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Taller de
Geometría
Un juego de ángulos
GUICTG001TG31-A17V1
Taller de Geometría
Tiempo estimado
Sección 1
40 minutos
Experimentando
1
Actividad
El juego del billar consiste en una mesa cuyo largo y ancho están a razón 2 : 1. La mesa tiene 6 agujeros (buchacas) como
lo indica la figura. Se usa una varilla de alrededor de 1,50 m que se llama taco y su función dentro del juego es golpear las
15 bolas numeradas que están sobre la mesa.
15
4
3
5
13
11
12
2
8
14
1
10
7
1,55 m
6
9
3,10 m
El objetivo del juego es hacer caer cada una de las bolas, en orden correlativo, golpeándolas con el taco, de tal manera que
la bola blanca golpeé a las numeradas, y estas caigan dentro de las buchacas.
1.
¿Por qué crees que el billar es un juego de ángulos? ¿En qué otra situación intervienen ángulos?
Un ángulo es la región del plano
formado por la intersección de dos
rayos.
B
O
2
Cpech
A
Un juego de ángulos
2.
Considerando todos los ángulos que se pueden formar en el juego de billar, ¿conoces alguna clasificación
para ellos? Descríbela.
•
Utilizando la clasificación anterior, identifica cada uno de los siguientes ángulos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El sistema sexagesimal divide a la circunferencia en 360 partes
iguales, cada una de ellas corresponde a un grado. La medición
de ellos es contra las manecillas del reloj.
Cpech
3
3
Taller de Geometría
2
Actividad
Un polígono es una figura plana, delimitada por una cantidad finita de lados rectos y de ángulos, tanto fuera como dentro
de él. Dependiendo de estas características, se pueden clasificar en:
Convexos
Cóncavos
1.
Escribe las principales diferencias entre estos dos tipos de polígonos.
Cóncavo
•
4
Cpech
Convexo
¿Cuál es la cantidad mínima de lados necesarios para formar un polígono? ¿Por qué?
Un juego de ángulos
• ¿Un círculo puede considerarse como un polígono? ¿Por qué?
2.
Si tomamos un polígono (triángulo) y lo utilizamos de manera sucesiva se formarán otros polígonos como
muestra la figura. De acuerdo a esta situación, ¿cuántos triángulos se necesitan para formar un polígono de
19 lados? ¿Por qué?
1
2
1
1
2
1
2
3
3
4
• ¿Cómo generalizarías la cantidad de triángulos necesarios para formar un polígono de n lados?
Cpech
5
5
Taller de Geometría
3.
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y además, observaste que el resto de
los polígonos podían construirse a través de triángulos. Utilizando este razonamiento, ¿cuál es la suma de
los ángulos interiores de estos polígonos?
A
A
A
D
A
B
C
B
B
C
C
D
B
E
C
D
•
¿Cómo puedes generalizar los cálculos para obtener la suma de los ángulos interiores en un polígono de n lados?
4.
¿Cuántas diagonales (d) desde un vértice puedes trazar en estos polígonos?
A
B
C
A
E
C
Cpech
A
D
B
C
A
B
6
E
F
D
Una diagonal es un segmento
que une a dos vértices no
consecutivos de un polígono.
F
E
B
C
D
Un juego de ángulos
¿Cuántas diagonales en total (D) puedes trazar en estos polígonos?
•
A
A
A
D
A
B
B
•
C
B
C
E
C
F
B
D
E
C
D
¿Cómo puedes generalizar los cálculos de las diagonales para un polígono de n lados?
Diagonales desde un vértice (d ):
Diagonales totales (D):
Cpech
7
7
Taller de Geometría
3
1.
Actividad
Escribe las características de los tres triángulos que están en la figura e infiere otras que se pueden obtener
a partir de ellas. Luego, asígnale el nombre correspondiente a cada uno de acuerdo a su clasificación según
sus lados.
ísticas
Caracter
8
8
Triángulo 1
8
Características
Triángulo 2
8
8
5
8
Triángulo 3
8
Cpech
11
5
Características
Un juego de ángulos
2.
Se tiene el ángulo AOB formado por los rayos AO y OB.
B
A
O
•
Si tienes que construir una línea recta que pase por O y que forme ángulos congruentes con OA y OB, ¿dónde la
trazarías? ¿Por qué?
•
¿Dónde la trazarías para el ángulo HIJ y el ángulo CDE?
J
I
C
H
E
La bisectriz de un án
gulo es un
rayo que pasa por
el vértice
dividiéndolo en dos án
gulos de
igual medida.
Para el caso particular
de los triángulos,
¿cuántas bisectrices pue
den trazarse?
D
La transversal de gravedad es un
segmento que une cada vértice con
el punto medio de su lado opuesto.
Cpech
9
9
Taller de Geometría
3.
Dibuja la altura desde C y F, respectivamente, en cada uno de los triángulos.
C
F
La altura es un segmento
perpendicular trazado desde
el vértice hasta el lado opuesto
de él.
A
B
D
E
¿Es necesario que la altura siempre se encuentre dentro del triángulo? Da ejemplos.
• Imagina que las alturas que trazaste anteriormente miden 4 y 5 respectivamente, y además los lados a los que
llegan estas alturas son 9 y 6, respectivamente. ¿Cuál es el área de cada triángulo?
F
C
El área de un triángulo es:
A=
A
B
Área:
10
Cpech
D
Área:
E
base • altura
2
Un juego de ángulos
4.
En el siguiente triángulo dibuja (estimativamente) la altura, bisectriz y transversal de gravedad que pasan
por el vértice A, la simetral que pasa por el lado OA y la mediana paralela a este lado.
A
La mediana es el segmento que une
los puntos medios de dos lados de
un triángulo.
C
B
La simetral es la recta perpendicular
al lado de un triángulo en el punto
medio.
• ¿Qué tienen en común la altura y la simetral? ¿Y entre la simetral y la transversal de gravedad?
5.
El triángulo ABC de la figura es isósceles en C y D es punto medio del lado AB.
C
A
D
•
¿Qué condiciones cumplen los ángulos que se forman al trazar el
segmento CD?
•
¿Qué elemento secundario es CD?
B
• En base a lo anterior, ¿qué se cumplirá con los elementos secundarios en un triángulo equilátero?
11
Cpech 11
Taller de Geometría
Tiempo estimado
Sección 2
30 minutos
practicando
I.
Analiza las siguientes situaciones y responde:
•
En un panal de abejas, cada celda se puede representar mediante un hexágono regular como muestran las
figuras 1 y 2.
60°
Un polígono regular tiene
todos sus lados y ángulos
interiores iguales entre sí.
Figura 1
Figura 2
1.
En la figura 2, ¿cuál es el valor del doble de ?
2.
En la figura 2, ¿qué relación existe entre los ángulos
Figura 3
y ?
Dos ángulos son
suplementarios si suman 180º
Dos ángulos son
complementarios si suman 90º
3.
12
Cpech
Una especie particular de abejas aprovechan más el espacio construyendo celdas triangulares, como indica la
figura 3. ¿Cuántos y qué tipo de triángulos se han formado? Justifica su respuesta.
Un juego de ángulos
II.
Responde las siguientes preguntas, ocupando los pasos o el razonamiento que se detalla en cada
una de ellas.
fácil
1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de T lados?
A)
T · (T – 3)
2
B)
T · (T – 2)
2
D)
E)
T · (T – 2)
T · (T + 1)
2
¿Qué significa convexo?, ¿para
qué se puntualiza esta
característica en la pregunta?
¿Cuántos vértices tendrá el
polígono?
T · (T – 3)
Reflexiona
C)
Preliminares
Todas las alternativas tienen T como primer factor, ¿qué significa?. Siguiendo esa
lógica, ¿qué tendría que significar el segundo factor?. En algunas alternativas la
expresión está dividida por 2, ¿corresponde aplicar esa corrección en este caso?,
¿por qué?
13
Cpech 13
Taller de Geometría
media
A)
B)
C)
D)
E)
2. Las rectas L1, L2 y L3 se intersectan como indica la figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa
siempre el valor de x?
60° +
180° +
240° –
120° +
L2
L1
Preliminares
L3
¿Qué polígono se for
ma con las
rectas?
Los ángulos represen
tados, ¿son
ángulos interiores o ex
teriores de
dicho polígono?
¿Se puede aplicar algun
a relación
con respecto a la suma
de ángulos
del polígono?, ¿se usan dir
ectamente
los valores representad
os?
60°
x
Reflexiona
¿Hay alguna otra forma de resolver la pregunta?, ¿es más rápida que la que
utilizaste?
media
A)
B)
C)
D)
E)
3. En la figura, la recta L es una bisectriz del triángulo PQR. La medida del ángulo
110°
120°
130°
140°
150°
50°
70°
L
14
Cpech
Preliminares
R
P
es
Q
recta sea
¿Qué significa que una
bisectriz?
lo interior
¿Cuánto mide el ángu
de cada
faltante?, ¿cuánto mi
ectriz?
bis
ángulo formado por la
ángulo
¿Qué relación tiene el
lados
con los ángulos calcu
anteriormente?
Un juego de ángulos
difícil
A)
B)
C)
D)
E)
4. En la figura se muestra un polígono regular con dos de sus diagonales. El valor de
20°
30°
40°
45°
60°
es
Preliminares
¿Cuánto mide la suma de sus ángulos
interiores?
¿Qué significa que el polígono sea
regular?, ¿en qué influye eso en
la
medida de cada ángulo interior?
¿Cuántas diagonales en total
se
podrían trazar desde el vért
ice
indicado?, ¿qué relación tienen
los
ángulos que se forman entre esta
s
diagonales?, ¿cuánto miden? ¿Cómo
influyen las reflexiones anteriores
en
la medida de ?
15
Cpech 15
Taller de Geometría
Tiempo estimado
Sección 3
10 minutos
sintetizando
Clasificación de los ángulos según su medida
0° < Agudo < 90°
Recto = 90°
90° < Obtuso < 180°
90°
90°
90°
0°
180°
0°
180°
0°
180°
Extendido = 180°
180° < Cóncavo < 360°
Completo = 360°
90°
90°
90°
180°
0°
180°
0°
0°
180°
Todas estas figuras son polígonos, porque…
Triángulo (3 lados)
Cuadrilátero (4 lados)
Hexágono (6 lados)
Octágono (8 lados)
Pentágono (5 lados)
...son figuras planas, cerradas y limitadas por un número finito de lados rectos.
16
Cpech
Un juego de ángulos
En un polígono convexo de n lados se cumple que:
Número de diagonales desde un vértice: d = n – 3
Número total de diagonales: D =
n · (n – 3)
2
Suma de los ángulos interiores: 180º · (n – 2)
Clasificación de triángulos según sus lados
Escaleno
Todos sus lados
y ángulos son distintos.
Isósceles
Tiene 2 lados congruentes
y 2 ángulos congruentes.
Equilátero
Tiene todos sus lados
y ángulos congruentes.
60°
15
18
9
9
60°
60°
10
10
22
9
7
El área de un triangulo es: Á =
base · altura
2
17
Cpech 17
Taller de Geometría
Elementos secundarios de un triángulo
Altura
Segmento perpendicular
a un lado desde el vértice
opuesto.
Simetral
Bisectriz
Rayo que divide el ángulo
en un vértice en dos de igual
medida.
Recta perpendicular a uno de los
lados en su punto medio.
18
Cpech
Mediana
Transversal de gravedad
Segmento que une un vértice con
el punto medio del lado opuesto.
Segmento que une los puntos
medios de dos lados.
Un juego de ángulos
Mis apuntes
19
Cpech 19
¿YA LOS CONOCES?
GPS ACADÉMICO
FACEBOOK CPECH
TUTOR
PROFESOR ONLINE
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