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CAPÍTULO
Tópicos de
4
Geometría
Geometría, palabra que proviene del griego, geo: tierra; metrein: medir, es una de las ramas
mas antiguas de las ciencias, que tal vez ha tenido y tenga mayor incidencia en la vida
cotidiana. Su origen estuvo ligada a la resolución de problemas concretos, tales como la
medida de extensiones de terrenos, la construcción de viviendas, puentes , monumentos, etc..
Para comenzar, vamos a recordar, en este capítulo, algunos conceptos básicos. Entre ellos los
referentes al triángulo, el polígono más simple, con muchas propiedades sorprendentes,
también semejanza y sus múltiples aplicaciones a la resolución de problemas.
4 Ángulos
4.1
Medida de ángulo: sistema sexagesimal
Para medir la amplitud de un ángulo podemos utilizar el sistema sexagesimal.
360º
180º
90º
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo completo
R
Recordemos que un ángulo recto mide 900 , un ángulo llano 1800 y un ángulo completo 360 .
El grado es la unidad de medida, a esta unidad se la llama grado sexagesimal porque se divide
en 60 unidades de orden inferior. Los submúltiplos son:
1
R
de grado, es decir, 1 = 60´
x minuto Æ 1´ =
60
1
de minuto, es decir, 1´ = 60´´
x segundo Æ 1´´=
60
Ejemplo 1: Expresar en segundos 35º 54' 18"
Solución:
1º
60'
3600" Sabemos que:
1º ________ 3600"
35º _______ x
35 x 3600
126000"
1' ________ 60"
54' ______ x
54 x 60
3240"
En consecuencia 35º 54'18"
126000" 3240" 18"
129258"
87
Ejemplo 2: Expresar a grados, minutos y segundos: 36420"
Solución
Sabemos que: 60"
1' , luego primero debemos devidir por 60 y obtenemos 607' y sobran 8"
36428”
0428
8”
Al dividir nuevamente por 60 , ya que 60'
Por lo tanto 36428"
10º 7' 8"
60
607’
1º obtenemos 10º y sobran 7'
607’
007
7’
60
10º
EJERCICIOS
1.- Expresar en minutos los ángulos: a) 71º 47' ,
b) 26º15"
2.- Expresar a grados, minutos y segundos los ángulos: a) 9123” b) 200.35’
4.2
BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que
divide a éste en dos partes iguales, es decir,
es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados del ángulo.
En la figura, la semirrecta b es la bisectriz , sus
puntos equidistan de las semirrectas j y k.
Por ejemplo: El punto P pertenece a la
bisectriz ya que, PA PB
4.3
ƒ
A
D
k
B
PARES DE ÁNGULOS
D
Ángulos consecutivos:
O
E
Ángulos complementarios
Dos ángulos D y E son complementarios si suman 90
y se dice que uno es complemento del otro.
Į ȕ 90 R
88
P
O
Son aquellos que sólo tienen en común
el vértice y un lado.
ƒ
b
j
R
D
E
ƒ
Ángulos suplementarios
Dos ángulos D y E son suplementarios si suman 180
y se dice que uno es el suplemento del otro.
D E =180
R
R
D
E
ƒ Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y
suplementarios.
D
E
Ejemplo 1:
a) Sea D 35º 20 c 5 cc , encontrar el ángulo E el suplementario de D .
Recordemos que la suma da 180º
DE
R
Ÿ E
180º
180º D
R
Además 180 =179 59´ 60´´, entonces
E = el suplemento
179º 59 c 60 cc
ȕ
350 20´5´´
35º 20 c 5 cc
144º 39 c 55 cc
Ejemplo 2: Sea D
43º15 c27 cc encontrar el ángulo
Recordemos que: D E
90 R
Ÿ
E
E el complemento de D .
90º D
89º 59´ 60 cc
ȕ
ƒ
43º 15 c 27 cc
E
D
46º 44 c 33 cc
Opuestos por el vértice
Son los ángulos que tienen el vértice en común y los
lados son semirrectas opuestas.
š š
š š
1 y 3 , 2 y 4 opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
š š
š š
1= 3
2=4
2
3
1
4
89
4.4
RECTAS
Como sabemos:
ƒ Una recta divide al plano en dos semiplanos.
ƒ Dos rectas de un plano se cortan en un punto, o son paralelas o coincidentes.
4.4.1 Ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por una
secante
En la figura 1a se tienen las rectas a y b paralelas y la
recta n secante, también llamada transversal, que las
corta en los puntos M y N. Quedan determinados ocho
ángulos (ver figura 1b) que reciben nombres de acuerdo
a su posición.
ƒ
n
a
M
b
N
Se llaman ángulos interiores a los que pertenecen al
semiplano respecto de la recta a que contiene al
punto N y al semiplano respecto de b que contiene al
punto M.
Fig. 1a
n
Ejemplo: Los ángulos 3,4, 5 y 6 son ángulos
internos.
ƒ
a
Se llaman ángulos exteriores o externos a los
ángulos que no son interiores.
6
7
Ejemplo : Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos.
ƒ
1
2
3
4
b
5
8
Fig. 1 b
Ángulos correspondientes
Se llaman ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una secante, a los pares de
ángulos no adyacentes ubicados en un mismo semiplano respecto de la secante y de los
cuales uno es interno y otro externo.
Ejemplo : En la figura 1b los ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una
secante son:
š
š
š
š
š
š
š
š
ƒ
Ángulos alternos externos
1 y 5 , 2 y 6; 4 y 8 ; 3 y 7 .
Se llaman ángulos alternos externos a los pares de ángulos externos no adyacentes que
pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante.
š
š
š
š
Ejemplo : En la figura 1b, son: 1 y 7 , 2 y 8
ƒ
Ángulos alternos internos
Se llaman ángulos alternos internos a los pares de ángulos internos no adyacentes que
pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante.
š
š
š
Ejemplo : En la figura 1b, son: 3 y 5 , 4 y
¾
š
6
Si dos rectas paralelas a y b, son cortadas por una secante n, entonces,
x Los ángulos correspondientes son iguales.
x Los ángulos alternos externos son iguales.
x Los ángulos alternos internos son iguales.
Queda para el lector analizar en la figura 1b los pares de ángulos iguales y justificar su
respuesta.
90
Ejemplo 1:
š
Dada la figura 2, y sabiendo que el ángulo 1 = 35 R , encontrar los otros siete ángulos
Solución
Los ángulos alternos internos y los opuestos por el vértice son iguales, por lo tanto, los ángulos
š š
š
3 , 5 y 7 , miden 35
š
R
ya que:
š
2
1 = 3 por ser opuestos por el vértice
š
š
š
š
3
1
4
3 = 5 por ser alternos internos
6
5 = 7 por ser opuestos por el vértice
7
5
8
Figura 2
š
¿Cómo encontrar la medida del ángulo 4 ?
š
š
š
š
š
š
1 y 4 son suplementarios por lo tanto 1 + 4 = 180 R , en consecuencia
š
4 = 180 R - 35 R =145 R
š
š
š
š
Como: 4 = 2 opuestos por el vértice, 2 = 6 correspondientes entre paralelas, 6 = 8
š š
š
R
opuestos por el vértice, entonces los ángulos 2 , 6 y 8 miden también 145 .Por lo cual hemos
obtenido las medidas de los siete ángulos.
4.5
TRIÁNGULOS
4.5.1 Clasificación de los triángulos
a) Los triángulos se clasifican según los lados en:
x
x
x
Equiláteros: tienen los tres lados iguales
Isósceles: tienen dos lados iguales
Escalenos: tienen sus tres lados desiguales
b) Los triángulos se clasifican según sus ángulos en:
R
x
x
x
Rectángulos: tienen un ángulo recto; es decir, 90 .
Acutángulos: tienen sus tres ángulos agudos (menores de 90 R).
R
Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso (mayor de 90 ).
4.5.2 Propiedades del triángulo
i
Propiedad fundamental:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º
i
Propiedad del ángulo exterior de un triángulo
B
El ángulo exterior de un triángulo (el
adyacente a uno de los ángulos interiores
del triángulo) es igual a la suma de los
dos ángulos no adyacentes.
E
D
A
G
J
C
91
Es decir, observando la figura, sacamos como conclusión:
D E J 180 R
G DE
4.5.3 Medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de un triángulo
B
x Mediana es un segmento que une un
vértice con el punto medio del lado opuesto.
C´
Un triángulo tiene tres medianas, que se
cortan en un punto llamado baricentro o
centroide.
A´
A
B´
C
B
x Mediatriz es la recta perpendicular a un lado
en su punto medio.
O
El punto intersección de las tres
mediatrices se llama circuncentro.
A
C
En la figura, O es el circuncentro y la distancia de este punto a los vértices son iguales, es
decir, equidista de los vértices del triángulo. A la circunferencia con centro O y que pasa por los
vértices del triángulo se le llama circunferencia circunscrita del triángulo.
x Bisectriz de un triángulo es la bisectriz
de un ángulo interior.
B
bc
r
Las bisectrices de un triángulo son tres y se
intersecan en un punto llamado incentro.
ba
A
I
bb
C
El incentro I equidista de los lados del triángulo. Sea r
el segmento perpendicular desde I a uno de los lados del
triángulo, la circunferencia con centro I y radio r es la circunferencia inscrita al triángulo.
x
Altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va, desde un vértice al lado
opuesto o a su prolongación.
G
B
hb
h
a
D
H
F
hc
A
C
Fig. 3
92
E
Las alturas de un triángulo son tres y se intersecan en un
punto llamado ortocentro.
4.5.4 Perímetro y área de un triángulo
i
El perímetro de un triángulo es la suma de los lados.
i
El área de un triángulo está dada por: A
b˜h
2
donde b indica la medida de la base y h designa la distancia o altura del vértice al lado
opuesto que se toma como base.
En la figura 3 tenemos, por ejemplo:
AB ˜ hc
El área del triángulo ABC : A
2
'
y el área del EFG : A
BC ˜ ha
2
AC ˜ hb
2
EF .GD
2
'
Queda para el lector escribir otra forma de calcular el área para el EFG .
'
Ejemplo. Sea ABC un triángulo. Siendo AB
6 m , BC
8 m , AC
7 m . Su perímetro es
21 m.
4.5.5 Igualdad o congruencia de triángulos
Dos triángulos son iguales (congruentes) cuando tienen todos sus lados y sus ángulos
respectivamente iguales.
x
Criterios de igualdad de triángulos
A continuación daremos las condiciones necesarias y suficientes para saber si dos triángulos
son iguales.
Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales:
1)
2)
3)
4)
4.6
dos lados y el ángulo comprendido;
los tres lados;
un lado y los ángulos adyacentes a él;
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Llamamos razón r entre el segmento AB y el segmento CD , al cociente entre sus medidas
dadas en la misma unidad.
r
AB
CD
2
3
A
C
B
D
Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos PQ y MN , si la razón de las
medidas de los dos primeros segmentos es igual a la de los segundos .
93
Es decir;
AB
CD
AB
CD
2
3
PQ
MN
4
6
A
P
B
C
2
3
PQ
MN
D
Q
N
M
Nota: Como puede observarse los segmentos no son iguales pero los cocientes son iguales,
en consecuencia son proporcionales.
Ejemplo
1:
Sean
30 cm ,
AB
proporcionales los segmentos AB
CD
150 cm ,
PQ
y
1m
500 cm .
MN
¿Son
y CD con respecto a los segmentos PQ y MN ?.
Solución
AB
30
3
1
1
PQ 100
y
500
5
CD 150 15 5
MN
obtenemos que los segmentos son proporcionales.
Queda para el lector hacer una figura que represente al ejemplo anterior.
Al analizar los cocientes
4.6.1 Teorema de Thales
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas en un plano, los segmentos
determinados en una de éstas son proporcionales a los correspondientes de la otra, es decir,
(ver figura 4)
A
m // p // q , entonces
AB
A' B'
BC
B' C'
;
B
AC
A' C'
BC
B' C'
m
A´
B´
p
C´
C
t1
q
t2
Fig. 4
Recíprocamente:
Si los segmentos AB y BC , por ejemplo, son proporcionales a A´B´ y B´C´ ,
entonces las rectas m, p, q son paralelas.
Ejemplo 1: Sabiendo que las rectas a, b y c son paralelas. Calcular el segmento x, usando
los valores de los otros tres segmentos que se dan en la figura.
Solución
a
Por la proporcionalidad tenemos
b
2cm
x
2 u 1,8
1
En consecuencia: x
3,6 cm
2
1
94
x
, luego
1,8
3,6
1cm
x
1.8cm
Corolario 1 del teorema de Thales
Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados (o su
prolongación) segmentos proporcionales.
En las figuras tenemos que AC // MN ,
AB
CB
BM BN
ó
entonces
BM BN
MA NC
y otras ...
C
N
C
N
B
M
A
M
A
B
Ejemplo 2: Sean m, p, q rectas paralelas, como en la figura 4. Al medir, se ha comprobado
que AB 2 cm , BC 1.5 cm y B' C' 1.8 cm . Calcular A' B' .
Solución
Como las rectas son paralelas, los segmentos son proporcionales.
Por lo tanto
AB
BC
A' B'
2
y en consecuencia
1 .5
B' C'
2 u 1 .8
1.5
A' B'
o A' B'
1 .8
2.4 cm
Corolario 2 del teorema de Thales
Varias rectas concurrentes en un punto, determinan sobre dos rectas paralelas
cualesquiera, segmentos homólogos proporcionales, es decir:
r1 , r 2 , r3 y r 4 concurrentes en 0 y m1 // m 2 Ÿ
AB
BC
CD
A' B'
B' C'
C' D'
O
A
B
C
m1
D
m2
A´
r1
B´
r2
D´
C´
r3
r4
Recíprocamente. Cuando varias rectas determinan sobre dos rectas paralelas segmentos
homólogos proporcionales estas rectas se cortan en un mismo punto.
m1 // m 2 y
AB
A' B'
BC
B' C'
CD ½
¾ Ÿ r1 , r 2 , r3 y r 4 se cortan en el mismo punto.
C' D' ¿
Ejemplo 3: Dividir en cinco partes iguales a un segmento de 9 cm.
Solución
Sea AB 9 cm y se lo quiere dividir en 5 partes Iguales.
95
Para realizarlo se marca una recta r paralela al segmento AB , en la cual con una medida
arbitraria pero fija se determinan los puntos A’, N, P, Q, R y B’, tal que,
A' N NP PQ QR RB'
O
r
A´
N
P
P´
N´
A
Q
R
B´
R´
Q´
B
Se trazan las rectas que unen A con A’ y B con B’ y se cortan en el punto O. Desde el punto O
se trazan las rectas que pasan por N, P, Q, R, éstas cortan al segmento AB en cuatro puntos
que los designamos como N’, P’, Q’, y R’, respectivamente. Por el corolario 2 del teorema de
Thales tenemos que: AN' N' P' P' Q' Q' R' R' B , y queda el segmento dividido en cinco
partes iguales.
4.7
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos respectivamente iguales y los
lados homólogos (aquellos que se oponen a ángulos iguales) proporcionales, es decir, (ver
figura):
­
°D D´ , E E´ , J
'
'
°
ABC ~ A´ B´C´ œ ®
°a
b
c
°
¯ a´ b´ c´
J´
A
D
A´
c
D´
b
c´
E
a
J
B
E´
C
b´
a´
B´
J´
C´
Nota: Designaremos, por comodidad, a los lados de un triángulo con la misma letra que le
asignamos al vértice opuesto pero con letra minúscula.
De acuerdo a la definición de igualdad de triángulos, tenemos:
Dos triángulos iguales son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1.
Ejemplo 1:
Los lados
de
dos
triángulos
ABC
a´ 6 , b´ 4.5 , c´ 6.75 , respectivamente.
96
y
A´B´C´
miden: a
4, b
3, c
4 .5
y