro inigualable mundo.
Sintió curiosidad y le preguntó la causa de sus lamentos, ante lo cual le relató:
Hace cinco días-Q un ser con forma y propiedades de una goma, cruzó desde una dimensión
desconocida a la nuestra. Su misión no era de paz, por el contrario, este ser maligno llegó
con intenciones de borrar para siempre todo signo de vida-Q y construir el Mundo de la
Nada, habitado por todos los seres goma del universo.
Su historia conmovió a Pablo y preguntó de qué forma podía ayudar. Con un suspiro, la
tortuga-Q respondió:
Para eliminar seres malignos de otra dimensión, debemos resolver tres problemas, pero
estos no están al alcance de nuestro saber.
Como Pablo dominaba algunos conocimientos, aprendidos en su colegio, pidió que le dieran
a conocer esos problemas para intentar solucionarlos. Estos son:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
75
PGF03-R03
1. En el Mundo de los Q,
de sus habitantes son aves-Q y
fracción representan del total de animales-Q existentes?
son peces-Q. ¿Qué
2. Al pasar de una dimensión a otra, se pierde
del peso del cuerpo. Si el ser goma,
antes de llegar al mundo de los Q, había traspasado dos dimensiones, ¿qué fracción
representa la pérdida de peso con la cual llegó finalmente?
3. Dibujar dos gomas rectangulares iguales y colorear en cada uno de ellos una cierta
fracción, con los colores favoritos en el mundo de los Q, de forma tal que al sumar las
partes coloreadas dé como resultado
.
Ahora transforma los fraccionarios en números decimales
MATEMATICAS – Matemáticas 5
76
PGF03-R03
NÚMEROS DECIMALES
Las fracciones decimales las que
tienen denominador a cualquier potencia
de 10, es decir 10,100,1.000,10.000 etc.
Los números decimales nacen como
una forma especial de escritura de las
fracciones decimales, de manera que la
coma separa la parte entera de la parte
decimal. Si no hay enteros, colocamos 0
delante de la coma.
Los números decimales surgen de las fracciones, si en un número decimal la cifra decimal
se repite indefinidamente se llama un decimal periódico y si sus cifras varían se llama un
decimal no periódico.
Para convertirlas a números decimales desplazamos la cifra decimal hacia la izquierda de
acuerdo a los ceros que halla en el denominador.
1. Representa en la recta numérica los decimales:
a. 14,6
b. 23,65
c. 129,3
d. 1,670
e.
34,6
2. Transforma a decimal y señala de un color los números decimales periódicos y de otro
color los decimales no periódicos.
1)
11
4
2)
7
5
3)
38
5
83
4)
12)
125
7
10
5)
22
5
6)
3
3
10
MATEMATICAS – Matemáticas 5
77
PGF03-R03
3. Escriba en forma de número decimal las siguientes fracciones decimales
305
10
95
1.000
78
100
25
10.000
9
100
345
10.000
4. Ordena de mayor a menor los decimales del punto anterior.
1. Escriba cada número decimal en letras:
NÚMERO
0,756
0,867
346,25
SE LEE
Setecientos cincuenta y seis décimas
Setenta cinco enteros y cuatro centésimas
3451,46
456,09
3,1252
Dieciséis enteros y sesenta y tres milésimas
2. Completa la tabla, escribiendo la fracción decimal, el número decimal y su lectura.
FRACCIÓN
DECIMAL
45 / 1000
NÚMERO
DECIMAL
0,045
SE LEE
Cuarenta y cinco milésimas.
34,56
MATEMATICAS – Matemáticas 5
78
PGF03-R03
Cincuenta y tres enteros y doce centésimas.
86
100
563,05
1. Marca con una equis los decimales periódicos y con un círculo los decimales no
periódicos, ordénalos de mayor a menor y escribe como se leen 5 de ellos.
1
3
2
5
8
7
8
10
14
12
7
15
2. Selecciona la respuesta correcta en cada caso:
1) La fracción -2/3 se expresa en número decimal como:
a) -0,6
b) 0, 60
c) -0,66
d) 0, 6
e)
0, 66
2) El decimal 0, 8 se expresa en fracción irreducible como:
a) 8/90
b) 8/9
c) 8/10
d) 4/5
3) Si a = 0,6 ; b = 0, 6 ; c = 0,06 y d =
0, 60 , la ordenación correcta es:
a) b<a<c<d
c) c<d<b<a
b) a<c<d<b
d) d<a<b<c
e) c<a<d<b
MATEMATICAS – Matemáticas 5
79
PGF03-R03
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Suma con números decimales:
1. Alinea las comas de cada sumando.
2. Agrega ceros hasta que los números tengan la misma cantidad de cifras decimales.
3. Suma como los números naturales y escribe la coma en la misma línea en la que se
encuentra en los sumandos.
115,973
257,400
+
19,950
393,323
El total recorrido por Esperanza es de 393,323 m.
Si Esperanza se devuelve 254,400 m desde el tercer sitio ¿a qué distancia se encuentra de
su casa?
Restas números decimales: Para restar con números decimales debes tener en cuenta:
1. Alinea las comas de cada número.
2. Agrega ceros hasta que los números tengan la misma cantidad de cifras decimales3. Resta como los números naturales y escribe la coma-
-
393,323
254,400
138,923
Multiplicación y División con números decimales.
Para multiplicar decimales, se trabaja como si fueran números naturales. Luego, se cuenta el
número total de cifras decimales en los factores y se separa de derecha a izquierda ese
número de cifras en el producto.
A la señora María le llegó el recibo del gas natural por $43 970, lo cual es extraño para ella
ya que el mes anterior había pagado mucho menos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
80
PGF03-R03
Desafortunadamente, su recibo se mojó y el número de
sabe
Que el
gastados no se veía. Si María
de gas natural para su estrato cuesta $527,8 ¿Cuántos
gastó?
Lee y resuelve los problemas propuestos.
1. Susana sale de su casa a entregar el periódico en tres lugares que se encuentran sobre la
misma calle. El primer sitio se encuentra 115,973 m de su casa; el segundo esta a 257,4 m y
el tercero se halla a 19,95 m del segundo.
☺ Calcula la distancia total recorrida por Susana una vez entregó todos los pedidos.
2. A la señora María le llegó el recibo del gas natural por $43 970, lo cual es extraño para ella
ya que el mes anterior había pagado mucho menos.
Desafortunadamente, su recibo se mojó y el número de
sabe
gastados no se veía. Si María
Que el
de gas natural para su estrato cuesta $527,8 ¿Cuántos
Ahora observa el proceso para dividir números decimales
gastó?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
81
PGF03-R03
1. Encuentra el resultado.
a. 9,99 + 12,98 + 5,24 + 1,08 =
b. 32,08 + 13,90 + 34 +23,12=
c. 34 + 45,09=
d. 13,3 + 14,25 + 12=
e. 321,98 + 87,78=
f. 32 + 78,90 =
2. En cada tabla calcula el total:
Galones de gasolina
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Total
Valor de las compras
3,25
2,83
1,5
4,08
6,2
__________
Arroz
Fríjol
Maíz
Aceite
Azúcar
Total
$ 498,45
$ 980,98
$ 250,56
$1242,98
$3456,8
__________
3. Encuentra las diferencias:
a. 93,9212 – 53,89 =
b. 0,9876 – 0,65=
c. 59,987 - 45,34=
d. 67 - 56,56=
e. 56,98 - 76=
f. 0,56 – 0,8 =
g. 67,3456 – 34=
h. 54,3 – 6,56=
4. Encuentra los productos:
a. 34,5 X 43,56=
b. 23,4 X 12,3=
c. 123,5 X 4=
5. ¿Cuál es el volumen de un cajón que tiene 72,3 cm de largo, 35,3 cm de ancho y 65,4 cm
de alto?
6. Realiza las siguientes divisiones:
a. 65 73,4=
b. 12 0,12=
c. 18 3,3=
MATEMATICAS – Matemáticas 5
82
PGF03-R03
7. Realiza las siguientes multiplicaciones
136
x 5,48
7,3
x 4,02
68,5
x 0,37
491
x 5,07
8. Multiplica un número decimal por 10, 100, 1000…
9,4 x 100 = ....................... 9,4 x 10 = ..................... 9,4 x 1.000 = .................
0,17 x 10 = ....................... 0,17 x 1.000 = .............. 0,17 x 100 =
..................
9. Realiza las divisiones en cada caso.
2,5 x 30 = ......................... 2,5 x 300 = .................... 2,5 x 3.000 =
a..................
3165,24/6,8
b.
5629,93 /0,41
c. 6 5 3 8 , 4 3 / 2 , 1
d. 6 8 6 4 5 , 1 5 / 3 5
e.
871473,26 /5
f. 125 : 10 = ................
g. 7 650 : 100 = .............
h.
56 : 1.000 =................. i. 9,65 : 10 = ...............
10. Completa la tabla, recuerda que: Dividendo = divisor x cociente + residuo
Divisor
2,3
21,5
Cociente
1,23
2,4
Residuo
0
1
Dividendo
MATEMATICAS – Matemáticas 5
83
PGF03-R03
11. En cada caso calcula el factor desconocido, observa el ejemplo
a............ x
6
=
73,8
13
18
0
b............. x
68
=
73,8
12,3
6
73,8765
c 42 x ......... = 7,2 878
12. Resuelve los problemas:
a. La altura de una persona es 1,85 m y la de una torre es 26 veces la altura de la persona
menos 1,009 m. ¿Cuál es la altura de la torre?
b. Una escalera tiene 23 peldaños. Si cada peldaño mide 20,16 centímetros de altura,
¿cuántos centímetros de altura tiene la escalera?
c. Jaime fue al almacén de Don Luis a comprar jamón. Si la balanza marcó 0,470 Kg. y el Kg.
de jamón cuesta $7.200, ¿cuánto pagó Jaime por su compra?
d. ¿Cuántas cuerdas de 0,75 m. se pueden cortar de un rollo que mide 9,75 m?
e. ¿Cuántas cintas de 1,5 m. se pueden cortar de un rollo que mide 34,5 m.?
f. Alberto tiene que cargar en su camión 25 cajas y 18 tablas. Cada caja pesa 19,5 kg y cada
tabla pesa 21,5 kg. ¿Cuántos kilos en total tiene que cargar Alberto en su camión?
g. La semana pasada Inés recibió en su tienda 54 botellas de agua de 1,5 litros cada una. Ya
ha vendido 21 botellas. ¿Cuántos litros de agua le quedan a Inés en su tienda?
h. Para hacer un trabajo manual Elisa compró 3 cintas de 15,5 m cada una. Para pagarlas
entregó 10.000 pesos ¿Cuánto dinero le sobró si el metro de cinta cuesta 196 pesos?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
84
PGF03-R03
a. Federico caminó 22,8 kilómetros el lunes; 17,16 kilómetros el
martes y 18,09 kilómetros el miércoles. Calcula la distancia total
recorrida por Federico.
b. Un grupo de personas afiliadas a una liga de atletismo caminó un total d 85,756 minutos,
mientras que otro grupo de personas asociadas a un club de fútbol caminó un total de 82,547
minutos ¿Qué equipo caminó más y cual es la diferencia de sus tiempos?
c. Determina el área d una tabla que tiene 31,05 cm de largo y 28,32 cm de ancho.
d. Por una tonelada de trigo pagan $34 987,34 ¿Cuánto pagan por 2,3 toneladas?
e. Realiza las siguientes divisiones:
a. 723 0,7775=
b. 710 0,65
b. 8 0,435623=
d. 11 0,0017=
Explora y calcula de acuerdo con la siguiente información:
Calculando el Índice de Masa Corporal (IMC)
El Índice de Masa Corporal (IMC) es un indicador que a través de la relación entre el peso y
la estatura permite establecer si una persona se encuentra en su peso ideal, o en riesgo de
desnutrición o de obesidad. Si el IMC se encuentra entre 18,5 y 24,9 corresponde al rango de
normalidad. Si se encuentra bajo 18,5 hay bajo peso y si se encuentra sobre 24,9 hay
sobrepeso.
En relación con el Índice de Masa Corporal, la Organización Mundial de la Salud ha
establecido la siguiente clasificación:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
85
PGF03-R03
El Índice de Masa Corporal se calcula de la siguiente manera:
1. Se eleva al cuadrado la altura de la persona. Por ejemplo, si Juan mide 1,63, entonces
se multiplica 1,63 • 1,63 y se obtiene: 2,65
2. Luego, se divide el peso de la persona por el cuadrado de su altura. Siguiendo el ejemplo
anterior, Si Juan pesa 60, se divide por el resultado del paso anterior, es decir, 60 : 2,65 y
se obtiene que el Índice de Masa Corporal, en el caso de Juan, es de 22, 64 (Kg./m2).
Expresándolo de otro modo:IMC = peso: (altura)2
En el caso particular de Juan:
IMC = 60: (1,63 • 1,63), es decir,IMC = 60: 2,65 = 22,64 Kg./m2
Si Juan tiene un IMC de 22,64 Kg./m2 , se encuentra en rango normal.
Ahora selecciona 3 personas de tu familia y calcula el índice de masa corporal, luego realiza
el análisis correspondiente.
Nombre
Peso
Proceso indicado
Resultado
MATEMATICAS – Matemáticas 5
86
PGF03-R03
CONCEPTO DE RAZONES Y PROPORCIONES
Las razones, las proporciones y los porcentajes tienen hoy múltiples y variadas
aplicaciones en lo científico, lo social y lo cultural. En geografía por ejemplo, la
elaboración de mapas depende del uso de escalas, las cuales se determinan
estableciendo razones entre las dos magnitudes utilizadas; también son herramientas
necesarias en la vida diaria en la elaboración de dietas, recetas, la elaboración de
mezclas, disoluciones químicas etc.
Una razón es la comparación entre dos
cantidades. Por ejemplo, hay 8 niñas y 6
niños en el equipo de voleibol del colegio.
La razón de niña a niños es de 8 es a 6.
Las razones se pueden escribir de tres maneras diferentes:
8 es a 6
8:6
8/6
NOTA: No olvides que a pesar de escribirse de la misma forma, una razón no es una
fracción.
Dos razones iguales forman una proporción.
En resumen: Una proporción es la igualdad entre dos razones; y
una razón es el cociente entre dos magnitudes.
En una proporción es una igualdad entre dos razones a: b es igual c: d y
se lee a es b como c es a d , ay d se llaman extremos y b y s se llaman medios
MATEMATICAS – Matemáticas 5
87
PGF03-R03
1. Lee atentamente cada enunciado y selecciona la respuesta correcta.
Una fábrica produce 2000 artículos diariamente. 400 de los artículos son de oficina y el resto
son artículos de hogar. La razón entre el número de artículos de oficina y artículos de hogar
es.
a)
b)
c)
d)
e)
400 / 1000
1000 / 2000
1600 / 2000
1600 / 400
4 00/ 1600
2. Los términos desconocidos de la siguiente proporción x / y = 8 / 7 son:
a) 14, 6
b) 3, 4
c) 16, 14
d) 24, 21
e) 21, 28
3.Encontrar el número que falta utilizando proporciones.
a)
3 = 1
x
2
b)
2 = x
9
18
c)
x =
4
6
8
d)
2 = 4
9
x
4. Resuelve los problemas de Aplicación:
MATEMATICAS – Matemáticas 5
88
PGF03-R03
1) Juan piensa hacer una torta para una fiesta. Para ello, utiliza 1 taza de agua
por 3 tazas de mezcla. El paquete contiene 14.5 tazas. ¿ Cuántas tazas de agua
debería usar?
2) Si una docena de empanadas cuesta $ 6.000 en la compañía Kikuet, cuánto
costará 500 empanadas?
3) Durante 60 minutos de escuchar la radio ,12.5 minutos son anuncios. Si
escuchas la radio por 6 horas y 15 minutos , cuántos minutos escuchaste de
anuncios?
5. Encuentra el valor desconocido en cada expresión:
1. Martín hizo una fiesta para su cumpleaños, invitó a sus compañeros y compañeras de
colegio y la asistencia fue de 12 mujeres y 20 hombres:
a)
¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres que participaron en la fiesta?
b)
¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el total de asistentes a la fiesta?
c)
¿Cuál es la razón entre el número de hombres y el total de asistentes a la fiesta?
d)
¿Cuál es la razón entre las mujeres y hombres que asistieron a la fiesta?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
89
PGF03-R03
2. Realiza las gráficas correspondientes a cada situación
a. Si la velocidad de un automóvil es de 60 km/h. Elabora una tabla que establezca una
relación directamente proporcional Datos:60 km/h
Distancia
Tiempo
120
240
2 h
r
360
600
b. Juan Manuel desea saber cuánto gana por 15 horas de trabajo si por cada hora le pagan
$6.560
N° horas
Valor pagado
5 horas
10 horas
12 horas
15 horas
Señala la respuesta correcta.
1. Una fracción formada por una relación de división se llama:
A) Razones
B) Fracciones homogéneas
C) Fracciones equivalentes
2. En la razón 4 / 6 señale la opción correcta:
A) 4 es el antecedente
B) 6 es el consecuente
C) las dos anteriores
D) Ninguna
3. Una magnitud es directamente proporcional a otra cuando
A) Las dos aumentan en igual proporción
B) Las dos disminuyen en igual proporción
C) Ninguna
4. Una ciclista recorre 13 Km. en 10 minutos. ¿48Km en cuántos minutos recorrerá?
A) 36 minutos
B) 15 minutos
C) 12 minutos
D) 24 minutos
MATEMATICAS – Matemáticas 5
90
PGF03-R03
5. Una camisa cuesta $ 25.768 ¿Cuánto costaran 15 camisas?
A) $ 245.678
B) $ 343.674
C) $ 254.876
D) Ninguna de las anteriores
MAGNITUDES DIRECTAS O INVERSAMENTE PROPORCIONALES
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde
doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son
directamente proporcionales.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la
mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son
inversamente proporcionales.
EJEMPLO 1 .Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto,
necesitas 3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla:
Cantida Costo
d
de en
latas (X) dinero
(Y)
1
350
2
700
3
1050
4
1400
5
1750
6
2100
7
2450
8
2800
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
9
10
3150
3500
Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en
ambas los valores aumenta y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:
EJEMPLO 2 Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán
18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son
inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente
proporcionales).
Formamos la tabla:
Hombres
Días
3
24
6
12
9
8
...
...
18
?
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
1. Halla él termino desconocido en cada proporción:
a) 4 /10 = x / 60
b) 12 / x = 9 / 12
c) 8 / 32 = 2 / x
d) x / 21 = 5 / 3
2. Encuentra el valor de x y у en:
a) x / 6 = y / 10
Sí x + y = 8
b) 11 / y = 7 / x
Sí y –x =8
c) x / y = 4 / 3
sí x –y =2
d) 8 / x = x / 12
3. Por cada 3 grabadoras hay 8 calculadoras. Si el total de calculadoras en el colegio es de
640, ¿cuántas grabadoras hay?
4. Una fotocopiadora saca 130 hojas por minuto. Elabora una tabla y un grafico donde
podamos leer el tiraje de hojas en 1 ½, 2, 2 ½, 3, 4, 5 minutos.
5. Por cada entrada al cine se pagan $8500. elabora una tabla y una grafico donde se pueda
ver el valor de 2, 3, 4, 5, ... 15 entradas, respectivamente.
6. Por cada respuesta acertada en un concurso se obtiene 35 puntos buenos. ¿Cuántas
respuestas se acertaron si el total de puntos obtenidos fue de 665?
7. Completa cada tabla, realiza su respectiva gráfica y escribe si es una magnitud directa o
inversamente proporcional.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
A)
Número de llamadas
3
4
5
8
12 15
Valor ($)
750
--- --- --- --- ---
B)
Número de 3
4
5
8
12
niños
Dinero
15000
10.000 7.000 5.000
13.000
C)
VALOR ($)
DÓLAR
(US)
1
2
3
4
5
8. Resuelve los siguientes problemas y selecciona la respuesta correcta:
1) Para la revista del colegio se obsequian 2 por cada nueve revistas que compren los
estudiantes. Si se vendieron 135 revistas ¿Cuántas se entregaron gratuitamente?
a) 30 revistas
b) 25 revistas
c) 50 revistas
d) 100 revistas
2) Cinco costureras confeccionan 30 camisas. ¿Cuántas costureras se necesitan para hacer
250 camisas?
a) 225
b) 18
c) 20
d) 41
9. Completa la información en cada caso y construye el gráfico
a. La profesora Lucelly compra un paquete de 120 dulces para premiar la resolución de
problemas de ingenio matemático. Reparte los caramelos entre los alumnos que lo
resuelven bien. Completa la tabla y construye el gráfico
Cantidad de estudiantes
Número de caramelos
2
4
3
5
8
10
15
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
10. Verifica multiplicando las magnitudes si son directamente proporcionales y realiza su
gráfica
1. Escribe la razón que describe las situaciones siguientes que se registran en:
a.
b.
c.
d.
e.
23 de cada 100 personas mueren por enfermedades infecciosas
67 de cada 1000 niños mueren antes de cumplir 5 años
19 de cada 100 personas que trabajan fuera de su hogar, son mujeres
21 de cada 48 habitantes viven en poblaciones rurales
26 de cada 100 personas participan en la producción
MATEMATICAS – Matemáticas 5
95
PGF03-R03
2. Un automotor viaja entre dos municipios a velocidad constante de 70 Km./h. Esto significa
que en la primera hora a recorrido 70 Km., en la segunda 140 Km., en la tercera 210 Km.,
etc.
 Elabora
una tabla en función del tiempo transcurrido hasta 7 horas y represéntalo
gráficamente.
3. Un conductor de servicio público se ayuda con una tabla que le dice precio de los pasajes
según el número de pasajeros.
PASAJEROS
A PAGAR
1
1200
2
2400
3
4
5
6
7200
a. ¿Cómo crees que el conductor hizo para elaborar su lista?
b. A medida que aumenta la cantidad de pasajeros, ¿aumenta o disminuye el valor a pagar?
c. Elabora la gráfica que representa ésta situación
MATEMATICAS – Matemáticas 5
96
PGF03-R03
APLICACIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA O INVERSA
En el dibujo vemos un grupo de 8 personas que están en la cola para comprar la entrada del
cine. Si vienen más personas al cine, la cola se hará más larga. Si hubiera pocas personas,
la cola sería más pequeña.
La longitud de la cola y el número de personas dependen entre sí, es decir, estar
relacionadas. Cuando una cosa depende de otra decimos que las dos cosas están
relacionadas. Pero el número de personas que hay en la cola y el número de coches que
pasan por la calle no están relacionadas, ni depende una cosa de la otra. Se dice que esas
cantidades son independientes.
¿Qué cantidad de arroz se necesita para alimentar a 130 soldados, si para que coman 40
soldados cocinamos 20 kilos?
a) 65 Kg
b) 20 Kg
c) 34 Kg
d) 80 Kg
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
Realiza el proceso y plantea la regla de tres simple directa o inversa
1. Para la celebración de los 50 años de la fundación
del banco donde trabaja Carlos, diez cajeros decidieron
reunir dinero para decorar las instalaciones.
El costo del arreglo tiene un valor de $ 150 000.
Cuando ya se ha fijado el valor de la cuota para cada
uno de los 10 cajeros, 2 de los supervisores quieren
unirse a la actividad ¿Cuál debe ser el valor de la cuota
para cada uno de los 12?
Observa:
Número de personas
cuota
total
10
150. 000
12 x ?
=150. 000
12
?
Luego el valor de la cuota de cada uno de los doce amigos del banco es el resultado de
calcular el valor desconocido en la expresión
12 x ? =150 000; de ahí se concluye que el valor de la cuota es de
2.Al aumentar el doble de un automóvil, el tiempo que se tarda para ir de un lugar a otro, se
reduce a la mitad.
Observa la tabla y complétala.
Velocidad
(km/h)
Tiempo(h)
120
60
1
2
40
20
12
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
 ¿Qué representa el producto de la velocidad por el tiempo?____
2. Para construir una casa en 28 días se necesitan 30 trabajadores. ¿Cuántos trabajadores
se necesitan para levantar la misma casa en 15 días?
3. Para pintar un colegio se ha realizado el estudio entre la cantidad de trabajadores y el
tiempo empleado en hacer el trabajo. Los resultados se presentan en la siguiente tabla
complétala.
Nº
de
trabajadores
Tiempo
empleado(h)
1
3
6
60
12
15
5
1. Camilo, Sebastián y Andrés compraron una finca para pagarla en 72 cuotas mensuales.
Camilo pagó 30 cuotas, Sebastián pago 18 y el resto lo pagó Andrés. Si venden la finca en
$36.000.000 y deciden repartirse el total del dinero de la venta, entonces Camilo recibe:
a) 900.000 b) 1.200.000 c) 15.000.000 d)18.000
e)1.000.000
2. Cuánto dinero necesito si deseo ir a la playa 17 días si por cada 2 días gasto $34560,65
a) 456.987
b) 456.567,45
c) 293.765,52
d) 134.562,45
3. Una rana cayó a un pozo de 18 m de profundidad. En su lucha por salir, cada día sube 5,4
m pero por la noche resbala y baja 2 m. ¿Cuántos días tarda en salir?
a) 5,2 días
b) 4,4 días
c) 6 días
d) 11 días
MATEMATICAS – Matemáticas 5
99
PGF03-R03
PORCENTAJE
En una encuesta de opinión el 45% dijo estar de acuerdo que la televisión de nuestro país es
buena y el restante 55% dijo lo contrario.
Estos porcentajes pueden ser representados así:
45% = 45/100
55% = 55/100
Para pasar de un porcentaje a un decimal, se multiplica por 0.01; ej.
La población de América del sur es del 6% de la población mundial. Expresado en
decimales 0.6% = 6 x 0.01 = 0.06.
Porcentaje de una cantidad: De los 36 000 000 de habitantes que tiene un país el 18% no
sabe leer ni escribir. Para saber cuantas personas corresponden a ese porcentaje, tenemos
calcular el 18% de 36 000 000.
x=
18 x 36 000 000
= 6 480 000 personas analfabetas.
El 25% de un número equivale a 40. ¿Cuál es el número?
BASE
100
X
PORCENTAJE
25
40
Se plantea la proporción y se halla el término desconocido.
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones y se resuelve la ecuación.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
100
PGF03-R03
PRACTIQUEMOS
1. Escribe cada porcentaje como una fracción y como un decimal.
a. 29 %
b. 31%
c. 88%
d. 2%
2. Observa la gráfica circular. Divide el valor de cada fracción y escribe en forma de
porcentaje.
Leones 1/4
Hipopótamos
1/2
otros
a)
b)
c)
d)
Hipopótamos ________
Camellos ________
Leones ________
Otros animales_______
Camellos
1/5
3. Elabora un diagrama circular donde muestres el desarrollo de las actividades diarias.
4. Completa en cada caso los datos que hacen falta.
1. Las ganancias de una panadería son: el 27% por la venta de pasteles y el 54% por la
venta de pan. ¿Qué tanto por ciento corresponde a otros productos?
El % que corresponde a otros productos
es
%
2. Si el 63% de una botella está llena. ¿Qué tanto por ciento de la botella está vacía?
El % que está vacía es
%
MATEMATICAS – Matemáticas 5
101
PGF03-R03
3. En un campo de tenis hay 15000 espectadores. En un partido, el 60% de ellos apoya a
uno de los jugadores. ¿Qué tanto por ciento apoya al otro?
El % que apoya al otro jugador es
%
4. Julián gasta el 70% de lo que gana cada semana. ¿Qué tanto por ciento ahorra?
El % que ahorra es
%
5. En la época de rebajas en una tienda descuentan el 22%. Una camisa cuesta $ 33.500 y
un pantalón $ 56.700 ¿Cuánto tenemos que pagar por la camisa? ¿Cuánto tenemos que
pagar por el pantalón?
El precio de la camisa es
El precio del pantalón es
6. El precio de una moto es $567.893 por añadir unos accesorios aumenta el precio en un
3.5 %, ¿cuál es el precio final?
El precio de la moto es
5. La tienda de Juan esta en realización y por ello esta otorgando el 12 % de descuento en
alimentos, 15% en ropa y 10% en artículos deportivos; escribe el valor neto de cada uno
de ellos. Dibuja cada artículo y encuentra su valor neto
.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
102
PGF03-R03
1. ¿Cuál es el interés que gana un capital de $540.000 colocando al 4% mensual durante 7
meses?
a) $ 126.000
b) $ 216.000
c) $ 125.000
d) $ 151.200
2. Si por una casa de $ 50.000. 000 se paga un impuesto predial de 4% Cuál es el valor del
impuesto a cancelar
a) 2. 345.250
b) 2.000.000
c) 1500.000
d) 2.345.678
3. Del hato ganadero de una finca, 1200 reses murieron debido a una epidemia. Si esta
cantidad representa el 18% de las reses. ¿Cuántas reses tenía el hato?
4. Por la compra al contado de un vestido de $164 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto se debe
pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
103
PGF03-R03
5. Por el arriendo de una casa se pagan $380 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa
cada año en el 20%, ¿Cuánto se pagara mensualmente al siguiente año?
6. Un capital de $6 000 000 se colocó a rentar por partes: la mitad, al 3% mensual durante 2
años; la tercera parte, al 4% mensual durante 3 años; el resto al 3.5% mensual durante 5
años. ¿Cuánto recibió el cliente por concepto de intereses?
7. Realiza los ejercicios propuestos utilizando el concepto de regla de tres y de porcentaje
A. En un parqueadero hay 250 carros, de los cuales hay 64 blancos, 16 rojos, 41 negros, 36
verdes y 93 azules.
a) ¿Qué porcentaje de los carros son negros?
b) ¿Qué porcentaje de los carros son azules?
c) ¿Qué porcentaje de los carros son blancos?
d) ¿Qué porcentaje de los carros son verdes?
B. Descuenta o aumenta.
a) La cuenta en el restaurante fue de $18 250. Hay que dar una propina del 10% sobre la
cuenta. ¿De cuánto fue la propina? ¿Cuál fue el total de dinero pagado?
b) La fábrica de tapetes hace descuentos del 40%. Un tapete persa tiene un precio de
$435 500. ¿De cuánto es el descuento?, ¿Cuánto hay que pagar por el tapete?
c) El precio de un artículo es de $64 500. Se piensa en un alza del 8%. ¿Cuál será el
precio del artículo?
 El precio de un electrodoméstico es de $ 2 480 000. si se paga de contado el vendedor
ofrece un descuento del 12% ¿Cuánto descuenta? ¿cuál es el precio que se debe pagar?
 Un
comprador paga de cuota inicial para un automóvil $4 500 000 que corresponden al
20% del precio del vehículo. ¿cuál es valor total del vehículo?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
104
PGF03-R03
LEE ATENTAMENTE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RELACIONADA
APLICACIÓN Y LA UTILIDAD DE LAS RAZONES Y LAS PROPORCIONES
CON
LA
Las razones, las proporciones y los porcentajes tienen hoy múltiples y variadas aplicaciones
en lo científico, lo social y lo cultural. En geografía por ejemplo, la elaboración de mapas
depende del uso de escalas, las cuales se determinan estableciendo razones entre las dos
magnitudes utilizadas que pueden ser directa o inversamente proporcionales; también son
herramientas necesarias en la vida diaria en la elaboración de dietas, recetas, la elaboración
de mezclas, disoluciones químicas etc.
El porcentaje o tanto por ciento en un ejemplo claro de aplicación de proporcionalidad.
De acuerdo a lo anterior lee cada enunciado y selecciona la respuesta correcta en cada
caso.
1. Una clase tiene cuarenta estudiantes. El gráfico de barras que presentamos, representa el
% de estudiantes de la clase que practican diferentes deportes. A partir de él determina
cuántos estudiantes, practican el fútbol y natación. (Total 40 = 100%)
A. 20 estudiantes
40
30
B. 40 estudiantes.
C. 10 estudiantes
D. 50 estudiantes
20
Alumnos
10
0
Basquet
Voley
Fútbol NataciónAtletismo
3. El gráfico circular representa a 800 niños de un club. Después de observar los datos
que aparecen y hacer los cálculos necesarios, selecciona la respuesta correcta.
A. 250 estudiantes practican futbol
B. 200 estudiantes practican Básquet
C. 300 estudiantes practican natación
D. 20 estudiantes practican Karate.
3. Un motor extrae de una piscina 378 litros de agua e
9
MATEMATICAS – Matemáticas 5
105
PGF03-R03
minutos. ¿Cuánto tiempo
A. 25 minutos
B. 23 minutos
C. 50 minutos
D. 35 minutos
de tardará en extraer 2.100 litros de agua?
4. Una oficina se alquiló por $ 343.000 mensuales, si el dueño de esta aumenta el
18% ¿Cual es el valor actual del arrendamiento?
A. 404.740
B. 412.740
C. 512.740
D. 304.740
5. ¿Qué interés produce un capital de $ 1.000.000 al 3% mensual durante 5meses?
A. 120.000
B. 150..800
C. 160.020
D. 150.000
6. Julián y Andrés deciden reunir sus ahorros para comprar un balón de baloncesto. Julián
tiene $ 24.500 y Andrés el 25% menos que Julián. ¿Cuánto dinero reúnen los dos?
A. $ 35.875
B. $ 30. 625
C. $ 28.700
D. $ 30.000
7. La Casa de la Cultura programa un taller para sus afiliados, cuyo costo es el siguiente:
Afiliado A $22.000 Afiliado B $24.000
Si los 20 primeros afiliados que se inscriban tienen un descuento del 10%, y hay 10 afiliados
A y 10 afiliados B, el descuento total que hizo la Casa de la Cultura fue de
a) $ 4.400
b) $4.600
c) $4.000
d) $68.000
8. En una pastelería se venden tortas negras y tortas de piña. Si la razón entre el número de
tortas de negras y de piña vendidas en un día es de 3 : 4 ¿Cuántas tortas de piña se
vendieron en un día, si se vendieron 30 unidades de torta negra?
A. 30 unidades.
B. 40 unidades
MATEMATICAS – Matemáticas 5
106
PGF03-R03
C. 25 unidades.
D. 60 unidades
9. Margarita quiere hacer un postre de chocolate para su fiesta de cumpleaños. Consulta un
libro de cocina y la receta indica que para 6 personas hay que utilizar 120 gramos de
chocolate .Completa la tabla y realiza la gráfica
Número de personas
6
Gramos de chocolate
120
12
18
3
1
10. Encuentra el valor de x y у de tal forma que los dos números sumen ocho y que al
multiplicar en equis su resultado sea el mismo, es decir que sea una proporción
x / 6 = y / 10
A.
B.
C.
D.
x=3 y=4
x=4 y=5
x=3 y=5
x=2 y=6
11. La contaminación del aire es un problema ambiental causado por la presencia de algunos
gases en la atmósfera. El siguiente gráfico muestra la contribución de los gases que
contaminan el aire.
Manuel le explica a Diana que el gas que más influye en la contaminación es:
A. ozono.
B. dióxido de carbono.
C. metano.
D. óxido de nitrógeno.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
107
PGF03-R03
12. Un trabajador de la granja les contó a los niños que durante un tiempo dio a algunas
gallinas un alimento tradicional y a otras un alimento nuevo llamado Yemina, para investigar
el efecto en la producción de huevos. De acuerdo con la gráfica ¿qué debería hacer el
trabajador?
A. Seguir comprando Yemina porque no afecta la producción de huevos.
B. No seguir comprando Yemina porque baja la producción de huevos.
C. Seguir dando Yemina a las gallinas porque aumenta la producción de huevos.
D. No seguir dando Yemina a las gallinas porque acaba con la producción de huevos.
13. La siguiente gráfica muestra los porcentajes de proteína contenidos en los huevos del
experimento anterior. A partir de esta gráfica podemos concluir que los huevos de las gallinas
alimentadas con Yemina
A. son menos nutritivos.
B. son más nutritivos.
C. son igual de nutritivos.
D. no son nutritivos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
108
PGF03-R03
MENTEFACTO
1.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
109
PGF03-R03
UNIDAD Nº 4
NÚMEROS ENTEROS, OPERACIONES Y RELACIONES
Propósito: Establecer relaciones de orden y comparación con los
números enteros, teniendo en cuenta sus características en la
solución de ejercicios y problemas propuestos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
110
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
Érase una vez un guardia que trabajaba a las puertas del templo de una ciudad, la cual se
situaba donde ahora está el Atlántico. En el templo vivía la familia real, y sus más allegados.
Resulta que el guardia, que hacía el turno de noche, observaba a la princesa Chari, de quien
se había enamorado. Por las noches se dedicaban formales saludos y frases del tipo: “parece que va a refrescar…”, a los que se contestaban con gestos y gruñidos. Su amor era
mutuo. El inconveniente es que, en su sociedad, el amor entre gente de distinta clase social
no estaba ni bien visto ni permitido. Pero a ellos les daba igual; poco a poco, se declararon
su amor y empezaron a salir a escondidas.
El rey Popescu, que era una muy buena persona, al enterarse de la historia, decidió
(para no parecer un monarca blando y que cambiaba las leyes por casos particulares)
encargar al guardia un trabajo. El trabajo probaría el ingenio, la fuerza, la velocidad y la
habilidad de nuestro protagonista. Resulta que el rey estaba enfermo del corazón y el frasco
que contenía la única medicina que podía curarlo se encontraba en la isla de Yonkaliens. Los
Yonkaliens eran unos extraños seres de leyenda que ponían pruebas a los míticos héroes
griegos. De modo que el rey le propuso al guardia:
- Si traes la medicina podrás estar más cerca de mi hija. Cambiaré tu turno de tarde
por el de mañana y te nombraré guardaespaldas de la princesa. Eso sí, el matrimonio
os seguirá vedado.
La primera prueba se la resolvió la princesa Chari, pues le cogió un mapa de la posición de la
isla a su padre y se lo entregó a su amado para que no se perdiera.
Tras tres días de viaje, el guardia divisó una isla entre la niebla, y allí se dirigió.
La arena de la playa era muy fina, ante él se extendía un enorme bosque, y de él surgía un
enorme volcán nevado. Pensó: “qué contradicción”. Nada más entrar en el bosque algo le
golpeó en la nuca. Cuando despertó, estaba tumbado en medio de una sala circular que
parecía girar y emitir luces de miles de colores. A su alrededor cientos de pequeños seres,
con el pelo tan largo que les llegaba hasta los pies,
MATEMATICAS – Matemáticas 5
111
PGF03-R03
parecían bailar. Todos tenían el pelo oscuro como la noche, excepto uno que lo tenía
muy rubio, tanto que casi molestaba a la vista.
– El rey de la isla Narizandia, me ha informado de que mandaría a un guerrero para
someterlo a las pruebas. ¿Sois vos?
– Supongo- respondió el todavía aturdido aventurero.
– ¡Pues que dé comienzo el espectáculo!- y al instante varios peludos le cogieron y le
llevaron a una gran puerta de piedra.
Las reglas eran sencillas. Tenía que coger el frasco del centro de la isla y volver a la
puerta en un solo día.
Corrió por un estrecho sendero en medio del bosque hasta que llegó a una gran explanada.
En ella se encontraban uno de los ridículos seres con pelo largo, una gran balanza de
platillos y un gran montón de piedras. El bicho parecía dormido, pero al acercarse enseguida
empezó a recitar las reglas de la prueba.
– El montón de piedras pesa 240 Kg. y tendrás que conseguirme un montón de 90 Kg. en
menos de tres pesadas; si lo haces te daré panchitos para recuperar fuerzas.
La verdad es que el cálculo lo realizó enseguida, pero las piedras eran tan grandes, que
tardó varias horas en conseguirlo. Lo hizo en las tres pesadas, pero cuando ya era anciano y
le contaba estas historias a sus nietos se dio cuenta que en cuatro pesadas era más difícil
que en tres.
Con los panchitos en el bolsillo se dirigió ahora por entre los árboles para su siguiente
prueba. El bosque se acabó. Ante sus ojos apareció un desierto con un oasis.
“¿Dónde me habré metido?” se repetía continuamente.
Dándose un baño en el pequeño charco, con unos pocos peces, estaba el hombrecillo de
turno. Éste corrió al encuentro de nuestro valiente, y poniéndose de rodillas le dijo:
– Tengo un problema, ¿me ayudarás?
– ¿Esta es una de las pruebas?
– ¿Quién sabe? Sólo quiero saber si me harías un favor.
El intrépido guardián se olió que esta debería ser una prueba de humildad o similar, y a él le
interesaba superarlas todas para poder verse con su amada.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
112
PGF03-R03
Tras asentir, el ser peludo le explicó:
– Vivo aquí desde hace muchos años, pero aún no sé cómo alimentar a mis peces
correctamente. He averiguado que 17 Blugos (extraño ser de tres patas) comen tanto como
170 hienas del desierto. 100.000 lagartos asesinos de la estepa tanto como 50 hienas.10
Blugos comen tanto como cuatro carpas del oasis atlántico. Pero yo tengo 12 carpas, y no sé
cuántas lagartijas tengo que darles. Siempre se me han dado mal las matemáticas. Además
todo esto es lo que comen anualmente los bichos, y me interesa saber lo que comen en un
día.
– ¿Tiene papel…?
Contento por haber ayudado a un indígena, corrió montaña arriba. Mientras corría pensaba
en su amada Chari Bartolita. Tras pasar la nieve llegó a lo más alto del volcán.
Allí hacía calor,había una cueva tallada en la propia montaña, con su respectivo ser.
Este tenía pinta de ser un erudito, pues su barba se juntaba con la melena, de la que le
salían papeles y libros.
El erudito le explicó que estaba decorando una de las paredes, pero no tenía ni pulso ni edad
para acabarlo. Quería que fuera simétrico, pero era un tacaño y le dijo que le gastara la
menos cantidad de pintura posible.
Nuestro amigo lo hizo coloreando cuatro cuadros, pero con la edad se dio cuenta de que con
tres bastaría. El erudito, que no lo era tanto, le dio el visto bueno y le dijo – La última prueba
también te la propondré yo.
De entre su barba se sacó un pequeño tubo de ensayo con un líquido azul en su interior.
– Para conseguirlo deberás demostrar velocidad, pero al igual que en todas las pruebas
tendrás que realizar un cálculo lógico primero.
– Entendido.
– El frasco se deslizará ladera abajo, y tú tendrás que cogerlo. Tú corres
exactamente tres veces más rápido que el frasco, pero este partirá con 12 metros de ventaja
y a una velocidad de 2 m/s. ¿cuánto tardarás en alcanzarlo?
El inteligente enamorado le dio la respuesta y, enseguida, el peludo dejo caer la probeta.
Corrió con todas sus fuerzas, y en cuanto tocó el pequeño bote, sintió como si lo empujaran
MATEMATICAS – Matemáticas 5
113
PGF03-R03
por encima del bosque, del mar, y aterrizó en la puerta donde tantas veces había hecho
guardia. Entró corriendo en el templo, con la prueba de su heroicidad en alto; su expectante
novia lo esperaba, y lo recibió con un emocionado beso, que todos los presentes observaron
con sana envidia. Y como suelen acabar los cuentos, vivieron felices y comieron perdices.
Escribe los valores que encuentras en la lectura y clasifícalos en valores positivos o
negativos
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
MATEMATICAS – Matemáticas 5
114
PGF03-R03
CONCEPTO Y CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Hay ciertas situaciones que no se pueden expresar matemáticamente utilizando los
números naturales. A partir de ahora utilizaremos un nuevo conjunto números para
resolver este problema: los números enteros.
Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el
cero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo.
Lectura y escritura de números enteros
Para diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientes
símbolos: + (para los positivos) y − (para los negativos).
MATEMATICAS – Matemáticas 5
115
PGF03-R03
Para escribir un número entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.
+ 200 Se lee: "más doscientos".
Para escribir un número entero negativo se coloca − delante de la cantidad expresada.
−100 Se lee: "menos cien".
MATEMATICAS – Matemáticas 5
116
PGF03-R03
1. En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con números enteros.
Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan.
Situación
Nº Entero
La temperatura ambiente es de 2º bajo cero
La temperatura ambiente es de 2º sobre cero
La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar
El buzo está nadando a 20 m de profundidad
Estamos justo al nivel del mar
Julián tiene un deuda de $5.000
El avión está volando a 9.500 metros de altura
El saldo deudor de la libreta de ahorro es de $12.356
Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero
Latitud de la línea del ecuador
La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros
La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros
Maritza debe $11.650
Andrés tiene $3.580
El submarino está a 35 metros bajo el nivel del mar.
2.Completa con los signos < o >:
a) -3 ____ +5 e) +4 ____ 0
b) -7 ____ -9 f) 0 ____ -5
c) -4 ____ -3 g) -6 ____ +8
d) +3 ____ +7 h) +5 ____ -5
3. Escribe el número anterior y posterior a cada uno de los siguientes números enteros:
a) ___< +3 <___ d) ___< -400 <___
b) ___< 0 <___ e) ___< -5 <___
c) ___< -1 <___ f) ___< -123 <___
MATEMATICAS – Matemáticas 5
117
PGF03-R03
1. Observa el gráfico y completa según la tabla.

La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar.

El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar.

El pez está nadando a _________ m

El cangrejo se encuentra a _________ m

El pelícano vuela a _________ m.
2. Representa en la recta numérica los siguientes números enteros:
3,-3, -8,5,-2,-6,0
3. Representa en el plano cartesiano los siguientes valores: (2,-2) (3,-4) (5,5), (-1,-1)
4. Escribe el signo >< o = según corresponda:
-3 ____ 3
-6 ____ -1
5 ____ 0
-2 ____ 0
MATEMATICAS – Matemáticas 5
118
PGF03-R03
-4 ____ +4
-9 ____ 0
-1 ____ -1.000
6 ____ +6
5. Ordena de menor a mayor estos conjuntos:
A = { -5, 4, 0, -7, 3 }
B = { -15, -6, -2, -100, -1 }
6. Dibuja en el gráfico de acuerdo a cada enunciado
Un pulpo a tres metros de
profundidad.
Un barco en la superficie del
mar.
El ancla del barco a cinco
metros de profundidad.
Un globo aerostático a 6 metros
de altura.
Una estrella de mar en una roca
a cuatro metros de profundidad.
Un pez espada a un metro de
profundidad.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
119
PGF03-R03
1. Organiza la siguiente información referida a hitos históricos y fechas importantes de la
civilización occidental. El año 1492 corresponde al año del descubrimiento de América y al
comienzo de los tiempos modernos.
El invención de la escritura data del año 3000 ac
El año 476 dc marca el fin de la Edad antigua.
En el año 1789 se produjo la Revolución Francesa
La segunda guerra Mundial finalizó el año 1945
Hace 3 millones de años antes de Cristo aproximadamente apareció la primera
especie o forma humana llamada Auastralopitecus, mientras que el Homosapiens
Sapiens corresponde aproximadamente al año 40.000 a.C.
2. Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros y encierra con
un círculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los negativos)
a) –4
b) +2
c) 0
d) –5
3. Escribe un conjunto de números enteros positivos que sean mayores que 1000 y menores
que 23000.
4. Escribe un conjunto de números enteros negativos que sean menores que – 8 y mayores o
iguales que – 12.
5. Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número entero:
Situación
Número entero
Avancé 4 metros.
El ascensor está en el 3° piso.
Debo $2.000
El submarino está a 40 metros de profundidad.
La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo
cero.
El ascensor está en el primer subterráneo.
Ahorré $10.000
Giré de mi libreta de ahorros $8.000
Retrocedí 2 pasos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
120
PGF03-R03
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las
reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y
conservar el signo.
Ej. :
-3 + -8 = - 11
12 + 25 = 37
(sumo y conservo el signo)
(sumo y conservo el signo)
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y
conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto
son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).
Ej. :
-7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números
son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor
absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor
valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
5 + -51 = - 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
-14 + 34 =
20
Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de
estamanera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas
anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a)
Cambiar el signo de la resta en suma
b)
Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por
su signo contrario
MATEMATICAS – Matemáticas 5
121
PGF03-R03
Ej.:
-3 + - 10
=
19 - ( - 16 ) =
-3
+ - 10 =
-13 (signos iguales se suma y conserva el signo)
19 + 16 =
19 +
16
=
35
1. Dibuja un sapo y ayúdalo a saltar de piedra en piedra para llegar al charco.
2) Selecciona la respuesta correcta.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
122
PGF03-R03
a. En un juego, Mateo ganó 32 puntos después perdió 15 puntos, más tarde ganó 42 puntos
y después perdió 72. ¿Cuál fue el resultado del juego?
a) 15
b) -13
c) 6
d) 2
b. La mitad de un número es –48 el triple de ese número es:
a) -48
b) 72
c) –144
d) -288
c. La temperatura en una ciudad a las ocho de la mañana es de 8°, de 8 a.m. a 10 a.m., la
temperatura aumentó 3 grados, de 10 a.m. a 2 p.m. aumento 6°. De 2 p.m. a 5:00 p.m. no
vario de 5 p.m. a 7:00 p.m. bajo 4°, de 7 p.m. a 9 p.m. bajo 3° y de 9 p.m. a 12 p.m. bajo 7°
¿Cuál es la temperatura a las doce de la noche?
a) 5
b) 3°
c) 2°
d) 6°
d. La mitad de un número es –24, el triple de ese número es:
a) -48
b) 72
c) –144
d) +48
e. El alcalde de Paují lleva un registro de los habitantes de su pueblo así:
Población inicial:
Personas que llegan al pueblo:
Personas que se van del pueblo
Nacimientos:
Defunciones:
¿Cuántos habitantes tiene el pueblo al terminar el alcalde su período?
a) 8.142
b) 8.171
c) 6.411
d) 9.471
8.436
526
820
75
46
MATEMATICAS – Matemáticas 5
123
PGF03-R03
3. Resuelve los ejercicios propuestos en cada caso y ubica las respuestas en el dibujo.
1º) 63-84=
2º) (+34) - ( -25 ) =
3º) ( -48) - ( -52) =
4º) ( + 75 ) - ( - 39 ) =
5º) 256- ( + 256 ) =
6º) ( -4 ) - ( + 12 ) =
7º) 68- ( 21 - 54 ) + ( 7 - 72 ) =
8º) - ( 24 - 89 + 18 ) + ( - 91 + 24 ) =
9º) - ( - 417 - 78 ) - ( -518- 287 ) =
4. Soluciona los problemas.
a. ¿Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 A.de hasta la caída
del Imperio Romano de Occidente (año 395 D. de C.)
b. Euclides, geómetra griego, nació en el año 306 A de C y murió en el año 283 A. de C.
¿Qué edad tenía cuando murió?
c. La invención de la escritura data del año 3.000 A de C ¿Cuántos años han transcurrido
hasta hoy?
d. En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero:
1) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. ¿En qué punto te encuentras?
2) Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¿En qué punto te encuentras?
3) Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. ¿En qué punto te encuentras?
4) Si avanzas 13 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –5
?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
124
PGF03-R03
1 Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso:
(a) El procedimiento.
(b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Problema 1:
En un campeonato de fútbol, el equipo A jugó tres partidos y obtuvo los siguientes
resultados: en el primer partido perdió 2 – 5, en el segundo perdió 1 – 3 y en el tercero perdió
0 – 2. ¿Cuál es la diferencia total de goles que tiene el equipo A, al terminar el campeonato?
Problema 2:
Sebastián rindió una prueba de 30 preguntas. Por cada respuesta correcta recibió 10 puntos;
por cada respuesta incorrecta, –4 puntos; y por cada pregunta no contestada, –3 puntos. Si
Sebastián respondió incorrectamente las preguntas 10 y 15, y no contestó las dos últimas
preguntas, ¿qué puntaje total obtuvo por preguntas no contestadas o contestadas
incorrectamente?
Problema 3:
Una pequeña empresa de reciclaje de papel inicia sus actividades con un capital inicial de
$54.700.000. El primer mes gastan $10.560.000 en la compra de maquinaria; desembolsan
$543.700 en el arriendo de un local; y pagan sueldos por un monto total de $3.201.550.
¿Cuánto dinero gastó la empresa en su primer mes de funcionamiento?
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
8 + 2 - 10 =
( 8 + 2 ) +34 =
15 - 3 + 12 =
15 + ( 3 + 12 ) =
MATEMATICAS – Matemáticas 5
125
PGF03-R03
SIGNOS DE AGRUPACIÓN EN SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS
Cuando realizamos una operación con números enteros que
combina sumas con restas usamos paréntesis para evitar que
aparezcan dos signos seguidos:
2 + (-9) + (5 + 1) - (3 - 4)
Podemos actuar de dos maneras diferentes:
Eliminar todos los paréntesis, y sumar y restar normalmente.
Operar primero con los números que están dentro de los paréntesis y eliminarlos
después.
En ambos casos tenemos que suprimir los paréntesis, operación que varía en función del
signo que lo precede.
Cuando el paréntesis va precedido del signo negativo (-). Para suprimirlo hay que
cambiar el signo a todos los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = (5 + 1) - 3
+4
Cuando el paréntesis va precedido del signo positivo (+). El paréntesis se puede
suprimir sin alterar el signo de los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = 5 +
1 - (3 - 4)
Pero a veces los paréntesis están, a su vez, dentro de otros a los que llamamos corchetes.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
126
PGF03-R03
Los corchetes son paréntesis que tienen esta forma: [ ]. Se utilizan cuando en una operación
matemática hay más de un paréntesis, unos dentro de otros.
Por ejemplo, 10 - [8 - (5 - 2) + (-2 + 3)] + 1
Podemos calcular esta operación con corchetes de dos formas:
1. Primera
1. Se hace la operación del interior del paréntesis.
2. Se hace la operación del interior del corchete. 10 - [8 - 3 + 1] + 1 = 10 - [6] + 1 =
5
2. Segunda
1. Se suprimen los paréntesis.
2. Se suprimen los corchetes. 10 - [8 - 5 + 2 - 2 + 3] + 1 = 10 - 8 + 5 - 2 + 2 - 3 + 1
=5
Al quitar un corchete precedido de un signo negativo (-) hay que cambiar todos los signos de
los números que hay dentro de él.
1. Calcula las siguientes sumas de números enteros,
aplicando la ley de los signos
1) -41 + -4=
2) - 24 + 4=
3) -2 +10
4) -12 + -12=
5) 10 + -41=
6) -18 + -4=
7) 4 + -11=
8) -10 + 40=
9) -5 + 19 =
11) -30 + 4 =
12) -15 + 10 =
10) -21 + 18 =
13) -5 + 7 + -9 + 4 =
MATEMATICAS – Matemáticas 5
127
PGF03-R03
2. Calcula las siguientes restas de números enteros, completa los paréntesis y no olvides
que si hay dos signos seguidos debes aplicar la ley de los signos
1) -12 - -4=
2) -14 - 4=
3) -8 - -12=
4) -10 - 4=
5) 4 - -11=
6) -100 - -4=
7) 4 - -12=
8) -10 - -10=
9) 5 - 9 =
3. Completa la tabla siguiente utilizando las propiedades de la adición y la sustracción de
números enteros.
(a b) c
a : (b c)
a b
a b c
a
b
c
-5
2
-3
1
-4
-2
-3
-2
-1
5
10
-10
-1
5
6
4. Completa el siguiente cuadro, utilizando las operaciones con los números enteros
MATEMATICAS – Matemáticas 5
128
PGF03-R03
5. Realiza las siguientes operaciones:
1) 8 7 (5 4) 3
2) 7 2 (8 3) (5 2)
3)
(4 3) (5 2) (7 3)
4)
3 4 (3 6) (8 5)
5)
3 (8 6) (5 4)
6)
7)
8)
(8 4)
3 (4 6) 2
(7 8) (4 3)
(5 4) (2 4)
2
(14 6) (7 8)
6. Lee cada enunciado y completa el valor en cada caso.
a.Carlos, que vive en el segundo piso, tiene que subir tres plantas para visitar a su amigo
Javier. ¿En qué planta vive Javier?
b. El termómetro marca –3ºC. ¿Qué temperatura marcará si baja cinco grados?
c.Un ascensor que está en la quinta planta sube siete plantas. ¿En qué planta se encuentra
ahora?
d. Estoy en el tercero sótano de mi casa. Si subo ocho plantas, ¿a qué piso llego?
e. El pasado jueves, la temperatura a las doce de la noche fue de cuatro grados. A las tres
de la mañana, la temperatura bajó cinco grados. ¿Qué temperatura marcaba el
termómetro a las tres de la mañana?
1. Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso:
(a) El procedimiento.
(b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Problema 1:
Iván tiene un balance inicial de 17,35 dólares en su cuenta bancaria. Para pagar algunas
deudas debe girar 2 cheques, uno por 5,65 dólares y otro por 15,75 dólares. Posteriormente,
MATEMATICAS – Matemáticas 5
129
PGF03-R03
deposita 5,35 dólares y, por último, gira un cheque por 2,25 dólares. Determine cuál es el
saldo de la cuenta en dólares de Iván.
Problema 2:
Matías tenía 578,5 dólares en el banco. Para pagar un par de deudas realizó dos giros: uno
por 56 dólares y el otro, por 105,5 dólares. ¿Cuánto dinero le queda a Matías, en su cuenta?
Debes averiguar el precio de un dólar y convertir el valor en pesos
Problema 3:
Dos misioneros escapan de un grupo de caníbales. El misionero 1 se esconde en una cueva
que está a 50 metros bajo el nivel del mar, esto es, a –50 metros. El misionero 2, por su
parte, sube a la copa de un árbol que está a 100 metros sobre el nivel del mar. ¿En qué
orden, de abajo hacia arriba, se encuentran el misionero 1, el misionero 2 y los caníbales?
Problema 4:
Tres obreros trabajan en una construcción. El primero, pone las ventanas en el quinto piso, el
segundo, está a cargo de la instalación eléctrica en el sótano correspondiente al piso –1 y el
tercero, se encarga de los marcos de las puertas del primer piso. ¿En qué orden se
encuentran los obreros, empezando por el que está más arriba?
Problema 5:
Tres personas fueron al hospital a visitar a sus familiares. María fue a maternidad en el piso
2, Matías a pediatría al piso 4 y Leo a urgencias ubicada en el piso –1. Ordene a estos
visitantes empezando
2. Reemplaza los valores de las siguientes expresiones, realiza la sustitución y resuelve cada
ejercicio. a = -7
b=-8
c=10
d=4
e= 5
1. (a+b) +c –d
3. (e- c) -b-d
4. (a-d) + (-b) + (-c)-d +e
5. (a+e) – (b+c) +d
3. Encuentra el número que cumple con la condición dada en cada caso.
a) ( - 7 ) + ………….. = -9
MATEMATICAS – Matemáticas 5
130
PGF03-R03
b) ( - 4 ) + ……………..= - 4
c) ……………+ ( + 8 ) = - 12
d) ( + 7 ) + ……………..= 0
e) ( + 3 ) + ……………= + 14
f) ……………+ ( + 2 ) = + 2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON LOS NÚMEROS ENTEROS
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE?
Multiplico y /o divido los números luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
+
·
+
=
+
-
·
-
=
+
+
·
-
=
-
-
· +
=
-
Ej.:
-5
·
12 ·
-10 =
-4
50
= -48
( 5 · 10 =
50 ;
- ·
- = +)
( 12 ·
48 :
+ ·
- = -)
4 =
Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
131
PGF03-R03
1. Completa, en la línea, con lo que falta para que se cumpla la igualdad:
1) 2 x ___ = 18
2) 3 x ___ = 27
3) 3 x 7 = ___4) ___ x 8 = 24
5) ___ x ___ = 21
6) 4 x ___ = 20
9) 5 x 7 = ___
10) ___ x 9 = 45
13) 6 x 7 = ___
14) 7 x ___ = 56
7) ___ x 7 = 28
11) 5 x ___ = 40
15) 7 x ___ = 70
8) ___ x 9 = ___
12) ___ x 3 = 15
16) ___ x 7 = 49
2. Resuelve mentalmente las divisiones
3.Resuelve los ejercicios utilizando l ley de los signos y las propiedades de los números
enteros. :
1) (+7) · (+3 ) · (+6) · (+9) =
2) (-12) · (+8 ) · (+7) · 0 =
MATEMATICAS – Matemáticas 5
132
PGF03-R03
3) (+8) · (- 8 ) · ( 3 ) · ( 6 ) =
4) (-3) · (+ 4) · (- 4 ) · (+4) =
5) (+6) · (- 4) · (-11) · (-1) =
5) (+5) · (+3 ) · (-7 ) · (- 3) =
6) ( - 4) · (+3) · (- 2) · (+1) =
7) (+5)· (+3) · (-7)· (- 2) · (- 5) =
8) (-6) · (-1) · (+10) · (+9) · (+3) =
9) (+16) · (+4) · (-7) · (-1) · (-3) =
1. Teniendo en cuenta la ley de los signos, realiza los ejercicios.
1. (+12)/ (+3) =
2. (+12) / ( -3) =
3. (-12) / (-3) =
4. (-12) / (+3) =
5. (+20) / (+2) =
6. (- 80) / (-10) =
7. (- 49) / (+7) =
8. (+64)/8 =
9. (+80)/ (- 5)=
10. (- 72)/ (- 3)=
2. Calcula los productos y luego las divisiones.
1. (-3) · (-8) (-2)/-5
2. -12 (+8) (-9) (-3)/ -13
3. (+4) · (-5)/2
4. (+12) · (-4)(+3)/6
5. (-8) · (-5)+ 94/ 46
6. (-15) · (-6) (-5)/-23
3. Realiza las operaciones propuestas y escribe verdadero o falso
a. 456.678
por - 976
- 445.717.728
b. -6.905. 312 por - 865
5.973.094.000
-------------------------------------
MATEMATICAS – Matemáticas 5
133
PGF03-R03
c.
d.
e.
f.
-7.321.895 por
-345.213/ 12
6.432.984/ -386
5.194.389/ 897
408
- 2.987.320.920
-28767,75
- 1666,61
5790,84
-------------------------------------------------------------------------
4.-Calculas las siguientes multiplicaciones de números enteros:
1) -5 · -4=
2) – 12 · -4=
3) -40 · -3=
4) -11 · -4=
5) 10 · -4=
6) -15 · -4=
7) 4 · 12=
8) -10 · -15=
9) -13 · 9 =
10) -2 · 18 =
5. Calcula las siguientes divisiones de números enteros:
1) 4 : –2 =
2) –20 : 4 =
3) 45 : –3 =
4) –15 : –5 = 5) –20 : –2 =
6) –21 : –7 =
7) –27 : –9 =
8) 42 : –21 = 9) 8 : 2 =
10) 100 : –10 =
6. Resuelve los ejercicios combinados con los números enteros
1) 6 · (2 - 3) =
4) -8 · (8 - 1) =
7) (-8 + 3)·(5 - 9) =
2) -7 · (3 - 6) =
5) 4 · (-3 - 5) =
8) (24:-3)·(10 - 15) =
3) 9 · (8 - 1) =
6) (-5 - 6)·(8 - 4) =
9) (-3 + 9)·(-32:-8) =
7. Resuelve los problemas, realizando el proceso necesario en cada caso
Problema 1:
Un avión sufre un problema en uno de sus motores y comienza a perder altitud. Si durante
15 segundos baja un promedio de 115 metros por segundo, ¿cuántos metros bajó en un
segundo?
Problema 2:
Marco Antonio compró 1257 acciones de Ecopetrol, si cada acción costó $ 1.345.678
¿Cuánto dinero invirtió en la compra de las acciones?
Problema 3:
Eduardo estudia en Bogotá, aunque su familia en Palmira. Él utiliza una tarjeta bancaria
para retirar el dinero que sus padres le envían cada mes. Según las reglas del banco, sólo
los primeros tres giros mensuales son gratis; los siguientes le cuestan $357 cada uno, dinero
que es descontado de su cuenta. Si este mes Eduardo hizo 14 giros, ¿cuánto dinero le
descontarán?
Problema 4:
Juan José tiene en su cuenta bancaria saldo negativo de –5.758.987 pesos y debe cancelar
la tercera parte del dinero para que no le cancelen la cuenta. ¿Cuánto debe cancelar?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
134
PGF03-R03
Problema 5
La prueba semestral de lenguaje, que consistía en 20 tenía la siguiente puntuación: por cada
respuesta correcta, 12 puntos y por cada respuesta incorrecta, –6 puntos. Carolina obtuvo –
72 puntos por las respuestas incorrectas y Claudia obtuvo 72 puntos por las respuestas
correctas, ¿si ambas contestaron todas las preguntas, a quién le fue mejor en la prueba?
1. Realiza las siguientes operaciones:
1. El cociente entre 5.494.568 y –61 es
2. El cociente entre 7.654.890 y –13 es
3. El cociente entre 4.876.321 y –43 es
2. Resuelve los siguientes problemas.
2. Mario gana $16.000 diariamente y, de esa cantidad, ahorra $8.000. José, por su parte,
gana $12.000 diarios y ahorra
$5000. ¿Quién ahorra más dinero durante un mes? Escribe la diferencia del ahorro mensual
entre Mario y José
3. José y Manuel abrieron cuentas corrientes en el mismo banco. Sus movimientos bancarios
en las dos primeras semanas fueron los siguientes: José depositó $250.000 la primera
semana y pagó en el supermercado con un cheque por $150.000 durante la segunda. Luis,
en cambio, depositó $210.000 la primera semana y durante la segunda, gastó $7.500 para
pagar un almuerzo y $ 46.780 para comprarse una camisa. Después de estas operaciones,
¿cuál de los dos tiene un saldo menor en su cuenta corriente?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
135
PGF03-R03
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
 La potenciación con los números enteros cumpla las mismas propiedades
de
las potencias con los números naturales, la diferencia está en la aplicación de la ley de
los signos; cuando la base es negativa y la potencia está elevada a un exponente impar el
resultado será negativo, si la base es negativa y está elevada a un exponente par, el
resultado es positivo. Ejemplo :
( - 7 ) ² = 7 x 7 = 49
Completa la tabla encontrando el cuadrado y el cubo de cada número
1
2
3
CUADRADO
1
4
9
CUBO
1
8
4
5
6
7
8
9
10
1. Escribe los siguientes productos como potencias:
2 · 2.2.2.2.2.2.2.22.2
=
(-12)(-12 )(-12)
=
(-35 )( -35)
=
(-5 ) (-5 ) (-5 ) (-5) (-5 )
(43)(43)
=
=
MATEMATICAS – Matemáticas 5
136
PGF03-R03
2) Completa el siguiente cuadro
Potencia
Base
Exponente
Desarrollo
Valor
-162
1253
113
3) Determina el valor de las siguientes potencias:
a) -132 =
b) 642 =
c) -5382 =
d) -82942 =
e) -143 =
4) Resuelve las siguientes operaciones:
a) -23 + 43 - 33
b) -53 - 32 + 42
c) 122 - 52 - 72
d) 83 + 53 - 132
5. Completa el siguiente cuadro, indicando la potencia, la base, el exponente, el desarrollo y
el valor
potencia
Base
Exponente
Desarrollo
Valor
-4³
-152
-73
4 a la 5
-2 a la 9
- 9 a la 4
MATEMATICAS – Matemáticas 5
137
PGF03-R03
Encuentra el valor indicado en cada caso.
a. Suma el cuarto múltiplo de nueve, más el cubo de 9 multiplicado por -346-------b. Divisores de 72 más divisores de 50 menos el cubo de 8 multiplicado por 567 dividido
entre 18------------c. Número divisible entre 7 cuyas cifras suman 21 y son múltiplos de 7, más el doble
de 456multiplicadopor 789 dividido entre56 -----------d. Número primo divisible por 11 más el triple de -345, más el cuadrado de 13 multiplicado
por 532--------e. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide en uno de sus lados 14 cm?
f. ¿Cuál es el volumen de un recipiente cuya forma es cúbica y tiene de arista 5 cm?
g. Si el área de un rectángulo es 72cm² ¿Cuál es la medida de la base y de la altura?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
138
PGF03-R03
ECUACIONES ADITIVAS
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En
una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en
general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x,
z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras
minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c.
y,
Encontrar la ecuación para cada caso.
a. El doble de la edad de Alex menos 6 unidades es igual a 28.
Si X es la edad de Alex; 2X indica el doble de la edad de Alex y de esta forma, la ecuación
queda planteada como:
2X – 6 = 28
b. el perímetro de un cuadrado es de 48 cm.
Si Y es la longitud de un lado, entonces la ecuación queda planteada como:
4Y =48
¿Qué es resolver una ecuación?
“Resolver una ecuación es como encontrar un objeto escondido”
Supongamos que alguien siguió el siguiente procedimiento para esconder una sorpresa:
a. abrió el armario
b. abrió uno de los cajones
c. guardó la sorpresa
d. cerró el armario
Si otra persona quiere encontrar la sorpresa debe deshacer las acciones de la primera
persona, pero en el orden inverso:
a.__________________
MATEMATICAS – Matemáticas 5
139
PGF03-R03
b.__________________
c.__________________
d.__________________
e.__________________
6. Lee cada expresión y escribe el número correspondiente en lenguaje matemático :
a) Un número =
b) Cierto número =
c) El doble de un número =
d) Un número par =
e) Un número impar =
f) Dos números consecutivos =
g) Tres números consecutivos =
h) L a mitad de un número =
y) La tercera parte de un número =
j) La cuarta parte de un número =
k) Los dos tercios de un número =
l) El cociente entre un número y 4 es 8 =
m) Diez veces un número es el doble del número más 8 =
n) El triple de un número disminuido en dos unidades es siete =
o) Cierto número más 5 es igual a –4 =
p) Cierto número más 8 es igual a 2 =
q) Un número menos 5 más 3 es igual a 7 =
r) El antecesor de un número cualquiera =
s)Una cantidad excedida en 5 =
t) El quíntuple de un número =
u) El triple de un número aumentado en 3 =
v)
Dos números pares consecutivos =
vi)
w) Tres números impares consecutivos =
x)
El exceso de 20 sobre un número =
2. Deshace las ecuaciones y encuentra el valor de la incógnita en cada caso:
a. 10 + m = 22
d. j + 3 = 15
b. 3 + (t + 9 )= 15
e. 5 + b = 30
c. y + 16 = 24
f. a + 10 = 36
MATEMATICAS – Matemáticas 5
140
PGF03-R03
f)
i)
l)
g)
j)
ll)
h)
k)
m)
Resuelve la ecuaciones :
a) Si x representa la medida de un trazo en cm.
¿ Cómo expreso el doble de la longitud del trazo ?
¿ Y que el trazo aumentó en 5 cm ?
¿ Qué significa ( x + 2 ) cm ?
¿ Y x ( x – 5 ) cm ?
¿ Y ( 2x + 3 ) cm ?
b) Si x representa el valor de un libro:
¿ Cómo se expresa la mitad del precio del libro ?¿ Cómo represento la cuarta parte del
precio del libro ?
¿ Qué significa x + x + x ?
¿ Y 3/4x ?
X representa el dinero en pesos que invierte una persona y la expresión (3x + 8 ) pesos la
cantidad total obtenida luego de realizar un negocio.
¿ Qué significa esta expresión en pesos respecto de la cantidad de dinero invertida x ?
¿ Cuánto dinero representa la expresión (3x + 8) cuando x = 1 ?
¿ Y cuando x = 3 ?
1. Resuelve las ecuaciones
x+3=5
x+2=7
x+9=6
x – 4 = -7
9 = x + 12
x+8=2
x – 5 = -9
2=x-7
1–8=6+x–2+4
3–9=4+x–7+6
2. Plantea la ecuación, resuélvela y responde el problema.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Cierto número más 5 es igual a –4 ¿ Cuál es el número ?
Cierto número más 8 es igual a 2 ¿ Cuál es el número ?
Si a un número le resto -8 nos da 15 ¿ Cuál es el número ?
¿ Qué número sumado con –30 nos da –15 ?
Si a un número le resto 16 y le sumo –15 me da 10 ¿ Cuál es el número ?
Dos niños juntan 9 libros, uno de ellos aporta 4 libros ¿ Cuántos libros aporta el otro ?
MATEMATICAS – Matemáticas 5
141
PGF03-R03
7) Para hacer una torta se necesitan 24 huevos, si ya tienen 24. ¿ Cuántos huevos faltan
?
8)La suma de las edades de dos hermanos es 32 , si el menor tiene 15 años. ¿ Cuántos
años
ECUACIONES MULTIPLICATIVAS
Una ecuación
multiplicativa es una
igualdad condicionada a
un determinado valor de
la incógnita que figura
como factor.
Resuelve las siguientes ecuaciones, con ayuda de tu profesor (a )
a. 8x = 24
b. 3x= 72
MATEMATICAS – Matemáticas 5
142
PGF03-R03
c. 6x = 25
d. 5x = 105
1. Utilizando Operaciones básicas y el cálculo mental y escrito, resuelve las siguientes
ecuaciones.
2x = 8
3x = 21
2x + 9 = 19
2x – 1 = 5
4x = 20
3x + 7 = 22
4x – 2 = 6
5x = 80
4x + 5 = 37
6x = 120
7x = 1
5x + 13 = 23
6x + 24 = 72
3x – 4 = 23
5x – 10 = 30 6x – 45 = 15
2. Encierra la letra de alternativa correcta:
1) Si el triple de un número disminuido en 15 resulta 30. ¿Cuál es el número?
A. 5
B. 12
C. 15
D. 48
2) En un 5º se realizó un concurso de matemática, para lo cual se publicaron en el diario
mural, durante cuatro días, las siguientes pistas:
Pista 4
Pista 1
Pista 2
Pista 3
Luis tenía para
sus gastos
$ 2.600
No se sabe
cuánto
gastó
Luis
en
colación.
Sí se sabe que Luis
gastó
en
un
cuaderno, el doble
de lo ocupado en
colación
A. $ 700
B. $ 1.400
C. $ 2.100
Por último a Luis le
quedaron para sus
gastos
$
500
¿¿Cuánto gastó en
el cuaderno?
D. $ 350
MATEMATICAS – Matemáticas 5
143
PGF03-R03
3) Una caja fuerte se abre con la combinación de 3 dígitos. Lee las pistas y descubre la
combinación:
A.
B.
C.
D.
420
123
231
240
La suma de los tres dígitos es 6
El último dígito es múltiplo de 3
El segundo dígito es mayor que
el primero pero menor que el
tercero.
4) Si el triple de un número disminuido en 15 resulta 30. ¿Cuál es el número?
A. 5
B. 12
C. 15
D. 48
5) Decide cuál de las ecuaciones planteadas resuelve de mejor manera el problema: “El
doble de un número aumentado en 8 es igual a 12. ¿Cuál es el número?
A. x + 8 + x = 12
B. x + x = 12 –8
C. 2x – 12 = -8
D. 2x +
8 = 12
Resuelve los siguientes problemas, planteando la ecuación en cada caso.
1. Un cuaderno cuesta $ 800. ¿Cuánto cuestan n cuadernos?
2. Rosa y José 15 dulces entre los dos. Rosa compró un dulce más que José. ¿Cuántos
dulces compró Rosa?
3. Cierto número más 5 es igual a –4 ¿Cuál es el número?
4. Cierto número más 8 es igual a 2 ¿Cuál es el número?
5. Si a un número le resto -8 nos da 15 ¿Cuál es el número?
6. ¿Qué número sumado con –30 nos da –15?
7. Si a un número le resto 16 y le sumo –15 me da 10 ¿Cuál es el número?
8. La suma de dos números es 50, el mayor es 26 ¿Cuál es el menor?
9. La suma de las edades de dos hermanas es 30 años. La menor tiene 13 años ¿Qué edad
tiene la mayor?
2. Resuelve las ecuciones
2x = 8 3x = 21
4x = 20
5x = 80
6x = 120
7x = 1
2x + 9 = 19 3x + 7 = 22
4x + 5 = 37
5x + 13 = 23
6x + 24 = 72
MATEMATICAS – Matemáticas 5
144
PGF03-R03
Soluciona ejercicios y problemas que requieran el uso de los números enteros y fraccionarios.
1. En un juego, Carolina ganó 32 puntos después perdió 15 puntos, más tarde ganó 42
puntos y después perdió 72. ¿Cuál fue el resultado del juego?
a) 15
b) -13
c) 6
d) 2
2. La Casa de la Cultura programa un taller para sus afiliados, cuyo costo es el siguiente:
Afiliado A $21.000
Afiliado B $23.000
Si los 20 primeros afiliados que se inscriban tienen un descuento del 10%, y hay 10 afiliados
A y 10 afiliados B, el descuento total que hizo la Casa de la Cultura fue de
a) $ 4.400
b) $24.000
c) $44.000
d) $68.000
3. En una serie de cuatro juegos los puntajes de Luis fueron en su orden. –18, -15, -7, 2 al
mirarlos, podemos decir:
a) Luis fue mejorando porque los puntajes están ordenados de menor a mayor.
b) El primer puntaje fue el mejor, porque ese es el primer de los cuatro números.
c) Cada vez que Luis jugó tuvo un puntaje mejor que el anterior, porque 2 es el mayor de los
cuatro números.
d) Se ve que el puntaje sólo depende de la suerte, porque los cuatro números no están en
ningún orden.
4. El alcalde de Paujil lleva un registro de los habitantes de su pueblo así:
Población inicial:
Personas que llegan al pueblo:
526
Personas que se van del pueblo
820
Nacimientos:
75
Defunciones:
46
¿Cuántos habitantes tiene el pueblo al terminar el alcalde su período?
a) 8.142
b) 8.171
8.436
MATEMATICAS – Matemáticas 5
145
PGF03-R03
c) 6.411
d) 9.471
5. Un corredor de la bolsa de valores perdió $8.750.000 en la mañana, pero en la tarde ganó
lo suficiente para recuperar la pérdida y aumentar su capital en
$14.000.000. ¿Cuánto ganó en la tarde?
a) 12.750.000
b) 4.750.000
c) 22.750.000
d) 32.720.000
6. El resultado de multiplicar 5 enteros negativos es:
a) Un entero positivo
b) Un entero negativo
c) Un entero neutro
d) Un número mixto
7. El resultado correcto del polinomio 6+ 3 (5 4) 6
a) 15
b) 12
c) 11
d) 26
5 es:
8. Un submarino de la flota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego
desciende 20 metros más. Entonces queda a una profundidad de:
a) 30 m bajo el nivel del mar
b) 30m sobre el nivel del mar
c) 70 m sobre el nivel del mar
d) 70 m bajo el nivel del mar
9. Conociendo que a =-3 y c= 6 el valor de a² + (c)³ es:
a) 207
b)– 229
c) 225
d) -205
10. Una oficina se alquiló por $ 343.000 mensuales, si el dueño de esta aumenta el 18%
¿Cual es el valor actual del arrendamiento?
a) 404.740
b) 412.740
c) 512.740
d) 304.740
MATEMATICAS – Matemáticas 5
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PGF03-R03
11-El resultado de: ( 965) . (-47) / 69 es:
a) -9202,46
b) -1209,98
c)
- 830,67
d)
-657,31
12. El resultado de multiplicar 9,74 x 45,2 + (- 465) es:
a) -24,752
b) -13,688
c) -11,768
d) 11,688
1.
MATEMATICAS – Matemáticas 5
147
PGF03-R03
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MATEMATICAS – Matemáticas 5
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