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Matemáticas
Matemáticas
La matemática es una de las ciencias más antiguas. Su desarrollo
se remonta a los tiempos prehistóricos. Para los hombres de la
edad de piedra ya era posible, con un sistema parecido al de
la teoría de conjuntos, diferenciar entre mucho y poco. Sin este
poder de la imaginación no habría sido posible el trueque, habitual
en ese entonces.
Alrededor del año 500 a.C. comenzó en Grecia un desarrollo
que condujo a una precisión del concepto de los números. Se introdujeron los números naturales. En la escuela pitagórica se demostró entonces la existencia de los números irracionales. Este
hecho, que no se dejó sentir totalmente en las matemáticas a través de los números naturales y sus proporciones, condujo con el
tiempo a que la geometría desarrollada por Euclides adquiriera
cada vez más un significado. Aquí fue posible representar
geométricamente segmentos irracionales, sin lo cual se requería el
concepto de los números naturales. Hasta la Edad Moderna la
obra de Euclides era la obra estándar de las matemáticas.
Junto con la geometría de Euclides también se han desarrollado otras ramas de las matemáticas. Con Arquímedes comienzan las matemáticas aplicadas, que se desarrollaron con Leibniz
y Newton como un método que se emplea hasta nuestros días.
Las matemáticas actuales se han organizado en varias ramas
que no pueden separarse marcadamente entre sí. La aritmética
es la ciencia de los números. La geometría es la disciplina central según Euclides. Originalmente proviene de los problemas
concretos de la agrimensura. En el siglo XVII Descartes fundó la
geometría analítica. Hacia 1800 se desarrolló la geometría diferencial, con la cual se investigaron curvas y superficies con la
ayuda del cálculo diferencial e integral. El álgebra es la ciencia
de la solución de ecuaciones, las cuales fueron impulsadas especialmente en la matemática árabe. El álgebra lineal maneja los
espacios vectoriales y la solución de ecuaciones lineales con n
variables. El álgebra superior se ocupa de las relaciones de las
magnitudes abstractas. Dado que en la actualidad el conocimiento acumulado de las matemáticas es inmanejable para una
sola persona, se ha venido buscando cada vez con mayor frecuencia estructuras superordenadas, las cuales tienen una tarea
resumida y ajustada.
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Símbolos
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I. Símbolos, operaciones aritméticas, leyes
1. Símbolos generales
=
⬃
艐
艑
Ⳏ
→
<
>
≤
≥
%
‰
||
⬜
igualdad
desigual, no igual
proporcional, similar
aproximado, casi igual
congruente
correspondiente
límite, aproximación, convergente
menor que
mayor que
menor o igual
mayor o igual
porcentaje
por mil
paralelo
ángulo recto, perpendicular
ø
ⱔ
[AB]
AB
២
AB
sgn a
|a|
π
!
Σ
n
√
()
||
∫
∞
diámetro
ángulo
intervalo de A a B
longitud del intervalo [AB]
arco de A a B
signo de a
valor absoluto de a
número pi
factorial
suma
raíz enésima de
matriz
determinante
integral
infinito
2. Símbolos de la teoría de conjuntos
IN0 IN con cero
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números racionales
IL
ø
{}
Conjunto de los números complejos
Conjunto de soluciones
} Conjunto vacío
3. Símbolos de lógica
A1⇒A2 De A1 sigue A2
(implicación)
A1⇔A2 A1 y A2 son equivalentes
(equivalencia)
A1:⇔A2 A1 es por definición
equivalente a A2
E
Existe cuando menos un …
(cuantificador de existencia)
Existe
exactamente un …
E1
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DE
傺
Está contenido en, es
un subconjunto de
僔
Unión
僕
Intersección
x
Símbolo del producto
de conjuntos
→
Mapeo
∈
Elemento de
A = {ak; k ∈ |N} el conjunto A
está integrado por los
elementos
a1; a2; a3; … ak
⵩
,∩ o (disyunción)
⵩ ,∪ y (conjunción)
x
negación lógica
(negación)
A⵩B tanto A como B
A B A o B o ambos
–A
negación de A
(no A)
⵩
IN Conjunto de los números naturales
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Matemáticas
4. Operaciones aritméticas
Suma
a (1. sumando) + b (2. sumando) = c (valor de la suma)
En la suma los sumandos se sujetan a la regla de los signos en
el valor de la suma resultante.
Ejemplos: (+8) + (+6) = (+14); (– 8) + (– 6) = (– 14);
(+8) + (– 6) = (+2); (– 8) + (+6) = (– 2)
Resta
a (minuendo) – b (sustraendo) = c (valor de la diferencia)
En la resta el minuendo y la magnitud del sustraendo se reducen
y constituyen con ello el valor de la diferencia. Debe obedecerse
la regla de los signos.
Ejemplos: (+8) – (+6) = (+2); (– 8) – (– 6) = (– 2);
(+8) – (– 6) = (+14); (– 8) – (+6) = (– 14)
Multiplicación
a (1. factor) · b (2. factor) = c (valor del producto)
Se obtiene el valor del producto, para el cual se multiplican los
factores individuales bajo el principio de la regla de los signos.
Ejemplos: (+8) · (+6) = (+48); (– 8) · (– 6) = (+48);
(+8) · (– 6) = (– 48); (– 8) · (+6) = (– 48)
División
a (dividendo) : b (divisor) = c (valor del cociente)
Al dividir el dividendo entre el divisor se obtiene el valor del cociente. En los quebrados el numerador del quebrado es el dividendo y el denominador del quebrado es el divisor. Debe seguirse la regla de los signos al hacer la división. No se define la
división por cero.
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Símbolos
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Ejemplos: (+8) : (+4) = (+2); (– 8) : (– 4) = (+2);
(+8) : (– 4) = (– 2); (– 8) : (+4) = (– 2)
Exponenciación (Potenciación)
Exponente o potencia
ab = a · a · a · … ·a
Potenciación
Base o número básico IR
del conjunto de números reales
{
ab= c
b veces
Para la potencia ab debe emplearse el número básico a b veces
como el factor de una multiplicación para obtener la potenciación.
Ejemplos: 35 = 3·3·3·3·3 = 243
(– 2)4 = (– 2) · (– 2)· (– 2)· (– 2) = (+16)
(– 2)5 = (– 2) · (– 2)· (– 2)· (– 2)· (– 2) = (– 32)
Extracción de raíces
exponente de la raíz
√⎯a = c
b
valor de la raíz; léase: la raíz b-enésima de a es c
radicando
La radicación se llama extracción de raíces. El exponente de la
raíz b indica el número de veces que el factor a debe aparecer
bajo el símbolo de la raíz, por lo cual se escribe una sola vez frente al símbolo de raíz. Para la raíz b-enésima el factor b debe sucederse como producto b veces bajo el símbolo de la raíz, para
que una sola vez éste pueda escribirse frente al símbolo de raíz.
Ejemplos:
√⎯a
2
también puede presentarse sin el exponente de la raíz: raíz
cuadrada.
Para exponentes de la raíz que sean números pares, el radicando en el conjunto IR de números reales no puede ser negativo.
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Matemáticas
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√⎯–4 no se define; √
⎯–2 no se define.
No existe ningún número real con el cual pueda obtenerse un
valor de producto negativo al multiplicarlo por sí mismo. Esto
significa que bajo una raíz con un exponente de raíz que sea número par, sólo pueden aparecer valores positivos (excepto los
números complejos).
Obtención de logaritmos
antilogaritmo
logba = c
base
léase: el logaritmo de a
de base b es c
logaritmo
La función inversa de la exponenciación es la función logaritmo,
a través de la cual para la exponenciación dada y para la base
dada se busca el exponente.
bx = a ⇔ x = logba; blog a = a
b
léase: el logaritmo de a con base b es aquel número al cual se
debe elevar b para obtener a.
Para determinar el logaritmo primero debe emplearse una tabla
de logaritmos. Desde la introducción de las calculadoras de bolsillo esta tabla ya no es necesaria.
Para logba debe tenerse b > 0; b 1; a > 0
5. Regla de los signos
Suma y resta
Diferenciamos entre el signo antepuesto a un número y el signo
de operación para los números:
(+2)
↑
Signo
antepuesto
al número
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–
↑
Signo de
operación
(– 4)
↑
Signo
antepuesto
al número
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=
+6
↑
Signo de
operación
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Símbolos
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Al combinarse los signos antepuestos a los números con los signos de operación se obtiene: + y + → +; – y – → +; + y – → –; –
y + → –.
+ (+a) = +a; – (–a) = +a; + (–a) = –a; – (+a) = –a
Un signo positivo frente a un paréntesis no cambia al signo del
paréntesis.
a + (b – c) = a + b – c
Un signo negativo frente a un paréntesis invierte a todos los signos en el paréntesis.
a – (b – c) = a – b + c
Ejemplos: 3 + (4 – 6) = 3 + 4 – 6 = 1
3 – (4 – 6) = 3 – 4 + 6 = 5
Multiplicación y división
Cuando dos factores tienen el mismo signo, entonces el producto siempre es positivo. Si dos factores tienen signos diferentes, entonces el producto siempre es negativo.
(+a) · (+b) = +ab;
(+a) · (– b) = – ab;
(– a) · (– b) = +ab
(– a) · (+b) = – ab
Ejemplos: (+4) · (+5) = +20; (– 4) · (– 5) = +20;
(+4) · (– 5) = – 20; (– 4) · (+5) = – 20
Si en una división el dividendo y el divisor tienen el mismo signo,
entonces el cociente siempre es positivo. Si los signos del dividendo y del divisor son diferentes, el cociente siempre es negativo.
(+a) : (+b) = + –ab;
(– a) : (– b) = + –ab
(+a) : (– b) = – –ab;
(– a) : (+b) = – –ab
Ejemplos: (+6) : (+3) = + –36 = +2; (– 6) : (– 3) = + –36 = +2;
(+6) : (– 3) = – –36 = – 2; (– 6) : (+3) = – –36 = – 2
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Matemáticas
6. Operaciones con quebrados
Expansión
Los quebrados se expanden si el numerador y el denominador
se multiplican por el mismo factor.
–ab =
a·k
b·k
; factor de expansión k
Ejemplo: –43 =
4·2
3·2
= –86 =
8·3
6·3
24
= 18
Reducción
Los quebrados pueden reducirse cuando en el numerador y en
el denominador se presentan los mismos
a·b
b·c
= –ac ; factor común b
Ejemplos:
4·7
5·7
= –45 ;
3·8
2·5
=
3· 4 · 2
2·5
=
12
5
En diferencias y en sumas no se pueden reducir.
Racionalización de denominadores
Al expandir un quebrado el denominador puede racionalizarse. El
factor de expansión, ya sea el factor común o un término, es aquel
que permita obtener en el denominador una tercera forma binomial.
racional
racional
Ejemplos:
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Símbolos
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Adición y sustracción
Los quebrados que tengan el mismo denominador pueden al
conservar el denominador restarse y sumarse entre sí. Si los denominadores son diferentes, entonces deben igualarse de la
mejor manera posible con el mínimo común múltiplo.
–ab + –cb – d–b =
a + c –d
b
–ab + –cd =
a·d+c·b
b·d
–ab – –cd =
a·d–c·b
b·d
b · d – significa denominador principal
Ejemplos:
12 + 10 22
15 = 15 ← Denominador principal
–45 + –23 =
4·3+2·5
5·3
=
–56 – –14 =
5·2–1·3
6·2
7
= 12
–
← Denominador principal
Multiplicación y división
Los quebrados pueden multiplicarse al multiplicar numerador
por numerador y denominador por denominador. Los factores
iguales pueden reducirse. Los quebrados pueden dividirse si se
multiplican por el inverso del divisor. Para ello debe seguirse la
regla de los signos.
Ejemplos:
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Matemáticas
7. Clasificación de los números
Números complejos
Números imaginarios
Números reales
Números racionales
Números irracionales
(quebrados decimales
no periódicos infinitos)
Números enteros
Números
enteros
negativos
Números
enteros
positivos
Números
algebraicos
Números
quebrados
Números
trascendentes
Conjunto de los números naturales
Símbolo ⺞
(números enteros positivos)
Conjunto de los números enteros
Símbolo ⺪
(números enteros negativos y positivos con cero)
Conjunto de los números racionales
Símbolo ⺡
(números enteros y números quebrados)
Conjunto de los números reales
Símbolo ⺙⺢
(números racionales y números reales
números irracionales
no racionales)
Conjunto de los números complejos
Símbolo ⺓
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números imaginarios
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Aritmética/álgebra
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II. Aritmética y álgebra
La aritmética (la ciencia de los números) es el cálculo con números y el empleo de reglas de operación con números. De manera abreviada el álgebra es originalmente la ciencia de las ecuaciones y sus métodos de solución. En la teoría moderna del
álgebra se investigan las estructuras de los conjuntos matemáticos y las propiedades de relación de sus elementos. Se buscará
conforme a reglas formales, a aquellos elementos que subyacen
a estos conjuntos matemáticos.
1. Operaciones con el conjunto
de los números reales
(Para un concepto de los números reales, véase la página 19)
El valor absoluto de los números reales
El valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual
a cero.
IaI =
{
a para a > 0
0 para a = 0
– a para a < 0
a y –a están situados a la misma distancia del origen 0 en la recta
numérica. El valor absoluto de a también da la distancia de a
desde el origen.
Ejemplos: I+4I = 4
I– 4I = – (– 4) = +4 = 4
El valor absoluto de la diferencia de dos números siempre es
mayor que o igual a cero.
El valor absoluto de la suma de dos números es asimismo siempre mayor que o igual a cero.
Ia–bI =
ALFAOMEGA
{
a – b para a > b
0
para a = b
b – a para a < b
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