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CAPÍTULO II TUTORIAL DERIVE Aritmética, álgebra, funciones, derivadas e integrales 2.1 INTRODUCCIÓN DERIVE es un programa informático de cálculo simbólico. Es decir que, además de calcular el valor numérico de un polinomio, es capaz de efectuar la división de dos polinomios calculando el cociente y el resto. También es capaz de dada una función hallar su función derivada y su función integral. DERIVE representa funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y polar. Representa funciones especiales: definidas a trozos, valor absoluto, signo, parte entera y parte decimal. DERIVE también representa superficies en el espacio. Una vez que se conocen las partes principales del DERIVE el autoaprendizaje se torna sumamente sencillo, dependiendo únicamente del usuario explotar este asistente matemático en todo su potencial. Resultará especialmente útil, para los estudiantes de primeros cursos del área de ingeniería, puesto que le brindará la posibilidad de continuar aplicando sus conocimientos en todas las materias restantes del área de las matemáticas. DERIVE puede obtenerse como edición de prueba, válida para 30 días de la siguiente dirección: http://www.derive-europe.com/downloads.asp 2.2 PARTES DE LAS VENTANAS DE DERIVE Arriba a la derecha tenemos tres iconos: . El central reducirá la pantalla y se convertirá en el icono maximizar para restaurar la pantalla original Icono minimizar. Icono maximizar. Icono restaurar. Icono cerrar. La barra de menús, la barra de herramientas u órdenes y la barra de estado cambian según tengamos activa la Ventana de Álgebra o la Ventana 2D o la Ventana 3D. 2.2.1 BARRA DE ENTRADA DE EXPRESIONES En ella escribimos las expresiones, para que se introduzcan a la Ventana de Álgebra lo más cómodo es pulsar el icono Introducir y Simplificar. Introducir expresión [Intro] Introducir y simplificar Simplificar Aproximar Introducir y aproximar 2.2.2 INTRODUCIR DATOS Para introducir vectores elegimos Introducir Vector Para introducir matrices elegimos Introducir Matriz Para introducir sistemas de ecuaciones elegimos en la barra de menús Resolver/Sistema que desplegará la siguiente pantalla. Donde se puede elegir el número de ecuaciones a resolver, luego de aceptar se tiene Donde se deben introducir las ecuaciones como se indica, haciendo un clic en variables se visualizan las incógnitas x,y y con la opción resolver se tiene: En los otros casos escribimos la expresión en la barra de Entrada de Expresiones. Los caracteres normales los escribimos desde el teclado y los símbolos especiales y letras griegas desde la ventana correspondiente. 2.2.3 MANEJO DE EXPRESIONES F3 Copia la expresión o subexpresión seleccionada en la barra de Entrada de Expresiones F4 Hace lo mismo que F3 pero copia la expresión entre paréntesis 2.2.4 BARRA DE SÍMBOLOS En esta barra de herramientas podemos elegir los símbolos matemáticos para insertarlos en la barra de Entrada de Expresiones. Los más utilizados son: la raíz cuadrada, mayor o igual que, menor o igual que, el infinito y los números: π = 3,141592... ê = 2,718281.... î = unidad imaginaria Si al número ê o a la unidad imaginaria î no les ponemos el acento circunflejo, supone que es una variable y no los reconoce como números. 2.2.5 BARRA DE LETRAS GRIEGAS En esta barra de herramientas podemos elegir las letras griegas para insertarlas en la barra de Entrada de Expresiones. 2.2.6 BARRAS DE HERRAMIENTAS Las podemos mostrar y ocultar eligiendo en la barra de menús Ventana/Personalizar/Barra de Herramientas Las podemos arrastrar a cualquier parte de la ventana al igual que todas las barras de Windows, para encajarlas debemos arrastrarlas al lugar deseado y cuando el borde exterior se convierta en una línea fina indicando el acoplamiento las soltamos. 2.3 VENTANA ÁLGEBRA En ella aparecen las órdenes que escribimos, el texto y los gráficos que insertemos. Cuando sólo trabajamos en la Ventana Álgebra es conveniente tenerla maximizada. 2.3.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA ÁLGEBRA En ésta se encuentra el menú general de la Ventana Álgebra. Cada una de las opciones, a la vez, tiene otro submenú. 2.3.2 BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA DE ÁLGEBRA Nueva hoja Simplificar Abrir Aproximar Guardar la hoja Resolver o despejar Imprimir Sustituir variables Cortar Calcular un límite Copiar Hallar una derivada Pegar Integrales Borrar Objetos Calcular sumatorias Insertar Texto Calcular productorios Editar una Expresión Ventana 2D Introducir Vector Ventana 3D Introducir Matriz Información sobre el programa 2.3.3 BARRA DE FORMATO Mediante esta barra podemos darle formato al insertar texto en la ventana Álgebra. Fuente Tamaño de la Fuente Negrita Cursiva Justificar a la izquierda Justificar en el centro Justificar a la derecha Viñeta Subrayar Texto Color 2.3.4 BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA DE ÁLGEBRA En la parte izquierda da información de la opción seleccionada. En el centro indica la operación efectuada. En la parte derecha tiene un reloj e indica el tiempo que ha tardado en realizar la operación. 2.4 VENTANA 2D En la Ventana 2D representamos gráficas en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Para representar gráficas introducimos la fórmula en la barra de Entrada de Expresiones y una vez escrita en la Ventana Álgebra elegimos en la barra de órdenes Ventana 2D, al abrirse la ventana elegimos en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen ambas ventanas colocadas en la mitad de la pantalla. Para tener una buena visión de los gráficos y que las circunferencias salgan redondas en una resolución 1024 x 768 aconsejamos elegir en la barra de menús Opciones/Pantalla/Rejilla... Escribimos en Horizontal: 12 y en Vertical: 12 Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Expresión. Representar 2.4.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D En ésta se encuentra el menú general de la ventana Gráficas-2D. Cada una de las opciones, a la vez, tiene otro submenú. 2.4.2 BARRA DE ÓRDENES O HERRAMIENTAS DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D Nueva hoja Centrar en el cursor Abrir Centrar en el origen Guardar la hoja Seleccionar el rango Imprimir Zoom hacia fuera Copiar la Ventana Gráfica Reducción vertical Representar Expresión Reducción horizontal Borrar la última gráfica Zoom hacia dentro Insertar Anotación Ampliación vertical Trazar las Gráficas Ampliación horizontal Activar la Ventana de Álgebra 2.4.3 BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del cursor. En el centro indica las coordenadas del centro. En la parte derecha escribe la escala. 2.4.4 BARRA DE TRAZADO Aumentar x Aumentar y Trazar la gráfica siguiente Disminuir x Disminuir y Trazar la gráfica anterior 2.5 VENTANA GRÁFICAS-3D En la Ventana Gráficas-3D representamos superficies en el espacio. Para representar superficies introducimos las ecuaciones en la barra de Entrada de Expresiones y una vez escritas en la Ventana a Álgebra elegimos en la barra de órdenes Ventana 3D, al abrirse la ventana elegimos en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen ambas ventanas colocadas en el centro de la pantalla. Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Representar. 2.5.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-3D En ésta se encuentra el menú general de la Ventana 3D. Cada una de las opciones, a su vez, tiene otro submenú. 2.5.2 BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA GRÁFICAS-3D Nueva hoja Zoom hacia fuera Abrir Zoom hacia dentro Guardar la hoja Girar las gráficas Imprimir Girar hacia la izquierda Copiar la Ventana Gráfica Girar hacia la derecha Borrar la gráfica Rotar hacia arriba Representar Rotar hacia abajo Insertar Anotación Magnificar Trazar las Gráficas Contraer Ajustar el rango de la gráfica Activar la Ventana de Álgebra Fijar la posición del ojo 2.5.3 Barra de estado de la ventana Gráficas-3D En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del ojo. En el centro indica las coordenadas del centro. En la parte derecha escribe el tamaño. 2.6 FUNCIONES UTILIZADAS EN DERIVE PARA INGENIERÍA 2.6.1 OPERADORES MATEMÁTICOS a+b Sumar a–b Restar a * b, o espacio en blanco, a b Multiplicar a/b Dividir a^n Potencia Raíz cuadrada a^(p/n) Raíz n-ésima de ap |a| Valor absoluto y Módulo n! Factorial Perm(m, p) Permutaciones Comb(m, p) Combinaciones 2.6.2 OPERADORES RELACIONALES a=b Igual a≠b Distinto a<b Menor que a≤b Menor o igual que a>b Mayor que a≥b Mayor o igual que 2.6.3 OPERADORES BOLEANOS pΛq Conjunción pVq Disyunción 2.6.4 FUNCIONES DE TEORÍA DE NÚMEROS gcd(a, b, ...) Si se introduce Máximo Común Divisor gcd (4,8,36) lcm(a, b, ...) Si se introduce 4 Mínimo Común Múltiplo lcm (4,8,36) Divisors(n) Si se introduce Se obtiene Se obtiene 72 Todos los divisores positivos de n divisors (54) Se obtiene [1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54] next_prime(n) Primer primo mayor que n Si se introduce next_prime(54) Se obtiene 59 2.6.5 POLINOMIOS quotient(p, q) Cociente de p entre q Se introduce Se obtiene x2 - x - 1 quotient((x^3-2x^2+5),(x-1)) remainder(p, q) Resto de p entre q Se introduce Se obtiene 4 remainder((x^3-2x^2+5),(x-1)) poly_gcd(p, q, ...) Polinomio M.C.D. Se introduce POLY_GCD(x^3 + 3·x^2 + 5·x + 6, x^3 + 2x - 3) Se obtiene x2 + x + 3 2.6.6 VECTORES vector(a(n), n, p) Genera un vector desde n = 1 hasta p |v| Módulo del vector u.v Producto escalar Cross(u, v) Producto vectorial 2.6.7 MATRICES A+B Suma A–B Resta kA Multiplicación por un número A.B Producto de matrices A` Matriz traspuesta, acento grave A^(–1) Matriz inversa det(A) Determinante row_reduce(A) Reducidas por filas rank(A) Rango 2.6.8 FUNCIONES LOGARÍTMICAS ln(x) Logaritmo neperiano log(x, b) Logaritmo en base b 2.6.9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Si el arco es x, se puede poner sin paréntesis, pero si es 3x, o bien, 7x – 4 o bien, x2, tenemos que ponerlo entre paréntesis. sin(x) Seno cos(x) Coseno tan(x) Tangente cot(x) Cotangente sec(x) Secante csc(x) Cosecante En DERIVE sin (x2) es sen x2, y sin (x)2 = (sin x)2 es sen2 x = (sen x)2 2.6.10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS asin(x) Ángulo cuyo seno es x acos(x) Ángulo cuyo coseno es x atan(x) Ángulo cuya tangente es x acot(x) Ángulo cuya cotangente es x asec(x) Ángulo cuya secante es x acsc(x) Ángulo cuya cosecante es x 2.6.11 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Abs(x), o bien, |x| Valor absoluto Sign(x) Signo Chi(a, x, b) Característica de [a, b]; es 1 si a < x < b y 0 en otro caso Floor(x) Parte entera de x Mod(x) Parte decimal de x 2.7 AYUDA En la barra de menús tenemos la Ayuda con las siguientes opciones: Se puede obtener información acerca de cualquier acción que se desee realizar con DERIVE a través de la opción índice, luego de ingresar a esta opción escriba la palabra que representa la acción que desea ejecutar, presione enter y se desplegará la ayuda correspondiente. 2.8 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES APLICANDO DERIVE Resolver │x│≥ 3 Para resolver este problema con derive escriba lo siguiente en la Barra de Entrada de Expresiones solve (abs(x)>=3,x) Derive le proporcionará al presionar el ícono siguiente información en la ventana de álgebra: introducir y simplificar la SOLVE(¦x¦ ≥ 3, x) x ≤ -3 V x ≥ 3 Si quiere obtener la gráfica, en la ventana de álgebra presione el ícono VENTANA 2D, luego en el menú VENTANA la opción MOSAICO VERTICAL que dividirá la pantalla en dos partes, una la ventana gráfica y otra la ventana de álgebra, haga un clic sobre la ventana gráfica (la ventana habilitada se mostrará resaltada) y presione el ícono REPRESENTAR EXPRESIÓN con lo que el gráfico quedará representado. Para trasladar una parte de la gráfica a la ventana de álgebra, un procesador de texto u otro paquete, en el menú EDITAR presione MARCAR Y COPIAR seleccione la región y péguela en la ventana de álgebra, obtendrá: Luego de construir su ventana de álgebra puede imprimirla con las opciones que se deseen. Otras inecuaciones pueden resolverse de manera similar. Los siguientes ejemplos son una muestra de los resultados en la ventana de álgebra del DERIVE, resultará muy útil que el alumno reproduzca por su cuenta el mismo archivo. 2.9 APLICACIONES EN DERIVE (VENTANA DE ÁLGEBRA).#1 SOLVE(4 x – 3 > 2 x + 1, x) #2 #3 x>2 SOLVE(|x + 3| ≤ 2 x + 4 , x) UTILIZANDO LA OPCIÓN APROXIMAR SE OBTIENE #4 x ≤ -5 ^ x ≥ -3.666666666 MIENTRAS QUE UTILIZANDO LA OPCIÓN SIMPLIFICAR SE OBTIENE #5 x 5 x 11 3 2.9.1 LA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO #6 #7 SOLVE( x2 – 2 x – 8 > 0 , x ) x<2 o x>4 CASOS TRIVIALES (soluciones iguales al conjunto vacío o recta real) #8 #9 SOLVE ( x < x – 5 , x) false Lo cual significa que la solución es el conjunto vacío #10 #11 SOLVE ( x < x + 5 , x ) true Lo que significa que la solución es toda la recta real #12 SOLVE #13 #14 SOLVE #15 #16 SOLVE #17 2.10 SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES EXPERIMENTA APRENDE Borrar gráficas Estando activa la 1. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. Ventana 2D elegimos Borrar la última Solución: gráfica. RESUELVE Estando activa la ventana Álgebra elige Ventana 2D. Se 2. Resuelve abre dicha ventana. gráficamente el Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical siguiente sistema de Estando activa la Ventana 2D escoge en la barra de menús inecuaciones. Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe en Horizontal: 13 y en Vertical: 14 En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación x + y > 2 Λ 3x – y ≤ 5 3. Resuelve Pulsa Introducir Expresión [Intro] gráficamente el siguiente sistema de Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar inecuaciones. Expresión. 4. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 5. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones. 6. Resuelve gráficamente el Autores: J. M. Arias/E. Capintero/F. J. Sanz siguiente sistema de inecuaciones. 2.11 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES (Resolución algebraica) EXPERIMENTA 1. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. RESUELVE 2. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 3. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. Solución: Elige en la barra de menús Resolver/Sistema..., en el número de ecuaciones escribe 2 y pulsa el botón Sí. 4. Resuelve algebraicamente Introduce las ecuaciones, una en cada el siguiente sistema, a la vista cuadro de texto y pulsa el botón del resultado clasifícalo. Resolver. El sistema es compatible determinado. APRENDE Clasificación de los sistemas lineales Sistema compatible 5. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 6. Resuelve algebraicamente Un sistema es el siguiente sistema, a la vista compatible si tiene del resultado clasifícalo. solución. Sistema compatible determinado Un sistema es compatible determinado si tiene un número finito de soluciones. Sistema compatible indeterminado Un sistema es compatible indeterminado si tiene un número 7. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 8. Resuelve algebraicamente infinito de soluciones. Sistema incompatible Un sistema es incompatible si no tiene solución. Clasificación con DERIVE Si el sistema es compatible determinado escribe la solución. Si el sistema es incompatible escribe [ ]. Si el sistema es compatible indeterminado elimina las ecuaciones dependiente. Después tenemos que elegir Resolver o despejar, en el cuadro Variables marcar la o las variables que queremos despejar y hacer clic en el botón Resolver. Autores: J. M. Arias/S. A. Pérez el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 9. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema, a la vista del resultado clasifícalo. 10. Calcula dos números sabiendo que suman 12 y que el doble del primero más el triple del segundo suman 31. 11. Entre Juan y Juana tienen 1 000 $. Si Juana tiene el triple que Juan, ¿cuánto dinero tienen cada uno? 12. El perímetro de un triángulo isósceles mide 60 m y cada uno de los lados iguales mide el doble que el desigual. ¿Cuánto mide cada lado? 2.12 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES EXPERIMENTA 1. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. Solución: Estando activa la ventana Álgebra elige Ventana 2D. Se abre dicha ventana. Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical Estando activa la Ventana 2D escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe en Horizontal: 13 y en Vertical: 14 En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación x+y=3 Pulsa Introducir Expresión [Intro] Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar Expresión. En la Entrada de Expresiones escribe la segunda ecuación 3x – y = 1 Pulsa Introducir Expresión [Intro] Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar Expresión. APRENDE Clasificación Si el sistema es compatible determinado las dos rectas se cortan en un punto que es la solución. Si el sistema es incompatible las dos rectas son paralelas. Si el sistema es compatible indeterminado las dos rectas son la misma Borrar gráficas Estando activa la Ventana 2D elegimos gráfica. Borrar la última RESUELVE 2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. 3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. 4. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. 5. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. El sistema es compatible determinado. La solución es el punto. x = 1, y = 2 6. Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y halla la solución si es compatible determinado. Autores: J. M. Arias/S. A. Pérez 2.13 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CON DERIVE #1 y = x3 – 5 x #2 x= y2 + y - 2 #3 x2 + y2 = 4 #4 x2 / 4 + y2 / 9 = 4 #5 x2 - 4y2 = 4 FUNCIÓN INVERSA #6 SOLVE( y = x – 3 , x) #7 #8 x=y+3 SOLVE ( y = x2 – 3 , x) #9 COMO EXISTEN DOS VALORES, NO EXISTE LA FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X Esta función se puede graficar con derive con la sentencia: #10 y = - FLOOR ( - x ) – 1 #11 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas f(x) = x2 , g(x) = 2 x + 4 Hallar f ° g y g ° f DEFINIMOS LAS FUNCIONES #12 f(x) := x2 #13 g(x) := 2 x + 4 #14 f(g(x)) 4 ( x 2 + 2 )2 #16 #17 g(f(x)) 2 x2 + 4 #18 2.12 PRÁCTICA Utilizando el asistente matemático DERIVE, dibujar las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones. 1) y = ( 9 - x²)1/2 2) y = - │ x- 3│ 3) x² + y² - 9 = 0 4) y = - 2x² + x + 1 5) x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 6) 30xy + 24x - 25y - 80 = 0 7) 9x² + 3xy + 9y² = 5 8) x² - 2xy + y² - 4 = 0 9) y = 1 / (x² + 1) 10) 16x² + 24xy + 9y² +60x - 80y= - 100 Autor: José María Arias http://www.terra.es/personal/jariasca/info/derive/1.htm El presente capítulo fue desarrollado en base a las presentaciones señaladas por los autores citados, con aportes del autor del texto Alfredo Vargas Oroza