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1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se suelen usar dos sistemas de medida: - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. En este sistema el ángulo recto mide 90º y el ángulo llano 180º - El sistema circular que usa como unidad de medida el radián. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio. Para pasar de grados a radianes o viceversa, puedes usar la equivalencia: 180º ↔ π rad La equivalencia entre grados y radianes de los ángulos más utilizados es: grados radianes 0º 0 180º π 360º 2π 2 π 90º 4 π 45º 3 π 60º 6 π 30º Ejercicios del libro: Tema 5 : Pág 142 : 1 y 3 2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS DEL ÁNGULO seno de α = coseno de α tangente de sen α = RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS DEL ÁNGULO α cosecante de α = cosec secante de α = sec α = cotangente de α = cotg cateto opuesto hipotenusa = cos α = α = tg α = cateto contiguo hipotenusa cateto opuesto cateto contiguo -1- α = 1 sen α 1 cos α α = 1 tg α α 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. cos tg π rad 60º = π rad 3 1 2 32 33 sen 45º = 3 3 2 1 2 rad 4 2 2 22 6 π 30º = 1 Razones trigonométricas con la calculadora Las r.t. de un ángulo agudo también se pueden hallar con la calculadora científica usando las teclas sin , cos y tan - Cálculo de la razón trigonométrica de un ángulo Para calcular, por ejemplo, sen 30º tecleamos: sin 30 y obtenemos 0.5 . Luego sen 30º = 0,5 De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las teclas cos y tan. En algunas calculadoras, en lugar de teclear sin 30 , se hace al revés, pulsando primero 30 y luego sin . - Cálculo del ángulo conocida la razón trigonométrica Para calcular el ángulo agudo α que cumple sen α = 0,5 tecleamos SHIFT sin 0.5 y obtenemos 30 ; luego α = 30º De igual forma se hace si nos dan cos α o tg α , usando las teclas cos y tan. En algunas calculadoras, en lugar de teclear SHIFT sin 0.5 , se hace al revés, pulsando primero 0.5 y luego SHIFT sin . Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 113: 4 Pág 122 : 10, 11, 13, 14 y 15 3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Las r.t. de un ángulo cualquiera x se deducen a partir de las r.t. de un ángulo agudo estudiadas en el apartado anterior. Para ello trazamos una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas (esta circunferencia se llama circunferencia goniométrica o trigonométrica). La circunferencia queda dividida en 4 cuadrantes -2- 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dibujamos el ángulo de forma que el vértice sea el origen de coordenadas y el lado inicial la parte positiva del eje X (se dice que estamos dibujando el ángulo en posición normal). El lado final del ángulo corta a la circunferencia en un punto P(a,b) Entonces: sen x = cateto opuesto b = hipotenusa =b cos x = cateto contiguo 1 = hipotenusa a = a cateto opuesto tg x = 1 = cateto contiguo a Esta misma definición se usa para calcular las r.t. de un ángulo cualquiera. Cuando el ángulo va cambiando de cuadrante, los valores del seno, coseno y tangente van cambiando de signo, tomando siempre valores reales entre -1 y 1. Y b Y b x P(a,b) P(a,b) 1 x 1 X Y x a a cos x = a < 0 sen x = b > 0 b b cos x = a < 0 cos x = a > 0 sen x = b < 0 Razones trigonométricas de ángulos especiales 0 1 0 π rad 180º = π rad 1 0 No existe 0 -1 0 270º = 3 2 sen cos tg 90º = 2 0º = 0 rad π rad 360º = 2 π rad -1 0 No existe 0 1 0 Relación entre las razones trigonométricas c aa b α= cb α= g t o c ba g t α= α= c e s s o c α= c e s o c α= b ca c n e s 2 2 Usando el teorema de Pitágoras: b + a = c Relación entre el seno, coseno, tangente y cotangente: sen α = tg α cos α cos α = cotg α sen α = c c a b cos α = sen α c c b a Demostración sen α = cos α = -3- a X 1 1 sen x = b > 0 x X P(a,b) cos x = a > 0 Y a X b = tg α a a = cotg α b 2 P(a,b) sen x = b < 0 b 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 sen α + cos α = 1 Relación fundamental de la trigonometría: c c = 2 2 c + 2 = a 2 b 2 a c + 2 2 b c 2 2 2 2 sen α + cos α = (sen α) + (cos α) = + = 2 2 ac 2 2 bc Demostración: =1 Fórmulas que se deducen de la relación fundamental = 1 2 n e s α α 2 + 1 = sec α α n e s n e s + 2 2 2 α s o c 2 n e s 2 α 2 2) Si dividimos todos los términos entre sen α, obtenemos De donde: α s o c + 2 s o c tg α = s o c 2 De donde: 2 α 1 2 s o c 2 n e s 2 α 2 1) Si dividimos todos los términos entre cos α, obtenemos α α 2 1 + cotg α = cosec α Relación entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios. Si α es un ángulo agudo, los ángulos sen α = α y 90º - α b = cos (90º - α) c son complementarios (suman 90º) cos α = a = sen (90º - α) c Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 122: 1 y 3 4.- CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. Reducción de un ángulo a la primera vuelta Para reducir un ángulo a la primera vuelta lo dividimos entre 360º para saber cuántas vueltas ha dado a la circunferencia, el lado final del ángulo. El resto de la división es un ángulo de la primera vuelta cuyas r.t. son iguales que las del ángulo inicial. Por ejemplo, 2580º | 360 2580º = 7 vueltas + 60º . Luego las r.t. de 2580º coinciden con las de 60º 60 -------7 (Ojo: No se pueden eliminar los ceros del dividendo y divisor porque, aunque el cociente no varía, el resto sí varía) Resumiendo: “Las r.t. de un ángulo mayor de 360º coinciden con las r.t. del resto de dividir dicho ángulo entre 360º” -4- 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reducción de un ángulo al primer cuadrante Cuando un ángulo está en el II , III ó IV cuadrante, se pueden hallar sus r.t. comparándolas con las de otro ángulo del primer cuadrante. A este proceso se le llama reducción del ángulo al I cuadrante. Veamos como se hace: sen x = sen (180º - x) cos x = - cos (180º - x) sen x = - sen (x - 180º) cos x = - cos (x - 180º) sen x = - sen (360º - x) cos x = cos (360º - x) Razones trigonométricas de dos ángulos opuestos Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 122: 4, 5 y 6 Tema 5 : Pág 142 : 6 y 7 5.- TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. Consideremos un triángulo cualquiera de ángulos A , B y C y cuyos lados opuestos a dichos ángulos representaremos por a, b y c. = C cn e s B n be s A an e s = Teorema del seno: . Este teorema se puede aplicar para resolver triángulos cuando conozcamos: a) 1 lado y 2 ángulos (o 1 lado y los 3 ángulos) entre los lados conocidos) ó b) 2 lados y 1 ángulo (siempre que este ángulo no sea el comprendido Teorema del coseno: 2 2 2 a = b + c – 2.b.c.cos A Este teorema se puede aplicar para resolver triángulos cuando conozcamos: a) Los 3 lados ó b) 2 lados y el ángulo comprendido entre los lados conocidos Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 123: 19, 23, 24, 25, 26, 28 y 31 -5- Pág 125: 5 y 9 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. R.T. DE LA SUMA Demostración sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x En el libro de texto cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y En el libro de texto x s o c y n e s y n e s x n e s = y y g g t t x g t x g t 1 y s o c x s o c y n e s x n e s + + = y s o c x s o c y s o c x s o c − R.T. DE LA RESTA + − x s o c y n e s y s o c x s o c = y s o c x s o c x s o c y s o c x s o c + − y s o c x n e s y y x n e s +) = +) y s o c x n e s y y g g t t x g t x g t 1 tg (x + y) = ( ( tg (x+y) = − Demostración sen (x - y) = sen [x + (-y)] = sen x cos (-y) + sen (-y) cos x = sen (x - y) = sen x cos y - sen y cos x = sen x cos y - sen y cos x cos (x - y) = cos [x + (-y)] = cos x cos(-y) - sen x sen (-y) = cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y = cos x cos y + sen x sen y +( ( − tg (x- y) = tg (x + (-y)) = + −) = −) y y g g t t x g t x g t 1 y y g g t t x g t x g t 1 y y g g t t x g t x g t 1 − tg (x - y) = − + R.T. DEL ÁNGULO DOBLE Demostración sen (2x) = 2 senx cos x sen (2x) = sen (x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 senx cos x 2 2 cos (2x) = cos x - sen x 2 x x 2 g g t t 2 n e s x2 2 x s o 2 c xx ss oo cc 11 − + 1 ( ) =± x s o 2 c x2 ( ) =± 1 x2 → s o c → n e s x s o 2 c =± − ( ) x s o c 2 + x x s s o 2 o 2 c c ± + 1 = − 1 ( ) ± 1 ( ) 1 x2x2 -6- ( ) = → n s e o s c g t x2 que esté ( ) = x2 x s o c 1 x2 2 s o c 2 -----------------------------( ) = + x2 x s o c ( ) = 2 s o c 1 x2 ( ) − 2 n e s x2 2 n e s s o c + ( ) = − 1 x s o c x s o c 1 2 n e s x2 2 s o c x2 2 ( ) + ( ) − ( ) = → x2 1 x2 x2 ( ) = − x 2 El signo dependerá del cuadrante en el x2 x2 2 n e s ( ) = ) = -----------------------------2 n e s 2 − + . 2 s o c x s o c 2 n e s ( ) − ( ) = x x s s o o c c 1 1 g t x2 ( ) = ± s o c x 2 que esté x2 2 x s o 2 c 1 El signo dependerá del cuadrante en el s o c x 2 x2 s o c + ( ) =± ( ) + - ( x2 2 x s o 2 c 1 x2 n e s que esté = 2 s o c Demostración x2 2 n e s x2 2 s o c x s o c El signo dependerá del cuadrante en el = − − R.T. DEL ÁNGULO MITAD − + tg (2x) = tg (x + x) = cos x en función de r.t. de x/2 : = ( ) − ( ) ( ) =± x x g g t t x g t x g t 1 x x 2 g g t t 2 1 tg (2x) = 2 cos (2x) = cos (x + x) = cos x cos x - sen x sen x = cos x - sen x − + 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suma y resta de senos y cosenos Suma de senos sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x Suma de cosenos cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y + + sen (x-y) = sen x cos y - sen y cos x -----------------------------------------------------sen (x+y) + sen (x-y) = 2 sen x cos y cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y ----------------------------------------------------cos (x+y) + cos (x-y) = 2cos x cos y Resta de senos sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x Resta de cosenos cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y - - sen (x-y) = sen x cos y - sen y cos x ---------------------------------------------------sen (x+y) - sen (x-y) = 2sen y cos x cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y -----------------------------------------------------cos (x+y) - cos (x-y) = -2sen x sen y 2 2 − B A B , y= − 2 2 − B A sen + B 2 + cos B A 2 cos A - cos B = -2 sen A 2 B A + + B cos A + cos B = 2 cos 2 2 cos A B − cos B A − A + 2 sen A - sen B = 2 sen B A sen A + sen B = 2 sen A A B y y x x + = Si hacemos el cambio de variable: x+y = A ; x-y = B y resolvemos el sistema , obtenemos: x = − = Las 4 fórmulas anteriores quedarían de la siguiente forma: Ejercicios del libro Tema 5 : Pág 133: 4, 5, 7 y 9 Pág 134 : 11, 13, 14 y 15 Pág 135: 17 y 18 Pág 142: 11 Pág 144: 29, 30, 31, 32 y 37 7.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. 1) sen x = b , siendo -1 ≤ b ≤ 1 ∉ [-1,1] entonces la ecuación no tiene solución pues los valores del sen x siempre están entre -1 y 1 Si b , α 2 1 Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α de la primera vuelta cuyo seno vale b. Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos: ∈ Z k n o c , k k º . . º 0 0 6 6 3 3 1 2 x x = α + S: = α + 2) cos x = a , siendo -1 ≤ a ≤ 1 ∉ [-1,1] entonces la ecuación no tiene solución pues los valores del cos x siempre están entre -1 y 1 Si a 2 1 Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α , α de la primera vuelta cuyo coseno vale a. Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos: ∈ Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α , α 2 1 3) tg x = c Z k n o c , k k º . . º 0 0 6 6 3 3 1 2 x x = α + S: = α + de la primera vuelta cuya tangente vale c. Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos: ∈ Z k n o c , k k º . . º 0 0 6 6 3 3 1 2 x x = α + S: = α + El resto de ecuaciones trigonométricas se resuelven haciendo transformaciones para llegar a las ecuaciones anteriores. Ejercicios del libro: Tema 5 : Pág 137: 1, 2, 3, 4 y 5 -7- Pág 143 : 18, 19, 20 y 21 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Función seno: Es la función cuya fórmula es y = sen x (x en rad) y = sen x Y 2 1 X -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1 -2 2 Propiedades más importantes - Dom (sen) = R π - Tiene máximo para x = + 2kπ - Rec (sen) = [-1,1] - Es continua −π - Es periódica de periodo 2π, porque se repite en intervalos de y mínimo para x = + 2kπ longitud 2π - No tiene límite en ∞ ni en - ∞. 2 Función arco-seno: Si consideramos sen: [-π/2 , π/2] → [-1,1] , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa. Su función inversa se llama función arco-seno arcosen : [-1 , 1 ] → [-π/2 , π/2] , arcosen (x) = único ángulo del intervalo [-π/2 , π/2] cuyo seno vale x π/2 Gráfica de y = arcsen(x) Y π/3 π/6 X -1 -0.5 0.5 -π/6 -π/3 -π/2 Propiedades más importantes - Dom (arcsen) = [-1,1] - Rec (arcsen) = [-π/2 , π/2] - Es continua - Es creciente -8- 1 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Función coseno: Es la función cuya fórmula es y = cos x (x en rad) y = cos x Y 2 1 X -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1 -2 Propiedades más importantes - Dom (cos) = R - Rec (cos) = [-1,1] - Es continua - Tiene máximo para x = 2kπ y mínimo para x = π + 2kπ - Es periódica de periodo 2π, porque se repite en intervalos de longitud 2π - No tiene límite en ∞ ni en - ∞. Función arco-coseno: Si consideramos cos: [0 , π] → [-1,1] , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa. Su función inversa se llama función arco-coseno arccos : [-1 , 1 ] → [0 , π] , arccos (x) = único ángulo del intervalo [-π/2 , π/2] cuyo coseno vale x π Y 5π/6 Gráfica de y = arccos(x) 2π/3 π/2 π/3 π/6 X -1 -0.5 0.5 Propiedades más importantes - Dom (arccos) = [-1,1] - Rec (arccos) = [0 , π] - Es continua - Es decreciente -9- 1 1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Función tangente: Es la función cuya fórmula es y = tg x (x en rad) y = tg x Y X -3π/2 -π/2 π/2 + kπ } - Rec (tg) = R π - Es creciente 2 - Es discontinua en x = 3π/2 π Propiedades más importantes - Es periódica de periodo π, porque se repite en intervalos de longitud π 2 - Dom (tg) = R – { π -π + kπ , con discontinuidad asintótica π - No tiene límite en ∞ ni en - ∞. 2 - Tiene asíntotas verticales en x = + kπ Función arco-tangente: Si consideramos tg: (-π/2 , π/2) → R , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa. Su función inversa se llama función arco-tangente arctg : R → (-π/2 , π/2) , arctg (x) = único ángulo del intervalo (-π/2 , π/2) cuya tangente vale x π/2 Y π/3 Gráfica de y = arctg(x) π/6 X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -π/6 -π/3 -π/2 Propiedades más importantes - Es creciente - La recta y = π/2 es una asíntota horizontal en ∞ - La recta y = - π/2 es una asíntota horizontal en - ∞ - Dom (arctg) = R - Rec (arctg) = (-π/2 , π/2) - Es continua Derivada de las funciones trigonométricas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS − y = arccos x → y´= y = cos x → y´ = - sen x y = tg x → y´ = 1 + tg x = sec x = x 1 2 s o c 2 2 x 1 2 x 2 x 1 1 1 1 y = arcsen x → y´= y = sen x → y´ = cos x 2 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS − − y = arctg x → y´= + Ejercicios del libro: Tema 12 : Pág 308: 5 y 6 Pág 309 : 13, 15 y 20 Pág 320: 16 y 19 - 10 - Pág 321: 23, 28 b) , 31 b), 36, 37, 38 y 39 b)