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Licenciatura en Matemáticas 1-3 Curso 2003-2004 ÁLGEBRA CÓDIGO: 27/97/3198 Curso 2003-2004 Carga docente: 6 créditos teóricos y 3 prácticos Curso: 4º, Troncal Anual Profesor: Rubén Puente Departamento: Estadística e Investigación Operativa (Facultad de Ciencias). OBJETIVOS El primer objetivo es que un estudiante medio de matemáticas adquiera en este primer curso la mayor amplitud y profundidad posibles en álgebra abstracta, excluyendo el álgebra lineal. Debido a que es el primer encuentro con una disciplina matemática abstracta, el segundo objetivo es encaminar a los alumnos hacia una actitud matemática moderna, que constituye la base para un eventual trabajo más especializado en álgebra y de gran ayuda para cualquier estudio matemático formal ulterior.. PROGRAMA Parte I : GRUPOS 1. Grupos. Motivación y ejemplos. El grupo simétrico Sn, el grupo lineal general, grupos cíclicos. Propiedades elementales. Subgrupos . Producto de subgrupos. Clases laterales. Índice de un grupo. El teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Grupo cociente. Generadores. Grupos cíclicos. Subgrupos de Z. Divisibilidad. Congruencias. La función de Euler. 2. Homomorfismos. Núcleo e imagen. Isomorfismos. Teoremas de homomorfismo. Automorfismos. 3. Acciones de grupo. Motivación y ejemplos. Teorema de Cayley. Órbita, longitud, estabilizador, centralizador, clases de conjugación. Ecuación de clases. 4. Grupos de permutaciones. Dos ejemplos importantes: el grupo simétrico S3 y el grupo diédrico D4. Ciclos, transposiciones. Teorema de descomposición. Permutaciones conjugadas. Paridad de una permutación. El grupo alternante An. Grupos simples. An no es simple para n>4. 5. Grupos abelianos finitamente generados. El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos (enunciado). Aplicaciones. Grupos resolubles. Sn no es resoluble para n>4. Parte II : ANILLOS, POLINOMIOS Y CUERPOS 6. Anillos. Definición y propiedades básicas. Cuestiones multiplicativas. Cuerpos. 16. Dominios enteros. Divisores de cero y cancelación. Dominios enteros. Característica de un anillo. Teorema de Fermat. 17. El cuerpo de fracciones de un dominio entero. La construcción. Unicidad. 18. Anillos cocientes e ideales. Introducción. Criterio para la existencia de un anillo de clases laterales. Ideales i anillos cociente. 19. Homomorfismos de anillos. Definición y propiedades elementales. Ideales maximales y primos. Cuerpos de característica p (primo) y cero. Licenciatura en Matemáticas 2-3 Curso 2003-2004 ÁLGEBRA 20. Anillos de polinomios. Polinomios en una indeterminada. Homomorfismos de evaluación. 21. Factorización de polinomios sobre un cuerpo. El algoritmo de la división en F[x]. Polinomios irreducibles. Ideales en F[x]. Factorización única. 22. Introducción a los cuerpos de extensión. Elementos algebraicos y trascendentes. El polinomio minimal. Extensiones simples. 23. Espacios vectoriales. Definición y propiedades elementales. Independencia lineal y bases. Dimensión. Aplicación a la teoría de cuerpos. 24. Extensiones algebraicas. Extensiones finitas. Cuerpos algebraicamente cerrados y clausura algebraica. Existencia de la clausura algebraica. 25. Construcciones geométricas. Números construibles. Imposibilidad de ciertas construcciones. 26. Automorfismos de cuerpos. Automorfismos y cuerpos fijos. Cuerpos de descomposición. 27*. Cuerpos finitos. Estructura de un cuerpo finito. Existencia de cuerpos finitos de orden pn. 28*. Aplicaciones de la teoría de cuerpos a la codificación. OBSERVACIONES Conocimientos previos: Haber cursado con aprovechamiento la asignatura Álgebra Lineal (3178). Prácticas: Resolución de problemas en el aula. Evaluación: Examen parcial eliminatorio en Febrero. Examen final, en Junio, que incluye la repetición voluntaria del examen de Febrero. Las calificaciones de los exámenes de Febrero y Junio carecen de validez en las convocatorias de Septiembre y de Diciembre (cuyo programa es el del curso anterior). Los exámenes serán escritos, a libro abierto, y consistirán en la resolución de problemas similares a los propuestos durante el curso, de dos tipos: a) que impliquen familiaridad con ejemplos (contraejemplos) de los objetos, definiciones y propiedades estudiados, b) demostraciones de propiedades sencillas similares a las realizadas durante las clases o en los ejercicios y problemas propuestos. BIBLIOGRAFÍA Referencias básicas: • Fraleigh, John B. (1987); “Álgebra Abstracta : Primer Curso”. Addison Wesley Iberoamericana • Herstein, I. N. (1996); “ Abstract Algebra”. • Goberna, M. A. ...[et al.] (2000); “Álgebra y Fundamentos. Una Introducción”. Ariel Licenciatura en Matemáticas 3-3 Curso 2003-2004 ÁLGEBRA Referencias complementarias: • Birkhoff y MacLane (1963); “Álgebra Moderna”. Vicens-Vives • Nachbin, Leopoldo (1980); “ Introducción al Álgebra”. Reverté • Lang, Serge (1971); “Algebra”. Aguilar • Bashmakova, I.G. and G.S. Smirnova (2000); “The Beginnings and Evolution of Algebra”. The Mathematical Association of America • Hungerford, Thomas W. (1974); “Algebra”. Springer • Lint, Jacobus Hendricus van (1999); “Introduction to Coding Theory”. Springer-Verlag • Dorronsoro, José y Eugenio Hernández (1996); “Números, Grupos y Anillos”.AddisonWesley [etc.]