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Desarrollo de competencias Matemáticas I : Algebra Josefina De las Mercedes Cribeiro y Díaz David Benítez Mojica I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MATE III Josefina Cribeiro Díaz I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS GENERALES Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas con el uso del álgebra. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Utiliza Excel y/o Wxmaxima para facilitar la comprensión de conceptos, el desarrollo de procedimientos y el cálculo algebraico. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” -5- I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS PARTÍCULARES DE LA UNIDAD I Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas con el uso del álgebra. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Construye tablas y gráficos, mediante el uso de Excel y/o Geogebra para facilitar la comprensión de los conceptos de cálculo de porcenajes, variación directa, variación inversa, polígonos regulares, perímetro, área, polinomio, desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo algebraico. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” -6- I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad I. Hoja de Trabajo No. 1 Tema: Operaciones Sub -tema: aritméticas básicas y Cálculo de porcentajes aplicaciones Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel. Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de hallar el porciento de una cantidad, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de realizar cálculos porcentuales. Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hacer cálculos porcentuales para resolver problemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto de porcentaje, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de cálculos porcentuales. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” -7- I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO 1. Explica con palabras, con un gráfico y en forma algebraica, lo que significa para ti hallar: i. El 15% de 40 __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Expresión gráfica y algebraica ii. El porcentaje que es 20 de 60 __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Expresión gráfica y algebraica iii. El número del cual 15 es el 20% __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Expresión gráfica y algebraica “Hojas de trabajo” -8- I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN 2. En una tienda de la ciudad están rebajando los precios como estrategia para atraer mayor clientela. A determinado producto le han aplicado dos descuentos sucesivos, el primero del 10% y el segundo del 20%. ¿Estos dos descuentos equivalen a uno del 30%? A. Si B. No C. No Sé Explica la respuesta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 3. Cuando compras artículos generalmente te hacen descuentos y te cobran impuestos. Por ejemplo, en la compra de cierto artículo, ofrecen un descuento del 10% y se debe pagar un impuesto del 15%. ¿Qué prefieres que te calculen primero: el impuesto o el descuento? A. B. C. D. Primero el descuento Primero el Impuesto Es indistinto calcular primero el impuesto o el descuento No sé. Explica la respuesta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4. En una tienda el precio de un corte fino de carne sube de 60 a 75 pesos, ¿Qué porcentaje de aumento ha tenido el precio de la carne? A B C D E. 15% 20% 25% 30% 35% “Hojas de trabajo” -9- I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Explica la respuesta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 5. ¿El 20% del 50% de cierta cantidad, es igual al 50% del 20% de esa misma cantidad? D. Si E. No F. No Sé Explica la respuesta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 6. Los taxistas de la ciudad cobran una tarifa diurna de cierta cantidad y un recargo nocturno del 25%. Si una persona usó el servicio de taxi en la noche y pagó $50 ¿Cuánto debería haber pagado si hubiese usado el taxi durante el día? G. H. I. J. K. $37.5 40 $62.5 $75 No sé Explica la respuesta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ “Hojas de trabajo” - 10 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 7. En un supermercado presentan los productos, su precio y un porcentaje de descuento. Completa la siguiente tabla. Producto Precio por kilogramo Porcentaje de descuento Cantidad a pagar por kilogramo $ 52 50 % $ 26 10% $ 20 $ 25 $ 20 5% $ 98 $ 200 “Hojas de trabajo” $ 10 10 % $ 150 - 11 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN Ahora vas a completar los espacios en blanco, teniendo en cuenta lo siguiente: a. P1 representa el precio por kilogramo del producto No. 1 b. C1 representa la cantidad a pagar por cada kilogramo del producto No.1 c. C2 representa la cantidad a pagar por cada kilogramo del producto No.2 d. i % representa el porcentaje de descuento para el producto No 2. Producto Precio por kilogramo Porcentaje de descuento Cantidad a pagar Por kilogramo Producto No. 1 Producto No. 2 P1 C1 i% C2 Explica la forma de determinar el i % de una cantidad B. Explica la forma de determinar el valor B inicial si conoces que A es el i% de B. Explica la forma de determinar que por ciento es A de B. “Hojas de trabajo” - 12 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Argumenta las respuesta de las preguntas de la sección de motivación, haciendo uso de lenguaje verbal y simbólico y de los conceptos sobre porcentaje, con el fin de justificar la validez de tus respuestas. “Hojas de trabajo” - 13 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Tema: Operaciones Sub -tema: aritméticas básicas y Cálculo de porcentajes aplicaciones Material: Lápiz, pluma, papel Fecha: _____________ y Excel Unidad I. Hoja de Trabajo No. 2 DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de hallar el porciento de una cantidad, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de realizar cálculos porcentuales. Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hacer cálculos porcentuales para resolver problemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto de porcentaje, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de cálculos porcentuales. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 14 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN En un lago hay una población inicial de 15,000 peces. Por diversos factores como la falta de oxigeno, La escasa alimentación y la pesca hay una pérdida anual del 30% de la población. Anualmente nace una cantidad fija de 3000 peces. Realiza las siguientes actividades: 1. Esta pregunta debe ser contestada sin ayuda de la tecnología. Si la situación descrita anteriormente se mantiene por varios años ¿Qué crees que ocurra con la población de peces? a. La población de peces va a ser mayor de 15,000 peces b. La población se extinguirá c. La población disminuye pero no se puede predecir cuantos peces habrá en un año específico. d. La población disminuye y se estabiliza alrededor de determinado valor. Justificación de la respuesta DIAGNÓSTICO 1. Calcula en tu cuaderno el 10% de pérdida anual de un capital inicial de 10,000 pesos, durante tres años consecutivos. ¿Qué capital se tiene al finalizar el tercer año? 2. Dado un capital inicial de 10,000 pesos si tienes una pérdida anual de 10% y una entrada fija de 1000 pesos anuales. Halla el capital existente al cabo de tres años. 3. Calcula en tu cuaderno el 5% de ganancia anual de un capital inicial de 10,000 pesos, durante cuatro años consecutivos. “Hojas de trabajo” - 15 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En los siguientes puntos podrás usar Excel para contestar cada una de las preguntas. 2. Usa Excel para construir una tabla con dos columnas. En la primera ubicarás el tiempo y en la segunda pondrás la cantidad de población usando la siguiente fórmula: 3. Cuando n es “muy grande” ¿Hacia dónde se aproxima la cantidad de peces? ____________________________________________________ 4. Usa Excel para construir un gráfico. En el eje x pondrás el tiempo y en el eje y ubicarás la población de peces. Espacio para reproducir el gráfico “Hojas de trabajo” - 16 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 5. Completa la siguiente tabla Tiempo en años 0 1 Cantidad de Peces 15000 (1- 3 10 )* 15000+ 3000 2 3 4 5 10 N 6. Realiza la gráfica de situaciones como las siguientes: En un lago hay una población inicial de 15,000 peces. Por diversos factores como la falta de oxigeno, la escasa alimentación y la pesca hay una pérdida anual del (10%, 20%, 30%, 40%) de la población. Anualmente nace una cantidad fija de 3000 peces. “Hojas de trabajo” - 17 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN 1.-Establece un procedimiento de trabajo para hallar una pérdida consecutiva de un 15% con una recuperación anual fija de 1000 unidades, siendo el capital inicial de 150,000 pesos. 2.- Argumenta cada paso con lenguaje verbal y simbólico, con el fin de justificar la validez del procedimiento. Establece un procedimiento de trabajo para hallar una pérdida consecutiva de un i% mensual con una recuperación de k unidades mensuales si el capital inicial es A. “Hojas de trabajo” - 18 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad I. Tema: Operaciones Sub -tema: aritméticas básicas y Variación Directa aplicaciones Material que puedes usar: Fecha: _____________ Lápiz, pluma y papel y Excel Hoja de Trabajo No. 3 DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de hallar la variación directa, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de determinar la variación directa. Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel a fin de facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular variaciones directas para resolver problemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto de variación directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de cálculos de variaciones directas. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 19 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Un indicador muy importante en la economía nacional es el tipo de cambio del peso con respecto a algunas monedas extranjeras como el Dólar y el Euro. 1. Averigua cuántos Pesos mexicanos hay que pagar por un Dólar y cuántos por un Euro. Peso Peso Dólar 1 Euro 1 DIAGNÓSTICO 1. Expresa que operación debes hacer para convertir dólares a pesos 2. Expresa que operación debes hacer para convertir pesos a dólares “Hojas de trabajo” - 20 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DESARROLLO DE CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 2. Una casa de cambio quiere construir una tabla que ayude a los clientes a realizar las cuentas para diferentes cantidades de dólares. Utilizando las fórmulas apropiadas en Excel, construye una tabla para cambiar de dólares a pesos mexicanos. (Realiza una tabla con 10 filas como mínimo). Los resultados que aparecen en la computadora escríbelos en la siguiente tabla: 3. Realiza una gráfica con los resultados de la tabla anterior. En el eje x ubicarás la cantidad de dólares y en el eje y la cantidad de pesos mexicanos “Hojas de trabajo” - 21 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Completa la siguiente tabla. Advertencia: M representa cualquier cantidad de dólares. Dólares Pesos 2 125 165 1200 M EN ACCIÓN 5. La misma casa de cambio quiere construir una tabla que ayude a los clientes a realizar el cambio de moneda. Utilizando las fórmulas apropiadas en Excel, construye una tabla para cambiar de Pesos Mexicanos a Euros. (Realiza una tabla con 15 filas como mínimo). Los resultados que aparecen en la computadora escríbelos en la siguiente tabla: “Hojas de trabajo” - 22 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 6. Realiza una gráfica con los resultados de la tabla anterior. En el eje x ubicarás la cantidad de Pesos Mexicanos y en el eje y la cantidad de Euros. 7. En la Columna C realiza la división de la cantidad de Euros entre la cantidad respectiva de pesos. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Qué puedes concluir acerca de las cantidades que aparecen en la columna C? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ b. ¿Qué representa la cantidad que aparece en la comuna C? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ “Hojas de trabajo” - 23 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8. Completa la siguiente tabla. Advertencia: R representa cualquier cantidad de Pesos. Pesos Euros 56 235 726 1200 R 9. Diseña una tabla en Excel para pasar de Dólares a Euros. Dólares Euros 10. Explica la forma de pasar: i) De Pesos a Dólares y viceversa, ii) De Pesos a Euros y viceversa, iii) De Dólares a Pesos y viceversa, “Hojas de trabajo” - 24 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra iv) De Euros a Pesos y viceversa v) De Dólares a Euros y viceversa. 11. Expresa de forma única en lenguaje natural y simbólico las variaciones efectuadas en el cambio de una moneda a otra. EVALUACIÓN 1.- Si tienes 1500 pesos y la tasa de cambio a dólares y euros es la trabajada en la presente hoja de trabajo i) ¿cuántos dólares te deben de dar en la casa de cambio? ii) ¿cuántos euros te deben de dar en la casa de cambio? “Hojas de trabajo” - 25 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad 1 Tema: Operaciones aritméticas básicas y Sub -tema: variación inversa aplicaciones Material que puedes usar: Fecha: _____________ Lápiz, pluma y papel Excel Hoja de Trabajo No. 4 DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de hallar la variación inversa, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de determinar la variación directa. Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Excel a fin de facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular variaciones inversas para resolver problemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto de variación directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de cálculos de variaciones inversas. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. e. Identifica patrones de comportamiento a partir de los casos particulares estudiados. “Hojas de trabajo” - 26 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Actividad 1. Un tanque de reserva se llena en 15 horas empleando 6 llaves que tienen el mismo diámetro. Se quiere calcular la cantidad de llaves del mismo diámetro, que se deben abrir para que el mismo tanque se llene en 5 horas. Ante esta situación, consideras que la cantidad de llaves que se necesitan es: a. Mayor b. Menor c. Igual c. No sé Justifica tu respuesta __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ DIAGNÓSTICO Observa la tabla y establece una relación algebraica entre los dos juegos de datos Número de llaves abiertas Tiempo (t) (horas) 1 2 3 4 5 6 90 45 30 22.5 18 15 Relación algebraica entre ll y t “Hojas de trabajo” - 27 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DESARROLLO DE CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Utiliza Excel para hacer la siguiente tabla: Llaves abiertas Tiempo (horas) 6 15 8 11.25 9 10 10 9 12 7.5 Usa el comando de gráfico y obtén una esquema que te puede ayudará darle solución a la situación planteada. Copia el gráfico en el siguiente recuadro. Ahora responde ¿Cuántas llaves iguales, abiertas son necesarias para llenar el tanque en 5 horas? ______________________ Justifica tu respuesta __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿Qué sucede con el tiempo a medida aumenta?________________ Justifica que la cantidad de llaves __________________________________________________________________ ¿Qué sucede con el tiempo a medida que la cantidad de llaves disminuye? _____________ Justifica __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ “Hojas de trabajo” - 28 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Utilizando Excel en la columna C escribe la formula siguiente: =A2* B2 ¿Utilizando rellenado con Excel completa la tabla hasta doce llaves. Como son los valores de la columna C? __________________________________________________________________ EN ACCIÓN Actividad 2. El tiempo y la cantidad de trabajadores que laboran en la construcción de un edificio esta relacionados como se muestra en la siguiente tabla. Trabajadores Tiempo (días) 7 60 10 42 30 14 12 Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la información que se proporciona en la tabla anterior Trabajadores Tiempo (días) 7 60 5 “Hojas de trabajo” 2 20 17 - 29 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Expresa con tus palabras la relación existente entre los dos juegos de datos expresados en los diferentes problemas planteados Expresa mediante símbolos matemáticos la relación existente entre los dos juegos de datos EVALUACIÓN Argumenta lo que sucede con un juego de datos cuando el otro juego crece, mediante lenguaje verbal y simbólico, a fin de justificar la validez de la expresión matemática que relaciona los dos juegos de datos. “Hojas de trabajo” - 30 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad I. Hoja de Trabajo No. 5 Tema: Operaciones Sub -tema: aritméticas básicas y Perímetros y áreas aplicaciones Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y Fecha: _____________ Geogebra DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de los conceptos de polígono regular, baricentro, apotema, perímetro y área, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado de relacionar perímetros, baricentros, apotemas y áreas de un polígono regular. Utiliza tablas, gráficas y fórmulas de Geogebra a fin de facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de los conceptos de polígonos regulares, sus perímetros, áreas, baricentros y apotemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico del concepto de polígono regular, perímetro, área y apotema, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de cálculos de áreas de polígonos regulares. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 31 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN 1. En las instalaciones de una escuela se tiene un espacio donde se puede hacer una piscina. El terreno donde se construirá la piscina tiene forma rectangular de 300 por 200 metros. El director quiere que la piscina tenga forma de un polígono regular y que en el baricentro del mismo tenga un pequeño espacio para colocar banderas, al cual se llegará por un puente. Ha pedido a todo el personal que labora o estudia en el centro que aporte ideas a fin de que el costo sea menor y tenga la mayor área posible. Plantea en el recuadro siguiente la forma que debe tener la piscina para que se cumplan las condiciones planteadas anteriormente. Justifica tu propuesta. ¿Necesitas conocer el costo del m2 de paredes y el de m de los borde y puente? Tampoco se ha establecido la profundidad de la piscina, ¿lo necesitas para hacer el diseño de la piscina?. 300 metros 200 m DIAGNÓSTICO 2. Entra a Geogebra y realiza las siguientes construcciones: a. Con el comando polígono regular construye polígonos de (3, 4, 5, 6 y 7 ) lados. b. En todas las figuras queda marcado un punto que corresponde al baricentro de cada polígono. Traza una perpendicular a un lado del polígono que pase por ese punto. c. Señala el punto de intersección de la recta perpendicular con el lado. Traza un segmento desde el baricentro hasta el pie de la perpendicular. A este segmento le seguiremos llamando apotema. d. Oculta la recta perpendicular. “Hojas de trabajo” - 32 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 3. Realiza medidas en Geogebra para completar la siguiente tabla: Figura Longitud del apotema Perímetro “Hojas de trabajo” (Perímetro)* Área (Apotema) - 33 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 4. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre la relación que existe entre el perímetro, el apotema y el área de un polígono regular de cualquier cantidad de lados. Espacio para construir la conjetura ¿Cómo relacionas los resultados obtenidos en los incisos 2, 3 y 4 con el problema original? EVALUACIÓN Argumenta la solución obtenida del problema, mediante lenguaje verbal y simbólico para justificar la validez del procedimiento utilizado. “Hojas de trabajo” - 34 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad I. Hoja de Trabajo No. 6 Tema: Lenguaje algebraico Sub -tema: y aplicaciones Conceptos básicos Álgebra. Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel. Fecha: _____________ de DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de los conceptos básicos de polinomio, grado de un polinomio, término, variable, coeficiente, exponente, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado delos mismos. Construye tablas, gráficas y fórmulas mediante Excel a fin de facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de calcular variaciones directas para resolver problemas. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de los conceptos básicos de polinomio, grado de un polinomio, término, variable, coeficiente, exponente directa, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso de polinomios. ESTRATEGIA DIDÁCTICA a. Expresa con una expresión algebraica cada una de las expresiones verbales. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 35 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Carlos quiere averiguar sobre su árbol genealógico hasta 12 generaciones antecedentes, se dio cuenta que tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos. ¿Cuántas personas componen la doceava generación de Carlos? En una bolsa hay monedad de $1, $2, $5 y $10 pesos. Expresa con símbolos la cantidad monedas de diferentes evaluaciones, las cuales se encuentran en esa bolsa. DIAGNÓSTICO Expresa el significado de potencia de un número y la potencia de una variable En la expresión 5x7 señala el coeficiente y el exponente, describe sus significados en el caso que x tenga el valor 2, el valor 3, o un valor k En la expresión matemática 3x4 – 2x3 + 5x + 6, señala cuantos sumandos tiene la expresión y el mayor exponente que aparece “Hojas de trabajo” - 36 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Sobre el concepto de polinomio. a) Observa, analiza y describe las características de los ejemplos de polinomios siguientes: 5, x, 3x, b) Observa, analiza 2x3 y + 3, x10 + ¼x , 11rs4 + r2s3 s y describe las características de los ejemplos de expresiones que no son polinomios que se te presentan a continuación. x¼, ¼ es un exponente fraccionario 7xy2, 2 es un exponente negativo. c) Analiza la definición de polinomio que se da a continuación: un polinomio es una suma de términos en los cuales el coeficiente es un número real y cada uno de los exponentes de las variables es un número entero no negativo (recuerda que los números enteros no negativos pertenecen al conjunto 0, 1, 2, ...). ¿Concuerda esta definición con tus análisis anteriores? Un polinomio con un solo término es un monomio. Un binomio es un polinomio con dos términos y un trinomio es un polinomio con tres términos. “Hojas de trabajo” - 37 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. En la segunda columna de la tabla 1, específica si la expresión algebraica que se te presenta en la primera columna es un monomio, un binomio, un trinomio, un polinomio o no es un polinomio. En caso que no sea un polinomio, en la tercera columna debes explicar porque no le es. Expresión algebraica Tipo Justificación 1 5 ¾z8w r½ + 2r 6 2x3z + x2z2 z +25 2+ 7 x 2 + 5x + 3xy Tabla1 2. Sobre el grado de un polinomio. El grado de una variable en un monomio es el exponente a que está elevada la variable. El grado de un monomio es la suma de los grados de todas sus variables. Si el monomio es constante su grado es cero. a) Observa como se procede para determinar el grado de 9x4y5z3. El grado de la variable x es 4. El grado de la variable y es 5. El grado de la variable z es 3. Luego, el grado del monomio 9x4y5z3 es 4 + 5 + 3 = 12. “Hojas de trabajo” - 38 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos, después de haber simplificado. EN ACCIÓN b) Observa como se procede para determinar el grado de 2ab + a2b5 b10 14. El grado de 2ab es 2. El grado de a2b5 es 7. El grado de b10 es 10. El grado de 14 es 0. Por tanto, el grado del polinomio 2ab + a2b5 b10 14 es 10. c) En la segunda columna de la tabla 2 escribe el grado del polinomio que aparece en la primera columna. Polinomio Grado del polinomio 3 + r2s rs2 20z3w2 zw4 + w5 3 +2x 60t7s3 + 4t5s4 -15t2s5 + 16 43x4y4 – 68x3y2 +72x2y - 98 2x3y2z5 + 4x6y3z2 – 35x4y2z6 + 23 9w2t5 – 3w4t2 + 6w3t4 + 5wt8 –w4t4 Tabla 2 “Hojas de trabajo” - 39 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Sobre el orden de los polinomios a) Analiza las afirmaciones que se presentan en los dos recuadros siguientes: El polinomio st2 + s2t + 31 está ordenado en forma descendente con respecto a la variable t, ya que los exponentes de t decrecen al recorrer los términos de izquierda a derecha. El polinomio ab6 + a3b + 3a7b3 a10 está ordenado en forma ACTIVACIÓN CONCEPTUAL ascendente con respecto a la variable a, ya que los exponentes de a crecen al recorrer los términos de izquierda a derecha. b) En la segunda y tercera columna ordena el polinomio que aparece en la primera columna en forma descendente y en forma ascendente, en la variable que se indica, respectivamente. Polinomio Orden descendente Orden ascendente a2x2 3ax4 + 6 a5x Variable x Variable a yz z3 + y2z2 y Variable z Variable y Tabla 3 “Hojas de trabajo” - 40 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Se denomina término de un polinomio a __________________________________________________________________ 6. Un polinomio es Donde los coeficientes son __________________________________________________________________ y los exponentes son __________________________________________________________________ i) Un polinomio con un solo término se denomina___________________________ ii) Un polinomio con dos términos se denomina____________________________ iii) Un polinomio con tres términos se denomina____________________________ 7. El grado de un polinomio se determina __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 8. Los polinomios pueden ser ordenados en forma ascendente o descendente respecto a cada una de sus variables de la forma siguiente: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ EVALUACIÓN 9. Construye un polinomio de grado 10 con dos variables y cuatro términos. 10. Construye un trinomio de grado 7 con tres variables y cinco términos. “Hojas de trabajo” - 41 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD II Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas modelados mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables con el uso del álgebra. Construye modelos matemáticos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables mediante la aplicación de expresiones algebraicas para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Interpreta modelos matemáticos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Construye tablas y gráficos, mediante el uso de WxMáxima para facilitar la comprensión de desarrollar procedimientos que permitan hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas efectuando el cálculo algebraico. Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas efectuando el cálculo algebraico. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” - 42 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad II. Hoja de Trabajo No. 1 Tema: Sistemas de Sub -tema: Ecuaciones Lineales con Graficación dos variables Material que puedes usar: pluma, regla, papel Fecha: _____________ cuadriculado y el programa WXMáxima. INSTRUCCIONES COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de la pendiente y el intercepto con el eje “y” de las ecuaciones lineales. Expresa en forma de tablas y gráficos las ecuaciones de rectas, mediante el uso de WXMáxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de la pendiente y el intercepto con el eje “y” de ecuaciones lineales de dos variables. Argumenta el significado geométrico de la pendiente y el intercepto con el eje “y” de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ACCIONES METODOLÓGICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 43 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN La ganancia de dos compañías A y B en el año pasado están dadas por las ecuaciones y = x ; y =( ½ )x + 4 respectivamente, donde x expresa el tiempo en meses. Construye en un gráfico las ganancias de ambas compañías y responde ¿Cuál de las compañías comenzó el año sin ganancias? A partir de que mes la compañía que empezó sin ganancias, superó a la otra compañía. Argumenta que sucedió para que superara a la que comenzó el año con ganancias. “Hojas de trabajo” - 44 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Utiliza un graficador o papel cuadriculado si no puedes utilizar graficador, para graficar las siguientes funciones: y = x; y = 2x; y = 3x; y = (2/3)x. Reproduce TODAS las gráficas en el siguiente plano. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Escribe en la segunda columna el coeficiente de la x en cada una de las funciones. Y= x Y = 2x Y = 3x Y = (2/3)x Y =(½)x “Hojas de trabajo” - 45 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Observa la posición de las rectas y los valores de los coeficientes de x, en base a ello explica el efecto que produce en la posición de las rectas, los valores de los coeficientes de x mayores que 1 menores que 1 EN ACCIÓN Escribe en la segunda columna el coeficiente de la x en cada una de las expresiones. Y= -x Y =- 2x Y = -3x Y =- (2/3)x Y =-(½)x Expresa con palabras el efecto crees que produzca en los gráficos, los coeficiente negativos de la x “Hojas de trabajo” - 46 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Grafica mediante un software ó en papel cuadriculado y luego reproduce TODAS las gráficas en el siguiente plano. Compara tu respuesta anterior con las gráficas. ¿Cómo será la gráfica de la función en el caso que el coeficiente de la x sea 0? Expresa el caso anterior en lenguaje algebraico “Hojas de trabajo” - 47 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Expresa en la siguiente tabla la relación existente entre el coeficiente m de la “x” y la posición de las rectas. En la primera columna anota las expresiones de acuerdo al signo de m. En la tercera todas las gráficas Y = m*x m Gráfica m>0 m <0 m=0 Al sumar a las funciones anteriores un número cualquiera ¿qué modificaciones se obtienen en cada una de ellas? “Hojas de trabajo” - 48 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Selecciona una de las funciones anteriores y súmale un número cualquiera (uno positivo y uno negativo) Primero grafica en la computadora y luego reproduce TODAS las gráficas en el siguiente plano. Por ejemplo Y = 3x + 5; y = 3x – 3; Y = 3x Si se mantiene igual m y cambia b explica la relación entre las rectas Si se mantiene igual b y cambia m explica la relación entre las rectas Explica las condiciones de b y m para que dos rectas sean paralelas Explica las condiciones de b y m para que dos rectas se corten en un punto Comparte con los compañeros de tu equipo los resultados obtenidos. A partir de la discusión de los distintos casos, llenen la siguiente tabla “Hojas de trabajo” - 49 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Y = mx + b m b m > 0 b > 0 m> 0 b <0 m< 0 b> 0 m < 0 b<0 m=0 b> 0 m=0 b<0 “Hojas de trabajo” Gráfica - 50 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Grafica los casos en que b = 0 En las dos gráficas determina el signo de b y m Escribe a partir del gráfico los valores de m y b “Hojas de trabajo” - 51 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Tema: Sistemas Ecuaciones Lineales dos variables. Unidad II. de con Sub -tema: Graficación Material: pluma, regla, papel cuadriculado y el Fecha: _____________ programa wxMaxima. Hoja de Trabajo No. 2 DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de los coeficientes de las variables y el término independiente de los sistemas de dos ecuaciones lineales. Representa en forma gráfica los sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de WXMáxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de los coeficientes de las variables y el término independiente de un sistema de dos ecuaciones lineales de dos variables. Argumenta el significado geométrico de los coeficientes de las variables de los sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 52 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Un equipo de jockey sabe que necesita 60 puntos en la temporada para pasar a las finales. Un juego ganado vale 2 puntos y un empate 1 punto. I. Escribe en forma de ecuación el número de juegos ganados (g) y el número de juegos empatados (e) que necesitará el equipo para pasar a finales. II. Si sólo quedan ocho juegos y el equipo tiene 50 puntos, ¿para que combinación de juegos ganados y empatados puede el equipo pasar a finales? DIAGNÓSTICO En las siguientes ecuaciones de la forma Ax + By + C = 0 despeja del valor y. Determina los valores de m y b, comparando con la nueva forma y = mx + b Ax + By + C = 0 y = mx + b 4x – 2y + 2 = 0 I. m= b= – 4x + 2y + 2 = 0 II. m= b= 4x – 2y + 6 = 0 III. m= b= “Hojas de trabajo” - 53 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS I.-I) Completa la siguiente tabla Ax + By + C = 0 Relación con la expresión y=mx+b recta A B C L1 4 -2 2 Y = 2x + 1 L2 4 -2 6 Y = 2x + 3 L3 12 -2 18 Y = 6x + 9 L4 -9 3 6 Y = 3x - 2 L5 A B C “Hojas de trabajo” m b Graficar la ecuaciones formadas. - 54 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra II) Reproduce en el plano siguiente las gráficas de L1 y L2 Relaciona los valores de m y b, en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m y b III) Reproduce en el plano siguiente las gráficas de L2 y L3. Relaciona los valores de m y b en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m y b. “Hojas de trabajo” - 55 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra IV) Reproduce en los planos siguientes las gráficas de L 1 y L4. Relaciona los valores de m y b en ambas rectas. Relaciona los valores de A, B y C con los de m yb V) Observa en los incisos II, III y IV, la posición de las rectas y explica la relación entre la posición de las rectas y los valores de m y b. Explica esa relación en términos de A, B y C VI) Analiza si la relación entre los valores de A, B y C ocurre para cualquier par de rectas que sean paralelas, que coincidan o se corten en un punto, o por el contrario estos son casos aislados. Argumenta tus ideas en cada caso. Debate con tus compañeros de equipo. “Hojas de trabajo” - 56 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN II.-Determina por simple inspección observando los valores de A, B y C si los pares de expresiones algebraicas siguientes, representan geométricamente dos rectas que se cortan, que coinciden o que son paralelas. Argumenta en cada caso tu respuesta. Grafícalas y comprueba lo que señalaste por simple inspección. 1. 3x – y = 7; 2x + 3y = 12 2. 2x – 3y = 7 ; -2x + 4y = -8 3. 3x – y = 2 ; x – 3y = - 10 4. 3x + 2y = 4 ; 6x + 4y = 21 5. 3x + 2y = 4 ; 6x + 4y = 8 6. 2x + y = 3 ; 5x + 2y = 5 III.-A partir de la siguiente gráfica contesta las preguntas. “Hojas de trabajo” - 57 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra I. ¿Crees que l1 y l4 tienen el mismo valor de m? Argumenta tu respuesta II. ¿Consideras que l1 y l4 se cortan en un punto? Argumenta tu repuesta. III. Observa las rectas que se cortan en un punto. Señala los pares de rectas. En cada caso determina el signo y valor de m y el valor de b. IV. Expresa las condiciones que se cumplen para esos pares de rectas en términos de A, B y C EVALUACIÓN 1. Explica el significado geométrico de los coeficientes de las ecuaciones de las rectas escritas en forma general y en función de su pendiente y su intercepto con el eje y. “Hojas de trabajo” - 58 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. Escribe en términos de A, B y C las condiciones que tienen que cumplirse para que dos rectas: Se corten. Sean paralelas. Coincidan. 3. Escribe en términos de m y b las condiciones que tienen que cumplirse para que dos rectas: Se corten. Sean paralelas. Coincidan. 4. Interpreta el problema enunciado en la motivación geométricamente, algebraicamente y da la respuesta en términos de juegos que se necesitan ganar y empatar para pasar a finales. “Hojas de trabajo” - 59 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad II. Hoja de Trabajo No. 3 Tema: Sistemas de Sub -tema: Ecuaciones Lineales con dos Solución de sistemas. variables Método de sustitución Material: pluma, regla, papel cuadriculado y el programa Fecha: _____________ wxMaxima. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de Excel para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, por el método de sustitución. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos. “Hojas de trabajo” - 60 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Un concierto de rock vendió 5300 boletos. Los boletos se podían comprar por adelantado a $35.00 o en la entrada a $60.00. Si el evento reunió un total de $248,000 ¿cuántos boletos por adelantado se vendieron? DIAGNÓSTICO I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE VERBAL el conjunto solución de: Dos rectas que se corten en un punto Dos rectas que son paralelas Dos rectas que coinciden CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que no tienen solución, explica tus conclusiones. 1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6 2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12, 3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21 4) x + y = 8; 2x + 7y = 36 5) x + y = 36; 67x +100y = 2940 “Hojas de trabajo” - 61 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución, destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos. Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar el conjunto solución. II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo? 2x + 3y = 6 6x +7y = 12 _______ Explica tu conclusión 2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de ambas rectas, a partir de sus ecuaciones? b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de mismos valores de “y”? _____________ Explica tu respuesta. “x” y los c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales. “Hojas de trabajo” - 62 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales. e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos, ¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las dos rectas dadas en 1)? f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C. A B C D E F g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C. h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las variables. “Hojas de trabajo” - 63 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra i.-Sin efectuar las operaciones, solamente indicando las operaciones continúa trabajando hasta obtener las expresiones que dan el valor de “x” y de “y” j.- Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y” III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II. 1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2 A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 “Hojas de trabajo” - 64 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener infinitas soluciones. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para que el sistema no tenga solución. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema simultáneo. EN ACCIÓN A) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los sistemas dados en II. “Hojas de trabajo” - 65 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra B) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma: A1x+ B1 y = C1 A2 x+ B2 y = C2 C) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su significado geométrico. IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas 1) “Hojas de trabajo” - 66 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2) EVALUACIÓN V.- Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x + 5y = 10 x – 3y = 7 VI.- Utiliza el método de sustitución para resolver el sistema dado por: el doble de un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10. “Hojas de trabajo” - 67 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Explica el significado algebraico y geométrico del sistema simultáneo de ecuaciones. Explica el significado algebraico y geométrico del conjunto solución del sistema simultáneo de ecuaciones. Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de sustitución, utilizado para hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones. “Hojas de trabajo” - 68 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad II. Hoja de Trabajo No. 4 Tema: Sistemas de Sub -tema: Ecuaciones Lineales con dos Solución de sistemas. variables Método de determinantes Material: pluma, regla, papel cuadriculado y el programa Fecha: _____________ wxMaxima. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de Excel para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, por el método de determinantes. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos. “Hojas de trabajo” - 69 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Se tienen tres aleaciones de cobre, zinc y níquel, con los porcentajes de estos tres elementos del volumen de aleación siguientes: La primera aleación tiene 70% de cobre, 20% de zinc y 10% de níquel. La segunda tiene porcentajes de 40, 30 y 30. La tercera aleación tiene 25 % de cobre y 75 % de níquel. ¿Qué cantidad de cada una de las aleaciones debe mezclarse para obtener 50 kilogramos de una aleación con 30 % de cobre, 20 % de zinc y 50% de níquel DIAGNÓSTICO I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE VERBAL el conjunto solución de: Dos rectas que se corten en un punto Dos rectas que son paralelas Dos rectas que coinciden CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que no tienen solución, explica tus conclusiones. 1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6 2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12, 3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21 “Hojas de trabajo” - 70 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4) x + y = 8; 2x + 7y = 36 5) x + y = 36; 67x +100y = 2940 6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución, destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos. Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar el conjunto solución. II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo? 2x + 3y = 6 6x +7y = 12 _______ Explica tu conclusión 2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de ambas rectas, a partir de sus ecuaciones? b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de mismos valores de “y”? _____________ Explica tu respuesta. “Hojas de trabajo” “x” y los - 71 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales. d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales. e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos, ¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las dos rectas dadas en 1)? f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C. A B C D E F g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C. “Hojas de trabajo” - 72 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las variables. i.-Sin efectuar las operaciones, solamente indicando las operaciones continúa trabajando hasta obtener las expresiones que dan el valor de “x” y de “y” j.- Escribe en las columnas A, B, C de la tabla, los valores de los coeficientes de x, de y, el término independiente de la ecuación original. En las columnas D, E, F expresa los cambios efectuados a los valores de A, B y C, obtenidos en el inciso (i). A B C D E F k.- Escribe los coeficientes de las dos ecuaciones en la misma posición que se encuentran en el sistema, omitiendo las variables. “Hojas de trabajo” - 73 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra l.-Observa en la tabla del inciso (j) las operaciones realizadas con esos números y exprésalo algebraicamente, a fin de obtener los valores de “x” y de “y” m.- Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y” III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II. 1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2 “Hojas de trabajo” - 74 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener infinitas soluciones. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para que el sistema no tenga solución. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema simultáneo. 5) Escribe el procedimiento efectuado para hallar los valores de “x” y de “y” “Hojas de trabajo” - 75 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN D) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los sistemas dados en I. “Hojas de trabajo” - 76 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra E) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma: A1x+ B1 y = C1 A2 x+ B2 y = C2 F) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su significado geométrico. IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas 1) “Hojas de trabajo” - 77 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2) EVALUACIÓN IV.- Utiliza el método de determinantes para resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x + 5y = 10 x – 3y = 7 V.- Utiliza el método de determinantes para resolver el sistema dado por: el doble de un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10. “Hojas de trabajo” - 78 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra “Hojas de trabajo” - 79 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad II. Hoja de Trabajo No. 5 Tema: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables Material: pluma, regla, papel cuadriculado y el programa wxMaxima. Sub -tema: Solución de sistemas. Método de suma y resta Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Representa los coeficientes de las ecuaciones lineales y las operaciones algebraicas que se deben realizar con ellos mediante el uso de wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hallar el conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Divide el grupo de clases en tres partes y trabaja las hojas 3, 4 y 5 con diferentes estudiantes en la misma actividad lectiva. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. e. Discute con los otros equipos las analogías y diferencias de los tres métodos. “Hojas de trabajo” - 80 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Una agencia de venta de paquetes turísticos vendió 15300 paquetes para asistir a los Juegos Olímpicos. Los paquetes turísticos se podían comprar al contado a $13,500 o a pagar en seis meses a $16,000. Si se obtiene por la venta de los dos tipos de paquetes un total de $244,050,000 ¿cuántos paquetes turísticos se vendieron al contado? DIAGNÓSTICO I.- Se denomina conjunto solución de dos rectas al conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Señala MEDIANTE LENGUAJE VERBAL el conjunto solución de: Dos rectas que se corten en un punto Dos rectas que son paralelas Dos rectas que coinciden CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS II.- A partir de los resultados obtenidos en la hoja anterior señala los sistemas de ecuaciones que tienen solución única, los que tienen infinitas soluciones y los que no tienen solución, explica tus conclusiones. 1) 2x + 4y = 12; 3x + y = 6 2) 3x + y = 6; 6x + 2y = 12, “Hojas de trabajo” - 81 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 3) 6x + 2y = 12; 6x + 2y = 21 4) x + y = 8; 2x + 7y = 36 5) x + y = 36; 67x +100y = 2940 6) Expresa en forma verbal una estrategia para hallar cada conjunto solución, destacando en forma geométrica y algebraica las coordenadas de los puntos. Discute con tus compañeros de equipo tu estrategia. Lleguen a un consenso con todos los alumnos del aula y con el profesor de un procedimiento válido para hallar el conjunto solución. II- 1) ¿La pareja de números (-3/2, 3), es solución del sistema simultáneo? 2x + 3y = 6 6x +7y = 12 _______ Explica tu conclusión 2) a.- ¿Cómo podrías determinar algebraicamente el punto de intersección de ambas rectas, a partir de sus ecuaciones? b.-¿Crees que el punto de intersección tiene los mismos valores de mismos valores de” y”? _____________ Explica tu respuesta. “Hojas de trabajo” “x” y los - 82 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c.- Expresa el significado numérico de que “x” de L1 y “x” de L2 sean iguales. d.- Expresa el significado numérico de que “y” de L1 y “y” de L2 sean iguales. e.-Si los valores de las coordenadas del punto de intersección son los mismos, ¿Cómo expresas estos valores de “x” y de “y”, a partir de las ecuaciones de las dos rectas dadas en 1)? f.- Escribe en las columnas A, B, C los valores de los coeficientes de x, de y, el término independiente de las ecuaciones originales. En las columnas D, E, F expresa los cambios efectuados en el inciso (e) a los valores de A, B y C. A B C D E F g.- Observa en las expresiones obtenidas en el inciso e) los cambios (respecto a las ecuaciones originales dados en el inciso 1) efectuados en los términos independientes y en los coeficientes de “x” y de “y” , expresa con palabras los cambios de D respecto de A, de E respecto de B, de F respecto de C. “Hojas de trabajo” - 83 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra h.-A partir de la respuesta del inciso g) señala si al modificar las expresiones algebraicas trabajas con los valores de las variables o de los coeficientes de las variables. 3) ¿Cómo se obtiene la ecuación -67x - 67y = -2412 a partir de x + y = 36? 4) ¿Esta nueva expresión algebraica corresponde a la misma recta? _____________ ¿Por qué? 5) El sistema simultáneo -67x – 67y = -2412 67x +100y = 2940 ¿Tiene el mismo conjunto solución que el sistema x + y = 36 67x +100y = 2940 ____________ Justifica tu respuesta 6) Cómo puedes hacer para encontrar una ecuación que tenga el mismo conjunto solución que la recta 2x + 3y = 6 y el mismo coeficiente de la “x” que la recta 6x + 7y = 12 7) Cómo puedes hacer para encontrar una ecuación que tenga el mismo conjunto solución que la recta 2x + 3y = 6 y el mismo coeficiente de la “y” que la recta 6x + 7y = 12 “Hojas de trabajo” - 84 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8) Efectúa la suma de las ecuaciones del sistema II.5) y representa gráficamente mediante WX-Maxima las ecuaciones de las rectas y el resultado de realizar esa operación de suma. Argumenta el trabajo realizado algebraicamente y geométricamente. 9) Escribe un procedimiento para obtener el valor de “y”, y el valor de “x” del conjunto solución, a partir de expresiones algebraicas diferentes que representan las mismas rectas “Hojas de trabajo” - 85 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra III.-Haciendo uso de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores de II. 1) A partir de los sistemas de ecuaciones dadas en I, explica por qué existe solución única del sistema, en términos de A1, B1 , C1 y A2 , B2 , C2 A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 2) Explica las condiciones de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para obtener infinitas soluciones. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 3) Señala cómo deben ser los valores de A1, B1, C1 y A2 , B2 , C2 del sistema para que el sistema no tenga solución. A1X + B1Y = C1 y A2 X + B2 Y = C2 4) Expresa una estrategia algebraica válida para hallar la solución del sistema simultáneo. “Hojas de trabajo” - 86 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN G) Haciendo uso de las estrategias planteada por ti halla la solución de los sistemas dados en I. H) Plantea estas estrategias para cualquier par de ecuaciones de la forma: A1x+ B1 y = C1 A2 x+ B2 y = C2 “Hojas de trabajo” - 87 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra I) Observa las operaciones realizadas con A1, B1, C1, A2, B2, C2. Explica paso a paso las operaciones efectuadas, interpretando además su significado geométrico. IV.- Resuelve analíticamente las siguientes gráficas 1) 2) “Hojas de trabajo” - 88 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN IV.- Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x + 5y = 10 x – 3y = 7 V.- Utiliza el método de determinantes para resolver el sistema dado por: el doble de un número más el triple de otro es cinco y la diferencia de ambos resultó 10. Explica el significado algebraico y geométrico del sistema simultáneo de ecuaciones. Explica el significado algebraico y geométrico del conjunto solución del sistema simultáneo de ecuaciones. “Hojas de trabajo” - 89 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de eliminación, utilizado para hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones. Escribe paso a paso el procedimiento algebraico de determinantes utilizado para hallar la solución del sistema simultáneo de ecuaciones. “Hojas de trabajo” - 90 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Tema: Sistemas de Sub -tema: Ecuaciones Lineales con Solución de sistemas dos variables Material: pluma, regla, Hoja de Trabajo No. Fecha: _____________ 6 Unidad II. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Construye, interpreta y resuelve modelos matemáticos determinísticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de situaciones reales, hipotéticas y formales. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar un modelo con variantes de los problemas planteados. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 91 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN I.- Martha trabaja en la tienda de telefonía celular llamada HOLA. La compañía ofrece dos tipos de teléfonos: el teléfono tipo A cuesta $350 y el tipo B cuesta $520. Martha reportó $151,160 por la venta de 360 teléfonos celulares. Carlos, el jefe de Martha, preguntó: ¿Cuántos teléfonos se vendieron de cada tipo? Martha no registró las ventas de cada tipo de teléfono. Para recuperar la información que el jefe solicita, Martha hizo algunas cuentas que se presentan en la siguiente tabla: Número de Teléfonos del tipo A 200 250 260 300 Número de teléfonos del tipo B Total de la Venta 160 110 100 60 70,000 + 83,200 87,500 + 57,200 91,000 + 52,000 105,000 + 31,200 Martha está haciendo mucho esfuerzo por encontrar los datos. Sin embargo, no lo ha logrado. Ella está en riesgo de perder su empleo. DIAGNÓSTICO ¿Qué estrategia utilizarías tú para encontrar la respuesta que requiere el jefe de Martha? “Hojas de trabajo” - 92 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra ¿Cuántos teléfonos se vendieron de cada tipo? Espacio para hacer los cálculos y describir el método de solución CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS I.-Usa los datos y las condiciones del problema planteado en la sección de motivación, para completar la siguiente tabla. Utiliza una estrategia que te permita encontrar una solución al problema planteado. Número de Teléfonos del tipo A Número de teléfonos del tipo B Total de la Venta II. Utiliza letras para simbolizar el hecho que existen dos tipos de celulares, de tal manera que en total Martha vendió 360 celulares. III. Utiliza las mismas letras del punto anterior, simboliza el hecho que Martha reportó $151,150 por la venta de los celulares: “Hojas de trabajo” - 93 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra IV. A) Realiza una representación gráfica del problema que estás resolviendo en esta sección. En el eje horizontal se representan el número de teléfonos del tipo A y en el eje vertical el número de teléfonos del tipo B. B) Representa gráficamente las expresiones algebraicas dadas en II y III “Hojas de trabajo” - 94 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra C) ¿Es posible que “x” y “y” tomen valores negativos, fraccionarios o irracionales? _______ Justifica tu respuesta EN ACCIÓN I-Un inversionista coloca parte de su dinero al 5% y resto al 10% de interés simple, percibiendo anualmente $2500 de intereses. 1.- ¿Cuál es el dinero que se debe invertir al 5% y al 10% para que generan estos intereses? ________________ 2.- ¿Existe sólo esas cantidades de dinero, que puedan producir esos intereses?________ Entonces, cita al menos dos maneras de inversión. 3.- Escribe una ecuación que represente al problema. 4.- Si el inversionista hizo un desembolso de $30,000, ¿cuánto tendrá que invertir para que le genere los $2,500?_________________________ ¿Por qué? “Hojas de trabajo” - 95 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5.-Escribe el modelo matemático que exprese las condiciones descritas anteriormente. 6.- Construye la representación gráfica del modelo. 7.- Encuentra la solución algebraica del sistema y responde el planteamiento hecho al inicio. 8.- Si la inversión al 5% es de $40000 ¿Cuánto dinero se generan por concepto de intereses?____________________ ¿Por qué? 9.- Si hacen inversiones de $20,000 y $10,000 al 5% y 10% respectivamente, el inversionista obtendrá los mismos intereses al año________ ¿Por qué? “Hojas de trabajo” - 96 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra II.- La siguiente gráfica representa el costo de alquilar de un automóvil por un día en la Compañía A y en la B ¿Cuál compañía no cobra tarifa inicial por alquilar un automóvil? ¿Cuántos kilómetros pueden ser recorridos en un día por $50 para cada compañía? ¿Cuántos kilómetros pueden ser recorridos para que los costos sean los mismos? ¿Cuál compañía es la más barata? ¿Cuál es la diferencia en los costos? ¿En qué caso es indiferente la compañía que contrate? “Hojas de trabajo” - 97 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra III.-Mezclas de soluciones 1.- ¿Cuántas onzas de una solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se deben mezclar para obtener 50 onzas de solución salina al 15%? 2.- ¿Cuál es la cantidad de onzas de solución salina al 5%, que se requiere para la preparación de la mezcla?__________________ 3.- ¿Cuál será el sentido de la expresión 0.12y, si y es la cantidad de litros de una solución alcohol agua? 4.-Se tiene 10 litros de solución de alcohol-agua al 25% ¿Cuántos litros de alcohol se necesitan para preparar esta mezcla? 5.- ¿Sabes la cantidad de onzas de solución al 20% necesaria para lograr la preparación de la mezcla? ______entonces; ¿Cómo lo representarías? _______________________ ¿Por qué? 6.-¿Qué cantidad de sal hay en la solución al 5%?__________________________ 7.- ¿Cuánta sal tiene la solución al 20%? _________________________________ 8.-Diga la cantidad de sal en la mezcla? _________________________________ 9.- ¿Cuál será la cantidad de onzas de la mezcla? _________________________ 10.-Describe el significado de la ecuación x + y = 50 “Hojas de trabajo” - 98 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 11.-Representa el modelo ¿Qué significado se obtendrá de la ecuación x +y = 50, si x = 0? Escribe el modelo matemático arriba_________________ apropiado para la gráfica de ¿El par ordenado (20,10) satisface a la línea recta mostrada arriba? ________ ¿Por qué? ¿Crees que la gráfica representa al problema de la solución salina? _________ ¿Por qué? “Hojas de trabajo” - 99 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN IV.- Juan fue a la tienda y compró 2 paletas y un chocolate pago dulces en total pagó 30 pesos. 1.- ¿Cuál es el precio de cada paleta y el chocolate? ______ y _______ 2.- Bajo las condiciones del problema ¿Existen otras respuestas diferentes a las que encontraste en el punto anterior, para el precio de una paleta y un chocolate? ______. En tu cuaderno explica tu respuesta 3.- En tu cuaderno construye una expresión matemática que describa esta situación. 4.- Sí al día siguiente, Juan realizó una nueva compra: cuatro paletas y dos chocolate y pagó $60 ¿Cuánto pago por cada artículo? 5.- Si Juan comprará k paletas y p chocolates pagará t pesos, construye un Modelo Matemático que se ajuste a la condición dada. 6.- Construye una forma de representación gráfica para el problema dado. 7.- ¿Cuánto pagó, Juan por cada paleta y chocolate en la compra? _________________ ¿Por qué? “Hojas de trabajo” - 100 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8.- ¿Cuál es el precio de cada paleta si el chocolate cuesta $ 10? _________________ 9.- Si la paleta cuesta $15 ¿Cuántos chocolates obtendrás de la compra?_______________ ¿Por qué? 10.- ¿Cuál es el precio de cada chocolate, si la paleta tiene un costo de 40 centavos?_______________ explica V.- Expresa el enunciado de un problema que responda al Modelo Matemático x + y = 8; 2x + 7y = 36. A partir de la solución hallada en la hoja # 2, responde la pregunta del problema. 1.-a) Explica la forma en que escoges las variables de un problema. b) Explica la forma en que identificas la relación entre las variables escogidas. c) Explica el significado de los datos de los problemas “Hojas de trabajo” - 101 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2.-Explica la relación entre los enunciados de los problemas planteados en esta hoja, la representación algebraica de esos enunciados, la representación geométrica y la solución obtenida mediante el método de eliminación o el método de determinantes. 3.-Inventa nuevos problemas similares a los que estamos trabajando en la presente hoja de trabajo. “Hojas de trabajo” - 102 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD III Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas con el uso del álgebra. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Construye tablas y gráficos, mediante el uso de wx-Maxima para facilitar la comprensión de los conceptos de hallar en casos notables, el producto de polinomios y la factorización de polinomios desarrollando procedimientos algebraicos. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” - 103 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Productos Notables Hoja de Trabajo No. 1 Sub -tema: Binomio al Cuadrado Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica del producto de un binomio por si mismo, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico de hallar el cuadrado de un binomio. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico de hallar el producto de un binomio por si mismo. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar el cuadrado de un binomio, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDACTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 104 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa el producto de los siguientes binomios (x + a)* (x + a) = (p + 2)*(p + 2) = (t + 3)*(t + 3) = (6 + r)*(6 + r) = (mp3 + 1)*(mp3 + 1) = (2/5 + Y)*(2/5 + Y) = MOTIVACIÓN El profesor de Matemáticas pone un juego en un Ralley que prepara para sus estudiantes. Ganará el equipo que encuentre en menos tiempo 16 ositos enterrados en un terreno cuadriculado como aparece en el gráfico. Los equipos son de 4 estudiantes. En las orientaciones se indica que: i) hay 8 ositos enterrados en las posiciones de las rectas y = 6, x = 4 y que coinciden con puntos que se encuentran a 5 unidades de (2,3), a 4 unidades de “Hojas de trabajo” - 105 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra (5,-7), o a tres unidades de (-4,6). Se pide dar las coordenadas de los puntos donde se encuentran los 8 ositos. ii) hay 8 ositos enterrados en las posiciones de las rectas y = x, y = -x y que coinciden con puntos que se encuentran a 5 unidades de (2,3), a 4 unidades de (5,-7), o a tres unidades de (-4,6). Se pide dar las coordenadas de los puntos donde se encuentran los 8 ositos. Halla los lugares donde están enterrados los 16 ositos y establece una estrategia para ganar. CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas 1 y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna tres de esta tabla. Columna 1 Columna 2 1ª expresión Expresión de de entrada salida Columna 3 Conclusiones. Completa la igualdad. (x + a)2 (x + a)2 = (y + b)2 (y + b)2 = (p + 2)2 (p + 2)2 = (t + 3)2 (t + 3)2 (6 + r)2 (6 + r)2 = (9 + s)2 (9 + s)2 = 1 m 2 3 1 m 2= 3 (2 x + 6)2 (x + y)2 (xy2 + 3x)2 (x5 + p3)2 (2x + 6)2 = (x + y)2 = (xy2 + 3x)2 = (x5 + p3)2 = Tabla No. 1 “Hojas de trabajo” - 106 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 1 Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones columna No. 1 de la Columna No. 2 Tabla No 2 3. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular ( A + B)2 “Hojas de trabajo” - 107 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas 1 y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 3. Posteriormente completa la columna cuatro de esta tabla. Columna 1 1ª expresión Columna 2 Columna 3 Expresión de salida Conclusiones. Completa la de entrada igualdad. (x - a)2 (x – a)2 = (y - b)2 (y - b)2 = (n - 3)2 (n - 3)2 = 1 d 2 5 1 d 2 5 (7 - r)2 (7 - r)2 = (9 - h)2 (9 - h)2 = (2 k - 6)2 (2k - 6)2 = (t - w)2 (xy2 - 3x)2 (q3 - v3)2 = (t - w)2 = (xy2 - 3x)2 = (q3 - v3)2 = Tabla No. 3 5. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 4 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 3. “Hojas de trabajo” - 108 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones columna No. 1 de la Columna No. 2 Tabla No 4 En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular ( A - B)2 6. Compara los procedimientos para calcular (A + B)2 y (A – B)2 Y escribe un único procedimiento que sirva para los dos casos. “Hojas de trabajo” - 109 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 7. Completa la tabla No 5, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Calcular el Calcular el Comparar los resultados de producto sin producto con las columnas 2 y 3. Explica ayuda de la ayuda de la y corrige los errores computadora computadora (y+10)2 (2(x)1/2+6x)2 (ab+z)2 (3/5 + t3)2 (a5b4 + w7)2 Tabla No 5 8. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después verificar tu respuesta con la calculadora. Calcular el Calcular el Comparar los resultados de producto sin producto con las columnas 2 y 3. Explica ayuda de la ayuda de la y corrige los errores calculadora calculadora (k - 3)2 (3(p)2/3 -wp)2 (ab - z)2 (mp3 – 1)2 (5xy4 – 3x3y7)2 Tabla No 6 “Hojas de trabajo” - 110 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Halla el cuadrado de los siguientes binomios sin efectuar el producto. Utiliza el procedimiento que tu escribiste. (3x2y4 + 2y)2 = (Z3w – 7)2 = (15a5b7 + 4/7)2 = (2(x)1/2 - xy)2 = “Hojas de trabajo” - 111 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Productos Notables Sub -tema: Producto de binomios con término común Hoja de Trabajo No. Material que puedes usar: 2 Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico del producto de dos binomios con término común. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico y hallar el producto de dos binomios con término común. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar el producto de dos binomios con término común, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDACTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 112 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa la multiplicación de los siguientes binomios: (2x + 5)(2x – y) = (3t – 4x)(3t – 5) = (s – 4)(s +25y) = (xy + 3a)(xy + 2b) = MOTIVACIÓN En la figura siguiente se puede apreciar que el área del mayor rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuatro rectángulos que contiene. Determina el área del mayor rectángulo y de cada uno de los cuatro rectángulos que él contiene. Comprueba que esta área es igual a la suma de las cuatro pequeñas áreas. x 4 x 2 CONCEPTOS Y HABILIDADES 1.- Aplica el comando expand a las expresiones de las columnas 1 y 2 para completar la columna 3 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna cuatro de esta tabla, utilizando el método de tu preferencia. Columna 1 1ª expresión Columna 2 Columna 3 2ª expresión Expresión de salida de entrada Columna 4 Conclusiones. Completa la igualdad. de entrada (x + 2) (x – 3) (x + 2)(x – 3)= (2y + 5) (2y + 1) (2y +5)(2y + 1)= (x2 7) (x2 – 3) (x2 7) (x2 – 3) = (a/2 1) (a/2 + 4) (a/2 1) (a/2 + 4) = (5p3 + 4) (5p3 –3) (5p3 + 4)(5p3 - 3)= Tabla 1 “Hojas de trabajo” - 113 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. Completa la tabla 2, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después verificar tu respuesta con la calculadora. Multiplicación Calcular el Calcular el Comparar los resultados de producto sin producto con las columnas 2 y 3. Explica ayuda de la ayuda de la y corrige los errores calculadora calculadora (y–10)(y + 2t) (2x–6)(2x+3y) (xy– z)(xy + z) Tabla 2 3. Contesta las preguntas y analiza detalladamente lo que te presentamos a continuación, en donde la P significa primer término y la S segundo término. a) ¿Qué tienen en común los binomios (2x – 3) y (2x + 4) b) Analiza la multiplicación de esos dos polinomios que a continuación te presentamos: P (primer término), S (segundo término) P S P S P P S P S P S S (2x – 3)(2x + 4) = 2x(2x + 4) +(– 3)(2x + 4) = 2x(2x) + 4(2x) + (3)(2x) + (3)(4) P2 + (S + S ) P + SS = (2x)2 + (4 + (3))(2x) + (3)(4) = 4x2 + 2x 12 “Hojas de trabajo” - 114 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Describe con tus palabras un procedimiento, en correspondencia con tu análisis anterior, para obtener el producto de los dos binomios del inciso b) directamente, sin necesidad de efectuar la multiplicación paso a paso. d) Aplica el procedimiento que describiste en el inciso c) para poner directamente el resultado de la multiplicación de los binomios (3y – 5) y (3y – 6) P S P S = P2 + (S + S )P + SS (3y – 5)(3y – 6) = e) Analiza esta otra variante del método anterior, en donde la P y la S tiene el mismo significado que anteriormente y, la I y la E significan términos interiores y exteriores, respectivamente. P S P E I S (2x – 3)(2x + 4) = (2x)(2x) + (4)(2x) + (3)(2x) + (3)(4) = 4x2 + (4 3)(2x) 12 I E “Hojas de trabajo” - 115 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra f) Describe con tus palabras un procedimiento, en correspondencia con tu análisis anterior, para obtener el producto de los dos binomios del inciso e) directamente, sin necesidad de efectuar la multiplicación paso a paso. Llámale a tu procedimiento PEIS. g) Aplica el procedimiento PEIS para poner directamente el resultado de la multiplicación de los binomios (5p 7) y (5p – 6). P E I S (5p 7)(5p – 6) = EN ACCIÓN h) Escoge uno de los dos procedimientos, que te hemos mostrado, para poner el producto de dos binomios con un término común sin realizar la multiplicación. Explica por qué escogiste ese método. “Hojas de trabajo” - 116 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Determina el área del rectángulo mayor de la figura 1, x 3 x 2 Fig. 1 a) Encuentra las áreas de las figuras que lo componen y súmalas después. b) Encuentra las longitudes de sus lados y multiplícalas. 5. Justifica por qué las expresiones halladas en los incisos a) y b) del ejercicio anterior son iguales y establece una igualdad entre ellas. “Hojas de trabajo” - 117 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 6. Determina el área del rectángulo de la figura 2 formado por la unión de los rectángulos de color rojo y color crema. 2x 3y 2x 2y Fig. 2 a) Encuentra las áreas de los rectángulos de color rojo y de color crema y súmalas después. b) Encuentra las longitudes de sus lados y multiplicálas. 7. Justifica por qué las expresiones halladas en los incisos a) y b) del ejercicio anterior son iguales y establece una igualdad entre ellas. “Hojas de trabajo” - 118 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8. Con las expresiones halladas para el área del rectángulo mayor en los incisos a) y b) de los ejercicios 4 y 6, a) Determina la mayor cantidad posibles de expresiones equivalentes al producto (x + 2)(x + 3). b) Plantea otras adicionales y dibuja una figura que al encontrar su área en dos formas diferentes se tenga la igualdad de las expresiones que tu propusiste en el inciso a) de este ejercicio. Explica la relación entre las expresiones algebraicas y geométricas. 9. Ernesto hace pulseras para ayudar a sus padres a pagar sus estudios. Por cada metro del material que utiliza obtiene 20 pulseras. Para invitar a su novia a pasear en las vacaciones quiere vender un lote de pulseras. Su amigo Juan se comprometió a ayudarlo buscando material para 30 pulseras. Su tío José le dijo que le compraba el material que necesitara para ese lote de pulseras, como regalo por su dedicación y éxito en los estudios. Tiene varios compradores a mayoreo a quienes les vende de acuerdo a la cantidad de mercancía. El precio por lote lo tiene establecido de acuerdo a los metros utilizados para hacer las pulseras como 20x + 50. Ayuda a Ernesto a calcular el dinero que obtendrá por la venta de x lotes de pulseras y el dinero que tendrá para las vacaciones, si su tía Lupita le dijo que le regalaba 100 pesos. Según lo que tu necesitarías para tus vacaciones ¿cuántos metros de material le pedirías al tío José? “Hojas de trabajo” - 119 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Halla el producto de los siguientes binomios (3x + y)(3x + 5) = (ax + 3)(ax – 4) = (2s – t)(2s + t) = (3(p)2/3 - 4p)(3(p)2/3 - 5p) = (mp3 – 1) (mp3 – 7) = (5xy4 – 3x3y7) (5xy4 + 3x) = “Hojas de trabajo” - 120 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Hoja de Trabajo No. 3 Tema: Productos Notables Sub-tema: Binomios conjugados Parte I Material: Lápiz, pluma, papel Fecha: _____________ y el programa de wxMaxima. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico del producto de dos binomios conjugados. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico y hallar el producto de dos binomios conjugados. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar el producto de dos binomios conjugados, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDACTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 121 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa el producto de los siguientes binomios y exprésalos de la forma mas simplificada posible. (z + 3)*(z – 3) = (2 + t)*(2 – t) = (3x + 2)*(3x – 2) = (yz5 + t)*(yz5 – t) = MOTIVACIÓN Selecciona en una hoja de papel un cuadrado de lado igual a x centímetros, suma una franja de 3 cms de ancho y resta 3 cms de largo. Halla el área del rectángulo resultante. Compara con tus compañeros de aula sus resultados. Describe el trabajo realizado y tu interpretación. “Hojas de trabajo” - 122 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Aplica el comando expand (o desarrollar) a las expresiones de las columnas 1 y 2 para multiplicar y completar la columna 3 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna cuatro de esta tabla. Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4 1ª expresión 2ª Expresión de Conclusiones. Completa la de entrada expresión salida igualdad. de entrada (x + 2) (x – 2) (x + 2)(x – 2)= (y + 1) (y –1) (y +1)(y -1)= (p + 4) (p – 4) (p + 4)(p - 4)= 1 z 2 1 z 2 1 1 z z = 2 2 (10 + r) (10 – r) (10 + r)(10 – r) = (9 + s) (9 - s) (9 + s)(9 - s) = (2x + 6) (2x - 6) (2x + 6)(2x - 6)= (x + y) (x – y) (x + y)(x – y)= (xy2 + 3x) (xy2 - 3x) (x5 + p3) (x5 - p3) (xy2 + 3x)(xy2 - 3x)= (x5 + p3)(x5 - p3)= Tabla 1 2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla 1. “Hojas de trabajo” - 123 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades de las expresiones de la columna Columna 1 Columna 2 Columna 3 Tabla 2 3. Escribe en la primera columna de la tabla 3 las regularidades de las expresiones de las columnas 1 y 2 de la tabla 2; y en la segunda columna los rasgos que diferencian a estas expresiones. Regularidades de las expresiones de las Rasgos que diferencian a las columnas 1 y 2 expresiones de las columna 1 y 2 Tabla 3 “Hojas de trabajo” - 124 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Completa la tabla 4, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Calcular el Calcular el Comparar los resultados de producto sin producto con las columnas 2 y 3. Explica ayuda de la ayuda de la y corrige los errores computadora computadora (y–10)(y+10) (2x–6)(2x+ 6) (xy–z)(xy + z) Tabla 4 5. Utiliza la ley conmutativa de la multiplicación para completar la tabla 5. Entonces, por la ley conmutativa de la multiplicación, se tiene Si (x + 2)(x – 2) = x2 - 4 x2 – 4 = (x - 2)(x + 2) x x 2 x2 y y = y 2 z z z (z2 + y3) (z2 - y3) = (z4 – y6) Tabla 5 6. Sean A y B monomios. Expresa en forma breve el procedimiento para hallar el producto notable (A+B)*(A-B) sin necesidad de efectuar el producto. “Hojas de trabajo” - 125 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 7. Determina la mayor cantidad de expresiones iguales al producto (3x – z5)(3x + z5) y forma con ellas una cadena de igualdades. 8. Sean A y B monomios. Escribe diferentes monomios para A y B A B A+B “Hojas de trabajo” A-B (A+B)*(A-B) - 126 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Hallar el producto de los siguientes binomios conjugados (2x2 + 10) (2x2 - 10) = (5y3 – 4) (5y3 + 4) = (7t5 + 2s) (7t5 - 2s) = (3xy4 – 5yz) (3xy4 + 5yz) = (t2s4 + 9) (t2s4 - 9) = “Hojas de trabajo” - 127 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Hoja de Trabajo No. 4 Tema: Productos Notables Sub-tema: Binomios conjugados Parte II Material: Lápiz, pluma, papel Fecha: _____________ y el programa de wxMaxima. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica del producto de dos binomios conjugados, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión del significado contextual, algebraico y geométrico del producto de dos binomios conjugados. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, contextual y geométrico y hallar el producto de dos binomios conjugados. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar el producto de dos binomios conjugados, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita hallar la solución de problemas con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDACTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y gráfico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 128 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Comprueba mediante operaciones algebraicas que m(m – 2) + 2(m – 2) = m2 – 4 a(a + b) – b(a + b) = a2 – b2 t(t – s) + s(t – s) = t2 – s2 MOTIVACIÓN En la figura 1a que a continuación se presenta, la longitud del lado del cuadrado AEFH es de x unidades y la longitud del lado del cuadrado ABCD es de y unidades. H G F x D C A B Fig. 1a E y x-y Fig. 1b Completa la frase siguiente: El área de la figura sombreada es igual a_____________________________ “Hojas de trabajo” - 129 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 1.1 Completa la tabla 1 para determinar el área de la figura sombreada de la figura 1a. Área Del cuadrado AEFH Del cuadrado ABCD De la figura sombreada Tabla No.1 Completa la tabla 2 para determinar el área de la figura sombreada. Área Del rectángulo BEFG Del rectángulo DCGH De la figura sombreada Tabla No. 2 Comprueba mediante operaciones algebraicas que: x(x-y) + y(x-y) = x2 – y2. CONCEPTOS Y HABILIDADES 2. En la figura 2a los lados de los cuadrados ABCD y CEFG tienen x e y unidades, respectivamente. Observa que si se prolongan los lados AB y FE por B y E, correspondientemente, hasta intersecarse, se forma la figura 2b. F G F G x D C A y B x E D C A B y Fig. 2a E H x Fig. 2b “Hojas de trabajo” - 130 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra El área de la región sombreada de la figura 1 a, es igual al área del rectángulo BHFG menos el área del rectángulo AHED, de la figura 2 b. Utilizando esta información, completa la tabla 3. Calcula En la figura 2b, el área del En la figura 2b, el área del El área de la región rectángulo AHED rectángulo BHFG sombreada de la figura 1b. Tabla No.3 2.2 Comprueba que: x(y + x) – y(y + x) = x2 – y2. 2.3 Explica por qué cuando restas el área de AHED del área de BHFG, obtienes el área de la figura sombreada de la figura 1. 3. La figura 3 se ha formado trasladando el rectángulo DCGH a la parte superior del rectángulo BECG de modo que coincidan los lados GF y HD. Por tanto las áreas de las figuras sombreadas de las figuras 1a y 3 coinciden. G H G C F H D D C A B E Fig. 1a A B E Fig. 3 “Hojas de trabajo” - 131 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 3.1 Completa la tabla 4. Calcula en la figura 3 La longitud del lado BE del La longitud del lado EC El área del rectángulo rectángulo BECG del rectángulo BECG BECG. Tabla No.4 3.2 Teniendo en cuanta las distintas expresiones que has encontrado que corresponden al área de la figura sombreada de la figura 1 a, determina la mayor cantidad de expresiones iguales al producto (x – y)(x + y) y forma con ellas una cadena de igualdades. EN ACCIÓN 4. Determina para el área de la región sombreada: a) una expresión algebraica, b) la expresión algebraica en forma factorizada. x y x+y “Hojas de trabajo” - 132 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Determina para los cuatro lados de la caja (no considere ni el fondo ni la tapa): b-a b a a) una expresión algebraica, b) la expresión en forma factorizada 5. Escribe para la región sombreada: a) una expresión algebraica, b) la expresión factorizada y x 7. Utiliza desarrollar de wxMaxima y escribe en la segunda columna, el resultado del producto que aparece en la primera columna. Producto Resultado (p + q) (p – q) (t + 3) (t – 3) (xy + 2) (xy – 2) (r – 9) (r + 9) (3x + 2) (3x – 2) “Hojas de trabajo” - 133 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8. Observa todos los resultados obtenidos y expresa mediante lenguaje verbal un procedimiento que establezca el producto de dos binomios conjugados y su significado geométrico. Discute con tus compañeros de equipo primero y con todos los compañeros del aula y el profesor después, hasta llegar a un consenso sobre la interpretación geométrica y la redacción del procedimiento . EVALUACIÓN Expresa el resultado del producto de los productos de los binomios conjugados siguientes, sin hacer uso de la computadora. Producto Resultado (A + B) (A – B) (t + 4) (t – 4) (5 + xy) (5 – xy) (M2n + 1) (M2n – 1) (3 – x3) (3 + x3) (2x – y) (2x + y) “Hojas de trabajo” - 134 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Sub-tema: Unidad III. Tema: Productos Notables Material: Hoja de Trabajo No. 5 Lápiz, Binomio al Cubo pluma, papel y el programa de Fecha: _____________ wxMaxima DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información contextual y la representación algebraica de un binomio al cubo, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado contextual y algebraico de elevar un binomio al cubo. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, de hallar un binomio al cubo. Argumenta el significado contextual, geométrico y algebraico de hallar un binomio al cubo, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar directamente sin necesidad de multiplicar, el valor de un binomio al cubo ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico las relaciones halladas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 135 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Obtenga los productos de polinomios siguientes (x + 1) (x + 1) = (X2 + 2x + 1) (x + 1) = (m2 + n) (m2 + n) = (m4 + 2m2 n + n2) (m2 + n) = (xy + 3)2 = (x2y2 - 6xy + 9) (xy – 3) = MOTIVACIÓN Halla el volumen de un cubo que pueda contener en su interior sin que sobre espacio, dos cubos, uno de lado “x” y otro de lado “3”. Dibuja los dos cubos “Hojas de trabajo” - 136 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Aplica el comando expandir de wxMaxima, a las expresiones de la columna 1 y completa la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna tres de ésta tabla. Columna 1 1ª expresión de entrada Columna 2 Columna 3 Conclusiones. Completa la Igualdad Expresión de salida b)3 (a + b)3 = (x + y)3 (x + y)3 = (m + k)3 (m + k)3 = (y + 2)3 (y + 2)3 = (r + 4)3 (r + 4)3 = 1 z 3 5 1 z 3 5 (a + = (3 + w)3 (3 + w)3 = (5 + q)3 (5 + q)3 = (2 x + 5)3 (2 x + 6)3 = (xy2 + 2e)3 (xy2 + 2e)3 = (x2 + y3)3 (x2 + y3)3 = (xs2 + yt3)3 (xs2 + yt3)3 = (x2y + y3)3 (x2y + y3)3 = (x4 + y3)3 (x4 + y3)3 = Tabla No. 1 2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 1. “Hojas de trabajo” - 137 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades de las expresiones de la columna No. 1 Regularidades de las expresiones de la Columna No. 2 Tabla No 2 3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Calcular el producto sin ayuda de la computadora Calcular el producto con ayuda de la computadora Comparar los resultados de las columnas 2 y 3. Explica y corrige los errores (y + 3)3 (2x + 1)3 (ab + z)3 Tabla No 3 4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular (A + B)3 “Hojas de trabajo” - 138 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Aplica el comando expandir de wx-Maxima, a las expresiones de las columnas 1 y 2, para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 4. Posteriormente completa la columna cuatro de esta tabla. Columna 1 Columna 2 Columna 3 1ª expresión de entrada Expresión de salida Conclusiones. Completa la Igualdad (m - 2)3 (m - 2)3 = (n - 1)3 (n - 1)3 = (z - 3)3 (z - 3)3 = 1 d 3 5 1 d 3 5 (2 - r)3 (2 - r)3 = (4 - h)3 (4 - h)3 = (2 k - 5)3 (2k - 5)3 = (t - w)3 = (t - w)3 = (ab - 2x)3 (ab - 2x)3 = (q2 - v3)3 (q2 - v3)3 = Tabla No. 4 6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 5 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 4. Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones de la columna No. 1 Columna No. 2 Tabla No 5 “Hojas de trabajo” - 139 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 7. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Calcular el producto sin Calcular el producto Comparar los resultados ayuda de la con ayuda de la de las columnas 2 y 3. computadora computadora Explica y corrige los errores (b - 3)3 (2p -q)3 (t w - e)3 Tabla No 6 8. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular (A - B)3 9. Compara los dos procedimientos y establece uno solo que englobe a los dos “Hojas de trabajo” - 140 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN Escribe Diferentes monomios para A y B. Completa la tabla siguiente A B A-B (A – B)3 A+B (A + B)3 A+B (A + B)3 A-B (A – B)3 EVALUACIÓN Completa la siguiente tabla A B “Hojas de trabajo” - 141 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Hoja de Trabajo No. 6 Tema: Factorización Sub -tema: Factor Común Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica, de sacar factor común, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de factorizar. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, y verbal de simplificar mediante el uso de sacar factor común. Argumenta el significado contextual y algebraico de sacar un factor común, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita factorizar directamente. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa en una tabla cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y verbal las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 142 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Observa en cada una de las expresiones siguientes los elementos comunes en todos los términos. Enciérralos en un círculo. 2x + 3xy – 5xz 2ax – 2abxy + 2axw 3by + (3*2)byz MOTIVACIÓN Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más rápido haciendo operaciones algebraicas. El profesor les puso una tabla con 7 ejercicios para simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado Ri obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente Ramón 2x 5 y 5 2x 3 y 7 2x3 y 5 (x 2 y 2 ) ( x y ) .( x y ) = 2x 3 y 3 2x 2 y 4 2 x 2 y 3 ( x y) = R1 xy 2 ( x y ) 2 R1 * 1 = R2 ( x y) xy 2 ( x y) 1 R2* 3 = R3 xy 3 3( x y ) y R3* y3 = R4 6( x y ) R4* 2 = R5 y2 2x 6 y 5 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x3 y 8 2x 3 y 3 2x 2 y 4 2x 6 y 5 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x 3 y 8 2x 4 y 3 2x 3 y 4 2x 3 y 4 2x 2 y 5 6x 6 y 5 6x 5 y 6 6x 4 y 7 6x 3 y 8 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x 4 y 7 2x 3 y 8 y2 2 1 R5 * ( y 7) = R6 ( y 7) R6* ( y 7) = R7 y 2 49 R7* Federico 4 = R8 xy “Hojas de trabajo” - 143 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra A los 10 minutos el director llamó al profesor para reunión urgente, le pidió los trabajos a los estudiantes y les dijo no importa que no concluyeran, gana el que tenga el trabajado mejor realizado y mas adelantado. Explica por qué Federico estaba mas atrasado en las operaciones. CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Aplica el comando factorizar a las expresiones de las columnas y completa la siguiente tabla: Columna 1 1ª expresión Columna 2 Columna 3 Expresión de salida Conclusiones. Completa la de entrada ab+2a xy2 + 2ax + 5x 3mn + 6mnx igualdad. ab+2a = xy2 + 2ax + 5x = 3mn + 6mnx = 8x2y3 + 2x2y + 16x2y 8x2y3 + 2x2y + 16x2y = 4x3y3 + 2x2y2 + 6xy2 4x3y3 + 2x2y2 + 6xy2 = 5x3y3 + 10xy + 15xy2 5x3y3 + 10xy + 15xy2 = 25xy3 + 10x7 + 5x3y2 25xy3 + 10x7 + 5x3y2 = - s5t4 – s4t6 – s4t2 - s5t4 – s4t6 – s4t2 = - s5t4 + s4t6 – s4t2 - s5t4 + s4t6 – s4t2 = 9ax4 – 6ax3 + 27ax 9ax4 – 6ax3 + 27ax = 9ax4 – 6ax3 - 27ax 9ax4 – 6ax3 + 27ax = 33cx5 – 121cdx3y 33cx5 – 121cdx3y = Tabla No. 1 “Hojas de trabajo” - 144 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 1. Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones de columna No. 1 la Columna No. 2 Tabla No 2 3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de factorizar sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Factoriza sin ayuda de la computadora Factoriza con ayuda de la computadora Comparar los resultados de las columnas 2 y 3. Explica y corrige los errores 7x – 21x5y 4e3b2 + 12eb2 + 20e2b4 (2/3)xg3 + (4/9)xg2 2(√x)y5 – 6(√x)y4 -15abx3 – 75abcx8 Tabla No 3 “Hojas de trabajo” - 145 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para sacar el factor común de una expresión algebraica EN ACCIÓN 5. Completa la siguiente tabla SIN USAR la computadora. 2a2 – 6ab3 = (1/5)br2 + (1/10)br2 + (3/5)b2r = 3m3b + 9mb2 + 81m2b = 65y3t – 13y2t3 – 52y5t6 = -17x10y7 – 68x5y14 – 51x6y9 = -15y8z14 + 90y6z5 – 105y7z10 = 11et12 + 121e2t7 – 66et4 = 18cx4y4 – 36cx2y6 + 63cx3y5 = 8(x)1/3 + 4 x2 – 64x = 98(x)2/3 + 28xy + 42xy3 = 25(x)3/2 + 35xt – 45x2t2 = 19x(y)5/3 + 11xy + 17x2y3 = 4mn2 – 3m3n4 – 6m5n2 = 174s6t5 – 36s5t6 – 30s8t7 = √3xy3 – 9x3y2 – 3x5y6 = “Hojas de trabajo” - 146 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Halla el factor común y escribe cada una de las expresiones algebraicas siguientes en forma simplificada 46zy7 + 6z3y4 + 8z5y3 – 14z2y5 = -72mex3 – 90ex6 – 108e3x8 = -√5x4yz5 – 25x3y2z4 – 75x9y6z8 – 5x2y7z6 = 3s(t)2/5 - 3√3s5t10 + 5√3s2 (t)3/5 + 6s3t2 = 4xy3 + 8x4y6 – 12x3y5 – 16x5y2 = -2z4w5 + 18z6w3 -300z5w7 -120z3w6 = “Hojas de trabajo” - 147 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Factorización Hoja de Trabajo No. 8 Sub-tema: Diferencia de Cuadrados Material: Lápiz, pluma, papel, regla, tijeras y programa de Fecha: wxMaxima _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica, de la factorización de una diferencia de cuadrados, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la factorización de una diferencia de cuadrados. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico, y verbal de simplificar una diferencia de cuadrados Argumenta el significado contextual y algebraico de factorizar una diferencia de cuadrados, mediante lenguaje verbal y simbólico, para determinar un procedimiento que permita factorizar directamente una diferencia de cuadrados. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa en una tabla cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante lenguaje algebraico y verbal las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 148 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Recordando los productos notables, halla el producto de los siguientes binomios conjugados y utiliza la ley conmutativa de la igualdad (A = B, por tanto B = A) Producto notable Ley conmutativa (A + B)(A – B) = = (A + B)(A –B) (X+5)(x – 5) = = (x + 5)(x – 5) (t2 + 3)(t2 – 3) = = (t2 + 3)(t2 – 3) (√t + 1)(√t – 1) = = (√t + 1)(√t – 1) (3xy + t)(3xy – t) = = (3xy + t)(3xy – t) MOTIVACIÓN 1. En una hoja de papel dibuja un cuadrado. 2. En una esquina dibuja otro cuadrado. 3. Recorta el cuadrado que dibujaste en la esquina. 4. Realiza el siguiente doblez y recorta por donde está la línea punteada. “Hojas de trabajo” - 149 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Mueve el rectángulo que recortaste en el punto anterior y ubícalo de la siguiente manera: a. Si le llamas X al lado del cuadrado que usaste en la sección de motivación ¿Cómo calculas el área del cuadrado? b. Si le llamas y al lado del cuadrado que dibujaste en la esquina del primer cuadrado ¿Cómo calculas el área de la figura resultante en el paso tres de la sección de motivación? “Hojas de trabajo” - 150 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c. ¿Cómo calculas el área de la figura resultante en el paso cinco de la sección de motivación? CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Aplica el comando Factor a las expresiones de la columna No 1 para completar la siguiente tabla: Columna No 1 Expresiones de entrada Columna No 2 Expresiones de salida x2 4 m 2 25 y 2 1 p 2 16 z 2 64 n 2 169 100 r 2 225 k 2 S 2 – t2 x2 – s6t6 4 – m2 2 – x2y2 9x2y2 – t2 2. En el siguiente espacio en blanco escribe las cosas en común (regularidades) que observes en las expresiones de las columnas 1 y 2 de la tabla anterior: “Hojas de trabajo” - 151 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades para las expresiones la Columna No 1 Regularidades para las expresiones de la Columna No 2 3. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar PRIMERO SIN computadora y después verificar tu respuesta CON computadora. ( y 2 100 ) Respuesta SIN ayuda de computadora. la Respuesta CON la ayuda de computadora. la Compara las columnas 1 y 2. la En caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste. ( 4 x 2 36 ) Respuesta SIN ayuda de la computadora. la Respuesta CON ayuda de computadora. la Compara las columnas 1 y 2. la En caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste. ( 25 p 2 ) Respuesta SIN ayuda de la computadora. la Respuesta CON ayuda de computadora. la Compara las columnas 1 y 2. la En caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste. “Hojas de trabajo” - 152 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. En el siguiente espacio en blanco redacta una regla para factorizar las expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de trabajo. EN ACCIÓN 5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo. ( x 1) ( x 1) h2 1 4 x 2 49 1 1 (p ) (p ) 3 3 ( z 3) ( z 3) 2 2 (5n )(5n ) 3 3 y2 7 9 2 5 y 4 6 9m 2 5 5n2 – 3 = x2 y2 t2 – (xy)4 = 7s2 – t2 = 45x2 – 25 = t–1= (√x + 4)(√x – 4) = 3x2 – y2 = 144x2 – 49 = s2t2 – 9 = x4 – 16 = x6 – 25 = x8 – 64 = 100 – x10 = 5 – x4 = 79x2 – 43 = (√5x + 3) (√5x - 3) = “Hojas de trabajo” - 153 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Selecciona 5 monomios para A y 5 para B, expresa una diferencia de cuadrados y su factorización. 1.- A = A2 – B2 = 2.- A = A2 – B2 = 3.- B= =( =( B= A2 – B2 = =( 4.- A= B= A2 – B2 = =( 5.- B= A2 – B2 = ) )( ) )( ) )( ) )( ) B= A= A= )( =( Factoriza las siguientes expresiones 1. (xy)2 – 16 = 2. m2 – 2 = 3. 7t2 – 169 = 4. 3 – y2 = “Hojas de trabajo” - 154 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Hoja de Trabajo No. 9 Tema Factorización Material: Lápiz, papel y calculadora. Sub-tema: Suma y diferencia de cubos pluma, Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la diferencia y suma de cubos, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la diferencia y suma de cubos. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la factorización de la diferencia y suma de cubos. Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de una suma y diferencia de cubos, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización de sumas y diferencias de cubo con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 155 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO I ) ¿ (a b)3 es igual a a3 b3 ? a. Siempre b. Algunas veces. c. Nunca Justificación________________________________________________________ __________________________________________________________________ II ) ¿ (a b)3 es igual a a3 b3 ? a. Siempre b. Algunas veces. c. Nunca Justificación_____________________________________________________ _______________________________________________________________ Efectúa el producto de los polinomios siguientes (a + b) (a + b) = (a + b) (a – b) = (a – b) (a – b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = (a2 – 2ab + b2) (a – b) = (a2 + ab + b2) (a – b) = (a2 – ab + b2) (a + b) = “Hojas de trabajo” - 156 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Toma dos hojas de papel con una de las hojas construye un cubo de lado x + 2. Con la otra construye un cubo de lado x y otro de lado 2. Compara el primer cubo con los otros dos y determina si el primero es igual a la suma de los otros dos. Explica tus conclusiones. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Aplica el comando expandir de wxMaxima las expresiones de las columnas 1 y completa la columna 2 de la tabla 1. Posteriormente completa la columna tres de esta tabla. Columna 1 1ª expresión de entrada Columna 2 Expresión de salida Columna 3 Conclusiones. Completa la Igualdad. a3 b3 a3 b3 x3 y3 x3 y3 t 3 w3 t 3 w3 x3 2 3 x3 2 3 a3 64 a3 64 m3 13 m3 13 Tabla No. 1 “Hojas de trabajo” - 157 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 1. Regularidades de las expresiones de la columna No. 1 Regularidades de las expresiones de la Columna No. 2 Tabla No 2 3. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la calculadora; y después verificar tu respuesta con la calculadora. Calcular el producto sin ayuda de la computadora Calcular el producto con ayuda de la computadora Comparar los resultados de las columnas 2 y 3. Explica y corrige los errores m3 1253 a3 b3 a3 1 Tabla No 3 “Hojas de trabajo” - 158 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para factorizar a3 b3 5. Aplica el comando expandir de wxMaxima a las expresiones de las columnas 1 y 2 para multiplicar y completar la columna 2 de la tabla 4. Posteriormente completa la columna cuatro de esta tabla. Columna 1 Columna 2 Columna 3 1ª expresión Expresión de salida Conclusiones. Completa la Igualdad. de entrada a3 b3 a3 b3 = x3 y3 x3 y3 = t 3 w3 t 3 w3 = x3 2 3 x3 2 3 = a3 64 a3 64 = Tabla No. 4 6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 5 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 4. “Hojas de trabajo” - 159 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades de las expresiones de la columna No. 1 Regularidades de las expresiones de la Columna No. 2 Tabla No 5 7. Completa la tabla No 6, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la multiplicación sin utilizar la computadora; y después verificar tu respuesta con la computadora. Calcular el producto sin ayuda de la computadora Calcular el producto con ayuda de la computadora Comparar los resultados de las columnas 2 y 3. Explica y corrige los errores m3 273 a3 8 a3 1 b3 + 27 X3 + 93 TABLA 6 “Hojas de trabajo” - 160 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 8. En el siguiente espacio redacta un procedimiento para calcular a 3 b3 . Compara con el procedimiento para a3 - b3 EN ACCIÓN Selecciona 5 monomios para A y 5 para B. Expresa con ellos A 3 – B3 y A3 + B3. Halla la factorización de la diferencia de cubos y la de la suma de cubos 1. A = B= A3 – B3 = A3 + B3. = 2. A = B= A3 – B3 = A3 + B3. = 3. A = B= A3 – B3 = “Hojas de trabajo” - 161 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra A3 + B3. = 4. A = B= A3 – B3 = A3 + B3. = 5. A = B= A3 – B3 = A3 + B3. = EVALUACIÓN Expresa la descomposición de las siguientes suma y diferencia de cubos: 1.- t3 + 125 = 2.- x3 – 64 = 3.- y3 – 125 = 4.- z3 + b3 = 5.-27s3 + 64w3 = 6.-729 – 27x3 = “Hojas de trabajo” - 162 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Factorización Hoja de Trabajo No. 10 Sub-tema: Trinomio Perfecto Cuadrado Material: Lápiz, pluma, Fecha: _____________ papel y computadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un cuadrado perfecto, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 163 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Recordando los productos notables estudiados en la hoja 1 de esta unidad, halla el producto de los siguientes binomios, es decir el cuadrado de un binomio y utiliza la ley conmutativa de la igualdad (A = B, por tanto B = A) Producto notable Ley conmutativa (A + B)2 = = (A + B)(A +B) (A – B)2 = = (A – B)(A – B) (x + 5)2 = = (x + 5)(x - 5) (x – 5)2 = = (x – 5)(x – 5) (t2 + 3)2 = = (t2 + 3)(t2 + 3) (t2 - 3)2 = = (t2 - 3)(t2 – 3) (√t + 1)2 = = (√t + 1)(√t + 1) (√t – 1)2 = = (√t - 1)(√t – 1) (3xy + t)2 = = (3xy + t)(3xy + t) (3xy – t)2 = = (3xy - t)(3xy – t) MOTIVACIÓN i) Calcula el área de la siguiente figura: ii) Calcula el área de cada uno de los rectángulos incluidos en el cuadrado de lado x+2 iii) Comprueba algebraicamente que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos. “Hojas de trabajo” - 164 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Utiliza el comando Factorizar de wx-Maxima para completar la siguiente tabla: Expresiones de entrada Expresiones de salida x2 + 6x + 9 m2 + 10m + 25 z2 + 2z + 1 k2 + 2km + m2 r2 – 16r + 64 n2 – 20n + 100 m2 - 30m + 225 “Hojas de trabajo” - 165 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común ( regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida: Regularidades para las expresiones de Regularidades para las expresiones entrada de salida 3. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar PRIMERO SIN computadora y después verificar tu respuesta CON COMPUTADORA. Calcular el Calcular el Comparar los resultados de producto sin producto con las columnas 2 y 3. Explica ayuda de la ayuda de la y corrige los errores computadora computadora x2 – 14x + 49 m2 -18m + 81 m2 - 8m + 16 y2 + 32y +256 t2 + 12t + 36 49t2 + 42t + 9 (xy)2 – 2xyz + z2 16s2 – 40s + 25 “Hojas de trabajo” - 166 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. En el siguiente espacio en blanco redacta un procedimiento para reconocer un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo. EN ACCIÓN 5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En los espacios en blanco que aparecen, debes proponer un trinomio cuadrado perfecto no visto en esta hoja de trabajo que se pueda factorizar con las leyes que has construido. ( x 6) ( x 6) 1 (h ) 2 4 x 2 2x 1 1 1 (p ) (p )= 3 3 ( z 3 p) ( z 3 p) 2 2 (5n ) (5n ) = 3 3 y 2 10 y 25 ( y 3) 2 = 9m 2 30 m 25 9m2 - 15m + 25/4 = (2x 3) 2 (4x2 + 5/2)2 = “Hojas de trabajo” - 167 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Determina si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. En caso de que lo sea, utiliza el procedimiento que escribiste para factorizar. 1.-4t2 – 24t + 36 = 2.-256m2 + 128mb + 16b2 = 3.-2x2 – 6x + 5 = 4.-169y2 – 390y + 225 = 5.-4x4 – 6x2 + 9/4 = 6.-3s2 + 5s + 6 = “Hojas de trabajo” - 168 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Factorización Hoja de Trabajo No. 11 Material: Lápiz, papel y calculadora. Sub-tema: Trinomio de la forma x2 + bx + c pluma, Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c. Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 169 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa los siguientes productos y utiliza la ley conmutativa de la igualdad. Producto en la forma x2 + bx + c Si A = B entonces B = A (x + 2) (x + 3) = (x + 3) (x + 5) = (x – 2) (x – 7) = (x – 4) (x + 3) = MOTIVACIÓN 1. Calcula el área de la siguiente figura: “Hojas de trabajo” - 170 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 2. Utiliza el comando Factor de wx-Maxima para completar la siguiente tabla: Expresiones de entrada Expresiones de salida x 2 5x 6 m 2 17 m 70 z 2 20 z 75 k 2 28 k 192 r 2 r 12 n 2 5n 84 m 2 13m 40 y 2 28 y 195 3. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común (regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida: “Hojas de trabajo” - 171 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades para las expresiones Regularidades para las expresiones de entrada de salida 4. Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar PRIMERO SIN EL WX-MAXIMA y después verificar tu respuesta CON computadora. x 2 7 x 12 Respuesta SIN la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. ayuda de la computadora. de la computadora. En caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste “Hojas de trabajo” - 172 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra m 2 19 m 60 Respuesta SIN la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. ayuda de la computadora. de la computadora. En caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste 5. En el siguiente espacio en blanco redacta un procedimiento para factorizar las expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de trabajo. “Hojas de trabajo” - 173 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 6. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo. ( x 3) ( x 7) (h 2)( h 3) p 2 19 p 90 = 1 1 (p ) (p ) = 2 3 ( z 3) ( z 5) 1 2 (n ) (n ) = 3 3 y 2 10 y 25 y 2 ( 3 1) y 3 = m2 m 12 y 2 11y 28 EVALUACIÓN Efectúa la factorización de los siguientes trinomios: 1.-x2 – 17x + 30 = 2.-m2 – 5x – 150 = 3.-(y – ½)(y – 3/5) = 4.-y2 + y + ¼ = 5.-p2 + p – 72 = 6.-z2 – 17x – 60 = 7.-n2 - 24x + 80 = “Hojas de trabajo” - 174 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad III. Tema: Factorización Hoja de Trabajo No. 12 Material: Lápiz, papel y calculadora. Sub-tema: Trinomio de la forma ax2 + bx + c pluma, Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Argumenta el significado algebraico de hallar la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 175 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa los siguientes productos y utiliza la ley conmutativa de la igualdad. Producto en la forma x2 + bx + c Si A = B entonces B = A (x + 2) (2x + 3) = (2x + 3) (x + 5) = (x – 2) (3x – 7) = (7x – 4) (x + 3) = MOTIVACIÓN La altura en pies h sobre el suelo de una pelota de futbol depende del tiempo en segundos t que ha estado en vuelo. ¿Cuánto tiempo tarda en tocar el suelo? si la altura de la pelota está dada por h = 80t – t2 + 20 “Hojas de trabajo” - 176 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Utiliza el comando Factor de wx-Maxima para completar la siguiente tabla: Expresiones de entrada Expresiones de salida 2 x 2 11x 15 8m2 10m 3 21 z 2 62 z 45 2k 2 61k 30 10 r 2 6r 28 6n2 13n 5 12m2 19m 5 63 159 y 28 y 2 2. En el siguiente espacio en blanco escribe TODAS las cosas en común (regularidades) que observes en las expresiones de entrada y de salida: “Hojas de trabajo” - 177 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades para las expresiones de Regularidades para las expresiones entrada (cantidad de sumandos, de salida (cantidad de paréntesis, los coeficientes, exponentes, etc.) signos, coeficientes, términos independientes, etc.) 3. Usa las conclusiones a las que llegaste en el punto anterior para completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que debes factorizar PRIMERO SIN computadora y después verificar tu respuesta CON computadora. 6 x 2 11x 4 Respuesta ayuda SIN de la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. En la de la computadora. computadora. caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste “Hojas de trabajo” - 178 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 40m2 47m 7 Respuesta SIN ayuda la Respuesta CON la ayuda Compara las columnas 1 y 2. En de la calculadora. de la calculadora. caso que las respuestas sean diferentes, encuentra y explica el error que cometiste 4. En el siguiente espacio en blanco redacta procedimiento paso a paso, para factorizar las expresiones que estamos estudiando en la presente hoja de trabajo. “Hojas de trabajo” - 179 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 5. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo, completa la siguiente tabla SIN USAR LA COMPUTADORA. En caso que encuentres un espacio en blanco, debes proponer un ejercicio que se pueda factorizar con las leyes que haz construido en la presente hoja de trabajo. (2x 1) (5x 7) (3h 2)(h 9) 12 p 2 129 p 90 = 1 1 (2 p ) ( p ) = 2 5 ( z 3) (2 z 5) (5n 1) (3n 7) = 2 y 2 19 y 35 2 y 2 ( 7 2) y 7 = 6m 2 m 12 = 24 y 2 58 y 28 = EVALUACIÓN Efectúa la descomposición de los trinomios siguientes mediante el procedimiento redactado por los alumnos del aula. a.42w2- 5w – 2 = b.8x2 + 30x + 27 = c.3y2 + y – 24 = d. – 15x2 – 2x + 13 = e. – 6x2 + 5x – 1 = f. 2y2 + y – 15 = g. 4x2 + 8x – 21 = “Hojas de trabajo” - 180 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD IV Transita entre la información contextual, la representación algebraica y la gráfica, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas con el uso del álgebra. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Construye tablas y gráficos, mediante el uso de Excel y/o Geogebra para facilitar la comprensión de los conceptos de cálculo de por ciento, variación directa, variación inversa, polígonos regulares, perímetro, área, polinomio, desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo algebraico. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” - 181 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Hoja de Trabajo No. 1 Tema: Fracciones Sub -tema: Adición y sustracción Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la adición y sustracción de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la adición y sustracción de fracciones. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la adición y sustracción de fracciones. Argumenta el significado algebraico de hallar la adición y sustracción de fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la adición y sustracción de fracciones con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 182 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa la adición y sustracción de las siguientes fracciones: 1.- 3 7 4 1 + + + = 5 5 5 5 3 4 2.- + = 4 5 3.- 2 4 = 7 3 4.- 5 2 4 2 + + + = 6 3 7 5 5.- 8 3 4 + + = x x x 6.- 4 2 3 + + = x z y MOTIVACIÓN De acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, debemos sumar dos velocidades V1 y V2 para obtener una velocidad V de acuerdo con la expresión V= V1 V2 VV 1 1 22 C Donde C es la velocidad de la luz si V1 = 4 5 y V2 = . Calcular la velocidad V y y “Hojas de trabajo” - 183 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Sobre la adición de fracciones con denominadores iguales a) Analiza como se ha realizado la adición de las fracciones a b 3 xy xy xy a b 3 ab3 xy xy xy xy b) Describe con tus palabras como se obtuvieron el numerador y el denominador de la fracción suma c) Analiza como se ha realizado la adición de las fracciones 4 3a 2 x2 2x x2 4 3a 2 4 a3 2 = x2 2x x2 x2 x2 x2 = 4 a 3 2 a 1 x2 x2 d) Describe qué (y cómo) se hizo para obtener las fracciones con un mismo denominador. e) Explica, con tus palabras, como se obtuvo la suma de las fracciones con igual denominador. f) Analiza si la descripción de la suma de varias fracciones con igual denominador que se te presenta en le recuadro, concuerda con tus descripciones anteriores. “Hojas de trabajo” - 184 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Adición de fracciones de igual denominador La suma de varias fracciones de igual denominador es otra fracción cuyo denominador es el mismo y cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones sumandos. g) Realiza las adiciones, primero sin WX-Maxima y después con computadora, siguientes: g1) 4 a g2) g3) g5) g6) 2 3 a 2 5 a2 4 a x ab ab ba ab a 2b a 2b a 2b a3 3a 2 8a 3 x2 x 2 6x 9 2a b a 2b 2 a2 9 x3 x3 “Hojas de trabajo” - 185 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra h) Describe el procedimiento por ti empleado para determinar la suma de fracciones con denominadores comunes. 2. Sobre la adición de fracciones con denominadores diferentes. Primer procedimiento. 5 a) Analiza como se ha realizado la adición 6x 5 6x 2 a 3 = 5(8 x 3 y ) 6 x 2 (a) 5 48 x y 8x y 2 40 x 3 y 6ax 2 5 48 x y b) Analiza como se ha realizado la adición a 8x 3 y 2x 2 (20 xy 3a) 5 48 x y 20 xy 3a 24 x 3 y x 5x 2 x 3 x2 9 x( x 2 9) ( x 3)(5 x 2 ) 6 x 3 15 x 2 9 x x 5x 2 x 3 x2 9 ( x 3)( x 2 9) ( x 3)( x 2 9) 3 x(2x 1)( x 3) ( x 3)( x 2 9) 3x(2x 1) ( x 2 9) “Hojas de trabajo” - 186 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Describe, con tus palabras, el procedimiento seguido para obtener la fracción suma correspondientes a las adiciones de los incisos a) y b). Analiza si el procedimiento por ti propuesto en el inciso anterior conduce a la fracción suma que se define en el recuadro siguiente Suma correspondiente a la adición de dos fracciones La suma correspondiente a la adición de dos fracciones a/b y c/d es la fracción que resulta de simplificar la fracción (ad + bc)/bd; o sea , a c ad bc fracción simplificada b d bd “Hojas de trabajo” - 187 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra ACLARACIONES: 1) En el procedimiento anterior para determinar la suma de dos fracciones, primeramente se obtiene una fracción que tiene por denominador el producto de los denominadores de las fracciones sumandos (que no necesariamente coincide con el M.C.D. de estos denominadores) y después, por lo general, es necesario realizar una simplificación de la fracción así obtenida. 2) Se puede obtener la fracción suma, sin necesidad de simplificar, utilizando como denominador el M.C.D. de las fracciones sumandos 3. Sobre la adición de fracciones con denominadores diferentes. Segundo procedimiento. a) Analiza el procedimiento aplicado para hallar la suma correspondiente a al adición 5 6x 2 a 8x 3 y . Primer paso. Transformar las fracciones sumandos en fracciones equivalentes con un denominador común mínimo. 5 6x 2 a 3 8x y 20 xy 3 24x y 3a 24x 3 y Segundo paso. Aplicar el procedimiento para hallar la suma de dos fracciones con un denominador común. 20 xy 3 24 x y 3a 3 24 x y = 20 xy 3a 24 x 3 y . “Hojas de trabajo” - 188 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN b) Aplica el procedimiento utilizado en el inciso a) para encontrar la suma de la adición 3 2x 5 2 2 xy x y a( x y ) b1) Comprueba que el M.C.D. de las fracciones sumandos es a(x + y)(x – y). b2) Transforma las fracciones sumandos en fracciones equivalentes con un denominador común mínimo. b3) Aplica el procedimiento para hallar la suma de dos fracciones con un denominador común. “Hojas de trabajo” - 189 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Aplica el procedimiento utilizado en los dos incisos anteriores a las operaciones que a continuación se te presentan. Comprueba los resultados utilizando la computadora. c1) 1 2 1 2 3a 6 a 8a 12 4 a 2 c2) 2 3 2 3 x x 4x 3 “Hojas de trabajo” - 190 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Efectúa las operaciones de suma y resta indicadas 1.- x2 x 1 + 2 = x 10 x 16 x 9 x 14 2.- x 1 x 2 = x 5x 6 x 9 2 2 3.- a 4.- 2 4 = a 1 3a 3 2 2x 1 3 2x = x 2 x 15 x 5 2 “Hojas de trabajo” - 191 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Tema: Fracciones Hoja de Trabajo No. 2 Sub -tema: Simplificación Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la simplificación de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la simplificación de fracciones. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la simplificación de fracciones. Argumenta el significado algebraico de hallar la simplificación de fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la simplificación de fracciones con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 192 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Simplificar 6x 6 y 5 6x 5 y 6 6x 4 y 7 6x 3 y 8 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x 4 y 7 2x 3 y 8 = MOTIVACIÓN Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más hábil haciendo operaciones algebraicas. El profesor les puso una tabla con ejercicios para simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado Ri obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente. Ramón simplificó el trabajo y Federico no simplificó las operaciones ¿puedes ayudarlos a concluir su trabajo? Ramón 2x 5 y 5 2x 3 y 7 2x3 y 5 (x 2 y 2 ) ( x y ) .( x y ) = 2x 3 y 3 2x 2 y 4 2 x 2 y 3 ( x y) = R1 xy 2 ( x y ) 2 R1 * 1 = R2 ( x y) xy 2 ( x y) 1 R2* 3 = R3 xy 3 3( x y ) y R3* y3 = R4 6( x y ) R4* 2 = R5 y2 2x 6 y 5 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x3 y 8 2x 3 y 3 2x 2 y 4 2x 6 y 5 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x 3 y 8 2x 4 y 3 2x 3 y 4 2x 3 y 4 2x 2 y 5 6x 6 y 5 6x 5 y 6 6x 4 y 7 6x 3 y 8 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x 4 y 7 2x 3 y 8 y2 2 1 R5 * ( y 7) = R6 ( y 7) R6* ( y 7) = R7 y 2 49 R7* Federico 4 = R8 xy xy2 R8* 2 y 9 y 14 “Hojas de trabajo” - 193 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Utiliza el comando factorizar de WX-Maxima para efectuar las siguientes operaciones Columna 1 Columna 2 2x4 y xy 2 10b3 y m 2 z 3 5b3 y z 2 x n 2 ( a b )3 x n ( a z )3 a 2ab 2ab 4ab2 x2 5x 6 x 2 7 x 12 2. Leyes Fundamentales de las fracciones Nos limitaremos al caso en que las expresiones algebraicas del numerador y del denominador sean polinomios. a) Observa y analiza los ejemplos siguientes: a1) 3x x2+1 a2) ۰ (x 2 + 1) = 3 x x+ 3 x -1 ۰ (x - 1) = x + 3, x1 Si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces A B A B para todos los valores de las variables y parámetros tales que B 0. “Hojas de trabajo” - 194 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra b) Simplificación de fracciones b1) Observa y analiza los ejemplos siguientes: 1) 21a 3b 3 c 2 2 4 2 28 a b c 2) 3) 3a 6 2 a 4 3a 4b 3 ( a 2) 3 (a 2)(a 2) a 2 x 2 3x 10 2x 2 3 x 2 ( x 2)( x 5) x5 ( x 2)( 2x 1) 2x 1 b2) Ajusta tu análisis a la regla siguiente Si A, B, B 0, y C, C 0, son expresiones algebraicas; entonces AC A BC B En otras palabras: Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por la misma cantidad (distinta de cero), el resultado es otra fracción igual a la dada. Aclaraciones. Una fracción se dice que está reducida a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto es, cuando no tienen factor común alguno. Los ejemplos anteriores son fracciones reducidas a su más simple expresión. Igualdad de fracciones: Dos fracciones algebraicas que contienen la variable x son iguales sobre un dominio de la variable, si, y solo si, ellas tienen el mismo valor numérico cuando se asigna a x cualquier número en este dominio, para el cual las dos fracciones están definidas “Hojas de trabajo” - 195 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) No existen leyes de simplificación para la suma ni para la resta c1) Evalúa las dos fracciones 5( x 3) 53 para a = 2 y x = 7. y a( x 2) a 2 y compara los resultados. c2) Observa que la segunda fracción se obtuvo de la primera eliminado la x; y que ambas fracciones son distintas. Aclaración. Según la ley sobre simplificación de fracciones los factores comunes pueden eliminarse de ambos términos de una fracción y simplificar ésta; pero términos iguales de expresiones que sean sumas o restas no pueden en general eliminarse sin alterar la fracción. Es decir, ac a , bc b porque en este caso las c están como sumandos y suprimirlas equivale a restarles al numerador y al denominador una misma cantidad c, que no es lo mismo que dividirlos por una misma cantidad, que es lo que se puede hacer sin alterar el valor de la fracción. “Hojas de trabajo” - 196 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 3. En la segunda columna de la tabla, reduzca a la más simple expresión las fracciones que aparecen en la primera columna y comprueba el resultado con la computadora. Columna 1 Columna 2 8a 4b 3 c 2 12a 6b 3 c 100 xn yn 2 z3 150 xn yn 1z 2 x 5 ( y z )3 x 6 ( y z) 4 5ac bc 25a2 b2 x 2 7x 10 x 2 11x 30 EVALUACIÓN Simplifica las siguientes fracciones 1.- 25 x 2 = x 2 3x 10 63x 4 y 3 2.= 42 x 3 y 7 “Hojas de trabajo” - 197 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Tema: Fracciones Hoja de Trabajo No. 3 Sub -tema: Productos Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica del producto de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico del producto de fracciones. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar el producto de fracciones. Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar el producto de fracciones con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 198 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Factoriza y simplifica primero. Efectúa después el producto de las expresiones siguientes: 1 3 1.-⅓*⅜= . = 3 8 3 10 3 2.5 2.-(3/5)*(10/9) = . = . = 5 9 5 3 .3 3.- xy 16( x 2)( x 3) = . 4( x 2) 5x 4.- 25byz 3ax( x 4) = . 9ax 5by 5.- (5a )(5b) (4a )(3b) . = 12 5ab 6.- 4( x 3) 2 x 2 x 20 64( x 2 x 12) x 2 8 x 15 “Hojas de trabajo” - 199 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Federico y Ramón compiten entre sí para ver quien es más hábil haciendo operaciones algebraicas. El profesor les puso una tabla con ejercicios para simplificar y realizar operaciones con la instrucción de multiplicar el resultado Ri obtenido en cada fila i por la expresión indicada en la siguiente. Ramón simplificó primero y después efectuó el producto y Federico multiplicó antes de simplificar Ayúdalos a concluir su trabajo y explica cual método te gusta más Ramón 2x 5 y 5 2x 3 y 7 2x3 y 5 (x 2 y 2 ) ( x y ) .( x y ) = 2x 3 y 3 2x 2 y 4 2 x 2 y 3 ( x y) = R1 xy 2 ( x y ) 2 R1 * y = R2 ( x y) R2* 3 = R3 xy 3 R3* 4y3 = R4 6( x y ) R4* 2 = R5 y2 R5 * Federico 2x 6 y 5 2x 5 y 6 2x 4 y 7 2x3 y 8 2x 3 y 3 2x 2 y 4 y7 = R6 4 R6* ( y 7) = R7 R7* R8* 4 = R8 xy xy2 y 2 9 y 14 “Hojas de trabajo” - 200 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Multiplicación de fracciones a) Observa y analiza como se han efectuado las multiplicaciones en los ejemplos siguientes 2xy 2 6abx 2 5az a1) Efectuar: 3a 2 z 10yz 4by 2 6 5 a 2bx 3 y 2 z x 3 2xy 2 6abx 2 5az 3 10 4 a 2b y 2 z 2 2z 3a 2 z 10yz 4by Observa que es más conveniente simplificar antes de efectuar las multiplicaciones indicadas, por ejemplo 2xy 2 6abx 2 5az x x 2 1 x 3 3a 2 z 10yz 4by 1 z 2 2z a2) Efectuar: x 2 x 12 1 x 2 x 2 x 2 x 2 4x 3 x 4x 3 1 x 1 x x x 2 x 4x 3 x 2x 1 x 3x 1 x 4x 3 1 x 1 x x 4 = x 21 x x 3x 1 x 2 x 2 x 12 2 1 x 2 2 Observa que fue necesario realizar un cambio de signo para poder simplificar. b) Efectúa las multiplicaciones indicadas b1) Efectuar: 8a 2 4 2 9a 2 x 3 y 3x y b2) Efectuar: 5 y 2( x 3) 2a y( x 2) “Hojas de trabajo” - 201 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Estudia la regla para la multiplicación de fracciones racionales que se presenta a continuación, comprueba que es compatible con tus análisis del inciso a) y tus acciones en el inciso b); en caso contrario rectifica tus análisis o acciones utilizando la regla. Regla para la multiplicación de fracciones. El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Regla simbólica para la multiplicación de dos fracciones. Si A, B, C y D son expresiones algebraicas, entonces A C AC , B D BD para todos los valores de las variables y parámetros que en ellas intervienen, tales que B 0 y D 0 Aclaración importante. Es conveniente antes de efectuar la multiplicación de fracciones: 1) Factorizar los numeradores y los denominadores de las fracciones, cuando no aparezcan factorizados. 2) Eliminar todo factor común a un numerador y a un denominador. “Hojas de trabajo” - 202 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. Sobre errores frecuentes que se cometen al multiplicar fracciones. a) Analiza los dos procedimientos que se presentan y evita el incorrecto Correcto 2ax 1 3a 6a 2 x 1 bx 3 x 3 bx 3 2 3a 6x 1 2ax 1Incorrect o b( x 3) x 3 b b) Determina la posición donde se encontraban (numerador o denominador de la fracción) de las expresiones que se han eliminado. c) Prueba que el resultado bajo el título “Incorrecto”, realmente es incorrecto. Sustituye por un sistema de valores de las variables y parámetros, por ejemplo, a = 1, b = 3 y x = 5, y comprueba que los valores de los lados derecho e izquierdo de la desigualdad son desiguales. Establece una conclusión. “Hojas de trabajo” - 203 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra No se puede eliminar expresiones iguales que estén, ambas, en los numeradores o en los denominadores. c) Analiza los dos procedimientos que se te presentan y evita el incorrecto Correcto Incorrecto 5 x 3 5 3 . a x 2 a 2 5 x 3 a x2 No hay simplificación posible b) ¿En qué operación algebraica se encuentra involucrada la variable x. c) Prueba que el resultado bajo el título “Incorrecto”, realmente es incorrecto. Sustituye por un sistema de valores de las variables y parámetros, por ejemplo, a = 2 y x = 7, y comprueba que los valores de los lados derecho e izquierdo de la desigualdad son desiguales. Establece una conclusión. “Hojas de trabajo” - 204 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra No se puede eliminar de expresiones racionales términos que aparezcan en sumas o restas sin alterar la fracción. 3. Comprueba x 2 x 12 2 que el x2 1 2 x x 2 x 4x 3 valor numérico para x = 3 es, del producto de las fracciones 6 8 1 10 24 5 Establece un procedimiento para evaluar el producto de dos fracciones. Conclusiones: 1) Al atribuir valores numéricos a los parámetros y variables que figuran en los factores de las fracciones de un producto, resulta un valor numérico igual al producto de los valores numéricos de los factores. 2) Al evaluar un producto de fracciones es, por lo general, más fácil evaluar cada uno de los factores y después multiplicar; que efectuar el producto y después evaluar. “Hojas de trabajo” - 205 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Potenciación de fracciones. i) Analiza el proceso de elevar a una potencia natural las fracciones de los ejemplos siguientes: 2a 2a 2a 2a3 8a 3 2a a) 3b 3b 3b 3b3 27b 3 3b 3 xy x y 2 b) xy x y 2 2 ii)Establece un procedimiento para elevar a potencia una fracción iii) Comprueba que el resultado del proceso anterior se corresponde con la regla que se muestra a continuación. Regla para elevar una fracción racional a una potencia natural. Para elevar una fracción a una potencia entera se eleva a esa potencia tanto el numerador como el denominador de la fracción. Regla simbólica para elevar una expresión racional a una potencia natural Si A y B, B 0, son expresiones algebraicas, entonces n An A n B B “Hojas de trabajo” - 206 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 5. Coloca en la columna 2, el resultado de simplificar y llevar el producto a su más simple expresión y en la columna 3 el resultado final de la multiplicación; como se muestra en la fila 1. Comprueba los resultados con la computadora. Columna 1 Columna 2 Columna 3 6a 2 15abc . b 9a 2 b 2 2 5ac . 1 b2 10ac b2 3 xyz 10aby . 4ax 2 6by 2 z 24m 2 n 3 20 pq . 15mnp 8mnq 2a 2 5 .3b 2 . b 12ab 2x 2 x 2 . 4 x 2 8x 5 15a 3b 2 c 4 9b . 27a 2 b 3 c 5ac 2 16 x 2 x 2 x 12 . x 2 2 x 8 16 8 x x 2 x3 2x x2 . 2x 2 x 4 2x 2 x 2 5x 6 2 x 2 5x 3 . 2 4x 2 1 x 6x 9 3x 3 6 x 2 4 xy . x2 y 4 x2 4y 2 y2 2y . 3 y 2 2 y 3y 2 y “Hojas de trabajo” - 207 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 6. Coloca en la columna 2 las fracciones con el numerador y el denominador factorizado y en la columna 3 el resultado de simplificar las expresiones de la columna 2 hasta llegar a su más simple expresión; como se indica en la fila 1. Comprueba los resultados con la computadora. Columna 1 Columna 2 Columna 3 x 2 3x 2 x 2 1 . x 2 3x 2 x 2 x 6 ( x 2)( x 1) ( x 1)( x 1) . ( x 2)( x 1) ( x 3)( x 2) ( x 1) 2 ( x 2)( x 3) a .( x 2 81) 4 x 36 6 n 2 4n 3 . 2n n2 9 a2 1 x 3 x 3 . . x2 9 a 1 a 1 2 x 2 3x 2 bx 2b . 2 .(bx) bx 2b 2 x 3x 2 x2 y2 6x . 2 3x ( x y) 2 ( x y )( x y ) 2 9 x 2 4 y 2 . 2 (3x 2 y ) 3 x 2 xy y 2 ( x 2 2 x 1) 2 6 x 2 . 2 3( x 1) x 1 ( x 1) 3 ( x 1) ( x 3)( x 3) 2 . x( x 3) ( x 1) 2 ( x 1) 2 x 2 y 2 x 2 4x 4 . x2 yx x2 4 x 2 5x 6 . 2x 6 x 2 4x 4 “Hojas de trabajo” - 208 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 7. Potenciación de fracciones. Simplifica primero, en caso de ser posible. Eleva luego a potencia en la segunda columna. 3 x2 4 = 3 ( x 2) x y 4 ( x y) 3 = 5 (9 x 2 1) 4 7 (3 x 1) = x 3 3x 2 5 3 x 5x 4 = 3 5ab 3 c 5 = 2 25a b EVALUACIÓN Simplifica los productos de fracciones siguientes. Eleva a potencia la fracción cuando se indique. 3 x 2 4 ( x 2) 7 ( x 2 4 x 4) . 3 ( x 2) 2 ( x 2) x y 4 ( x y) 3 ( x y )10 . 2 2 2 2 ( x y )( x 2 xy y ) (169 x 2 1) 4 7 (13 x 1) x 3 3x 2 5 3 x 5x 4 (169 x 2 13 x) 3 . (13 x 1)15 x 5 . x3 3 5ab 3 c 5 125a 4 b . 2 c6 25a b “Hojas de trabajo” - 209 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Tema: Fracciones Hoja de Trabajo No. 4 Sub -tema: Productos y cocientes Material que puedes usar: Lápiz, pluma y papel y Fecha: _____________ calculadora DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica del producto de fracciones, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico del producto y cociente de fracciones. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar el producto y cociente de fracciones. Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar el producto y cociente de fracciones con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 210 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Halla el recíproco de: 1.- 2 2.- 4.- 1 2 1 4 5.- 10 3.- 4 6.- 1 10 Comprueba que el producto de los números anteriores por su recíproco es igual a la unidad. MOTIVACIÓN En las vacaciones tres estudiantes del aula hicieron viajes a diferentes ciudades del país y cada uno considera que viajó a mayor velocidad promedio que los otros. Rodrigo planteó la forma de hallar la velocidad promedio del viaje redondo como el recíproco de la semisuma de los recíprocos de la velocidad de ida y de la velocidad de regreso. De acuerdo al planteamiento de Rodrigo, determina la mayor velocidad promedio si las velocidades de ida y regreso están dadas en la tabla siguiente RODRIGO RAÚL ROBERTO IDA 90 KM/H 110 KM/H 120 KM/H REGRESO 120 KM/H 110 KM/H 100 KM/H “Hojas de trabajo” - 211 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Inversión de una fracción a) La inversa o recíproca de la fracción 8a 2 3x 4 y 2 es la fracción 3x 4 y 2 8a 2 . Comprueba que su producto es 1. b) Halla la fracción recíproca de la fracción 3x 2 y 2 y comprueba que el producto 10a 2b 3 de estas dos fracciones es 1. Regla para invertir una fracción. Para invertir una fracción A/B se intercambian su numerador y denominador. La nueva fracción B/A que se obtiene se llamada inversa o recíproca de la fracción dada. Estas dos fracciones cumplen la propiedad A B AB A 1 1 o, equivalentemente, B A BA B A B “Hojas de trabajo” - 212 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. Analiza el procedimiento aplicado para efectuar las divisiones siguientes: a) Efectúa la división 6x 2 y 5ab 2 6x 2 y 5ab b) Efectúa la división 2 x 25 2 x 16 2 10a 2b 3 3x2y2 = x 2 16 x2 +2x 15 2 2 a b yx 2 10a2b2 3x2y2 = 4ab y x 2 2x 15 x 2 x 12 2 x 25 x 2 16 = c) Efectúa la división 6x 2 y 5ab 10a2b2 x 2 25 x2 +x 12 3x 2 y 2 x2 +x 12 x2 +2x 15 ( x 5)( x 5) ( x 4)( x 3) x 5 ( x 4)( x 4) ( x 5)( x 3) x 4 a2 b2 ab yx x2 y2 a+b x2 y2 a2 b2 yx = x2 y2 a+b (a b)(a b) ( x y )( x y ) . (a b)( x y ) xy ab Observa . En el ejemplo c) realizamos un cambio de signo para poder simplificar. “Hojas de trabajo” - 213 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Generalización: La división de una fracción por otra, es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo por la fracción recíproca de la fracción divisor. Es decir, si A, B, B 0, C, C 0, y D son expresiones algebraicas, entonces A C A D AD B D B C BC 3. Escribe en la columna 2 el producto del dividendo por el recíproco del divisor de la división indicada en la primera columna, en la tercera columna el producto factorizado y en la columna 4 el resultado final ya simplificado en su más simple expresión; como se indica en la fila 1. Comprueba los resultados obtenidos con la calculadora. Columna 1 Columna 2 x 2 3x 2 x 2 x 3x 3 x2 1 x 2 3x 2 x 2 1 3x 3 x2 x Columna 3 Columna 4 x 2x 1 x 1x 1 x 2x 1 3x 3( x 1) xx 1 a2 a x 25 5 x 6n n2 9 3n2 3n n2 4n 3 bx 2b bx 2b 2 2 2 x 3x 2 2 x x 4x 2 y 2 2y x 2 x 2x 1 1 x “Hojas de trabajo” - 214 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 4. Multiplicación y división combinadas Cuando aparezcan multiplicaciones y divisiones combinadas en una misma expresión se efectúan primero las operaciones incluidas en paréntesis a) Analiza el ejemplo resuelto siguiente. Efectúa a2 4 a 2 x 3 x2 9 x 3 a 2 a2 4 a 2 x 3 a2 4 x 3 x 3 = x2 9 x 3 a 2 x2 9 a 2 a 2 = a2 4 x 3 x 3 x2 9 a 2 a 2 Observa: 1) Cuando aparezcan multiplicaciones y divisiones combinadas en una misma expresión se efectúan primero las operaciones incluidas en paréntesis. 2) Se eliminaron los paréntesis en el paso anterior porque todas las operaciones eran de multiplicación. = x3 (a 2)(a 2) x 3 x 3 x3 ( x 3)( x 3) a 2 a 2 EN ACCIÓN 5. Efectúa las operaciones indicadas y da tu respuesta lo más simplificada posible. 6 x3 2y a) x2y 3 “Hojas de trabajo” - 215 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra x 2 3a 2 b) x 3 x a x 2 16 2x 8 ax bx c) a 2 b 2 9b 9a 3x 12 n2 4 1 (n 2) d) n 2 64 n 2 4n 4 “Hojas de trabajo” - 216 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2 xy 6 y 2 4 xy 12 y 2 9 x 2 y e) 3 2 x 2 y 5a( x y) 3x 6 x y EVALUACIÓN Efectúa los cocientes de las fracciones siguientes: 1) 16 x 2 9 y 2 4x 3 2 2 x 7 x 10 x 3x 10 2) 2 x 2 13x 28 x2 2x 2 7 14 x 4 49 x 2 3) x 2 5 x 6 x 3 27 3 x2 4 x 8 “Hojas de trabajo” - 217 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Hoja de Trabajo No. 5 Tema: Función Cuadrática Sub -tema: Ecuación Cuadrática Gráficas Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y la Fecha: _____________ calculadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal, la representación geométrica y algebraica de la función cuadrática, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal geométrico y algebraico de la función cuadrática. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado geométrico, algebraico y verbal de la función cuadrática. Argumenta el significado geométrico y algebraico de la función cuadrática, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar gráficamente la solución de una ecuación cuadrática. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 218 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO i) Grafica las siguientes funciones cuadráticas en el plano cuadriculado. y = x2 ; y = (x – 2)2 ; y = (x -3)2 ; y = (x + 2)2 ; y = (x + 3)2 y - 1= x2 ; y + 1 = x 2 ; y -1 = (x – 2)2 ; y + 2 = (x -3)2 ; y - 2 = (x + 3)2 ii) Halla los cuadrados de los binomios y expresa cada una de las funciones en la forma y = ax2 + bx + c “Hojas de trabajo” - 219 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Dibuja la trayectoria de una pelota de volley ball , la cual es golpeada a un metro del suelo y cuya altura en cada instante está dada por h = -t2 + 2t + 1 Determina a que tiempo la altura es cero, es decir cae al suelo. “Hojas de trabajo” - 220 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES Las funciones cuadráticas tienen la siguiente forma general: Y ax 2 bx c donde a, b, c pueden ser cualquier número real y a0 1. En esta hoja de trabajo, vamos a graficar la función Y ax 2 bx c . Para ello, fijaremos los números a y b, hacemos variar el número c y estudiamos el efecto que esto produce sobre la gráfica. Usa programa de Geogebra, para graficar sobre la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre el mismo plano TODAS las gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas: Y x2 5x 6 ; Y x2 5x 9 ; Y x2 5x 1 ; Y x2 5x 4 ; “Hojas de trabajo” Y x2 5x 7 - 221 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 2. ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos. 2.1 Ahora fijaremos los números b y c, hacemos variar el número a (en esta primera parte estudiaremos el efecto números a negativos). Usa programa Geogebra, para graficar sobre la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre mismo plano TODAS las gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas: Y x2 5x 3 ; Y 2 x 2 5 x 3 ; Y 4 x 2 5 x 3 ; Y 7 x 2 5 x 3 “Hojas de trabajo” ; Y 9 x 2 5 x 3 - 222 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor a? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos. 2.2 Ahora fijaremos los números b y c, hacemos variar el número a (en esta primera parte estudiaremos el efecto números a positivos). Usa programa Geogebra, para graficar sobre la pantalla cada función cuadrática. Dibuja sobre mismo plano TODAS las gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas: Y x2 7 x 1 ; Y 2 x2 7 x 1 ; Y 3x 2 7 x 1 “Hojas de trabajo” - 223 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor a? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficos. 3. ¿La gráfica de la función Y ax 2 bx c se abre hacia arriba cuando a es negativo? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficas 4. ¿La gráfica de la ecuación Y ax 2 bx c se abre hacia abajo cuando a es positivo? En tu explicación puedes usar palabras, ecuaciones y gráficas “Hojas de trabajo” - 224 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Usa el programa Geogebra para completar la siguiente tabla: Función Cuadrática Corte No 1 Corte No 2 Con el eje x Con el eje X Valor de X Máximo o donde Y es mínimo valor de máximo o Y mínimo Y = 2x2 + 3x - 2 Y = x2 - 9 Y= x2– 14x + 24 Y = - 2x2 + 6x Y = x2 + 3x - 3 Y = 3x2 + 6x - 2 Y= -4x2 – 3x + 1 Y = x2 – 4x + 4 Comprueba en cada caso que el valor de X para el cual Y es mínimo o máximo, se puede calcular así: X b 2 a “Hojas de trabajo” - 225 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 6. Usa el comando para encontrar las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0. Función Cuadrática Soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 Y = ax2 + bx + c Y = 2x2 + 3x - 2 Y = x2 - 9 Y= x2– 14x + 24 Y = - 2x2 + 6x Y = x2 + 3x - 3 Y = 3x2 + 6x - 2 Y= -4x2 – 3x + 1 Y = x2 – 4x + 4 7. ¿Qué representan las soluciones de la ecuación cuadrática en la gráfica de la Función cuadrática? Compara los resultados de las dos tablas anteriores para construir la respuesta. En tu explicación puedes usar palabras, gráficas o ecuaciones. “Hojas de trabajo” - 226 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN Utiliza Geogebra para graficar intersección con el eje X. las funciones y obtener las coordenadas de Utiliza WX-Maxima para hallar la solución de la ecuación cuadrática. Dibuja las funciones en la siguiente gráfica. 1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7 5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1 9)Y = 2x2 –x – 1 ; 10) Y = 4x – 4 – x2 ; 11)Y = 2x2 -5x + 2 ; 12) Y = 2x2 -6x + 2 EVALUACIÓN Escribe la expresión de tres funciones cuadráticas, dos que abran hacia arriba y una hacia abajo cuyos máximos o mínimos están en x = 2, x = 3 y x = 4 “Hojas de trabajo” - 227 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Hoja de Trabajo No. 6 Tema: Función Cuadrática Sub -tema: Ecuación Cuadrática Solución por fórmula general Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y la Fecha: _____________ calculadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la solución de una ecuación cuadrática, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de hallar la solución de una ecuación cuadrática. Utiliza wx-Maxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la solución de una ecuación cuadrática. Argumenta el significado algebraico de hallarla solución de una ecuación cuadrática, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la solución de una ecuación cuadrática con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 228 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Efectúa la factorización de las siguientes expresiones cuadráticas y escribe la ecuación cuadrática. Expresión cuadrática Ecuación cuadrática 42w2- 5w – 2 = 8x2 + 30x + 27 = 3y2 + y – 24 = – 15x2 – 2x + 13 = – 6x2 + 5x – 1 = 2y2 + y – 15 = 4x2 + 8x – 21 = MOTIVACIÓN Los antiguos babilonios se hicieron la siguiente pregunta: Elijamos cualquier número b. ¿Existe otro número x tal que cuando lo sumamos a su recíproco obtenemos b? En la tabla siguiente en la segunda columna traduce al lenguaje del álgebra esta pregunta. Efectúa la suma indicada, pasa todos los términos al primer miembro y escribe el resultado. Selecciona cinco valores de b y sustitúyelos en la expresión de la primera fila Valores de b Pregunta en lenguaje algebraico “Hojas de trabajo” - 229 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES Las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente forma general: ax2 bx c 0 a, b y c son números reales con a≠0 1. Recuerda usar WX-Maxima para resolver la ecuación cuadrática. 2. Usa el comando resolver para completar la siguiente tabla: En los espacios en blanco escoge tu los valores de a, b y c Ecuación Solución No 1 Solución No 2 X2 + 7X + 12 = 0 X2 + 3X – 10 = 0 X2 + 5X – 24 = 0 X2 – 3X + 36 = 0 -2X2 + 7X + 5 = 0 X2 - 4X - 20 = 0 -5X2 – 3X + 10= 0 “Hojas de trabajo” - 230 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 3. Ahora aprenderemos a comprobar si un número es solución de una ecuación cuadrática. Para ello completa la siguiente tabla: Ecuación Soluciones Comprobación (reemplazando el valor de x en la ecuación original) x 2 7 x 12 0 1ª solución X=-3; 1ª. Solución x=-3 2da. Solución X = -4 (-3)2+7(-3)+12=921+12=0 2da. Solución x= -4 (-4)2+7(-4)+12=1628+12=0 x2 3x 10 0 x 2 5 x 24 0 x 2 13x 36 0 En esta parte aprenderemos a calcular la solución de la ecuación cuadrática. Sea la ecuación ax2 bx c 0 recuerda que a, b y c son números reales con a≠0. “Hojas de trabajo” - 231 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 5. Usa el WX-MAXIMA para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas: En el espacio en blanco escribe una diferente a las anteriores. Columna 1 Columna 2 1ª expresión Conclusiones. de entrada Completa la igualdad. ax2 bx c 0 x= o x= Ecuación conclusión y= ay 2 by c 0 o mz 2 nz q 0 z= y= o z= cr 2 dr e 0 r= o r= 6. En los espacios en blanco que aparecen en las columnas 1 y 2 de la tabla 2 escribe la MAYOR CANTIDAD de cosas comunes (regularidades, rasgos comunes) que observes en las expresiones de las columnas correspondientes de la tabla No. 1. “Hojas de trabajo” - 232 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Regularidades de las expresiones de la Regularidades de las expresiones de la columna No. 1 Columna No. 2 Tabla No 2 7. Completa la tabla No 3, teniendo en cuenta que debes poner en la segunda columna el resultado de la solución de las ecuaciones cuadráticas sin utilizar la calculadora; y después verificar tu respuesta con la calculadora. Calcular las Calcular soluciones sin soluciones ayuda de computadora wx 2 ux v 0 la ayuda las Comparar de computadora con resultados los de las la columnas 2 y 3. Explica y corrige los errores x= X= hs 2 ts k 0 s= s= “Hojas de trabajo” - 233 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra r 2 3r 2 0 r= r= Tabla No 3 Ejemplo No 1. Encontrar las soluciones de la ecuación x2 5x 6 0 . En este caso a =1, b= -5 y c= -6. Reemplazando estos valores en la ecuación: x b b2 4 a c 2 a Obtenemos lo siguiente: x x (5) (5) 2 4 (1) (6) 2 (1) 5 25 24 5 49 5 7 2 2 2 De aquí se puede ver que hay dos soluciones: x1 5 7 12 6 2 2 x2 57 2 1 2 2 “Hojas de trabajo” - 234 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 8. Usa la fórmula general (estudiada en el ejemplo anterior) para calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Una vez termines de calcular, verificas la repuesta de dos maneras: la primera es usar el WXMaxima. La segunda forma de comprobación debe ser con el procedimiento explicado en el punto No 3. ECUACIÓN ESPACIO PARA CÁLCULOS X X2 X2 + X – 2 = 0 32X2 – 5X + 2 = 0 5X2 + 9X +1 = 0 “Hojas de trabajo” - 235 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 3X2 – 6X + 1 = 0 2X2 – 4X + 4 = 0 9X2 – 10X + 3 = 0 32 7X2 + 8X – 5 = 0 “Hojas de trabajo” - 236 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 9. Usando el programa GEOGEBRA, realiza las gráficas de las funciones cuadráticas asociadas a las ecuaciones del punto anterior. En el siguiente espacio explica porqué algunas ecuaciones cuadráticas no tienen raíces reales. EVALUACIÓN Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general 1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7 5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1 9)Y = 2x2 –x – 1 ; 10) Y = 4x – 4 – x2 ; 11)Y = 2x2 -5x + 2 “Hojas de trabajo” ; 12) Y = 2x2 -6x + 2 - 237 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV. Hoja de Trabajo No. 7 Tema: Función Cuadrática Ecuación Cuadrática Material que puedes Lápiz, pluma, papel calculadora. Sub -tema: Discriminante de la ecuación cuadrática. usar: y la Fecha: _____________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la importancia del discriminante en la solución de una ecuación cuadrática, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de la importancia del discriminante en hallar la solución de una ecuación cuadrática. Utiliza wx-Maxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de de la importancia del discriminante en hallar la solución de una ecuación cuadrática. Argumenta el significado algebraico de hallar la importancia del discriminante en hallar la solución de una ecuación cuadrática, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la solución de una ecuación cuadrática con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 238 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO i) Determina el valor de la cantidad subradical de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas 1)Y = x2 + 6x + 9 ; 2) Y = -x2 – 6x – 9 ; 3) Y = -x2 + 6x + 9 ; 4)Y = 2x2 – 13x -7 5)Y = 3x2 -4x – 17 ; 6) Y = 2x2 + 9x – 7 ; 7) Y = 4x2 – 19x – 5 ;8) Y = 2x2 +3x – 1 ii) Clasifica estas cantidades de acuerdo a su signo o valor nulo ECUACIÓN SIGNO POSITIVO SIGNO VALOR NULO NEGATIVO iii) Explica como influye ese valor en el valor de las raíces de la ecuación. “Hojas de trabajo” - 239 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN i) Revisa las hojas de trabajo 5 y 6 . Escribe en la primera columna la función cuadrática, en la segunda columna el número de veces que corta al eje de las x, en la tercera columna los valores de las soluciones de la ecuación y en la cuarta columna el valor de la cantidad subradical de la fórmula, Función cuadrática Interceptos con el Valores eje x de soluciones las Signo de la cantidad subradical ii) Observa la relación entre el número de veces que la función cuadrática corta al eje de las x, los valores de la solución de la ecuación cuadrática y el signo o valor nulo de la cantidad subradical. Explica tus conclusiones “Hojas de trabajo” - 240 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Resuelve la ecuación cuadrática: ax 2. En la solución de la ecuación que tiene la forma: 2 bx c 0 ax2 bx c 0 , se encuentra una expresión b 2 4ac Esta expresión comúnmente se conoce con el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones: Ec Ecuación Va Valor del Si Signo del discriminante VaValor de las raíces discriminante (en caso que el de la ecuación discriminante sea cero debes escribir nulo) X2 – 17 X – 6 = 0 X2+ 5X + 7 = 0 X2 + 17X + 6 = 0 X2 + 3X + 9 =0 x2x X2 + 2X – 7 = 0 x2 X2 + 8X + 16 = 0 X2 – 2X + 1 = 0 4X2 + 8X + 1 = 0 3X2 + 8X + 6 = 0 X2 + 14X - 5 = 0 X2 - 3X + 15 = 0 X2 + 4X + 8 = 0 2X2 + 7X - 12 = 0 -X2 + 6X + 4 = 0 -X2 + 3X + 9 = 0 7X2 + 8X - 13 = 0 “Hojas de trabajo” - 241 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 3. Utiliza los resultados de la tabla anterior para unir con una línea los enunciados de la izquierda con los de la derecha A. Reales y distintas. 1. Discriminante Nulo B. Reales e iguales 2. Discriminante Positivo C. Complejas y distintas 3. Discriminante Negativo 4. Te daremos tres funciones cuadráticas, con ellas debes realizar las siguientes actividades: A. Graficar la función B. Encontrar el discriminante de la ecuación cuadrática. C. Encontrar las raíces de la ecuación. Función Gráfico Discriminante Raíces Y x2 2 x Y x 2 3x 7 Y x2 4x 4 “Hojas de trabajo” - 242 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN Función cuadrática Interceptos con el Valores eje x de raíces las Signo del DISCRIMINANTE Reales iguales Reales distintas complejas Reales distintas complejas Reales iguales Reales distintas complejas Reales iguales Reales distintas Reales iguales EVALUACIÓN Función cuadrática Interceptos con el Valores eje x de soluciones las Signo del DISCRIMINANTE positivo positivo positivo negativo negativo negativo nulo nulo nulo positivo positivo “Hojas de trabajo” - 243 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad IV Tema:Función Cuadrática, Sub-tema: Solución por factorización Hoja de Trabajo No. 8 Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________ calculadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de las soluciones de una ecuación cuadrática por factorización , mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico de hallar la solución de una ecuación cuadrática por factorización. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la solución de una ecuación cuadrática por factorización. Argumenta el significado algebraico de hallar el producto de fracciones, mediante lenguaje verbal y simbólico, PROCEDIMIENTO que permita hallar para DETERMINAR UN la solución de una ecuación cuadrática por factorización con el uso del Álgebra. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 244 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Transforma cada una de las siguientes expresiones en una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 Expresión Ecuación cuadrática de la Factorización forma ax2 + bx + c = 0 (x – x1)(x – x2) = 0 3 4 + =6 x5 x2 3x – 9 = x2 4 4x 3 =x+2 x x2 x3 6 x5 x2 4 x2 x7 6 2 x 2 x 4 x 21 x 3 “Hojas de trabajo” - 245 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra MOTIVACIÓN Lupita y Alicia discuten de la mejor forma de resolver una ecuación de segundo grado. Lupita dice que ella prefiere usar siempre la forma general porque es válida para todos los casos y Alicia dice que cuando se puede descomponer fácilmente en factores ella prefiere hacer la descomposición. Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa tu opinión. Forma general Descomposición x 2 13 x 42 0 8 x 2 34 x 21 0 4 x 2 3x 2 0 x 2 10 x 21 0 x 2 10 x 25 0 x 2 7 x 12 0 Expresa tu criterio: CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Analiza la información que se te presenta a continuación: a) Ejemplos de ecuaciones cuadráticas. 4x2 + 4x + 1 = 0 3x = 5 x2 (x 1)(x + 2) = 0. b) Toda ecuación que se puede transformar en una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, a 0 se denomina ecuación cuadrática. Forma canónica de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, a 0, donde a, b y c son números reales. “Hojas de trabajo” - 246 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización se basa en la propiedad del factor nulo. Esta propiedad se te enuncia en el recuadro siguiente. Analízala con detenimiento. Propiedad del factor nulo Para todos los números reales a y b, si a.b = 0; entonces, a = 0 o b = 0 o ambos son cero ( a = 0 y b = 0) 2. Aplicación de la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones cuadráticas del tipo (dx + e)(fx + g) = 0. a) Analiza como se ha aplicado la propiedad del factor nulo para resolver la ecuación (y 3)(2y +1) = 0. a1) Como (y 3)(2y +1) = 0, entonces y 3 = 0 o 2y +1 = 0 a2) Resolvemos la ecuación y3= 0 y = 3. a3) Resolvemos la ecuación 2y +1 = 0 2y = 1 y = 1/2 a4) Verificación. y = 1/2 y=3 (y 3)(2y +1) = 0 (3 3)(2.3 +1) = 0 0. 7 = 0 0=0 (y 3)(2y +1) = 0 (1/2 3)(2(1/2) +1) = 0 (7/2).0 = 0 0 = 0. a5) Conclusión: si y = 0 o si y = ½, entonces (y 3)(2y +1) = 0. Luego y = 0 e y = ½, son soluciones de la ecuación (y 3)(2y +1) = 0. “Hojas de trabajo” - 247 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra b) Resuelve la ecuación (3r 6)(r + 4) = 0, aplicando los pasos que se realizaron en el inciso a). c) Escribe con tus palabras como se procede para resolver una ecuación del tipo (dx + e)(fx + g) = 0 3. Toma como guía el ejemplo resuelto en la tabla 1. Plantea una ecuación cuadrática factorizada en la primera columna de la primera fila de la tabla 2. Completa las columnas 2, 3 y 4 de la tabla 2, tomando como guía el ejemplo resuelto en la tabla 1. . Ecuación Propiedad factorizada factor nulo (z +3) (z 2) del Ecuación Ecuación correspondiente al correspondiente primer factor nulo primer factor nulo z+3=0 z +3 = 0 z 2 = 0 o z=3 z=2 al z2=0 “Hojas de trabajo” - 248 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Verificación de la solución del primer Verificación de la solución del segundo factor factor ( 3+3) ( 3 2) = 0.( 5) = 0 (2 +3) (2 2) = 5.0 = 0 Conclusiones: z = 3 y z = 2 son las soluciones de la ecuación Tabla 1 Ecuación Propiedad factorizada factor nulo del Ecuación Ecuación correspondiente al correspondiente primer factor nulo al primer factor nulo Verificación de la solución del primer Verificación de la solución del segundo factor factor Conclusiones: Tabla 2 “Hojas de trabajo” - 249 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN 4. Completa las columnas 2 y 3 como se muestra en el ejemplo 1) resuelto y después completa la columna 4 con la ayuda de la computadora. Comprueba adicionalmente que las soluciones son correctas, resolviendo la ecuación con la computadora. Columna 1 Columna 2 Columna 3 Ecuación Ecuación Factorizada 2 1) x + 2x – 15 = 0 (x + 3 )(x – 2) = 0 Columna 4 Resuelve la ecuación Verifica los resultados factorizada x+3=0 x–2=0 x=3 x=2 ( 3 + 3 )( 3 – 2) = 0.( 5) = 0 (2 + 3 )(2 – 2) = 5.0 =0 Resuelve la ecuación con ayuda de la Conclusiones computadora y compara los resultados Tabla 3 5. Resuelve utilizando el método de factorización de la ecuación 2x2 - 3x – x2 = -5x – 1 a) Utiliza la propiedad de la suma para obtener una ecuación equivalente con todos sus términos en un solo lado y el otro lado igual a 0. b) Suma todos los términos semejantes para obtener una ecuación canónica equivalente. “Hojas de trabajo” - 250 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Factoriza la ecuación canónica. d) Iguala a cero cada factor. e) Resuelve cada ecuación. f) Determina la solución de la ecuación original. g) Verifica las soluciones en al ecuación original. h) Utiliza la computadora para resolver la ecuación. “Hojas de trabajo” - 251 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN 6. Completa las columnas 2 y 3 como se muestra en el ejemplo 1) resuelto y después completa la columna 4 con la ayuda de la calculadora. Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4 Ecuación dada Ecuación Simplificada Factorización Raíces Resuelve la ecuación con ayuda de la computadora y compara los resultados 1) 2x2 - 3x – x2 = -5x - 1 x2 +2x +1 = 0 (x+1)(x+1) = 0 x1 = -1; x2 = -1 2) 3m2 –3 = 4m – m2 –3 3) –2x + x3 + 4= -x2 + 3x + x3 4) 1 x x 2x 2 2 x 2 6 6 6 5) 1 1 1 x 2 x x 2x 2 5 25 5 6) x2 +(x+5)2 = 5 + 16(3-x) “Hojas de trabajo” - 252 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra COMPETENCIAS PARTICULARES DE LA UNIDAD V Transita entre la información contextual y la representación algebraica de la simplificación de expresiones con exponentes y radicales, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para la comprensión conceptual, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas con el uso del álgebra. Construye e interpreta modelos matemáticos de la simplificación de expresiones con exponentes y radicales mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión, análisis y solución de problemas reales, hipotéticos y formales. Construye tablas, mediante el uso de Excel y/o WX-Maxima para facilitar la comprensión de los conceptos de la simplificación de expresiones con exponentes y radicales, desarrollar procedimientos y efectuar el cálculo algebraico. Introduce variantes de los problemas resueltos, mediante el cambio de hipótesis o de situaciones contextuales para llevar a nuevos problemas con soluciones diferentes o con los mismos modelos matemáticos. Argumenta los procedimientos de trabajo hallados por ti y el método de la solución de los problemas, mediante el uso de lenguaje verbal, algebraico y geométrico para justificar por la teoría algebraica, cada paso realizado. “Hojas de trabajo” - 253 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad V Hoja de Trabajo No. 1 Tema: Exponentes Sub-tema: Simplificación expresiones exponentes enteros . de con Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________ calculadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la simplificación de expresiones con exponentes enteros, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la simplificación de expresiones con exponentes enteros . Argumenta el significado algebraico, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la simplificación de expresiones con exponentes enteros. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 254 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Sea a ≠0, n, m enteros Si en general Entonces en particular am * an a9 * a5 (a m ) n (( 2) 3 ) 7 (a * b) n (2 * 3) 5 1 an am an a0 1 56 30 0a 09 48 410 Tabla 1 MOTIVACIÓN Muchos mecanismos se ven sometidos en su funcionamiento a oscilaciones. Parte de estas oscilaciones son propias del sistema y otras son producto de una fuerza externa al sistema, estas son denominadas oscilaciones forzadas. Determinar la amplitud de las oscilaciones forzadas es de suma importancia porque si sobrepasan cierto valor el sistema se destruye. Así por ejemplo un puente sufre oscilaciones en su estructura , pero de acuerdo a las fuerzas externas que se le apliquen debido al paso de vehículos y personas se introducen otras oscilaciones forzadas. El no tomar en cuenta esto hizo que un puente se derrumbara al paso de un batallón de infantería marchando sobre él. La amplitud de las oscilaciones forzadas está dada por a D( w) b 2 p 2 w2 w2 2 * 2 1 2 b b b 2 Los valores a, b, p y w son parámetros específicos de cada sistema, donde w es la frecuencia de las oscilaciones forzadas y b la frecuencia de las oscilaciones propias “Hojas de trabajo” - 255 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Suponiendo que a= 2, b = 4 y p = 3, determina los valores de D a partir de diferentes valores de w. En la primera columna asigna diferente valores a w, en la segunda columna sustituye los valores dados de w, a, b y p, y en la tercera columna efectúa las operaciones indicadas para hallar el valor de D(w) si hacer uso de la computadora. w D(w) a D( w) b 2 p 2 w2 w2 2 * 2 1 2 b b b 2 Tabla 2 “Hojas de trabajo” - 256 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Sobre las leyes de los exponentes. 1.1 Ley de exponentes para el producto. a) Analiza lo que se te presenta a continuación. a2.a5 = (a.a).(a.a.a.a.a) = a.a.a.a.a.a.a = a7 = a2+5 Ley del producto para exponentes Si m y n son números enteros y a es cualquier número real, entonces am.an = an + m b) Aplica la ley del producto para exponentes para llenar la columna 2 de la tabla c) Determina el producto indicado en la primera columna por medio de la computadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido. Multiplicación Producto Producto sin con Comentario computadora computadora 210 * 217 227 3 4 * 315 5 40 * 53 75 * 76 Tabla 3 d) Completa los espacios en blanco Para multiplicar expresiones exponenciales con una base común, Conserva la _______________________y suma ____________________________________. “Hojas de trabajo” - 257 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 1.2 Ley de exponentes para el cociente. a) Analiza lo que se te presenta a continuación. a7a5 = a 7 a .a .a .a .a .a .a = a.a = a2 = a7-5. a .a .a .a .a a5 Ley de exponentes para cociente Para todo número real distinto de cero a y números enteros distintos de cero se tiene am = am n an b) Aplica la ley de exponentes para el cociente y llena la columna 2 de la tabla 4. Determina el cociente indicado en la primera columna por medio de la calculadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido. División y6 y2 Cociente Cociente sin computadora con computadora Comentario y4 x7 x3 10 3 10 2 z7 z5 Tabla 4 c) Completa los espacios en blanco Para dividir expresiones exponenciales con una base común, Conserva la ____________________ y resta _______________________________________ “Hojas de trabajo” - 258 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 1.3 Ley del exponente negativo. a) Analiza la ley que se te presenta en este inciso. 1 1 1 1 = 52, 2 = 52, x4 = 4 x-4 = 4 2 x x 5 5 Ley del exponente negativo Para todo número real distinto de cero a y cualquier número entero no negativo m. se tiene am = b) 1 am Aplica la ley del exponente negativo a las expresiones que aparecen en la primera columna de la tabla 5 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente pero sin exponentes negativos. Expresión con al menos un exponente Expresión equivalente sin exponentes negativo negativos. 4 x 2 z 5 4z 5 x2 10ab 3 c 4 6 rs t 1 3 7 x 2 y 3 z 2 Tabla 5 c) Completa el espacio en blanco. Para cambiar un factor de un numerador a un denominador, o viceversa (de un denominador a un numerador) se cambia ________________________________ “Hojas de trabajo” - 259 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 1.4 Ley del exponente nulo. a) Analiza lo que se te presenta a continuación. 1= x4 = x4 4 = x0 x4 Ley del exponente nulo Para todo número real distinto de cero a se cumple que a0 = 1. b) Aplica la ley del exponente nulo a las expresiones que aparecen en la primera columna de la tabla 5 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente pero sin exponente nulo. Expresión con al menos un exponente Expresión equivalente sin exponentes nulo nulos. r0 (8 x) 0 8x 0 (a 2) 0 1 2z 0 x6 x6 6 xy 7 6 x y 7 * * 2 xy 7 2 x y 7 50 x 3 y 4 25 x 2 y 4 53 x 2 y 4 52 x 2 y Tabla 5 “Hojas de trabajo” - 260 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EN ACCIÓN Efectúa las operaciones indicadas en la columna 1 de la tabla 6 y escribe en la columna dos la ley utilizada en representación algebraica. 17 x x Expresión a simplificar 23 Ley de exponentes 5 y 10 y 14 4s 3 s 7 1 t 14 3 5s 6 6x5 y 3 x8 9m 8 n 5 6m 7 n 3 8a 5 b 4 16a 3b 2 3x 4 p n 4 4 3 2 5 5x 2 y 5 4 3m 6 EVALUACIÓN Efectúa las operaciones indicadas y en cada paso indica la ley de los exponente utilizada. 4x5 y 7 1.- 3 8 3x y 6 6 3m 5 n 6 2.- 4 5 9m n “Hojas de trabajo” - 261 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Unidad V Tema: Exponentes Sub-tema: Simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios. Hoja de Trabajo No. 2 Material que puedes usar: Lápiz, pluma, papel y la Fecha:______________ calculadora. DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Transita entre la información verbal y la representación algebraica de la simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios, mediante el uso de lenguaje verbal y algebraico para la comprensión del significado verbal y algebraico. Utiliza wxMaxima para facilitar la comprensión del significado algebraico y verbal de hallar la simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios. Argumenta el significado algebraico, mediante lenguaje verbal y simbólico, para DETERMINAR UN PROCEDIMIENTO que permita hallar la simplificación de expresiones con exponentes fraccionarios. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Expresa con una gráfica cada una de las expresiones algebraicas. b. Observa con cuidado la relación entre las expresiones algebraicas y los gráficos, expresa mediante palabras lo que significa para ti esas relaciones. c. Expresa en una tabla mediante .lenguaje algebraico y gráfico las relaciones encontradas. d. Discute con los compañeros y profesor, hasta llegar a un consenso. “Hojas de trabajo” - 262 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra DIAGNÓSTICO Si en general Sea a>0, n, m, p, q enteros 1 n (a ) m 1 2 (2 ) 3 p q m n Entonces en particular 2 5 4 3 3 *3 a *a p q 3 mn a 13 2 5 1 1 b n a 5 2 4 Tabla No.1 MOTIVACIÓN La policía algunas veces utiliza la expresión s 30 fd para estimar la velocidad s (en millas por hora) de un automóvil que se deslizó d pies antes de detenerse. La variable f es el coeficiente de fricción determinado por el tipo de camino y la humedad o sequedad del mismo. La siguiente tabla da algunos valores de f: Mojado Seco Concreto 0.4 0.8 Tabla No.2 Alquitrán 0.5 1.0 i)¿Cuán rápido frenó un automóvil en un camino de concreto si las marcas de deslizamiento fueron de 80 pies de largo en un día lluvioso? ii)¿Cuán rápido frenó un automóvil en un camino de alquitrán si las marcas de deslizamiento fueron de 60 pies en un día seco? “Hojas de trabajo” - 263 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra CONCEPTOS Y HABILIDADES 1. Sobre las leyes de los exponentes fraccionarios. ¿Se cumplirán las mismas leyes para los exponentes fraccionarios que para los exponentes enteros? 1.1 Ley de exponentes para el producto. a) Analiza lo que se te presenta a continuación. Utiliza wxmaxima para comprobar los valores 32 * 32 9 * 9 32 2 9 2 34 81 Decrece 31 * 31 3 * 3 311 91 3 2 9 1 1 9 32 31 3 1 3 1 1 1 1 2 2 32 *32 3 22 * 22 4 * 4 2 2 2 42 24 16 21 * 21 2 * 2 211 41 2 2 4 1 1 4 22 21 2 1 2 1 2 2 *2 1 2 2 1 1 2 2 42 * 42 16 *16 4 2 2 16 2 4 4 256 41 * 41 4 * 4 411 42 16 1 1 2 16 4 41 4 1 4 1 1 42 *42 4 1 1 2 2 Tabla No.3 Observa la relación entre los exponentes y establece una conjetura en el recuadro siguiente: “Hojas de trabajo” - 264 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra Ley del producto para exponentes Si m, n, p y q son números enteros, n y q distintos de 0, a es cualquier número real positivo, entonces m n p q a *a a m p n q b) Aplica la ley del producto para exponentes para llenar la columna 2 de la tabla c) Determina el producto indicado en la primera columna por medio de la computadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido. Multiplicación Producto Producto sin con Comentario computadora computadora 1 2 1 3 2 3 3 2 2 1 2 *2 3 *3 2 1 1 2 3 5 26 55 * 53 3 2 74 *73 1 3 43 * 45 Tabla No.4 d) Completa los espacios en blanco Para multiplicar expresiones exponenciales con una base común, Conserva la _______________________y suma ____________________________________. “Hojas de trabajo” - 265 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra 1.2 Ley de exponentes para el cociente. a) Analiza lo que se te presenta a continuación. Ley de exponentes para cociente Para todo número real positivo, distinto de cero a, m, n, p y q números enteros distintos de cero se tiene m an a p q a m p n q b) Aplica la ley de exponentes para el cociente y llena la columna 2 de la tabla 4. Determina el cociente indicado en la primera columna por medio de la calculadora y pon el resultado en la tercera columna. Si no son iguales los resultados de las columnas dos y tres, señala en la cuarta columna el error cometido. División y y x x z z 3 2 1 2 1 3 2 3 3 5 2 5 Cociente Cociente sin computadora con computadora Comentario 2 2 y 3 1 2 2 y y1 Tabla No.5 “Hojas de trabajo” - 266 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Completa los espacios en blanco Para dividir expresiones exponenciales con una base común, Conserva la ____________________ y resta _______________________________________ 1.3 Ley de la potencia de los exponentes fraccionarios. c) Analiza la ley que se te presenta en este inciso. Ley de la potencia de exponente fraccionario Para todo número real positivo distinto de cero a y cualesquier números enteros no negativos m, n, p y q se tiene p mn q a a n.q m. p d) Aplica la ley de potencia de los exponentes fraccionarios a las expresiones que aparecen en la primera columna de la tabla 6 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente. Expresión con potencias de exponentes Expresión equivalente fraccionarios. 13 x 4 x 3 5 2 4 12 5 a y 5 2 2 3 Tabla No.6 “Hojas de trabajo” - 267 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra c) Completa el espacio en blanco. Para efectuar la potencia de un exponente fraccionario se deja la base y se________________________________ los exponentes EN ACCIÓN Aplica las leyes de los exponentes fraccionarios a las expresiones que aparecen en la primera columna de la tabla 7 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente. Expresión con exponentes fraccionarios Expresión equivalente 2 m2n 3 n3 7 5 p 32 y 5 y2 4 3 x x 5 3 2 2 3 b 5 2 2 6 43 8 c Tabla 7 “Hojas de trabajo” - 268 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra EVALUACIÓN Aplica las leyes de los exponentes fraccionarios a las expresiones que aparecen en la primera columna de la tabla 8 para llenar la columna 2 con una expresión equivalente. En los espacios en blanco plantea expresiones donde tengas que usar las leyes de los exponentes fraccionarios Expresión con exponentes fraccionarios Expresión equivalente 2 34 x y 3 7 x5 y4 y 2 5 3 Tabla 8 “Hojas de trabajo” - 269 - I. Actividades de Aprendizaje del Álgebra REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Arcavi,A. & Hadas, N (2002) Computer mediated learning: an example o fan approach. International Journal of Computers for Mathematical Learning 5: 25-45 2000. Kluver Academic Publishers. Printed in the Netherlands. Balacheff, N. & Kaput,J. (1996) Computer Based Environments in mathematics. En A. Bishop et al. (Eds.), International Handbook of Mathematical Education. Kluwer Academia Publishers. Barrera, F. Y Santos, M. (2002) Cualidades y procesos matemáticos importantes en la resolución de problemas: un caso hipotético de suministro de medicamentos. En Ministerio de Educación Nacional (Ed.), Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de las Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. p.p. 166185. Santa Fe de Bogotá. Benítez, D. (2006) Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios en la resolución de problemas con el uso de tecnología. Tesis de Doctorado. Departamento de Matemática Educativa. 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