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hoops & trees Miguel Andrés Marcos Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, UNL, CONICET, FIQ Seminario Carlos Segovia Fernández Santa Fe - 2016 Miguel Marcos hoops & trees 1 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). Miguel Marcos hoops & trees 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (existencia de la composición) A g f B g ◦f! C Miguel Marcos hoops & trees 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (existencia de la composición) A f B ≡ g g ◦f! C Miguel Marcos hoops & trees 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (asociatividad de la composición) A f B g C Miguel Marcos h hoops & trees D 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (asociatividad de la composición) A g B ≡ ◦f C Miguel Marcos f h hoops & trees h ◦g D 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (identidad) A idA g f Miguel Marcos A hoops & trees 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (identidad) A idA A ≡ f f g B Miguel Marcos hoops & trees 2 / 19 Categorías Una categoría es una colección de objetos y echas entre objetos (morsmos). (identidad) A idA A ≡ f g g B Miguel Marcos hoops & trees 2 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I colección de objetos. Miguel Marcos hoops & trees 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I Q i ∈I colección de objetos. Ai es producto si para todo j ∈ I Q i ∈I Ai πj Aj fj Miguel Marcos hoops & trees ∀j ∈ I 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I Q i ∈I colección de objetos. Ai es producto si para todo j ∈ I Q i ∈I Ai πj Aj fj ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I Q i ∈I colección de objetos. Ai es producto si Q i ∈I Ai πj Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I ` i ∈I colección de objetos. Ai es coproducto si ` i ∈I Ai ιj Aj fj Miguel Marcos hoops & trees ∀j ∈ I 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I ` i ∈I colección de objetos. Ai es coproducto si ` i ∈I Ai ιj Aj fj ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 3 / 19 Productos y coproductos {Ai }i ∈I ` i ∈I colección de objetos. Ai es coproducto si ` i ∈I ιj Ai Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 3 / 19 Funtores Sean C, D dos categorías. Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores Sean Un C, D dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F Miguel Marcos tal que hoops & trees 4 / 19 Funtores Sean Un C, D dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en C 7−→ Miguel Marcos F (A) en tal que D hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B Miguel Marcos F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) hoops & trees en D 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) ◦ g ) = F (f ) ◦ F (g ) Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) ◦ g ) = F (f ) ◦ F (g ) F dene una equivalencia de categorías si Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f en C 7−→ D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) ◦ g ) = F (f ) ◦ F (g ) F dene una es F (A) en tal que equivalencia de categorías si denso: para cada X Miguel Marcos en D existe A en hoops & trees C con X ∼ = F (A) 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) ◦ g ) = F (f ) ◦ F (g ) F dene una equivalencia de categorías si denso: para cada X es el: si f , g : A → B es Miguel Marcos en D en C ∼ = F (A) F (f ) = F (g ), f = g existe A en tienen hoops & trees C con X 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor (covariante) es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (A) → F (B ) en D = idF (A) ◦ g ) = F (f ) ◦ F (g ) F dene una equivalencia de categorías si denso: para cada X en D existe A en C con X ∼ = F (A) es el: si f , g : A → B en C tienen F (f ) = F (g ), f = g es pleno: si g : F (A) → F (B ) en D , existe f : A → B con g = F (f ) es Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor contravariante es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (B ) → F (A) en D = idF (A) ◦ g ) = F (g ) ◦ F (f ) Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Funtores C, D Sean Un dos categorías. funtor contravariante es un mapeo F A en f C 7−→ :A→B F (idA ) F (f F (A) en en C 7−→ tal que D F (f ) : F (B ) → F (A) en D = idF (A) ◦ g ) = F (g ) ◦ F (f ) F dene una dualidad de categorías si denso: para cada X en D existe A en C con X ∼ = F (A) es el: si f , g : A → B en C tienen F (f ) = F (g ), f = g es pleno: si g : F (B ) → F (A) en D , existe f : A → B con g = F (f ) es Miguel Marcos hoops & trees 4 / 19 Forests y trees Miguel Marcos hoops & trees 5 / 19 Forests y trees Un forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas. Miguel Marcos hoops & trees 5 / 19 Forests y trees Un forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas. Miguel Marcos hoops & trees 5 / 19 Forests y trees Un forest es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas. : F → F 0 que preserva el ≤ x en F con f (y ) = x 0 . Morsmos: f F 0 , existe y Miguel Marcos orden y es hoops & trees abierta: si x 0 ≤ f (x ) en 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas Miguel Marcos hoops & trees 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos Miguel Marcos hoops & trees ⊥. 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos Miguel Marcos hoops & trees ⊥. 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos Miguel Marcos hoops & trees ⊥. 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos : F → F 0 que preserva el ≤ x en F con f (y ) = x 0 . Morsmos: f F 0 , existe y Miguel Marcos orden y es hoops & trees ⊥. abierta: si x 0 ≤ f (x ) en 5 / 19 Forests y trees Un tree es un conjunto parcialmente ordenado (F , ≤) tal que sus downsets ↓ x = {y ∈ F : y ≤ x } son cadenas y tiene un elemento mínimo (raíz) al que denotamos ⊥. : F → F 0 que preserva el orden y es abierta: si x 0 ≤ f (x ) en ≤ x en F con f (y ) = x 0 . De esto se obtiene que f (⊥) = ⊥. Morsmos: f F 0 , existe y Miguel Marcos hoops & trees 5 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Forests. Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Forests. (unión disjunta) ιj S ˙ Ai i Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Forests. (unión disjunta) ιj S ˙ Ai i Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B + Miguel Marcos + = hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Trees. Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥} Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥} S ˙ ↑ i Ai ιj ⊥ Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Coproducto en la categoría de Trees. T ↑ = T \ {⊥}, F⊥ = F ∪ {⊥} S ˙ ↑ i Ai ιj ⊥ Aj ≡ fj f! ∀j ∈ I B ⊕ Miguel Marcos ⊕ = hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T S ×T ∼ = (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥ Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T S ×T ∼ = (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥ (F + G ) × H ∼ = (F × H ) + ( G × H ) Miguel Marcos hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T S ×T ∼ = (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥ (F + G ) × H ∼ = (F × H ) + ( G × H ) × Miguel Marcos = hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T S ×T ∼ = (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥ (F + G ) × H ∼ = (F × H ) + ( G × H ) × Miguel Marcos = hoops & trees 6 / 19 Coproductos y productos Producto nito en las categorías de Forests y Trees nitos. S , T trees nitos, F , G , H forests nitos. ∅⊥ × T ∼ =T S ×T ∼ = (S ↑ × T + S ↑ × T ↑ + S × T ↑ )⊥ (F + G ) × H ∼ = (F × H ) + ( G × H ) × Miguel Marcos = hoops & trees 6 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice Miguel Marcos atómico cerrado hacia arriba si hoops & trees 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t atómico cerrado hacia arriba si (siempre ocurre por ser subárbol) Miguel Marcos hoops & trees 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t si a atómico cerrado hacia arriba si (siempre ocurre por ser subárbol) ∈t es átomo de T , b Miguel Marcos ∈t para todo b hoops & trees ≥a 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t si a (siempre ocurre por ser subárbol) ∈t Categoría atómico cerrado hacia arriba si es átomo de T , b ∈t para todo b ≥a Tt ,n : Miguel Marcos hoops & trees 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t si a (siempre ocurre por ser subárbol) ∈t Categoría atómico cerrado hacia arriba si es átomo de T , b ∈t para todo b ≥a Tt ,n : objetos: (T , t ), T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia arriba Miguel Marcos hoops & trees 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t si a (siempre ocurre por ser subárbol) ∈t Categoría atómico cerrado hacia arriba si es átomo de T , b ∈t para todo b ≥a Tt ,n : objetos: (T , t ), T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia arriba morsmos: Miguel Marcos φ : (T , t ) → (T 0 , t 0 ) con φ : T → T0 hoops & trees abierto y φ(t ) ⊂ t 0 7 / 19 Tagged trees T árbol nito. Un subárbol t se dice ⊥∈t si a (siempre ocurre por ser subárbol) ∈t Categoría atómico cerrado hacia arriba si es átomo de T , b ∈t para todo b ≥a Tt ,n : objetos: (T , t ), T árbol nito y t subárbol atómico cerrado hacia arriba morsmos: Miguel Marcos φ : (T , t ) → (T 0 , t 0 ) con φ : T → T0 hoops & trees abierto y φ(t ) ⊂ t 0 7 / 19 Coproductos y productos Coproducto de Tagged Trees (S , s ) ⊕ (T , t ) ∼ = (S ⊕ T , s ⊕ t ) Miguel Marcos hoops & trees 8 / 19 Coproductos y productos Coproducto de Tagged Trees (S , s ) ⊕ (T , t ) ∼ = (S ⊕ T , s ⊕ t ) Producto de Tagged Trees (S , s ) × (T , t ) ∼ = (S × T , r ) Miguel Marcos hoops & trees 8 / 19 Coproductos y productos Coproducto de Tagged Trees (S , s ) ⊕ (T , t ) ∼ = (S ⊕ T , s ⊕ t ) Producto de Tagged Trees (S , s ) × (T , t ) ∼ = (S × T , r ) donde r Miguel Marcos = (s ↑ × T ) + ( s ↑ × t ↑ ) + ( S × t ↑ ) hoops & trees ⊥ 8 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Miguel Marcos hoops & trees 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface Miguel Marcos hoops & trees 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por Miguel Marcos hoops & trees > e inferiormente por ⊥ 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por (residuación) x → y ≥ z Miguel Marcos si y sólo si x hoops & trees > e inferiormente por ⊥ ∧z ≤y 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por > e inferiormente por ⊥ (residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y (prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = > Miguel Marcos hoops & trees 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por > e inferiormente por (residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y (prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = > 0 Un morsmo de álgebras de Gödel es una función f : L → L f (x ∧ y ) = f (x ) ∧ f (y ) f (x ∨ y ) = f (x ) ∨ f (y ) f (x → y ) = f (x ) → f (y ) Miguel Marcos hoops & trees ⊥ con 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un álgebra de Gödel (L, ∧, ∨, →, >, ⊥) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por > e inferiormente por (residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y (prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = > 0 Un morsmo de álgebras de Gödel es una función f : L → L f (x ∧ y ) = f (x ) ∧ f (y ) f (x ∨ y ) = f (x ) ∨ f (y ) f (x → y ) = f (x ) → f (y ) f (>) => f (⊥) =⊥ Miguel Marcos hoops & trees ⊥ con 9 / 19 Álgebras y Hoops de Gödel Un hoop de Gödel (L, ∧, ∨, →, >) es un álgebra de tipo (2, 2, 2, 0) que satisface (L, ∧, ∨) retículo acotado superiormente por > (residuación) x → y ≥ z si y sólo si x ∧ z ≤ y (prelinealidad) (x → y ) ∨ (y → x ) = > 0 Un morsmo de hoops de Gödel es una función f : L → L f (x ∧ y ) = f (x ) ∧ f (y ) f (x ∨ y ) = f (x ) ∨ f (y ) f (x → y ) = f (x ) → f (y ) f (>) con => Miguel Marcos hoops & trees 9 / 19 Filtros F ⊂L es ltro (implicativo) si >∈F si x , x →y ∈F Miguel Marcos entonces y ∈F hoops & trees 10 / 19 Filtros F ⊂L es ltro (implicativo) si >∈F si x , x F es →y ∈F entonces y ∈F primo si ⊥ 6∈ F si x ∨y ∈F Miguel Marcos entonces x ∈F ó y ∈F hoops & trees 10 / 19 Filtros F ⊂L es ltro (implicativo) si >∈F si x , x F es →y ∈F entonces y ∈F primo si ⊥ 6∈ F si x F es ∨y ∈F entonces x ∈F ó y ∈F maximal si F 6= L si F ( F0 entonces F Miguel Marcos 0 =L hoops & trees 10 / 19 Filtros F ⊂L es ltro (implicativo) si >∈F si x , x F es →y ∈F entonces y ∈F primo si ⊥ 6∈ F si x F es ∨y ∈F entonces x ∈F ó y ∈F maximal si F 6= L si F ( F0 entonces F 0 =L regular si contiene a todos los elementos de la forma x ∨ (x → y ) (elementos densos) F es Miguel Marcos hoops & trees 10 / 19 Filtros F ⊂L es ltro (implicativo) si >∈F si x , x F es →y ∈F entonces y ∈F primo si ⊥ 6∈ F si x F es ∨y ∈F entonces x ∈F ó y ∈F maximal si F 6= L si F ( F0 entonces F 0 =L regular si contiene a todos los elementos de la forma x ∨ (x → y ) (elementos densos) F es Los ltros regulares son todo L ó intersección de maximales Miguel Marcos hoops & trees 10 / 19 Dualidades Gn categoría de álgebras de Gödel nitas, Miguel Marcos hoops & trees Fn categoría de forests nitos 11 / 19 Dualidades Gn categoría de álgebras de Gödel nitas, Spec Fn categoría de forests nitos : Gn → Fn Sobre objetos L Spec(L) Sobre echas f = {ltros : L → L0 Spec(f Miguel Marcos primos de L} )(F 0 ) = f −1 (F 0 ) hoops & trees 11 / 19 Dualidades Gn categoría de álgebras de Gödel nitas, Sub Fn categoría de forests nitos : Fn → Gn Sobre objetos G Sub(G ) Sobre echas = {conjuntos decrecientes de G } φ : G → G0 Sub(φ)(G Miguel Marcos 0 ) = φ−1 (G 0 ) hoops & trees 11 / 19 Dualidades GHn categoría de hoops de Gödel nitos, Miguel Marcos hoops & trees Tn categoría de trees nitos 11 / 19 Dualidades GHn categoría de hoops de Gödel nitos, ∗ Spec Tn categoría de trees nitos : GHn → Tn Sobre objetos L ∗ Spec (L) = {ltros primos de L}⊥ : L → L0 Sobre echas f ∗ Spec Miguel Marcos (f )(F 0 ) = f −1 (F 0 ), hoops & trees ∗ Spec (f )(⊥) = ⊥ 11 / 19 Dualidades GHn categoría de hoops de Gödel nitos, ∗ Sub Tn categoría de trees nitos : Tn → GHn Sobre objetos T ∗ Sub Sobre echas (T ) = {conjuntos decrecientes de T } \ {∅} φ : T → T0 Sub Miguel Marcos ∗ (φ)(D 0 ) = φ−1 (D 0 ) hoops & trees 11 / 19 NPc y GNPc Un retículo residuado de Nelson paraconsistente (A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con Miguel Marcos hoops & trees ó NPc-lattice es un álgebra 12 / 19 NPc y GNPc Un retículo residuado de Nelson paraconsistente (A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con ó NPc-lattice es un álgebra (A, ∧, ∨) retículo distributivo (A, ∗, e ) monoide conmutativo a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e ) (a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e ) (a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b (a ∧ e )2 = a ∧ e (residuación) Miguel Marcos hoops & trees 12 / 19 NPc y GNPc Un retículo residuado de Nelson paraconsistente (A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con ó NPc-lattice es un álgebra (A, ∧, ∨) retículo distributivo (A, ∗, e ) monoide conmutativo a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e ) (a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e ) (a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b (a ∧ e )2 = a ∧ e Se dene A− = {a ≤ e } (residuación) Miguel Marcos hoops & trees 12 / 19 NPc y GNPc Un retículo residuado de Nelson paraconsistente (A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con ó NPc-lattice es un álgebra (A, ∧, ∨) retículo distributivo (A, ∗, e ) monoide conmutativo a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e ) (a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e ) (a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b (a ∧ e )2 = a ∧ e Se dene A− = {a ≤ e } A es una GNPc-lattice si además (residuación) ((a ∧ e → b ) ∨ (b ∧ e → a)) ∧ e = e Miguel Marcos hoops & trees 12 / 19 NPc y GNPc Un retículo residuado de Nelson paraconsistente (A, ∧, ∨, ∗, →, e ) de tipo (2, 2, 2, 2, 0) con ó NPc-lattice es un álgebra (A, ∧, ∨) retículo distributivo (A, ∗, e ) monoide conmutativo a → b ≥ c si y sólo si a ∗ c ≤ b e -involución (a → e ) → e = a (se dene ∼ a = a → e ) (a ∗ b ) ∧ e = ( a ∧ e ) ∗ (b ∧ e ) (a ∧ e → b ) ∧ (∼ b ∧ e →∼ a) = a → b (a ∧ e )2 = a ∧ e Se dene A− = {a ≤ e } A es una GNPc-lattice si además (residuación) ((a ∧ e → b ) ∨ (b ∧ e → a)) ∧ e = e Si A es una GNPc-lattice, A− es un hoop de Gödel Miguel Marcos hoops & trees 12 / 19 Twist products L hoop de Gödel, su Miguel Marcos full twist product K(L) es L × L con hoops & trees 13 / 19 Twist products L hoop de Gödel, su (x , y ) u (x 0 , y 0 ) full twist product K(L) es L × L con = (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 ) (x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 ) (x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y )) (x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 ) ∼ (x , y ) = (y , x ) Miguel Marcos hoops & trees 13 / 19 Twist products L hoop de Gödel, su (x , y ) u (x 0 , y 0 ) full twist product K(L) es L × L con = (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 ) (x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 ) (x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y )) (x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 ) ∼ (x , y ) = (y , x ) K (L) es una GNPc-lattice con e Miguel Marcos = (>, >) hoops & trees y K (L) − ∼ = L. 13 / 19 Twist products L hoop de Gödel, su (x , y ) u (x 0 , y 0 ) full twist product K(L) es L × L con = (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 ) (x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 ) (x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y )) (x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 ) ∼ (x , y ) = (y , x ) = (>, >) y K (L)− ∼ = L. K (L)− ∼ = L se llaman twist product K (L) es una GNPc-lattice con e Las subálgebras de K (L) con Miguel Marcos hoops & trees de L 13 / 19 Twist products L hoop de Gödel, su (x , y ) u (x 0 , y 0 ) full twist product K(L) es L × L con = (x ∧ x 0 , y ∨ y 0 ) (x , y ) t (x 0 , y 0 ) = (x ∨ x 0 , y ∧ y 0 ) (x , y ) ∗ (x 0 , y 0 ) = (x ∧ x 0 , (x → y 0 ) ∧ (x 0 → y )) (x , y ) ⇒ (x 0 , y 0 ) = ((x → x 0 ) ∧ (y 0 → y ), x ∧ y 0 ) ∼ (x , y ) = (y , x ) = (>, >) y K (L)− ∼ = L. K (L)− ∼ = L se llaman twist product K (L) es una GNPc-lattice con e Las subálgebras de K (L) con de L L hoop de Gödel y F ltro regular, Tw (L, F ) = {(a, b) : a ∨ b ∈ F } es un twist product de L. Miguel Marcos hoops & trees 13 / 19 Equivalencia y Dualidad Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Equivalencia y Dualidad Categoría GHF objetos: (L, F ), L hoop de Gödel, F ltro regular morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0 Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Equivalencia y Dualidad Categoría GHF objetos: (L, F ), L hoop de Gödel, F ltro regular morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0 Categoría GNPC objetos: GNPc-lattices morsmos: morsmos de GNPc-lattices Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Equivalencia y Dualidad Categoría GHF objetos: (L, F ), L hoop de Gödel, F ltro regular morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0 Categoría GNPC objetos: GNPc-lattices morsmos: morsmos de GNPc-lattices Tw : GHF → GNPC es un funtor que dene una equivalencia de categorías. Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Equivalencia y Dualidad Categoría GHF objetos: (L, F ), L hoop de Gödel, F ltro regular morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0 Categoría GNPC objetos: GNPc-lattices morsmos: morsmos de GNPc-lattices Tw : GHF → GNPC es un funtor que dene una equivalencia de categorías. Spec ∗ : GHFn → Tt ,n con Spec ∗ (L, F ) = (Spec ∗ (L), t ), donde t es el subárbol atómico cerrado hacia arriba generado por F , es un funtor que dene una dualidad de categorías. Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Equivalencia y Dualidad Categoría GHF objetos: (L, F ), L hoop de Gödel, F ltro regular morsmos: f : (L, F ) → (L0 , F 0 ) con f : L → L0 morsmo de hoops y f (F ) ⊂ F 0 Categoría GNPC objetos: GNPc-lattices morsmos: morsmos de GNPc-lattices Tw : GHF → GNPC es un funtor que dene una equivalencia de categorías. Spec ∗ : GHFn → Tt ,n con Spec ∗ (L, F ) = (Spec ∗ (L), t ), donde t es el subárbol atómico cerrado hacia arriba generado por F , es un funtor que dene una dualidad de categorías. Luego Tt ,n es el dual de GNPCn . Miguel Marcos hoops & trees 14 / 19 Álgebras Libres X conjunto, A álgebra es un álgebra libre de #X f X generadores si A ≡ g! g B Miguel Marcos hoops & trees 15 / 19 Álgebras Libres X conjunto, A álgebra es un álgebra libre de #X f X generadores si A ≡ g! g B Si Free(i ) denota al álgebra libre de 1 generador, entonces Free(n ) = n a Free(1) i =1 Miguel Marcos hoops & trees 15 / 19 Álgebras Libres FreeG (1) Miguel Marcos hoops & trees FreeGH (1) 15 / 19 Álgebras Libres FreeGH (2) Miguel Marcos hoops & trees 15 / 19 Álgebras Libres FFree FreeGNPC (1) Miguel Marcos = Tw (FreeGH (2), FFree ) hoops & trees 15 / 19 en el dual... Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que Miguel Marcos hoops & trees 16 / 19 en el dual... Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que T1 Miguel Marcos hoops & trees 16 / 19 en el dual... Si llamamos Tn al tagged tree dual a FreeGNPC (n ) tenemos que T1 = 0, . . . , n − 1, ci ,n = 0 Para i n−1 M 2n 2 Tn con Hi ∼ = i =0 i y para i = n, . . . , 2n, ci ,n = 22n−i 2nn−i 2n−1 M − ci ,n ((Hi )⊥ , ∅⊥ ) ⊕ ci ,n ((Hi )⊥ , (Hi )⊥ ) i =n = Spec∗ (FreeGH (i )). Miguel Marcos hoops & trees 16 / 19 Álgebra libre de n generadores para GNPc-lattices Teorema FreeGNPC (n) ∼ = ∼ = 2nY −1 i =0 K(( FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i ,n i × 2nY −1 i =n Tw ( FreeGH (2n), F ) , Tw (( FreeGH (i ))⊥ , FreeGH (i ))ci ,n donde F Miguel Marcos = 2nY −1 i =0 (( FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i i ,n hoops & trees × 2nY −1 i =n ( FreeGH (i ))ci ,n . 17 / 19 Álgebra libre de n generadores para GNPc-lattices Teorema FreeGNPC (n) ∼ = ∼ = 2nY −1 i =0 K(( FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i ,n i × 2nY −1 i =n Tw ( FreeGH (2n), F ) , Tw (( FreeGH (i ))⊥ , FreeGH (i ))ci ,n donde F = 2nY −1 (( i =0 FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i i ,n × 2nY −1 i =n ( FreeGH (i ))ci ,n . Corolario #FreeGNPC (n) = con h0 = 1 hk = Qki =−01 (hi + 1) Miguel Marcos k i 2nY −1 i =0 12 (hi + ) 2n−c i i ,n 2 · (hi + 2hi )ci ,n . hoops & trees 17 / 19 Álgebra libre de n generadores para GNPc-lattices Teorema FreeGNPC (n) ∼ = ∼ = 2nY −1 i =0 K(( FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i ,n i × 2nY −1 i =n Tw ( FreeGH (2n), F ) , Tw (( FreeGH (i ))⊥ , FreeGH (i ))ci ,n donde F = 2nY −1 i =0 (( FreeGH (i ))⊥ ) 2n−c i i ,n × 2nY −1 ( i =n FreeGH (i ))ci ,n . Corolario #FreeGNPC (n) = con h0 = 1 hk = Qki =−01 (hi + 1) Miguel Marcos k i 2nY −1 i =0 12 (hi + ) . (Observar que 2n−c i 1 i ,n #FreeGNPC ( ) = hoops & trees 2 · (hi + 2hi )ci ,n 256) 17 / 19 Referencias S. Aguzzoli, S. Bova and B. Gerla, Chapter IX: Free Algebras and Functional Representation for Fuzzy Logics from Handbook of Mathematical Fuzzy Logic. Volume II. Studies in Logic. College Publications. 2011. Busaniche, M., Cignoli, R.: Residuated lattices as an algebraic semantics for paraconsistent Nelson logic. J. Log. Comput. 19, 1019-1029 (2009). Busaniche, M., Cignoli, R.: Commutative residuated lattices represented by twist-products, Algebra Universalis 71, 5-22 (2014). nd Mac Lane, S.: Categories for the Working Mathematician. 2 edition, Graduate Texts in Mathematics, Volume 5, Springer, Berlin, (1998). Odintsov, S. P.: Constructive Negations and Paraconsistency. Trends in Logic-Studia Logica Library 26. Springer. Dordrecht (2008). Miguel Marcos hoops & trees 18 / 19 ½½½Gracias!!! Miguel Marcos hoops & trees 19 / 19