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13/09/12 eXe AVISO: Esta página ha sido generada para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces externos a otras páginas no serán funcionales. Tema 2: Razones y relaciones trigonométricas Ya conoces las razones trigonométricas de los ángulos agudos. Podríamos preguntarnos si éstos serían suficientes para trabajar con los problemas de la vida real, pero si pensamos que en ocasiones tenemos que tratar con triángulos cualesquiera, no necesariamente rectángulos ni con todos sus ángulos agudos, la respuesta es clara, tenemos que ampliar la Trigonometría para cubrir estos casos citados (y muchos otros). La Trigonometría, en sus inicios, se desarrolló fundamentalmente para aplicaciones astronómicas o geodésicas y se cree, por referencias, que ya se utilizaban tablas de razones trigonométricas antes de que lo hicieran los griegos, aunque las primeras que nos han llegado son las de Ptolomeo (construidas mejorando unas anteriores de Hiparco). En aquella época no se utilizaban las razones seno, coseno y tangente, sino que se consideraban las cuerdas de la circunferencia, pero son totalmente equivalentes a las ya citadas. La Trigonometría mide los triángulos y, a través de ellos, permite medir distancias cualesquiera, áreas o volúmenes. Aunque se utilizan casi constantemente las razones y relaciones trigonométricas, también en algunos casos se puede resolver un problema trigonométrico aguzando el ingenio y echando mano sencillamente al teorema de Pitágoras o a la semejanza de triángulos, como hicieron en muchos casos los antiguos griegos. De todas formas, en general, en muchos casos las razones trigonométricas se vuelven prácticamente indispensables y, sobre todo, muy prácticas. Prater de Viena W ik im e dia C om m ons https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 1/20 13/09/12 eXe 1. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se utiliza la circunferencia goniométrica (literalmente: "para medir ángulos") que es la centrada en el origen de coordenadas y radio unidad. Posteriormente veremos que también es muy útil para determinar relaciones entre razones trigonométricas o para resolver ecuaciones. A cada punto de la circunferencia le asociaremos un ángulo α comprendido entre 0º y 360º, que será el determinado por los segmentos OA y OP, siendo A(1,0) el punto intersección de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas, y P(x,y) el punto considerado. Llamaremos P' al punto proyección de P sobre el eje de abscisas, luego sus coordenadas serán (x,0). Recíprocamente, dado un ángulo α construiremos el punto P considerando el radio OP cuyo ángulo con OA sea el ángulo dado. Por construcción, el triángulo OPP' es rectángulo en P', por lo que podremos calcular las razones trigonométricas de α: Please install Java 1.4 (or later) to use this page. De esta forma, las razones trigonométricas están orientadas, es decir, toman valores positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo. Se llama I cuadrante al de los ángulos comprendidos entre 0º y 90º, II al de los de 90º y 180º, III a 180º-270º, y IV al 270º-360º. En estos cuadrantes, las razones trigonométricas tienen los signos: I II III sen + + cos + - tan + - + IV + - Aunque estamos más acostumbrados a trabajar con grados que con radianes (repasa el tema anterior si fuera necesario), las razones trigonométricas suelen utilizarse indistintamente en grados o en radianes, por lo que debes practicar con los dos sistemas para tener la suficiente fluidez. Normalmente, basta con tener unas cuantas referencias, como: los demás se obtienen a partir de éstos: demás. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 , y así con los 2/20 13/09/12 eXe Para los ángulos mayores de 360º el procedimiento es el mismo, sólo que al completar una vuelta seguimos girando hasta llegar al ángulo total. No se sabe cuál fue la razón ni su origen, pero el hecho es que, desde siempre, se considera como sentido positivo de los ángulos el contrario al de las agujas del reloj, y negativo el de éstas. Como el punto de la circunferencia es el mismo para dos ángulos que se diferencian en un número completo de vueltas de circunferencia (o sea, de 360º, o π radianes), las funciones trigonométricas son cíclicas, es decir, se van repitiendo continuamente. Al ángulo mínimo que hay que sumar para que se repita el ciclo se llama periodo. El seno y el coseno tienen un periodo de 360º, (o 2π radianes), pero la tangente se repite cada 180º (utiliza el applet anterior para comprobarlo), así: Es importante que te acostumbres a expresar los ángulos de las dos maneras: en grados sexagesimales y en radianes, y que cambies de un sistema a otro con gran fluidez. Sea 1. 2. 3. 4. , entonces pertenece: Al II cuadrante. Al III cuadrante. Al IV cuadrante. No está determinado, pueden darse varios casos. Si (a) (b) , entonces: . . https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 3/20 13/09/12 eXe (c) (d) Ninguna de las anteriores. La utilización del sistema sexagesimal de los Babilonios se debe, seguramente, a que es un sistema que permite manejar "fácilmente" fracciones que otros sistemas no permiten (recordemos el 0 no apareció hasta el siglo V en la India, y que las cifras "arábigas" se introdujeron en el mundo occidental en el siglo XIII, pensemos también en cómo se podría realizar una división con el sistema de numeración romano). Y también a que el año tiene unos 360 días (múltiplo de 60), mucho más fácil de manejar que 365, y que la fase lunar es de unos 30 días. Los nombres de grado, minuto y segundo se establecieron como resultado de la traducción de términos antiguos que fueron perdiendo su significado, por lo que se tuvieron que buscar palabras parecidas en el idioma del momento (griego, árabe o latín fundamentalmente) para transcribirlas. A la sexagésima parte de un grado, los griegos la llamaban la "primera parte", y a su sexagésima parte "la segunda parte". Al pasar por el latín, estos términos se transformaron en pars minuta prima y pars minuta secunda, derivándose éstos en nuestros minuto y segundo. Posteriormente hubo varios intentos de mejorar y racionalizar las escalas de las medidas de los grados, sin que triunfaran. En la actualidad son los grados sexagesimales y los radianes los que se utilizan casi exclusivamente, las calculadoras y los ordenadores usan los grados pero con un formato decimal: 17,5º en lugar de 17º 30'. En 1871 James Thompson, hermano del famoso físico Lord Kelvin, inventó la palabra radián. Tanto en las matemáticas como en las demás ciencias se reconoce la importancia de la utilización de los radianes en función de la simplicidad de las fórmulas (la longitud de un arco de ángulo α es r·α, mientras que en grados sería , y así con muchas más) y también que para valores pequeños de un ángulo la función seno toma valores muy aproximados al del ángulo en radianes: 1º es 0,0174533 radianes, y sen 1º=0,0174524. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 4/20 13/09/12 eXe R e loj de l Ayuntam ie nto de Ulm W ik im e dia C om m ons 2. Reducción de ángulos al primer cuadrante Ya hemos visto que podemos calcular las razones trigonométricas de todos los ángulos (positivos y negativos) obteniendo su equivalente en la primera vuelta de circunferencia (por ejemplo: 390º=360º+30º). Vamos a ver ahora, aprovechando la simetría de la circunferencia, que es suficiente con hallar las razones de los ángulos comprendidos entre 0º y 45º para obtener fácilmente todas las demás. Para facilitarte la comprensión de lo que se dice, te presentamos animaciones Java con las que, moviendo el punto P, podrás ver cuáles son los triángulos que se forman. Una vez hayas comprendido cuáles son los triángulos a considerar, es conveniente que memorices un esquema en el que el ángulo α del primer cuadrante sea de unos 30º aproximadamente, en el que las relaciones trigonométricas aparecen de forma inmediata. Algunos alumnos tienden a memorizar las relaciones, pero si te familiarizas con estos esquemas verás que es mucho más sencillo, rápido y efectivo visualizar mentalmente uno de ellos para deducir de forma automática las relaciones correspondientes. Es un ejercicio que te recomendamos practiques de cuándo en cuándo. Las fórmulas de reducción aparecen en multitud de problemas diversos y en muchas simplificaciones y sustituciones (en particular, las fórmulas trigonométricas se utilizan con cierta https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 5/20 13/09/12 eXe frecuencia en el cálculo de derivadas e integrales). Además, también permiten determinar el valor de una razón trigonométrica a partir de las comprendidas entre 0º y 45º. Este hecho hace posible utilizar tablas trigonométricas con "sólo" unos cuantos ángulos, con lo que el esfuerzo requerido para su construcción se puede dedicar aobtener una mayor precisión. Al menos desde la época babilónica se intentaron elaborar tablas con la máxima precisión que se podía conseguir en su tiempo. Sin duda, fueron varios los intentos de mejorar las tablas, pero se debe a Ptolomeo (85 a 165 d.C.) la realización de unas tablas "de cuerdas" muy exactas, en la que calculaba los valores de las cuerdas de una circunferencia de radio 60 correspondientes a un ángulo central que iba de 0º a 180º en intervalos de medio grado. Como ejemplo de la exactitud de las mismas, para un ángulo de 7º daba el valor de 7, 19, 33 (en sistema sexagesimal), o sea , cuando la verdadera longitud de la cuerda, con cinco decimales exactos, es de . Posteriormente, a finales del siglo XV, dos de los mejores matemáticos alemanes (Regiomontanus y Rhaeticus) dedicaron 12 años de intensos cálculos para elaborar unas tablas trigonométricas con una precisión de 10 cifras decimales para los ángulos en intervalos de 10 en 10 segundos. Hoy en día, con la precisión y comodidad de uso de las calculadoras y ordenadores, las tablas trigonométricas son más una curiosidad que un instrumento de cálculo. Pero sí que es muy conveniente que conozcas las relaciones entre razones trigonométricas, pues éstas te servirán para simplificar expresiones, resolver ecuaciones, efectuar cambios de variables, etc, con más frecuencia de la que te imaginas. 2.1 Del II al I cuadrante En este primer apartado calcularemos las razones del ángulo AOP comprendido entre y en función de un ángulo del primer cuadrante. Sean Q el simétrico de P respecto del eje de ordenadas, y P', Q' sus proyecciones sobre el eje de abscisas. Los triángulos OPP' y OQQ' son rectángulos, tienen la misma hipotenusa (r=1) y el ángulo Q'OQ es igual al P'OP, luego los catetos serán iguales, así podemos determinar fácilmente la relación entre las razones trigonométricas de los respectivos ángulos, que son suplementarios. Moviendo el punto P podrás ver cómo cambian los ángulos y sus razones. Prueba con unos cuantos y observa en los triángulos OPP' y OQQ' cuáles son los catetos que se corresponden (están pintados del mismo color). Del mismo modo, los triángulos OAT y https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 6/20 13/09/12 eXe OAT' nos dan las tangentes. Finalmente, deja la gráfica con un ángulo α de unos 30º (PP'=0'5), y compara los senos, cosenos, y tangentes obtenidos. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Al ser α y β suplementarios, los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y con la misma hipotenusa (r=1), luego los catetos son iguales: PP'=QQ' y orientados positivamente, así . Por otra parte, también OP'=OQ', pero, en este caso, la orientación es inversa, el primero es negativo y el segundo positivo, de ahí que . En cuanto a la tangente, el triángulo OAT es semejante al OAT' y tienen un cateto común, por lo que AT=AT' pero en sentido contrario, uno es negativo y el otro positivo, luego: Debes saber deducir rápidamente las relaciones que acabamos de ver: Practica, de cuándo en cuándo, no a "recitar" las relaciones sino a imaginarte la figura y a deducir automáticamente las mismas. Es más fácil de lo que ahora puedas pensar. Notas: En alguna ocasión, nos podemos encontrar con algún ángulo como , que también es del II cuadrante, pero no está expresado en la forma "canónica" que acabamos de ver. En este caso, lo mejor es hacernos (o imaginarnos) un gráfico con un ángulo de unos 30º y deducir fácil y rápidamente cuál es la relación entre las razones trigonométricas. De la gráfica adjunta se deduce inmediatamente: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 7/20 13/09/12 eXe Debemos prestar especial atención a los signos de las razones, es decir, a la orientación de los segmentos (hacia la izquierda o hacia abajo, negativos, en otro caso, positivos). Si =2660º, entonces: (a) (b) (c) (d) Si α=18º, entonces: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. 2.2 Del III al I cuadrante Please install Java 1.4 (or later) to use this page. De igual manera que en el apartado anterior, mueve el punto P, familiarízate con los triángulos respectivos y compara las razones. Deja la figura con un ángulo de 30º. y se diferencian en radianes, luego los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y con la misma hipotenusa (r=1), así: PP'=-QQ' (están orientados en sentidos opuestos), por lo que . También OP'=-OQ': . En cuanto a la tangente, el punto T es común, luego: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 . 8/20 13/09/12 eXe También tienes relaciones: que saber deducir rápidamente estas Notas: También podemos ver algún ángulo como , que es del III cuadrante. La figura en la que debemos pensar es: De ésta: Si , entonces: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. 2.3 Del IV al I cuadrante Please install Java 1.4 (or later) to use this page. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 9/20 13/09/12 eXe Razonando como en y: los apartados anteriores, obtenemos: , . Como en los apartados anteriores, estas relaciones: también son importantes. Notas: Otro caso del IV cuadrante puede ser , en este caso la gráfica es: Y de aquí: Si , entonces: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. 2.4 Ángulos complementarios https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 10/20 13/09/12 eXe Please install Java 1.4 (or later) to use this page. β y α son complementarios, luego el ángulo OPP'= =QOQ' y los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y con la misma hipotenusa (r=1), así: , . En cuanto a la tangente: Si (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. 3. Relaciones y fórmulas fundamentales La Trigonometría es una herramienta que abre muchas puertas al Cálculo, por lo que es muy conveniente tener cierto dominio de la misma. Es necesario conocer algunas relaciones entre ellas que nos permitirán, a su vez, demostrar muchas más. Por el tema anterior sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos verifican unas determinadas relaciones. Éstas se cumplen también para ángulos https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 11/20 13/09/12 eXe cualesquiera, además, en el tema siguiente, verás aparecer bastantes fórmulas, no debes asustarte por su número, pues aprenderás a deducirlas a partir de unas pocas. En muchas de las identidades y relaciones deberás utilizar las Identidades Notables, repásalas ahora, debes dominarlas perfectamente. Las fórmulas fundamentales de la Trigonometría son: 1. 2. 3. Veamos la primera de ellas. Sea x un ángulo cualquiera que no es múltiplo de 90º. x determina en la circunferencia goniométrica un triángulo rectángulo OPP' cuya hipotenusa vale 1 y sus catetos son su seno y su coseno (con su signo correspondiente). Basta, pues, con aplicar el teorema de Pitágoras (al estar elevados al cuadrado el seno y el coseno, no importa si son positivos o negativos). Si x es múltiplo de 90º, el punto que determinará sobre la circunferencia será A(1,0), B(0,1), C(-1,0) o D(0,-1), y en todos ellos se cumple la relación, veámoslo en D: Para la segunda el razonamiento es parecido, utilizando la semejanza de triángulos. Sólo varía que en los ángulos 90º y 270º, la tangente no está definida. La tercera se obtiene dividiendo los dos miembros de la primera por segunda. y aplicando la Las demás identidades se deducen de una forma relativamente fácil de estas tres, como vamos a ver a continuación. Ejemplos: Demuestra las siguientes identidades: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 12/20 13/09/12 eXe 1. La demostración es casi inmediata, basta con elevar al cuadrado los dos miembros de la primera propiedad de la Trigonometría. 2. Dos fracciones son iguales si lo es el producto "en cruz" de sus términos, o sea: y de aquí: es 1=1. , o: , que 3. Las relaciones no siempre son fáciles de demostrar. Muchas veces no debemos intentar demostrarlo todo de golpe, sino por partes. En este caso podemos observar que la primera parte del numerador se parece a la 1ª fórmula fundamental, luego podemos transformarla en: de donde: , o sea: y en el denominador se opera de forma análoga. Debemos decir que lo que acabamos de hacer sería como un borrador de los intentos de demostración, que haríamos en un papel aparte. Una vez encontrado el camino debemos recomponer adecuadamente todos los detalles y presentar correctamente la demostración, tarea que te dejamos como ejercicio. 4. En algunas ocasiones es más fácil transformar la identidad en otra equivalente que sea más fácil de demostrar, en este caso se puede partir de: Multiplicando los términos del segundo miembro queda: o: y, volviendo a aplicar la fórmula fundamental, queda: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 . 13/20 13/09/12 eXe Si , , se tiene que es igual a: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. La expresión es equivalente a: (a) (b) 1 (c) (d) Ninguna de las anteriores. 4. Introducción a las ecuaciones trigonométricas En el tema 3 trabajaremos el apartado de Ecuaciones Trigonométricas, que es un poco complicado si no se entiende bien. De momento, para preparar el terreno, y también para asimilar mejor los conceptos anteriores de reducción de razones trigonométricas al I cuadrante, presentaremos algunas ecuaciones sencillas. El método de resolución, en principio, es muy simple, basta con hallar los ángulos comprendidos entre 0º y 360º que sean solución, y luego añadir todos los equivalentes, o sea, los que se diferencien con ellos un número entero de vueltas a la circunferencia, o n·360º. Esto se representará de la forma . Así, por ejemplo, la solución de la ecuación sen x = 1 es 90º, y también 360º+90º=450º, 720º+90º=810º, 1080º+90º=1170º, etc. La solución se simplifica de esta manera: 90º +n·360º, con n entero. Esto es muy fácil de entender y parece sencillo, pero el problema surge cuando hay que condensar varias soluciones en una que las reúna a todas. Comentaremos un poco más en los ejemplos siguientes, pero se tratará más a fondo en el tema siguiente. Por otra parte, y como ya hemos comentado, trabajaremos indistintamente con grados y con radianes, pero es conveniente que por tu cuenta obtengas, en cada problema, las soluciones en los dos sistemas de medida. Así en el caso anterior, la solución en radianes sería , o también, factorizando, . https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 14/20 13/09/12 eXe En primer lugar, familiarízate un poco con las animaciones moviendo el punto M y viendo cuáles son las soluciones (en general, dos, salvo los casos particulares: 0º, 90º, 180º y 270º) para los distintos valores. Después mira los ejemplos y resuelve los ejercicios de autoevaluación. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Ejemplos: 1. La solución de la ecuación: tan x =-1 es: 135º+n·360º, y 315º+n·360º. Pero estas dos soluciones se pueden resumir en: 135º+n·180º. 2. La ecuación cos x = 0'5 tiene como soluciones 60º+n·360º, y 300º+n·360º, que, como 300º=-60º, se pueden presentar conjuntamente: . 3. es equivalente a las dos ecuaciones y , por lo que las soluciones en la primera vuelta son 30º, 150º, 210º y 330º. Si añadimos n·360º a cada uno de estos valores la expresión se vuelve farragosa, por lo que se simplifica agrupándolos de dos en dos: 30º+n·180º, 150º+n·180º o, mejor todavía (aunque más difícil de determinar): . Si tienes dificultad para simplificar de esta manera tan condensada, siempre puedes dejar las soluciones de la primera vuelta de circunferencia más el añadido +n·360º en todas ellas. Si la solución de una ecuación son los ángulos 45º+k·360º y 135º +k·360º, ésta se puede expresar (en radianes) de la forma simplificada: (a) (b) (c) . . . https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 15/20 13/09/12 eXe (d) Ninguna de las anteriores. La solución de la ecuación es: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. 5. Resolución de problemas Bastantes problemas de trigonometría pueden parecer complicados, pero muchos de ellos, bien orientados y con la única ayuda de las herramientas básicas, acaban resolviéndose de forma bastante sencilla. Esta aparente contradicción reside en el hecho de que la dificultad es más bien de tipo conceptual, y que se requiere una buena comprensión de la trigonometría para poder aplicarla adecuadamente. Por ello, continuaremos la resolución de problemas iniciada en el tema anterior con problemas con un nivel de dificultad algo superior. Como siempre, intenta resolver por tu cuenta los ejercicios resueltos antes de ver la solución. 1. Se coloca un mástil para una torre de radio encima de un montículo. Desde cierta distancia se ve la parte superior de la torre bajo un ángulo de elevación de 60º, mientras que su base se ve a 30º. Demostrar que la torre tiene el doble de altura que el montículo. En los problemas en los que no nos dan ciertas distancias, debemos trabajar con incógnitas, en este caso vamos a llamar a la distancia a la base del montículo, x la altura de éste e y la altura de la torre. De los triángulos ABC y ABD se deduce: despejando de la primera ecuación: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 , sustituyendo en la segunda: 16/20 13/09/12 eXe de donde . 2. Halla el lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r. Particulariza para un triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono. Sea la circunferencia de centro O y radio r=OA1, y sean A, B los dos primeros vértices del polígono inscrito (en la figura se considera un hexágono a título de ejemplo), supondremos que A está sobre el eje de abscisas. El ángulo AOB vale . Si G es el punto medio del lado AB, el triángulo OAG es rectángulo en G, de donde: de donde . En el caso del triángulo n=3, luego: . Para los demás casos basta con sustituir n por 4, 5 y 6 respectivamente. Lo dejamos como ejercicio. Calcula el lado de un polígono regular de n lados circunscrito a una circunferencia de radio r. Particulariza para el caso de un triángulo y de un hexágono. (Repasa el ejemplo nº 2. Es importante que lo intentes por tu cuenta antes de ver la solución) La resolución es parecida a la del ejemplo 2. Para simplificar se ha elegido un pentágono en el dibujo, pero el razonamiento del caso general sería el mismo. El polígono es tangente a la circunferencia en los puntos medios de los lados. El triángulo AOM es rectángulo en M, y el ángulo en O es la mitad que el ángulo central del polígono, que mide . https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 17/20 13/09/12 eXe Se tiene , de donde: Si n=3, queda , y para n=6: . 3. En un dodecágono regular se construye un cuadrado cuyo lado es el segmento determinado por dos vértices separados por otros tres. Demostrar que las áreas del cuadrado y del octógono son iguales. Consideraremos el octógono centrado en el origen de coordenadas y con un vértice en el eje de ordenadas (como si fuera un reloj). Dado que el problema no da unidades, supondremos que la distancia desde el centro O hasta los vértices es de r. El área del dodecágono será 12 veces la del triángulo OCD, y por tanto vale, , al igual que el área del cuadrado. Los ángulos centrales y abarcan uno y dos lados respectivamente, luego: inscrito , . Y el ángulo . Así: . Por otra parte, de OME: y de AME: luego: https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 18/20 13/09/12 eXe Determina los lados del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que el ángulo C es de 30º, y la bisectriz correspondiente al otro ángulo agudo mide 8 cm. Sea BN la bisectriz citada. Como B=90º-30º=60º, se tiene que el ángulo ABN=30º, por lo que en el triángulo ABN: así Y de ABC: . , de donde . El lado b se obtiene por trigonométrica. Su valor es: Pitágoras . o por otra razón Si ABC es un triángulo rectángulo en A, su área viene dada por: (a) (b) (c) (d) Ninguna de las anteriores. https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 19/20 13/09/12 eXe La base mayor del trapecio rectángulo ABCD de la figura (el dibujo no está hecho a escala) es: (a) 60 (b) 65 (c) 70 (d) 75 Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de este tema. * Ejercicios de consolidación * Soluciones https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109623 20/20