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Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales
son continuas y satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en todos los puntos de la
vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Sea
definida en un
entorno de
Si
●
las derivadas parciales con respecto a r y
existen
●
Las derivadas parciales son continuas en
●
Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar).
Entonces f(z) es diferenciable en
y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula
en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.
Funciones armónicas
●
Una función real
se dice que es armónica
en un dominio D, si sus derivadas parciales de
primer y segundo orden son continuas en D y si en
cada punto del dominio se satisface la ecuación de
Laplace
Funciones armónicas
Teorema
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio
D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y
v(x,y) es una función armónica.
●
Comentario: si conocemos u(x,y) podemos
construir su función “armónica conjugada” v(x,y)
utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta
forma podemos encontrar la función analítica
f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
Funciones armónicas
Algunas funciones elementales
Veamos algunas funciones analíticas que se
reducen al caso de funciones elementales del
Cálculo cuando z=x+i0
●
Función exponencial
●
Función logaritmo
●
Exponentes complejos
●
Funciones trigonométricas
●
Funciones hiperbólicas
●
●
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas
Polinomios
Algunas funciones elementales
●
Función exponencial
Esta función es muy importante, pues, entre
otras cosas, de ella se definen otras funciones.
Con
●
tenemos:
De aquí que:
●
es decir, la función es multivaluada
Algunas funciones elementales
Por ejemplo:
a)
si y sólo si
k:entero
b)
si y sólo si
Es decir que
período
es una función periódica con
Algunas funciones elementales
De modo que dividimos el plano complejo en
diferentes bandas o regiones
Algunas funciones elementales
●
Comentario: notemos que la función
tomar el valor negativo -1:
Entonces
●
puede
e
Finalmente, hemos obtenido anteriormente que
Algunas funciones elementales
●
Funciones trigonométricas
Hemos visto que
por lo que
●
De aquí se define o generaliza las funciones
seno y coseno a “ángulos complejos” como
Algunas funciones elementales
con derivadas
Algunas funciones elementales
Algunas propiedades
●
●
●
●
●
●
●
si y sólo si
●
si y sólo si
Algunas funciones elementales
Similarmente se definen las funciones
con derivadas
Algunas funciones elementales
Función logaritmo
Una motivación para introducir la función la
función logaritmo proviene de la solución de la
ecuación:
Se define la función log z con
como
O bien
donde Arg(z) es el arg(z) en el intervalo
Algunas funciones elementales
El argumento principal “salta” en
cuando z
cruza el corte ramal (branch cut/corte ramal) en
el eje real negativo
De esta forma tenemos ramas univaluadas de
la función log z
Algunas funciones elementales
Se dice que la rama de una función multivaluada f
es una función univaluada y analítica F en cierto
dominio, tal que en ese dominio F(z) es uno de los
valores de f(z).
Por ejemplo:
con
y
se le conoce como la rama principal.
El corte ramal es una curva o recta que delimita una
rama
Algunas funciones elementales
Se define el valor principal de la función log z
como
Fuera del eje real negativo, la función Log z es
analítica y se tiene que
Algunas funciones elementales
Comentario:
Notemos que
Pero
Algunas funciones elementales
En ocasiones es conveniente definir otras
ramas de la función log z como
Superficie de Riemann
Hojas de Riemann
Re(log z)
Im(log z)
Algunas funciones elementales
Comentario:
●
●
La función Arg z es armónica, excepto en el
corte ramal
La función ln |z| es armónica, excepto en el
origen
Entonces tenemos dos funciones armónicas
que satisfacen la ec. de Laplace
Algunas funciones elementales
Ejemplos en problemas físicos:
●
●
Capacitor coaxial infinito
Dos planos infinitos formando cierto ángulo en
un extremo (cuña)
Es conveniente utilizar coordenadas polares
Algunas funciones elementales
O bien,
Algunas funciones elementales
●
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas
Estas funciones también se pueden escribir en
términos de la función logaritmo.
Algunas funciones elementales
●
Seno inverso
Sea w el inverso de la función seno, i.e,
con
De aquí se puede encontrar que
Recuerde que la raíz es una función bivaluada.
Además, como log(z) es multivaluada
también lo es.
Algunas funciones elementales
Similarmente tenemos:
●
Coseno inverso
●
Tangente inversa
Algunas funciones elementales
Además, tienen como derivadas
●
●
●
Algunas funciones elementales
Las funciones hiperbólicas se definen como:
●
●
●
Algunas funciones elementales
Funciones hiperbólicas inversas:
●
●
●
Algunas funciones elementales
●
Potencias complejas o exponentes complejos
Haciendo uso de la función logaritmo podemos
definir potencias complejas.
Si
y
la función
●
Para
un número complejo, se define
por medio de la relación:
(
(
la relación anterior es cierta
) y
) sabemos que
●
Se puede definir el valor principal (V.P.) de la
función
como
V.P.
Superficie de Riemann
●
Raíz cuadrada
Raíz cuadrada
Belt
Aplicación: Circuito RLC
(a)
(b)
Aplicación: Circuito RLC
Para el circuito (a):
De la ley de Ohm
con
Aplicación: Circuito RLC
Es más conveniente/fácil utilizar un voltaje
complejo
●
Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones
lineales que relacionan al voltaje y corriente:
Aplicación: Circuito RLC
●
En resumen, si la respuesta “matemática” a un
voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la
respuesta “real/física” al voltaje Re[V(t)] será
Re[I(t)]
Aplicación: Circuito RLC
●
Para el circuito (b) en estado estacionario:
con
tenemos que
con
tenemos que
De aquí se definen las impedancias
(resistencias puramente imaginarias)
Aplicación: Circuito RLC
Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:
Tomando la parte real
tenemos finalmente
Aplicación: Circuito RLC
Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas
del “voltaje complejo” para una interpretación del
resultado:
Definiendo
y
Entonces
es decir
●
De modo que el voltaje y la corriente difieren en
amplitud (
) y están desfasados por una fase
Aplicación: circuito RLC
●
Equivalentemente, un circuito está descrito por
una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).
Por ejemplo, para un circuito RLC
Aplicación: circuito RLC
tenemos la ec. diferencial
: carga
●
Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal
La ec. diferencial se resuelve suponiendo que
y
●
Sustituyendo Q y V encontramos:
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
De aquí que la corriente I, dada por
con
viene dada por
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
o bien, introduciendo la impedancia Z:
●
Finalmente, considerando la parte real
Integración Compleja
●
●
●
●
Hemos visto que la noción de derivada vista en
cálculo diferencial (variables reales) se ve
modificada debido al caracter bidimensional del
plano complejo, e.g., una función puede
aproximarse a un límite desde un número infinito
de direcciones.
Este caracter bidimensional afecta también a la
teoría de integración.
Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo
de curvas en el plano (no únicamente sobre
segmentos del eje x)
Uno de los resultados principales que veremos es
el teorema de Cauchy
Integración compleja
●
Primero veamos el caso más simple: Integrales
de funciones de una variable real.
Supongamos que una función compleja w
depende únicamente de una variable real t:
●
Para este caso, las reglas del Cálculo Integral
se extienden a este tipo de funciones. En
particular, el teorema fundamental del cálculo.