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Geometría y Trigonometría 865 Ejercicios de selección múltiple Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Ejercicios 1. En un cuadrado siempre se cumple que: I. Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores II. Las diagonales son perpendiculares entre si. III. El área es igual a la base por la altura. IV. La diagonal es equivalente a la raíz cuadrada del lado. V. La distancia desde el punto de intersección de las diagonales a uno de los vértices es igual a√ del lado De las proposiciones anteriores son verdaderas solamente: a) I , III y IV b) I , II , III y IV c) I , II , III , IV y V d) I , II y III e) I , II , IV y V 2. Dado un triángulo cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado otro triángulo . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es: a) La relación entre las áreas de los triángulo y es 1 a 4. b) La relación entre los perímetros de los triángulos y es 1 a 2. c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden. d) Los incentros de ambos triángulos no coinciden. e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden. 3. El perímetro de un trapecio rectángulo es . Si la base mayor mide , el ángulo agudo del trapecio mide aproximadamente: a) b) c) d) 4. Se sabe que a) √ y b) √ c) [ 5. Siendo √ . El valor de y a) Cursillo Pi , con b) e) es: d) e) ] y d) y 1 es: e) del segundo cuadrante, el valor de √ c) d) y ángulo del √ cuarto cuadrante. El valor de la expresión a) b) c) 6. Dado , y la altura mide √ Ing. Raúl Martínez e) es: Geometría y Trigonometría 7. Si a) y , el valor de b) c) es: d) e) 8. Una persona está parada a de un edificio de de altura que tiene pisos idénticos. El valor de la tangente del ángulo formado por la visual del observador entre los pisos y es: a) b) c) d) e) 9. El menor ángulo positivo cuyo seno sea igual al doble del seno duplo del mismo ángulo es: a) b) c) No existe d) e) 10. En el triángulo son perpendiculares y a) b) c) d) √ √ √ e) √ recto en , √ es punto medio del lado , el área del triángulo . Si los segmentos en y es: 11. El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es semisuma del complemento y el suplemento del ángulo es: a) b) c) d) e) . La 12. Dado el triángulo , donde y si las bisectrices del ángulo interior y del ángulo adyacente al ángulo interior , se interceptan en un punto . La medida en grado centesimal del ángulo es: a) b) c) d) e) 13. En el siguiente gráfico se sabe que a) b) c) d) e) Cursillo Pi , entonces el valor de 2 es: Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 14. A partir de las afirmaciones siguientes: I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide . II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios. III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es cero. IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo. Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Sólo tres c) Sólo dos d) Sólo una e) Ninguna 15. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las a) b) c) d) , es: e) 16. En un polígono convexo, desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar diagonales. La cantidad total de diagonales de dicho polígono es: a) b) c) d) e) 17. A partir de las siguientes proposiciones: I) El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento. II) La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa. III) La función cosecante es la reciproca de la función secante. IV) El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1. Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) II y III d) I y II 18. La expresión e) III y IV , es equivalente a: a) b) c) d) e) 19. Reducir a su forma más simple a) b) 20. En la siguiente figura, el valor de a) b) c) d) e) Cursillo Pi ( ) c) ( ) d) e) es: 3 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 21. Con un compas cuyos brazos miden , se traza una circunferencia de Sabiendo que es el ángulo entre los brazos, entonces el valor de a) b) c) d) e) 22. En un triángulo , es el punto medio de ortocentro. Si la medida de los ángulos y razón entre los segmentos y es: a) b) c) , es un punto cualquiera de son respectivamente de d) de radio. es: y y es el . La e) 23. Una transversal corta las rectas paralelas y en los puntos y respectivamente. Si las bisectrices de los ángulos conjugados internos se cortan en un punto , siendo igual al doble de , entonces el menor de los ángulos conjugados internos mide: a) b) c) d) e) 24. Se tienen los ángulos consecutivos , bisectrices de y . a) b) c) 25. En la figura ̅̅̅̅ a) b) c) d) e) ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ y siendo . Se trazan y , respectivamente. Hallar la medida del ángulo d) e) ̅̅̅̅ , entonces se puede decir que: 26. Marca solo la respuesta correcta. a) La función seno puede tener de valor. b) El signo de la cofunción del seno del segundo cuadrante es negativo. c) d) La tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo. e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo. 27. En el triángulo bisectriz del ángulo a) b) . Hallar la medida del ángulo formado por la y la mediatriz del segmento . c) d) e) 28. En un triángulo y las bisectrices de los ángulo externos y a) b) c) Cursillo Pi 4 . Por , se traza paralelas a , cortando a , en los puntos y respectivamente. Hallar : d) e) N.d.a. Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 29. Si a) , el valor de b) , es: c) d) e) 30. De las siguientes opciones: I) En el , el signo de la cofunción del coseno es positivo. II) Si III) , , el valor de ( ) ( ) IV) La función tangente es decreciente en el V) Podemos decir que son falsas. a) I , II y V b) II , III y V c) II, IV y V d) I y V e) II , III, IV y V 31. En un triángulo, uno de sus ángulos mide . Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. a) b) c) d) e) 32. Calcular el valor del ángulo a) b) c) d) e) , cuadrilátero inscriptible. diámetro de la Cia. 33. Cuales son las proposiciones no falsas I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si. II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en línea recta. III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios. Cursillo Pi 5 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 34. Si el suplemento del ángulo es entonces: a) e son ángulos suplementarios. b) es agudo e es obtuso c) es a como es a d) es a como 2 es a e) e son ángulos congruentes , donde 35. Los ángulos y de un cuadrilátero formado por las bisectrices de los ángulos a) b) c) valen es el complemento de dicho ángulo, y . Calcular el valor del ángulo y d) e) 36. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados? a) b) c) d) e) 37. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de ellas el doble de la altura a) b) c) d) e) 38. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación a) y b) y c) y d) y e) y 39. Hallar el valor del ángulo a) b) c) d) e) 40. En un polígono regular de lados inscripto en una Cía, uno de los lados subtiende un arco de . Hallar el radio de la Cía. a) b) c) d) e) 41. Un rombo tiene diagonales que miden es: a) b) c) Cursillo Pi y . La longitud de la cia inscripta a el rombo d) 6 e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 42. Dada dos cias tangentes exteriores y de radios segmento tangente exterior común a las dos cias es: a) √ b) √ y respectivamente. La longitud del c) √ d) √ e) √ 43. Los lados de un triángulo miden del triángulo es: a) b) y . El coseno del mayor de los ángulos interiores c) d) e) 44. De las opciones, marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equilátero. e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa. 45. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo de un triángulo recibe el nombre de: a) Seno b) Coseno c) Cosecante d) Secante e) Tangente 46. La cuerda de un arco de cia es igual a a) b) y la flecha c) . Calcular el radio d) e) 47. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un hexágono regular de lado . ( a) √ ) b) ( ⁄ c) d) √ ( √ ) e) ( √ ) √ ) 48. La perpendicular bajada desde un punto de un diámetro mide y divide a dicho diámetro en dos segmentos que están en la relación . Calcular la longitud de la cia. a) b) c) d) e) 49. Desde un punto se trazan una tangente y una secante a una cia, de longitudes y , respectivamente. La secante dista del centro de la cia. Hallar la longitud de esta curva. a) b) c) d) e) Cursillo Pi 7 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 50. El cociente entre el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de una cia y el área de un triángulo equilátero inscripto en esa cia es: a) b) e) c) d) √ √ 51. Dada tres cias de radio igual a a) b) √ c) √ d) e) . El perímetro de la parte sombreada es: 52. Un rombo tiene diagonales que miden es: a) b) c) 53. En la figura el lado del cuadrado a) b) c) d) e) 54. Hallar el área en el pentágono (en a) b) c) d) e) y . La longitud de la cia inscripta a el rombo d) es e) . Halla el área de la región sombreada. ): 55. En una circunferencia de de radio, se inscribe un rectángulo de lados perímetro del rectángulo en . a) √ b) √ c) √ d) √ y e) . Hallar el √ 56. En un triángulo se traza la bisectriz correspondiente al ángulo , que llega hasta el punto sobre el lado . Siendo los lados: y . Hallar el área del triángulo . a) b) c) d) e) 57. Un depósito en forma de cono circular recto de altura , está con el vértice hacia abajo esta cargado hasta la mitad de su capacidad ¿Hasta que altura llega el agua? b) d) a) c) e) √ √ √ Cursillo Pi 8 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 58. Se hace un corte a un cubo de arista igual a , mediante un plano que pasa por los vértices , y , como muestra la figura. El área total del poliedro que resulta al retirar el sólido es: a) b) c) √ d) ( √ ) e) ( √ ) 59. La suma de las áreas totales de dos conos circulares rectos semejantes es √ ) ( Hallar la raíz cuadrada del producto de las áreas, si las alturas están en razón 3 es a 4. ( a) √ ) ( b) √ ) ( c) √ ) 60. El área total de un cubo en función de su diagonal a) c) b) √ ( d) √ ) d) e) 61. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de rectángulo cuya diagonal mide . Calcular el área total del prisma. a) b) c) d) ( e) √ ) √ de altura, es un e) 62. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de todas sus aristas iguales a . a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 63. En la figura es triángulo rectángulo, y son los lados opuestos, el radio de la circunferencia inscripta en el triángulo rectángulo es: a) b) c) d) e) 64. Calcular volumen de un tronco de cono de revolución (en ) de bases paralelas, sabiendo que se pueden inscribir en él 2 esferas tangentes de y de radio, respectivamente. a) Cursillo Pi b) c) d) 9 e) N.d.a. Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 65. El volumen del material contenida en una esfera hueca cuyo radio interno es espesor es es: a) b) c) d) e) y cuyo 66. Cuales son las proposiciones no falsas I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en línea recta. III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementario a) I y II b) Solo I c) II, III y IV d) Solo V e) IV y V 67. De las opciones, marca la alternativa no falsa: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. 68. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide . Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. a) b) c) d) e) 69. Cuatro rectas que parten de un punto y valor del ángulo . a) b) c) y , forman los ángulos continuos . Hallar en grados sexagesimales el d) e) 70. Marcar la correcta: a) El número de aristas de un icosaedro es treinta y de un dodecaedro doce. b) Si el radio y la altura de un cono son iguales respectivamente a la altura y el radio de un cilindro, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. c) El área lateral de una pirámide es igual a la mitad de la suma de su perímetro de base y su apotema. d) Si se inscribe una esfera en un hexaedro, el volumen de la esfera es aproximadamente igual a la tercera parte del volumen del hexaedro. Cursillo Pi 10 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 71. Siendo a) b) c) d) e) entonces el valor de es: 72. La suma de dos ángulos es igual a . Uno de ellos es el doble del complemento del otro. La razón entre el mayor y el menor es: a) b) c) d) e) 73. Dos ángulos opuestos por el vértice miden a) b) c) y . Entonces uno de ellos mide: d) e) 74. La suma de un ángulo más el doble de su complemento es a) b) c) d) . El ángulo mide: e) 75. La suma de un ángulo más la cuarta parte de su suplemento es a) b) c) d) 76. En la siguiente figura se sabe que las rectas a) b) c) d) e) y 77. En la figura en que a) b) c) d) e) es: . El valor del ángulo 78. Dados los ángulos consecutivos ángulo ángulos a) son b) y es: . Se sabe que el doble de la medida del . Además las medidas de los respectivamente. El ángulo c) d) 79. La mitad del complemento de un ángulo es a) b) c) Cursillo Pi son paralelas. La medida del ángulo , es igual al triple de la medida del ángulo y . El ángulo mide: e) 11 mide: . El ángulo mide: d) Ing. Raúl Martínez e) e) Geometría y Trigonometría 80. La suma de dos ángulos es . Si uno de ellos es el doble del complemento del otro, entonces el mayor de los ángulo excede al menor en: a) b) c) d) e) 81. En la siguiente figura se sabe que a) b) c) d) e) , entonces el valor del ángulo es: 82. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos forman un ángulo de si la medida de uno de ellos es igual a de la medida del otro, el menor de los ángulos mide: a) b) c) d) e) 83. En la siguiente figura se sabe que a) b) c) d) e) 84. Si y a) b) c) d) e) Ninguna . El ángulo mide: son paralelas. Calcular el valor de 85. El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suplemento del mismo es semi suma del complemento y el suplemento del ángulo es: a) b) c) d) e) 86. Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo: a) Son complementarios. b) Son iguales. c) Miden cada uno . d) Son suplementarios. e) Miden . Cursillo Pi 12 Ing. Raúl Martínez . La Geometría y Trigonometría 87. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Dos ángulos son adyacentes II) Dos ángulos agudos pueden ser suplementarios III) Si dos ángulos son suplementarios, uno de ellos es agudo y el otro es obtuso Podemos decir que son falsas: a) Solo I b) Solo I y II c) Solo III d) Todas e) Ninguna 88. A partir de las siguientes afirmaciones siguientes I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es recto IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una e) Ninguna 89. Dos ángulos complementarios son entre si como 7 es 53. Calcular el ángulo menor a) b) c) d) e) 90. Dos ángulos suplementarios son entre si como 3 es a 7. Calcular el ángulo menor a) b) c) d) e) 91. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común. II) Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano III) El complemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo Podemos decir que en el mismo orden en que aparecen son respectivamente: a) V, V, V b) F, F, F c) V, F, V d) V, V, F e) F, V, V 92. Dos ángulos adyacentes son entre si como 3 es a 5. El menor de los ángulos mide: a) b) c) d) e) 93. Los ángulos y obtuso y agudo respectivamente son tales que sus lados son perpendiculares. Si la razón entre ellos es 5. La medida del ángulo es: a) b) c) d) e) 94. Sabiendo que los ángulos agudos , tienen sus lados paralelos y dirigidos en igual sentido y que los lados del ángulo agudo son perpendiculares a los lados del ángulo y que la suma de las medidas de los ángulo y es . La medida del ángulo es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 13 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 95. Marca la alternativa correcta: a) Dos ángulos adyacentes suman b) La suma de dos ángulos complementarios iguales es igual a c) La suma de dos ángulos opuestos por el vértice es siempre igual a radianes d) Los ángulos alternos siempre son congruentes e) La suma de dos ángulos correspondientes mide siempre como un ángulo obtuso 96. Para convertir un ángulo dado en el sistema sexagesimal al sistema centesimal y expresarlo en minutos se debe: a) Multiplicarlo por el cociente entre y b) Dividirlo por el cociente entre c) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre y d) Dividirlo por el producto entre el cociente de y y e) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre y 97. Un ángulo de a) es equivalente a: b) c) d) e) 98. El ángulo de a) corresponde a: b) d) e) c) 99. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las a) b) c) d) es: e) 100. De las afirmaciones siguientes: I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes. II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes IV) Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es V) Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es Son Falsas: a) Solo cuatro b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una todas 101. A partir de las siguientes proposiciones: I) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes II) Dos ángulos suplementarios son adyacentes III) Dos ángulos complementarios siempre son desiguales IV) Dos ángulos suplementarios pueden ser complementarios V) Dos ángulos consecutivos suman siempre Son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) Solo una d) Solo dos Cursillo Pi 14 Ing. Raúl Martínez e) Solo tres Geometría y Trigonometría 102. I) II) III) IV) De las siguientes afirmaciones: Dos ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes. Dos ángulos suplementarios son conjugados internos o conjugados externos. Dos ángulos alternos internos son correspondientes. Dos ángulos consecutivos formados por una transversal que corta a dos paralelas son suplementarios. V) Si dos ángulos alternos externos son congruentes entonces las rectas cortadas por la transversal son paralelas. Podemos decir que: a) Ninguna es verdadera b) Son verdaderas I, III y V c) Son verdaderas I, IV y V d) Son verdaderas II, IV y V e) Son verdaderas I, II, IV y V 103. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entre si como 5 es a 13. Calcular el ángulo menor. a) b) c) d) e) 104. En un triángulo de lados donde se tiene que las longitudes de los segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto y son: a) y b) y c) Ambas son iguales d) y e) Ambas son iguales a 105. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las dimensiones de triángulos. Si con las medidas dadas era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos adicionales por su calificación, las respuestas fueron Juan Luis Pedro Carlos Entonces la maestra dio puntos adicionales a: a) Juan y Luis b) Juan y Pedro c) Luis y Pedro d) Pedro y Carlos Cursillo Pi 15 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 106. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que ̅̅̅̅ 107. Sea el triángulo Entonces a) ̅̅̅̅ . Entonces la bisectriz del ángulo . Sabiendo que . es igual a: b) 108. y ̅̅̅̅ c) d) e) El ángulo exterior contiguo a uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles mide . Calcular el ángulo desigual. a) b) c) 109. Las bisectrices de los ángulos Calcular el ángulo . a) b) d) y c) del triángulo e) forman un ángulo de d) . e) 110. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Sabiendo que esta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son y respectivamente. a) b) 111. a) b) c) d) e) El valor de c) d) e) en la figura geométrica es: √ √ √ 112. En un triángulo se tiene que la recta es paralela al lado lados y en los puntos y respectivamente, y que , . Entonces el segmento mide: , cortando a los a) e) Cursillo Pi b) c) d) 16 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 113. Los triángulos rectángulos . En el y son semejantes. En el . Calcular el perímetro del : y . a) b) c) d) e) 114. Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los lados dos segmentos, uno de y el otro de . ¿Cuál es la longitud de los segmentos determinados en el otro lado que mide en total a) y b) y c) y d) y 115. En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de y es: a) b) c) d) e) 116. a) b) c) d) e) Si e) y , en función de , entonces 117. En un triángulo el ángulo altura y bisectriz trazadas del vértice . a) b) c) y y es: . Cual será el ángulo que forma la d) e) 118. En un triángulo la bisectriz correspondiente al ángulo forma con la bisectriz del ángulo externo correspondiente al ángulo , y la diferencia entre los ángulos y es de . Calcular los tres ángulos. a) b) c) d) e) Cursillo Pi 17 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 119. Un poste de teléfono da una sombra de , al mismo tiempo un operario de de estatura da una sombra de , entonces la altura del poste es: b) c) d) e) a) 120. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico, a) √ y √ b) √ y √ y miden respectivamente: √ c) √ y d) y e) y 121. En un triángulo es un punto del segmento , tales que: a) y b) 122. En un triángulo la medida del lado , es: a) b) c) y un punto del segmento , entonces el segmento d) e) y se traza la bisectriz interior c) En la figura las rectas . El segmento y mide: . Si y d) , e) 123. En un triángulo es bisectriz interior. En los triángulos son también, respectivamente, bisectrices. Si ; y medida del segmento a) b) c) d) 124. mide: y ; y . Cual es la e) son paralelas. y a) b) c) d) e) 125. En la figura adjunta: y . Entonces la razón reciproca de a) b) c) d) e) Cursillo Pi 18 Ing. Raúl Martínez es: Geometría y Trigonometría 126. ̅̅̅̅ es: a) Dadas las siguientes proposiciones de congruencia. , además ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅. Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes b) c) d) 127. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante cuatro segmentos paralelos a . Si de esos cuatros segmentos es igual a: a) b) c) 128. a) 129. e) , se divide en cinco partes iguales, , entonces la suma de las longitudes d) e) La razón reciproca entre, la media proporcional de 2 y 5 ,y la cuarta proporcional de y , es: b) √ ̅̅̅̅̅ En el grafico , entonces ̅̅̅̅̅ mide: ̅̅̅̅ c) √ d) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √ e) ̅̅̅̅ √ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ a) b) c) d) e) 130. La longitud del lado de un cuadrado, inscripto en un triángulo rectángulo , recto en , donde uno de los vértices del cuadrado es y el vértice opuesto sobre la hipotenusa del triángulo, cuyos catetos miden y , es: a) b) c) d) e) 131. En un triángulo rectángulo de lados longitud 10 es: a) b) c) y , la altura correspondiente al lado de d) e) 132. Una columna de de altura proyecta a cierta hora del día una sombra de , cual será la sombra proyectada a la misma hora por un poste cuya longitud sea la tercera parte de la longitud de la columna a) b) c) d) e) Cursillo Pi 19 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 133. En la figura y , entonces la medida de es: a) b) √ √ c) √ √ d) e) 134. Marca la proposición correcta: a) Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con dos lados y un ángulo del otro. b) El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de uno de sus lados. c) Dos triángulos semejantes pueden ser congruentes. d) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus ángulos. e) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual. 135. En un triángulo , el lado y se considera el punto como baricentro. Se traza el segmento que pasa por el punto y paralelo al lado del triángulo (con los extremos sobre el lado y el punto sobre el lado . La medida del segmento , es: a) b) c) d) e) 136. En la figura longitud del segmento a) b) c) d) e) 137. . Además , en metros es: Dada la serie de razones iguales: valores de . La donde , entonces los ; aumentados en dos unidades, son respectivamente: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 20 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 138. Teniendo en cuenta el dibujo, donde a) b) c) √ √ √ d) e) √ √ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y , el valor de es: 139. En la figura ̅̅̅̅ a) y son escalenos. b) y son congruentes. c) y son equiláteros. d) y son congruentes. e) y son semejantes. 140. a) 36° Cada ángulo de un pentágono regular mide: b) c) 141. a) b) c) d) e) La suma de los ángulos interiores del polígono dibujado en la siguiente figura es: y . Entonces: d) e) 142. De las siguientes afirmaciones: I) Cualquiera de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son suplementarios II) Cualquiera de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios III) Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares entre si y se cruzan en su punto medio, entonces ese paralelogramo es un rombo. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Solo I y II son verdaderas c) Solo II y III son verdaderas d) Solo II es verdadera e) Solo III es verdadera. Cursillo Pi 21 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 143. En la figura se tiene un rectángulo cuyos lados miden y respectivamente. Los puntos y son puntos medios de los lados. El perímetro del cuadrilátero es: a) b) c) d) e) 144. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es , entonces: I) El polígono tiene vértices II) El polígono tiene lados. III) Cada ángulo interior mide IV) La suma de los ángulos interiores es igual a Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una e) Ninguna 145. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados de dos polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice y diagonales respectivamente, entonces el nuevo polígono tendrá en total: a) 25 diagonales b) 22 diagonales c) 275 diagonales d) 350 diagonales e) 250 diagonales 146. Si y representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de y lados respectivamente, entonces es igual a: a) b) c) d) e) 147. Hallar los ángulos del paralelogramo , sabiendo que los ángulos que la diagonal forma con los lados y miden respectivamente y a) b) c) d) e) 148. Hallar el perímetro de un hexágono, sabiendo que si se considera una de las diagonales queda dividido en dos trapecios isósceles congruentes, tales que un lado mide el triple de la cuarta parte de la base menor y que la diferencia entre ambos es 5. a) b) c) d) e) Cursillo Pi 22 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 149. Sabiendo que la medida de la base media de un trapecio es doble que la otra, calcular las medidas de ambas. a) y b) y c) y d) y 150. Sean demostrar que a) b) c) d) e) 151. a) y que una base mide el e) y un trapecio y su base media. Sabiendo que ̅̅̅̅̅ en función de es: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , Hallar el perímetro de un pentágono . Sabiendo que si se considera la diagonal , quedan determinados un cuadrado y un triángulo isósceles y que, en este último b) c) d) e) 152. a) Determinar la medida de un ángulo interior de un octógono regular. b) c) d) 153. La figura adjunta es un cuadrilátero no convexo (cóncavo). Usando alguna propiedad de triángulos. Demostrar que: bisectriz de 154. a) e) bisectriz de La suma de los ángulos interiores de un trapecio es: b) c) d) 155. Uno de los ángulos de un trapecio isósceles es mide entonces: a) b) c) e) del otro. El mayor de los ángulos d) e) 156. El número de lados de un polígono sabiendo que la suma de los ángulos interiores es igual a es: a) 5 lados b) 6 lados c) 7 lados d) 9 lados e) 8 lados 157. a) El ángulo interno de un polígono regular de b) c) diagonales es igual a: d) e) 158. ¿Cuánto es la razón entre la medida de un ángulo interior de un pentágono regular y la medida de un ángulo interior de un decágono regular? a) b) c) d) e) Cursillo Pi 23 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 159. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura del trapecio rectangular 160. Hallar las razones directas e inversas de los segmentos a) b) c) d) e) calcular su perímetro. y . Sabiendo que y y . Sabiendo que y y y y y y 161. a) b) c) d) e) Hallar las razones directas e inversas de los segmentos y y y y y 162. Dadas las siguientes proposiciones I) Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno II) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes III) Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros lados en segmentos proporcionales IV) Las alturas correspondientes a los lados homólogos en dos triángulos semejantes son proporcionales V) Si se tiene dos cantidades y , además se cumple , entonces se denomina cuarta proporcional. En ese mismo orden son: a) V, F, F, F, F b) V, V, V, V, V c) F, V, V, V, V d) V, V, V, V, F e) V, F, V, V, F 163. Dada la serie de razones iguales valores de donde , entonces los aumentados en dos unidades, son respectivamente: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 24 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 164. es: a) La razón entre la media proporcional de b) √ y c) √ y la cuarta proporcional de √ d) e) y √ 165. A partir de las afirmaciones siguientes: I) Los lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos determinados por la bisectriz II) Si una recta determina sobre dos de los lados de un triángulo segmentos proporcionales, entonces la recta es paralela al tercer lado. III) La media proporcional de y es igual a la raíz cuadrada del producto de ambas. IV) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen sus catetos proporcionales. V) Si la razón entre y es , entonces y Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Solo una c) Solo dos d) Solo tres e) Ninguna 166. En un triángulo rectángulo de lados longitud es: a) b) c) 167. a) 168. a) La expresión que representa b) , la altura correspondiente al lado de d) e) es tercera proporcional de b) La expresión que representa y c) d) es tercera proporcional de c) y , correspondiente a: e) y corresponde a: d) e) 169. Dadas dos circunferencias concéntricas cuyos radios se diferencian en . Calcular la diferencia entre las longitudes de los dos arcos correspondientes al mismo ángulo central de a) b) c) e) d) 170. Por un punto exterior a un circulo de centro y radio igual a secante tal que ̅̅̅̅ y . Calcular la distancia a) b) c) d) e) Cursillo Pi 25 Ing. Raúl Martínez , se traza la recta Geometría y Trigonometría 171. Teniendo en cuenta la figura, donde de radio , entonces ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ es igual a: a) b) c) d) e) es la distancia de al centro de la circunferencia 172. En una circunferencia dada se traza un diámetro y una cuerda paralela a él y correspondiente al contorno de un polígono regular de 216 lados. Cual es el valor del ángulo formado por esa cuerda y la que resulta de unir uno de sus extremos con el extremo más distante del citado diámetro a) b) c) d) e) 173. Un arco de circunferencia mide próximo a la medida del radio es: a) b) c) y su longitud es de . El numero entero más d) e) 174. El arco comprendido entre los lados de un ángulo inscripto en una circunferencia mide lo mismo que el ángulo exterior respectivo al ángulo no congruente de un triángulo isósceles cuyos otros ángulos miden cada uno . La mitad del suplemento del ángulo central cuyos lados están comprendidos entre ese mismo arco corresponde a: a) b) c) d) e) 175. a) b) El perímetro de la parte reyada de la figura es: c) d) e) 176. Dada la siguiente figura, tenemos que las circunferencias son tangentes, y son los centros y y , son tangentes en y , respectivamente. Sabiendo que los radios son y , el cuádruplo de la suma de y es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 26 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 177. En la figura cada una de las circunferencias con centros en y , miden respectivamente en metros: y , siendo a) b) c) d) e) 178. Los diámetros de las dos ruedas de una bicicleta miden y . La primera dio vueltas al recorrer cierta distancia. Entonces el número de vueltas que dio la segunda rueda es: a) b) c) d) e) 179. Entre las afirmaciones siguientes: I) Si una recta bisecta al arco menor de una cuerda, también bisecta al arco mayor. II) Una cuerda de un círculo siempre es diámetro. III) Si un triángulo está inscripto en un círculo, con un lado como diámetro, entonces el triángulo es rectángulo. IV) La región de plano comprendido entre dos cias. Concéntricas se llama sector circular. V) La intersección de una recta y un círculo puede ser vacío. VI) El segmento rectilíneo que une dos puntos de un círculo siempre es una cuerda. Las verdaderas son: a) I y V b) III y V c) II y VI d) I y II e) III , V y VI 180. De las afirmaciones siguientes: I) Si dos tangentes a una cia son paralelas, entonces sus puntos de tangencia determinan un diámetro. II) Si un triángulo está inscripto en un circulo y los arcos interceptados tienen medidas de y , entonces el triángulo es obtusángulo. III) Si se duplica el radio de una circunferencia, entonces el diámetro se duplica. IV) Toda circunferencia contiene al menos dos arcos diferentes. V) Toda cuerda es subconjunto de una secante. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Solamente tres son verdaderas c) Ninguna son verdaderas d) Solamente dos son verdaderas e) Solamente una es verdadera. 181. a) b) c) d) e) Determinar la posición relativa de dos circunferencias de longitudes . Siendo las distancia entre sus centros . Tangentes Tangentes interiores Secantes Exteriores Concéntricas Cursillo Pi 27 Ing. Raúl Martínez y Geometría y Trigonometría 182. de a) Una circunferencia tangente interiormente pasa por el centro de otra cuya longitud es . La distancia entre los centros en es: b) c) d) e) 183. La distancia entre los centros de dos cias tangentes exteriormente, sabiendo que las longitudes respectivas miden y es: a) b) c) d) e) 184. a) La distancia que separa a dos cias concéntricas cuyas longitudes respectivas miden y es: b) c) d) e) 185. Hallar el valor de un ángulo inscripto en la cia siendo de arcos subtendidos por los lados de aquel a) b) c) d) y los e) 186. El valor de un ángulo inscripto en un circulo cuyos lados corresponden a polígonos regulares de 12 lados y 18 lados a) b) c) d) e) 187. Dos ángulos exteriores consecutivos de un cuadrilátero inscriptible en un circulo vale y . Calcular los ángulos del cuadrilátero. a) b) c) d) e) 188. a) b) c) d) e) Hallar el valor del ángulo siendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 189. El lado del cuadrado mide “ ” y los puntos medios de los lados respectivamente son y , entonces el área de la región sombreada es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 28 Ing. Raúl Martínez y Geometría y Trigonometría 190. es: a) b) c) d) e) El área del paralelogramo , sabiendo que el área de la parte sombreada es 191. a) El área de un círculo es b) 192. Sabiendo que un hexágono regular inscripto en una circunferencia tiene área . Entonces el perímetro del cuadrado circunscripto es: c) d) e) √ entonces la longitud de la circunferencia es: a) b) c) 193. El área de un triángulo es dicha base mide: a) b) 194. d) . Si su base es c) √ e) , entonces la altura correspondiente a d) e) El pentágono de la figura está dividido en un cuadrado de . Entonces mide: y en un triángulo de a) b) c) d) e) 195. El área de la figura en términos de y es: a) b) c) d) e) 196. a) Cursillo Pi Hallar el lado de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de b) c) d) e) 29 , Ing. Raúl Martínez de lado. Geometría y Trigonometría 197. Un trapecio isósceles tiene de altura y de perímetro. Si la diferencia de las bases es de . Cual será el área de dicho trapecio. a) b) c) d) e) 198. Calcular el área de un sector circular de lado es igual a la longitud del arco de aquel. a) b) c) de radio equivalente a un cuadrado cuyo d) e) 199. Se tiene un cuadrado de de lado. ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben hacerse para obtener rectángulos iguales de de área? a) No cortar b) c) d) e) 200. Al aumentar en 3 el largo de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área queda: a) Aumentada en 3 b) Disminuida en 3 c) Invariable d) Aumentada en e) Disminuida en 201. a) b) c) d) e) El área de la región sombreada es: √ 202. Las diagonales de un rombo se diferencian en . Calcular su área sabiendo que excede en al triple del área de un cuadrado de diagonal igual a la menor diagonal del rombo a) b) c) d) e) 203. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos y su área es igual a . Calcular el perímetro. a) b) c) d) e) 204. Si la suma de las áreas de dos círculos es circunferencias es de , sus radios miden a) y b) y c) y Cursillo Pi 30 y la suma de las longitudes de sus d) y Ing. Raúl Martínez e) y Geometría y Trigonometría 205. Las bases de un trapecio isósceles miden Calcular la diagonal. a) b) c) 206. El área de un rectángulo de radio es: a) b) c) y . El área es igual a d) . e) de perímetro inscripto en un circulo de d) e) 207. La superficie de un triángulo es de Calcular la longitud del tercer lado. a) b) c) y dos de sus lados miden 208. . ¿Cuál es la región sombreada? En la figura, cada lado del cuadrado mide de d) y . e) a) b) c) d) e) 209. La longitud de una cia en miden a) √ es: b) , que está inscripta en un triángulo equilátero cuyos lados c) d) e) 210. a) Dada una cia de radio b) . El perímetro del cuadrado circunscripto a ella es: c) d) e) √ 211. a) El perímetro de un hexágono regular cuya apotema mide √ , es: b) c) d) √ √ e) 212. Las longitudes de las cias inscriptas y circunscriptas a un pentágono regular, miden, respectivamente y . El perímetro del pentágono regular es: a) b) c) d) e) 213. a) 214. a) Cursillo Pi Calcular la longitud de la circunferencia circunscripta a un rectángulo de de altura. b) c) d) Calcular el área del circulo inscripto en un triángulo equilátero de b) c) d) 31 Ing. Raúl Martínez de base y e) de superficie. e) Geometría y Trigonometría 215. Si el número que representa el volumen de un cubo es el número que indica el área total del mismo, entonces la diagonal del cubo mide: ̅ ̅ a) c) d) b) √ e) √ 216. Si y son los volúmenes de dos paralelepípedos rectángulos, y el perímetro es tal que sus dimensiones son la mitad de las del segundo, entonces la relación entre los volúmenes es: a) b) c) d) e) 217. Un círculo es equivalente a la superficie total de un cilindro cuya altura es de cuyo radio de base es . El diámetro del círculo mide entonces: a) b) c) d) e) 218. de: a) La razón entre los radios de dos esferas es de 219. a) El volumen de un cubo es de b) c) 220. Un cubo tiene área total igual a c) b) √ √ a) 221. b) , entonces la razón entre sus áreas es d) e) , entonces la suma de sus aristas es igual a: d) e) . Su diagonal mide: d) √ e) Una pirámide regular de base hexagonal es tal que su altura mide base mide a) c) √ √ y √ y su arista de . El volumen de esa pirámide es en b) √ √ c) d) √ e) √ 222. Dos cilindros, uno de altura y el otro de altura tienen como perímetro de base y respectivamente. Si es el volumen del primero y es el volumen del segundo, entonces: a) b) c) d) e) 223. En una esfera, el volumen y el área de la superficie tienen el mismo valor Determinar el valor de: a) b) c) d) e) 224. Si se duplica el radio de una esfera, su volumen queda: a) Multiplicado por dos b) Multiplicado por 4 c) Multiplicado por 8 d) Inalterado e) Reducido a la mitad Cursillo Pi 32 Ing. Raúl Martínez . Geometría y Trigonometría 225. a) La razón entre las áreas de dos esferas es de b) c) . La razón entre sus volúmenes es: d) e) 226. Se desea construir un tanque para almacenar combustible. El tanque debe tener la forma de un cilindro recto y circular con semiesferas acopladas en cada uno de los extremos. Para evitar la corrosión, es necesario revestir el interior del con una determinada pintura. Se necesita 1 litro de pintura para revestir . Si la longitud del cilindro es y de diámetro, el número mínimo de latas de pintura que deberán comprarse es de: a) b) c) d) e) 227. Un plano intercepta una esfera según un círculo de diámetro la esfera, el ángulo mide que se forma es de: a) b) √ y el radio de la esfera √ c) . Si es el centro de . El volumen del cono de base √ d) e) 228. En un tubo cilíndrico de de altura y de radio de base, se cargan esferas iguales tangentes al mismo, y de modo que también queden tangentes entre ellas. El volumen interior del cilindro, pero exterior a las esferas es entonces de: e) c) a) b) d) 229. La suma de todas las aristas de un cubo es de en el cubo es de: a) 230. a) c) b) . El volumen de la esfera inscripta d) e) Si es el volumen de una esfera inscripta en un cubo de volumen , entonces la razón es igual a: b) c) d) e) 231. Una esfera está inscripta en un cubo y otra esfera cubo. La razón entre los volúmenes de y es de: a) √ 232. a) b) √ c) √ d) está circunscripta al mismo √ Un octaedro regular esta inscripto en una esfera cuyo radio mide b) c) d) √ √ e) √ √ e) √ 233. Un cilindro recto y circular esta circunscripto a una esfera de radio . Entonces la razón entre las áreas de la superficie esférica y el área total del cilindro es de: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 33 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 234. Una esfera de de diámetro está inscripta en un cono circular recto de altura. Entonces el área de la base del cono mide: a) b) c) d) e) 235. a) El área de un paralelepípedo rectángulo es y . La diagonal del paralelepípedo mide: b) c) √ . Las dimensiones de base miden d) √ e) d) e) d) e) 236. a) Reducir al sistema sexagesimal b) c) 237. a) Reducir 238. Calcular en radianes, el ángulo exterior del triángulo equilátero. c) b) d) a) 239. al sistema sexagesimal b) c) a) Calcular en radianes, el ángulo interior del pentágono regular. b) c) d) 240. Calcular en el sistema sexagesimal el ángulo a) 241. a) 242. a) b) c) del triángulo e) e) , siendo d) y e) Calcular la longitud de un arco de de radio b) c) correspondiente a una circunferencia de Calcular la longitud del arco igual a de radio. ⁄ b) c) radianes perteneciente a la circunferencia de d) 243. La suma de dos ángulos es y la diferencia sexagesimal y en grados centesimales. a) y y b) y y c) y y d) y y e) y y Cursillo Pi de 34 e) d) e) . Calcular dichos grados en grados Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 244. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de valor es de a) b) c) d) de radio sabiendo que su 245. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de valor es de a) b) c) d) de radio sabiendo que su e) e) 246. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 247. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 248. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 249. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 250. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 251. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 252. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 253. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 254. a) Reducir a su forma más simple: b) c) d) e) 255. Reducir a su forma más simple: a) Cursillo Pi b) ( c) ) ( ) d) 35 e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 256. a) b) c) d) e) Reducir a su forma más simple: 257. a) b) c) d) e) Reducir a su forma más simple: 258. a) Siendo 259. Siendo a) 261. Siendo a) 263. un arco del b) y Siendo a) y el arco c) b) 260. a) 262. ⁄ cuadrante y c) y un arco del b) b) y cuadrante y c) calcular Calcular del cuarto cuadrante, calcular d) ⁄ . Calcular d) y √ . Calcular d) e) y e) . e) . c) d) e) c) d) e) d) e) siendo b) Sabiendo que √ ⁄ . Calcular el valor de b) √ c) 264. a) Transformar en producto b) c) d) e) 265. Transformar en producto a) √ b) √ c) √ d) √ e) 266. Transformar en producto a) √ b) √ c) √ d) e) a) Cursillo Pi y √ 36 Ing. Raúl Martínez √ Geometría y Trigonometría 267. Transformar en producto a) √ b) √ 268. Siendo Calcular y c) √ arcos del tercer cuadrante, y c) b) a) Siendo los arcos calcular b) 270. Calcular . del d) cuadrante, y e) del cuadrante, y . c) d) e) sin hacer uso de tabla ni máquina. √ a) e) . a) 269. d) √ b) y √ c) d) son enteros cualesquiera y √ √ e) 271. a) b) c) d) e) Si , la opción correcta es: 272. a) Cuantos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora b) c) d) e) 273. La expresión es equivalente a: a) b) c) d) e) 274. a) Si la cotangente es negativa, √ b) √ , entonces el doble de c) √ d) √ es: e) √ 275. Si es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a , entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 37 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 276. A partir de las siguientes proposiciones: I) El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento II) La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa III) La función cosecante es la reciproca de la función secante IV) El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1. Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) II y III d) I y II e) III y IV 277. Marca solo la respuesta correcta a) La función seno puede tener de valor. b) El signo de la cofunción del seno del 2° cuadrante es negativo. c) d) Tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo. e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo. 278. La función seno es función a) Inversa de la cosecante b) Reciproca de la secante c) Inversa del coseno d) Reciproca de la cosecante e) Inversa de la secante 279. Al cociente ente el radio vector y la abscisa se denomina a) Seno b) Coseno c) Tangente d) Secante e) Cosecante 280. Al hacer girar una semirecta alrededor del origen de coordenadas hasta sentido antihorario, se puede afirmar que: a) El ángulo es negativo b) La tangente del ángulo es c) El ángulo es positivo y está en el 2° cuadrante d) La quinta parte del seno del ángulo es 4 e) El radio vector correspondiente tiene signo negativo 281. a) Si es un ángulo positivo menor o igual a y , entonces b) c) d) e) Cursillo Pi y además: y y , entonces , entonces y y , entonces , entonces 38 Ing. Raúl Martínez en Geometría y Trigonometría 282. Cuando se genera un ángulo negativo cuyo extremo libre tiene coordenadas dicho ángulo está en el: a) Limite entre el cuadrante y el cuadrante b) cuadrante c) cuadrante d) cuadrante e) cuadrante , 283. Si es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a , entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su recíproca es: a) √ b) √ 284. a) El valor de en la expresión b) 285. El valor de la expresión a) 1 e) ( √ e) d) e) c) d) e) c) es: d) e) para todo con ∈ . Entonces el valor de ⁄ √ ) √ ( √ ) √ √ √ 288. La expresión es igual a: a) b) c) d) e) Cursillo Pi √ es: b) 287. Sea la función valor distinto de a) 0 b) 1 d) c) La función trigonométrica equivalente a a) c) d) es: b) 1 286. √ c) 39 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 289. Si √ a) y la b) 290. Se sabe que √ c) √ d) e) √ , entonces el es: b) 291. √ es: es un ángulo del tercer cuadrante y que valor de a) , entonces el valor de la c) d) ( Dada la expresión ) e) , el valor de , tal que ⁄ es: a) b) 292. c) ( La expresión a) b) 293. ) d) e) d) e) es: c) Reduciendo a una expresión más simple . Resulta: a) Infinito b) 0 c) d) e) 294. El duplo del producto del seno de un ángulo y del coseno del mismo ángulo corresponde al: a) Duplo del seno del ángulo b) Seno de la mitad del ángulo c) Seno del triplo del ángulo d) Triplo del seno del ángulo e) Seno del duplo del ángulo 295. a) Si , 296. El valor de b) ⁄ a) 297. a) b) La expresión b) tal que del primer cuadrante, c) ⁄ es igual a: e) d) que satisface la relación equivale a: c) d) equivale a: d) c) 298. ¿Cuántas baldosas de forma octogonal (octógono regular) de necesitan para embaldosar un pasaje peatonal de de largo por a) 9723 b) 8923 c) 5723 d) 6823 Cursillo Pi 40 Ing. Raúl Martínez e) e) de apotema se de ancho? e) 9523 Geometría y Trigonometría 299. Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de un pentágono regular inscripto en una cia de radio . a) b) c) d) e) 300. Un avión vuela rumbo al este con una velocidad de , se encuentra con un viento del norte con una velocidad de . Hallar la velocidad resultante y el rumbo verdadero del avión. a) b) c) d) e) 301. Para alcanzar la cima de un muro de de altura se utiliza una escalera de . Si la escalera se extiende más allá del muro. Determina su inclinación respecto a la horizontal: a) b) c) d) e) 302. Si un jet sube un ángulo de con una velocidad constante de ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a una altura de 8 millas? a) b) c) d) 303. El copiloto del aeroplano de la figura; que cuela a una altura de del océano descubre una isla. Calcula la anchura de la isla. a) b) c) d) e) millas por hora. e) sobre el nivel 304. Un observador de aves mira el nido de un águila en el claro de un risco. ¿Qué distancia hay entre el nido del águila y la cima del risco? a) b) c) d) e) 305. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situado a del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte suprior, con un ángulo de elevación de y la parte inferior con un ángulo de depresión de . Entonces la altura del edificio de enfrente es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 41 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 306. Un incendio es detectado por dos puestos de observación de las estaciones de bomberos y que están separados millas. Si la estación reporta el incendio en un ángulo igual a y la estación reporta el incendio en un ángulo igual a , ¿A qué distancia está el incendio de la estación ? , ¿De la estación ? a) millas ; millas b) millas ; millas c) millas ; millas d) millas ; millas e) millas ; millas 307. a) b) c) d) e) Encuentra la altura del globo con la información dada 308. A mediodía dos aviones parten de San Francisco a buscar un avión que cayó al océano. El avión viaja al oeste a y el avión al noroeste a . A las el avión observa al avión perdido y se comunica con el avión para ayuda para el rescate. ¿A qué distancia está el avión del avión en ese momento? a) b) c) d) e) 309. Calcula el ángulo que forman dos paredes, sabiendo que dos puntos situados cada uno de ellos en la intersección en cada una de las paredes con el piso, determina una distancia de y distan respectivamente y de la arista, intersección de las dos paredes. a) b) c) d) e) Cursillo Pi 42 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 310. Una casa mide de adelante hacia atrás. El techo mide desde la parte delantera de la casa hasta la punto del techo y desde la punta del techo hasta la parte trasera de la casa. Encuentra los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera del techo. a) b) c) d) e) 311. y Una carretera en línea recta e de longitud tiene por extremo a las ciudades , otra carretera también en línea de de longitud continúa el recorrido de la ciudad a la ciudad . Si las dos carreteras forman entre sí un ángulo de , la distancia entre las ciudades y es: a) b) c) d) e) 312. Se sabe que los ángulos , , mismo lado de las semirrectas opuestas , entonces el ángulo a) b) y y son consecutivos formados del . Además se sabe que y mide: c) d) e) 313. En un triángulo de lados y , donde se tiene las longitudes de los segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto son: a) b) y y c) Ambas son iguales d) e) Cursillo Pi y y 43 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 314. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberán dar las dimensiones de triángulos. Si con las medidas, era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos adicionales para su calificación. Las respuestas fueron: Juan: y ; Luis: y ; Pedro: y ; Carlos: y Entonces la maestra dio puntos adicionales a: a) Juan y Luis b) Juan y Pedro c) Luis y Pedro d) Pedro y Carlos e) Juan, Luis y Carlos 315. Si y a) b) entonces el valor de c) 1 es: d) e) 316. Marcar la alternativa falsa: I) Un ángulo de radianes corresponde a un ángulo II) Un ángulo de corresponde al triple de la mitad de III) Un ángulo de corresponde a cuatro veces IV) La mitad de corresponde a un cuarto de giro sobre la circunferencia. V) Si y entonces De las afirmaciones anteriores son falsas: a) Sólo IV b) Sólo III c) Sólo II d) Sólo I 317. a) Si es un ángulo positivo menor o igual a y y además: , entonces b) c) y y , entonces , entonces d) y e) y , entonces , entonces 318. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es I) El polígono tiene 167 vértices II) El polígono tiene 17 lados III) Cada ángulo interior mide IV) La suma de los ángulos interiores es igual a Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo III c) Sólo II d) Sólo I Cursillo Pi e) Ninguna 44 , entonces: Ing. Raúl Martínez e) Ninguna Geometría y Trigonometría 319. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice 10 y 12 diagonales respectivamente, entonces, el nuevo polígono tendrá en total: a) 25 diagonales b) 22 diagonales c) 275 diagonales d) 350 diagonales e) 209 diagonales 320. Un polígono tiene lados y otro polígono tiene el doble número de lados que él. Entonces podemos asegurar que: I) El segundo polígono tiene el doble del número total de diagonales que el anterior II) El número de diagonales del primer polígono es III) El número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice en el segundo polígono es De las afirmaciones anteriores son en el orden en que fueron enunciadas: a) V ; V ; V b) V ; F ; V c) F ; V ; V d) V ; F ; F e) F ; F ; V 321. Se tiene un cuadrado de de lado ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben hacerse para obtener rectángulos iguales de de área? a) No cortar b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 322. Si es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a , entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su reciproca es: a) √ b) √ √ c) d) √ e) √ 323. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que ésta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y 16 respectivamente. a) 12 b) 24 c) d) 8 e) 3 324. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Si está entre y , y entre y , entonces II) Si es punto medio entre y , y es punto medio entre entonces . III) Si un ángulo de un par lineal es recto, entonces el otro ángulo también lo es. IV) Si ,y , está entre y , y está entre y , entonces De las afirmaciones anteriores: a) Todas son falsas b) Todas son verdaderas c) Sólo una es falsa d) Sólo una es verdadera e) Sólo dos son verdaderas Cursillo Pi 45 Ing. Raúl Martínez está y , Geometría y Trigonometría 325. a) La expresión b) 326. a) El valor de en la expresión b) 327. a) b) c) d) e) Si y c) 0 es equivalente a: d) e) 1 es: c) d) son enteros cualesquiera y e) , la opción correcta es: 328. Al aumentar en 3 el lado de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área queda: a) Aumentada en 3 b) Disminuida en 3 c) Invariable d) Aumentada en e) Disminuida en 329. Dos ángulos consecutivos miden la tercera parte del suplemento de la suma de ambos. Si uno de ellos es la mitad del otro, entonces el complemento del menor mide: a) b) c) d) e) 330. Si y representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de y lados respectivamente, entonces es igual a: a) b) c) d) e) 331. El valor que debemos sumar a resultado la unidad es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi para obtener como √ √ √ √ ( √ ) 46 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 332. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados y el ángulo comprendido proporcionales II) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres ángulos iguales III) Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido proporcional IV) Dos triángulos iguales son semejantes de razón 1 V) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual y el lado opuesto a él proporcional Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo cuatro c) Sólo tres d) Sólo dos e) Ninguna 333. De las opciones siguientes I) Si un triángulo tiene sus tres medianas iguales, entonces es equilátero. II) Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales, entonces es isósceles. III) Existe algún triángulo tal que dos de sus alturas sean perpendiculares. Podemos decir que en ese mismo orden son: a) V ; V ; V b) V ; F ; F c) V ; V ; F d) V ; F ; V e) F ; V ; F 334. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes. II) La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos interiores no contiguos a él. III) Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes. IV) En un triángulo isósceles, el segmento que va desde vértice del ángulo desigual al punto medio del lado opuesto forma un par de triángulos congruentes. V) Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo cuatro c) Sólo tres d) Sólo dos e) Ninguna 335. La razón reciproca entre la media proporcionales de 2 y 5, y la cuarta proporcional de 3 , 6 y 5 es: b) a) √ c) d) e) √ √ √ 336. De las afirmaciones siguientes: I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes IV) Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es V) Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es Podemos decir que son falsas: a) Sólo cuatro b) Sólo tres c) Sólo dos d) Sólo una e) Ninguna Cursillo Pi 47 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 337. Se sabe que los ángulos y mismo lado de las semirrectas opuestas , entonces el ángulo a) 338. b) 339. . En radianes, la medida del mismo ángulo es: d) c) b) d) c) e) d) b) c) e) d) e) ¿Cuántos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora? b) c) d) 343. Un arco de circunferencia mide próximo a la medida del radio es: a) 2 b) 10 c) 34 Si 345. Los cuadrantes donde los ángulos , b) c) y y y y y e) y su longitud es de 344. a) Si b) Si c) Si d) Si e) Si Cursillo Pi e) El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 3 horas y 5 minutos es: a) a) e) El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 5 horas y 30 minutos es: a) 342. d) c) b) a) 341. y El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 2 horas y 15 minutos es: a) 340. c) b) . Además se sabe que mide: La medida de un ángulo es a) y son consecutivos formados del . El número entero más d) 17 e) 69 , la proposición falsa es: , entonces , entonces , entonces , entonces , entonces 48 son tales que: son respectivamente de los cuadrantes: d) e) Ing. Raúl Martínez ; Geometría y Trigonometría 346. ( El valor de a) √ 347. de a) b) Sea la función distinto de con ( c) √ c) √ e) ( d) √ )⁄ para todo valor ∈ . Entonces el valor de ⁄ es: √ ) √ ( d) b) ) es: √ ) √ √ e) √ 348. El valor de la expresión a) b) 349. c) d) La función trigonométrica equivalente a a) b) 350. es: c) La expresión e) es: d) e) es igual a: a) b) c) d) e) 351. Si valor de y para siendo un entero cualquiera. El es: a) b) c) d) e) 352. En la circunferencia trigonométrica un ángulo es tal que su seno vale encuentra en el segundo cuadrante, entonces la tangente de dicho ángulo vale: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 49 Ing. Raúl Martínez y se Geometría y Trigonometría 353. Si y la √ a) 354. b) Si , entonces el valor de la √ e) √ , entonces el valor de la es: a) b) Si se sabe que valor de c) d) e) es un ángulo del tercer cuadrante y que , entonces el es: a) b) 356. √ d) es un arco del segundo cuadrante y expresión 355. √ c) es: c) Si la cotangente del ángulo d) e) es negativa y entonces el doble de es: a) √ b) c) √ d) √ e) √ 357. Si es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a , entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a: a) b) c) d) e) 358. En el triángulo A) Isósceles B) Rectángulo isósceles C) Equilátero D) Rectángulo E) Obtusángulo , se verifica que entonces el triángulo es: 𝑄 𝑦 𝑆 Cursillo Pi 50 𝑥 𝑧 𝑇 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 359. ¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que un complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’? A-) y B-) y C-) y D-) y E-) y 360. Teniendo en cuenta el dibujo, donde A-) √ B-) √ C-) √ D-) √ E-) √ y el valor de 𝑐 es: 𝑏 𝑦 𝑥 𝑎 361. Dadas las siguientes proporciones: I. Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales. II. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma. III. La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo, a los puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro. IV. En un triángulo isósceles el incentro y el circuncentro están sobre una misma recta. V. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes. Podemos afirmar que: A-) Todas son verdaderas. B-) Solamente una es verdadera. C-) Ninguna es verdadera. D-) Solamente dos son verdaderas. E-) Todas menos una son verdaderas. 362. Dada la serie de razones iguales: valores de A-) B-) C-) D-) E-) donde entonces los son respectivamente: 363. Dadas las siguientes proposiciones de congruencia , además, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes es: A-) C-) B-) D-) Cursillo Pi E-) 51 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 364. a) Sabiendo que √ b) y √ c) , con √ d) . El valor de √ e) es: √ 365. Sabiendo que es un ángulo generado en sentido anti horario, cuyo extremo libre está en y siendo y enteros positivos la opción falsa es: a) b) c) d) e) 366. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura, la altura del edificio es: 367. Sabiendo que siendo a) y además . Entonces el valor de es: b) c) d) e) 368. Dadas las siguientes proposiciones: I. En el primer y tercer cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo II. Si es la mitad de su complemento, entonces . III. IV. Sea entonces Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, a las cofunciones del ángulo complementario por defecto. V. Sea , girando en sentido anti horario, el ángulo corresponde al cuarto cuadrante. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Ninguna es verdadera c) Solamente dos son verdaderas d) Solamente una es verdadera e) Todas menos dos son verdaderas. Cursillo Pi 52 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 369. De las opciones siguientes: I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus ángulos. II. En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los otros lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. III. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta en segmentos de razón uno. IV. El radio del polígono regular circunscripto a una circunferencia es igual al radio de la circunferencia. V. El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo. Podemos decir que en ese mismo orden son: a) F ; V ; F ; F ; V b) F ; F ; V ; F ; V c) V ; F ; V ; V ; F d) V ; V ; F ; V ; F e) F ; F ; F ; F ; V 370. a) 371. a) La expresión b) ( ) , es idéntica a: c) d) e) Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en . ¿Cuál es la diferencia entre sus radios? c) d) e) b) 372. De las siguientes afirmaciones, que se refieren a los elementos de una pirámide, la incorrecta es: a) La apotema no tiene la misma medida que la altura. b) La apotema es siempre menor que la arista. c) La arista lateral es siempre mayor que la apotema. d) La apotema es siempre mayor que la altura. e) La altura tiene la misma medida que la arista lateral. 373. En la figura longitud de , en metros, es: a) b) c) d) e) 374. a) Cursillo Pi . Además El número de raíces que tiene la ecuación √ es: b) c) d) 53 . La , en el intervalo e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 375. a) b) c) d) e) ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones sombreadas en el rectángulo , si es un punto cualquiera de la diagonal? La de arriba es más grande. La de abajo es más grande. Son iguales. Sólo son iguales si es el punto medio. No hay suficientes datos. 376. Dadas las siguientes proposiciones: I. El segmente que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio isósceles es igual a la semisuma de las bases. II. Como el coseno toma sólo valores entre y entonces su recíproca también toma valores entre y . III. Todo polígono regular es un polígono convexo. IV. Si la distancia de los centros es 4 y los diámetros de las circunferencias son y 25, entonces las circunferencias son tangentes interiormente. V. Dos triángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual. Podemos afirmar que: a) Todas son falsas. b) Solamente una es falsa. c) Ninguna es falsa. d) Todas menos dos son falsas. e) Solamente dos son falsas. 377. Si es un ángulo del segundo cuadrante y la reciproca de la función secante es igual a , entonces la diferencia entre la quinta parte del seno de y el cuadrado de su reciproca es: a) √ √ b) √ c) d) √ e) √ 378. Una figura geométrica es un paralelogramo equiángulo sí y sólo si; es un: a) Rectángulo. b) Polígono regular. c) Rombo. d) Cuadrado. e) Trapecio. 379. El perímetro de una de las caras de un tetraedro es de tetraedro es: a) √ Cursillo Pi b) √ √ c) 54 d) . El área total del √ Ing. Raúl Martínez e) √ Geometría y Trigonometría 380. En el triángulo se tiene: Entonces es igual a: a) ⁄√ b) es la bisectriz del . √ c) √ d) √ e) √ 381. a) Siendo b) y el arco c) del segundo cuadrante, el valor de d) e) 382. Las diagonales de un rombo miden diagonal forma con los lados miden: a) y b) y c) y d) y e) y y √ es: . Entonces, los ángulos que cada 383. De las siguientes opciones: I. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes II. La intersección de dos rectas carece de dimensión. III. Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos. Son falsas: a) Ninguna b) I y II c) Sólo I d) I y III e) Todas 384. Marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. e) El rectángulo es un cuadrado. 385. De las siguientes afirmaciones: I. La apotema del polígono es menor que su radio II. Un ortoedro es un polígono regular de 8 lados III. Son congruentes las bases de un trapecio rectángulo. Son verdaderas: a) Sólo I b) I y II c) Sólo III d) Todas Cursillo Pi 55 Ing. Raúl Martínez e) Ninguna Geometría y Trigonometría 386. Marca la alternativa falsa: a) El vértice de un ángulo central es un punto de la circunferencia. b) Los lados de un polígono circunscripto a una circunferencia son tangentes a ella. c) El radio del polígono inscripto en una circunferencia coincide con el radio de ella. d) Los triángulos semejantes tienen ángulos congruentes y lados proporcionales. e) En todo triángulo se cumple que: Un lado es menor que la suma de los otros dos. 387. En un triángulo isósceles, el ángulo extremo correspondiente al ángulo interno no congruente, es el suplemento de la mitad de . Entonces el duplo de la tercera parte del ángulo congruente equivale a: a) b) c) d) e) 388. Siendo el duplo de la cantidad de lados de un polígono, disminuido en 11, igual a la cantidad de diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices es un: a) Octógono b) Encágono c) Dodecágono d) Hexágono e) Heptágono 389. a) 8 b) 4 c) d) 2 e) 9 Dado el siguiente grafico el valor de en metros es: 390. Dadas las opciones siguientes: I. Los ángulos externos de un decágono irregular suman cuatro rectos II. En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos coinciden III. Todo triángulo oblicuángulo carece de ángulo recto Son falsas: a) Todas b) Ninguna c) Solo I d) I y III e) I y II 391. Marcar la alternativa verdadera: a) Los ángulos alternos internos son congruentes b) Todo cuadrilátero es trapecio c) El radio de un polígono es menor que su apotema d) La cosecante es función inversa del seno e) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide Cursillo Pi 56 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 392. Cuando todos los vértices de un polígono son puntos de una circunferencia, se puede afirmar que I. La circunferencia está circunscripta al polígono II. El polígono está inscripta en el polígono III. La circunferencia está inscripta en el polígono IV. El polígono está circunscripto a la circunferencia. Es/son correcta/s: a) Solo I b) Solo II c) I y II d) III y IV e) I y III 393. La cofunción de la función reciproca de la cosecante es: a) Seno b) Cosecante c) Secante d) Cotangente e) Coseno 394. En el tercer cuadrante son positivas solamente: a) Tangente b) Cotangente c) Seno y coseno d) Tangente y cotangente e) Cosecante 395. El producto de las diagonales de un rombo corresponde a su: a) Área b) Semiárea c) Perímetro d) Semi perímetro e) Área duplicada 396. El cociente entre la abscisa y el radio vector es: a) Cofunción del seno b) Función recíproca de cosecante c) Secante d) Tangente e) Cosecante 397. a) b) c) d) e) Si el extremo libre de un ángulo está en es: y su vértice en Seno Función inversa de seno Cofunción de secante Secante Cotangente Cursillo Pi 57 Ing. Raúl Martínez , entonces Geometría y Trigonometría 398. La suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo equivale a: a) b) Seno del ángulo c) Coseno del ángulo d) e) La suma del seno y del coseno 399. Siendo , puede afirmar que: I. es la hipotenusa II. es cateto opuesto a III. es cateto opuesto a IV. es hipotenusa a) I y II b) Sólo I es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se c) Sólo III d) Sólo IV e) III y IV 400. Cada lado de un triángulo es proporcional a los: a) Cosenos de sus ángulos opuestos b) Senos de sus ángulos adyacentes c) Cosenos de sus ángulos adyacentes d) Senos de sus ángulos opuestos e) Recíprocos de sus lados 401. Una de las dimensiones de un rectángulo mide 12 metros más que la otra. El producto entre su perímetro con el reciproco de la menor de sus dimensiones es: a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 402. a) Dos ángulos complementarios están en relación 2 a 7, la mitad del mayor es: b) c) d) e) 403. a) b) c) d) e) En el gráfico ⃡ ⃡ ,⃡ es secante o transversal , el valor de es: 404. Cada lado de un triángulo equilátero, inscripto en una circunferencia de de longitud, mide (en metros): a) Cursillo Pi √ b) √ c) 58 √ d) √ Ing. Raúl Martínez metros e) √ Geometría y Trigonometría 405. La afirmación falsa corresponde a: a) La secante es función reciproca de coseno b) El semiproducto de una función trigonométrica y su función reciproca es c) El seno de la suma de dos ángulos es la suma del seno de cada ángulo d) La función secante puede tomar valor e) La cotangente de un recto equivale al seno de cuatro rectos 406. La sombra que de un poste de mide , está por: a) b) c) de alto, cuando el ángulo de elevación del sol d) 407. En un momento dado un avión se encuentra a en la horizontal de un observador y el ángulo de elevación mide . La altura a la que vuela en ese momento el avión es: a) b) c) d) 408. a) 409. a) 410. ( La expresión b) ) es idéntica a: c) Si d) , entonces b) es igual a: c) ( La expresión ) ( d) ) es idéntica a: a) b) c) d) 411. a) La expresión b) 412. La expresión es idéntica a: c) * d) + ( ) es idéntica a: a) b) c) d) Cursillo Pi 59 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 413. a) b) Si , entonces es igual a: c) d) 414. a) La solución positiva no mayor de b) c) 415. Los valores , con son: a) y b) es: , que satisfacen la ecuación , y c) y d) y 416. Los valores de , con son: a) b) de la ecuación d) , que satisfacen la ecuación , y y c) d) 417. a) b) y y En todo se cumplen las siguientes igualdades, excepto: c) Área d) 418. En la figura, el valor de dado por la expresión: a) b) c) d) Cursillo Pi ( ( ) ( ) en términos de los ángulos y , y de los lados ) ( ) 60 Ing. Raúl Martínez y , está Geometría y Trigonometría 419. ( ) ( ) es igual a: a) 0 b) 1 c) d) 420. Cuando el ángulo a) Decrece de a b) Crece de a c) Decrece de a d) Decrece de a crece de a , la gráfica de la secante: 421. Marca la proposición verdadera: a) La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide la hipotenusa b) Dos ángulos que están a un mismo lado de una recta son suplementarios c) En un triángulo la proyección de un lado sobre otro, es una de las alturas del triángulo d) Todo triángulo isósceles es equiángulo e) Si se traza la bisectriz de un ángulo obtuso se obtienen dos ángulos adyacentes iguales 422. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura, el reciproco de la tercera proporcional de y 6 es: 423. El pueblo Esperanza se encuentra a la misma distancia de cada lugar señalado en el dibujo, entonces dicho pueblo es un punto ubicado, en el/la: a) Incentro b) Baricentro c) Ortocentro d) Circunferencia e) Altura l mediana 424. La siguiente terna: , esta compuesta con cantidades enteras, de manera que las tres medidas correspondan a las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces la cantidad de valores que puede llegar a asumir , es: a) 1 b) 12 c) 9 d) 15 e) 16 Cursillo Pi 61 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 425. Teniendo en cuenta la figura, la medida en centímetros de la proyección de la mediana sobre el lado es: a) b) c) d) e) 426. Marcar la alternativa verdadera. a) Dos ángulos complementarios son consecutivos b) Los ángulos consecutivos son adyacentes c) Son congruentes los ángulos alternos internos d) Dos ángulos agudos son suplementarios e) Dos rectas perpendiculares entre sí, son secantes. 427. De las siguientes opciones, la falsa es: a) Un semicírculo es un sector circular b) El segmento de la recta tiene magnitud c) Dos circunferencias tangentes exteriormente son exteriores d) Todo trapecio es convexo e) Un triángulo rectángulo carece de diagonales 428. Dadas las siguientes afirmaciones I. El lado es congruente con el radio en un hexágono II. Cada ángulo agudo en un triángulo rectángulo mide III. Dos ángulos agudos son adyacentes Son verdaderas: a) Solo II b) Ninguna c) Todas d) Solo II e) I y II 429. Si se tienen las siguientes proposiciones I. Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos II. El romboide es paralelogramo III. Dos triángulos semejantes carecen de lados homólogos Son falsas: a) Ninguna b) Todas c) I y II d) I y III e) Sólo III 430. El doble producto entre la altura de un trapecio y la suma de sus bases corresponde a su: a) Área b) Semiárea c) Área duplicada d) Área cuadruplicada e) Área multiplicada por ocho Cursillo Pi 62 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 431. Cuando se triplica la altura de un triángulo isósceles y su base se reduce a sus dos tercias partes, entonces su área queda: a) Multiplicada por dos tercios b) Triplicada c) Duplicada d) Invariable e) Reducida a la mitad 432. Dado un cuadrado se traza una circunferencia con centro en uno de sus vértices y radio igual al lado. El cuádruplo del área exterior a la circunferencia e interior al cuadrado es: a) b) c) d) e) 433. Una de las dimensiones de un rectángulo es el triple de la otra, el rectángulo es equivalente a un cuadrado de del lado. Las dimensiones del rectángulo (en metros) es: d) e) a) √ c) √ b) √ √ √ √ 434. a) b) c) d) e) Observando el siguiente gráfico ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅; entonces ̅̅̅̅ (en ) mide: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 8 3 9 10 5 435. El ángulo inscripto de una circunferencia cuyos lados contienen los extremos del mismo diámetro mide: a) b) c) d) e) 436. Desde un mismo punto exterior a una circunferencia se trazan: una secante de y una tangente de . El segmento de la secante interior a la circunferencia (en metros) mide: a) 3 b) 9 c) 6 d) 12 e) 2 437. El duplo de la cantidad de lados de un polígono de lados equivale a la cantidad de diagonales desde un vértice aumentando en ocho. Dicho polígono es un: a) Pentágono b) Undecágono c) Hexágono d) Decágono e) Encágono Cursillo Pi 63 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 438. Si I. II. III. Son validas: a) I y III , entonces se afirma que: b) Sólo II c) Ninguna d) Sólo I e) II y III 439. a) b) c) d) e) El extremo libre del vector que generó un ángulo en sentido antihorario alrededor de es entonces corresponde a: Tangente Secante Cosecante Cotangente Secante y cosecante 440. , a) √ El producto entre la función reciproca de , es: b) √ c) √ 441. Sabiendo que El cociente entre a) √ y la cofunción de d) e) √ . y b) √ es: c) d) 442. El cociente entre el seno del suplemento de I. Cofunción de II. Función inversa de III. Cotangente del complemento de Son falsas: a) Todas b) Sólo II c) I y III 443. a) Sabiendo que b) 444. a) Resolviendo la ecuación b) 445. a) b) c) d) e) Considerando Cursillo Pi √ donde e) y el seno del complemento de d) I y II e) II y III el valor del coseno del duplo de es: d) e) c) se obtiene: d) c) entonces: 64 Ing. Raúl Martínez es: e) Geometría y Trigonometría 446. Cuando la abscisa del extremo libre de un ángulo es negativa y la ordenada es positiva se verifica que: I. El extremo libre de un ángulo esta en el cuadrante II. La secante del ángulo es menor que la unidad III. El seno decrece en ese cuadrante Son falsas a) I y III b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Sólo III 447. La función reciproca de la cofunción de la función reciproca del seno del complemento de la diferencia entre y es: b) a) c) d) e) 448. De las opciones siguientes la verdadera es: a) Toda recta secante a una circunferencia es una cuerda de la misma. b) Si una circunferencia está circunscripta a un octágono regular y a la vez está inscripta en un hexágono regular, entonces el radio del hexágono es igual al apotema del octógono. c) Si una diagonal de un cuadrilátero forma con los lados dos triángulos congruentes el cuadrilátero es siempre un paralelogramo. d) Si la distancia de los centros es 7 y los diámetros de las circunferencias son 6 y 8, entonces las circunferencias son tangentes exteriormente. e) La altura en un triángulo isósceles es también mediana. 449. En la siguiente figura , es un ángulo: a) Agudo menor o igual a b) Cuyo suplemento es c) Cuyo complemento es d) Que es el doble de e) Cuyo complemento es el suplemento de 450. En la siguiente figura y son cuadrados. Si la medida de ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ mide , entonces la media proporcional entre la medida de ̅̅̅̅ y 4 es: a) b) c) d) √ e) √ Cursillo Pi √ 65 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 451. Marca la afirmación falsa: a) En todo polígono convexo la apotema es el segmento perpendicular desde el centro del polígono hasta el punto medio de cada lado. b) Si la altura de un triángulo disminuye a la mitad y la base se duplica, entonces el área no varia. c) En un triángulo cualquiera el circuncentro equidista de los tres vértices. d) Los ángulos alternos internos entre paralelas pueden ser suplementarios. e) En un triángulo la altura a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. 452. En el siguiente gráfico se verifica: a) b) c) d) e) 453. En la figura, representa un pentágono regular ( de triángulo equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo ? a) b) c) d) e) de lado) y es un 454. En el gráfico la línea trigonométrica ̅̅̅̅ corresponde: a) Cotangente del primer cuadrante b) Coseno del tercer cuadrante c) Tangente del tercer cuadrante d) Cotangente del tercer cuadrante e) Coseno del primer cuadrante 455. Sabiendo que entre el duplo de a) √ b) 456. Sabiendo que afirmar que: a) b) c) d) e) Cursillo Pi con y √ . La suma es: c) d) donde 66 e √ son valores entre e) √ y Ing. Raúl Martínez , podemos Geometría y Trigonometría 457. El menor valor de a) con b) real, es: c) 458. La función inversa del coseno es: I. Secante II. Seno III. Cosecante Son verdaderas: a) Ninguna b) Sólo I c) Sólo II d) e) d) Sólo III e) I y II 459. Las soluciones de la ecuación donde es un ángulo positivo menor que , corresponde a un ángulo cuyo radio vector se ubica. a) En los cuadrantes pares b) Sobre el eje positivo c) Sobre el eje negativo d) Sobre el eje e) Ninguna 460. Dada la ecuación , donde cuando el número real satisface la condición: a) b) c) d) e) es variable, admite solución sí, y solo sí, 461. a) Si 462. es: a) b) c) d) e) Dado el triángulo rectángulo 463. a) Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide: b) c) d) e) Cursillo Pi , la expresión b) c) d) , donde 67 y es igual a: e) , el valor de Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 464. En un hexaedro su diagonal mide a) Al área lateral b) Al área de las dos bases c) Al área total. d) A la mitad del área total e) Al área de una cara 465. corresponde: La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado . La altura de la pirámide expresada en función de y en es: √ a) . La expresión b) √ c) √ d) , las aristas miden √ e) √ 466. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide la altura del prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en es: √ a) 467. b) √ c) √ d) En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide expresión a) b) c) d) e) √ e) , su altura mide corresponde: Al cociente entre el volumen y el diámetro de la base. A la suma de las áreas de las dos bases. Al área lateral. Al área total. Al triple del área lateral. 468. Si el arco y es del primer cuadrante y es del cuarto cuadrante. Siendo . El valor de la expresión es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 68 Ing. Raúl Martínez √ . La Geometría y Trigonometría 469. En la identidad . Calcular 470. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. El suplemento del doble de la medida del ángulo es: a) 120° b) 45° c) 135° d) 600° e) 75° 471. a) En la recta se ubican los puntos consecutivos . El valor de es: b) c) 472. En la siguiente figura a) 60° b) 125° c) 160° d) 90° e) 55° y , si d) e) . El ángulo conjugado interno de mide: 473. La razón de semejanza del triángulo con el triángulo del primero son y , entonces los lados del segundo son: a) b) c) d) e) 474. En un triángulo y triple de la diferencia de las medidas de los segmentos a) b) c) es de 3:4. Si los lados ; se traza una bisectriz interior y es: d) e) . El 475. La media proporcional entre las dos terceras partes de y la razón reciproca de la tercera proporcional de 8 y 6 es aproximadamente: a) 2,58 b) 6,93 c) 101,82 d) 13,86 e) 2,43 476. El pentágono de la figura es regular, si a) 108° b) 72° c) 60° d) 54° e) 36° Cursillo Pi 69 , entonces mide: Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 477. Dada la siguiente figura, los puntos y a) b) c) d) e) del cuadrado . Si y del cuadrado entonces pertenecen a los lados mide: 15° 20° 22,5° 25° 30° 478. En el rectángulo a) 130° b) 110° c) 100° d) 70° e) 55° y . El ángulo mide: 479. Se forman cuatro triángulos congruentes al trazar las diagonales de un: I. Rombo II. Rectángulo III. Romboide Es/son verdadera/s: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) I, II y III 480. a) 30° b) 50° c) 45° d) 40° e) 55° En la figura 481. a) b) c) d) e) En la figura: Cursillo Pi y . El valor de si , es: Entonces: 70 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 482. De los puntos notables de un triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior del triángulo según el tipo de triángulo. Estos son: a) Baricentro y ortocentro b) Circuncentro y baricentro c) Incentro y baricentro d) Incentro y ortocentro e) Ortocentro y circuncentro 483. Dado un triángulo de lados de menor es: a) b) c) 484. I. y , la altura correspondiente al lado d) e) De las siguientes afirmaciones: Cada ángulo interno de un polígono convexo de lados mide: II. El número de diagonales que se pueden trazar desde dos vértices consecutivos en un polígono convexo de lados es: III. No existe polígono cuyo número de lados coincida con su número de diagonales IV. El polígono base de un polígono estrellado es un hexágono regular, entonces el ángulo en cada punta de la estrella mide 30° Es/son falsa/s: a) Ninguna b) Solo una c) Solo dos d) Solo tres e) Todas 485. Dadas las afirmaciones siguientes: I. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal pasa por el punto , entonces el ángulo se encuentra en el primer cuadrante. II. La función cosecante en el cuarto cuadrante tiene signo contrario al del seno en el primer cuadrante. III. Las funciones tangentes y cotangente son cofunciones y reciprocas a la vez. IV. La función coseno es positiva en los cuadrantes en que su cofunción es creciente. Podemos asegurar que en el orden en que aparecen son: a) FFFF b) VVFV c) FFVV d) FVVV e) VVVV 486. a) b) c) d) e) Sean √ ( )y , entonces el valor de 195° 15° 255° 75° Todas las anteriores Cursillo Pi 71 Ing. Raúl Martínez puede ser: Geometría y Trigonometría 487. Sabiendo que , entonces para que la expresión sentido, se debe de cumplir que: tenga a) b) c) d) e) 488. Uno de los ángulos internos de un triángulo mide √ , la diferencia en radianes entre las medidas a) 0,09 489. a) b) 0,17 c) 0,35 e ( e) 0,52 es: ) ( ( ( e , tales que es aproximadamente: d) 0,44 El triángulo de la figura tiene perímetro , el valor de b) c) y los otros dos ) ) ( ) ( ) ) d) e) ( ) 490. Las avenidas San Martin y España ambas rectilíneas se cruzan según un ángulo de . El puesto de estación de servicio Estrella del Sur, se encuentra sobre la Av. San Martin siendo la distancia más corta entre la estación de servicio y la Av. España de 2000 metros. La distancia a que se encuentra la estación de servicio Estrella del Sur del cruce, en , es igual a: a) 4 b) 12 c) 2 d) √ e) √ 491. a) Se sabe que es igual a: b) es una identidad, entonces c) 1 492. La suma de las soluciones de la ecuación es: a) 390° b) 780° c) 330° Cursillo Pi 72 d) 2 √ d) 300° Ing. Raúl Martínez e) 3 en el intervalo e) 0° Geometría y Trigonometría 493. Sabiendo que igual a: a) √ 494. con b) √ , el valor de c) √ ( Al simplificar la expresión: d) ) ( es e) ) ( ( ) ) se obtiene como resultado: a) 495. b) La expresión c) d) e) es idénticamente igual a: a) b) c) d) e) 496. a) b) c) d) e) La expresión: 497. a) b) c) d) e) Al transformar en producto la expresión: 498. En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica y algunas trigonométricas. Si entonces es idénticamente igual a: se obtiene: es igual a: a) b) c) d) e) 1 Cursillo Pi 73 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 499. a) Si , entonces: √ b) √ c) √ d) √ e) √ 500. Hallar el semiperimetro del triángulo, cuyos vértices son: a) 21,30 b) 23,10 c) 20,31 d) 10,65 501. El triángulo de vértices: a) Rectángulo b) Equilátero c) Escaleno d) Isósceles e) No se forma 502. a) 503. a) √ es: Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son: b) c) d) e) Hallar la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo cuyos vértices son: b) √ c) √ d) √ 504. La figura formada por los puntos: a) Dos lados perpendiculares b) Un par de lados paralelos c) Dos pares de lados paralelos d) Ningún par de lados paralelos e) Dos lados paralelos y dos lados perpendiculares 505. a) Cursillo Pi e) 15,60 e) √ tiene: Las coordenadas del punto que equidista de los puntos b) c) d) 74 Ing. Raúl Martínez y e) es: Geometría y Trigonometría 506. Dados los siguientes puntos: I) II) La afirmación correcta es: a) En I) se forma un triángulo y en II) no. b) En I) no se forma un triángulo y en II) sí. c) Los puntos en I) y II) son colineales. d) En I) y en II) se forman triángulos. e) Dos son correctas. 507. a) b) c) d) e) Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto . y y 508. Si ̅̅̅̅̅⁄̅̅̅̅̅. y a) ( . Hallar las coordenadas de ) b) ( ) c) ( ) d) e) 509. Las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices: son: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) Cursillo Pi 75 Ing. Raúl Martínez , tal que Geometría y Trigonometría 510. La ecuación de la recta que pasa por el punto es: y forma un ángulo de con a) b) c) d) e) 511. a) Uno de los ángulos interiores del triángulo con vértices: b) c) d) 512. Sabiendo que el punto en la relación b) a) es: e) divide al segmento que determinan los puntos . Hallar las coordenadas de . c) d) e) y 513. Hallar el área de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: y a) b) c) d) e) 514. La pendiente de una recta que pasa por los puntos recta: a) Perpendicular al eje b) Perpendicular al eje c) Paralela al eje d) No se puede afirmar nada e) Don son correctas y 515. a) b) c) d) e) La ecuación de la mediatriz al segmento cuyos extremos son 516. La pendiente de una recta que pasa por el punto corresponde a una y es . Hallar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de a) b) c) d) e) Cursillo Pi 76 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 517. por a) 9 El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos y . Es de , el valor de es: b) 7 c) d) 518. La recta forma un ángulo de pendiente de . a) (√ ) b) (√ ) con c) √ Hallar el área del triángulo, cuyos vértices son: b) c) con la que pasa e) 8 , si la pendiente de es d) √ 519. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto la recta a) b) c) d) e) 520. a) 1 y . Hallar la e) y forma un ángulo de d) √ con e) 521. Si a mitad del complemento de un ángulo la sumamos el doble de la medida del ángulo, resulta el suplemento del ángulo. La medida del ángulo es: a) 36° b) 54° c) 45° d) 22°,5 e) 67°,5 522. Observando la gráfica: con y forma con a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 523. y son paralelas y distantes y metros, forma . La distancia expresada en y en función de es: En un trapecio isósceles, la base mayor mide semisuma de las bases. La expresión a) b) c) d) e) , la menor y la altura mide la √ corresponde: Al perímetro Al área A la mitad del perímetro A la medida de la diagonal Al cociente entre su área y su perímetro Cursillo Pi 77 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 524. Dado un triángulo cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado otro triángulo . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es: a) La relación entre las áreas de los triángulos y es a . b) La relación entre los perímetros de los triángulos y es a . c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden. d) Los incentros de ambos triángulo no coinciden. e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden. 525. Dentro de un cuadrado de lado , se desea construir un rectángulo de dimensiones y de manera que al menos dos vértices del rectángulo coincidan con los del cuadrado y cuya diagonal sea la mayor posible. La longitud de dicha diagonal en función del lado del cuadrado es: e) b) √ c) √ a) √ d) √ 526. Dentro de la circunferencia de radio se trazan dos circunferencias de radios iguales a y otros dos más pequeñas de radio . El área sombreada expresada en función a es: a) b) c) d) e) 527. En el rombo de la figura, la diagonal menor mide igual al lado sombreada expresada en función al lado del rombo es: a) b) ( ( √ ) √ ) c) ( d) ( √ ) e) ( √ ) Cursillo Pi del rombo. El área √ ) 78 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 528. Marcar la expresión incorrecta: a) Si se inscribe un triángulo rectángulo en una circunferencia, la hipotenusa siempre coincide con el diámetro. b) Si se inscribe un rectángulo en una circunferencia, una de las diagonales siempre coincide con el diámetro. c) Si dos cuerdas se cortan en un punto interior del círculo los segmentos son recíprocamente iguales. d) La suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita a un triángulo rectángulo isósceles es igual a la suma de los catetos. e) Si en una circunferencia se inscribe un hexágono regular y un triángulo equilátero, el lado del triángulo es el doble que el lado del hexágono. 529. de Observando la figura: y . El área del triángulo a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ y expresada en son puntos medios es: 530. En el triángulo la base mide . La altura mide . Por el vértice se trazan dos rectas que cortan al lado en los puntos y , estos segmentos dividen al triángulo en tres triángulos de áreas iguales. El ángulo es mayor que el . La distancia de a la base del triángulo expresada en es: a) 2 b) 3 c) 4 d) √ e) 531. Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide: a) 156° b) 39° c) 78° d) 45° e) 18°30’ 532. En un hexaedro su diagonal mide a) Al área lateral. b) Al área de las dos bases. c) Al área total. d) A la mitad del área total. e) Al área de una cara. Cursillo Pi . La expresión 79 corresponde: Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 533. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado . La altura de la pirámide expresada en función de y en es: √ a) b) √ c) √ d) , las aristas miden √ e) √ 534. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide , la altura del prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en es: √ a) b) 535. √ c) √ d) En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide expresión a) b) c) d) e) √ e) , su altura mide √ . La corresponde: Al cociente entre el volumen y el diámetro de las base. A la suma de las áreas de las dos bases. Al área lateral. Al área total. Al triple del área lateral. 536. y a) Si el arco es del primer cuadrante y . El valor de la expresión b) c) 537. El valor de la expresión: a) 1 b) 2 es del cuarto cuadrante. Siendo es: d) e) es: c) d) e) 538. Se trazan dos circunferencias de radios iguales de dentro del paralelogramo , cada circunferencia es tangente a tres lados del paralelogramo y a la otra circunferencia trazada. El área del paralelogramo expresada en función de es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi √ √ 80 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 539. Al simplificar se obtiene: a) b) c) d) e) 540. El producto de cinco funciones trigonométricas de un ángulo agudo es 1. La medida de dicho ángulo es: a) b) c) d) e) 541. a) b) En el círculo trigonométrico de la figura, el valor de en función de es: c) d) e) 542. De las afirmaciones siguientes la falsa es: Se pueden calcular todos los elementos de un triángulo si se conocen: a) Un lado y dos ángulos. b) Dos lados y el ángulo comprendido. c) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. d) Dos ángulos. e) Dos lados y dos ángulos cualesquiera. 543. Si ( , el valor de ) ( ) ( ) a) b) c) d) e) 544. a) Cursillo Pi Dado , con b) y √ c) 81 del segundo cuadrante, el valor de d) √ Ing. Raúl Martínez e) es: Geometría y Trigonometría 545. Se sabe que y que √ √ √ √ son ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles. El valor de a) √ b) √ c) √ ⁄ d) √ ⁄ 546. Si . El valor de y además es: e e) √ es: a) b) c) d) e) 547. Dada la ecuación satisface la ecuación es: a) 23° b) 22° 548. Si a) uno de los valores de c) 22°30’ d) 45° , el valor de b) en el primer cuadrante que e) 75° es: d) √ c) e) √ 549. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación al punto más alto de un campanario es . Desde la parte más alta del poste, que tiene de altura, se divisa el mismo punto bajo un ángulo de elevación de . La altura del campanario es: a) √ b) √ √ c) d) √ 550. Si es la longitud de la hipotenusa de un triángulo del triángulo se puede expresar como: ⁄ a) b) c) d) e) 551. y a) 10° Cursillo Pi Se tiene los ángulos consecutivos . Hallar la b) 15° c) 20° 82 y e) , √ ; entonces el área ; tal que: d) 25° Ing. Raúl Martínez e) 30° Geometría y Trigonometría 552. Se tienen los ángulos consecutivos , semirrectas a) 54° y ; tal que y . Hallar la sabiendo además que las y son las bisectrices de los ángulos y respectivamente. b) 44° c) 37° d) 48° e) 52° 553. Si el complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a la diferencia entre el complemento del ángulo y el suplemento del suplemento del mismo. Hallar el suplemento de complemento del ángulo. a) 100° b) 115° c) 120° d) 135° e) 120° 554. Las sumas de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230°. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15°. Calcular el complemento, de la medida del mayor ángulo. a) 20° b) 15° c) 10° d) 5° e) 8° 555. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo. a) 120° b) 45° c) 135° d) 60° e) 75° 556. a) 25° b) 40° c) 10° d) 30° e) 20° Según el grafico 557. Si a) 150° b) 130° c) 120° d) 160° e) 135° . Calcule el valor de 558. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 . Calcule la relación de Cursillo Pi Si y . El valor de es: y 83 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 559. En el gráfico: a) 100° b) 115° c) 105° d) 120° e) 110° es equilátero y 560. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° Si . Calcule 561. a) 10° b) 15° c) 12° d) 18° e) 24° Calcule el valor de , si . Calcule el valor de . . y 562. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles equilátero . La relación correcta entre y es: . en el que se inscribe el triángulo a) b) c) d) e) 563. a) 20 b) 21 c) 22 d) 25 e) 26 Cursillo Pi En la figura . Calcule el mayor valor entero de . 84 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 564. a) 82° b) 83° c) 84° d) 85° e) 86° Calcule sabiendo que es un entero y además se cumple que 565. En un triángulo se traza la mediatriz de que intercepta al lado Calcule el máximo valor entero de si y . a) 17 b) 19 c) 20 d) 22 e) 24 566. En un triángulo donde del ángulo , luego se une al punto medio a) 18 b) 15 c) 16 567. a) 75° b) 80° c) 85° d) 90° e) 95° En la figura, calcular , si 568. En la figura el triángulo , calcule . a) b) c) d) e) . en . se traza perpendicular a la bisectriz interna de con . Calcule si . d) 17 e) 21 es un número entero. es isósceles . Si y 76° 85° 55° 65° 75° 569. a) 30° b) 40° c) 37° d) 60° e) 53° Del gráfico, calcular el valor de . 570. En un triángulo la bisectriz del ángulo recta paralela al lado a) 8 b) 3 Cursillo Pi se tiene que y . Se traza la mediana y , las cuales se intersectan en el punto , por el cual se traza una que intersectan al lado en el punto . Hallar . c) 3/8 d) 8/3 e) 3/5 85 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 571. En la figura, es paralela a para que el perímetro del triángulo a) 14,25 b) 16,2 c) 12,5 d) 18,2 e) 19,25 y . Hallar el valor de sea igual al perímetro del trapecio . 572. Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos; la medida de un ángulo externo aumentaría en 80°. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 573. Un polígono tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida de otro. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 3 574. La suma de las medidas de cinco ángulos internos consecutivos de un heptágono convexo es igual a 700°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos internos de dicho polígono. a) 60° b) 50° c) 70° d) 80° e) 90° 575. Al triplicar el número de lados de un polígono regular, la medida del ángulo central es , siendo el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de dicho poligono. a) 150° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° 576. En un polígono se cumple que el cuádruple del número de diagonales es igual al cuadrado de la cantidad de vértices. Calcular el número de diagonales que se puede trazar de dos vértices consecutivos. a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 577. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número de diagonales de dicho polígono. a) 16 b) 100 c) 104 d) 150 e) 144 578. a) b) c) d) e) En la figura, y y son paralelas entre si, así mismo , hallar y lo son. Si 1,4 1,5 1,6 1,8 1,9 Cursillo Pi 86 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 579. En un rectángulo, el lado y que la diagonal sea bisectriz del ángulo a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 580. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 ¿A qué distancia de debe estar ? En la figura, calcular 581. En la siguiente figura circunferencia es: a) b) c) d) e) es punto de tangencia. Si , entonces el área de la 582. En el paralelogramo por se traza una recta que corta a la diagonal lado en , y a la prolongación del lado en . Si y . Hallar a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 583. a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 Hallar 584. En un triángulo y b) 5 a) 6 Cursillo Pi para , si y , al . se traza la bisectriz interior . c) 8 d) 7 87 en . Hallar Ing. Raúl Martínez , si e) 9 ; Geometría y Trigonometría 585. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 En la figura, es un romboide. Si 586. En un triángulo isósceles que: y . Calcula a) 3 b) 4 , las alturas 589. a) 50° b) 54° c) 50° d) 54° e) 50° y y y y y En la figura, 80° 80° 84° 84° 76° . Halle y se intersectan en , tal c) 6 d) 8 e) 9 y luego por , una paralela a . es isósceles y además es: y . . 587. En un triángulo , se traza la bisectriz que intersecta a en . Hallar si y a) b) c) d) e) 588. El triángulo ángulo en el vértice a) 15° b) 20° c) 25° d) 28° e) 30° y , las medidas de , de modo . La medida del y son respectivamente: 590. En un triángulo obtusángulo , el ángulo interior en ortocentro, el ángulo mide: a) 60° b) 80° c) 70° d) 75° mide . Si es el e) 65° 591. En un triángulo equilátero , de de lado, se traza paralelo al lado , de modo que el triángulo se descompone en un trapecio y un nuevo triángulo. El valor de para el cual el perímetro del trapecio sea igual al del triángulo es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 88 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 592. Si a) 1 b) 2 En la figura, el triángulo y , entonces es isósceles, vale: es base y , altura relativa al lado . c) √ d) √ e) 3 593. a) b) c) d) e) El rombo está inscripto en el triángulo , el lado del rombo mide, en metros: . Si y 5 3 2 4 8 594. El triángulo es: a) 76/11 b) 77/11 c) 78/11 d) 79/11 e) 80/11 de la figura es equilátero. y . El valor de 595. En un trapecio, cuyos lados paralelos miden 4 y 6, las diagonales se intersectan de modo que los menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3. La medida de la menor diagonal es: a) 3 b) 4 c) 9/2 d) 3 e) 15/2 596. Sean los triángulos rectángulos rectos. Entonces, la proposición falsa es: a) Si , entonces b) Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y , entonces c) Si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y , entonces d) Si e) Si ̅̅̅̅ Cursillo Pi , entonces ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ y , siendo y los vértices de los ángulos . . . . ̅̅̅̅ , entonces . 89 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 597. De los cuatro puntos notables de cualquier triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior del triángulo conforme el tipo del triángulo. Estos puntos son: a) El baricentro y el ortocentro. b) El baricentro y el incentro. c) El circuncentro y el incentro. d) El circuncentro y el ortocentro. e) El incentro y el ortocentro. 598. En un triángulo una base mide miden, respectivamente, y centímetros: a) √ b) √ , la altura y la mediana en relación a esa base . Los otros dos lados del triángulo miden, en y √ y √ c) √ y √ d) 5 y 7 e) 14 y 19 599. En el rectángulo de lados a la diagonal . El segmento mide: a) 3/2 b) 12/5 c) 5/2 d) 9/5 e) 2 600. En la figura, vale: y es un rectángulo. , el segmento y es perpendicular . Entonces a) √ b) c) d) e) √ 601. La suma de los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 32. La hipotenusa del triángulo mide: a) 6 b) 8 c) 3 d) 4 e) 5 Cursillo Pi 90 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 602. a) b) c) d) e) En la figura, es un rectángulo. La medida del segmento es: 603. Los arcos cuyo coseno es √ pueden estar en los cuadrantes: a) 1° y 4° b) 1° y 2° c) 1° y 3° d) 2° y 3° 604. Todos los valores de , de modo que la expresión b) a) c) exista son: d) Si 606. a) 7 El menor valor que asume la expresión b) 6 c) 5 607. Los cuadrantes donde están los ángulos y tales que: y y ; son respectivamente: b) c) d) b) [ e ; entonces, e) 605. a) a) y c) 608. a) b) c) d) e) Si satisfacen 609. La función que mejor se adapta al gráfico es: e) N.d.a varia en el intervalo: d) e) para variando de a d) 1 e) . Se cumple que: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 91 Ing. Raúl Martínez es: y e) Geometría y Trigonometría 610. Si a) 3/4 ( es negativa, entonces el valor de √ b) 3/5 611. a) y Si ) , entonces, b) 612. Las raíces de la ecuación real. El valor de es: a) 0 b) 2 613. c) 5/4 es: d) 4/3 e) 1/2 es igual a: c) ( d) ) ( son c) 4 e) ) y , siendo d) 5 La expresión es idénticamente igual a: La expresión es equivalente a: ( ) un número e) N.d.a a) b) c) d) e) 614. a) b) c) d) e) N.d.a 615. a) Las raíces de la ecuación b) 616. es: a) El valor de , para el cual b) son: d) N.d.a c) es una identidad, c) d) 1 617. En la figura el radio de la circunferencia vale . El segmento La medida en radianes, de es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 92 e) 2 vale 3 y Ing. Raúl Martínez . Geometría y Trigonometría 618. a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 619. a) √ Considere la figura abajo. La longitud del segmento es: √ Sabiendo que b) 1 y c) √ , entonces, d) es igual a: e) √ 620. El seno de uno de los ángulos agudos de un rombo es igual a tangente del mayor ángulo interno es: a) b) √ c) √ d) √ 621. a) b) c) d) e) Dado el ángulo e) √ , entonces: 622. a) , por lo tanto la es igual a: b) 623. a) Se sabe que 624. a) b) c) La expresión b) c) √ √ d) e) N.d.a √ . El valor de y c) √ es: √ d) e) es equivalente a: d) e) 625. Sabiendo que a) 11/5 b) 1 Cursillo Pi √ , entonces el valor de es: c) 3/5 d) 6/5 93 Ing. Raúl Martínez e) 1/5 Geometría y Trigonometría 626. Si igual a: a) b) es un ángulo del primer cuadrante y es √ c) d) e) N.d.a 627. , la expresión Si , entonces, 628. a) 15° Si y b) 60° 629. Sea es equivalente a: a) b) c) d) e) el ángulo c) 45° mide: d) 30° e) 22°30’ . De la figura de abajo se puede concluir directamente: a) b) c) d) e) 630. a) b) c) d) e) N.d.a 631. a) 632. a) Cursillo Pi √ √ entonces: Si √ √ √ Simplificándose la expresión b) La expresión b) c) , se obtiene: d) para e) , es igual a: c) d) 94 e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 633. Sabiendo que y , podemos afirmar que ( ) es igual a: a) ⁄ b) c) √ d) √ ⁄ e) N.d.a 634. a) b) c) d) e) Transformándose en producto la expresión 635. La expresión a) √ ( ) b) ( ) √ ( c) se obtiene: es idéntica a: ) d) √ ( ) e) √ ( ) 636. es igual a: a) b) c) d) e) 637. a) b) c) d) e) , la ecuación √ En el intervalo √ : No admite solución Admite como solución Admite como solución Admite como solución Admite como solución 638. Calcular el radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo isósceles de base y el ángulo opuesto a la base es a) √ Cursillo Pi b) √ √ c) 95 d) √ Ing. Raúl Martínez e) √ Geometría y Trigonometría 639. En un triángulo rectángulo recto en medianas y es . El ángulo mide: a) ( b) ( √ √ ( c) ( d) se sabe que el ángulo formado por las ) ) √ ) ) √ 640. Una recta determina, sobre una circunferencia de radio 10, una cuerda de 16. La medida del ángulo central correspondiente a la cuerda es: a) ( ) b) ( ) c) d) 641. El mayor ángulo de un triángulo rectángulo de hipotenusa radio de la circunferencia inscripta es ( ) a) ( ) b) ( ) c) , sabiendo que el ( ) d) 642. Para medir la altura de una torre vertical se toma en el plano horizontal que pasa por su base , el segmento y cuyo punto medio es . Se miden los ángulos y de la torre es: √ a) 643. verificándose que b) √ Para obtener la altura c) y √ * + b) * + c) * d) Cursillo Pi * √ e) √ de una chimenea, un ingeniero, con un aparato especial, estableció la horizontal y midió los ángulos . La altura de chimenea es: a) d) . La altura, en metros, y + + 96 Ing. Raúl Martínez una vez medido Geometría y Trigonometría 644. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura abajo, calcular 645. Los lados de un triángulo son dados por mayor de los ángulos del triángulo es: a) 130° b) 120° c) 110° : y d) 100° . El e) 90° 646. Un observador colocado a de un edificio, ve la parte más alta del edificio sobre cierto ángulo. Si se aleja del edificio en línea recta , el ángulo de elevación es la mitad del anterior. La altura del edificio es: a) b) c) d) √ √ √ 647. a) El ángulo sobre el cual un observador ve una torre se duplica cuando él se aproxima y se triplica cuando se aproxima más. La altura de la torre es: b) c) d) e) 648. El radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo de , el cual tiene dos lados formando un ángulo agudo y con medidas y respectivamente: a) b) c) d) 649. Si valor de a) es la menor raíz positiva de la ecuación es: b) 0 c) ], la ecuación 650. En el intervalo [ a) Posee una infinidad de raíces. b) Posee exactamente dos raíces. c) No posee raíces. d) Posee una única raíz. e) Posee exactamente tres raíces. , entonces el d) √ e) : 651. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo no isósceles son raíces de la ecuación (en ) . Entonces el valor de es: a) d) e) b) √ c) √ Cursillo Pi 97 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 652. En la figura, a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) N.d.a vale: 653. Una persona de persona está parada a más: a) b) c) d) e) 654. de altura la parte más alta de un árbol sobre un ángulo . Si la metros del árbol, la altura aproximada, en metros, del árbol es En la figura, Entonces: a) b) c) d) e) 655. a) √ b) c) d) Cursillo Pi En el triángulo de la figura, y . Entonces el lado √ √ √ 98 Ing. Raúl Martínez mide: Geometría y Trigonometría 656. Sea un triángulo rectángulo recto en verdadera es: y sea su área. Entonces la afirmación a) b) c) d) e) 657. En la figura, circunferencia y es una circunferencia de radio y son rectas tangentes a la , entonces el ángulo de las rectas y verifica: a) b) √ √ c) d) e) 658. Un navío, navegando en línea recta, pasa sucesivamente por los puntos cuando el navío está en el comandante observa un farol , y calcula el ángulo Después de navegar 4 millas hasta , verifica el ángulo farol del punto ? a) 4 c) b) √ d) √ 659. En la figura función de y es: y e) √ . El valor de b) c) d) e) 99 . . ¿Cuántas millas separa el a) Cursillo Pi y , Ing. Raúl Martínez , en Geometría y Trigonometría 660. Se desea construir una ferrovía uniendo el punto al punto que está a √ al sudeste de . Un lago entre y impide la construcción en línea recta. Para evitar el lago, la ferrovía será construida en dos trechos rectos con vértices en el punto , que está a al este y al sur de .La longitud del trecho es: a) √ b) √ 661. En un triángulo escaleno y . Entonces la expresión d) √ c) √ , los lados a los ángulos ( ) ( y ) miden respectivamente ( ) es igual a: a) b) c) 0 d) 1 e) N.d.a 662. a) 80° b) 70° c) 60° d) 40° e) 20° En la figura tenemos que 663. En la figura, las medidas de los arcos y , respectivamente. Entonces a) b) c) d) e) . Entonces vale: y son expresadas en grados, por , mide: 115° 110° 105° 100° 95° 664. En la siguiente figura, la medida de a) 96° b) 63°30’ c) 48° d) 34° e) 3° Cursillo Pi 100 es: Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 665. a) 50° b) 40° c) 70° d) 60° e) 80° En la figura, el segmento es un diámetro de la circunferencia. Entonces 666. Si en la figura las medidas de los arcos respectivamente, la medida de es: a) 34° b) 35°30’ c) 38°30’ d) 40° e) 70° y vale: son y 667. Dos circunferencias son tangentes interiormente. La distancia entre los centros es y el radio de la circunferencia mayor mide el triple del radio de la menor. El radio de la mayor mide: a) b) c) d) e) 668. Si un triángulo rectángulo Entonces a) √ 669. , recto en se cumple . vale: b) √ En el siguiente gráfico: c) √ d) √ Calcular e) √ : a) b) c) d) 670. En el triángulo rectángulo , recto en , se cumple que: Calcular a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4 671. , el perímetro del En un triángulo rectángulo triángulo es: a) 90 Cursillo Pi b) 120 si c) 150 101 y d) 75 Ing. Raúl Martínez e) 136 Geometría y Trigonometría 672. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de los tangentes de los ángulos agudos del triángulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 673. a) b) c) d) e) En la figura adjunta se cumple que: Calcular 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4 674. a) b) c) d) e) En la figura mostrada, el área del triángulo en función de es: 675. Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12. Halle la altura de dicho trapecio y el producto de sus diagonales es 80. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 676. a) b) c) d) e) En la figura halle 677. a) 0,3 Si 678. Calcular la medida del ángulo , si cumple a) 15° 679. a) 1 Cursillo Pi en términos de y . Calcular el valor de b) 0,9 c) b) 30° Simplifica la expresión: b) 2 c) 37° ( ) ( c) 102 ( d) e) d) 60° e) 75° d) e) ) ) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 680. En un triángulo a) ( , reducir ) ( b) ) c) d) 1 e) 2 681. De las siguientes proposiciones: I. Si , entonces II. Si , entonces III. Si , entonces Es o son verdaderas: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) Todas 682. En un triángulo el triángulo seguro es: a) Rectángulo b) Isósceles c) Equilátero d) Obtusángulo e) Acutángulo se cumple: 683. √ . Calcular a) √ 684. Si b) √ 685. a) b) c) d) e) . c) √ d) √ c) 0 Si en el gráfico Calcular d) √ √ √ √ e) √ , calcular 8 1/8 3/8 8/3 3/4 Cursillo Pi e) Siendo un arco en posición normal positivo y menor de una vuelta que pertenece al III C el cual cumple: a) b) 1 Entonces 103 Ing. Raúl Martínez f) √ Geometría y Trigonometría 686. a) 8 b) 1/8 c) 3/8 d) 8/3 e) 3/4 Si en el gráfico , calcular 687. Las diagonales de un rombo miden y . Al unir los puntos medios de sus lados resulta un polígono. La diferencia que existe el área del rombo y el área del polígono expresada en función a es: a) b) c) d) e) 688. Dentro de un cuadrado de lado se desea construir un triángulo equilátero de manera que un vértice del triángulo coincida con un vértice del cuadrado y los otros dos vértices se encuentren sobre los lados del cuadrado no adyacentes al vértice común. La longitud del lado del triángulo en función al del cuadrado es: a) √ ( √ ) b) √ ( √ ) c) √ √ d) e) ( √ √ ) 689. En un semicírculo de radio igual a se inscribe un cuadrado (un lado del cuadrado descansa sobre el diámetro). El área del cuadrado en función a es: a) b) d) e) c) √ √ 690. en a) Si el área de una superficie esférica es es igual a: b) c) , se puede afirmar que el radio expresado 691. El volumen de un octaedro de arista igual a expresado en función a a) √ b) √ c) d) √ e) d) √ es: e) √ 692. En un cilindro de radio de base y altura , se coloca un cono de radio de base altura . Si el volumen del cono es de la del cilindro, la altura del cono mide: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 104 Ing. Raúl Martínez y Geometría y Trigonometría 693. Dentro de una esfera de radio igual a , se colocan 4 esferas de radios iguales de manera que cada esfera pequeña sea tangente a otras dos esferas pequeñas y a la esfera de radio . Si además los centros de las cinco esferas se encuentran en un mismo plano, la relación entre los volúmenes de la esfera de radio con una de las pequeñas es: a) 4 b) (√ ) c) (√ ) d) (√ ) e) (√ ) 694. a) b) c) d) e) La base de un prisma recto es un hexágono regular inscripto en una circunferencia de radio . La altura del prisma es Tercio del área total. Volumen dividido el radio Doble del área lateral Área lateral Área total . La expresión ( √ ) corresponde al: 695. De todas las afirmaciones siguientes, la correcta es: a) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces un ángulo recto como lados menos dos tiene el polígono. b) Sólo en el triángulo equilátero se cumple que el circuncentro y el incentro coinciden c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales d) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e) En todo triángulo se cumple que si un ángulo es el doble que otro, el tercer ángulo es recto 696. Si el complemento del suplemento del triple de un ángulo es igual al suplemento del complemento de la mitad del mismo ángulo, el ángulo mide: a) 51°25’ b) 36° c) 54° d) 72° e) 126° 697. Alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta se trazan dos semirrectas formando tres ángulos consecutivos y . Si las bisectrices del segundo y tercer ángulo son ortogonales la medida de es: a) 30° b) 36° c) 45° d) 15° e) 22°30’ 698. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 5 diagonales, la medida de un ángulo interno es: a) 54° b) 120° c) 135° d) 30° e) 45° Cursillo Pi 105 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 699. Observando la figura respectivamente. Si el área del cuadrado expresada en es: a) 11,31 b) 64 c) 16 d) 22,63 e) 18,47 y es son puntos medios de y . La medida aproximada de 700. De las siguientes expresiones marca la correcta a) En todo triángulo se cumple que la suma de las alturas es menor que la suma de las medianas. b) El incentro siempre es un punto que equidista de los vértices del triángulo. c) En todo triángulo siempre existe un punto interior del triángulo que equidista de los vértices del triángulo. d) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son siempre perpendiculares. e) En un triángulo isósceles, cada ángulo de la base es la mitad del suplemento del ángulo del vértice opuesto a la base. 701. Por un punto exterior a una circunferencia de radio cortan a la misma en los puntos y . La medida de . El área del triángulo expresada en función de es: a) b) √ c) √ d) √ e) se trazan dos secantes que y dista del centro 702. Un regador de agua de jardín, funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro de ida y vuelta de . El chorro de agua alcanza . El área de la superficie de pasto regada es de: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 106 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 703. Se sabe que en la figura de abajo correcta es: a) Los triángulos y son congruentes b) Los triángulos y son congruentes c) d) Los triángulos y son semejantes e) Los triángulos y son congruentes y además 704. En la figura de abajo, corona circular expresada en a) b) c) d) e) el punto de tangencia. El área de la 705. En la figura de abajo lados del cuadrado. mide a) b) c) d) e) es tangente, siendo es: . La alternativa es un cuadrado y y son puntos medios de los . El área de la región sombreada es de: 706. Dos circunferencias de centros y están separados . La tangente común en función de es: tienen como radios: y , los centros corta a en el punto . La medida y a) b) c) d) e) 707. Un avión vuela horizontalmente a de altura. Un observador situado en el suelo ve al avión en un instante con un ángulo de elevación de 60° y en un instante ve al avión con un ángulo de elevación de 30°. La distancia recorrida por el avión, en , desde el intante hasta el instante es aproximadamente: a) 3,46 b) 6 c) 1,73 d) 1,50 e) 2,60 708. En un triángulo , el ángulo interno interno , además √ y a) 60° b) 90° Cursillo Pi mide el doble de lo que mide el ángulo . Entonces la medida del ángulo c) 120° d) 30° 107 es: Ing. Raúl Martínez e) 45° Geometría y Trigonometría 709. Sea el sistema { valor de , donde es un ángulo del primer cuadrante, el es: a) √ b) c) √ √ d) √ e) √ 710. Un triángulo tiene lados de medidas a) b) 711. Si afirmaciones c) y . El coseno del menor de los ángulos es: d) e) es un ángulo del segundo cuadrante, entonces de las siguientes √ I) II) y √ III) Son verdaderas: a) Sólo I 712. a) 45° 713. El ángulo b) Sólo II c) Sólo III d) I y III del primer cuadrante que satisface b) 60° c) 75° Al transformar en producto la diferencia es: d) 20° se obtiene: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 108 e) Todas Ing. Raúl Martínez e) 30° Geometría y Trigonometría 714. La expresión a) La inversa del coseno de b) La inversa de las secante de c) La reciproca de la secante de d) La reciproca del seno de e) La reciproca del coseno de 715. Dado que a) 0 y b) 1 716. es equivalente a: , el valor de c) Si es: d) e) d) Sólo IV e) I y IV , entonces: I) II) III) IV) Es o son verdaderas a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 717. Dos lados de un triángulo oblicuángulo miden y comprendido mide . La medida del menor ángulo del triángulo es: a) 48°58’ b) 66°56’ c) 17°58’ d) 113°4’ y el ángulo e) 64°6’ 718. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior, se observa con un ángulo de elevación de 30 grados sexagesimales y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados sexagesimales. La altura del edificio, en , es: a) b) √ ( √ ) c) d) (√ ) e) (√ ) 719. a) Cursillo Pi Dado que y b) , el valor de c) es: d) 109 e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 720. La expresión más simple de es: a) b) c) d) e) 721. Si se sabe que función de y es: a) y , con . Entonces en b) c) d) e) 722. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11’52”. Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. a) 23°48’8” b) 51°50’17” c) 52° d) 44° e) 53° 723. Los triángulos son equiláteros, a) (√ √ ) b) (√ ) c) (√ √ ) d) (√ √ ) e) (√ √ ) mide: 724. Cuales son las proposiciones no falsas: I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si. II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros lados estarán en línea recta. III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementaros. a) I y II b) Solo I c) II, III y IV d) Solo V e) IV y V Cursillo Pi 110 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 725. Si el suplemento del ángulo es entonces: a) e son ángulos suplementarios. b) es agudo e es obtuso. c) esa como d) es a como e) e son ángulos congruentes , donde 726. Los ángulos y de un cuadrilátero ángulo formado por las bisectrices de los ángulos a) 69° b) 78° c) 114° es el complemento de dicho ángulo, valen 78° y 114°. Calcular el valor del y d) 90° e) 96° 727. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados? a) 145° b) 160° c) 135° d) 155° e) 165° 728. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de ellas el doble de la altura. a) 115° b) 130° c) 120° d) 128° e) 118° 729. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3 a) 53° y 55° b) 15° y 75° c) 30° y 60° d) 30°30’ y 59°30’ e) 29°30’ y 60°30’ 730. En el triángulo equilátero triángulo es: a) b) c) d) e) √ √ √ √ √ y . El perímetro del √ √ 731. Un polígono regular de 12 lados inscripto en una circunferencia de radio 1, tiene como medida de su lado a: a) Cursillo Pi √ b) √ √ c) √ 111 d) ( √ ) Ing. Raúl Martínez e) (√ ) Geometría y Trigonometría 732. Un rombo tiene diagonales que miden 12 y circunferencia inscripta a el rombo es: a) b) c) . La longitud en centímetros de la d) e) 733. Dada dos circunferencias tangentes exteriores y de radios y respectivamente. La longitud del segmento tangente exterior común a las dos circunferencias es: a) √ b) √ d) √ √ c) 734. Los lados de un triángulo miden interiores del triángulo es: a) 11/24 b) c) y e) √ . El coseno del mayor de los ángulos d) e) 735. De las afirmaciones I) Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes. II) La intersección de dos rectas carecen de dimensión. III) Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos. Son falsas a) Ninguna b) I y II c) Sólo I d) I y III e) Todas 736. De las opciones, marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa. 737. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo recibe el nombre de: a) Seno b) Coseno c) Cosecante d) Secante e) Tangente 738. En todo triángulo rectángulo de hipotenusa , catetos hipotenusa), se verifica: y , y (altura relativa a la a) b) c) d) e) 739. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un hexágono de lado a) Cursillo Pi ( √ ) b) ( √ ) c) √ 112 d) ( √ ) Ing. Raúl Martínez e) ( √ ) Geometría y Trigonometría 740. a) 4 b) 6 c) 8 d) 7 e) 5 En el paralelogramo 741. Si y es punto medio de hallar , si son bisectrices interna y externa de , hallar . en metros, si y . a) b) c) d) e) 42 48 44 24 36 742. El triángulo áreas del triángulo a) 5/4 b) 9/5 c) 9/7 d) 9/4 e) 8/5 743. a) 5/4 b) 4/3 c) 3/4 d) 1 es equilátero y del trapecio es un diámetro paralelo a . La razón entre las , si el radio de la circunferencia es es: es diámetro del círculo, la razón entre las áreas de los triángulos y es: e) √ 744. Se tienen 2 ángulos consecutivos hallar el ángulo y es igual a a) 85° b) 95° c) 75° d) 65° e) 55° Cursillo Pi y . Se traza la bisectriz y la diferencia de los ángulos 113 Ing. Raúl Martínez del ángulo y es , . Geometría y Trigonometría 745. Si el complemento de es al suplemento de , como el suplemento de complemento de . Halla la suma de las cifras de la medida del ángulo mayor. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 746. El valor de a) en la expresión b) √ c) 747. Cual de las expresiones no es verdadera: I) II) III) no existe IV) V) a) Sólo III b) I y III c) I, II y III 748. Que valores deberá tomar a) 2 b) 749. Si a) 240° b) y c) y d) y e) y o es al d) e) d) Ninguna e) IV y V para que exista la función seno en: c) o y d) No se sabe entonces e) Faltan datos vale: 750. Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas: I. En radianes II. ( ) III. ( ) es un punto que pertenece a la circunferencia trigonométrica, entonces el IV. V. Si VI. valor de es √ El seno y el coseno son funciones periódicas de periodo a) I, III y V Cursillo Pi b) I, II y IV c) I, II, III y V 114 d) I, II y IV Ing. Raúl Martínez e) Todas Geometría y Trigonometría 751. Si . Hallar el valor de , si a) b) c) d) e) 752. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva ¿Qué ángulo hace con la horizontal? a) b) c) d) . Por cada horizonrales. e) 753. Encuéntrese el ángulo de elevación del sol si una persona de una sombra de de largo. a) b) c) d) de altura proyecta e) 754. Un tirante de alambre atado desde un poste hace ángulo de con el nivel del suelo y esta fijado al suelo a de distancia del poste. Encuentre la longitud del alambre, en metros: a) b) c) d) e) 755. Un avión esta volando alejándose de un observador en tierra a una razón constante y mantiene una altura de . En cierto instante el observador mide el ángulo de elevación como después como . ¿Qué tan rápido esta volando el avión en ? a) 960 b) 609 c) 550 d) 600 e) 690 756. a) Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que esta a de distancia (horizontal). El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de y el ángulo de depresión de la base de la torre es de ¿Qué altura tiene la torre? b) c) d) e) 757. En un centro comercial la distancia vertical del primer piso al segundo es de . La escalera mecánica que tiene un alcance horizontal de , hace segundos en llevar a una persona entre los dos pisos. ¿Qué velocidad lleva la escalera en SI? a) b) c) d) e) 758. Encuéntrese el radio longitud de arco) a) 10 y 3 b) 12 y 5 c) 0,3 y 14 d) 14 y 3 e) N.d.a Cursillo Pi en centímetros en cada uno de los siguientes círculos es ( : 115 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 759. Una cuerda con punto inicial y con una longitud de se enrolla alrededor del círculo unitario en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del extremo? a) b) d) ) c) (√ ) e) (√ 760. Si tiene coordenadas en una circunferencia trigonométrica dada por I) Encuéntrese los dos valores posibles de II) Encuéntrese los ángulos para cada punto a) √ y b) √ y c) d) √ e) √ ; ; 210° y 270° ; y y Hallar el menor valor del ángulo 761. a) 45° que satisface a: b) 60° c) 30° d) 15° e) 50° a) 45° b) 30° c) 36° d) 40° e) 60° 763. a) b) 60° c) 30° d) 15° e) 50° 762. 764. La ecuación es equivalente a: a) b) c) d) e) 765. Un triángulo tiene lados de medidas ⁄ ángulos es: a) b) c) Cursillo Pi 116 ⁄ y ⁄ . El coseno del menor de los d) e) Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 766. De las proposiciones siguientes la correcta es: a) La inversa de es b) La recíproca de es c) La inversa de d) La inversa de e) La reciproca de es 767. es es El valor de para que se cumpla la identidad es: a) 1/2 b) 1 768. c) 3/2 En la ecuación ecuación es: a) 45° 769. a) el valor de b) 135° En la figura, expresar d) 5/2 en el tercer cuadrante que satisface la c) 251°33’54” y e) 0 d) 245° en términos de e) 252° y b) c) d) e) 770. Si a) √ b) c) √ (√ d) ( e) . Hallar . ) √ ) √ 771. En un plano coordenado de origen 0 se tienen los puntos que y que . Determinar . a) 19/6 b) 19/4 c) 21/6 d) 21/4 Cursillo Pi 117 y Ing. Raúl Martínez . Sabiendo e) 5 Geometría y Trigonometría 772. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del I cuadrante cuyo ángulo doble esta en el II cuadrante, su ángulo triple en el III cuadrante y su cuádruple en el IV cuadrante, pero inferior a a) b) c) d) e) Faltan datos 773. Se tienen dos cias tangentes exteriormente de radio y . Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas cias y la recta que une los centros. a) b) c) d) e) (√ √ ) 774. Sea un triángulo con ángulos Simplificar a) b) c) 775. y y lados opuestos y , respectivamente. d) e) d) 1/2 e) 1/4 Simplificar: a) b) c) d) e) 776. a) 5/3 Dado 777. Si ( √ ⁄ , calcular b) 5/2 c) 11/2 evaluar ) ( ) ( ) a) b) c) d) e) Cursillo Pi 118 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 778. Simplificar a) b) c) d) e) 779. En un círculo trigonométrico se tiene que I) | | | | II) III) Es o son verdaderas a) Solo I 780. a) b) c) d) e) 781. a) b) c) d) e) b) Solo II Si de las proposiciones c) Solo III y d) I y II e) I, II y III entonces la diferencia entre es igual a: ⁄ Si entonces siempre: 782. En un triángulo rectángulo los lados miden menor de los ángulos se tiene que: y . Entonces, se a) b) c) d) e) Cursillo Pi y 119 Ing. Raúl Martínez es el Geometría y Trigonometría 783. a) b) c) d) e) Si , la opción falsa es: 784. Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son y respectivamente. Entonces: a) La altura de la primera torre es el triple de la otra b) La altura de la primera torre es la mitad de la otra c) La altura de la segunda torre es el triple de la primera d) Las alturas son iguales e) Las alturas de la primera y la segunda torre suman 5 unidades 785. Cuando el ángulo a) Decrece de a b) Crece de a c) Decrece de a d) Decrece de a e) Crece de a crece de 786. Los valores que igualdad a) b) c) d) e) puede asumir para que exista el seno de arco , que satisfaga la 787. a) 60° a , la grafica de la secante: El ángulo formado por las manecillas del reloj a las 3 horas y 5 minutos es: b) 63°30’ c) 64°30’ d) 61°30’ e) 62°30’ 788. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28,4°, en París, la torre Eiffel forma una sombra de 555,34 metros de largo. ¿Qué altura tiene la torre aproximadamente? a) b) c) d) e) 789. Un decágono regular (10 lados iguales) esta inscripto en un círculo de radio . ¿Qué porcentaje del área del círculo es el área del decágono? a) 73,55 b) 83,55 c) 63,55 d) 88,55 e) 93,55 Cursillo Pi 120 Ing. Raúl Martínez 790. Sea el triángulo de lados su ángulo será. a) b) c) d) e) No se puede determinar 791. a) Dado y , y de área . El producto de las cosecantes de calcular √ b) √ c) √ d) √ e) √ 792. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triángulo se puede resolver si se conocen: a) 1 lado y 2 ángulos b) 2 lados y el ángulo comprendido c) 2 lados y el ángulo opuesto a ellos d) 2 ángulos e) 2 lados y 2 ángulo 793. De las siguientes proposiciones: I) Dos ángulos complementarios son agudos. II) Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser suplementarios. III) Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares complementarios. IV) Dos ángulos adyacentes no pueden ser complementarios. V) Un ángulo agudo siempre tiene complemento y suplemento. Es/son falsa/s: a) Solo I b) II y III c) I y III d) I, IV y V e) II, III y IV Cursillo Pi 121 Ing. Raúl Martínez son 794. a) b) c) d) e) En una recta se tiene los puntos consecutivos y , entonces la medida del segmento y ; de modo que es: 3 4 5 6 7 795. La diferencia entre la suma de los suplementos y la suma de los complementos de dos ángulos, que se diferencian en 20°, es igual al doble de la suma de dichos ángulos. La medida del mayor es: a) 40° b) 55° c) 60° d) 75° e) 80° 796. a) 10° b) 20° c) 15° d) 18° e) 12° En la figura , entonces el valor de 797. En un polígono convexo de entonces el número de diagonales: a) Aumenta en b) Disminuye en c) Disminuye en 1 d) Aumenta en 1 e) No aumenta ni disminuye es: lados, si el número de lados aumenta en uno, 798. En un polígono regular de lados, la medida de un ángulo interior es cinco veces la medida del ángulo central, entonces el número de triángulos que se pueden formar al trazar todas las diagonales desde un solo vértice es: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Cursillo Pi 122 Ing. Raúl Martínez 799. En un triángulo es un punto del lado y a) b) c) d) e) se traza la bisectriz interior y el segmento , donde . Si y se intersectan en el punto de modo que , entonces la medida de es: 45° 30° 36° 50° 42° 800. De las siguientes proposiciones, la falsa es: a) Todo triángulo equilátero es también isósceles. b) Si en un triángulo se cumple que los tres ángulos externos son obtusos entonces el triángulo debe ser acutángulo. c) Si un triángulo tiene un ángulo externo agudo entonces debe ser obtusángulo. d) Todo triángulo escaleno es también acutángulo. e) En todo triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos lados. 801. De las siguientes proposiciones, la falsa es: a) Las proyecciones de los lados congruentes de un trapecio sobre su base mayor son iguales a la semidiferencia de las bases b) Un paralelogramo que tiene dos lados consecutivos congruentes es un rombo. c) Un paralelogramo que tiene un ángulo recto es un rectángulo. d) Un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales es un paralelogramo. e) Un trapecio escaleno tiene los cuatro lados desiguales. 802. Considerando los siguientes enunciados: I) Si entonces es cuarta proporcional de y . II) Si y son proporcionales a y , puede darse el caso en que III) y IV) La recíproca de la razón entre la tercera proporcional de y , y el reciproco de la cuarta proporcional y ; es La media proporcional de y es la misma que la de y . V) Si , entonces y En el siguiente orden son: a) VVFVF b) FVFVF c) FFVVV d) FFFVF e) FFFVV Cursillo Pi 123 Ing. Raúl Martínez 803. Siendo el baricentro de un triángulo . Si . El mínimo valor entero que puede tomar es: ( sobre )y a) b) c) d) e) 804. En la figura de es: a) 10 b) 9 c) 9,6 d) 10,2 e) 6 . Si y . La medida 805. De los siguientes enunciados: I) Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados. II) Cualquier altura de un triángulo isósceles es también mediana, bisectriz y porción de mediatriz. III) Tres o más rectas paralelas equidistantes determinan sobre cualquier recta, oblicua a ellas, segmentos congruentes. IV) El producto de longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por su altura respectiva. V) Toda recta que corta a dos lados de un triángulo dividiendo a estos en segmentos proporcionales, es par al tercer lado Es/son verdadera/s: a) Solo dos b) Solo cuatro c) Todas d) Ninguna e) Solo tres 806. 807. En un cuadrado respectivamente. Si y En el trapecio , la diagonal mide √ y son puntos medios de de la figura se cumple que menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos interiores y y . El mide: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 124 y Ing. Raúl Martínez 808. Si , entonces el valor de es: a) b) c) d) e) ⁄ 809. Marca la proposición falsa a) La función tangente siempre es creciente en los diferentes cuadrantes. b) La variación de la reciproca del seno es el conjunto de los números reales excepto los pertenecientes al intervalo c) La función secante esta definida para todos los números reales excepto en aquellos puntos donde el coseno se hace cero. d) Si , entonces la variación de la cofunción de la cosecante es el conjunto de los números reales mayores a y menores a . e) El periodo de la función coseno es . 810. Sabiendo que , siendo un ángulo en posición normal. Marca la afirmación correcta. a) Si donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante. b) Si donde es un número entero, entonces pertenece al cuarto cuadrante. c) Si donde es un número entero, entonces pertenece al segundo cuadrante. d) Si donde es un número entero, entonces pertenece al primer cuadrante. e) Si donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante. 811. Si y son ángulos agudos complementarios, al simplificar , se obtiene: a) √ b) √ c) √ d) e) Cursillo Pi 125 Ing. Raúl Martínez 812. a) Marca la expresión incorrecta. b) c) Si , entonces d) e) 813. Si , el valor de es: a) b) c) d) e) 814. Las soluciones de la ecuación ubican en los cuadrantes: a) Primero y segundo b) Primero y tercero c) Segundo y tercero d) Segundo y cuarto e) Primero, segundo, tercero y cuarto son ángulos cuyos lados terminales se 815. Si es una solución de la ecuación positivo que puede asumir , es: a) b) c) d) e) El menor valor 816. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden y respectivamente y forman un ángulo de . El mayor de las diagonales del paralelogramo mide: a) √ √ b) √ √ c) √ √ d) √ √ e) √ Cursillo Pi 126 Ing. Raúl Martínez 817. a) En un triángulo se sabe que , y . El lado mide: b) √ c) √ d) √ e) √ 818. En un triángulo escaleno respectivamente y , los lados opuestos a los ángulos . Entonces la y miden expresión es equivalente a: a) b) c) d) e) 819. En un triángulo triángulo es: a) b) c) d) e) se sabe que y . El área del √ √ √ √ √ 820. La anchura de una calle, que separa los edificios y , es de . Desde la azotea del edificio se observa la azotea del edificio elevando la vista . Si la altura del edificio excede a la altura del edificio en una cantidad igual a la mitad de la altura de , la altura del edificio es: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 127 Ing. Raúl Martínez 821. a) b) c) d) e) Se sabe que tres ciudades y , unidas por caminos rectos, forman un triángulo donde y . María estaba en la ciudad y viajó a la ciudad , pasando primero por . Si María hubiese tomado el camino que une a las ciudades y , habría recorrido por kilómetros menos. El valor de es: 21 78 111 9 18 822. El radio de la circunferencia (de centro ) de la figura es igual a polígono es igual, es , a: a) b) √ c) d) e) √ √ √ 823. En el trapecio , y a) 70° , entonces el 𝐵 . El área del mide: 𝐶 b) 85° c) 90° d) 95° 𝐷 𝐴 e) 105° 824. De las siguientes afirmaciones: I) Existe un polígono convexo cuya suma de ángulos interiores es 1620°. II) Existe un polígono convexo donde cada ángulo exterior mide 14°. III) Existe un polígono convexo que tiene 209 diagonales. Es o son falsas: a) Sólo II y III b) Sólo I y II c) Sólo II d) Sólo I e) Sólo III Cursillo Pi 128 Ing. Raúl Martínez 825. En la figura se tiene un rectángulo el segmento , de manera que con el segmento , con , y está en es el punto de intersección de la diagonal . Entonces el segmento a) El punto mide: 𝐸 𝐷 𝐶 b) 𝐹 c) d) 9 𝐴 e) 1 826. 𝐵 Los vértices de un cuadrado son los puntos medios de los lados de un rombo de diagonal y . Entonces el área de dicho cuadrilátero es: a) b) c) d) e) 827. a) √ En la siguiente figura, el segmento al segmento , entonces el segmento mide y el segmento mide en centímetros: excede en 𝐴 b) √ 𝐷 c) 5 d) 10 e) 1 𝐵 Cursillo Pi 𝐸 129 𝐶 Ing. Raúl Martínez 828. En un triángulo , los ángulos y miden, respectivamente, 86° y 34°. El ángulo agudo formado por la mediatriz relativa al lado y por la bisectriz del ángulo mide: a) rad. b) rad. c) rad. d) e) 829. y son dos ángulos tales que del complemento de , entonces a) rad. es la quinta parte de mide: y éste es el suplemento b) c) d) e) N.d.a. 830. a) El área, en , de un triángulo cuyos lados miden , y es: √ b) c) √ d) e) √ 831. Aumentando los lados de un rectángulo en 15 % y 20 % respectivamente, el área del rectángulo queda aumentada en: a) b) c) d) e) 35 % 30 % 3,5 % 3,8 % 38 % Cursillo Pi 130 Ing. Raúl Martínez 832. es: F) En el triángulo , se verifica que entonces el triángulo Isósceles 𝑄 G) Rectángulo isósceles 𝑦 H) Equilátero I) Rectángulo J) Obtusángulo 𝑆 𝑥 𝑧 𝑇 833. ¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que un complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’? F-) G-) H-) I-) J-) 834. F-) G-) H-) I-) J-) 835. VI. VII. VIII. IX. X. y y y y y Teniendo en cuenta el dibujo, donde y el valor de es: √ √ 𝑐 √ √ √ 𝑏 𝑦 𝑥 𝑎 Dadas las siguientes proporciones: Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma. La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo, a los puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro. En un triángulo isósceles el incentro y el circuncentro están sobre una misma recta. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes. Podemos afirmar que: F-) Todas son verdaderas. G-) Solamente una es verdadera. H-) Ninguna es verdadera. I-) Solamente dos son verdaderas. J-) Todas menos una son verdaderas. Cursillo Pi 131 Ing. Raúl Martínez 836. Dada la serie de razones iguales: los valores de donde entonces son respectivamente: F-) G-) H-) I-) J-) 837. Dadas las siguientes proposiciones de congruencia , además, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes es: F-) G-) H-) I-) J-) 838. De las afirmaciones siguientes: I- Por dos puntos distintos pasan dos rectas distintas. II- Existe un único plano que pasa por dos puntos distintos. III- Si dos rectas y son paralelas coincidentes, entonces . IV- Dos rectas que se cortan en un solo punto son perpendiculares. V- Si es un punto que pertenece al plano , entonces infinitas rectas contenidas en pasan por . Son falsas: a) I , III b) II , III y IV c) I, IV d) II, III y V e) I, II y IV Cursillo Pi y V y V 132 Ing. Raúl Martínez 839. Dadas las siguientes proposiciones. I- Un ángulo nulo tiene sus lados perpendiculares. II- Los ángulos opuestos por el vértice pueden ser complementarios. III- A todo segmento de recta que divide el ángulo en dos ángulos complementarios congruentes se denomina bisectriz de un ángulo. IV- Si dos rectas coincidentes y pertenecen a un plano y son paralelas a un plano , entonces y son paralelas. V- Todo triángulo equilátero es isósceles. VI- La altura de un triángulo es el segmento determinado por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Podemos afirmar: a) Todas son verdaderas. b) Solamente dos son verdaderas. c) Todas menos un son verdaderos. d) Solamente una es verdadera. e) Solamente tres son verdaderas. 840. a) b) c) d) e) Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que ̅̅̅̅ 841. Sea el triángulo 𝐷 𝐴 . Entonces A) 90° 𝑥 ̅̅̅̅ . Entonces: ̅̅̅̅ 𝑦 𝐶 𝐵 y ̅̅̅̅ la bisectriz del ángulo . Sabiendo que es igual a: B) ⁄ C) D) 842. Si el ortocentro es un punto del contorno del triángulo triángulo es: A) Equilátero B) Acutángulo C) Rectángulo D) Obtusángulo E) Equiángulo Cursillo Pi 133 E) 45° entonces dicho Ing. Raúl Martínez 843. En la figura el valor de es: A) B) 𝛽 C) D) 𝛼 E) 844. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las dimensiones de triángulos. Si con las medidas dadas, era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos adicionales para su calificación. Las respuestas fueron: Juan: y Luis: y Pedro: y Carlos: y Entonces; la maestra dio puntos adicionales a: A) Pedro y Carlos B) Pedro y Juan C) Carlos y Juan D) Juan y Luis E) Pedro, Carlos y Luis 845. A) Al expresar el ángulo B) C) en el sistema sexagesimal se obtiene: D) E) 846. En la siguiente figura se sabe que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y el triángulo 𝐵 entonces el doble de es: A) B) 𝑃 𝛽 𝑄 C) 𝛿 D) 𝛼 E) 𝐴 𝐶 𝑅 847. En la siguiente figura y son perpendiculares; la recta pasa por el punto de intersección de ellas. Entonces, mide: 𝐿 A) B) C) D) E) Cursillo Pi es equilátero, 𝑝 𝐿 𝑎 𝑥 134 𝐿 Ing. Raúl Martínez 848. ¿Qué clase de triángulo es aquél cuyos dos ángulos exteriores correspondientes a un vértice son suplementarios? A) Isósceles B) Obtusángulo C) Rectángulo D) Equilátero E) Acutángulo 849. En la siguiente figura,̅̅̅̅ es la bisectriz del . Probar que ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ es la bisectriz del y ̅̅̅̅ 𝑄 𝐵 𝑃 𝛽 𝛼 𝐴 𝐷 𝐶 850. De las opciones siguientes. I- Si un triángulo tiene sus tres alturas iguales, entonces es equilátero. II- Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales, entonces es isósceles. III- Si dos alturas de un triángulo son perpendiculares, entonces éste es rectángulo. Podemos decir que en ese mismo orden son: A) B) C) D) E) 851. Teniendo en cuenta la figura ¿Cuál es el segmento más corto? 𝐶 𝐷 𝑀 𝐵 𝐸 𝐴 Cursillo Pi 135 Ing. Raúl Martínez 852. ̅̅̅̅ a) En un triángulo ; ̅̅̅̅ b) se tiene que la recta es paralela al lado ̅̅̅̅ y que y ̅̅̅̅ . Entonces el segmento ̅̅̅̅ mide. c) d) e) 853. Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los lados dos segmentos, uno de y el otro de . ¿Cuál es la longitud de los segmentos determinados en el otro lado que mide en total ? a) y b) y c) y d) y e) y 854. es: a) b) En la figura ̅̅̅̅ √ √ c) y ̅̅̅̅ 𝑄 √ √ d) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ entonces la medida de 𝑇 𝑃 𝑅 ⁄ e) 855. En la figura de abajo se indica un rectángulo y los puntos y , donde es el punto medio del lado ̅̅̅̅ y es la intersección de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅. ̅̅̅̅ Sabiendo que ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , la medida del segmento ̅̅̅̅ es: 𝐵 a) b) c) d) e) 𝐶 𝐹 𝐴 856. Si ̅̅̅̅ a) b) c) d) e) Cursillo Pi ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐸 𝐷 𝑀 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , entonces es: 𝐷 𝐸 𝐴 𝐵 136 𝐶 Ing. Raúl Martínez 857. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ En el gráfico siguiente ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , entonces 𝑀 a) b) c) d) e) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ mide: 𝑃 𝐴 𝐾 858. En la figura ̅̅̅̅ a) y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑇 ̅̅̅̅ y . Entonces 𝐶 son escalenos 𝐸 𝐹 b) y son congruentes c) y son equiláteros d) y son congruentes 859. 𝐴 𝐷 𝐵 Un poste de teléfono de una sombra de , al mismo tiempo un operario de de alto de una sombra de , entonces la altura del poste es: a) b) c) d) e) 860. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ miden respectivamente: a) √ y √ b) √ y √ 𝐴 √ 𝐶 c) √ y d) y e) y 𝐵 𝐷 861. de a) En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de y es: 𝑅 b) 𝑏 c) e) Cursillo Pi , en función 𝑎 𝑚 d) 𝐴 y 𝑀 𝑄 𝑐 137 Ing. Raúl Martínez 862. a) ¿Para cuáles de los siguientes conjuntos de longitudes será ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ? 𝐶 𝐺 b) c) 𝐴 d) 𝐹 𝐵 863. En la figura, es un cuadrado de lado 12; ̅̅̅̅ mide 5 y Además ̅̅̅̅̅ es perpendicular a ̅̅̅̅. Entonces la longitud de ̅̅̅̅ es: 𝑄 𝑃 a) ̅̅̅̅̅ mide 4. b) 𝑁 𝑥 c) 𝑀 d) 𝑆 𝑇 𝑅 e) 864. Dadas las siguientes proposiciones: I- Dos triángulos son congruentes, si los tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos del otro. II- Si , entonces III- Dos triángulos son congruentes, si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con dos lados y un ángulo del otro. Podemos afirmar en ese mismo orden: a) b) c) d) e) Cursillo Pi 138 Ing. Raúl Martínez 865. De las siguientes afirmaciones: I- Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes II- La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. III- En un triángulo las alturas son inversamente proporcionales a los lados adyacentes IV- Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno V- Si se tiene dos cantidades y ; además se cumple entonces se denomina cuarta proporcional. Podemos afirmar: a) Solamente dos son falsas b) Solamente tres son falsas c) Todas son falsas d) Solamente un es falsa e) Todas menos una son falsas Cursillo Pi 139 Ing. Raúl Martínez Cursillo Pi 140 Ing. Raúl Martínez