Download Matemáticas I - Colección de recursos educativos para docentes

Bloque
Matemáticas I
Raciel López Reyes
Matemáticas I
1
Reforma Integral
Directorio
Fidel Herrera Beltrán
Gobernador del Estado de Veracruz
Matemáticas I
Primera Edición: 2010
ISBN Trámite en Proceso
Todos los derechos reservados
Reynaldo Escobar Pérez
Secretario de Gobierno
Víctor A. Arredondo Álvarez
Secretario de Educación de Veracruz
Rafael Ortíz Castañeda
Subsecretario de Educación
Media Superior y Superior
Créditos
Asesoría Académica
Gonzalo Jácome Cortés
Cándido Navarro Ramírez
Director General de Telebachillerato
José Manuel Rivera Arau
Subdirector Técnico
Asesoría Pedagógica
Gonzalo Jácome Cortés
Correción de estilo
Alicia Mora Rodríguez
Diseño Editorial
Rosa E. Ferrer Palacios
Subdirectora de Evaluación Escolar
Gonzalo Jácome Cortés
Jefe del Dpto. Técnico Pedagógico
Héctor Antonio Martínez Ortiz
Jefe de la oficina de Recursos Materiales
Greisy del C. Ramos de la Cruz
Diseño de Portada
José Crisóforo Rodríguez Díaz
Formación
David Reyes Utrera
Oscar Méndez Huitrón
Adolfo Aróstegui Pérez
Matemáticas I
Primera Edición: 2010
Todos los derechos reservados.
Adolfo Aróstegui Pérez
Jefe de la oficina de Ediciones
2
Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Matemáticas I
Matemáticas I
3
Reforma Integral
4
Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Índice
Presentación ...............................................................................................................................................................................
Bloque I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos ......................................................................................................................................
Evolución histórica de los números ........................................................................................................................................................
Números reales ............................................................................................................................................................................................
Representación numérica a lo largo de la historia ................................................................................................................................
Identifica formas distintas de representación de números positivos ................................................................................................
Números enteros .........................................................................................................................................................................................
Números racionales ....................................................................................................................................................................................
Clasificación de las fracciones ..................................................................................................................................................................
Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas .............................................................................................................
Porcentajes ...................................................................................................................................................................................................
Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas ....................................................................................................................
Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas ............................................................................................................
Identifica formas distintas de representación de números reales .....................................................................................................
Calcula el valor numérico de una expresión algebraica ......................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! .............................................................................................................................................................................
Bloque II
Utiliza magnitudes y números reales ......................................................................................................................................................
Identifica formas distintas de representación y operaciones con números reales .........................................................................
Signos de relación .......................................................................................................................................................................................
Signos de agrupación .................................................................................................................................................................................
Definición de igualdad ...............................................................................................................................................................................
Suma o adición de números enteros .......................................................................................................................................................
Sustracción o resta de números enteros .................................................................................................................................................
Multiplicación o producto de números enteros ....................................................................................................................................
Leyes de los signos para la multiplicación ..............................................................................................................................................
División de números naturales .................................................................................................................................................................
Suma o resta de fracciones ........................................................................................................................................................................
Multiplicación de fracciones .....................................................................................................................................................................
División de fracciones ................................................................................................................................................................................
Identifica los elementos de los subconjuntos de los números reales ................................................................................................
El conjunto de los números reales ............................................................................................................................................................
Ubica en la recta numérica números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden ......................................
Valor absoluto ...............................................................................................................................................................................................
Relaciones de orden ....................................................................................................................................................................................
Símbolos de desigualdad ............................................................................................................................................................................
Propiedades de las relaciones de orden ...................................................................................................................................................
Reconoce la solución de desigualdades o inecuaciones .......................................................................................................................
Matemáticas I
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Reforma Integral
Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas ........................................................................................
Axiomas de los números reales ...................................................................................................................................................................
Comprende el significado de razón, taza y proporción .........................................................................................................................
Razón ...............................................................................................................................................................................................................
Tasas ................................................................................................................................................................................................................
Interés simple .................................................................................................................................................................................................
Fórmula del interés simple ..........................................................................................................................................................................
Interés compuesto .........................................................................................................................................................................................
Identifica formas distintas tales como: razones, tasas, proporciones y varaiciones .........................................................................
Interpreta la propiedad fundamental de las proporciones ....................................................................................................................
Reconoce variaciones directas e inversas, asi como modelos de variación proporcional directa inversa ...................................
Variación proporcional directa ...................................................................................................................................................................
Variación proporcional inversa ..................................................................................................................................................................
Proporciones compuestas ...........................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ................................................................................................................................................................................
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Bloque III
Realiza sumas y sucesiones de números ................................................................................................................................................... 85
Sucesiones y series aritméticas ................................................................................................................................................................... 87
Identificación gráfica de la sucesión aritmética ...................................................................................................................................... 90
Sucesiones y series geométricas ................................................................................................................................................................ 94
Progresión geométrica ................................................................................................................................................................................ 94
Identificación gráfica de la sucesión geométrica .................................................................................................................................... 98
¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................... 100
Evaluación de los bloques I, II, III ............................................................................................................................................................. 101
Bloque IV
Realiza transformaciones algebraicas I .................................................................................................................................................... 105
Lenguaje algebraico ..................................................................................................................................................................................... 107
Expresión verbal y expresión escrita ........................................................................................................................................................ 108
Término algebraico y sus partes ................................................................................................................................................................ 109
Clasificación de los términos algebraicos ................................................................................................................................................ 112
Reducción de términos semejantes .......................................................................................................................................................... 112
Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos ......................................................................................... 114
Definición de polinomio ............................................................................................................................................................................. 114
Grado de una expresión algebraica ........................................................................................................................................................... 116
Orden de una expresión algebraica ........................................................................................................................................................... 117
Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios en una variable ............................................................. 125
Definición de igualdad .............................................................................................................................................................................. 125
Propiedades de la igualdad ....................................................................................................................................................................... 128
Suma .............................................................................................................................................................................................................. 130
Resta ............................................................................................................................................................................................................. 134
Leyes de los exponentes .......................................................................................................................................................................... 135
Leyes de los radicales ............................................................................................................................................................................... 142
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Multiplicación de polinomios ................................................................................................................................................................
Multiplicación de monomios .................................................................................................................................................................
Multiplicación de un polinomio por un monomio ............................................................................................................................
Multiplicación de polinomios por polinomios ...................................................................................................................................
Identifica el producto de binomios aplicando patrones de productos notables ..........................................................................
Definición de producto notable ............................................................................................................................................................
Binomios conjugados ..............................................................................................................................................................................
Triángulo de Pascal ..................................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ...........................................................................................................................................................................
Bloque V
Realiza transformaciones algebraicas II ...............................................................................................................................................
Reconoce trinomios cuadrados perfectos como producto de factores lineales ..........................................................................
Binomio con un término común del tipo ax2 + bx + c .....................................................................................................................
Binomio con un término común del tipo de la forma ax2 + bx +c...................................................................................................
Cubo de un binomio ...............................................................................................................................................................................
Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos. ...............................................................
Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificados ...........................
Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios ...........
División de un monomio por otro monomio .....................................................................................................................................
División de un polinomio por un monomio .......................................................................................................................................
División de un polinomio por un polinomio ......................................................................................................................................
División sintética ......................................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................
Bloque VI
Realiza ecuaciones lineales I ..................................................................................................................................................................
Ecuaciones lineales ..................................................................................................................................................................................
Analiza y modela situaciones emplenado ecuaciones lineales ........................................................................................................
Identifica la relación en funciones y ecuaciones lineales ..................................................................................................................
Reconoce la ecuación en dos variables ................................................................................................................................................
Técnicas para graficar la función lineal ................................................................................................................................................
Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal ..............................
Pendiente de una recta ...........................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ..........................................................................................................................................................................
Evaluación de los bloques IV, V, VI ....................................................................................................................................................
Bloque VII
Realiza ecuaciones lineales II ...................................................................................................................................................................
Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) mediante las gráficas
de funciones lineales ..............................................................................................................................................................................
Reconoce la solución de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) .................................................................................................
Métodos numéricos y analíticos .............................................................................................................................................................
Métodos de reducción algebraica ...........................................................................................................................................................
Matemáticas I
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Reforma Integral
Método por suma o resta ...........................................................................................................................................................................
Método de igualación .................................................................................................................................................................................
Método de reducción .................................................................................................................................................................................
Método numérico por determinantes ....................................................................................................................................................
Ubica e interpreta situaciones que implican un sistema de ecuaciones de 2 x 2 ...........................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque VIII
Realiza ecuaciones lineales III .................................................................................................................................................................
Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones ...............................................................................................
Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 x 3 ......................................................................................................................
Método numérico por determinantes ....................................................................................................................................................
Método por cofactores ..............................................................................................................................................................................
Regla de Cramer .........................................................................................................................................................................................
Método algebraico de sustitución ...........................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque IX
Resuelve ecuaciones cuadráticas I ..........................................................................................................................................................
Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas ........................................................................................
Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable ............................................................................................
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas ....................................................................................
Despeje de la variable cuadrática ............................................................................................................................................................
Extracción de factor común .....................................................................................................................................................................
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas ....................................................................................
Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver
ecuaciones completas de segundo grado en una variable .............................................................................................................
Fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas .............................................................................................................
Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas ......................................................................................
Evaluación del bloque IX ..........................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque X
Resuelve ecuaciones cuadráticas II .........................................................................................................................................................
Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas ........................................................................................................
Describe la función cuadrática en la forma estandar, para trazar su gráfica ....................................................................................
Comprende el efecto del parámetro α en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones x
de ésta con las raíces
Intersección de la parábola con los ejes coordenados .........................................................................................................................
Evaluación del bloque X ............................................................................................................................................................................
¡A trabajar tu proyecto! .............................................................................................................................................................................
Bibliografía ..................................................................................................................................................................................................
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Presentación
Las matemáticas surgen con la necesidad del hombre por evolucionar, sirviéndole de base para la solución de la
mayor parte de sus problemas cotidianos. Prácticamente todas las ramas del conocimiento humano emplean sus
herramientas y conceptos. No hay que olvidar la estrecha relación de las matemáticas con la ciencia y la tecnología. Mientras que el desarrollo de la ciencia plantea problemas interesantes para investigar, las matemáticas se
lo retribuyen con herramientas poderosas para el análisis de datos. Con la tecnología sucede lo mismo; mientras
que las matemáticas aportan a la tecnología los diversos métodos de resolución de problemas, ésta genera mejores
aparatos o dispositivos para realizar los cálculos con mayor precisión.
En la actualidad, las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, porque facilitan la comprensión
básica en la formación científica. Los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte del trabajo
científico, comprendiendo que la naturaleza del pensamiento matemático es indispensable para el desarrollo de
las diferentes ideas y habilidades de esta disciplina, por lo que este conocimiento debe ser reconstruido por ellos
mismos.
Con el fin de atender las necesidades actuales, el Programa Sectorial 2007-2012, ha señalado como objetivo estratégico “Elevar la calidad de la educación para que los estudiantes realcen su nivel de logro educativo, cuenten con
medios para tener acceso a un mayor bienestar y contribuyan al desarrollo nacional”. La estrategia para su logro es
“Establecer las competencias para la vida y el trabajo que todos los estudiantes de bachillerato deban desarrollar
y que sean la unidad común que defina los mínimos requeridos para obtener un estudio del bachillerato general,
contenidos y actividades de enseñanza y aprendizaje dirigidas al desarrollo de competencias, tanto para la vida
como para el trabajo”.1 Para el logro de este objetivo, la Subsecretaría de Educación Media Superior se abocó a dar
inicio a la Reforma Integral de la Educación Media Superior, con el propósito de establecer un Sistema Nacional de
Bachillerato en un marco de diversidad, donde participan todas aquellas instituciones que imparten o coordinan
la educación media superior en sus diferentes tipos. En Telebachillerato no nos quedamos atrás; cada una de las
materias se reestructuró bajo el esquema de esta reforma, adoptando un enfoque educativo basado en competencias.
Precisamente en la materia de Matemáticas I, donde el desarrollo personal y social de los futuros ciudadanos se
debe orientar a través de las competencias, ya sean genéricas: de desarrollo personal, social, académico y laboral;
disciplinares básicas y/o extendidas, que les permitan participar en la sociedad del conocimiento y específicas,
logrando insertarse en el mercado laboral mediante las competencias profesionales básicas o extendidas.
La asignatura de Matemáticas I está organizada en diez bloques de conocimiento, con el fin de facilitar la formulación
y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y
sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes en el estudiante.
1
Programa de estudios para la materia de Matemáticas I. DGB.
Matemáticas I
9
Reforma Integral
En el Bloque I se inicia el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos;
en el Bloque II se extiende lo anterior al conjunto de los números reales, incluyendo comparaciones
mediante tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal
entre dos variables; en el Bloque III se estudian sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de
números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales); en los Bloques IV y V se estudian
operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos
notables y expresiones racionales); en los Bloques VI, VII y VIII se analizan, respectivamente, los sistemas
de ecuaciones 1 x 1, 2 x 2, y 3 x 3, en estrecha conexión con la función lineal; y, finalmente, en los Bloques
IX y X se estudian las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática.
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Dirección General de Telebachillerato
Matemáticas I
Bloque VI
Resuelve ecuaciones
lineales I
Bloque VII
Resuelve ecuaciones
lineales II
Bloque VIII
Resuelve ecuaciones
lineales III
Bloque IX
Resuelve ecuaciones
cuadráticas I
Bloque X
Resuelve ecuaciones
cuadráticas II
Bloque IV
Realiza transformaciones
algebraicas I
Bloque III
Realiza sumas y
sucesiones de números
Bloque II
Utiliza magnitudes y
números reales
Bloque I
Resuelve problemas
aritméticos y algebraicos
Bloque V
Realiza transformaciones
algebraicas II
Matemáticas I
Estructura conceptual
general
Bloque
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Reforma Integral
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Bloque I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Unidades de competencia
•
•
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números positivos
y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales,
para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones
cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso
de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
Matemáticas I
13
Reforma Integral
De lo que sabes
Nombre del docente:
Fecha:
Nombre del alumno: Grupo:
INSTRUCCIONES GENERALES
Instrucciones para
1. La siguiente evaluación no tiene algún efecto, sólo sirve como referencia para
el docente:
determinar el grado de conocimientos previos de cada alumno.
Instrucciones para
Lee con atención cada uno de los cuestionamientos y contesta sinceramente.
el alumno:
Propósito:
Determinar los conocimientos previos de cada alumno.
Sección: 1
Instrucción: Subraya la opción correcta.
Valor de cada reactivo:
Un punto.
1. Símbolo de los números enteros:
a) Z
b) N
2. Representa una fracción propia:
a) 3
b) 3
4
2
3. Su cociente representa a un decimal periódico:
a) 3
b) 2
5
2
4. Su cociente representa el 50%.
5
a) 3
b) 3
5
c) E
d) Q
c)
4
4
d) 5
c)
1
3
d) 1
c)
7
4
d) 3
1
2
4
6
5. Un televisor costaba $3,200.00, pero lo compraron en $2,720.00, ¿cuál fue el porcentaje de descuento?:
a) 15%
B) 20%
c) 18%
d) 12%
6. Resultado de simplificar: 8 - 3(6 -2 x 2) =
a) 8
b) 10
c) 2
d) -16
7. Resultado de la operación: -2 – (-3) =
a) 5
b) -1
c) 1
d) 6
8. Resultado de la operación:
2  3
−
a) −
6
15
3
b)
+ −  =
 5
1
15
9. Resultado de la siguiente operación: -(-5)(1) =
a) -5
b) 6
1  1
10. Resultado de la siguiente operación − −  −  =
2  3
5
1
a) −
b) −
6
6
14
−
c)
c) 1
c)
5
6
1
15
d) −
19
15
d) 5
d)
1
6
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Bloque
I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Evolución histórica de los números
El concepto de número surgió como resultado de la necesidad práctica de contar objetos. En el inicio se contaba con la
ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, semillas, etc. La serie de números naturales era limitada, pero como
la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representaba un gran reto, éstos necesitaron ser
representados simbólicamente, desarrollándose así los diferentes sistemas de numeración para las distintas civilizaciones.
Tras la primera revolución del hombre, cuando surgieron las primeras civilizaciones de agricultores y las ciudades, también
hizo su aparición una ciencia trascendental: la Aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que nos ayuda a resolver
cualquier tipo de problema numérico, utilizando las distintas operaciones: sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Para
resolver un cierto problema es imprescindible conocer, tanto a los números (su clasificación, la relación que guardan entre
sí), como la manera en que se efectúan las operaciones en las que se ven involucrados.
Los números representan una cierta cantidad, y éstos, a su vez, son representados por ciertos símbolos, mismos que han
adquirido diferentes formas y aspectos desde los orígenes de la humanidad en las distintas civilizaciones. Desde el punto
de vista general, sólo existen dos tipos de números; los reales, con los cuales estamos familiarizados en la vida cotidiana, y
los imaginarios, que fue necesario introducirlos para la solución de problemas específicos, y que se verán posteriormente.
A continuación, conoceremos a los números reales y todos sus aspectos para solucionar problemas comunes.
Números reales
Te has preguntado dónde vive el número cinco, cuánto pesa, cuánto mide, de qué color es, etc. Sabemos que nunca
encontrarás respuesta a esta interrogante, puesto que los números sólo son entes; realidades que existen sólo en nuestra
imaginación, son unidades abstractas que representan una cantidad, y juegan un papel muy importante en nuestra vida,
porque a través de ellos podemos representar ciertas cantidades. De lo que sí estamos plenamente seguros es que los
números existen y pueden ser representados de distintas maneras, de acuerdo con las diferentes culturas; no interesa cómo
sean, lo importante es saber su comportamiento.
5
4+1
7-2
15/3
√25
Figura 1.1
Matemáticas I
15
Reforma Integral
Representación numérica a lo largo de la historia
Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la ciencia, en la sociedad y en los avances,
tanto científicos como tecnológicos. Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números,
lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Sin embargo, los hindúes, desarrollaron un práctico
sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Posteriormente, los árabes dieron a
conocer este sistema en Europa a partir del siglo VII d. C. Por eso, nuestras cifras se llaman indo-arábigas.
Cultura
Representación numérica1
Egipcios
Griegos
Romanos
Indo-arábigos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Chinos
Babilonios
Mayas
Actividad 1.1
Observa las siguientes figuras:
1. ¿Cuántos ángulos, tanto internos como externos, tienen cada una de las
figuras?______________________________________________________________
2. ¿Qué puedes deducir al respecto?________________________________________
____________________________________________________________________
16
1
La representación numérica a lo largo de la historia.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Identifica formas distintas de representación de números positivos
Precisamente, los números indo-arábigos fueron establecidos de acuerdo con la cantidad de ángulos.
Con el paso del tiempo, el hombre ha introducido nuevos números, que son útiles para demostrar ciertas operaciones; los ha
clasificado, los ha dividido y hasta ha especulado con ellos.
La construcción de los números reales es algo complejo que ha hecho, no un hombre, sino la humanidad entera, rebasando los
conceptos matemáticos conforme sus necesidades y su curiosidad lo han llevado. Lo primero que hace el hombre es contar,
para ello necesitó construir un sistema numérico, evolucionando de esta forma primitiva de representar objetos o cosas reales,
a través de símbolos, naciendo así el primer conjunto de números llamados naturales, estos números son utilizados para contar,
y se representan mediante la letra N.
1, 1+1, 2+1, 3+1, 4+1,…
1, 2, 3, 4, 5…
Figura 1.3 Números naturales.
Después del uno, el número siguiente se construye anexando uno al anterior, hasta un número indefinido, que se encuentra en
el infinito, denotado por el siguiente símbolo (∞).
Número natural es aquello que tienen en común todos los conjuntos similares. Por ejemplo, los conjuntos A = {a,
b, c, d, e, f} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; tienen en común la propiedad de estar constituidos por seis elementos. Diremos,
en este caso, que los conjuntos A y B representan al número natural 6, o bien, representan la cantidad seis. De
modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos unitarios representarían
al número 1, los conjuntos con dos elementos representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío,
el que no posee elementos, representa al cero (0). Una de las funciones que realiza el cero “0”, es ayudarnos a
identificar la posición que un dígito tiene.
De este modo, se obtiene la sucesión de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que es una
sucesión infinita.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6… + ∞
Números enteros
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene cero elementos {0} con el conjunto N de los números naturales, obtenemos
el conjunto de los “números enteros positivos”: {0, 1, 2, 3, 4… a}. Ahora, si incluimos un elemento inverso por cada número
natural, obtendremos el conjunto de los “números enteros negativos”: {-4, -3, -2, -1}. Para terminar, si unimos ambos conjuntos,
obtendremos como resultando el conjunto de los números enteros, denotados por:
Z = {–a …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… + ∞}
Matemáticas I
17
Reforma Integral
Números racionales
Conforme la cultura humana evolucionó, crecieron sus necesidades matemáticas, requiriéndose de una numeración adecuada
para cada situación. Al tomar medidas se hizo notorio el hecho de que los números naturales o enteros no solucionaban el
problema, pues se necesitaban las fracciones, entonces, surgió el desarrollo de los números fraccionarios, en general, racionales,
denotados aún por la letra Q, y que se forman al dividir un par de números enteros con denominador distinto de cero.
Como podemos ver, la división exacta de números naturales no resulta posible en todos los casos, puesto que no
siempre existe un número natural que al ser multiplicado por el divisor coincida con el dividendo. Por lo tanto,
necesitamos ampliar el campo numérico, introduciendo las fracciones o quebrados. Algunos también dan el
nombre de números racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos enteros.
Los sistemas numéricos son inclusivos, porque en el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos,
el cero y las fracciones positivas y negativas.
1 3  5 3  7 
, , − , , − 
2 4  3 1  5 
Figura 1.4 Números racionales
Una fracción es la relación que existe entre dos números naturales (a, b), que se acostumbra escribir como a . El
b
número a se llama numerador y el número b, denominador, estableciéndose así un cociente.
El denominador nunca debe ser cero, puesto que la división entre cero no se encuentra definida.
Clasificación de las fracciones
Existen diferentes tipos de fracciones, para conocerlas las clasificaremos de la siguiente manera:
Tipo de fracción
Comunes
Definición
Ejemplo
Su denominador no es la unidad seguida de ceros.
Decimales
Su denominador es la unidad seguida de ceros.
Propias
Su numerador es menor que el denominador.
18
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Impropias
Su numerador es mayor que el denominador.
Unitarias
Su numerador es igual al denominador.
Mixtas
Constan de una parte entera y una parte fraccionaria.
Identifica números decimales en distintas formas (enteros, fracciones y porcentajes)
Los números decimales se obtienen al dividir dos números enteros cuyo resultado no es otro entero. Para escribir una fracción
o quebrado en notación decimal, se sigue el principio fundamental de la numeración decimal, según el cual toda cifra escrita a
la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior.
Actividad 1.1
Con la ayuda de tu calculadora, realiza las siguientes operaciones decimales.
1.
4
=
10
2.
4
=
100
3.
4
=
1000
4. 40 =
100
40
5.
=
1000
400
6.
=
1000
Compara los resultados de los quebrados de los incisos 1, 4 y 6.
1. ¿Qué puedes concluir al respecto?
2. ¿Qué otras fracciones son equivalentes?
Matemáticas I
19
Reforma Integral
Para leer un decimal se enuncia primero la parte entera, si es que existe, y a continuación la parte decimal, dándoles
el nombre de las unidades inferiores.
2.18 6.0019
0.09769 Dos unidades, dieciocho centésimas.
Seis unidades, diecinueve diezmilésimas.
Nueve mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas
Algunos decimales son periódicos.
a)
1
= 0.33333333333333333...
3
b)
1
= 0.1666666666...
6
Los cuales se denotan con una línea superior en la parte periódica.
c)
_
1
= 0.3
3
1
= 0.16
6
Nótese que únicamente al seis del inciso "d" se le colocó el guión en la parte superior, debido a que sólo éste es periódico.
d)
Otros decimales son no periódicos o finitos:
e) 1
= 0.5
2
f) 1 = 0.25
4
Porcentajes
Los números decimales sin la parte entera representan un porcentaje, siempre y cuando el numerador sea más pequeño
que el denominador; de lo contrario, éste será mayor al cien por ciento.
Ejemplo
Sea la siguiente fracción:
a) 3 = 0.5
6
20
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Para saber qué porcentaje es tres de seis, se debe realizar la operación y posteriormente multiplicarla por 100.
3
= 0.5
6
(0.5)(100) = 50%
b)
6
= 0.75
8
(0.75)(100) = 75%
El número seis representa el 75% de ocho.
c)
4
= 0.571428571
7
Para este caso, es necesario establecer cuántos decimales queremos estimar en nuestro porcentaje. Si determinamos
sólo dos decimales, el porcentaje quedará de la siguiente manera:
4
= 0.5714
7
(0.5714)(100) = 57.14%
Entonces, el número cuatro representa el 57.14% de siete.
Has comprendido
¿Qué porcentaje representa el ocho del cinco en la siguiente relación?
8
5
Ejemplo
Un sistema de cómputo se vende en $6,500.00. Si el precio de lista es de $7,200.00, calcular el porcentaje de descuento.
En este caso, $6,500.00 es el precio de venta, $7,200.00 es el precio normal y el descuento debe ser el producto de
$7,200.00 por el porcentaje de descuento.
Podemos definir que p represente el porcentaje de descuento, expresado como decimal. A continuación sustituimos
el precio de venta por $6,500.00 y el precio normal por $7,200.00 en la fórmula: (modelo matemático).
Matemáticas I
21
Reforma Integral
Precio de venta = precio normal – descuento.
Al sustituir los valores, obtenemos:
6500.00 = 7200.00 − 7200.00 p
6500.00 − 7200.00 = 7200.00 − 7200.00 − 7200.00 p
−700.00 = −7200.00 p
−700.00
p=
−7200.00
p = 0.0972
Si esta cantidad la multiplicamos por 100, obtendremos el porcentaje de descuento.
p = (0.0972)(100) = 9.72%
Actividad
I. Actividad para realizarse en grupos de cuatro alumnos.
Si Martín compra un auto de contado, obtendrá un descuento de $12,000.00. El costo con pago de
contado es de $187,000.00.
1. ¿Cuál es el modelo matemático que relaciona el precio de venta con el precio normal y el descuento?
2. ¿Cuál es su precio normal?
3. ¿Qué porcentaje del precio normal es el descuento?
Si Martín lo paga en 36 mensualidades, debe pagar $220,000.00 por el auto.
4. ¿Cuál es el modelo matemático que permite realizar este cálculo?
5. ¿Cuánto debe pagar extra?
6. ¿Qué porcentaje representa la cantidad extra sobre el precio normal?
22
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Ejercicios
Determina qué porcentaje representa cada una de las siguientes relaciones.
Np.
1
2
3
4
5
Relación
3
4
6
9
7
8
3
5
4
7
Resultado a dos cifras
Porcentaje
Problemas
1. El total del tiraje del libro de Matemáticas I fue de 60,000 ejemplares, si por cada libro he de recibir el 2%, por
concepto de regalías, ¿cuánto recibiré si me pagan sólo una cuarta parte?
2. Una recámara cuesta, normalmente, $3,500.00. Está en oferta a $2,700.00, ¿cuál es el porcentaje de descuento?
3. El dueño de una librería compra un libro usado, en $150.00 y lo vende en $210.00. Calcula el porcentaje de
aumento.
4. El dueño de una tienda de regalos compra muñecos de peluche a $20.00 y los vende a $30.00. Calcula el
porcentaje de aumento.
Matemáticas I
23
Reforma Integral
9. Un joven, con $210.00 en el bolsillo, baja de su automóvil en el camino a casa para comprar rosas por el
cumpleaños de su novia. Si cada rosa cuesta $12.00 y los gastos de envío son $15.00, ¿cuántas rosas puede
comprar?
10. Para mudarse a otra ciudad, se puede alquilar un camión por $300.00 diarios, más $5.00 pesos por kilómetro.
Si se usa un camión por dos días, ¿cuántos kilómetros puede recorrer a un costo de $850.00?
11. Un estudiante gana $120.00 diarios por entregar paquetes por las noches. Se le paga a razón de $5 por cada
2 paquetes entregados, ¿cuántas entregas deberá hacer diariamente para aumentar su ingreso a $160.00
diarios?
Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas
Para realizar una cierta operación aritmética, se debe simplificar primero el contenido de los símbolos de agrupamiento
más internos; luego los siguientes y así sucesivamente.
La multiplicación y la división se efectúan antes que la adición y sustracción, procediéndose en ambos casos, de izquierda a derecha, obedeciendo el orden jerárquico de los signos de agrupación: primero los paréntesis ( ), después
los corchetes [ ], concluyendo con las llaves { }.
Ejemplo 1.13
a) 10 - 2 x 4 = 10 - 8 Nótese que no se resta el 2 del 10, sino que primero se efectúa la multiplicación.
b)
8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4)
= 8 - 3(2)
= 8-3x2
=8-6
= 8 -2
Simplifica primero lo que está entre paréntesis.
8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4)
= 8-6
=2
c)
{
}
{
} {
}
= 3 6 + 2 8 − 4  = 3 6 + 2 4  = 3{6 + 8}
= 3{14} = 42
24
} {
3 6 + 2 8 − 2 ( 3 − 1)  = 3 6 + 2 8 − 2 ( 2 ) 
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Ejercicios
Simplifica las siguientes operaciones aritméticas, de acuerdo con el orden jerárquico establecido.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
Operación
Resultado
{
}
3 + {−2 − 3 + 2(3 − 5)  + 2}
−1 + {−1 − 1 − 2(1 − 2)  + 1}
3 − {−1 + 2 − 3(2 − 3)  + 1}
1 + {−1 − 1 + 2(1 − 2)  − 1}
2 − 3 − 4 + (3 − 5)  − 1
Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas
El interés y curiosidad del hombre lo llevó a descubrir nuevos números; por ejemplo, aquellos que representaban una
cierta cantidad de gran utilidad, pero que no podían obtenerse como el cociente de dos números. Entonces, introdujo
los números irracionales, que se representan mediante la letra I. Ejemplo de ello lo es la medida de la línea inclinada en
el triángulo de la figura, que es igual a √2 , cuando las líneas horizontal y vertical son iguales a la unidad.
Este número, que en realidad es igual a 1.414213562…, no puede representarse mediante un simple cociente, pero
sí es un valor numérico. Otro ejemplo, lo es π, este número que tiene un valor de 3.141592654....., no es más que la
cantidad de veces en que cabe el diámetro en la circunferencia. También, la longitud de la diagonal de un pentágono
o cualquier polígono regular, tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es
aproximadamente igual a 1,6818).
Matemáticas I
25
Reforma Integral
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números
irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.
Tenemos, entonces, que un número irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y
pueden ser positivos o negativos.
√2 = 1.4.1421356....]
π ≠ 4.14159265....]
3
√5= 1.70997594....]
Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos).
Identifica formas distintas de representación de números reales
Actividad
Completa la siguiente tabla, denotando cada uno de los números como un cociente.
NÚMEROS REALES
-5
0
25%
1
4
0.333... 0.666
333
1000
25
16
7
2
3+ 4
3
27
− 36
4
3
10
1. ¿Cuáles números no pueden ser representados como el cociente de dos números?
2. ¿Por qué?
3. ¿Cómo se les llama a este tipo de números?
26
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Ejercicios
Completa la siguiente tabla.
No.
Número
1.
-3
2.
1.2546783425....
3.
Tipo
Irracional
11
4.
14
5.
7
2
6.
7
5
7.
0.283428342834....
8.
−2
9.
3i
10.
4 – 2i
11.
3.245245245....
12.
0.1111111111....
13.
-7
3
5
Fraccionario negativo
14.
15.
Matemáticas I
- 8
27
Reforma Integral
Calcula el valor numérico de una expresión algebraica
Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de contar sus pertenencias y representarlas mediante números, también surgió el álgebra, donde ahora las cantidades son representadas por otros símbolos,
los cuales pueden reemplazar cualquier valor.
El gran desarrollo del álgebra se debió a los matemáticos árabes y, específicamente, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d. C.),
quien sentó las bases del álgebra actual, la cual se considera como una rama de las matemáticas que tiene por objeto
generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético; mientras que en aritmética las cantidades
cuentan con una manera definida de representarse (números), en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante letras
que pueden interpretar cualquier valor numérico que se les asigne. En pocas palabras, en aritmética las cantidades únicamente pueden reproducirse a través de números, y en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante números o letras.
La evaluación de expresiones es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para cada una
de las incógnitas o letras (variables) que representan a ciertos números, y que al efectuar las operaciones indicadas se
obtiene la evaluación correspondiente.
Para realizar una operación numérica se debe operar en primera instancia, lo que se encuentre entre paréntesis o arriba
o debajo de una raya de fracción. Posteriormente, se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el
orden que se presenten de izquierda a derecha, para finalizar con las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
La jerarquía de las operaciones algebraicas es similar a las operaciones aritméticas, con el siguiente procedimiento:
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
Ejemplos
a) Resuelve 2x2yz3, cuando x = 2, y= 3 y z = 1
(2)(2)2(3)(1)3 = (2)(4)(3)(1) = 24
b) Evaluar 4 bx 3 cuando b = 8 y x = 2
4 (8)(2)3 = 4 (8)(8) = 4(8) = 32
8a 5b 2 2a 2 b
c) Evaluar +
− 2
x
y
x y
cuando a = 1, b = 2, y = 4 y x = 3.
8(1) 5(2)2 2(1)2 (2) 8(1) 5(4) 2(1)(2) 8
4 96 +180 − 4 272
5
+
−
=
+
−
= +5
=
=
=7
2
3
(3) (4)
3
4
(9)(4) 3
36
36
36
9
4
28
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I
Ejercicios
Resuelve los siguientes ejercicios cuando a = 2, b = 1, c = 4, d = 3, m = ½, n = 2/3, p = ¼, x = 0, según el
caso.
1. (a + b) c - d =
2. (a + b)(b - a) =
3. (b - m)(c - n) + 4a2 =
4. (2m + 3n)(4p + b2) =
5. (4m + 8p)(a2 + b2)(6n - d) =
6. (c -b)(d - c)(b - a)(m - p) =
7. b2(c + d) -a2(m + n) + 2x
8. 2mx + 6(b2 + c2) - 4d2 =
 8m 16 p 
+
9. 
a =
b 
 9n
10. x + m(ab + dc - ca) =
11.
4(m + p) a 2 + b 2
÷
a
c2
12. (2m + 3n + 4 p)(8 p + 6n + 4m)(9n + 20 p)
13. c 2 (m + n) − d 2 (m + p) + b 2 (n + p) =
14.
15. (4p+2b)(18n-24p)+2(8m+2)(40p+a)=
d
2
5+ 2
bx
m
16.
d −b
p2
a+
17. (a + b) c 2 + 8b − m n 2
 a+c
6n 
+
 ÷ (c + d) p
b 
 2
18. 
19. 3(c − b) 32n − 2(d − a) 16 p −
20.
Matemáticas I
6abc
3mn cdnp
+
−
2 8b 2(b − a) abc
2
n
29
Reforma Integral
Ejercicios
1
1  1
1 1
1
2
21. b 2 +  +   +  +  +  =
 a b  b c   n m 
22. (2m+3n)(4p+2c)-4m2n2
23.
b2 −
c
3 − n
2ab − m b − m
24. 5ab =
25.
2bc 2
26.
4a
=
3bc
27.
28.
29.
2m
n2
24mn
2 n2 p2
2 4 2 3
ab m =
3
30. 24m2n3p
30
Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Problemas
¡A trabajar tu proyecto!
PROYECTO 1:
Formen equipos de 6 personas tal que socialicen entre sí con cuánto dinero
cuentan para su semana, y cómo deben distribuir sus gastos para que les
alcance.
•Realicen una tabla comparativa de gastos-producto-costo.
•Calculen los gastos alumno-semana.
•Comparen el consumo de los mismos productos en la casa y en la escuela.
•Calculen la diferencia y analicen el ahorro al consumir productos caseros.
•Analicen el impacto de sus gastos en la economía familiar.
PROYECTO 2:
Realiza un registro de lo que gastes durante una semana, especificando el rubro al que corresponde cada gasto.
En equipo de 4 o 5 integrantes, reúnan los resultados obtenidos y realicen lo siguiente:
a)Sumen los gastos realizados por los integrantes del equipo correspondientes a cada rubro.
b)Ordenen los resultados de manera ascendente, ¿en qué rubro gastaron más? ¿en qué rubro
gastaron menos?
c)Realicen una gráfica que muestre los gastos por rubro realizados por el equipo.
d)Sumen el total de gastos de todos los integrantes del equipo y de todos los rubros.
e)Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a transporte.
f)Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a material de papelería.
g)Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a alimentos.
h)Expresen los porcentajes anteriores en números fraccionarios y en números decimales.
i)Si, entre todos los integrantes del equipo, hubieran ahorrado el 8% de sus gastos, ¿a cuánto
hubiera ascendido el total de gastos del equipo?
j)Comparen con los compañeros de otros equipos y saquen una conclusión grupal acerca de los
resultados obtenidos.
Matemáticas I
31
Reforma Integral
32
Dirección General de Telebachillerato