Download función trigonométrica

Funciones
Definición:
Una función f : A → B es una relación que a
cada elemento del conjunto A le hace
corresponder un único elemento del conjunto B.
El conjunto A se llama Dominio de la Función y
el conjunto B es el Rango o Codominio.
f
A
B
m
1
p
2
n
Para indicar que a un elemento x de A
se le hace corresponder un elemento y de B,
se escribe y=f(x) y se lee:
• y es igual a f de x.
o bien:
• y es la imagen de x.
o bien:
• x es una preimagen de y.
Veamos si las siguientes figuras representan funciones
Dominio de una función numérica
Es el conjunto de valores de la variable x, para los
cuales la función existe.
El dominio viene caracterizado por el tipo de función.
Ejemplos:
Sea
Sea
f ( x)  2 x  3
f ( x)  x
; el dominio es
; el dominio es
Df  (,)
Df  [0,)
Conjunto Imagen
Es el conjunto de elementos del Codominio, que son
imagen de algún elemento del Dominio.
El Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio.
Ejemplos:
1)Sea
f ( x)  2 x  3
Cod  (,)  R
Im  (,)  R
2)Sea
f ( x)  x
Cod  (,)  R

Im  [0,)  R U 0
Formas de expresar una función:
•Mediante Gráficas
•Mediante Tablas
•Analíticamente
La siguiente es la gráfica de un bebé que al nacer pesó 3,300 kg.
a)¿Qué ocurre en los primeros días de vida? Interpreta el punto P.
b) ¿Qué días el niño pesó 150 g menos que al nacer?
c) En algún momento de la segunda quincena la madre cambió el pecho
por la mamadera. ¿Le gustó el cambio al niño?
d) Indica el aumento de peso durante la primera, segunda y tercera quincena.
e) Indica el máximo y mínimo peso que dio el niño durante el mes y en qué días.
f) Indica los máximos y mínimos locales, y absolutos.
FUNCIONES EXPLÍCITAS
Una función es explícita cuando está definida de la forma
y = f(x), es decir, está despejada la variable dependiente y
en términos de la variable independiente x.
Ejemplos:
y = f(x) = 3x2 +2x+1 ; y=sen(x)
FUNCIONES IMPLÍCITAS
Una función está dada en forma implícita cuando está escrita
de la forma f(x,y) = 0, es decir, no está despejada la variable
dependiente y.
Ejemplos:
f(x,y) = y2 - 2xy + 7x2 - 1 = 0 ; 3y - 4x = 7
Representación gráfica de funciones
Un punto cualquiera del plano está representado por un
par ordenado de números (x,y).
La coordenada x se llama abcisa y la coordenada y se
denomina ordenada.
Ejemplos:
Teorema de Pitágoras
Primero recordemos que un
triángulo rectángulo es aquel
que tiene...
...un ángulo recto, es decir,
de 90 grados.
El Teorema de Pitágoras dice que:
en todo triángulo rectángulo se cumple
que el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
Distancia entre dos puntos
Para hallar la distancia entre dos
puntos del plano, por ejemplo
entre P1 y P2, podemos aplicar el
Teorema de Pitágoras, ya que se
ve claramente que los puntos P1,
P2 y Q forman un triángulo
rectángulo.
P1P2 2  P1Q 2  QP2 2
Como:
y
entonces:
P1Q  x2  x1
QP2  y2  y1
P1P2 2  x2  x1 2   y2  y1 2

d P1P2  
x2  x1    y2  y1 
2
2
Función Constante
f : R  R / f ( x)  k
donde k es un valor real
y  f ( x)  2
y  f ( x)  1
La función lineal
f : R  R / f ( x)  m.x  b
m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) que
pertenecen a la recta, la pendiente m se
puede calcular así:
y2  y1
m
x2  x1
siempre que
x2  x1
La pendiente de una recta es independiente del
orden en que consideramos dos puntos en ella.
y2  y1 y1  y2

x2  x1 x1  x2
Para hallar la ecuación de una recta que pasa
por dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2)
hacemos:
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
Por ejemplo, dados P1=(3;4) y P2=(-2;6), la recta
que pasa por ambos puntos será:
x 3
y4


23 64
x3 y 4


5
2
x  32   y  4 5  2 x  6  5 y  20
2
26
2 x  6  20
 y  y  x

5
5
5
2
26
y  x
5
5
Para hallar la ecuación de una recta, dados
un punto (x1,y1) y la pendiente m, hacemos:
y  y1  m( x  x1 )
Ejemplo: Hallar la recta de pendiente 3 que pasa por
el punto (1;-4).
y  4  3( x  1)
 y  3x  7
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Dos rectas son paralelas si tienen la misma
pendiente.
m1  m2
Dos rectas son perpendiculares si sus
pendientes son inversas y de signo opuesto.
1
m1  
m2
Funciones definidas por partes
Las llamamos así a las funciones que están definidas por
intervalos.
Ejemplo:
2 x  2 x  1

f ( x)  
 x  3 x  1

Estas funciones
pueden definirse en
dos o más intervalos.
Sobreyectiva No inyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva Inyectiva
No sobreyectiva No inyectiva
Función Inversa
Una función biyectiva admite función inversa.
Si la función es f a su función inversa la llamaremos f-1
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas
respecto a la recta identidad, es decir, a la recta y = x.
La función azul es y=ln(x)
La función verde es y= ex
La función violeta es la
recta identidad y = x
La función azul es y=3x+4
La función verde es y= 1/3 x – 4/3
La función violeta es la recta identidad y = x
La siguiente es la gráfica de la función y = x2
¿Esta función tiene inversa?
Función Valor Absoluto
f ( x)  x
Equivale a
x
f ( x)  x  
 x
Si
Si
x0
x0
Función Valor Absoluto
f ( x)  x
Función Par
Una función es PAR si cumple que: f(x) = f(-x), para todos los x
del dominio.
x  D : f ( x)  f ( x)
Es decir si su gráfica
es simétrica respecto
del eje y
Con lo que se
produce una
simetría.
Las funciones pares
definidas por
polinomios de grado
par, no tienen
función inversa.
Función Impar
Una función es IMPAR si cumple que: f(x)= -f(-x), para todos
los x del dominio.
x  D : f ( x)   f ( x)
Con lo que se
produce una
simetría con
respecto al origen
de coordenadas.
De la misma
manera para toda
función impar
definida en el
punto "0" se tiene
que f(0)=0.
Función Polinómica
f ( x)  an x  an1 x
n
n 1
 an2 x
n2
 ...  a1 x  a0
Si n=0 se tiene entonces
f ( x)  a0
Si n=1 se tiene entonces
f ( x)  a1 x  a0
Si n=2 se tiene entonces
función constante
función lineal
f ( x)  a2 x  a1 x  a0
2
función cuadrática
Función Cuadrática
Usaremos para este caso una notación muy común
f ( x)  ax  bx  c
2
Ejemplos
Función Cuadrática
f ( x)  x 2  4 x  5  ( x  1)( x  5)  ( x  2) 2  9
Funciones Racionales
P( x)
f ( x) 
Q( x)
Siendo
P (x ) y Q (x)
funciones polinómicas
Función Periódica
Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de
la variable.
f ( x)  f ( x  P)
Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que
pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x.
Donde P es el período.
Ejemplo:
Funciones Trigonométricas
Una función trigonométrica, también llamada circular,
es aquella que se define por la aplicación de una razón
trigonométrica a los distintos valores de la variable
independiente, que ha de estar expresada en radianes.
Existen seis clases de funciones trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante
y cosecante
Función Seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen(x), a la
aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x
expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y
su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
Período: 2
Df:
(,)
Im: [-1,1]
Función Coseno
Se denomina función coseno, y se denota por f (x) = cos(x), a la
aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x
expresada en radianes. La función coseno es periódica, acotada y continua,
y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
Período: 2
Df:
(,)
Im: [-1,1]
Función Tangente
sen( x)
tan( x) 
cos( x)
No es continua. No se define en todos los reales, ya que hay
valores para los cuales no existe. Su período es  y su
imagen son todos los reales.
Función Exponencial
Se llaman funciones
exponenciales a las
funciones de la forma
f ( x)  a
a0
y
x
a 1
Dom  R
Im  R

a 1
f ( x)  2 x
0  a 1
1
f ( x)   
2
x
Función Logarítmica
Y = loga x
Se llaman funciones
logarítmicas a las
funciones de la
forma f ( x)  log x
a
donde "a" es
constante (un
número) y se
denomina la base
del logaritmo.
a0
y
a 1
Composición de Funciones
Una función compuesta es una función formada por la
aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al
resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función
restante.
Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde
la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la
función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)),
para todos los elementos x.
x yz
x  f ( x)  g ( f ( x))
A g ο f se le llama composición de f y g.
Nota: se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el
orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Composición de Funciones
También se la llama Función Compuesta.
El dominio de la función compuesta es igual al
dominio de la primera función que aplicamos.
Ejemplo: f o g
Dadas:
g : [0,)  R / g ( x)  x  f : R  R / f ( x)   x
2
( fog ) : [0,)  R /( fog )( x)  f ( g ( x))  ( x )   x
2
Ig  [0,)  (,)  R  Df
Observación: D(f o g)=Dg
( gof )  ( fog )
Ejemplo: g o f (Vamos a usar las mismas funciones del
ejemplo anterior
Dadas:
f : R  R / f ( x)   x  g : [0,)  R / g ( x)  x
2
No existe (gof) es decir no existe
g ( f ( x))   x
Observación: If  (,0)  [0,)  Dg
2
Funciones para Aplicaciones Económicas
Costo Total
CT =CF+CV(x)
CF Costo Fijo
CV Costo Variable
Costo Medio
CM=CT/(x)
Beneficio o Utilidad B=IT-CT
IT Ingreso Total
Si igualamos el Beneficio a cero, el valor hallado de
x será el punto de equilibrio, es decir el ingreso
es igual al costo. IT-CT=0
Demanda y Oferta
La función de demanda D(p) para cualquier producto, es la
función que nos da el número de unidades de producto en
función del precio p (por unidad) que los consumidores están
dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.
D(p) = mp + n con m<0 o bien D(p) = ap2 + bp + c, con a<0.
La función de oferta S(p) , para cualquier producto, es la
función que nos da el número de unidades que la empresa está
dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del
producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.
S(p) = kp + v con k>0 o bien S(p) = dp2 + ep + f, con d>0.
El equilibrio del mercado se produce cuando el número de
unidades que se fabrican coincide con el número de unidades
de producto que se demandan.