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Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de
secundaria fue desarrollado por la Dirección de Medios y Métodos Educativos, de la Dirección General
para la Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educación, Secretaría de Educación de Guanajuato.
Secretaría de Educación de Guanajuato
Subsecretaría para el Desarrollo Educativo
Dirección General para la Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educación
Dirección de Medios y Métodos Educativos
Departamento de Español
Departamento de Matemáticas
Primera edición, 2013
Secretaría de Educación de Guanajuato, 2013
Conjunto Administrativo Pozuelos s/n, Centro,
36000, Guanajuato, Gto.
Impreso en México
Distribución Gratuita – Prohibida su venta
Presentación
A las maestras y maestros:
La evaluación es un proceso necesario para identificar los aprendizajes que las
alumnas y los alumnos han adquirido satisfactoriamente y aquellos que
deberán ser reforzados.
Año con año, la Secretaría de Educación Pública aplica la prueba ENLACE a
todas las primarias y secundarias del país, para tener información sobre el
logro académico de los alumnos.
En este contexto, Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013.
Tercer grado de secundaria es un material que tiene como propósito ofrecerles una herramienta de
apoyo que les permita guiar a sus alumnos en la preparación para la prueba ENLACE 2012, a través de
una serie de actividades elaboradas con base en los programas de estudio de español y matemáticas
para fortalecer los temas clave determinados a partir de los resultados de la prueba ENLACE 2012.
Los invitamos a que aprovechen este recurso y que apoyen a sus alumnos en el uso del mismo, de modo
que les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora. Para ello, les sugerimos atender
las Orientaciones metodológicas que se encuentran en este cuadernillo.
Estamos seguros de que con su compromiso y colaboración continuaremos trabajando para hacer de
Guanajuato un estado de acciones encaminadas a mejorar la calidad de la educación.
A las alumnas y alumnos:
La evaluación es un elemento necesario en tu proceso de aprendizaje, ya que
mediante ella te es posible detectar cuáles son los temas y contenidos que
dominas y aquellos que necesitas fortalecer.
La prueba ENLACE, que año con año se aplica a todas las primarias y
secundarias del país, tiene la finalidad de evaluar tus conocimientos en el área
de español, matemáticas y una tercera asignatura, y ofrecerte un diagnóstico
individual sobre los conocimientos y habilidades en los temas evaluados.
Durante este ciclo escolar, la Secretaría de Educación de Guanajuato pone a tu disposición el material
Desarrollo de habilidades comunicativas y matemáticas. Cuadernillo de apoyo 2013. Tercer grado de
secundaria, el cual fue elaborado con el propósito de servirte como una herramienta de preparación
para mejorar el logro académico. Este cuadernillo contiene una serie de actividades elaboradas con base
en los programas de estudio de español y matemáticas para fortalecer los temas clave determinados a
partir de los resultados de la prueba ENLACE 2012.
Es importante que para realizar el trabajo que te propone este cuadernillo, te apoyes en tu maestro de la
asignatura de matemáticas, ya que él te podrá orientar en el uso del mismo.
Recuerda que la evaluación es un complemento de tu aprendizaje, por lo que te invitamos a considerar
este proceso como una oportunidad para analizar tu desempeño escolar.
¿Cómo está organizado el cuadernillo de apoyo?
El cuadernillo se divide en dos secciones, una para español y otra para matemáticas. Cada sección se
organiza por temas, cada uno de los cuales iniciará con una tabla de identificación como las que se
muestran a continuación.
Para un tema de la sección de habilidades comunicativas:
Tema del que tratará
la lección
Bloque del programa
de estudio que incluye
el tema a revisar
Ámbito del programa
de estudio al que
corresponde
la
práctica social del
lenguaje
Práctica social del lenguaje
definida en el programa de
estudio para el tema a tratar
Aprendizajes esperados que se
desea lograr con la lección
Imagen alusiva al
tema
Para un tema de la sección de habilidades matemáticas:
Bloque del programa de estudio
que incluye el tema a revisar.
Contenido temático específico al
que corresponde la lección, de
acuerdo al programa de estudio.
Tema del que tratará la lección.
Eje temático al que corresponde
la lección, de acuerdo al
programa de estudio.
Tema general al que corresponde
la lección, de acuerdo al
programa de estudio.
Aprendizaje esperado que se
desea lograr en la lección.
Presenta una
imagen alusiva al
tema.
Cada tema incluye cuatro secciones que se describen a continuación:
Introducción
Desarrollo
Cierre
Evaluación
Consiste en el planteamiento general del tema que se va a
trabajar. Esta sección incluye una situación cotidiana que permite
retomar los conocimientos previos sobre el tema.
Constituye la parte más amplia del tema, ya que contiene la
presentación de contenidos y actividades que permiten
fortalecer los aprendizajes que serán evaluados.
Incluye una breve descripción de los contenidos retomados en la
lección. También contiene sitios de interés que se pueden
consultar para ampliar los conocimientos sobre el tema.
En esta sección se deberá resolver una evaluación sobre los
contenidos retomados en la lección. Es importante que se utilice
la Hoja de respuestas que se encuentra al inicio de cada sección
del cuadernillo, ya que es necesario practicar el llenado de los
círculos que presenta la prueba tipo ENLACE.
Orientaciones metodológicas
Este cuadernillo ha sido diseñado con la finalidad de que los alumnos procesen la información y
desarrollen los ejercicios, actividades y evaluaciones contenidas en cada uno de los temas, de manera
individual, empleando tiempo extra clase. Sin embargo, serán de gran apoyo las orientaciones y
retroalimentaciones que puedan obtener de la maestra o maestro que les imparte la asignatura de
español y/o matemáticas.
En este sentido, se solicita a las maestras y los maestros que atiendan a las siguientes orientaciones
metodológicas, para apoyar muy comprometidamente a sus alumnos, de modo que este recurso
didáctico les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora.
 En un primer momento, acompañar a los alumnos en la lectura de la presentación y organización
del cuadernillo. Identificar y comentar con ellos las temas específicos que han sido desarrollados.
Esto se puede hacer de manera grupal en un espacio de clase no mayor a 10 minutos.
 Previo al estudio de un tema:
Presentar la situación planteada en la introducción. Esto con la intención de generar una
activación cognitiva en los alumnos en relación con la temática a estudiar.
Orientar la atención de los alumnos sobre los aspectos del tema en los que deberán poner
especial cuidado al momento de procesar la información y realizar los ejercicios, actividades y
evaluaciones plantedas.
Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 7 minutos.
 Posterior al estudio de un tema:
Retroalimentar el aprendizaje de los alumnos mediante una actividad grupal en la que hagan
una recapitulación breve sobre el desarrollo de las actividades y las soluciones de la evaluación.
Esto con la intención de socializar el aprendizaje individual de los alumnos y resolver las dudas
que se presenten.
Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 12 minutos.
Esperamos que estas orientaciones sean de utilidad para lograr el fortalecimiento de los temas clave que
contiene el cuadernillo y generar la adquisición de los aprendizajes esperados en los alumnos.
CONTENIDO
SECCIÓN DE HABILIDADES COMUNICATIVAS
TEMA 1. ESTUDIAR LAS MANIFESTACIONES POÉTICAS EN UN MOVIMIENTO LITERARIO .......͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘............ 1
TEMA 2. ELABORAR Y PROLOGAR ANTOLOGÍAS DE TEXTOS LITERARIOS ..........................͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘................ 8
TEMA 3. ANALIZAR DIVERSOS FORMULARIOS PARA SU LLENADO ............................................................... 13
TEMA 4. ELABORAR INFORMES SOBRE EXPERIMENTOS CIENTÍFICOS ........................................................... 18
TEMA 5. ANALIZAR OBRAS LITERARIAS DEL RENACIMIENTO PARA CONOCER LAS CARACTERÍSTICAS DE
LA ÉPOCA .................................................................................................................................................. 27
SECCIÓN DE RESPUESTAS ........................................................................................................................... 32
SECCIÓN DE HABILIDADES MATEMÁTICAS
TEMA 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS......................................................................................................... 33
TEMA 2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS........................................................................................................ 39
TEMA 3. SEMEJANZA EN POLÍGONOS ......................................................................................................... 45
TEMA 4. APLICACIONES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ............................................................................ 50
TEMA 5. CORTES EN ESFERAS Y CONOS ...................................................................................................... 54
RESPUESTAS DE LAS ACTIVIDADES ............................................................................................................. 60
RESPUESTAS DE LAS EVALUACIONES .......................................................................................................... 61
SECCIÓN DE
HABILIDADES
COMUNICATIVAS
HOJA DE RESPUESTAS HABILIDADES COMUNICATIVAS
Nombre
Grado
Grupo
Instrucciones. Contesta las preguntas de la evaluación de cada tema presentado, rellenando con
lápiz el círculo que corresponde a la respuesta correcta.
TEMA 1
TEMA 4
No.
1.
A

B

C

D

No.
1.
A

B

C

D

2.




2.




3.




3.




4.




4.




5.




5.




TEMA 2
TEMA 5
No.
1.
A

B

C

D

No.
1.
A

B

C

D

2.




2.




3.




3.




4.




4.




5.




5.




TEMA 3
No.
1.
A

B

C

D

2.




3.




4.




5.




Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
TEMA 1. ESTUDIAR LAS MANIFESTACIONES POÉTICAS EN UN MOVIMIENTO LITERARIO
Bloque I
Aprendizajes esperados
 Identifica las características del movimiento
Ámbito
literario del Modernismo.
Literatura.

Identifica la función y las características de
Práctica social del lenguaje
algunas de las principales figuras retóricas
Estudiar
las
manifestaciones
utilizadas en la poesía.
poéticas en un movimiento literario.
Introducción
Un poeta es una persona que con las palabras expresa emociones, sentimientos y sensaciones a través de
textos conocidos como poemas.
Temas tan contrastantes como la vida y la muerte, el amor y el desamor, la felicidad y la tristeza, la
esperanza y la desesperanza, son normalmente retomados por los poetas, ya que son los sentimientos
más básicos del ser humano.
Imagina que la profesora de español les dejó realizar una investigación sobre el movimiento poético del
Modernismo. Para ello, les pidió que investigaran y transcribieran un poema o fragmento de un poema de
alguno de los poetas mexicanos que pertenecieron a este movimiento: Amado Nervo, Manuel Gutiérrez
Nájera, Salvador Díaz Mirón, Luis Gonzaga Urbina, Enrique González Martínez o José Juan Tablada.
Título del poema:
Autor:
_____________________________
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo
El Modernismo es un término utilizado para nombrar a un movimiento literario que se desarrolló a
finales del siglo XIX y principios del siglo XX (1880 a 1910). Este movimiento nació en contraposición con
el romanticismo y se caracterizó por la rebeldía creativa, el rechazo de la realidad cotidiana, el gusto por
la belleza, el erotismo y lo exótico.
El Modernismo fue un movimiento que se desarrolló fundamentalmente en Hispanoamérica y su
principal representante fue el nicaragüense Rubén Darío.
Uno de los equipos presentó la siguiente información sobre la investigación que realizó del movimiento poético
del modernismo.
Literatura contemporánea
En el último tercio del siglo XIX ocurre un movimiento literario
Glosario
nacido en América destinado a revolucionar la literatura en lengua
Real
Academia
Española
española en general y en particular la poesía. Ésta es la primera
contribución original de Hispanoamérica a la literatura universal.
Eclecticismo.
Se sitúa su inicio con la aparición del libro Azul, de Rubén Darío, en
m. Escuela filosófica que procura conciliar las
1888. El nombre de Modernismo, aunque impropio, pretende
doctrinas que parecen mejores o más
advertir su intención renovadora. Acepta lo mismo elementos
verosímiles, aunque procedan de diversos
sistemas.
antiguos que modernos y se alimenta de todas las tendencias
literarias que predominaron en Francia en el siglo XIX. Al principio
Sinestesia.
fue una reacción contra los excesos del romanticismo, pero su
f. Ret. Tropo que consiste en unir dos
actitud no sólo fue negativa, sino ecléctica, de modo que en el
imágenes o sensaciones procedentes de
diferentes dominios sensoriales. Soledad
modernismo se conjugan parnasianismo, simbolismo, realismo,
sonora. Verde chillón.
naturalismo, impresionismo y romanticismo, con una base
considerable de clasicismo español. Estos caracteres tan peculiares
Cosmopolita
y esa libertad cuyo único límite es la vulgaridad de la expresión o
adj. Dicho de una persona: Que considera
las formas caducas y retóricas, lo alejan del concepto rígido de
todos los lugares del mundo como patria
escuela y resulta más lógico considerar al modernismo como
suya.
corriente o movimiento literario. Ya que el modernista aspira a la
renovación de la literatura y particularmente de la poesía, su característica principal es el refinamiento verbal,
como reacción contra el descuido de los románticos por la forma. El modernista lucha contra las imágenes
gastadas, el sentimentalismo exagerado, la vulgaridad. Busca originalidad en imágenes, metáforas y uso del
adjetivo. Inventa nuevas armonías variando los acentos de los versos; prefiere las rimas no usuales y ambiciona
que su poesía sea prolongación de la música. El deseo de perfección formal, que proviene en buena parte del
parnasianismo francés, se advierte tanto en el cuidado por pulir un verso que tenga validez por su limpidez y
pureza de línea, como por los temas de inspiración plásticas y aprovechamiento de los recursos del arte
pictórico y de las artes plásticas. El modernismo interpreta el mundo a través de sensaciones y descubre, en
consecuencia, las correspondencias sensoriales que enriquecen la expresión; la sinestesia fue, por tanto,
recurso favorito de los modernistas.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Cualidad esencial del modernismo es el cosmopolitismo, ya sea que se acerquen directamente a otros países o
que el intercambio de ideales e inquietudes se haga a través de publicaciones. Lo oriental tuvo entusiastas
propagandistas, tanto en Francia como en América; lo mismo ocurre con los motivos nórdicos o grecolatinos. El
exotismo, en general, tanto en el espacio como en tiempo, tuvo entre los modernistas muchos partidarios.
Recuperado el día 9 de abril de 2012 de http://www.ccmc.org.mx/modules/tinycontent/index.php?id=394#inicio
Azul fue un libro escrito en 1888 por el nicaragüense Rubén Darío. El libro está
compuesto por cuentos y poemas que retoman temas relacionados con la condición que
vivía el artista en una sociedad burguesa.
Responde a las preguntas sobre el texto Literatura contemporánea.
1. Según el texto, ¿con qué hecho se dio inicio al Modernismo?
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2. Menciona tres características del movimiento modernista.
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3. ¿Por qué consideras que a este movimiento se le llamó Modernismo?
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
La profesora de español les comentó que los poemas contienen figuras retóricas, que son recursos del lenguaje
literario utilizados por los poetas para embellecer las palabras y darles una mayor expresividad. También les
explicó que dentro de las principales figuras retóricas utilizadas por los poetas se encuentran las siguientes:
Figura
Retórica
Definición
Ejemplos
Antítesis
Consiste en asociar dos
pensamientos por contraste.
Metáfora
Consiste en expresar una palabra o frase con
un significado distinto al acostumbrado. “Las perlas de tu boca”
Identifica algo real con algo imaginario. Se
distingue de la comparación en que no usa el
“Tus cabellos de oro”
nexo "como".
Hipérbole
Consiste en exagerar un aspecto de la
realidad, amplificándola o disminuyéndola.
Paradoja
ideas
"Me esfuerzo por olvidarte y sin querer te
o recuerdo"
“Los niños van por el sol y las niñas por la
luna”
Consiste en unir dos ideas que parecen
imposibles de concordar.
“¡Eres más lento que una tortuga!”
“Si no vuelves a mi lado, moriré de dolor”
“Al avaro, las riquezas lo hacen más pobre”
“Sus cálidas palabras helaron mis oídos”
Comparación
Consiste en establecer una relación entre “El ladrón andaba por los tejados cual gato
dos elementos de cualidades semejantes. en la noche”
Utiliza los conectores: “como”, “cual”, “que”,
“Más negro que la noche”
o “se asemeja a”.
Reiteración
"Bate, bate, chocolate, con harina y con
Consiste en repetir una palabra, o conjunto
tomate"
de palabras, al comienzo de una frase o
verso.
“Triste, triste, triste, es mi vida errante”
Prosopopeya
"Las estrellas nos miraban, mientras la
Consiste en atribuir cualidades humanas a ciudad sonreía"
seres inanimados.
“La ciudad esperó dormida la llegada del
rey”
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Relaciona las figuras retóricas con los ejemplos correspondientes.
A) Antítesis
(
)
“Es tan corto el amor y tan largo el olvido”
B) Metáfora
(
)
“El buen lector, devora libros”
C) Hipérbole
(
)
“Claro como el agua”
D) Paradoja
(
)
"El auto se quejaba, adolorido por los años"
E) Comparación
(
)
"Tus labios, pétalos perfumados"
F) Reiteración
(
)
“Los últimos serán los primeros”
G) Prosopopeya
(
)
“Blanca, blanca, blanca como la nieve”
Cierre
En esta sesión pudiste recordar las principales características del movimiento poético del Modernismo, así
como la función y características de algunas de las figuras retóricas más usadas en la poesía.
Puedes encontrar más información sobre estos temas en los sitios que te proporcionamos a continuación.
http://www.ciudadseva.com/textos/estudios/marti/marti02.htm
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/publicaciones/publi_quepaso/rubendario.htm
http://www.telefonica.net/web2/laplazainvisible/Figuras%20retoricas%20basicas.pdf
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Evaluación
Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para
contestar la evaluación.
1. ¿Cuál de las siguientes opciones expresa cómo influyó el contexto histórico en las obras de los poetas
modernistas?
A) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el ánimo de pertenecer a la sociedad y de estar
comprometidos con la clase burguesa.
B) En sus poemas, los autores modernistas reflejan la importancia del nacionalismo y la conservación de
las costumbres de la época.
C) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el deseo de búsqueda de la originalidad a través de la
creación de formas nuevas y liberadas.
D) En sus poemas, los autores modernistas reflejan el deseo de huir del mundo real y cotidiano y buscar
un mundo más bello y expresivo.
2. Lee el siguiente fragmento del poema El fantasma y yo del poeta mexicano Amado Nervo.
Mi alma es una princesa en su torre metida,
con cinco ventanitas para mirar la vida.
Es una triste diosa que el cuerpo aprisionó,
y tu alma, que desde antes de morirte volaba,
es un ala magnífica, libre de toda traba...
Tú no eres el fantasma: ¡el fantasma soy yo!
¿Cuál de las siguientes característica del movimiento poético del Modernismo refleja el fragmento del
poema?
A)
B)
C)
D)
El Modernismo busca un acercamiento con las artes.
El Modernismo refleja un gusto por la belleza y el erotismo.
El Modernismo refleja cierta idealización del amor y la mujer.
El Modernismo refleja el rechazo de la realidad y lo cotidiano.
3. Lee el siguiente fragmento del poema Lance de Salvador Díaz Mirón.
Hasta el pecho la barba se le desliza,
como espuma de arroyo por cana y riza.
La diestra dura y fuerte, como una marra,
enseña entre uñas corvas, como de garra,
pipa roja con aire de cruenta triza.
-La mano es tan aleve como maciza.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
¿A qué figura retórica hace referencia la frase subrayada en el poema?
A)
B)
C)
D)
Metáfora.
Paradoja.
Comparación.
Reiteración.
4. Lee el siguiente fragmento del poema A la que va conmigo de Enrique González Martínez.
Iremos por la vida como dos pajarillos
que van en pos de rubias espigas, y hablaremos
de sutiles encantos y de goces supremos
con ingenuas palabras y diálogos sencillos.
¿Cuál es el esquema de la rima del fragmento anterior?
A)
B)
C)
D)
ABAB
ABBA
AABB
ABBB
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
TEMA 2. ELABORAR Y PROLOGAR ANTOLOGÍAS DE TEXTOS LITERARIOS
Bloque II
Aprendizajes esperados
 Identifica la función y características de las
Ámbito
antologías.
Literatura.

Identifica la función y características de los
Práctica social del lenguaje
prólogos.
Elaborar y prologar antologías de
textos literarios.
Introducción
Una antología consiste en una recopilación de lo más selecto o notable sobre una producción o materia
específica (cuentos, poemas, canciones, entre otros).
Como parte de las actividades de la clase de español, la profesora les dejó hacer una antología de textos
literarios y pidió que cada equipo eligiera el tema a su gusto.
Tomando en cuenta lo anterior, define tres temas sobre los que podrían realizar su antología.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo
Una antología consta de las siguientes partes:





Portada. Incluyen los datos de identificación de la misma: título, temática, nombre del antologador y
fecha.
Prólogo. Presenta las razones por las que se elaboró la antología, la justificación de la selección de
las obras que la integran, así como las características comunes entre ellas.
Índice. Describe el orden de las obras o textos contenidos en la antología.
Contenido. Presenta las obras o textos seleccionados (cuentos, poemas, canciones, leyendas, etc.).
Puede dividirse en unidades o capítulos.
Fuentes de consulta. Presenta los datos bibliográficos de las obras o textos contenidos en la
antología.
Imagina que tu equipo decidió elaborar una antología de poemas. A partir de ello, responde las siguientes
preguntas.
1. ¿Cuál sería el propósito para elaborar su antología?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
2. ¿Qué criterios utilizarían para seleccionar las obras de la antología?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
El prólogo de una antología
Consiste en un texto breve que se encuentra al inicio de la antología. En este se explican las razones por las que
se decidió elaborarla, el propósito de la misma, los criterios de selección de las obras seleccionadas, así como
las características comunes entre ellas, y algunos datos de los autores de las obras. También, a través del
prólogo, se pueden exponer aspectos importantes que el autor quiera destacar, así como hacer una invitación
al lector para disfrutar de las obras seleccionadas.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Elementos que integran el prólogo de una antología







Título
Presentación
Propósito de la antología
Criterios de selección de las obras
Características de las obras seleccionadas
Invitación a la lectura de las obras seleccionadas
Cierre
La profesora de español les mostró un ejemplo de un prólogo para que pudieran identificar los elementos que
lo integran.
Antología de los mejores relatos infantiles
Prólogo
La presente antología es un intento por reunir los relatos de algunos de los autores de la literatura infantil
colombiana. Sin embargo, al hacer un recorrido por las diferentes épocas encontramos una dificultad: el hecho
de escribir específicamente para los niños con una intención estética es un acto propio del siglo XX. Es más,
sólo en los años 30 empezamos a encontrar escritores que se plantean las letras para la niñez como algo
independiente de la pedagogía, de las intenciones didácticas, moralistas o afectivas.
Esto no quiere decir que la presente selección sólo se haya limitado a la producción contemporánea, debido a
que, de todas maneras, los niños colombianos, como todos los niños del mundo, han nutrido su espíritu y su
imaginación con diversas creaciones culturales.
Por un lado, está la rica cantera popular, fuente inagotable de mitos, leyendas, cuentos, anécdotas, juegos,
trabalenguas, retahílas, en fin, todas aquellas manifestaciones de la tradición oral que han sido recreadas en
los espacios propios del ámbito familiar cotidiano. Por otro lado, está aquella producción escrita que muchos
adultos han concebido, ya como homenaje a los niños, ya con intenciones formativas, ya por móviles afectivos,
pero que por su calidad estética y literaria y por su temática, ha alcanzado sentido y significación para los
lectores infantiles. Este inmenso corpus es lo que los teóricos de la literatura para niños han denominado
literatura ganada: es decir, aquella que aunque no fue escrita deliberadamente para los niños, ellos se la
apropiaron por la vía de la institución escolar o por las lecturas hechas en el hogar.
Aunque este libro no pretende ser un inventario historiográfico, sí ha procurado recuperar –en una búsqueda
bibliográfica cuidadosa, aunque todavía inacabada– una producción específica a través del tiempo, con varios
propósitos: uno, devolver a los pequeños lectores la literatura que les pertenece y que, a pesar del paso
implacable de los años y las épocas, podría procurarles placer estético. Otro, enriquecer su imaginario con
personajes, sentimientos, situaciones y paisajes, pertenecientes a las manifestaciones más propias de nuestra
cultura. Y por último, un propósito para el lector adulto: acercarlo a esa transformación de la noción de la
infancia que las diferentes generaciones de intelectuales, escritores y poetas han reelaborado durante los
diferentes momentos históricos.
Recuperado el día 2 de marzo de 2013, de http://www.banrepcultural.org/blaavirtual/ninos/relatoi/rela1.htm
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Lee el prólogo de la Antología de los mejores relatos infantiles y responde las siguientes preguntas.
1. ¿Cuál es el propósito de la antología?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
2. ¿Qué tipo de textos integran la antología?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
3. ¿Qué criterios utilizó el antologador para seleccionar las obras?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Cierre
En esta sesión pudiste recordar la función y las principales características de una antología y de un prólogo.
Puedes encontrar más información sobre estos temas en el sitio que te proporcionamos a continuación.
http://www.ver.ucc.mx/inve/inve/documentos/files/2_monografia.pdf
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Evaluación
Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para
contestar la evaluación.
Lee el siguiente prólogo de la Antología de Gabriela Mistral, del Centro Virtual Cervantes, y responde las
preguntas.
La selección que presentamos a continuación sobre la obra de Gabriela Mistral pretende dar cuenta del rico y
complejo universo de esta poeta chilena. Con este propósito hemos seleccionado de entre sus cinco libros —
Desolación, Ternura, Tala, Lagar y Poema de Chile— poemas que muestran las principales líneas temáticas de
su obra: el ejercicio docente, el amor hacia los niños, la maternidad frustrada, el dolor ante la muerte de sus
seres más queridos, y por supuesto los paisajes chilenos y su valle de Elqui, que la vio nacer y al que quiso
volver al morir. Es nuestro deseo que esta pequeña antología se convierta en una invitación a introducirse en el
intenso universo poético mistraliano.
Recuperado el día 2 de marzo de 2013, de http://cvc.cervantes.es/literatura/escritores/mistral/antologia/default.htm
1. ¿Cuál es el propósito de la Antología de Gabriela Mistral?
A)
B)
C)
D)
Invitar al lector a conocer las obras más importantes de Gabriela Mistral.
Presentar obras de cinco libros de Gabriela Mistral.
Dar cuenta de la riqueza y variedad temática que Gabriela Mistral maneja en sus obras.
Presentar las obras más importantes de Gabriela Mistral.
2. ¿Cuál de las siguientes opciones no corresponde a un criterio de selección de los poemas que integran la
Antología de Gabriela Mistral?
A)
B)
C)
D)
Poemas relacionados con las principales líneas temáticas de la autora.
Poemas que más han contribuido al reconocimiento de la autora.
Poemas presentes en los libros Desolación, Ternura, Tala, Lagar y Poema de Chile.
Poemas que dan cuenta de la riqueza y variedad temática de la obra de la autora.
3. La profesora de español pidió a un alumno que mencionara los elementos que integran el prólogo de una
antología. Él contestó lo siguiente:
-En el prólogo se debe incluir el propósito de la antología, los criterios de selección de las obras y una
invitación a su lectura.
¿Qué elemento relevante en la elaboración de prólogos le hizo falta incluir?
A)
B)
C)
D)
La opinión acerca de las obras seleccionadas.
El análisis de cada una de las obras seleccionadas.
La síntesis de cada una de las obras seleccionadas.
Las características de las obras seleccionadas.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
TEMA 3. ANALIZAR DIVERSOS FORMULARIOS PARA SU LLENADO
Bloque II
Aprendizajes esperados
 Identifica la función de los formularios para
Ámbito
realizar trámites.
Participación social.

Identifica requisitos de información y
Práctica social del lenguaje
documentación para
el llenado de
Analizar diversos formularios para su
formularios.
llenado.
 Identifica la función de los recursos gráficos
para dar formato a los formularios.
Introducción
Durante toda tu vida será necesario que realices diversos trámites, los cuales en su mayoría requieren la
presentación solicitudes, el llenado de formularios y/o la entrega de documentos que acrediten la
veracidad de los datos que proporcionas.
Elabora una lista de cinco trámites o servicios que requieren el llenado de formularios y menciona los
documentos que es necesario entregar para cumplir con el proceso.
No.
Trámite o servicio
Documentos requeridos
1
2
3
4
5
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo
Los formularios son formatos destinados a la realización de un trámite o a la demanda de un servicio.
Recursos gráficos de los formularios
Los recursos gráficos son elementos que permiten dar formato a los formularios para
que la información se pueda organizar y visualizar más fácilmente.
Algunos de los recursos gráficos utilizados en los formularios son títulos, recuadros,
líneas para escritura, tipografía, uso de subrayado, negrita o cursiva, entre otros.
La profesora de español les pidió que imaginaran que habían extraviado su certificado de primaria y que
investigaran los requisitos para solicitar un duplicado.
En clase, uno de tus compañeros comentó que navegando en Internet localizó los requisitos para pedir un
duplicado del certificado de primaria, así como el formato de solicitud correspondiente.
Requisitos







Formato de solicitud original (Llenar de manera completa, clara y veraz).
Fotografías en original (Una fotografía tamaño infantil reciente en blanco y negro o color, fondo gris o
blanco, vestimenta clara y formal, rostro y oídos descubiertos sin accesorios, en papel fotografico digital
semi-mate siendo opcional fotografía autoadherible).
Pago de derechos. Original (estatales conforme al ejercicio fiscal correspondiente, en original de acuerdo a
clave 85 39)
1 copia de Acta de nacimiento.
1 copia de CURP (sólo en caso de contar con ella).
1 copia de Certificado (en caso de contar con él).
1 copia de Identificación oficial (con fotografía para mayor de edad).
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
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Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Observa los requisitos para solicitar un duplicado de un certificado de primaria y contesta las preguntas.
1. ¿Ante qué dependencia debes realizar el trámite?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
2. ¿Qué documentos se solicitan para acreditar tu identidad?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Cierre
En esta sesión pudiste recordar qué es un formulario y observaste un ejemplo de los requisitos de información
y documentación necesarios para tramitar un duplicado de certificado de primaria.
En el apartado de Trámites y servicios del portal de Gobierno del estado de Guanajuato puedes consultar más
información para llevar a cabo diversos trámites.
http://www.guanajuato.gob.mx/
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Evaluación
Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para
contestar la evaluación.
1. Observa el formato para solicitar un duplicado de certificado de primaria. ¿Qué dato se pide para acreditar
la identidad del solicitante?
A)
B)
C)
D)
Folio
CURP
Domicilio
Teléfono
2. ¿Cuál de los siguientes datos debe ser llenado por el solicitante?
A)
B)
C)
D)
Fecha de recepción.
Fecha de entrega.
Nombre de quien recibe el trámite.
Nombre y firma del solicitante.
3. ¿Qué documento se debe presentar para recibir el duplicado del certificado de primaria una vez que ya se
realizó el trámite?
A)
B)
C)
D)
CURP.
Identificación oficial.
Acta de nacimiento.
Fotografía.
4. Observa el formato para solicitar un duplicado de certificado de primaria. ¿Qué recurso gráfico se utiliza
para resaltar información importante para el solicitante?
A)
B)
C)
D)
Títulos.
Recuadros.
Letras en negrita.
Subrayado.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
TEMA 4. ELABORAR INFORMES SOBRE EXPERIMENTOS CIENTÍFICOS
Bloque III
Ámbito
Estudio.
Práctica social del lenguaje
Elaborar
informes
experimentos científicos.
Aprendizajes esperados
 Identifica las partes que conforman un
informe sobre experimentos científicos.
 Reconoce las diferentes voces enunciativas
que se pueden utilizar en la redacción de
sobre
informes sobre experimentos científicos.
 Reconoce el uso de la voz pasiva para la
redacción de informes sobre experimentos
científicos.
 Diferencia entre oraciones simples y
oraciones compuestas.
 Reconoce el uso de oraciones compuestas
para
expresar
causas,
efectos
y
consecuencias.
Introducción
Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de descubrir, comprobar o demostrar
determinados fenómenos o principios científicos.
En las clases de Ciencias será necesario que realices diversos informes sobre los experimentos que
realizas, por lo que debes conocer la forma correcta de registrar la información sobre tus observaciones.
A modo de lluvia de ideas, escribe en el
diagrama el mayor número de palabras
relacionadas con las partes que debe
contener un informe de experimentos.
Informe de
experimentos
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo
Un informe de experimentos es un texto que describe detalladamente los pasos para realizar un
experimento.
Las partes que debe contener un informe de experimentos son las siguientes:
1. Datos generales
 Nombre de la escuela.
 Grado y grupo.
 Nombre del experimento.
 Nombre del alumno o de los integrantes del equipo.
 Fecha.
2. Descripción del experimento
 Introducción.
 Objetivo(s).
 Procedimiento.
 Materiales.
 Desarrollo.
 Resultados.
 Conclusiones.
3. Bibliografía.
La profesora de español les pidió que llevaran un informe de experimentos realizado en su clase de Ciencias
para revisarlo y hacer las correcciones necesarias. Uno de los equipos presentó el siguiente informe de
experimentos.
Descripción del experimento “Buenos y malos conductores de electricidad”.
Introducción
Todo material que existe en la naturaleza conduce la electricidad; sin embargo, las características de los
materiales pueden determinar si éstos son buenos o malos conductores de electricidad.
De acuerdo con su conductividad, los materiales se pueden clasificar en tres categorías:
1. Conductores. Son materiales a través de los cuales la corriente eléctrica fluye con relativa facilidad.
Metales como la plata, el cobre, el oro y el aluminio se cuentan entre los mejores conductores.
2. Aislantes. Son materiales que ofrecen una mayor oposición al paso de la corriente eléctrica, tales como
el vidrio, el plástico, la goma y la porcelana.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
3. Semiconductores. Son materiales que se consideran pobres conductores de electricidad, como el silicio.
Objetivo
Procedimiento
Materiales





Un foco.
Una pila de 1.5 (tamaño AA).
Cables de cobre.
Cinta de aislar.
Materiales de prueba: moneda, vidrio, lápiz, plástico, agua simple.
Desarrollo
a) Al inicio, montamos un circuito con el foco, la pila y los cables de cobre.
b) Después, cada uno de los materiales fueron probados para comprobar si eran buenos o malos
conductores de electricidad.
c) El primer material probado fue la moneda. Ésta sí condujo la electricidad, porque es un metal.
d) El segundo material probado fue el vidrio y no condujo la electricidad. El profesor nos explicó que el
vidrio no conduce la electricidad debido a que es un material aislante.
e) El tercer material probado fue el lápiz, el cual condujo la electricidad levemente. El profesor nos explicó
que el grafito es el material del que está hecho el lápiz, el cual tiene una conductividad eléctrica baja,
pero puede aumentar con la temperatura.
f) El cuarto material probado fue el plástico. El plástico, que es un aislante, tampoco condujo la
electricidad.
g) El último material probado fue el agua simple, la cual no condujo la electricidad. El profesor nos
comentó que si se agrega suficiente sal al agua, entonces ésta puede conducir la electricidad, ya que
con la sal cambia su composición. Realizamos este paso y se comprobó que la solución salina sí condujo
la electricidad.
Resultados
Una vez que todos los materiales fueron probados, registramos los datos en una tabla para clasificar los
materiales empleados como buenos o malos conductores de electricidad.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Material
Moneda
Vidrio
Lápiz (Grafito)
Plástico
Agua simple
Solución salina
Características
Metal
Aislante
Mineral (carbón)
Aislante
Líquido
Agua con sal
Cuadernillo de apoyo 2013
Buen conductor
X
Mal conductor
X
X
X
X
X
Conclusiones
Con este sencillo experimento pudimos clasificar los materiales como buenos y malos conductores de
electricidad.
El vidrio y el plástico no condujeron la electricidad por ser materiales aislantes. Debido a sus características,
estos materiales pueden ser utilizados para fabricar ropa o accesorios para prevenir accidentes al tener
contacto con la corriente eléctrica.
La moneda es un metal, por lo que sí condujo la electricidad. El grafito y la sal son materiales que proceden
de minerales, por lo que son buenos conductores de electricidad.
Bibliografía
Buenos y malos conductores
http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Quimica/INTERACTIVOS/3cq_b02_
t01_s04_interactivo/index.html
Materiales conductores
http://ayudaelectronica.com/materiales-conductores/
Electricidad.
http://electrico.scienceontheweb.net/conductores.html
Al observar el informe, la profesora les explicó que los informes de experimentos pueden ser redactados
con diferentes voces enunciativas, como son:



Primera persona del singular. Se utiliza cuando la persona redacta de manera individual su informe.
Ejemplos: observé, realicé, concluyo.
Primera persona del plural. Se utiliza cuando se realiza un informe de manera colectiva, es decir,
cuando varias personas intervienen en su elaboración. Ejemplos: observamos, realizamos,
concluimos.
Forma impersonal. Esta forma no tiene un sujeto definido. Se acompaña del elemento “se”.
Ejemplos: se observó, se realizó, se concluye.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Completa la siguiente tabla de verbos en las tres voces enunciativas, utilizando el tiempo pretérito. Fíjate en el
ejemplo.
Verbo
Comprobar
Realizar
Utilizar
Agregar
Primera persona del
singular
Comprobé
Primera persona del
plural
Comprobamos
Forma impersonal
Se comprobó
La profesora también les comentó que en la redacción de los informes de experimentos se puede
utilizar la voz pasiva, la cual se basa en la siguiente construcción:
Verbo ser + Participio del verbo
En el caso de la voz pasiva, el objeto directo de una oración en voz activa se convierte en el sujeto de
la oración construida en voz pasiva.
Por ejemplo:
Voz activa:
La moneda condujo la electricidad.
Objeto directo: ¿Qué fue conducido? La electricidad.
Voz pasiva:
La electricidad fue conducida por la moneda.
Sujeto
Verbo ser + Participio
Convierte las siguientes oraciones de voz activa a voz pasiva.
Voz activa
La sal cambia la composición del agua.
Voz pasiva
Los alumnos realizaron el informe del experimento.
Los alumnos registraron los resultados en una tabla.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Finalmente, la profesora les explicó que para realizar las explicaciones del procedimiento desarrollado
durante un experimento es necesario utilizar oraciones compuestas, ya que éstas permiten expresar
causas, efectos y consecuencias.
Una oración simple es aquella que tiene un solo sujeto y un solo verbo. Una oración compuesta es aquella que
tiene uno o más sujetos y dos o más verbos, es decir, se compone de dos o más oraciones simples.
Por ejemplo:
Oración simple:
El vidrio no conduce la electricidad.
Sujeto
Oración simple:
Este material es un aislante.
Sujeto
Oración compuesta:
Verbo
Verbo
El vidrio no conduce la electricidad porque este material es un aislante.
Las oraciones compuestas se clasifican de la siguiente manera:
Tipo de oración
Oración compuesta
coordinada
Oración compuesta
subordinada
Descripción
Nexos utilizados
Está compuesta por dos o Los nexos que unen a
más oraciones simples las oraciones pueden
que están relacionadas, ser explícitos o no.
pero no depende la una
de la otra, de manera que
si son separadas no se
pierde el sentido.
Está compuesta por dos o
más oraciones simples,
en la que una de ellas se
subordina a la otra, de
manera que si se elimina
la oración principal la
subordinada pierde el
sentido.
Ejemplo
La moneda conduce la
electricidad
porque
este
material es un metal.
Oración 1: La moneda
conduce la electricidad.
Oración 2: Este material es un
metal.
Los
nexos
que La moneda, que es un metal,
comúnmente utilizan las conduce la electricidad.
oraciones subordinadas
son: que, el cual, la cual, Oración principal: La moneda
quien, cuyo, cuya...
conduce la electricidad.
Oración subordinada: Es un
metal
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Las oraciones compuestas también se pueden clasificar en causales, consecutivas, condicionales, adversativas
y distributivas, dependiendo del tipo de nexo o conector que utilicen.
Tipo de oración
Causal
Consecutiva
Condicional
Adversativa
Distributiva
Descripción
Nexos utilizados
Utiliza un conector que Porque, debido a, ya
indica causa.
que, puesto que, a
causa de…
Utiliza un conector que Por consiguiente, por lo
indica consecuencia.
tanto, así que, como
consecuencia, luego…
Utiliza un conector que Si, cuando…
indica condición.
Utiliza un conector que No
obstante,
sin
indica oposición.
embargo, aunque, sino,
pero, mas…
Utiliza un conector que Unas veces… otras
indica distribución.
veces; unos… otros;
bien… bien; sea… sea.
Ejemplo
La moneda conduce la
electricidad debido a que es
un metal.
Al agua simple se le agregó sal,
por consiguiente cambió su
composición y pudo conducir
la electricidad.
Si el grafito se calienta,
conduce mejor la electricidad.
Todo material que existe en la
naturaleza
conduce
la
electricidad, pero no todos lo
hacen en la misma proporción.
Unos materiales conducen
bien la electricidad, otros no.
Escribe un ejemplo de cada tipo de oración compuesta de acuerdo al tipo de nexo o conector que utilizan.
Causal
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Consecutiva
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Condicional
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Adversativa
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Distributiva
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Cierre
En esta sesión pudiste recordar los elementos para realizar un informe de experimentos, los tipos de voces
enunciativas utilizadas para su redacción, el uso de la voz pasiva y la forma en que se clasifican las oraciones
compuestas.
Puedes encontrar más información sobre estos temas en los sitios que te proporcionamos a continuación.
http://www.profesorenlinea.cl/fisica/AislantesyConducElectricos.htm
http://eljuego.free.fr/Fichas_gramatica/FG_pasiva.htm#inicio
http://www.aplicaciones.info/lengua/morfo23.htm
http://cprcalat.educa.aragon.es/VERBOS/voz.htm
http://www.latinamericalinks.com/syntax.htm
http://centros5.pntic.mec.es/cpr.de.ciudad.real/lengua/Oracom.html
Evaluación
Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para
contestar la evaluación.
1. El reporte de experimento presentado por tus compañeros no especificaba el objetivo. ¿Cuál de las
siguientes opciones corresponde al objetivo del informe?
A)
B)
C)
D)
Identificar los materiales que son buenos y malos conductores de electricidad.
Elaborar un circuito eléctrico para probar diversos materiales.
Identificar las características de los materiales que son buenos conductores de electricidad.
Identificar los materiales que son malos conductores de electricidad.
2. ¿Cuál de las siguientes oraciones corresponde a la forma impersonal del verbo?
A)
B)
C)
D)
Montamos un circuito con el foco, la pila y los cables de cobre.
Se comprobó que la solución salina sí condujo la electricidad.
Registramos los datos en una tabla para clasificar los materiales empleados.
Comprobé que el plástico es un material aislante.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
3. ¿Cuál de las siguientes oraciones se encuentra en voz pasiva?
A) Los alumnos probaron los materiales para comprobar si eran buenos o malos conductores de
electricidad.
B) El experimento consistió en probar los materiales para comprobar si eran buenos o malos conductores
de electricidad.
C) El experimento se realizó para comprobar si los materiales eran buenos o malos conductores de
electricidad.
D) Los materiales fueron probados por los alumnos para comprobar si eran buenos o malos conductores
de electricidad.
4. Después de realizar el experimento, el equipo concluyó que:
“El vidrio y el plástico no conducen la electricidad porque estos materiales son aislantes”.
¿De qué tipo de oración se trata?
A)
B)
C)
D)
Oración simple.
Oración coordinada.
Oración subordinada.
Oración principal.
5. El profesor les explicó que:
“Al agua simple se le agregó sal, por consiguiente cambió su composición y pudo conducir la electricidad.
¿De qué tipo de oración se trata?
A)
B)
C)
D)
Oración coordinada causal.
Oración coordinada condicional.
Oración subordinada consecutiva.
Oración subordinada adversativa.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
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TEMA 5. ANALIZAR OBRAS LITERARIAS DEL RENACIMIENTO PARA CONOCER LAS CARACTERÍSTICAS DE LA
ÉPOCA
Bloque III
Aprendizajes esperados
 Identifica las características de la literatura
Ámbito
del Renacimiento.
Literatura.

Infiere
algunas
características
del
Práctica social del lenguaje
Renacimiento a partir de la lectura de una
Analizar
obras
literarias
del
obra literaria de la época.
Renacimiento para conocer las
 Identifica algunos ejemplos de variantes
características de la época.
lingüísticas del español en las distintas
épocas.
Introducción
Se conoce como Renacimiento a la época que dio fin a la Edad Media y que marcó un movimiento cultural
en Europa durante el siglo XVI. Esta época se caracterizó por la renovación del conocimiento, el arte y la
ciencia.
Responde a las siguientes preguntas relacionadas con el Renacimiento. Para contestarlas, tendrás que realizar
una breve investigación sobre el tema.
1. ¿En qué país europeo se considera que inició el Renacimiento?
_____________________________________________________________________________________
2. ¿Qué invento favoreció el desarrollo de la cultura escrita durante la época renacentista?
_____________________________________________________________________________________
3. ¿Qué movimiento intelectual se privilegió durante el Renacimiento?
_____________________________________________________________________________________
4. ¿Cuáles fueron algunos de los autores literarios que destacaron durante el Renacimiento en España?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Desarrollo
La literatura del Renacimiento se caracterizó por los siguientes elementos:
1. Liberación de la carga moralizante de la Edad Media y tratamiento de lo religioso con un carácter
más espiritual.
2. Propagación de los valores universales a través de la enseñanza (prosa didáctica).
3. Divulgación de la novela como forma literaria, desarrollando un modelo de estructura más
compleja.
4. Recreación irónica, sarcástica y burlesca de la herencia literaria de la Edad Media (novelas de
caballería).
La profesora de español les presentó un fragmento de la obra El Lazarillo de Tormes, para que lo leyeran y
conocieran las características generales de la obra: los personajes, el ambiente en el que se desarrolla la
narración y las circunstancias históricas que permiten entender la obra.
El Lazarillo de Tormes fue la primera novela picaresca de la literatura española, la cual
fue publicada en 1554 (siglo XVI).
En la obra, Lázaro o Lazarillo de Tormes (llamado así porque nació en el río Tormes que
pasa por Salamanca) cuenta las aventuras y desventuras de su desgraciada vida.
La obra, escrita con un lenguaje irónico y sarcástico, está llena de anécdotas divertidas
que consiguen crear una cómica historia en la que, al mismo tiempo, se satiriza y
ridiculiza la sociedad española del siglo XVI y, especialmente, al clero.
Su autor es anónimo, posiblemente porque nadie se habría atrevido a firmar una obra
tan polémica que criticaba ferozmente la sociedad de la época. La novela estuvo
censurada hasta el siglo XIX.
Adaptación de “La vida de Lazarillo de Tormes y de sus fortunas y adversidades”. Recuperado el día 11 de abril de 2012,
de http://www.elhuevodechocolate.com/cuentos/lazaro.htm
Tratado Primero
Cuenta Lázaro su vida, y cuyo hijo fue
Pues sepa V.M. ante todas cosas que a mí llaman Lázaro de Tormes, hijo de Tomé González y de Antona Pérez,
naturales de Tejares, aldea de Salamanca. Mi nacimiento fue dentro del río Tormes, por la cual causa tomé el
sobrenombre, y fue desta manera. Mi padre, que Dios perdone, tenía cargo de proveer una molienda de una
aceña, que está ribera de aquel río, en la cual fue molinero más de quince años; y estando mi madre una noche
en la aceña, preñada de mí, tomóle el parto y parióme allí: de manera que con verdad puedo decir nacido en el
río. Pues siendo yo niño de ocho años, achacaron a mi padre ciertas sangrías mal hechas en los costales de los
que allí a moler venían, por lo que fue preso, y confesó y no negó y padeció persecución por justicia. Espero en
Dios que está en la Gloria, pues el Evangelio los llama bienaventurados.
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Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
En este tiempo se hizo cierta armada contra moros, entre los cuales fue mi padre, que a la sazón estaba
desterrado por el desastre ya dicho, con cargo de acemilero de un caballero que allá fue, y con su señor, como
leal criado, feneció su vida.
Mi viuda madre, como sin marido y sin abrigo se viese, determinó arrimarse a los buenos por ser uno dellos, y
vínose a vivir a la ciudad, y alquiló una casilla, y metióse a guisar de comer a ciertos estudiantes, y lavaba la
ropa a ciertos mozos de caballos del Comendador de la Magdalena, de manera que fue frecuentando las
caballerizas. Ella y un hombre moreno de aquellos que las bestias curaban, vinieron en conocimiento. Éste
algunas veces se venía a nuestra casa, y se iba a la mañana; otras veces de día llegaba a la puerta, en achaque
de comprar huevos, y entrábase en casa. Yo al principio de su entrada, pesábame con él y habíale miedo,
viendo el color y mal gesto que tenía; mas de que vi que con su venida mejoraba el comer, fuile queriendo
bien, porque siempre traía pan, pedazos de carne, y en el invierno leños, a que nos calentábamos. De manera
que, continuando con la posada y conversación, mi madre vino a darme un negrito muy bonito, el cual yo
brincaba y ayudaba a calentar. Y acuérdome que, estando el negro de mi padre trebejando con el mozuelo,
como el niño vía a mi madre y a mí blancos, y a él no, huía dél con miedo para mi madre, y señalando con el
dedo decía: "¡Madre, coco!".
Respondió él riendo: "¡Hideputa!"
Yo, aunque bien mochacho, noté aquella palabra de mi hermanico, y dije entre mí:
"¡Cuántos debe de haber en el mundo que huyen de otros porque no se ven a sí mesmos!"
Recuperado el día 11 de abril de 2012, de http://albalearning.com/audiolibros/anonimo_lazarillo-1.html
Responde las siguientes preguntas relacionadas con la obra El Lazarillo de Tormes y realiza las actividades que
se te piden.
1. Encierra en un círculo las palabras que se utilizan de distinta manera en la época actual. Ejemplo: desta.
2. Menciona las características del personaje el Lazarillo de Tormes.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
3. ¿Qué circunstancia histórica de la época en que se desarrolló la obra trajo como consecuencia la muerte
del padre del Lazarillo de Tormes?
___________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Página 29
Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
4. De acuerdo al contexto, ¿qué significado crees que tienen las palabras que se encuentran subrayadas en el
texto?
Aceña
________________________________________________________________________
Acemilero
________________________________________________________________________
Feneció
________________________________________________________________________
Los arcaísmos son expresiones o palabras que se encuentran en desuso, debido a que
resultan anticuadas para una época o momento determinado.
Ejemplos:
Denantes: tiempo atrás
Maledicencia: maldad
Mesmo: mismo
Tunda: paliza
Cierre
En esta sesión pudiste recordar las características del Renacimiento y de la literatura de esa época.
Puedes encontrar más información sobre este tema en los sitios que te proporcionamos a continuación.
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?temaclave=1199
http://albalearning.com/audiolibros/anonimo_lazarillo.html
http://www.rinconcastellano.com/biblio/renacimiento/index.html
http://literatura4c.wikispaces.com/Contexto+hist%C3%B3rico+del+Renacimiento
http://www.telefonica.net/web2/tabernadepicalagartos/hotpotatoes/literatura/n
arracion/web/index2.htm
Página 30
Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
Evaluación
Indicaciones. Elige la opción que corresponde a la respuesta correcta. Utiliza la hoja de respuestas para
contestar la evaluación.
Lee el siguiente fragmento de El Lazarillo de Tormes.
“Pues sepa V.M. ante todas cosas que a mí llaman Lázaro de Tormes, hijo de Tomé González y de Antona Pérez,
naturales de Tejares, aldea de Salamanca”.
1. Según el contexto, ¿qué significa la palabra naturales?
A)
B)
C)
D)
Nativos.
Comunes.
Humildes.
Hijos.
2. ¿Cuál de las siguientes palabras del texto corresponde a un arcaísmo?
A)
B)
C)
D)
Molinero.
Fenecer.
Preñada.
Mozo.
3. ¿A qué subgénero narrativo corresponde la obra El Lazarillo de Tormes?
A)
B)
C)
D)
Cuento.
Cantar épico.
Novela.
Leyenda.
4. ¿Qué circunstancia histórica rodeó la muerte del padre del Lazarillo de Tormes?
A)
B)
C)
D)
La conquista del territorio español.
El destierro de los cristianos.
El desarrollo de la Cruzadas.
La lucha de los españoles contra los moros.
5. Según el fragmento, el Lazarillo de Tormes es una persona de condición…
A)
B)
C)
D)
Humilde.
Acaudalada.
Endeudada.
Esclavizada.
Página 31
Desarrollo de Habilidades Comunicativas. 3er. Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
SECCIÓN DE RESPUESTAS
Tema 1
Actividad 2
A, C, E, G, B, D, F
Evaluación
1. D
2. C
3. C
4. B
Tema 2
Evaluación
1. C
2. B
3. D
Tema 3
Evaluación
1. B
2. D
3. B
4. C
Tema 4
Actividad 1
1. Realicé, realizamos, se realizó.
2. Utilicé, utilizamos, se utilizó.
3. Agregué, agregamos, se agregó.
Actividad 2
1. La composición del agua es cambiada por la sal.
2. El informe del experimento fue realizado por
los alumnos.
3. Los resultados fueron registrados por los
alumnos en una tabla.
Evaluación
1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
Tema 5
Introducción
1. En Italia.
2. La imprenta.
3. El Humanismo.
4. Garcilaso de la Vega, Cristóbal de Castillejo,
Juan Boscán, San Juan de la Cruz, Fray Luis de
León y Miguel de Cervantes.
Evaluación
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
Página 32
SECCIÓN DE
HABILIDADES
MATEMÁTICAS
HOJA DE RESPUESTAS HABILIDADES MATEMÁTICAS
Nombre
Escuela
Grado
Grupo
Instrucciones:
Contesta las preguntas de la evaluación de cada tema presentado, rellenando con lápiz el círculo
que corresponde a la respuesta correcta.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
A
TEMA 1
B
C
D




















A
TEMA 2
B
C
D




















A
TEMA 3
B
C
D




















No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
A
TEMA 4
B
C
D




















A
TEMA 5
B
C
D




















Desarrollo de Habilidades Matemáticas 3er Grado de Secundaria
Cuadernillo de apoyo 2013
TEMA 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Bloque II
Eje temático: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
Contenido: Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
Aprendizaje esperado:
Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.
Introducción:
Juan va a ir de campamento con sus compañeros de la escuela y su primo Chucho le ha prestado
una casa de campaña triangular, sólo que le ha comentado que en el último campamento
extravió la varilla frontal que sostiene la entrada de la casa, por lo que es necesario mandar
fabricar una nueva.
Juan necesita calcular la altura de la casa para saber el tamaño de la varilla que ocupa, para ello debe considerar
la medida de la base y los lados del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña. Si la base de
dicho triángulo mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7 metros, ¿de qué tamaño debe
Juan mandar fabricar la varilla?
Desarrollo:
Observa que en el planteamiento anterior se requiere calcular la altura de un triángulo isósceles
a partir del conocimiento de la medida de sus lados. Esto es posible gracias a un teorema
matemático muy famoso, el Teorema de Pitágoras. A continuación te explicamos este teorema
y te presentamos una forma divertida de demostrarlo, para finalmente hacer usos de él en la
solución de ejercicios y problemas.
Definición y clasificación de triángulos
El triángulo es un polígono determinado por tres segmentos de rectas denominados
lados y tres puntos no alineados denominados vértices. Dos lados y un vértice
determinan un ángulo interior del triángulo, para un total de tres ángulos interiores. En
la figura se muestra el triángulo ABC y éste se denota como ABC .
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Recuerda
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h
b
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La altura h de un triángulo es un segmento de recta que parte de uno de sus vértices y
llega al lado opuesto formando un ángulo recto con éste. Al lado opuesto sobre el que se
traza la altura se le conoce como base del triángulo y se denota como b . En un triángulo
isósceles, la altura divide a la base en dos partes iguales.
El triángulo rectángulo
Todo triangulo con un ángulo “recto” (mide 90°), se conoce como triángulo rectángulo.
Como consecuencia de esto, todos los triángulos rectángulos tienen dos ángulos agudos
cuya suma siempre es igual a 90°. El lado opuesto al ángulo recto se conoce como
hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos.
B
c
a
C
A
b
En el triángulo de arriba, C es el ángulo recto, A y B son ángulos agudos, c es la hipotenusa, mientras que a y
b son los catetos.
Se acostumbra a denotar un ángulo recto con dos pequeñas rectas paralelas a cada lado del ángulo recto que se
unen formando un pequeño cuadro con el vértice.
El teorema de Pitágoras
Este teorema, cuyo enunciado y aplicación práctica ya era conocida en las culturas babilónica y egipcia y cuya
demostración se atribuye a Pitágoras (s. VI a. C.), es quizás el teorema matemático más reconocido debido a que
establece la relación que existe entre los lados de uno de los triángulos más estudiados y que más aparecen en
nuestro entorno, el triángulo rectángulo.
Hay quienes ponen en duda que este teorema lo haya demostrado por primera vez Pitágoras (aproximadamente
585 – 500 a.C.) pues existe evidencia de documentos más antiguos a la Escuela Pitagórica en los cuales se
bosquejan elementos de los que se mencionan en tan famoso teorema.
Pero realmente lo importante no es quién o quiénes lo demostraron por primera vez, sino aprenderlo y
emplearlo como una herramienta matemática para la solución de problemas.
El Teorema de Pitágoras tienen un significado fundamentalmente geométrico y
el enunciado original más o menos establecía que:
“En todo triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”.
B
a
Actualmente es común que lo encontremos escrito como sigue:
c
b
C
A
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos”.
En cualquiera de los dos casos y de acuerdo con el triángulo de arriba, podemos escribir este teorema en
términos algebraicos como:
c 2  a 2  b2
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Podemos verificar la validez de los enunciados anteriores construyendo varios triángulos rectángulos, midiendo
sus lados y efectuando las operaciones y la comparación indicadas en la fórmula. Pero si queremos adquirir un
grado de certeza absoluto, necesitamos apoyarnos en una demostración.
Demostración del Teorema de Pitágoras con el rompecabezas de Perigal
Al matemático inglés Henry Perigal (1801-1898), se le atribuye una ingeniosa comprobación del Teorema de
Pitágoras que enunciamos a continuación:
"Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro y se trazan dos rectas, una
paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido
sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa”.
Para realizar la comprobación, realiza el siguiente procedimiento con el apoyo de un juego de geometría:
B
1) En una hoja dibuja un triángulo rectángulo de medidas arbitrarias, asegurándote de
que cada lado del triángulo ( a, b, c ) tenga diferente medida. Puedes tomar como
a
c
modelo el de la figura de la derecha.
b
2) En cada uno de los catetos ( a y b ) y en la hipotenusa ( c ), traza un cuadrado cuyos
A
C
lados midan igual que los catetos y la hipotenusa, respectivamente.
3) Determina el punto de intersección de las diagonales del cuadrado mayor construido sobre el mayor de los
catetos (cateto b ).
4) Traza una recta paralela a la hipotenusa y que pase por el punto determinado en el paso 3. Enseguida traza
una recta perpendicular a la hipotenusa y que pase por el punto determinado en el paso 3.
Paso 3
Paso 2
B
B
a
B
a
c
b
C
Paso 4
A
a
c
b
C
A
c
b
C
A
5) Recorta el cuadrado del cateto a (verde) y las 4 piezas formadas en el cuadrado del cateto b (morado).
Acomódalas de manera que cubran exactamente el cuadrado trazado sobre la hipotenusa c (rojo).
Con esto se demuestra la validez del Teorema de Pitágoras para cualquier triángulo rectángulo. Este teorema
nos permite conocer la medida de uno de los lados del triángulo a partir de las medidas de los otros dos lados y,
en general, podemos encontrarnos con cualquiera de las dos siguientes situaciones:
A) Encontrar la hipotenusa cuando se conocen los dos catetos.
B) Encontrar un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto.
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Veamos un par de ejemplos:
De acuerdo con la información presentada, encontrar el valor del lado que falta en los triángulos siguientes.
A)
B)
A) Observa que en el triángulo rectángulo mostrado, falta indicar el valor del lado que
está enfrente del ángulo recto, es decir, la hipotenusa. Entonces, si designamos a  9 y
b  12 , por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la hipotenusa mediante
el desarrollo de la derecha, obteniendo como resultado que c  15 . De esta forma, hemos
encontrado la hipotenusa a partir del conocimiento de los dos catetos.
c2  a 2  b2
B) Observa que en el triángulo rectángulo mostrado, falta indicar el valor de uno de los
lados que forman el ángulo recto, es decir, un cateto. Entonces, si designamos b  8 y
c  11 , por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del cateto que falta
mediante el desarrollo de la derecha, obteniendo como resultado que a  7.55 . De esta
forma, hemos encontrado un cateto a partir del conocimiento de la hipotenusa y el otro
cateto.
c2  a 2  b2
Actividad 1
c  a 2  b2
c  92  122
c  225
c  15
a 2  c2  b2
a  c2  b2
a  112  82
a  7.55
Tomando como referencia el triángulo de la derecha y de acuerdo con los datos que
se proporcionan, calcula el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes
ejercicios.
1. Si a  6 y b  8 , ¿Cuánto vale c ?
2. Si a  9 y b  12 , ¿Cuánto vale c ?
3. Si a  12 y c  20 , ¿Cuánto vale b ?
4. Si b  20 y c  25 , ¿Cuánto vale a ?
Ahora que hemos estudiado un poco los triángulos rectángulos y la forma en que se relacionan sus lados por
medio del teorema de Pitágoras, estamos en posibilidad de resolver la situación planteada en la introducción.
Juan va a ir de campamento con sus compañeros de la escuela y su primo Chucho le ha prestado una casa de campaña
triangular, sólo que le ha comentado que en el último campamento extravió la varilla frontal que sostiene la entrada de
la casa, por lo que es necesario mandar fabricar una nueva.
Juan necesita calcular la altura de la casa para saber el tamaño de la varilla que ocupa, para ello debe considerar la
medida de la base y los lados del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña. Si la base de dicho
triángulo mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7 metros, ¿de qué tamaño debe Juan mandar
fabricar la varilla?
Ya hemos comentado que para resolver el problema se requiere calcular la altura de un triángulo isósceles a
partir del conocimiento de la medida de sus lados y que esto es posible gracias al teorema de Pitágoras, veamos
cómo hacerlo.
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Si observas un poco, notarás que al trazar la altura de cualquier
triángulo, se forman dos triángulos rectángulos más pequeños. En el
caso de los triángulos equiláteros e isósceles, los triángulos formados
son congruentes debido a que la altura biseca (parte a la mitad) uno
de los ángulos y divide en dos partes iguales el lado opuesto (la base),
como se muestra en los triángulos de la derecha.
1.7
m
h
0.8 m
1.6 m
Isósceles
Equilátero
Para el caso del triángulo isósceles que forma la entrada de la casa de campaña,
tenemos que la base mide 1.6 metros y cada uno de sus dos lados restantes mide 1.7
metros. Si trazamos la altura, que correspondería a la longitud de la varilla que se
debe mandar fabricar nos queda un triángulo como el de la figura de la izquierda.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la
altura tenemos que:
(1.7 m) 2  (0.8 m) 2  h 2
h 2  (1.7 m) 2  (0.8 m) 2
h  (1.7 m) 2  (0.8 m) 2
h  2.25 m 2
h  1.5 m
Y de esta manera determinamos que Juan debe mandar fabricar una varilla de 1.5 metros de longitud.
Cierre:
En este tema hemos hecho un repaso breve sobre los triángulos rectángulos y la forma en que
el teorema de Pitágoras establece una relación muy importante para la longitud de sus lados. Te
presentamos una forma divertida de demostrar este famoso teorema matemático y también
mostramos su utilidad en la solución de problemas. A continuación te presentamos un
esquema en el que se resumen las tres formas en que podemos ocupar la fórmula que establece
el teorema de Pitágoras.
c
a
b
c  a 2  b2
2
c
a
b
a  c 2  b2
c
a
c
a
b
b
c  a b
2
2
b  c2  a2
Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.
Para saber más…
http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf
http://www.desarrollomultimedia.cl/digitales_html/odea/matematica/recursos/MIDIENDO_CON_LA_
AYUDA_DE_PITAGORAS/LearningObject/content/io_7.swf?version=0.77
http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/identify_when_used/nav.swf?soundVal=true
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Evaluación:
Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.
Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la
respuesta correcta de la situación planteada.
1. En la siguiente figura se muestra la vista superior del
diseño de un escritorio. Selecciona la opción de
respuesta que corresponda con el valor de la longitud
en centímetros del lado L del rectángulo.
A) 69
4. Se está construyendo una palapa octagonal y para
sostener el techo se van utilizar varillas de acero. De
acuerdo con la figura mostrada, selecciona la opción
de respuesta que corresponda al valor en metros de la
longitud de las varillas que se deberán emplear para la
construcción de la palapa.
B) 74
A) 2.1
C) 87
B) 2.6
D) 92
C) 3.3
D) 3.8
2. Miguel quiere poner una mica rectangular a su
celular para que no se le raye la pantalla. De acuerdo
con la figura mostrada, selecciona la opción de
respuesta que corresponda al valor en pulgadas de la
altura h del rectángulo que debe cortar para elaborar
5. Se está desarrollando el bosquejo de una cabaña de
la mica.
madera y se desea saber el tamaño que deben tener
A) 3.3
unos grandes troncos de madera que formarán el
techo de la entrada a la cabaña. De acuerdo con la
B) 3.8
figura mostrada, selecciona la opción de respuesta que
corresponda al valor en metros de la longitud de los
C) 4.1
troncos que se deberán emplear para la construcción
del techo de la cabaña.
D) 4.6
0.
5
3. Se desea utilizar una escalera que mide 3 metros
para subir a una barda que tiene 2.6 metros de alto. Si
al colocar la escalera ésta forma un triángulo
rectángulo con al suelo y la barda, ¿a qué distancia de
la barda se encuentra apoyada la escalera sobre el
piso?
m
A) 4.5
Tronco
B) 5.0
C) 5.5
D) 6.0
A) 1.5
B) 2.0
C) 2.7
D) 3.0
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4m
3m
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TEMA 2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Bloque III
Eje temático: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
en la resolución de problemas.
Aprendizaje esperado:
Resuelve problemas que impliquen el análisis de la relación que existe entre las
medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes.
Introducción:
Tales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia que vivió entre los siglos VI y V a.C., consiguió
de una manera ingeniosa calcular la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para hacerlo, Tales se
valió únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante.
Con estos sencillos instrumentos hizo el cálculo considerando que si colocaba su bastón de manera vertical, la
altura se éste y su sombra proyectada, guardarían una proporción con la sombra de la propia pirámide y la
altura de ésta. Lo anterior es la aplicación misma de uno de los tres criterios para determinar la semejanza de
dos triángulos. ¿Puedes identificar y describir el criterio de semejanza de triángulos en el que se basó Tales de
para calcular la altura de la pirámide?
Para contestar la pregunta anterior es necesario que conozcas los tres criterios de semejanza de triángulos y que
sepas distinguir las diferencias entre lo que plantea cada uno de éstos. A continuación te presentamos algunos
conceptos importantes relacionados con la semejanza en triángulos, para posteriormente abordar el tema de los
criterios de semejanza de triángulos.
Desarrollo:
En matemáticas, cuando dos figuras están “hechas a escala” se dice que son semejantes. A
continuación nos enfocaremos a analizar la semejanza de un tipo de polígono muy especial, el
triángulo.
En primer lugar recordaremos dos conceptos importantes para la semejanza, el concepto de congruencia y el
concepto de proporción. Posteriormente, definiremos lo que es la semejanza de triángulos y describiremos los
criterios en los que nos podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. Finalmente
mostraremos cómo uno de los matemáticos más grandes de la historia usó estos conocimientos en una
situación de la vida real.
Congruencia y proporción en triángulos
Antes de presentarte la definición de triángulos semejantes, veamos dos conceptos importantes para
comprender este tema, estos son los conceptos de congruencia y proporción en triángulos.
Dos triángulos son congruentes si poseen igual forma y tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos,
la congruencia de dos triángulos significa que hay tres pares de lados correspondientes congruentes y tres
pares de ángulos correspondientes congruentes.
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Recuerda
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En matemáticas una proporción es la igualdad de dos razones. Por ejemplo las fracciones
razones mientras que
3
5
3
5
y
6
10
representan dos
 106 representa una proporción debido a que el valor de ambas razones es el mismo (0.6).
Una razón es un cociente entre dos cantidades y el valor de ese cociente se llama valor de la razón. La razón
b
de “b es a c” puede expresarse como .
c
Al comparar dos triángulos, podemos establecer tres razones
respecto a la medida de sus lados correspondientes. En la figura
de la derecha, los tres pares de lados correspondientes son AB
y A´B´ ; BC y B´C´ ; AC y A´C´ . Si las razones entre los lados
correspondientes de dos triángulos tienen el mismo valor,
entonces decimos que los triángulos tienen lados
proporcionales.
Recuerda
B´
B
A´
A
C
C´
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si poseen igual forma y diferente tamaño. Desde el punto de vista de sus
elementos, la semejanza de dos triángulos significa que los tres pares de ángulos correspondientes son
congruentes y que los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.
Así por ejemplo, al referirnos a los dos triángulos semejantes de la figura de arriba al expresar ABC MNP
queremos decir que A  A´ ,
Nota que utilizamos el símbolo
B  B´ ,
C  C´ y que
AB
BC
AC


.
A´B´ B´C´ A´C´
para indicar la semejanza de dos triángulos.
Si las razones de proporcionalidad entre los pares de lados correspondientes de dos triángulos son iguales a 1, los
dos triángulos resultan ser congruentes. En realidad, la congruencia de triángulos es un caso particular de la
semejanza de triángulos.
Algo interesante que ocurre es que para asegurar la semejanza de dos triángulos no es necesario comprobar que
cada pareja de ángulos correspondientes son congruentes y además que sus lados correspondientes son
proporcionales ya que, según explicamos a continuación, el hecho de identificar sólo algunas propiedades hace
posible concluir la semejanza o no semejanza de dos triángulos.
Criterios para establecer la semejanza de triángulos
Podemos establecer condiciones mínimas para asegurar si dos triángulos son o no semejantes. Basta con que
revisemos si los dos triángulos cumplen con cualquiera de los tres siguientes criterios:
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1. Criterio AA: Si dos ángulos de un triángulo son iguales a
dos ángulos correspondientes de otro triangulo, entonces
los triángulos son semejantes.
B´
B
A´
A
En la figura de la derecha, si de alguna manera
demostramos que
C  C´ , entonces
A  A´ y
ABC A´B´C´ .
C
C´
2. Criterio LAL: Si dos lados de un triángulo son
proporcionales a dos lados correspondientes de otro
triángulo y son congruentes los ángulos que forman ambos
pares de lados, entonces los triángulos son semejantes.
En la figura de la derecha si de alguna manera
EF
demostramos que DDE
E  E´ , entonces
´E´  E´F ´ y que
DEF D´E´F´ .
3. Criterio LLL: Si los tres lados de un triángulo son
proporcionales, respectivamente a los tres lados de otro
triángulo, entonces lo triángulos son semejantes.
D
F
E´
 EEF
´F ´
D´
F´
H
GH
G´H ´
H´
 HHI´I ´  GGI´I ´
G
En la figura de la derecha si de alguna manera
GH  HI  GI ,
demostramos
que
entonces
H ´I ´
G´H ´
G´I ´
GHI
DE
D´E´
E
G´
I
I´
G´H´I´ .
Nota que en las figuras de arriba, hemos utilizado pequeños segmentos de recta para señalar parejas de ángulos
que son congruentes. Si en la figura hay dos pares de ángulos que son congruentes, utilizamos un segmento de
recta para identificar una pareja de ángulos y dos segmentos de recta para la otra pareja de ángulos.
Veamos ahora algunos ejemplos para determinar la semejanza de dos triángulos, empleando los criterios de
semejanza descritos.
1. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son semejantes.
Los ángulos C y F son iguales puesto que ambos son ángulos rectos,
es decir, miden 90°. Dicho esto procedemos a verificar si los pares de
lados correspondientes que conforman los ángulos rectos guardan la
AC
misma proporción, es decir si BC
EF  DF . Sustituyendo se tiene que:
B
E
16
8
C
12
BC 16
 2
EF 8
;
A
F
D
6
AC 12
 2
DF 6
Dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados correspondientes del otro triángulo y son congruentes
los ángulos que forman ambos pares de lados, entonces los triángulos son semejantes (criterio LAL).
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2. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son semejantes.
D
E
Notamos que ACB  DCE por ser ángulos opuestos por el vértice.
Por otra parte en la figura nos indican que las rectas AB y DE son
paralelas, de aquí que podemos afirmar que ABC  CDE , o que
BAC  CED , por ser ángulos alternos internos formados por dos
paralelas y una transversal. En cualquiera de los dos casos tenemos que
al menos:
C
AB DE
A
B
Dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos correspondientes de otro triangulo, entonces los
triángulos son semejantes (criterio AA).
3. Verificar si los triángulos de la figura de la derecha son
semejantes.
En la figura nos dan las medidas de los tres lados de cada uno de los
triángulos, por lo que procedemos a verificar si los pares de lados
correspondientes guardan la misma proporción, es decir si
BC
AC
AB
DE  EF  DF . Sustituyendo se tiene que:
AB 15
 3 ;
DE 5
BC 12
 3
EF 4
;
B
E
15
12
5
4
C
A
9
F
D
3
AC 9
 3
DF 3
Los tres lados de un triángulo son proporcionales, respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces lo
triángulos son semejantes (criterio LLL).
Siempre es útil conocer estos criterios para determinar si dos triángulos son o no semejantes, más allá de la
simple inspección visual. Pero además, determinar la semejanza de dos triángulos es una vía para poder
establecer la congruencia de sus ángulos correspondientes, o la proporcionalidad de los segmentos
correspondientes que forman sus lados.
En algunos casos particulares de triángulos, las condiciones anteriores pueden reducirse todavía más. Por
ejemplo, para que sean semejantes:
1. Dos triángulos equiláteros, no hace falta ninguna condición.
2. Dos triángulos isósceles, basta con que sean congruentes los ángulos opuestos a las respectivas “bases”.
3. Dos triángulos rectángulos, basta con que sean proporcionales los dos pares de catetos
correspondientes; o un par de catetos correspondientes y las hipotenusas; o que un par de ángulos
agudos correspondientes sean congruentes.
Existen algunas situaciones particulares en triángulos que es recomendable identificar y tenerlas presentes
cuando tratamos de emplear la semejanza como una vía para la solución de problemas:
1. Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros dos lados en
segmentos proporcionales.
En la figura de la derecha, EF AC ( EF es paralela a AC ) y esto lo
señalamos con dos pequeños segmentos de recta paralelos.
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B
E
A
F
C
BE BF

EA FC
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2. El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo,
es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
B
EF AC
En la figura de la derecha, BE  EA y BF  FC y esto lo señalamos,
respectivamente, con uno y dos pequeños segmentos de recta.
E
F
A
EF 
AC
2
C
3. La bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide el lado opuesto en
dos segmentos proporcionales a los lados contiguos.
B
En la figura de la derecha, BE biseca el ángulo B y esto lo señalamos
con un pequeño segmento de recta.
AE AB

EC BC
A
C
E
Actividad 1
Observa la figura que se presenta y explica en cada caso, mediante los criterios de semejanza, por qué
podemos afirmar que los triángulos señalados son semejantes.
1.
2.
ABC
EBF
15
6
E
A
B
B
ABD
10
BCD
4
F
4
C
A
2 D
8
C
¿Puedes ahora identificar y describir el criterio de semejanza de triángulos en el que se basó Thales de Mileto
para calcular la altura de la pirámide?
En la figura de la derecha hemos ilustrado la situación
planteada en la introducción y, si analizamos el
planteamiento hecho por Tales, podemos afirmar que él
parte de saber que los triángulos que se forman ( ABC y
A´B´C´ ) tienen un ángulo congruente igual a 90°, por ser
triángulos rectángulos. Posteriormente y de acuerdo al
relato, parece que Tales realizó el cálculo a considerando
que los lados correspondientes a las sombras y las alturas
tanto del bastón como de la pirámide son proporcionales.
B
AC
BC

A´C´ B´C´
B´
A´
C´
A
C
Entonces, el criterio empleado por Tales es el LAL, puesto que para realizar el cálculo de la altura de la pirámide
consideró que en dos triángulos semejantes, dos lados de uno son proporcionales a dos lados correspondientes
del otro, siendo que los ángulos que forman ambos pares de lados son congruentes.
Cierre:
Hemos definido lo que es la semejanza de triángulos y descrito los criterios en los que nos
podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. Finalmente mostramos
cómo uno de los matemáticos más grandes de la historia usó estos conocimientos en una
situación de la vida real.
Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.
Para saber más…
http://odas.educarchile.cl/odas_mineduc/pav/Matematicas/triang_mellizos_final.swf
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/swf/criterios.swf
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Evaluación:
Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.
Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la
respuesta correcta de la situación planteada.
1. En la figura mostrada, si AB ED , selecciona la 4. Considerando las medidas que se muestran en los
opción de respuesta que corresponda al criterio por el triángulos, selecciona cuál de los criterios se aplica
cual se puede afirmar que ABC ECD .
para verificar que ABC DEF .
B
D
A) LLL
E
E
B) LAL
8
C
C) LL
4
A
D) AA
C
4
B
F
A
D
2
A) Tienen dos ángulos respectivamente iguales.
2. En la figura mostrada, si AB EF , selecciona la B) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
respectivamente proporcionales.
opción de respuesta que corresponda al enunciado por
el cual no se puede afirmar que ABC EBF .
C) Tienen sus tres lados correspondientes
B
proporcionales.
E
A
F
D) Tienen un ángulo proporcional y los lados que lo
forman respectivamente iguales.
C
A) Tienen dos ángulos respectivamente iguales.
B) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
respectivamente proporcionales.
C) Tienen sus tres lados correspondientes
proporcionales.
D) Tienen un ángulo proporcional y los lados que lo
forman respectivamente iguales.
5. Considerando las medidas que se muestran en los
triángulos, selecciona cuál de los criterios se aplica
para verificar que ABC EDC .
B
D
5 cm
2 cm
4 cm
C
3. Si las medidas un triángulo son 130 cm, 120 cm y 50
E
A
10 cm
cm, y las medidas de otro son 26 cm, 24 cm y 10 cm,
A) Tienen dos ángulos respectivamente iguales.
respectivamente.
Selecciona la opción que
corresponda al criterio por el cual se puede determinar B) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
si estos triángulos son o no semejantes.
respectivamente proporcionales.
A) LLL
B) LAL
C) LL
D) AA
C) Tienen sus tres lados correspondientes
proporcionales.
D) Tienen un ángulo proporcional y los lados que lo
forman respectivamente iguales.
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TEMA 3. SEMEJANZA EN POLÍGONOS
Bloque III
Eje temático: Forma, espacio y medida
B
Tema: Figuras y cuerpos
A
C
Q
Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
en la resolución de problemas.
P
E
Aprendizaje esperado:
D
Resuelve problemas que impliquen usar las propiedades de la semejanza de
triángulos para calcular medidas faltantes en polígonos regulares.
Introducción:
En la figura arriba se muestra una cometa pentagonal que Camila está construyendo para su
clase de matemáticas. Como se observa, le falta elaborar y pegar el triángulo ACP . ¿Cuál será
el área del triángulo faltante si sólo se sabe que el pentágono tiene lados de 30 cm y la longitud
del segmento BQ es de 18 cm?
Observa que en el planteamiento anterior nos piden calcular el área de un triángulo del cual no conocemos
ningún dato. Esto sería imposible si el triángulo no tuviera ninguna relación con el pentágono regular que forma
la silueta de la cometa. A continuación te presentamos cómo podemos apoyarnos en la semejanza de triángulos
para analizar triángulos que están contenidos en polígonos regulares.
Desarrollo:
Ya hemos comentado que, en matemáticas, cuando dos figuras están “hechas a escala” se dice
que son semejantes. A continuación retomaremos lo analizado en el tema de semejanza
triángulos, mostrando su utilidad cuando analizamos diferentes polígonos regulares.
Dos triángulos son semejantes si poseen igual forma y diferente tamaño. Desde el punto de vista de sus
elementos, la semejanza de dos triángulos significa que los tres pares de ángulos correspondientes son
congruentes y que los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.
Recuerda
Criterios de semejanza de triángulos
Podemos establecer condiciones mínimas para asegurar que dos triángulos sean semejantes. Basta con que los
dos triángulos presenten alguna de estas tres condiciones o criterios.
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Polígonos regulares y semejanza de triángulos
Al trazar algunas diagonales en polígonos regulares podemos encontrar pares de triángulos semejantes o incluso
congruentes. De esta forma, si conocemos algunas medidas de los polígonos, podemos conocer otras
empleando la semejanza y congruencia de triángulos. Observa los siguientes tres polígonos en los cuales hemos
trazado algunas de sus diagonales.
Pentágono
Hexágono
Heptágono
B
B
C
B
A
A
C
P
A
C
D
P
G
P
E
D
F
E
F
D
E
Pentágono
 Los triángulos APC y EPD son semejantes:
Nota que los ángulos APC y EPD son congruentes al ser un par de ángulos opuestos por el vértice,
mientas que los ángulos ACP y DEP son congruentes al ser alternos internos entre las paralelas AC y
ED . La semejanza se justifica entonces porque los triángulos tienen dos pares de ángulos correspondientes
son congruentes.
 Los triángulos ACE y DAC son congruentes:
Nota que ambos son triángulos isósceles (puedes medir sus lados para comprobarlo) y se puede comprobar
que los ángulos opuestos a las bases, ACE y DAC , son congruentes. Con esto determinamos que son
triángulos semejantes. Pero además, por una parte el lado AC es común a los dos triángulos, y por otra
parte las bases de los triángulos son lados del pentágono (en ambos casos la razón de sus lados
correspondientes es igual a 1). La congruencia se justifica entonces porque son triángulos isósceles con
ángulos opuestos a las bases congruentes y la razón de un par de lados correspondientes iguales a 1.
Hexágono
 Los triángulos ACD y CPB son semejantes.
Nota que ambos son triángulos rectángulos (puedes medir sus ángulos para comprobarlo) y los ángulos
CAD y BCP , son congruentes al ser un par de ángulos alternos internos entre las paralelas AD y BC .
La semejanza se justifica entonces porque son triángulos rectángulos con un par de ángulos agudos
congruentes.
 Los triángulos ABP y CPB son congruentes.
Nota que los ángulos ABP y CBP son congruentes ya que la diagonal BE biseca (divide en dos partes
iguales) al ángulo interior ABC del hexágono y tienen un par de lados correspondientes iguales puesto que
el lado BP es común a ambos triángulos, mientras que los lados AB y BC son lados del hexágono (en
ambos casos la razón de sus lados correspondientes es igual a 1). La congruencia se justifica entonces
porque los triángulos tienen un par de ángulos correspondientes congruentes, y congruentes los dos pares
correspondientes de lados que forman esos ángulos.
Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos que teniendo el vértice común, los
lados de uno son prolongación de los lados del otro. En la figura el ángulo 1 es igual al
ángulo 3 y el ángulo 2 es igual al ángulo 4.
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Recuerda
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Recuerda
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas, los ángulos alternos externos son
los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado
de la transversal. En la figura, los ángulos 1 y 4 son iguales.
Actividad 1
Para el caso del heptágono de la figura de la página anterior, demuestra que:
1. Los triángulos ACP y FEP son semejantes.
2. Los triángulos ABC y CDE son congruentes.
Vamos a desarrollar un par de ejemplos para mostrar la utilidad de la semejanza de triángulos en el análisis de
polígonos regulares.
Ejemplo 1:
Si el hexágono regular de la derecha tiene lados de 8 cm, ¿cuánto mide el segmento
BP ?
Observa que los triángulos ACD y CPB son semejantes. Si nos fijamos en el
triángulo más grande sabemos que AD  16 cm (puesto que es igual a dos radios de
una circunferencia circunscrita al hexágono, y cada radio mide lo mismo que un lado),
mientras que el lado CD  8 cm al ser a su vez uno de los lados del hexágono.
B
C
P
A
D
F
E
Por otra parte, en el triángulo menor, lado BC  8 cm pues también es uno de los lados del hexágono. Con estos
BP  BC , por lo que al sustituir nuestros datos tenemos que
datos podemos formar la proporción CD
AD
BP
8 cm

8 cm 16 cm
BP 
8 cm  8 cm
 4 cm
16 cm
Ejemplo 2:
Si el heptágono regular tiene lados de 9 cm y los segmentos AC y AP miden 16.2 cm
y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el segmento PE ?
Observa que los triángulos APC y EPF son semejantes y que el lado FE del
triángulo menor es igual a 9cm por ser a la vez uno de los lados del heptágono. Con
FE , por lo que al sustituir nuestros
 AC
estos datos podemos formar la proporción PE
AP
datos tenemos que
B
A
C
P
G
F
PE
8 cm

13 cm 16.2 cm
PE 
13 cm  9 cm
 7.2 cm
16.2 cm
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D
E
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Reconsideremos ahora el problema planteado en la introducción:
En la figura se muestra una cometa pentagonal que Camila está construyendo. Como se observa, le falta
elaborar y pegar el triángulo ACP . ¿Cuál será el área del triángulo faltante si sólo se sabe que el pentágono
tiene lados de 30 cm y la longitud del segmento BQ es de 18 cm?
B
A
C
Q
P
D
E
Se sabe que en un pentágono dos diagonales que concurren en un vértice trisecan el ángulo interior
correspondiente. De esta forma podemos decir que los triángulos ABC y APC son semejantes en primera
instancia ya que presenta un par de ángulos correspondientes iguales ( PCA con BCA y PAC con BAC ).
Pero como ambos triángulos tienen el lado AC común, concluimos que los triángulos ABC y APC son
congruentes, por lo que tienen igual área.
Con los datos calculamos el área del triángulo ABC , calculando previamente su altura QC a través del
Teorema de Pitágoras, como se muestra a continuación
 BC 
2
  BQ    QC 
2
302  182   QC 
2
2
QC  302  182
QC  24 cm
De aquí que la base del triángulo ABC es AC  2QC  2  24  48 cm y el área se calcula como
AACP  AABC 
Cierre:
AC  BQ 48 cm 18 cm

 432 cm2
2
2
En este tema hemos hecho un repaso breve sobre la semejanza de triángulos y los criterios en
los que nos podemos basar para determinar si dos triángulos son o no semejantes. También
mostramos la utilidad de la semejanza de triángulos cuando analizamos diferentes polígonos
regulares.
Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.
Para saber más…
http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/
3m_b02_t04_s01_descartes/index.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/swf/criterios.swf
http://odas.educarchile.cl/odas_mineduc/pav/Matematicas/triang_mellizos_final.swf
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Evaluación:
Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.
Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la
respuesta correcta de la situación planteada.
1. La siguiente figura es un hexágono regular, por lo
cual los triángulos AOB y COD son congruentes.
3. Si el pentágono mostrado tiene lados de 10 cm y los
segmentos BD y BQ miden 16.2 cm y 6.2 cm,
respectivamente, ¿cuántos centímetros mide el
segmento PQ ? (3.8)
B
A
¿Cuál es el valor de x en cm?
D
E
A) 3.2
A) 6
B) 3.8
B) 8
C) 4.2
C) 12
D)
C
Q
P
D) 4.8
20
5. Si el pentágono mostrado tiene lados de 12 cm y el
2. Si el hexágono regular mostrado tiene lados de 8 segmento QE miden 9.6 cm, ¿cuántos centímetros
cm, ¿cuántos centímetros mide el segmento BP ?
mide el segmento GP ?
Observa que el segmento FC pasa por el centro del
hexágono.
B
B
C
A
P
A
G
D
C
P
Q
F
A) 3
B) 4
C) 5
E
A) 8
B) 9
C) 12
D) 15
D) 6
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TEMA 4. APLICACIONES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Bloque III
Eje temático: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
Contenido: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos
en la resolución de problemas.
Aprendizaje esperado:
Resuelve problemas que impliquen aplicar la semejanza de triángulos en el
cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
Introducción:
En la secundaria, Juanito tuvo una actividad fuera del salón de clases en la materia de
matemáticas. El maestro pidió al grupo que saliera al patio de la escuela para calcular la altura
del asta de la bandera a partir de la medida de su sombra. El maestro pidió a cada alumno que
se parara junto al asta para que otro compañero midiera la longitud de su sombra.
Si a la hora que salieron los alumnos la sombra que proyectaba el asta era de 5.6 metros y la sombra de Juanito
midió 1.2 m, ¿cuál es la altura del asta si Juanito sabe que su estatura es de 1.65 m?
Para resolver el problema anterior es necesario saber aplicar los conocimientos relacionados con la semejanza
de triángulos. A continuación veremos varios ejemplos cotidianos en los que, a través de la semejanza de
triángulos, podremos hacer cálculos de distancias o alturas inaccesibles.
Desarrollo:
En los dos temas anteriores revisamos los criterios que deben cumplirse para verificar que un
triángulo es semejante a otro. Ahora, presentaremos varios ejemplos donde la semejanza de
triángulo se vuelve una herramienta muy poderosa para calcular medidas o distancias
inaccesibles.
Cálculo de alturas o distancias con semejanza de triángulos
Probablemente te has preguntado ¿cuál es la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana? O más específico,
¿cuál es la utilidad de la semejanza de triángulos en la vida cotidiana?
Ya hemos visto que Tales de Mileto fue uno de los Siete Sabios de
Grecia que vivió entre los siglos VI y VII a.C. y que midió la altura de la
pirámide de Keops utilizando la semejanza de triángulos valiéndose
solamente sombras, un bastón, una cuerda y un ayudante. La historia
de Tales de Mileto es una muestra de que las matemáticas y el ingenio
nos ayudan a solucionar muchos problemas que en apariencia son
difíciles.
B
B´
A´
C´
A
C
Gracias al estudio de la Geometría y en especial al estudio de la semejanza en objetos, desde la antigüedad ha
sido posible conocer la medida de algunos objetos sin tener que hacer una medición directa. De hecho muchos
de los métodos utilizados desde entonces siguen aún vigentes y frecuentemente son usados por ingenieros,
arquitectos, etcétera.
A continuación te presentamos algunos casos en donde se puede apreciar la utilidad de la semejanza de
triángulos.
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1. Se desea conocer la altura de una torre de agua localizada al costado de un edificio de oficinas. Si a cierta hora
del día se miden las sombras desde el pie del edificio y el centro de la torre de agua, siendo sus longitudes de 6
m y 8 m respectivamente y se sabe que la altura del edificio es de 9 m, ¿Cuánto mide la altura de la torre de
agua?
Solución: En la figura de abajo hemos ilustrado la situación planteada, de manera que, si empleamos la
semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente proporción
h
8m

9m 6m
De manera que realizando las operaciones necesarias
tenemos:
h
8m

9m 6m
8 m9 m
h
6m
h  12 m
De esta forma hemos encontrado que la torre de agua mide 12 metros de altura.
2. Se recarga una escalera sobre un muro de 6 m y se sabe que la distancia de la base al tercer escalón de
escalera es de 1 metro. Si la altura que hay del piso al tercer escalón de la escalera es de 0.75 m, ¿cuál es la
longitud de la escalera?
Solución: En la figura de abajo hemos ilustrado la situación planteada, de manera que, si empleamos la
semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente proporción
L
6m

1 m 0.75 m
De manera que realizando las operaciones necesarias
tenemos:
L
6m

1 m 0.75 m
1 m6 m
L
0.75 m
h8 m
6m
L
1m
0.75 m
De esta forma hemos encontrado que la longitud de la escalera es de 8 metros.
3. Se desea conocer la anchura de un río, para ello se han hecho ciertas mediciones en una de las orillas del río y
se han bosquejado en la figura abajo. Si las mediciones hechas indican que BC  2 m , CD  1 m y DE  4 m y se
supone que AB DE , ¿Cuánto mide de ancho el río?
Solución: En la figura de abajo hemos ilustrado la situación planteada, de manera que, si empleamos la
semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente proporción
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AB 2 m

4m 1m
De manera que realizando las operaciones necesarias
tenemos:
AB 2 m

4m 1m
2 m4 m
AB 
1m
AB  8 m
De esta forma hemos encontrado que la anchura del río es de 8 metros.
Observa como en los tres casos anteriores pudimos usar la semejanza de triángulos para calcular longitudes sin
que fuera necesaria o posible su medición directa. En estos casos es siempre útil realizar un bosquejo de la
situación aunque no nos lo pidan, de manera que podamos identificar de manera más certera los triángulos que
se presentan como semejantes y establecer la proporción adecuada para encontrar la solución.
Actividad 1
Resuelve los siguientes problemas
1. Un árbol proyecta sobre el suelo una sombra de 24 m de longitud en el mismo momento en que una
persona que tiene una altura de 1.5 m se encuentra alineada con el árbol y proyecta una sobra de 6 m.
¿Cuál es la altura del árbol?
2. En cierto momento dos aviones que vuelan con la misma trayectoria coinciden en la vertical, uno a 3000
m y otro a 2000 m sobre el nivel del mar. Simultáneamente los pilotos observan una isla ubicada más
adelante. El de arriba observa la costa más lejana mientras que el que vuela abajo observa la costa más
cercana. La isla tiene una longitud de 1000 m de costa a costa, ¿qué distancia les falta por volar para
empezar a pasar sobre la isla?
Antes de concluir vamos a resolver el problema planteado en la
introducción.
En la figura de la derecha hemos ilustrado la situación planteada,
considerando que la sombra del asta es de 5.6 m, mientras que la sombra
de Juanito es de 1.2 m y su estatura de 1.65 m. Si empleamos la semejanza
de triángulos podemos establecer mediante una proporción, la solución al
problema:
h
5.6 m
5.6 m 1.65 m

; h
1.65 m 1.2 m
1.2 m
; h  7.7 m
h
1.65 m
5.6 m
1.2 m
De esta forma hemos encontrado que el asta mide 1.7 metros de altura.
Cierre:
En este tema hemos revisado varios ejemplos cotidianos en los que, a través de la semejanza de
triángulos, podemos hacer cálculos de distancias o alturas inaccesibles. Recuerda que para este
tipo de problemas, siempre es muy útil realizar un bosquejo de la situación que tratamos de
resolver.
Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.
Para saber más…
http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3
m_b02_t04_s01_descartes/index.html
https://dl.dropbox.com/u/57560218/actividad.swf
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Evaluación:
Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.
Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la
respuesta correcta de la situación planteada.
1. María mide 1.4 m y a cierta hora del día observa que 4. Para conocer el ancho de un río un topógrafo ha
su sombra en el piso es de 0.84 m. Si en ese mismo hecho el bosquejo que se muestra. Si todas las
momentos ve que la sombra de un árbol es de 2.16 m, medidas están en metros y se sabe que los segmentos
selecciona la opción de respuesta que corresponda a la
EF y CB son perpendiculares a la orilla del río y que
altura en metros del árbol.
los segmentos CD y BF son paralelos, selecciona la
opción de respuesta que corresponda al ancho en
A) 1.3
metros del río.
B) 3.6
C) 1.3
A) 13.0
D) 2.5
B) 14.2
E
D
C
C) 17.2
6
B
A
F
2. Una anciana que lleva un bastón proyecta una
36
12
D) 18.0
sombra de 1.2 m sobre el piso. Si el bastón colocado
de manera vertical proyecta una sombra de 0.8 m,
selecciona la opción de respuesta que corresponda a la
5. Se desea conocer la distancia a una isla desde la
estatura en metros de la anciana.
orilla de la playa. De acuerdo con la figura, AB y DE
son paralelas y perpendiculares a AE . Si todas las
A) 1.4
medidas están en metros, selecciona la opción de
B) 1.5
respuesta que corresponda a la distancia a la que se
C) 1.6
encuentra la isla de la orilla de la playa en el punto E .
D) 1.7
A) 365.5
D
3. Observa la siguiente figura donde se muestra dos
triángulos semejantes. Si los datos corresponden a la
medida del piso hasta la canasta de básquetbol y x
representa a Juan parado sobre el piso, selecciona la
opción de respuesta que corresponda a la estatura en
metros de Juan.
B) 320.0
C) 285.0
D) 240.5
B) 1.5
3.5 m
D) 1.7
x
3m
A
2m
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C
68
B
A) 1.4
C) 1.6
¿?
E
112
602
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TEMA 5. CORTES EN ESFERAS Y CONOS
Bloque V
Eje temático: Forma, espacio y medida
Tema: Medida
Contenido: Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al
hacer cortes paralelos en un cono recto.
Aprendizaje esperado:
Determina la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se
obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.
Introducción:
En una tienda de manualidades se están elaborando unos muñecos con cabezas de unicel en
forma de esferas de 15 cm de diámetro. Para colocarles un sombrero, se debe hacer un corte a
las esferas de manera que el círculo que se forme en la unión con el sombrero tenga un radio
de 3.5 cm. ¿A qué distancia desde el centro de la circunferencia se hace el corte?
Si observas la situación anterior notarás que se refiere a un cuerpo geométrico que es muy conocido, la esfera.
En este tema revisaremos algunos aspectos relacionados con dos de los cuerpos geométricos que se encuentran
dentro de los llamados “cuerpos redondos”, nos referimos a la esfera y al cono. Particularmente, analizaremos
qué es lo que sucede cuando realizamos algunos cortes a estos cuerpos geométricos.
Desarrollo:
Todo lo que percibimos son objetos de tres dimensiones; todos los seres y objetos de la
naturaleza y todos los artefactos elaborados en las distintas culturas, son tridimensionales pues
ocupan un lugar en el espacio físico.
Los cuerpos geométricos son objetos tridimensionales que tienen ciertas particularidades, ciertas formas
más sencillas, más elementales, más regulares; por ejemplo, los que presentan caras externas constituidas
por polígonos o círculos, o los que tienen una forma parcial o totalmente redonda. En este grupo quedan los
objetos que tienen la apariencia de cajas, pirámides, prismas, cilindros, conos, esferas, etc.
Recuerda
Clasificación de los cuerpos geométricos
Un criterio básico para clasificar los cuerpos geométricos se refiere a la naturaleza de sus caras exteriores. De
esta forma tenemos:
 Los poliedros (poliedro = polus [mucho]+ hedra [cara] = muchas caras) son cuerpos geométricos
limitados por un número finito de polígonos. Estos polígonos reciben el nombre de caras del poliedro, a
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la intersección de dos caras se le conoce como arista y al punto de intersección de más de dos caras
como vértice.
 Los cuerpos redondos o sólidos de revolución, cuerpos geométricos formados por la revolución
completa de una figura plana (llamada generatriz) alrededor de un eje de giro.
Los sólidos de revolución se clasifican, precisamente, tomando en cuenta la figura plana que rota una
vuelta completa y el eje alrededor del cual se produce la rotación. Así, los más conocidos son:
La esfera, generada por la
rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro.
El cilindro,
generado por la
rotación
de
un
rectángulo
alrededor de un lado.
El cono, generado por la rotación
de un triángulo rectángulo
alrededor de un cateto.
En este tema sólo estudiaremos algunas características de las esferas y los conos.
Elementos de una esfera
El centro de la esfera es el punto que equidista de cualquier punto de la
superficie esférica (superficie externa de la esfera).
externa
Un radio de la esfera es un segmento que une el centro con cualquier
punto de la superficie esférica.
Un diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie
esférica y pasa por el centro de la esfera.
También sobre la superficie esférica pueden considerarse circunferencias máximas, caracterizadas porque su
radio es el radio de la esfera; análogamente, pueden dibujarse circunferencias de radio menor al de la esfera.
En el caso de la Tierra, considerada como una esfera, los meridianos y
la línea del ecuador son ejemplos de circunferencias máximas; los
paralelos (por ejemplo, los de los trópicos, o los de los círculos polares)
son circunferencias menores.
Un diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie
esférica y pasa por el centro de la esfera.
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Elementos de un cono
La generatriz del cono es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo giro
alrededor de uno de sus catetos genera el cono.
La altura del cono es la distancia del vértice a la base y su longitud coincide con
la del cateto que sirve de eje de giro para generar el cono.
La base está formada por un solo círculo, con su radio y diámetro
correspondientes.
La superficie lateral del cono se denomina superficie cónica de revolución; extendida sobre un plano, tiene la
forma de un sector circular.
Cortes en circunferencias y conos
El corte o intersección de un plano con una esfera determina una circunferencia.
Esta es una propiedad característica de la esfera. Si el plano pasa por el centro de
la esfera, resulta una circunferencia máxima (su radio es igual al radio de la
esfera). Al considerar la esfera sólida y el corte con un plano se obtiene el círculo.
Si el plano pasa por el centro, resulta un círculo máximo, de lo contrario se dice
que es un círculo menor.
Al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base (esto es, perpendicular al eje), resulta un círculo. El sólido
obtenido al quitar la parte que contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono.
A continuación desarrollaremos un par de ejemplos en los que mostramos la relación que existe entre el radio
de una esfera y los radios de los círculos que se forman al realizar algún corte, así como la relación entre el radio
de la base de un cono y los círculos que se forman al hacer algún corte horizontal.
Ejemplo 1:
Se tienen una esfera de unicel de 10 cm de radio a la cual se le va a hacer un corte
a una altura de 4 cm , como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cuál será el área
del círculo que se forma al hacer el corte?
10 cm
Para ilustrar mejor esta situación se hacen más abajo algunos trazos sobre la figura,
de manera que podamos visualizar una estrategia para encontrar lo que se pide.
4 cm
Observa que se ha formado un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm ,
ya que es igual al radio de la esfera. El cateto vertical mide 6 cm puesto que resulta
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de la diferencia entre el radio de la esfera y la altura a la que se hizo el corte
10 cm  4 cm  6 cm , mientras que el cateto horizontal es el radio r del círculo que
se forma al hacer el corte.
10 cm
Si encontramos el valor del radio r , estaremos en posibilidad de calcular el área del
círculo que se forma al hacer el corte. Para ello debemos emplear el Teorema de
Pitágoras para resolver el triángulo rectángulo formado.
10
6 cm
cm
r
4 cm
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c , se
establece que:
c 2  a 2  b2
Recuerda
Al aplicar en nuestro triángulo rectángulo el Teorema de Pitágoras tenemos que:
10
6 cm
102  6r  r 2
cm
r 2  102  62
r  64
r  8 cm
r
Entonces el área del círculo que se forma al hacer el corte a la esfera es:
A   r 2   8 cm   201 cm2
2
Observa bien que los radios de los círculos que se forman al hacer cortes a una esfera se relacionan con el
radio de la esfera mediante el Teorema de Pitágoras. Es importante que tengas bien presente esto pues los
triángulos rectángulos que se forman te ayudarán a resolver una gran variedad de problemas.
Ejemplo 2:
Se desea formar un cono truncado a partir de un cono recto de altura igual a
30 cm y una base cuyo radio mide 10 cm . Si se requiere que el círculo superior
del cono truncado tenga un radio de 3 cm , ¿a qué altura h se debe hacer el
corte desde la base?
x
3cm
30 cm
h
Observa la figura de la derecha en la cual se ha ilustrado el problema. Si
extraemos el par de triángulos que se forman, podremos ver que son
semejantes por tener dos ángulos iguales.
10 cm
Empleando la semejanza de triángulos podemos encontrar entonces el valor de
x al formar la proporción
x
3

30 10
;
x
30  3
 9 cm
10
y con esto, calculamos el valor de la altura a la cual se debe hacer el corte al
cono como:
h  30 cm  x
h  30 cm  9 cm
h  21 cm
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x
3cm
30 cm
h
10 cm
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Observa bien que los radios de los círculos que se forman al hacer cortes a un cono se relacionan con el radio
de la base del cono mediante la Proporcionalidad de Triángulos. Es importante que tengas bien presente esto
pues los triángulos proporcionales que se forman te ayudarán a resolver una gran variedad de problemas.
Ahora, vamos a resolver el problema planteado en la introducción:
En una tienda de manualidades se están elaborando unos muñecos con cabezas de unicel en forma de esferas de 15 cm
de diámetro. Para colocarles un sombrero, se debe hacer un corte a las esferas de manera que el círculo que se forme en
la unión con el sombrero tenga un radio de 3.5 cm. ¿A qué distancia desde el centro de la circunferencia se hace el corte?
cm
3.5 cm
d
7. 5
En primer lugar, nota que nos dan el diámetro y no el radio de la circunferencia.
Observa la figura de la derecha en la cual se ha ilustrado el problema. Nota que se
forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio de la esfera, el cateto
horizontal es el radio del círculo que se forma al hacer el corte y el cateto vertical es
la distancia d que calculamos como:
7.5 cm
7.52  3.52  d 2
d 2  7.52  3.52
d  44  6.6 cm
Actividad 1
Cierre:
Realiza lo que a continuación se indica.
1.
Se tienen un cono cuya altura es de 30 cm. Si se hace un corte paralelo a la base del cono, a
una distancia de 24 cm de la base y el círculo que se forma tiene 5 cm de radio, ¿cuál es radio
de la base del cono?
2.
Se hacen cortes a una esfera de 20 cm de diámetro a una altura de 8 cm, 6 cm y 4 cm.
¿cuánto miden de radio los círculos que se forman al hacer los cortes?
En este tema revisamos algunos aspectos relacionados con dos de los cuerpos geométricos que
se encuentran dentro de los llamados “cuerpos redondos”, la esfera y al cono. Así mismo,
desarrollamos algunos ejemplos relacionados con la generación de círculos al hacer cortes en
estos cuerpos geométricos.
Puedes encontrar más información sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuación.
Para saber más…
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/3_tercero/3_Matematicas/INTERACTIVOS/3m_b0
5_t02_s01_descartes/index.html
http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/volumen.swf
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Evaluación:
Cuadernillo de apoyo 2013
Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluación.
Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opción que corresponda a la
respuesta correcta de la situación planteada.
1. Un pequeño cono ha sido cortado de la punta de 4. En la siguiente tabla se registran los radios de los
otro más grande. Si el cono que se cortó tienen un círculos que aparecen como cortes horizontales de las
diámetro de 10 cm y una altura de 9 cm y se sabe que esferas al llenarlas de agua.
la altura del cono original era de 27 cm, ¿cuánto mide
la base del cono original?
A) 12
B) 15
Altura [cm]
Radio [cm]
C) 18
2
4.47
4
5.62
6
6
8
a
10
b
D) 21
Si las esferas son de radio 6 cm, ¿cuáles son,
respectivamente, los valores en cm de a y b?
A) 6.37
2. La figura muestra una pecera cuya “boca” esta
formada por una circunferencia de radio igual a 20 cm, B) 5.65
como se muestra en la figura. ¿Cuál es el radio de la C) 6.35
esfera que forma la pecera?
D) 5.65
A) 21
y 7.13
y 4.47
y 6.70
y 5.30
8 cm
20 cm
B) 27
C) 29
D) 33
5. Un cono tiene 25 cm de alto y una base de radio
igual a 5 cm. Si se hacen cortes horizontales al cono a
10 cm y 15 cm desde la base, ¿Cuántos centímetros
mide el radio de cada uno de los círculos formados al
hacer los cortes?
A) 1 y 2
B) 1 y 4
3. Se desean hacer velas en forma de cono truncado a C) 3 y 4
partir de otros conos que tienen 16 cm de diámetro y D) 3 y 2
una altura de 20 cm. ¿A que distancia desde la base de
los conos se debe hacer el corte para que el círculo
formado en tenga un radio de 4 cm?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
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RESPUESTAS DE LAS ACTIVIDADES
TEMA 1 EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad 1 (Pág. 38)
1.
2.
c  10
c  15
3.
4.
b  16
a  15
TEMA 2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Actividad 1 (Pág. 45)
1. Son semejantes porque comparten el B y los lados
correspondientes que forman este ángulo son proporcionales, es decir,
21

6
14
.
10
2. Son semejantes porque ambos tienen un ángulo recto y los lados
correspondientes que forman este ángulo son proporcionales, es decir,
8
4

4
.
2
TEMA 3 SEMEJANZA EN POLÍGONOS
Actividad 1 (Pág. 49)
1. Los triángulos ACP y FEP son semejantes porque los ángulos
APC y FPE son congruentes al ser un par de ángulos opuestos por
el vértice, mientas que los ángulos CAE y FEA son congruentes al
ser alternos internos entre las paralelas AC y FE . La semejanza se
justifica entonces porque los triángulos tienen dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes.
2. Los triángulos ABC y CDE son congruentes porque ambos son
isósceles y tienen como lados congruentes dos de los lados del
heptágono. La congruencia se justifica entonces porque los triángulos
tienen un par de ángulos correspondientes congruentes, y congruentes
los dos pares correspondientes de lados que forman esos ángulos.
TEMA 4 APLICACIÓNES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Actividad 1 (Pág. 54)
1.
h6m
2.
d  2000 m
TEMA 5 CORTES EN ESFERAS Y CONOS
Actividad 1 (Pág. 60)
1. r  25 cm
2. Para un corte de:
8 cm, r  9.8 cm
6 cm, r  9.2 cm
4 cm, r  8.0 cm
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RESPUESTAS DE LAS EVALUACIONES
No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
A
TEMA 1
B
C
D




















A
TEMA 2
B
C
D




















A
TEMA 3
B
C
D




















No.
1.
2.
3.
4.
5.
No.
1.
2.
3.
4.
5.
Secretaría de Educación de Guanajuato
Página 61
A





A





TEMA 4
B





TEMA 5
B





C
D










C
D









