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Licenciatura en Matemáticas
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Curso 2003-2004
ÁLGEBRA
CÓDIGO: 27/97/3198
Curso 2003-2004
Carga docente:
6 créditos teóricos y 3 prácticos
Curso: 4º, Troncal
Anual
Profesor:
Rubén Puente
Departamento:
Estadística e Investigación Operativa (Facultad de Ciencias).
OBJETIVOS
El primer objetivo es que un estudiante medio de matemáticas adquiera en este primer
curso la mayor amplitud y profundidad posibles en álgebra abstracta, excluyendo el álgebra
lineal. Debido a que es el primer encuentro con una disciplina matemática abstracta, el
segundo objetivo es encaminar a los alumnos hacia una actitud matemática moderna, que
constituye la base para un eventual trabajo más especializado en álgebra y de gran ayuda
para cualquier estudio matemático formal ulterior..
PROGRAMA
Parte I : GRUPOS
1. Grupos. Motivación y ejemplos. El grupo simétrico Sn, el grupo lineal general, grupos
cíclicos. Propiedades elementales. Subgrupos . Producto de subgrupos. Clases laterales.
Índice de un grupo. El teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Grupo cociente.
Generadores. Grupos cíclicos. Subgrupos de Z. Divisibilidad. Congruencias. La función de
Euler.
2. Homomorfismos. Núcleo e imagen. Isomorfismos. Teoremas de homomorfismo.
Automorfismos.
3. Acciones de grupo. Motivación y ejemplos. Teorema de Cayley. Órbita, longitud,
estabilizador, centralizador, clases de conjugación. Ecuación de clases.
4. Grupos de permutaciones. Dos ejemplos importantes: el grupo simétrico S3 y el grupo
diédrico D4. Ciclos, transposiciones. Teorema de descomposición. Permutaciones
conjugadas. Paridad de una permutación. El grupo alternante An. Grupos simples. An no es
simple para n>4.
5. Grupos abelianos finitamente generados. El teorema fundamental de los grupos abelianos
finitos (enunciado). Aplicaciones. Grupos resolubles. Sn no es resoluble para n>4.
Parte II : ANILLOS, POLINOMIOS Y CUERPOS
6. Anillos. Definición y propiedades básicas. Cuestiones multiplicativas. Cuerpos.
16. Dominios enteros. Divisores de cero y cancelación. Dominios enteros. Característica de
un anillo. Teorema de Fermat.
17. El cuerpo de fracciones de un dominio entero. La construcción. Unicidad.
18. Anillos cocientes e ideales. Introducción. Criterio para la existencia de un anillo de
clases laterales. Ideales i anillos cociente.
19. Homomorfismos de anillos. Definición y propiedades elementales. Ideales maximales y
primos. Cuerpos de característica p (primo) y cero.
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ÁLGEBRA
20. Anillos de polinomios. Polinomios en una indeterminada. Homomorfismos de
evaluación.
21. Factorización de polinomios sobre un cuerpo. El algoritmo de la división en F[x].
Polinomios irreducibles. Ideales en F[x]. Factorización única.
22. Introducción a los cuerpos de extensión. Elementos algebraicos y trascendentes. El
polinomio minimal. Extensiones simples.
23. Espacios vectoriales. Definición y propiedades elementales. Independencia lineal y
bases. Dimensión. Aplicación a la teoría de cuerpos.
24. Extensiones algebraicas. Extensiones finitas. Cuerpos algebraicamente cerrados y
clausura algebraica. Existencia de la clausura algebraica.
25. Construcciones geométricas. Números construibles. Imposibilidad de ciertas
construcciones.
26. Automorfismos de cuerpos. Automorfismos y cuerpos fijos. Cuerpos de
descomposición.
27*. Cuerpos finitos. Estructura de un cuerpo finito. Existencia de cuerpos finitos de orden
pn.
28*. Aplicaciones de la teoría de cuerpos a la codificación.
OBSERVACIONES
Conocimientos previos:
Haber cursado con aprovechamiento la asignatura Álgebra Lineal (3178).
Prácticas: Resolución de problemas en el aula.
Evaluación: Examen parcial eliminatorio en Febrero. Examen final, en Junio, que incluye
la repetición voluntaria del examen de Febrero. Las calificaciones de los exámenes de
Febrero y Junio carecen de validez en las convocatorias de Septiembre y de Diciembre
(cuyo programa es el del curso anterior). Los exámenes serán escritos, a libro abierto, y
consistirán en la resolución de problemas similares a los propuestos durante el curso, de dos
tipos: a) que impliquen familiaridad con ejemplos (contraejemplos) de los objetos,
definiciones y propiedades estudiados, b) demostraciones de propiedades sencillas similares
a las realizadas durante las clases o en los ejercicios y problemas propuestos.
BIBLIOGRAFÍA
Referencias básicas:
• Fraleigh, John B. (1987); “Álgebra Abstracta : Primer Curso”. Addison Wesley
Iberoamericana
• Herstein, I. N. (1996); “ Abstract Algebra”.
• Goberna, M. A. ...[et al.] (2000); “Álgebra y Fundamentos. Una Introducción”. Ariel
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ÁLGEBRA
Referencias complementarias:
• Birkhoff y MacLane (1963); “Álgebra Moderna”. Vicens-Vives
• Nachbin, Leopoldo (1980); “ Introducción al Álgebra”. Reverté
• Lang, Serge (1971); “Algebra”. Aguilar
• Bashmakova, I.G. and G.S. Smirnova (2000); “The Beginnings and Evolution of
Algebra”. The Mathematical Association of America
• Hungerford, Thomas W. (1974); “Algebra”. Springer
• Lint, Jacobus Hendricus van (1999); “Introduction to Coding Theory”. Springer-Verlag
• Dorronsoro, José y Eugenio Hernández (1996); “Números, Grupos y Anillos”.AddisonWesley [etc.]