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Unidad 2
Expresiones
algebraicas
2º ESO
¿Algebra y grillos? ¿Qué
relación puede existir entre
ellos?
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Conceptos
1. El lenguaje algebraico
2. Expresiones algebraicas
2.1. Monomios
2.2. Polinomios
3. Valor numérico de una expresión algebraica
4. Operaciones básicas con expresiones algebraicas
4.1. Operaciones con monomios
4.2. Operaciones con polinomios
4.2.1. Suma y resta de polinomios
4.2.2. Multiplicación de polinomios
5. Expresiones algebraicas notables
5.1. Cuadrado de una suma
5.2. Cuadrado de una diferencia
5.3. Suma por diferencia
6. Descomposición factorial de un polinomio
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Lenguaje algebraico
 El
lenguaje numérico sirve para expresar
operaciones en las que solo aparecen
números.
 El lenguaje que utiliza letras y números
unidos mediante los signos de las
operaciones aritméticas, se denomina
algebraico
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Al igual que en la Aritmética, las operaciones
fundamentales del álgebra son:
adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de
potencias y raíces.
El Álgebra es el idioma de las Matemáticas.
Así, si tenemos un número multiplicado por sí mismo tres
veces lo denominamos cubo, y si lo queremos escribir de
forma abreviada representaremos el número con el
superíndice 3.
Por ejemplo, la notación de 4 × 4 x 4 sería 43; de manera
similar, generalizando dicha expresión escribiríamos a × a x
a y abreviadamente pondríamos a3.
Razona tú ahora:
- Si quisieras calcular el triple de 12, ¿qué harías?
-
- Si quisieras calcular el triple de a, ¿cómo lo
expresarías?.
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Completa:
1ª forma
El doble de un número b
El triple de un número c
El cuadrado de un número d
El cubo de un número x
2ª forma
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De una forma similar si a un número cualquiera x le sumamos
14 tendremos x + 14, o si a un número cualquiera x le
restamos 7 tendremos x - 7.
También podemos expresar algebraicamente la siguiente
expresión: “El área de un rectángulo es igual al producto de su
base por su altura”:
A=b·a
A dicha expresión le llamamos fórmula y nos permite
averiguar el área de un rectángulo. Es decir, podemos traducir
frases del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.
Ejemplo:
“En una clase, el número de alumnas es el doble que el de
alumnos menos cuatro”
Es decir, si llamamos x al número de alumnos, el número de
alumnas lo expresaremos como 2x - 4.
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Ejercicios
Actividad 1
Un número aumentado en 6 unidades:
El triple de un número disminuido en 5 unidades:
La cuarta parte de un número:
El cuadrado de un número más 6 unidades:
El número de canicas que tienes si has perdido la quinta parte:
En la clase de 2º de ESO hay 50 alumnos. Si el número de niños es .................,
entonces el número de niñas será ..............................
Mi edad excede en cinco años la edad de mi hermana. Entonces, si mi edad la
expreso como .............., la edad de mi hermana será .............................
La mitad de la suma de dos números cualesquiera será
........................................
La diferencia entre los cuadrados de dos números es …………………….............
Si tengo que representar tres números consecutivos y al primero le llamo ..........,
el segundo será .......................... y el tercero ..................................
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Actividad 2. Sea n un número cualesquiera y
expresa:
a) El doble del número.
b) Un tercio del número.
c) El cuadrado del número.
d) Que el número es más grande que 8.
e) La suma del número y su cuadrado
Actividad 3. Sean a y b dos números cualesquiera,
expresa utilizando a y b cada uno de los siguientes
enunciados
a) La suma de a y el triple de b.
b) La suma del doble de a menos la mitad de b.
c) El cuadrado de la suma.
d) El cuadrado de su resultado
e) La suma de sus cuadrados.
f) La diferencia de sus cuadrados.
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Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es toda combinación de
números y letras unidos por los signos de las
operaciones aritméticas. En una expresión algebraica a
cada uno de los elementos separados por signos + o se les llama términos. Los términos pueden estar
formados por números, letras o combinaciones de
letras y números. Así, en los tres ejemplos que ves
seguidamente tenemos tres, cuatro y un término,
respectivamente.
Ejemplos:
a) 9xy + 6a - 5
b) 6ab2 + 7cd - 8ef + b
c) 4x3y
b
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Debemos de tener en cuenta que en cada término de
una expresión algebraica se distinguen dos partes:
a) el coeficiente o parte numérica
b) las letras o parte literal.
Si un término no tiene parte literal se le denomina
término independiente.
A cada una de las letras distintas que aparecen en la
parte literal se le llama variable. En cada término, el
coeficiente y la parte literal se están multiplicando
entre sí, aunque por costumbre, no se indique el signo
de dicha operación.
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Monomios
Es una expresión algebraica en la que sólo aparecen
multiplicaciones y potencias, o dicho de otra forma,
que tiene un único término. Llamamos grado de un
término al mayor de los exponentes que aparecen en
la parte literal. Si tiene varias variables el grado es la
suma de los exponentes de las variables.
Llamamos monomios semejantes a aquellos que
tienen la parte literal idéntica, es decir, las mismas
letras con los mismos exponentes.
Ejemplo:
-25a2b y a2b
son semejantes
3z2 y 7z
no son semejantes
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Actividad 4. De los monomios que ves a
continuación agrupa aquellos que sean
semejantes entre sí:
a) 9xy
b) -3z
c)
5x2y
d) -6xy
e) -9x2y2
f) x2y
g) 81z
h) -2xy2
i)
8
j) 5xy2
k) Xy
l) 22
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Operaciones con monomios
Siguen las mismas reglas que las operaciones con
números:
Suma y resta de monomios:
Se realiza con monomios semejantes sumando los
coeficientes y manteniendo la misma parte literal. Si
no son semejantes, la suma o resta se deja indicada.
Ejemplo: 7ab4 + 3ab4 = (7+3)ab4 = 10ab4
7ab4 + 3ab = no son semejantes
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Multiplicación de monomios:
Por un lado multiplicamos sus coeficientes y
por otro, sus partes literales.
División de monomios:
Dividimos sus coeficientes y por otro lado, sus
partes literales (si se puede)
Ejemplo: 2x4 · 3x4 = (2·3)x4+4 = 6x8
8a3b4 : 4ab = (8:4)·(a3-1b4-1)= 2a2b3
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Ejercicio 5
Realiza las siguientes operaciones:
a) 5x+2x=
b) -2ab2 – 4y3 =
c) -4x3 · 2x =
d) 9a : 3a=
e) 10x3 : 2xy2=
f) 4x – 5xy =
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Ejercicio 6
Calcula las siguientes operaciones de
monomios:
a) 6a + 7a + 8a + a =
b) 5x – 4x – 9x + 12x =
c) 9y2 – 8y2 + 3y2 =
d) 9bc – 6bc + 8bc – 10bc=
e) 3 x  1 x  6 x 
5
f)
7
4
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Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que tiene dos o más
términos, o dicho de otra forma, es la suma de varios monomios.
Los términos de un polinomio son cada uno de los monomios que
lo forman, y los coeficientes de un polinomio, los coeficientes de
cada uno de dichos monomios. Su grado es el del monomio de
mayor grado, cuyo coeficiente será el coeficiente principal del
polinomio.
P(x) = 8x2 + 9xy + 6a - 5 grado 2
polinomio
Q(x) = 3y2 -22xy3+ y2 – 14y - 3x + 5
Término independiente
términos
Término de mayor grado: -22xy3
grado del polinomio: 1+3=4
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Valor numérico de una expresión
algebraica
En cualquier expresión algebraica podemos hallar su
valor numérico simplemente sustituyendo las letras
por números. Esto es algo que has hecho ya en
varias ocasiones en cursos anteriores, por ejemplo,
cuando aplicabas una fórmula para resolver un
ejercicio de áreas.
Ejemplo:
9xy + 6a - 5
Si asignamos los valores: x = 2; y = 3; a = 1 y los
sustituimos posteriormente en la expresión
obtendremos:
9xy + 6a - 5 = 9·2·3 + 6·1 - 5 = 54 + 6 - 5 = 55
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¡OJO!
Una vez que hayas sustituido las letras por
sus valores respectivos no debes olvidar
que tienes que tener en cuenta el orden de
preferencia de las operaciones para llegar
al resultado correcto.
Ejercicio 7:
1º.- Averigua el valor numérico de las
siguientes expresiones:
a) 14 – x, siendo x = 5
b) 7y – x, siendo y = 2; x = 9
c) 5a - 4b si a = 15 y b = 12
ab
d))
·c siendo a = 6, b = 2 y c = 3
2
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Ejercicio 8
Halla el valor numérico de las siguientes
expresiones algebraicas:
a)
2x + 4y + 3z para x = 3, y = -2, z = -1
b)
3x3 – y2 – 2z para x = 2, y = 1, z = 3
c)
5x2 – y + 3z para x = -2, y = 3, z = -1
d)
2x – 3y3 + z2 para x = 5, y = -1, z = -2
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Operaciones con polinomios
Antes de realizar operaciones con polinomios es
conveniente ordenarlos. Para ordenar un
polinomio se hace en orden decreciente de los
grados de los monomios que lo forman, de
manera que el primer término sea el de mayor
grado y el último el de menor grado
(generalmente, el término independiente).
Ejemplo:
Ordena el polinomio P(x) = 5x3 + 4x – 6x2 – 8 + 10x4
P(x) = 10x4 + 5x3 – 6x2 + 4x – 8
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Polinomios opuestos:
Si tenemos el siguiente polinomio:
P(x) = 10x4 + 5x3 – 6x2 + 4x – 8
El opuesto del polinomio P(x) es:
P(x)· (-1)= -P(x)= -10x4 - 5x3 + 6x2 - 4x + 8
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Sumas y restas de polinomios:
Dos pasos:
•Pon juntos los términos similares
•Suma los términos similares
Ejemplo: suma
2x2 + 6x + 5
y
3x2 - 2x - 1
Junta los términos similares: 2x2 + 3x2
+
6x - 2x
+
5-1
Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1) = 5x2 + 4x + 4
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Suma de varios polinomios
Puedes sumar varios polinomios juntos así.
Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy) , (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:
2x2 + 6y + 3xy
3x2
- 5xy - x
6xy + 5
5x2 + 6y + 4xy - x + 5
Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares
en las sumas complicadas.
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Ejercicio9:
Dados los polinomios P(x) = -3x2 – 4x + 8; Q(x) =
5x2 + 6x – 9; R(x) = x3 – 5x2 + + x – 8; S(x) = x3 – 6x2 –
9x + 13, calcula:
a) P(x) + Q(x)=
b) P(x) + R(x)=
c) R(x) + S(x)=
d) Q(x) +S(x)=
e) P(x) – Q(x)=
f) P(x) – R(x)=
g) P(x) –S(x)=
h) Q(x) – R(x)=
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Ejercicio 10
Para los polinomios siguientes:
A(x)= -4x4 + 5x3-2x2+1 ; B(x)= 3x3 + 2x ; C(x)= x+1;
D(x)= -6x2 –2. Calcula:
a) A(x) + B(x)=
b) B(x) + C(x)=
c) C(x) + D(x)=
d) A(x) + B(x) + C(x) +D(x)=
e) A(x) – B(x)=
f) A(x) – C(x)=
g) B(x) – C(x)=
h) C(x) –D(x)=
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Multiplicaciones
Estudiaremos tres casos, empezando por el más sencillo, que es multiplicar
un polinomio por un número, después veremos la multiplicación de un
polinomio por un monomio y por último, veremos como se multiplican dos
polinomios.
a) Multiplicación de un polinomio por un número:
Si tenemos, por ejemplo, 5 · (3x2 + 2x – 6), realmente esa expresión es la
propiedad distributiva, que ya conocemos y por tanto, resolveremos
multiplicando el número por cada uno de los sumandos de dentro del
paréntesis:
5·(3x2 + 2x – 6) = 5 · 3x2 + 5 · 2x – 5 · 6 = 15x2 + 10x – 30
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio:
Al igual que antes, aplicamos la propiedad distributiva, y se multiplica el
monomio por cada uno de los términos del polinomio, de manera que
hacemos varias multiplicaciones de monomios, que resolvemos como en el
apartado anterior:
2x · (3x2 – 2x + 5) = 2x · 3x2 – 2x · 2x + 2x · 5 = 6x3 – 4x2 + 10x
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Multiplicación de dos polinomios: Cuando tenemos que multiplicar dos
polinomios, debemos tener en cuenta que hay que multiplicar cada
término de uno por todos los términos del otro.
Así, si tenemos
•Primeros: ac
•Interiores: bc
•Exteriores: ad
•Segundos: bd
(3x + 5)·(2x + 7) haremos:
3x·2x + 3x·7 + 5·2x + 5·7 = 6x2 + 21x + 10x + 35 = 6x2 + 31x + 35
Siempre que haya términos semejantes debo sumarlos (o restarlos)
hasta dejar la expresión lo más sencilla posible.
También se puede realizar en forma de multiplicación:
3x + 5
2x + 7
2
6x + 10x
21x + 35
6x2 + 31x + 35
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Ejercicio 11
Realiza ahora las siguientes multiplicaciones de
polinomios:
a) (2x + 1) · (x - 3) =
b)
(x - 2) · (x + 1) =
c) (x - 3) · (x2 - x + 4) =
d) (a - 2b) · (3a + 5b) =
e) (5x2 – 6x + 7) · (x2 -3x – 1) =
f)
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Expresiones algebraicas notables
Llamamos expresiones algebraicas notables a una serie
de expresiones que son muy útiles a la hora de hacer
operaciones con polinomios. Y son:
5.1. Cuadrado de una suma
“El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del
primer término más el doble del primer término por el
segundo término más el cuadrado del segundo término”.
(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2
Ejemplo:
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2·2x·3 + 32 = 22·x2 + 12x + 9 = 4x2 + 12x + 9
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5.2. Cuadrado de una diferencia
“El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del
primer término menos el doble del primer término por el
segundo término más el cuadrado del segundo término”.
(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2
Ejemplo:
(3x - 5y)2 =
= (3x)2 - 2·3x·5y + (5y)2 =32·x2 - 30xy + 52·y2 = 9x2 - 30xy + 25y2
Es necesario aclarar que, en este caso, el primer
término es 3x y el segundo término es 5y. También hay que
tener en cuenta que al final el único término que aparece
restando (o con signo menos) es el del “medio”. Al igual que
en el caso anterior si hacemos la multiplicación, nos va a dar
el mismo resultado.
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5.3. Suma por diferencia
“Para calcular el producto de la suma de
una expresión algebraica por su diferencia se halla
el cuadrado del primer término menos el
cuadrado del segundo término”.
(a + b) · (a - b) = a2 - b2
Ejemplo:
(3a2 + 5b3) · (3a2 - 5b3) = (3a2)2 - (5b3)2 = ..a... - ..b...
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Ejercicio 12
a)
(2y + 6)2 =
b)
(3a + 4b)2 =
c)
(x2 + 7)2 =
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Ejercicio 13
a)
(x - 6)2 =
b)
(3x - 5)2 =
c)
(4a - 3b)2 =
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Ejercicio 14
a)
(4x + 9)·(4x - 9)=
b)
(2y - 3z2)·(2y + 3z2)=
c)
(7m + 3n)·(7m - 3n)=
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Descomposición factorial de un
polinomio
Al igual que un número se puede descomponer en
factores primos, un polinomio, en algunos casos, se
puede descomponer en un producto de
polinomios (y/o monomios) más sencillos.
Normalmente, aplicaremos el procedimiento de
sacar factor común y usaremos las expresiones
algebraicas notables.
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Ejemplo 1:
Haz la descomposición factorial de x2 + 4x + 4.
Para descomponer ese polinomio, nos fijamos que si ponemos
en lugar de 4, se parece al cuadrado de una suma:
x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22
Si el término central lo podemos poner como el doble del primero por el
segundo, ya lo tenemos:
x2 + 4x + 4 = x2 + 4x + 22 = x2 + 2·2·x + 22 = (x + 2)2
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Ejemplo 2:
Realiza la descomposición factorial de x2 - 16.
En este caso, al tener dos términos únicamente, nos recuerda a
una diferencia de cuadrados, siempre y cuando el segundo término
pueda ponerse en forma de cuadrado, cosa que en este caso es
bastante sencilla. Observa:
x2 - 16 = x2 - 42
Ahora lo transformamos en suma por diferencia:
x2 - 16 = x2 - 42 = (x + 2)·(x - 2)