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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMO IMPULSO DEL ÁLGEBRA
1 Introducción
El propósito de este escrito es dar una idea del camino recorrido por un brillante
grupo de matemáticos de distintas épocas y partes del mundo, en la construcción de lo
que ahora llamamos álgebra. Hemos tomado como hilo conductor el problema de la
resolución por radicales de ecuaciones algebraicas. Esto nos conduce desde los
primeros pasos dados por matemáticos ahora desconocidos en Babilonia hasta la
hermosa teoría creada por Evariste Galois en la Francia de principios del siglo XIX.
2 Los inicios del álgebra, álgebra práctica
Los sumerios, uno de los primeros pueblos en desarrollarse en Mesopotamia, dejaron
en inscripciones grabadas en tablillas de arcilla una rica información sobre sus
actividades, 3000 años antes de Cristo. Estas tablillas son testigos de que sus
mercaderes trataban ya en ese entonces con cuentas, recibos, notas contabilidad y
sistemas de medidas, es decir con todo aquello que tiene que inventar un grupo de
personas que se ha dado a la tarea de acumular riquezas.
Todo este movimiento mercantil requiere de control, y el control se consigue
usando números y medidas, cuánto se vende, cuánto se compra, cuánta tierra se tiene,
cuánto se debe, etc. Tras los sumerios otros pueblos en fases sucesivas controlaron la
región de Mesopotamia, estos pueblos heredaron y mejoraron las leyes, formas de
gobierno y los distintos métodos de contabilidad inventados por los sumerios.
Se conocen tablillas en Babilonia relacionadas con las matemáticas, algunas
contienen los cuadrados de los números del 1 al 60 y cubos del 1 al 32.
Otras contienen tablas de multiplicar y de dividir y progresiones geométricas.
Las tablillas con temas matemáticos pertenecen a distintos períodos, el último período
sumerio (2100 a. C.), la primera dinastía babilónica (época del rey Hammurabi) y
otros entre 600 a. C. y 300 d. C.
Es sorprendente que en esta temprana edad los matemáticos de estas regiones
tuvieran la habilidad para resolver ecuaciones de segundo grado, en estos textos
matemáticos se pueden encontrar problemas como el siguiente:
Conocer la longitud del lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a
870.
Para la solución se dan las siguientes instrucciones:
Se toma la mitad de 1, que es 1/2 , se multiplica esta cantidad por sí misma lo
que da ¼, se suma este resultado a 870 obteniéndose (1+(870 x 4))/4 = 3481/4 =
870.25, pero este número es el cuadrado de 29.5. Por último se suma 29.5 a 0.5
resultando 30, la magnitud del lado del cuadrado.
De esta misma manera se da una serie de problemas numéricos y su solución. En
ningún lado se explica el porqué siguiendo estos métodos se resuelve el problema
planteado.
En notación moderna el ejemplo anterior corresponde a una ecuación de la forma
x 2  px  q
la solución dada corresponde a la fórmula:
2
p
 p
x    q 
2
2
También se tratan problemas del tipo
x3  x 2  b
la solución está dada por medio de tablas en las que se dan los valores de n3  n2 para
1 < n < 30.
Otro centro importante en el que se han hallado vestigios de interés matemático
es Egipto, cuya civilización tuvo un período muy grande de desarrollo, desde 3100 a.
C. a 322 a. C.
En Egipto, dadas sus características geográficas y la existencia del Río Nilo se
desarrolla un Estado altamente centralizado, gobernado y administrado por una
burocracia con un control casi absoluto de todos los quehaceres de sus súbditos.
La administración de un imperio tan basto y centralizado requería sistemas de
contabilidad eficientes. La labor de llevar a cabo todo este trabajo de administración
estuvo a cargo de los escribas, quienes desarrollaron métodos para llevar a cabo
operaciones aritméticas, sin embargo a pesar de que las exigencias a las que estaban
sujetos eran mucho más altas que para sus contrapartes en Mesopotamia no llegaron
tan lejos en sus descubrimientos algebraicos como estos últimos.
En contraste con la Mesopotamia en los pocos escritos egipcios de temas
matemáticos no se han encontrado tablas de multiplicación, pues desarrollaron un
método ingenioso en el que la única tabla de multiplicación necesitada es la tabla del
2.
Para ilustrar su procedimiento supongamos que deseamos multiplicar x por y.
Tomemos x y lo expresamos en base 2 como
con a1 < a2 < … < as, entonces:
Para dar un ejemplo concreto tomemos 13 y 7, escribimos ahora dos columnas,
en la primera ponemos múltiplos de 2 y en la segunda los múltiplos por potencias de
2 de 7.
-1
7
2
14
-4
28
-8
56
marquemos con – los números de la primera columna que sumen 13, ahora súmense
los respectivos términos que aparecen a la derecha, o sea los números 7, 28, 56, cuya
suma es 91 = 13 7.
En los papiros de temas matemáticos aparecen, con la excepción de un caso,
problemas que involucran solo ecuaciones de primer grado en una incógnita.
En cambio, en geometría desarrollaron una gran cantidad de conocimientos
empíricos, este conocimiento lo heredarían los griegos.
3 Filosofía, religión y matemáticas
En las diferentes partes del mundo donde florecieron civilizaciones avanzadas se
inventaron sistemas de numeración y métodos para resolver problemas geométricos y
algebraicos. En algunas partes se desarrollaron intereses que iban más allá de las
necesidades materiales inmediatas. Por ejemplo, entre los babilonios apareció una
cierta fascinación por algunas identidades algebraicas, entre los mayas se dio una
gran curiosidad por calcular eventos astronómicos en futuros muy lejanos. Entre los
griegos nació la inquietud de encontrar explicaciones a los fenómenos de la
naturaleza guiadas únicamente por la razón y la observación. Esta característica que
forjó al mundo moderno no se encuentra en ninguna de las antiguas civilizaciones.
En Mileto, puerto griego de gran actividad comercial, donde concurrían viajeros
de todos los confines del mundo conocido de ese tiempo es el lugar en el cual se
inaugura esta novedosa forma de pensar. Es aquí donde nace Tales de Mileto (624 –
548 a. C); en su juventud logra amasar como comerciante una fortuna que le permitirá
dedicarse con toda libertad a sus indagaciones científicas y filosóficas. Se sabe que
pasó algún tiempo en Egipto en donde se familiarizó con la geometría y astronomía
egipcias. De nuevo en Mileto tuvo una gran actividad intelectual, en particular fue la
primera persona en adquirir prestigio social gracias a sus descubrimientos
matemáticos. La gran innovación de Tales fue la de dar pruebas lógicas de los
enunciados geométricos, algo aparentemente único en la historia. De esta manera se
inician las matemáticas como una ciencia abstracta.
Cerca de Mileto en la isla egea de Samos nació una de las personalidades más
llamativas de la historia griega, se trata de Pitágoras. Sus padres fueron Mnesarco y
Pitays, el primero originario del puerto de Tiro, situado en la actual Líbano, su madre
era griega. Mnesarco era comerciante en piedras preciosas, viajaba con mucha
frecuencia, en estos viajes lo solía acompañar el joven Pitágoras.
En uno de estos viajes su padre regresó a su original Tiro, dándole a Pitágoras la
oportunidad de aprender de profesores de Caldea y de Siria. La educación que recibió
fue esmerada, sabía tocar la lira y podía recitar a Homero.
Cuando contaba 18 años decidió viajar al centro intelectual griego de entonces, el
Puerto de Mileto. Ahí recibió clases de un envejecido Tales, quien le causó una gran
impresión. Recibió enseñanzas de uno de los alumnos favoritos de éste,
Anaximandro. El mismo Tales aconsejó a Pitágoras viajar a Egipto.
El viaje a Egipto duró alrededor de veinte años, gracias a varias cartas de
recomendación conseguidas por su padre, tuvo contacto con el sacerdocio egipcio.
Decidió él mismo entrar como sacerdote, después de varios rechazos pudo finalmente
entrar en el templo de Diospolis. Su estancia en Egipto le dio la oportunidad de
conocer de primera mano muchos de los misterios de esta admirable civilización,
entre ellas la geometría que les hizo capaces de construir colosales monumentos.
En 525 a. C. Cambises II rey de Persia invadió Egipto, los egipcios no pudieron
resistir. Los seguidores de Cambises tomaron a Pitágoras como prisionero de guerra.
El historiador griego Jamblico escribe lo siguiente:
“Mientras estuvo en Babilonia se asoció de buen grado con los Magos, que
también se alegraron de tenerlo, fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió una
forma muy mística de dar culto a los dioses. También llegó al más alto grado de la
perfección en aritmética, en música y en las otras ciencias matemáticas que
enseñaban los babilonios. Allí siguió por unos quince años aproximadamente. Volvió
a Samos a la edad de cincuenta y seis años más o menos”.
Es interesante el hecho de que los babilonios asignasen números a los planetas.
A su regreso a Samos funda una escuela conocida como el semicírculo de
Pitágoras. En las afueras de la ciudad en una cueva da clases acerca de la filosofía
desarrollada por él. Pasa noches y días en esa cueva con sus seguidores haciendo una
extensiva investigación en matemáticas. Sus enseñanzas y en especial su insistencia
en el vegetarianismo no fueron bien recibidos en Samos, decide entonces partir hacia
la llamada Gran Grecia, colonias griegas establecidas en lo que hoy es Italia. En
Cretona, donde es bien recibido, se establece fundando una sociedad filosófica y
religiosa. Esta sociedad estaba constituida por un círculo interno de seguidores
conocidos como los mathematikoi, quienes vivían permanentemente con la Sociedad,
no tenían posesiones y eran vegetarianos. Las principales creencias de Pitágoras
fueron las siguientes:
1) Al nivel más profundo la realidad es de naturaleza matemática.
2) La filosofía puede usarse para la purificación espiritual.
3) El alma puede elevarse para unirse con lo divino.
4) Ciertos símbolos tienen un significado místico.
5) Los hermanos de la Orden deben observar estricta lealtad y secrecía.
El principal interés de Pitágoras y su escuela fue el estudio de los principios de la
matemática, el concepto de número, el concepto de triángulo y otras figuras
matemáticas y además el concepto abstracto de demostración. Una parte considerable
de los teoremas recopilados posteriormente por Euclides provienen de la escuela de
Pitágoras.
Quizás recordando la suerte de Sócrates, Pitágoras evitó verse envuelto en
política. Sin embargo en 508 a. C. se vio involucrado en una disputa política de
Cretona con la vecina ciudad de Sibaris. Los pitagóricos se hicieron por algún tiempo
del control de Cretona, pero finalmente lo perdieron y la Sociedad se vio perseguida
sanguinariamente. Aparentemente Pitágoras pudo escapar y algunos afirman que
vivió hasta la edad de 100 años.
Para estudiar las propiedades de los números se requieren manipulaciones
algebraicas y cálculos. En este aspecto los matemáticos griegos no estaban bien
armados, no contaban con una notación algebraica ni tampoco tenían un sistema
numérico que facilitara los cálculos. A pesar de estas limitaciones, recurriendo a la
geometría, en la cual eran maestros, lograron demostrar muchas igualdades
algebraicas, por ejemplo la proposición 4 del libro II de los Elementos de Euclides, en
donde se prueba geométricamente la igualdad:
En la proposición 7, también por procedimientos geométricos se establece la
igualdad:
o equivalentemente
la proposición 5 establece la igualdad
o equivalentemente

Usando estas técnicas geométricas pudieron también resolver la ecuación
y por primera vez se proporciona una demostración.
Muchas de las contribuciones algebraicas griegas son debidas a los miembros de
la escuela pitagórica.
4 Las matemáticas árabes
En mi primera visita al Instituto de Matemáticas y Estadística de la Universidad de
Sao Paulo, me sorprendió ver en una casa del centro de la ciudad un anuncio que
decía “Algebrista”. Me pareció extraño que aquí los matemáticos dedicados al
álgebra pusieran despachos para atender a sus clientes. Poco después Héctor Merklen,
matemático uruguayo, un algebrista de la Universidad de Sao Paulo me explicó que
algebrista era la persona dedicada a la compostura de huesos. Indicios del uso de la
palabra algebrista en el castellano antiguo se encuentran en El Quijote de Cervantes
en el siguiente párrafo:
“En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue
ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado.”
Aparentemente la palabra algebrista en este sentido está relacionada con la
palabra árabe al-jabr que significa restaurar.
La palabra álgebra como rama de las matemáticas se usa en prácticamente todos
los idiomas y proviene de la obra Hisab Al-jabr wal Muquabala, obra debida al
matemático árabe Al-Khuarizmi. Este matemático era miembro de la llamada Casa
de la Sabiduría fundada por el califa al-Mamun en Bagdad. Las labores principales
de esta casa eran la traducción de manuscritos científicos griegos así como la
escritura de libros sobre álgebra, geometría y astronomía.
El propósito de esta obra de acuerdo con las propias palabras del autor es:
“… explicar las partes más fáciles de la aritmética que ayuden a resolver
problemas que se presentan en la vida diaria, cuestiones tales como herencias,
juicios, legados, medición de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos,
etc.”
La principal aportación de esta obra es la idea de manipular símbolos que
representan números. Éste fue el primer paso hacia una abstracción mayor de las
matemáticas, paso que dio el inicio al álgebra, sin embargo aquí se usan palabras y no
símbolos como se hace en nuestros días.
En el texto se introducen ecuaciones que consisten de tres tipos de objetos,
unidades que son números, raíces, que son múltiplos por números de la cosa x
(incógnita) y cuadrados que son números por x2.
Se consideran los siguientes tres tipos de ecuaciones:
1) Cuadrados iguales a raíces
x 2  bx
2) Cuadrados iguales a números
x2  b
3) Raíces iguales a números
xa
4) Cuadrados y raíces iguales a números
x2  bx  c
5) Cuadrados y números iguales a raíces
x2  c  bx
6) Raíces y números iguales a cuadrados
bx  c  x 2
El texto nos enseña cómo cualquier ecuación consistente de números, raíces y
cuadrados puede transformarse en una de las expresiones anteriores por medio de dos
operaciones: al-jabr y al-muqabala. La primera operación consiste en remover
términos negativos de una ecuación, pasando algún término de la ecuación de un lado
al otro, por ejemplo la operación al-jabr transforma x2  40 x  4 x2 en 5x2  40 x . La
operación al-muqabala consiste en reducir los términos positivos de la misma
potencia de x en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo 3x2 + 7x2+ x+8 = 21 + 7x
+ 2x + x2 se reduce a 10x2+ x + 8 = 21 + 9x + x2.
Posteriormente las ecuaciones de los seis tipos anteriores se resuelven usando los
mismos métodos geométricos que los griegos.
Finalmente se ve cómo las leyes de la aritmética de los números se extienden a
una aritmética de los nuevos objetos introducidos, por ejemplo como se multiplican
las expresiones (a + bx)(c + dx).
Otra contribución de gran importancia de Al-Khuarizmi fue otro libro del cual
sólo sobrevive la traducción latina: Algoritmi de número Indorum, en donde se
introduce el sistema numérico hindú. La palabra latina Algoritmi se deriva del
nombre del autor.
Las dos obras antes mencionadas tuvieron una influencia muy profunda en el
desarrollo de la civilización occidental.
5 Las Matemáticas en la Italia Renacentista
A partir del siglo XIII varias ciudades italianas experimentaron un notable
crecimiento económico, gracias a una siempre creciente expansión del tráfico
comercial en el Mediterráneo. Entonces, como ocurrió ya antes con otras
civilizaciones hay una gran demanda para organizar y controlar las transacciones
comerciales cada vez más complejas y voluminosas, esto requiere sistemas de
contabilidad más eficientes y seguros. El recientemente importado sistema hindú de
numeración muestra entonces sus ventajas sobre otros sistemas previamente usados.
Se establecen en los centros comerciales italianos escuelas dedicadas a la enseñanza
de este nuevo sistema numérico. Éstas son las llamadas escuelas de ábaco. El célebre
matemático Leonardo de Pisa Fibonacci escribió el primer texto italiano para estas
escuelas, el famoso Liber abaci.
En la Italia del siglo XVI eran muy populares los debates públicos entre dos
adversarios sobre distintos temas, filosofía, lógica, historia, arquitectura,
matemáticas. Cuando en estos debates se enfrentaban personajes conocidos, esto era
un acontecimiento social relevante. El ganar o perder tenía muchas veces
consecuencias importantes tanto en el prestigio como en el aspecto financiero, ya que
el ganador podría aumentar las ventas de sus libros, o ganar un puesto como profesor
en alguna Universidad o llegar a ser llamado a la Corte con un llamativo sueldo.
Célebre es el debate efectuado en Venecia en 1535 entre Anton Maria Fiore y
Niccolo Fontana Tartaglia. El primero propuso al segundo una serie de treinta
problemas de tipo algebraico. Mientras el segundo propuso una serie de problemas de
tópicos diversos.
Los problemas propuestos por Fiore tenían que ver con la resolución de
ecuaciones del tipo el cubo más las cosas igual al número, esto es ecuaciones del tipo
Fiore tenía una gran confianza en salir triunfador ya que contaba con un secreto
confiado a él por su antiguo maestro Scipione del Ferro profesor de aritmética y
geometría de la Universidad de Bolonia, muerto en 1526. Del Ferro había encontrado
alrededor de 1505 una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q dada
por la fórmula siguiente:
Tras cuarenta y ocho días de encierro tratando obsesivamente de resolver al
menos un problema de la lista, Tartaglia se encontraba al borde de la desesperación.
Finalmente en las primeras horas del 13 de febrero de 1535, descubre el método para
resolver de golpe los treinta problemas propuestos por Fiore. Había redescubierto el
método de del Ferro. En cambio Fiore tuvo poco éxito con la lista propuesta por su
contrincante, es curioso para los ojos actuales que fuese incapaz de resolver una
ecuación del tipo
Debemos, para entender esto, recordar que en esa
época no se conocían los números negativos, entonces esta última ecuación
representaba para los matemáticos de entonces un caso diferente.
La contundente victoria de Tartaglia llamó poderosamente la atención de
Gerolamo Cardano, prestigiado médico de Milán. Sabía ahora de algo que parecía
imposible existiera, un método para resolver las ecuaciones de tercer grado. Trató de
encontrar por sí mismo este método pero sin éxito. Luego intentó ponerse en contacto
con Tartaglia para que le explicase el tan codiciado método, pero éste último
temiendo una mala jugada siempre se rehusó.
Finalmente Cardano le escribió a Tartaglia para invitarlo a Milán en donde le
insinuó que podría presentarle al gobernador de la armada imperial en Milán, Alfonso
de Avalos, Marqués de Vasto.
Tartaglia a pesar de su prestigio tenía una posición modesta como profesor de la
escuela de ábaco de San Zanipolo. Una entrevista con el gobernador de Milán le abría
la posibilidad de un empleo mejor remunerado. Teniendo estas consideraciones en
mente cambió de actitud, aceptando viajar a Milán.
Ya en Milán ante la insistencia del anfitrión, Tartaglia decidió informar sobre sus
resultados matemáticos, no sin antes haber obtenido el siguiente juramento de
Gerolamo Cardano:
“Juro por los Santos Evangelios y por mi fe como caballero no hacer públicos
tus descubrimientos, si me los cuentas; del mismo modo prometo y aseguro por mi fe
de buen cristiano que los escribiré en cifra, de manera que nadie que los lea tras mi
muerte pueda comprenderlos. Si yo en opinión vuestra soy un hombre honesto
contádmelo y si no es así, demos entonces por terminada esta conversación.”
Finalmente Tartaglia regresó a Venecia arrepentido de haber abierto sus secreto y
sin haber podido entrevistarse con el gobernador, quien en los días de su visita se
encontraba fuera de Milán.
Cardano se dedicó a estudiar la fórmula recién obtenida con la asistencia de su
sirviente y secretario, Ludovico Ferrari, quien en el tiempo de la entrevista con
Tartaglia contaba con 17 años. Encontró la manera de reducir la ecuación general de
tercer grado a las ecuaciones resueltas por Tartaglia. Sin embargo se encontró con
problemas que tenían que ver con la aparición en las fórmulas de raíces de números
negativos. Cardano y Ferrari preguntaron a Tartaglia sobre estos problemas sin
obtener respuesta alguna. Decidieron entonces emprender un viaje a Bolonia en
donde vivía el yerno de del Ferro, Annibale della Nave, y le pidieron a este permiso
para ver los papeles de del Ferro y buscar algo que les ayudase a resolver su
problema. No encontraron nada al respecto, pero para sorpresa de ambos encontraron
el método usado por del Ferro para resolver ecuaciones de tercer grado.
Una vez hecho este hallazgo, Cardano no se sintió obligado a guardar el secreto
de Tartaglia ya que había encontrado la misma información en otra fuente mucho más
antigua. Decidió así publicar estos descubrimientos en su obra: Artis Magnae sive de
regulis algebraicis. Esta obra contenía además un descubrimiento notable: la solución
de ecuaciones de cuarto grado, resultado obtenido por Ferrari.
A pesar de que en este libro se reconocen plenamente las contribuciones de
Tartaglia, éste se puso furioso al sentirse traicionado, iniciando así una disputa
continua con sus dos adversarios.
El Ars Magna puede considerarse como la culminación de las contribuciones de
los algebristas italianos del renacimiento. Se escribe aquí también la última palabra
sobre el problema de encontrar raíces de polinomios usando únicamente las
operaciones de la aritmética y la extracción de raíces. Cardano obsesionado con la
idea de perpetuar su nombre escribió en la última página de este libro lo siguiente:
“Escrito en cinco años,
puede que dure varios siglos.
Fin del Ars Magna sobre las reglas del álgebra
por Gerolamo Cardano.”
6 La Quíntica
En opinión de Heródoto la prosperidad humana jamás permanece en un mismo punto,
esto también es cierto para la prosperidad matemática. En el siglo XVIII el centro de
gravedad de la actividad matemática se ha movido al norte, principalmente a Francia
e Inglaterra. Sin embargo en el problema de resolución por radicales de ecuaciones
poco se ha podido hacer a pesar de los enormes avances experimentados por los
matemáticos en el lapso de tiempo entre el siglo XVI y el XVIII, varios matemáticos
como Euler, Bézout, Vandermonde y Waring intentan entender el problema.
Quien pone los cimientos para un examen más profundo de la relación entre
raíces y coeficientes de un polinomio es el célebre matemático Joseph Louis
Lagrange.
Lagrange, de origen francés por línea paterna, nace en Torino, Italia en enero de
1736. Sus primeros logros matemáticos los obtiene en su natal Torino llamando muy
pronto la atención de Euler quien lo invita a trabajar en la Academia de Ciencias de
Berlín, oferta dos veces rechazada por Lagrange. Cuando Euler decide trasladarse a
San Petersburgo, Lagrange acepta trabajar en Berlín, aquí es nombrado sucesor de
Euler como director de matemáticas de la Academia en 1766.
En 1771 presenta a esta Academia sus indagaciones sobre las ecuaciones en la
memoria. Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones.
Aquí presenta las técnicas de las que se servirán su sucesores para entender el
problema de las ecuaciones. El trabajo contiene el germen de la futura teoría de
campos y anillos. Para tratar la ecuación general de grado n, considera n variables
independientes o como se dice ahora n indeterminadas x1, x2, …., xn. La ecuación
general de grado n es entonces:
Considera ahora el conjunto de expresiones racionales en x1,..., xn esto es
expresiones del tipo p(x1,…,xn)/q(x1,…xn) en donde p(x1,…xn), q(x1,…,xn) son
polinomios en x1,…,xn con coeficientes números racionales. Tomando ahora Sn el
conjunto de permutaciones de los enteros 1,…,n. Si u(x1,…,xn) es una función
racional en x1,…,xn y considerando
Prueba lo siguiente:
Teorema 1 Si t y u son funciones racionales en x1,…,xn y
entonces u
puede expresarse como una función racional de t y los coeficientes de P(X).
Lagrange dice que volverá al problema de la resolución de la quíntica. Sin
embargo no logra hacerlo. La primera persona en darse cuenta que el problema no
tiene solución es el matemático y médico italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822).
Ruffini nació en Valentano entonces perteneciente a los estados papales. En su
adolescencia su familia se cambió a Modena en cuya Universidad estudió
matemáticas, medicina, filosofía y literatura. En 1788 se graduó en filosofía,
medicina y cirugía. Poco después se gradúa en matemáticas. En 1791, Ruffini fue
nombrado profesor de Elementos de Matemáticas de la Universidad de Modena.
También adquirió licencia para la práctica de la medicina. En 1796 Napoleón funda la
República Cisalpina consistente de La Lombardía, Emilia, Modena y Bolonia. Ruffini
es electo para un puesto en el consejo de esta República, se le requiere un juramento
de lealtad a la República, pero le parece que no lo puede hacer pues entra esto en
conflicto con sus creencias religiosas. A causa de esto es despedido de su puesto en la
Universidad y se le prohíbe la enseñanza. Ruffini toma lo sucedido por el lado
positivo dando más tiempo al cuidado de sus pacientes y a su deseo de entender el
problema de la solución por radicales de la quíntica.
Él es el primero en establecer que la quíntica no tiene soluciones por radicales,
encuentra una primera demostración y la da a conocer en 1799 en un libro de título
Teoría general de ecuaciones en el cual se prueba que la solución algebraica de la
ecuación general de grado mayor que cuatro es imposible.
En la prueba se usan los primeros resultados en teoría de grupos establecidos por
él mismo. Entre otras aportaciones aparecen las siguientes: la noción de orden de un
elemento, la noción de conjugación, la descomposición de una permutación en ciclos.
Prueba también que si G es un subgrupo del grupo de permutaciones de 5 elementos ,
S5, y 5 divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden 5. Prueba que
S5 no tiene subgrupos de índices 3, 4 ó 8.
La demostración sin embargo no es completa, se hacen algunas suposiciones, sin
prueba alguna. Aparentemente él no logra darse cuenta de esta falla. Su trabajo es
recibido por la comunidad matemática con frialdad, varias cartas dirigidas a Lagrange
quedaron sin respuesta. Publicó nuevas demostraciones en 1803, 1808 y 1813.
El único matemático de importancia que apreció el trabajo de Ruffini fue
Cauchy, quien entre 1813 y 1815 realizó un trabajo importante sobre grupos de
permutaciones generalizando varios resultados de Ruffini. En 1821 le escribió una
carta que entre otras cosas dice: “…a mi juicio, su memoria prueba completamente la
imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de grado superior a cuatro”.
Después de la caída de Napoleón, Ruffini fue nombrado rector de la Universidad
de Modena en 1814. Aparte de la rectoría tenía a su cargo una cátedra en medicina
práctica, otra de medicina clínica y una de matemáticas aplicadas.
En 1817 durante una epidemia de tifus, él prosiguió tratando a sus pacientes
hacia los cuales era muy dedicado, pobres y ricos por igual. Como consecuencia,
adquirió esta enfermedad y aunque se recuperó, su salud quedó afectada desde
entonces.
El punto no resuelto por Ruffini es que supone (sin probarlo) que si se tiene una
expresión por medio de radicales de las raíces, estos radicales son funciones
racionales de las raíces.
En 1824 aparece en escena un joven matemático de apenas 22 años originario de
Noruega: Niels Henrik Abel, quien escribe un panfleto en francés con el título:
Memoire sur les equations algébriques. Aquí se presenta una primera prueba sobre la
imposibilidad de resolver la quíntica. Poco después aparece una versión mejorada,
más elaborada con el título Demostration de l„imposibilité de la resolution
alguébrique des équations génerales qui passent le quatriéme degré publicada en la
revista Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 1, Abel inicia su
trabajo probando el punto no resuelto por Ruffini, luego sigue un camino parecido al
de éste, pero logrando una mayor claridad.
La opinión de Abel sobre el trabajo de Ruffini es la siguiente:
“El primero, si no me equivoco, único antes de mi que había buscado demostrar la
imposibilidad de la resolución algebraica de ecuaciones generales, es el geómetra
Ruffini; sin embargo su memoria es de tal manera complicada que es muy difícil
juzgar sobre la justeza de sus razonamientos. Me parece que su razonamiento no
siempre es satisfactorio.”
En los trabajos de Ruffini y de Abel se prueba que existen ecuaciones de grado
cinco no solubles por radicales, ninguno de ellos da un criterio para saber cuándo una
ecuación es soluble o no por radicales. Dos meses antes de su muerte, en 1829, Abel
publica un artículo en el cual considera una clase de ecuaciones solubles por
radicales, el criterio general será dado por Evariste Galois.
7 Evariste Galois
La solución completa al problema de la resolubilidad por radicales de ecuaciones se
debe a Evariste Galois (1811-1832) quien hizo importantes aportaciones a las
matemáticas en su corta vida.
Galois nació el 25 de octubre en Bour-la-Reine un pueblo cercano a París. Sus
padres poseían una esmerada educación sobre todo en cultura clásica. La familia del
padre tenía un colegio de enseñanza para jóvenes que gozaba de prosperidad durante
la Revolución y después en la época de Napoleón. Su padre y tío eran fervientes
partidarios de Napoleón, el tío llegó a ser oficial de la Guardia Imperial. hasta los
doce años Evariste fue educado únicamente por su madre. Después prosiguió sus
estudios en el famoso liceo parisino Louis-le Grand.
En junio de 1828 solicita, sin preparación previa alguna, su entrada a la recién
creada y prestigiosa Escuela Politécnica. No es admitido y regresa al liceo para tomar
la asignatura Matemáticas Especiales. En este curso tiene la fortuna de encontrar al
profesor-Luis Paul-Emile Richard quien lo orientó y animó para proseguir en las
matemáticas. Todavía como alumno del liceo publica un artículo de ocho páginas
sobre fracciones continuas en Annales de Mathématiques de Gergonne.
El 2 de julio de 1829 una terrible desgracia se abatió sobre la familia de Galois,
su padre se suicidó. La tragedia fue provocada por un joven párroco recién nombrado
en Bour-la-Reine donde era alcalde el padre de Galois. Este sacerdote urdió un
complot para derrocar al popular alcalde. Se escribieron una serie de sátiras
licenciosas contra diferentes personalidades del pueblo con la firma apócrifa del
padre de Galois. Esto provocó un inmenso escándalo ante el cual el alcalde se vio
obligado a renunciar y marchó a París. Presa de una profunda depresión se suicidó
ahorcado en su departamento cerca del liceo Luis-le-Grande. Estos hechos afectaron
grandemente a Evariste y seguramente influyeron en la dirección tomada en su vida.
Unas pocas semanas después Galois se presenta nuevamente al examen de
ingreso en la Escuela Politécnica sin éxito.
Se vio entonces obligado a entrar a la Escuela Normal después de pasar varios
exámenes.
En mayo de 1829 Galois presentó una primera versión de sus investigaciones
sobre la solución de ecuaciones algebraicas a la Academia de Ciencias de París. Una
segunda memoria se presentó ocho días después sobre las ecuaciones de grado primo.
Ambos artículos fueron enviados a Cauchy quien los perdió. En febrero de 1830
Galois envió otro artículo sobre la solución de ecuaciones algebraicas. Esta vez la
Academia envió para su examen esta memoria a su secretario perpetuo, Fourier.
Desafortunadamente Fourier murió y este artículo se perdió también.
En enero de 1830 la Academia recibió otra memoria titulada Mémoire sur les
conditions de resolubilité des équations par radicaux. La Academia pidió a Poisson y
Lacrois un reporte.
El reporte de Poisson dice entre otras cosas lo siguiente:
“…hemos hecho todos los esfuerzos por comprender la demostración del Sr.
Galois. Sus razonamientos no son ni bastante claros ni bastante desarrollados para
que hayamos podido juzgar su exactitud y no estaríamos incluso en disposición de
dar una idea de ellos en este informe. El autor anuncia que la proposición que es el
objeto especial de esta memoria es parte de una teoría general que es susceptible de
muchas aplicaciones. A menudo ocurre que varias partes de una teoría,
iluminándose una a la otra son más fáciles de entender como un todo que aisladas.
Por tanto, para formarse una opinión definida se tiene que esperar a que el autor
haya publicado su trabajo completo. Pero en el estado que está la parte presentada a
la Academia, no podemos proponeros darle vuestra aprobación”.
Galois no tuvo tiempo para desarrollar su teoría y otros trabajos que apenas
iniciaba. Estuvo envuelto en las luchas de los republicanos, dos veces estuvo en la
cárcel, estaba además bajo una profunda depresión. En mayo de 1830 fue forzado a
aceptar un duelo, éste tuvo lugar el 30 de mayo de 1830. La noche anterior la ocupó
en escribir una larga carta a su amigo Auguste Chevalier en la cual explicaba las ideas
fundamentales de su teoría.
Como previamente mencionamos Galois dio un criterio para saber cuándo una
ecuación es resoluble o no por radicales.
Pasemos ahora a dar una idea general de sus ideas desde una perspectiva
moderna.
Para esto tomemos un polinomio
con coeficientes
números complejos. Consideremos ahora el conjunto F de todos los números
complejos que se pueden obtener a partir de los coeficientes de la ecuación usando
sumas restas multiplicaciones y divisiones, F es un subconjunto de los números
complejos con las siguientes propiedades:
i) si a, b están en F, a + b, a –b y ab están en F;
ii) si b está en F, entonces 1/b está en F.
El conjunto F es lo que se llama un campo. Consideremos ahora z1, z2,…, zn
todas las raíces de f(X). Tomemos ahora todos los números que se pueden obtener a
partir de los coeficientes de f(X) y z1,…,zn usando las cuatro operaciones de la
aritmética, esto nos da un conjunto E que también cumple las condiciones i) y ii)
anteriores.
Claramente F E. Consideremos ahora la colección G de todas las funciones
f:EE que cumplen las siguientes condiciones:
i) f es una función biyectiva
ii) Si a está en F, f(a) = a;
iii) Si x, y están en E, f(xy) = f(x) f(y) y f(x+y) = f(x) + f(y).
Claramente la transformación id definida por id(x) = x para toda x en E está en
G; si f,g están en G su composición gf también está en G, si f está en G su inversa
también está en G. Por tanto G forma un grupo. En nuestro caso el grupo G tiene a lo
más n! elementos. Por tanto en lugar de estudiar E que es infinito podemos poner
nuestra atención en G que es finito.
La idea fundamental de Galois es estudiar los campos entre F y E por medio
de los subgrupos de G.
Definición 1 El subgrupo de G más chico que contiene todos los elementos de la
forma fgf -1g -1 se llama el subgrupo conmutador y se denota por G1. El n-subgrupo
conmutador se define inductivamente por Gn = (Gn-1).
Teorema 2 Las raíces de f(X) se pueden obtener por medio de radicales si y solo sí
existe una m con Gm = {id}.
El grupo G se llama el grupo de Galois del polinomio f(X). Por ejemplo a los
polinomios considerados en el último trabajo de Abel se les impone la condición
fg=gf para todo f, g en su grupo de Galois G. Aquí claramente G1 = {id}. Así que
todos estos polinomios son solubles por radicales.
La presentación dada originalmente es equivalente a la anterior. En el artículo
revisado por Poisson se dan varios lemas pero sus demostraciones son incompletas.
Poisson leyó con mucho cuidado este trabajo, de hecho uno de los lemas importantes
lo prueba Poisson recurriendo al teorema 1 de Lagrange, dado previamente.
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