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Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 1. Líneas y ángulos Partimos de la existencia de infinitos puntos cuyo conjunto llamamos ESPACIO. Los puntos del espacio se consideran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados PLANOS. Los puntos del plano se consideran equipados en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamado RECTAS. Vamos a considerar varios enunciados que relacionan puntos, rectas y planos apoyándonos en una figura geométrica. 1. Dos planos que se cortan determinan una recta (r). 2. Dos rectas que se cortan determinan un punto (p). 3. Dos puntos determinan una recta (AB). 1 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 4. Tres puntos no situados en una recta determinan un plano (ABC). 5. Dos rectas que se cortan determinan un plano (rs). Aunque a la hora de representar figuras geométricas como planos y rectas, lo hagamos con unos ciertos límites, hay que tener en cuenta su carácter de infinitud. Una recta divide al plano que lo contiene en dos partes llamadas SEMIPLANOS. Una SEMIRRECTA es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. Por un punto pasan infinitas rectas. Por dos puntos pasa una sola recta. Rectas paralelas: Son las que estando en el mismo plano, no son secantes. Rectas secantes: Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección. 2 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Rectas coincidentes: Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen. Rectas perpendiculares: Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales. 1. Ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. El punto 0 (origen de las semirrectas) se llama vértice. Las rectas a y b son los lados del ángulo. Las semirrectas a y b determinan en el plano dos ángulos: uno cóncavo y otro convexo. Es decir, 3 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas 1.1. GEOMETRÍA Tipos de ángulos • Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen el vértice y un lado común. • Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano. • Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales. • ¡¡¡¡¡OTROS DE GRAN IMPORTANCIA!!!!!! Y por lo tanto que debemos saber y distinguir perfectamente: 4 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90° Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180° Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º Mayor de 360° 1.2. • GEOMETRÍA Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90°. 5 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. 1.3. Sistema sexagesimal. sexagesimal. Para medir la amplitud de ángulos con mayor precisión se utiliza el sistema sexagesimal. Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y obtenemos la siguiente equivalencia: 1 grado = 60 minutos = 3 600 segundos. Utilizando este sistema de medida diremos, por ejemplo, que la amplitud de un ángulo es 25 grados, 1 minutos y 7 segundos, y lo escribiremos así: 25º 31' 7'' El instrumento para medir un sexagesimales se denomina transportador: ángulo en grados y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0. 6 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 2. Figuras planas 2.1. Circunferencia Circunferencia: es la curva plana en la que cada uno de sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Diámetro: es cualquier segmento que pasa por el centro y cuyos segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Radio: es el segmento que va desde el centro a un punto cualquiera de la circunferencia. Círculo: es circunferencia. el conjunto de los puntos interiores a una CÍRCULO CIRCUNFERENCIA 2.2. Longitud de la circunferencia: La longitud de la circunferencia es directamente proporcional a su diámetro, siendo el factor de proporcionalidad el número: L= π x d = π x 2 x r = 2π r Donde π tiene como valor 3,14159265…. 7 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 3. Polígonos Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. 3.1. Elementos de un polígono • Lado s: So n lo s segmento s que lo limitan. • Vértices : So n lo s punto s do nde co ncurre n do s lado s. • Áng ulo s interi ore s de un políg on o: So n lo s determinados po r do s lado s co nsecutivo s. • Diago nal: So n lo s seg mento s que determinan do s vértices no co ns ecutivo s 3.2. • Según sus lados Triángulos Tienen 3 lados. • Cuadriláteros Tienen 4 lados. • Pentágonos Tienen 5 lados. 8 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Hexágonos Tienen 6 lados. • Heptágonos Tienen 7 lados. • Octágonos Tienen 8 lados. • Eneágono Tiene los 9 lados. • Decágono Tiene 10 lados. • Endecágono Tiene 11 lados. 9 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Dodecágono Tiene 12 lados. • Tridecágono Tienen 13 lados. • Tetradecágono Tiene 14 lados. • Pentadecágono Tiene 15 lados. • Hexadecágono Tiene 16 lados. • Heptadecágono Tiene 17 lados. 10 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Octadecágono Tiene 18 lados. • Eneadecágono Tienen 19 lados. • Icoságono Tiene 20 lados. 3.3. • Tipos de polígonos Polígonos regulares: Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y su s lados iguales. -Elementos de un polígono regular: Centro: Punt o interior que equidista de cada vértice Radio: Es el segm ento qu e va d el centro a cada vértice. Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado. -Clasificación de polígonos regulares: 11 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Triángulo equilátero Tiene los 3 lados y ángulos iguales. • Cuadrado Tiene 4 lados y ángulos iguales. • Pentágono regular Tiene 5 lados y ángulos iguales. • Hexágono regular Tiene 6 lados y ángulos iguales. • Heptágono regular Tienen 7 lados y ángulos iguales. • Octágono regular Tiene 8 lados y ángulos iguales. 12 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Eneágono regular Tiene los 9 lados y ángulos iguales. • Decágono regular Tiene 10 lados y ángulos iguales. • Endecágono regular Tiene 11 lados y ángulos iguales. • Dodecágono regular Tiene 12 lados y ángulos iguales. • Tridecágono regular Tienen 13 lados y ángulos iguales. • Tetradecágono regular Tiene 14 lados y ángulos iguales. 13 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Pentadecágono regular Tiene 15 lados y ángulos iguales. • Hexadecágono regular Tiene 16 lados y ángulos iguales. • Heptadecágono regular Tiene 17 lados y ángulos iguales. • Octadecágono regular Tiene 18 lados y ángulos iguales. • Eneadecágono regular Tienen 19 lados y ángulos iguales. • Icoságono regular Tiene 20 lados y ángulos iguales. 14 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 4. Triángulos Es una superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. 4.1. Características: • Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas. • Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo. • Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del triángulo. • En todo triángulo los ángulos internos suman 180º. • En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia. Altura de un Triángulo: La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. 15 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Se llama base del triángulo al lado sobre el que se apoya. 4.2. • Clasificación según sus lados: Triángulo equilátero Tres lados iguales. • Triángulo isósceles Dos lados iguales. • Triángulo escaleno Tres lados desiguales -Según sus ángulos: • Triángulo acutángulo Tres ángulos agudos • Triángulo rectángulo Un á ngulo recto . El lado mayo r es la hi po tenusa. Lo s lado s me no res so n lo s cateto s. 16 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Triángulo obtusángulo Un á ngulo o btuso . El que más nos va a importar será el triángulo rectángulo. Se caracteriza por tener un ángulo recto, es decir, un ángulo que mide 90º. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro hipotenusa. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura relativa a dicha base. 5.1. Altura trazadas Alturas de un triángulo es desde cada un una de vértice las rectas al lado perpendiculares opuesto (o su prolongación). 17 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Ortoce ntr o: E s el pu nto de co rte de las tres alturas. Mediana s de u n triá ng ulo: Mediana es cad a u na de las rectas que une el p unt o medio de un lado co n el vértice o puesto . Baricent ro : Es el p un to de co rte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en do s segmento s, el segmento que une el baricentro co n el vértice mide el do ble que el segmento que une baricentro o puesto : co n el punto medio del lado BG = 2GA Mediatrice s de un t ri áng ulo: Mediatriz es c ada u na de las rectas perpendiculares trazad as a un lado po r su pu nto medio . Circu ncen tr o: Es el punto de co rte de las tres mediatrices. Es el centro de una circ un ferencia circuns crita al triángul o . Bisectrice s de u n tri áng ulo: Bisectriz es c ada u na de las rectas que divide a u n á ngulo en do s áng ulo s iguales. Incent ro : Es el punto d e cort e d e las tres biset rices. Es el centro de una circun ferencia in scrita en el triángulo . 18 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 5. Cuadrilátero Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. 5.1. Clasificación de cuadriláteros Paralelogramos Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: • Cuadrado Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos. • Rectángulo Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos. • Rombo Tiene los cuatro lados iguales. 19 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Romboide Tiene lados iguales dos a dos. Trapecios Cuadriláteros qu e tienen d os lados paralelos, llamados base mayor y base m enor. • Trapecio rectángulo Tiene u n á ngulo recto . • Trapecio isósceles Tiene do s lado s no par alelo s iguales. • Trapecio escaleno No tiene ningún lado igual ni ángulo recto . 20 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas • GEOMETRÍA Trapezoides Cuadrilátero s que no tiene ningún lado igual ni paralelo . 6. Áreas ¡¡¡Son las más importantes!!! 21 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA 7. Áreas y Volúmenes De interés general Área y volumen del tetraedro Área y volumen del octaedro Área y volumen del icosaedro Área y volumen del dodecaedro Área y volumen del cubo 22 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Área y volumen del ortoedro Área y volumen del prisma Área y volumen de la pirámide 23 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Área y volumen del tronco de pirámide Área y volumen del cilindro Área y volumen del cono 24 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Área y volumen del tronco de cono Área y volumen de la esfera 25 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Boletín de Ejercicios 1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, d e una habitación que tiene 5 m d e largo, 40 dm de anch o y 2500 mm d e alto. 2. Det ermina el área total de un t et raed ro, un octaed ro y un icosaedro d e 5 cm d e arista. 3. Calcula la cantidad de hojalata que se n ecesitará para hacer 10 botes d e forma cilíndrica de 10 cm d e diámetro y 20 cm de altura. 26 Zarela Losada Curso de Competencias: Matemáticas GEOMETRÍA Soluciones del Boletín de Ejercicios 1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, d e una habitación que tiene 5 m d e largo, 40 dm de anch o y 2500 mm d e alto. 2. Det ermina el área total de un t et raed ro, un octaed ro y un icosaedro d e 5 cm d e arista. 3. Calcula la cantidad de hojalata que se n ecesitará para hacer 10 botes d e forma cilíndrica de 10 cm d e diámetro y 20 cm de altura. 27 Zarela Losada