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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA
U.N.R.
PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA: Topología
Código L-3.12
PRESUPUESTO HORARIO SEMANAL PROMEDIO
PLAN DE ESTUDIOS: 2002
CARRERA: Licenciatura en Matemática
DEPARTAMENTO: Matemática (ECEN)
PROFESOR: Renato César Scarparo
2002
HASTA AÑO
TENTATIVO
2005
DEFINITIVO
DE EXAMEN
SEMESTRAL
TRIMESTRAL
PROGRAMA
ANUAL
Táchese lo que no corresponda.
OBSERVACIONES:
TEORIA:
2
1
PRACTICA:
1
2
LABORATORIO:
--
3
TOTAL ASIGNADO:
3
4
1+2+3
DEDICACION DEL ALUMNO
FUERA DE CLASE:
3
5
PRESUPUESTO TOTAL:
6
6
5+4
PROGRAMA BASADO EN
SEMANAS UTILES
30
7
HORAS TOTALES ASIGNADAS:
90
7x4
180
7x6
HORAS TOTALES PRESUPUESTAS:
OBJETIVOS: (qué debe saber el alumno al concluir el curso)
En este curso el alumno debe adquirir conocimiento en tres estructuras básicas de la Topología
General, cronológicamente las tres primeras: Espacios Métricos (Frechet, 1906) Espacios
Topológicos (Hausdorff, 1914), y Espacios Uniformes (Weil, 1937), y sus respectivas
relaciones. Además en el Capítulo I, 1.5. se dan algunas nociones elementales de Teoría de
Homotopía.
UBICACION EN LA CARRERA Y CARACTERISTICAS GENERALES:
La asignatura pertenece al 3º año de la Licenciatura en Matemática. El tema es un tema básico
y se puede decir que salvo las asignaturas pertenecientes exclusivamente al Álgebra, casi todas
las demás, sean del mismo año o de años superiores, hacen uso implícito o explícito de temas
correspondientes a la misma.
MATERIAS RELACIONADAS:
Previas: 2.07.1, 2.09.2
Simultáneas recomendadas: 3.13.1 , 3.16.2, 3.17.2
Posteriores: 4.19, 4.20.1, 4.25.2, 4.26
...................................
Firma Profesor
........................
Fecha
......................................
Aprob. Escuela
.......................
Fecha
Aprobado en reunión de Consejo Académico de fecha: ............................................................
CONTENIDO TEMATICO
Ordenar temas utilizando codificación decimal
1.
ESPACIOS TOPOLOGICOS Y FUNCIONES CONTINUAS
1.1
ESPACIOS TOPOLOGICOS
1.1.1. Topologías. .
1.1.2. Espacios topológicos.
1.1.3. Bases y subbases.
1.1.4. Generación de topologías.
1.1.5. Bases equivalentes.
1.1.6. Peso de un espacio topológico.
1.1.7. Segundo Axioma de la numerabilidad.
1.1.8. Sistemas de entornos.
1.1.9. Bases y subbases locales.
1.1.10. Primer Axioma de la Numerabilidad..
1.1.11. Característica de un punto y característica de un espacio topológico.
1.2
SUBCONJUNTOS DE UN ESPACIO TOPOLOGICO.
1.2.1 Interior, adherencia, frontera, exterior, borde, coborde y derivado.
1.2.2. Subconjuntos Gδ , Fσ , y de Borel.
1.2.3. Densidad, separabilidad y su relación con el segundo axioma de la numerabilidad
1.3. CONTINUIDAD
1.3.1. Continuidad en un punto.
1.3.2. Continuidad.
1.3.3. Equivalencias entre diversas definiciones de continuidad.
1.3.4. Homeomorfismo.
1.3.5. Topología inducida, subespacio.
1.3.6. Aplicaciones abiertas y aplicaciones cerradas.
1.3.7. Restricción, extensión y retracción.
1.3.8. Recubrimiento.
1.3.9. Función, combinación, condiciones para su continuidad.
1.3.10. Inmersión.
1.4.
OPERACIONES CON ESPACIOS TOPOLOGICOS
1.4.1. Suma topológica.
1.4.2. Propiedades de las inclusiones.
1.4.3. Producto topológico.
1.4.4. Propiedades de las proyecciones.
1.4.5. Asociatividad.
1.4.6. Inyección diagonal.
1.4.7. Producto de aplicaciones.
1.4.8. Cubo de Hilbert.
1.4.9. Identificación, teoremas de transgresión y transitividad.
1.4.10. Espacio cociente.
1.4.11. Descomposición canónica.
1.4.12. Espacio cociente de un subespacio.
1.4.13. Límite de sistemas directos.
1.4.14. Límites de sistemas inversos.
1.5.
ELEMENTOS DE TEORIA DE HOMOTOPIA.
1.5.1. Homotopía e isotopía.
1.5.2. Aplicaciones esenciales e inesenciales.
1.5.3. Clases de homotopía y clases de isotopía.
1.5.4. Deformación, contracción, retracto por deformación.
1.5.5. Relación entre contractibilidad y retracción por deformación.
1.5.6. Propiedades homotópicas e isotópicas.
2.
2.1.
2.1.1
2.1.2.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.2.7.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.3.5.
2.3.6.
2.3.7.
PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS TOPOLOGICOS
AXIOMAS DE SEPARACION
Espacios T0 , T1 , T2 , regulares, normales, T3 , T4 y de Tychonoff, propiedades.
Teorema de Urysohn
COMPACIDAD
Espacios compactos.
Caracterización de la compacidad en términos de conjuntos cerrados.
Compacidad y propiedades de separación
Imagen por una función continua.
Teorema de Alexander.
Producto de espacios compactos,
Teorema de Tychonoff.
CONVERGENCIA
Relación de dirección.
Conjunto dirigido.
Conjuntos residuales y cofinales.
Redes.
Puntos de convergencia y puntos de aglomeración.
Caracterización de la topología mediante la convergencia de redes.
Caracterización mediante redes de los puntos de clausura y los puntos de
acumulación de un subconjunto de un espacio.
2.3.8. Caracterización de la propiedad de Hausdorff.
2.3.9. Subredes.
2.3.10. Puntos de aglomeración.
2.3.11. Subredes y puntos de aglomeración.
2.3.12. Caracterización de la compacidad mediante redes.
2.3.13. Caracterización de la continuidad mediante redes.
2.4.
CONEXIÓN
2.4.1 Separación.
2.4.2. Espacios conexos.
2.4.3. Conjuntos conexos.
2.4.4. Conectividad de R.
2.4.5. Imagen continua de conexos.
2.4.6. Unión de familias de conjuntos conexos.
2.4.7. Componentes conexas.
2.4.8. Productos de una familia de espacios conexos.
2.4.9. Aplicaciones Rn , In y Sn.
2.4.10. Homotopía y conexión.
2.4.11. Espacios localmente conexos.
2.4.12. Componentes.
2.4.13. Teorema de caracterización de espacios localmente conexos.
2.4.14. Producto de espacios localmente conexos.
2.5.
CONEXIÓN POR ARCOS
2.5.1. Espacios conexos por arcos.
2.5.2. Conexión y conexión por arcos.
2.5.3. Contracción y conexión.
2.5.4. Imagen continua de un espacio conexo por arcos.
2.5.5. Producto de una familia de espacios conexos por arcos.
2.5.6. Componentes.
2.5.7. Homotopía y conexión por arcos.
2.5.8. Local conexión por arcos.
2.5.9. Espacios localmente conexos por arcos.
2.5.10. Relación de las componentes con la conexión local y la contracción local.
2.5.11. Homotopía y local conexión por arcos.
2.6.
INMERSIÓN
2.6.1. Teorema de inmersión de Tychonoff
2.6.2. Teorema de Inmersión de Urysohn,.
2.7.
COMPACTACIÓN.
2.7.1. Compactación puntual.
2.7.2. Compactación de Stone-Cech de un espacio de Tychonoff.
2.7.3. Compactación de Hausdorff.
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.2.5.
3.2.6.
3.2.7.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
3.3.4.
3.4.
3.4.1.
3.4.2.
3.4.3.
3.4.4.
3.4.5.
3.4.6.
3.4.7.
3.5.
3.5.1.
3.5.2.
3.5.3.
3.5.4.
ESPACIOS METRICOS
FUNCION DISTANCIA
Pseudométricas y métricas.
Topología definida por una pseudométrica.
Pseudométricas equivalentes.
Condición necesaria y suficiente de equivalencia.
Pseudométrica acotada equivalente a una pseudométrica dada.
ESPACIOS METRICOS
Espacios pseudométricos y espacios métricos.
Continuidad de la pseudométrica.
Distancia entre subconjuntos.
Distancia entre un punto y un conjunto, continuidad.
Familias localmente finitas.
Partición de la unidad, partición de la unidad subordinada a un recubrimiento.
Existencia en un espacio pseudométrico de una partición de la unidad subordinada a
recubrimiento localmente finito.
METRIZABILIDAD
Pseudometrizabilidad y metrizabilidad.
Hereditabilidad, sumabilidad y productibilidad numerable.
Teorema de metrización de Urysohn.
Teoremas de metrización de Nagata-Smirnov y de Bing.
PROPIEDADES TOPOLOGICAS
Completa normalidad de un espacio pseudometrizable.
Perfecta normalidad de un espacio pseudometrizable.
Completa regularidad de un espacio pseudometrizable.
Relación entre pseudometrizabilidad y los axiomas de la numerabilidad.
Equivalencia del II.A.N. y la separabilidad en un espacio pseudometrizable.
Paracompacidad de un espacio pseudometrizable.
Lema de Michael.
SUBCONJUNTOS COMPACTOS
Acotación y compacidad.
Lema de recubrimiento de Lebesgue.
Precompacidad: relaciones con la acotación y la compacidad.
Equivalencia en un espacio pseudométrico de compacidad numerable y compacidad
secuencial.
4.
4.1.
4.1.1.
4.1.2.
4.1.3.
4.1.4.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4.
4.3.
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.3.5.
4.4.
4.4.1.
4.4.2.
4.4.3.
ESPACIOS UNIFORMES.
UNIFORMIDADES Y TOPOLOGIA UNIFORME
Uniformidad y espacio uniforme.
Bases y sub-bases.
Topología uniforme.
Relaciones entre una uniformidad y su topología uniforme
CONTINUIDAD UNIFORME Y UNIFORMIDAD PRODUCTO
Funciones uniformemente continuas.
Uniformidad relativa.
Uniformidad producto.
Condición necesaria y suficiente para la uniforme continuidad de una seudométrica.
METRIZACION
Uniformidad generada por una pseudométrica.
Espacios uniformes pseudometrizables.
Lema de metrización de Tukey.
Teorema de metrización de Weil.
Calibre.
COMPLETIDAD
Red de Cauchy.
Espacio completo.
Relación de las redes de Cauchy con la convergencia respecto de la topología
uniforme.
4.4.4. Relación entre subespacios cerrados y subespacios completos.
4.4.5. Condición necesaria y suficiente de completidad de un espacio uniforme
pseudometrizable.
4.4.6. Productibilidad de la completidad.
4.4.7. Extensión de funciones uniformemente continuas.
4.5.
COMPLETACION
4.5.1. Completado de un espacio métrico y Teorema de completación.
4.5.2. Completación de un espacio uniforme, teorema de completación de Weil.
4.6.
ESPACIOS COMPACTOS
4.6.1. Teorema de Weil sobre la uniformización de un espacio topológico compacto. 4.6.2.
Uniforme continuidad entre espacios uniformes con dominio compacto
4.6.3. Precompacidad.
TRABAJOS PRACTICOS
a) Enumeración:
Práctica 1. Espacios topológicos y subconjuntos.
Práctica 2. Continuidad y Operaciones en un espacio topológico.
Práctica 3. Homotopía.
Práctica 4. Axiomas de separación y compacidad.
Práctica 5. Convergencia.
Práctica 6. Conexión.
Práctica 7. Inmersión y compactificación.
Práctica 8. Espacios métricos.
Práctica 9. Uniformidad.
B) Guías de trabajos prácticos publicadas: (con su código de publicación)
BIBLIOGRAFIA
a) Adecuada al programa. Ordenada por temas y con su codificación de biblioteca, incluidas
las publicaciones de la Cátedra con su código de publicación.
Se da una lista de referencia y después se indica la parte del programa que se adecua a la
misma.
1) BOURBAKI, N.: Eléments de Mathématiques, Topologie Générale, Chapitre 1 et 2,
Hermann, Paris.
2) DIEUDONNE, J.: Fundamentos de Análisis Moderno, Reverté, Buenos Aires.
3) DIXMIER, J.: General Topology, Springer Verlag, New York, Berli, Heidelberg,
Tokyo.
4) GARCIA MARRERO, M.: Topología, Alhambra, Madrid, Tomo I.
5) HU, S.: Introduction to General Topology, Holden-Day Inc., San Francisco, London,
Amsterdam.
6) KELLEY, J.: Topología General, Eudeba, Buenos Aires.
1
1.1., 1.2., 1.3. y 1.4. : (1), (5), (6), (3), (4).
1.5. : (5)
2
(1) , (5) , (6) , (3)
3
3.1. y 3.2. : (2) , (5)
3.3., 3.4. y 3.5. : (5)
4
(6)
b) Complementaria para profundización o extensión de temas.
i)
ii
iii)
v)
vi)
BOURBAKI, N.: Eléments de Mathématiques Libre III, Topologie Générale,
Actualités Scientifiques et Industrielles, 1142, 1143, 1235, 1045, 1084 y 1196,
Hermann, Paris.
DUJUNDJI, J.: Topology, Allyn and Bacon Inc., Boston.
ENGELKING, R.: General Topology, Warszawa, PWN, Polish Scientific Publ. iv)
GARCIA MARRERO, M.: Topología I, Alhambre, Madrid.
KURATOWSKI, C.: Topología, Warszawa, PWN.
MARGALEF ROIG, J. - OUTERELO DOMINGUEZ y PINILLA F.,Topología II
y III.