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INSTRUMENTO A
PLAN DE TRABAJO
DEL EQUIPO DOCENTE
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE MAR DEL PLATA
AÑO:
2015
1- Datos de la asignatura
Nombre
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Código
121
Tipo (Marque con una X)
Obligatoria
X
Optativa
Nivel (Marque con una X)
Grado
X
Post-Grado
Área curricular a la que pertenece
Departamento
Carrera/s
ALGEBRA
MATEMATICA
LICENCIATURA EN CIENCIAS MATEMATICAS
Ciclo o año de ubicación en la
carrera/s
3er año
Carga horaria asignada en el Plan de Estudios:
Total
160
Semanal
10
1istribución de la carga horaria (semanal) presencial de los alumnos:
Teóricas
Prácticas
4
4
Relación docente - alumnos:
Cantidad estimada de
alumnos inscriptos
6
Teórico – prácticas(consultas)
2
Cantidad de docentes
Profesores
1
Auxiliares
1
Cantidad de comisiones
Teóricas
1
Prácticas
1
Teórico-Práçticas
1
1
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2Nº
1.
2.
Composición del equipo docente ( Ver instructivo):
Nombre y Apellido
Sonia Trepode
Yadira Valdivieso Diaz
Nº
T
1.
2.
3.
As
Adj
Título/s
Dra. en Matemática
Dra. en Matemática
Cargo
JTP A1
X
A2
Ad
Bec
E
Dedicación
P
S
X
X
X
Reg.
Carácter
Int.
Otros
X
X
Cantidad de horas semanales dedicadas a: (*)
Docencia
Investig.
Ext.
Frente a alumnos
Totales
6
6
12
12
Gest.
28
(*) la suma de las horas Totale + Investig. + Ext. + Gest. no puede superar la asignación horaria del cargo docente.
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3- Plan de trabajo del equipo docente
1.
Objetivos de la asignatura.
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•
2.
Manejar las estructuras algebraicas de grupo, anillos y módulos.
Comprender y saber utilizar los conceptos básicos y los teoremas.
Caracterizar ciertos grupos por medio de isomorfismos y teoremas de estructura.
Conocer una serie de ejemplos concretos de las distintas estructuras para familiarizarse con definiciones y teoremas, y que a su vez brinden herramientas para hallar
contraejemplos de propiedades que no se cumplen.
Incorporar el concepto de módulo sobre un anillo para iniciarse en esta teoría que engloba la teoría de grupos abelianos y tiene una amplia gama de aplicaciones en
otras áreas.
Obtener una buena formación en las estructuras básicas algebraicas como para poder continuar estudiando otros tópicos dentro del álgebra (teoría de módulos,
teoría de números, extensiones de cuerpos, teoría de Galois, álgebra homológica, etc.)
Poder aplicar las estructuras algebraicas en el estudio de otras ramas de la matemática (topología algebraica, geometría algebraica, geometría diferencial, etc.)
Enunciación de la totalidad de los contenidos a desarrollar en la asignatura.
Programa Analítico
Unidad N° 1: Grupos
Definición y Ejemplos. Subgrupos. Homomorfismos de grupos. Núcleo e Imagen. Teorema Fundamental de Homorfismos. Conjunto
Cociente. Condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto cociente sea un grupo con las operaciones inducidas. Orden
de un grupo. Teorema de Lagrange. Subgrupos normales y grupo cociente. Grupos abelianos. Grupos cíclicos y finitamente
generados. Grupos libres y presentaciones de grupos. Producto directo de grupos. Suma directa externa e interna de grupos
abelianos. Grupo de Automorfismos Interiores. Subgrupos Característicos. Grupo diédrico. Grupo de Permutaciones. Teorema de
Caley. Subgrupos de Sn. Simplicidad de An para n distinto de 4.
Unidad N° 2: Teoremas de Sylow-p-Grupos
Grupos operando sobre un conjunto. Orbitas. Grupo de Isométrias. Ecuación de Clases de un grupo. Teorema de Cauchy. Teoremas de
Sylow. P-grupos. El grupo Zp∞. Grupos finitos de orden p y 2p, p primo.
Unidad N° 3: Anillos y Cuerpos
Definción. Propiedades. Homorfismo de anillos: Núcleo e Imagen. Anillos Conmutativos, con identidad, sin divisores de cero; de
división. Dominios de integridad. Cuerpos. Subanillos e Ideales. Anillo cociente. Anillo de polinomios y anillo de Series
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Formales. Especialización. Características de un anillo y de un cuerpo. Ideales Principales. Dominio de Ideales Principales.
Anillos Noetherianos. Anillos de División e Ideales. Ideales maximales. Radical de Jacobson de un anillo. Anillos locales.
Unidad N 4: Anillos Conmutativos
Ideales primos. Inmersión de un anillo de integridad en un cuerpo. Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad. Anillo de
fracciones de un anillo conmutativo por un subconjunto
multiplicativo. Localización de un anillo por un ideal primo.
Divisibilidad. Elementos primos e irreducibles en un anillo. Dominios de Factorización única y dominio de ideales principales.
Dominios euclideanos. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Unidad N° 5: Módulos.
Módulos: definición, módulos a izquierda y a derecha. Ejemplos. Grupos abelianos vistos como módulos sobre los enteros.
Submódulos. Homomorfismo de módulos. Teorema del homomorfismo. Suma y producto directo de módulos. Módulos libres. Grupos
abelianos libres. Módulos sobre dominios de integridad. Módulos de torsión.
Unidad N° 6: Módulos Finitamente Generados sobre dominios de ideales principales
Módulos finitamente generados. Teorema de Estructura para módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales:
Teorema de los divisores elementales y Teorema de los factores invariantes. Aplicaciones de los teoremas de estructura:
1) Aplicaciones a los grupos abelianos finitamente generados.
2) Aplicaciones al estudio de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita. Formas canónicas asociada a una
transformación lineal: Forma racional y Forma normal de Jordan.
3.
Bibliografía (básica y complementaria).
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ALGEBRA MODERNA. I. N. Herstein. Ed. Trillas. (1973).
THEORY AND PROBLEMS OF GROUPS THEORY. Baumshang and Chandler. Schaum. (1968).
THE THEORY OF GROUPS. AN INTRODUCTION. Rotman J. Allyn and Bacon.
ALGEBRA. Hungerford. Springer Verlag. (1974).
ALGEBRA: UN CURSO DE INTRODUCC~AO. Arnaldo Garcia-Yves Lequain. Projeto Euclides. IMPA.
NOTAS DE ALGEBRA. Enzo Gentile. Fasc. 22. UBA
ESTRUCTURA DE ALGEBRAICAS I, II III. Monografías de la OEA.
ANEIS E MODULOS. César Polcino Milies. IME. USP.
ANILLOS Y SUS CATEGORIAS DE REPRESENTACIONES, M. Farinati, A. Solotar y M. Suárez Alvarez, Cuadernos de Matemática y
Mecánica, Serie Cursos y Seminarios N 10, CIMEC-IMAL, 2008.
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4.
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Descripción de Actividades de aprendizaje.
- Exposición de resultados teóricos, discutiendo sus implicaciones y muchas veces las circunstancias históricas
en que fueron desarrollados.
5.
-
Resolución de guías de trabajos prácticos en clases prácticas.
-
Manejo de bibliografía adecuada.
-
Presentación de seminarios por parte de los alumnos de temas no desarrollados en las clases teóricas.
Cronograma de contenidos, actividades y evaluaciones.
Se dictan 10 hs de clase por semana, 4 teóricas (profesor), 4 prácticas (auxiliar) y 2 de consultas teóricoprácticas en un total de 16 semanas (un cuatrimestre).
Se tomarán dos o tres parciales (dependiendo de la comprensión de los alumnos), cada uno con su respectivo
recuperatorio.
Para aprobar la asignatura se rendirá un examen final en las fechas establecidas por el calendario lectivo.
6.
Procesos de intervención pedagógica.
En las clases teóricas la actividad está organizada por el docente, mediante la misma se introducen y desarrollan
los distintos temas que abarcan la asignatura. Bajo esta estructura principal se busca, permanentemente, promover
el planteo de dudas y las discusiones sobre diferentes alternativas o puntos de vista que puedan coexistir en el
curso.
En las clases prácticas las actividades se desarrollan a partir de las guías de problemas y ejercicios propuestos.
Generalmente los alumnos trabajan en pequeños grupos o en forma individual. La docente permanentemente supervisa el
trabajo de los estudiantes, apuntando a clarificar conceptos y a atender las dudas que se le planteen. Esta forma
de trabajo hace que se generen discusiones en pequeños grupos y, cuando la situación lo amerita, discusiones
plenarias coordinadas por la docente.
7.
Evaluación
Todos los temas se expondrán en clases teóricas y se desarrollarán luego en la práctica con abundantes ejercicios
destinados a fijar, relacionar y desarrollar los conceptos adquiridos en la teoría.
La cursada se aprobará con dos (o tres) parciales, cada uno con su respectivo recuperatorio.
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En el primer parcial se evaluarán las unidades 1 y 2, esto es grupos, grupos cíclicos, subgrupos normales, grupo
cociente, grupo de permutaciones, grupos libres y presentaciones, producto directo, teoremas de Sylow y
aplicaciones.
En el segundo parcial se evaluarán las unidades 3, 4 y 5, esto es anillos, anillos conmutativos y teorema
fundamental de módulos sobre dominios de ideales principales, con su aplicaciones: Teorema de Estructura para
grupos abelianos finitos y formas canónicas asociadas a una transformación lineal.
Para aprobar la asignatura se rendirá un examen final en que se evaluará el manejo de los conceptos teóricos en
forma oral o en forma escrita y luego se tomarán ejercicios complementarios.
Se pretende que el alumno tenga una formación básica para poder estudiar otros temas dentro de todas las ramas de
la matemática donde esto sea posible.
8.
Asignación y distribución de tareas de cada uno de los integrantes del equipo docente.
Profesor: Clases teóricas
Auxiliar: Clases prácticas
Ambos docentes emplearán todas las modalidades de acción pedagógica mencionadas en 6.
9.
Justificación – (optativo)
Siendo esta materia la única de álgebra superior en la carrera de Licenciatura en Matemática, se desea presentar un
panorama suficientemente amplio de las diferentes estructuras algebraicas las cuales le darán a los alumnos la base
necesaria para estudiar otros tópicos dentro del álgebra y poder aplicarlos a las otras ramas de la matemática.
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