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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Decanato de Estudios de Postgrado
Doctorado en Ingeniería
DESARROLLO DE UN HORNO DE INDUCCIÓN CON CONTROL DE
POTENCIA USANDO TÉCNICAS DE MODULACIÓN SOBRE UNA
CARGA RESONANTE
Tesis Doctoral presentada a la Universidad Simón Bolívar por
Julio Sergio Walter Horvath
Como requisito parcial para optar al grado de
Doctor en Ingeniería
Realizado con la tutoría del Profesor Víctor Guzmán
Marzo, 2006
i
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Decanato de Estudios de Postgrado en Ingeniería
ii
Dedicatoria
... A mi esposa, Ana Teresa, que ha tenido la paciencia para esperar...
... A mi hijo, Manuel, que me hizo esperar...
... A mi suegra, Estrella, por su enorme colaboración...
iii
Agradecimiento
Este trabajo ha sido el producto de muchas interacciones con diversas personas e
instituciones, tanto dentro como fuera de la Universidad Simón Bolívar, trascendiendo incluso
las fronteras de Venezuela.
Cuando comencé a esbozar el proyecto que culmina con este informe, allá por el
aparentemente lejano año 2001, e inicié el proceso de revisión bibliográfica, nombres como
Esteve, V., Martínez, J., Dede, E. Espí, J., eran solamente eso, nombres incluidos en trabajos
relacionados con el tópico que escogí como tesis a ser desarrollada.
Azares del destino, que si creemos en el destino quizá no fueron azares, hicieron que la
pasantía doctoral la hiciese en España, en la Universidad de Valencia, en donde aquellos
nombres se convirtieron de repente en personas de carne y sangre, en amigos cuya amistad la
distancia solo ha hecho crecer, por lo que es necesario reconocer, en un agradecimiento
infinito, la colaboración y aporte que han hecho para la culminación de este proyecto, por lo
tanto solo tengo una palabra para ellos:
Gracias.
Enrique Dede
José (Pepe) Martínez
Vicente Esteve
César Cases
Silvia Casans
Juan Egea
José Espi
Agustín Ferreres
Rafael García
Enrique Maset
Diego Ramírez
Candid Reig
Esteban Sanchis
Ya de este lado del Atlántico es necesario también reconocer y agradecer a aquellos que han
puesto su grano de arena para que el proyecto terminase de fructificar. A ellos, Gracias
Víctor Guzmán
Gerardo Fernández, por una s bien puesta
José Restrepo
Como siempre peca uno por defecto al momento de agradecer, ya que siempre existen
personas a las cuales uno no es capaz de recordar en el momento y que también aportaron
algo: una sonrisa en momentos difíciles, un consejo en apuros, una conversación trivial en el
momento justo, a ellos también les hago llegar mi más profundo agradecimiento.
iv
v
vi
Resumen
El presente trabajo muestra la realización de un sistema de calentamiento inductivo de baja
potencia (<10 KW) y media frecuencia (<100 KHz) para su uso como dispositivo de
transferencia de energía hacia materiales conductores. El generador trabaja en modo resonante,
con la conmutación de los interruptores de potencia sincronizados con el cruce por cero (ZCS)
de la corriente, basándose el control en un sistema Delta modificado mediante el agregado de
una red de compensación Proporcional Integro Diferencial (PID), que permite estabilizar la
potencia transferida hacia la carga contra factores externos tales como variación de la tensión
de línea, cambios en las propiedades físicas del material, etc.
Palabras Clave: Delta, Densidad de Pulsos, Calentamiento Inductivo, Resonante,
Conmutación Cero Corriente, ZCS, PID.
vii
Índice General
1.
2.
Introducción ....................................................................................... 1
1.1.
Presentación .................................................................................................. 1
1.2.
Aplicaciones................................................................................................... 1
Principios Básicos del Calentamiento Inductivo............................. 4
2.1.
Fenómenos que originan calentamiento por inducción ............................ 4
2.2.
El principio físico del calentamiento por inducción .................................. 5
2.3.
El efecto transformador ............................................................................... 6
2.4.
La región de transición ................................................................................ 7
2.4.1 Los campos en la región de transición ...................................................... 7
2.4.2 Las corrientes inducidas en la región de transición................................. 10
2.4.3 La potencia disipada en la región de transición ...................................... 11
2.4.4 Profundidad de penetración..................................................................... 12
2.5.
Resistencia equivalente .............................................................................. 16
2.5.1
2.5.2
2.6.
Rendimiento del calentamiento............................................................... 20
Frecuencia crítica .................................................................................... 21
Parámetros que influyen en el calentamiento por inducción ................. 21
2.6.1 El tipo de pieza a calentar ....................................................................... 22
2.6.2 Intensidad del campo magnético ............................................................. 27
2.6.3 Posición relativa entre inductor y pieza .................................................. 35
3.
Topologías de Control de Sistemas Resonantes ............................ 42
3.1.
Presentación ................................................................................................ 42
3.2.
Control en régimen resonante permanente.............................................. 42
3.3.
Sistemas de control cuasi-resonantes........................................................ 45
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
4.
Modulación Delta.................................................................................... 46
Resonancia en la frontera (edge resonance) ........................................... 47
Sistema multifrecuencial ......................................................................... 48
Control por PFM (Pulse Frequency Modulation) ................................... 49
Desplazamiento de fase........................................................................... 50
Resonancia con circuitos activos............................................................. 52
Estudio del Generador Resonante Serie ........................................ 54
4.1.
Presentación ................................................................................................ 54
viii
4.2.
Modelo serie de inductor con carga .......................................................... 54
4.2.1 El efecto transformador ........................................................................... 54
4.2.2 Simulación mediante Elementos Finitos Magnéticos ............................. 56
4.3.
Generador Resonante Serie ....................................................................... 59
4.3.1 Circuitos de salida para calentamiento por inducción............................. 60
4.3.2 Análisis del circuito RLC bajo régimen de resonancia permanente ....... 60
4.3.3 Impedancia del circuito RLC .................................................................. 66
5.
Desarrollo del Sistema de Control de Potencia ............................. 69
5.1.
Presentación ................................................................................................ 69
5.2.
Esquema del Sistema de Control............................................................... 69
5.3.
Modelos Matemáticos del Inversor ........................................................... 70
5.3.1 Sistema Calentamiento (planta) .............................................................. 70
5.3.2 Modelo Matemático de la Red de Compensación (PID)......................... 72
5.3.3 Modelo Matemático del Sensor de Potencia ........................................... 74
6.
Implementación Física del Sistema de Calentamiento ................. 81
6.1.
Presentación ................................................................................................ 81
6.2.
Sistema de Potencia .................................................................................... 82
6.2.1 Módulo Rectificador y Salida de Potencia.............................................. 82
6.2.2 Módulo Manejador (driver) .................................................................... 83
6.2.3 Circuito Final de Potencia ....................................................................... 84
6.2.4 Generación de sincronía .......................................................................... 86
6.3.
Sensor de Tensión, Corriente y Potencia.................................................. 87
6.3.1 Medición de Tensión............................................................................... 87
6.3.2 Medición y Generación de la Referencia de Corriente ........................... 94
6.3.3 Medición de Potencia .............................................................................. 95
6.3.4 Función de transferencia total del Sensor de Potencia............................ 96
6.4.
Sistema de Control y Supervisión ............................................................. 98
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
6.4.5
6.4.6
6.4.7
6.5.
Cierre del Lazo del PLL .......................................................................... 98
Generación del Delta Sincrónico........................................................... 100
Protección contra Sobre-Corrientes ...................................................... 101
Cierre del Lazo de Control con el Sistema PID .................................... 102
Medición de la Corriente RMS de la Bobina de Inducción .................. 102
Protecciones ........................................................................................... 103
Interfaz Hombre-Máquina y Comunicaciones RS-232 ......................... 104
Análisis y Escogencia del Transformador de Acople ............................ 105
6.5.1 Cálculo Simplificado de un Transformador Convencional................... 105
6.5.2 Simulación a través de Elementos Finitos Magnéticos ......................... 112
ix
6.5.3
6.6.
Sistemas Secundarios ............................................................................... 116
6.6.1
6.6.2
6.7.
Sistema de Refrigeración ...................................................................... 116
Sistema Eléctrico................................................................................... 118
Entonación del Sistema PID .................................................................... 119
6.7.1
7.
Implementación física del transformador.............................................. 115
Montaje Físico del Inversor y del Horno de Inducción......................... 123
Resultados Experimentales y su Análisis..................................... 126
7.1.
Presentación .............................................................................................. 126
7.2.
Calibración de los Sensores ..................................................................... 126
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.3.
Sistema de Adquisición de Datos.......................................................... 126
Sensor de Temperatura del Módulo de Potencia................................... 126
Verificación de la Linealidad y Calibración del Sensor de Corriente... 128
Verificación de la Linealidad del Sensor de Voltaje............................. 130
Calibración del Sensor de Potencia....................................................... 131
Resultados Experimentales del Sistema a Lazo Abierto....................... 134
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.3.4
7.3.5
Evaluación de las Resistencias Asociadas en Vacío y con Carga......... 134
Evaluación de las Frecuencias de Resonancia con Carga y en Vacío... 135
Formas de Onda Asociadas a la Conmutación...................................... 136
Efectos del Control Delta sobre el Inversor con Transformador .......... 139
Efectos del Control Delta sobre el Inversor sin Transformador............ 142
8.
Conclusiones ................................................................................... 151
9.
Bibliografía ..................................................................................... 154
10.
Apéndices..................................................................................... 160
10.1.
Cálculo aproximado de la variación de la potencia disipada en un
conductor cilíndrico de cobre en función de la frecuencia........................................... 161
10.2.
Listado del microkernel en C de manejo y supervisión .................... 166
x
Índice de Tablas y Figuras
Tabla 2.1. Variación de la profundidad de penetración para varios materiales no magnéticos en
función de la temperatura y de la frecuencia.............................................................................30
Tabla 2.2. Variación de la profundidad de penetración (mm) para acero al carbono 1045 a
21ºC en función de la intensidad de campo magnético y de la frecuencia................................34
Tabla 2.3. Variación de la profundidad de penetración (mm) para acero al carbono 1045 a
621ºC en función de la intensidad de campo magnético y de la frecuencia..............................34
Tabla 3.1. Criterios de Diseño del Inversor Resonante .............................................................53
Tabla 4.1. Parámetros obtenidos mediante simulación de elementos finitos para el sistema de
calentamiento.............................................................................................................................59
Tabla 4.2. Parámetros directos y reflejados para el sistema de calentamiento..........................63
Tabla 6.1. Datos de Entrada para el cálculo del Transformador de Acople ............................108
Tabla 7.1. Mediciones Realizadas para la Verificación y Calibración del Sensor de Corriente
.................................................................................................................................................129
Tabla 7.2. Mediciones Realizadas para la Verificación del Sensor de Voltaje .......................131
Tabla 7.3. Mediciones Realizadas para la Calibración del Sensor de Potencia ......................132
Tabla 7.4. Comparación de las Frecuencias de Resonancias Teórica y Experimental............136
xi
Figura 2.1: Diagrama básico de un sistema de calentamiento inductivo.....................................4
Figura 2.2: Distribución de Corriente en un Sistema de Calentamiento Inductivo.....................6
Figura 2.3: Longitud de onda λ (m) en función de la frecuencia f (Hz). ..................................11
Figura 2.4: Valor normalizado para la densidad de corriente (J) y la potencia (P) en función
del radio normalizado r/δ...........................................................................................................13
Figura 2.5: Profundidad de penetración en función de la frecuencia, para diversos materiales.
...................................................................................................................................................14
Figura 2.6: Profundidad de penetración (mm) del cobre en función de la frecuencia. .............14
Figura 2.7: Pérdidas relativas de conducción en un inductor de cobre en función de la
frecuencia. .................................................................................................................................15
Figura 2.8: Caracterización geométrica de la resistencia por vuelta. ........................................19
Figura 2.9: Sección transversal de una pieza cilíndrica con su inductor de calentamiento.......23
Figura 2.10: Piezas sin simetría cilíndrica con su inductor de calentamiento...........................24
Figura 2.11: Fenómeno de cancelación de corrientes debida al espesor de las piezas abiertas:
A) Pieza en la que las corrientes circulan por las caras interiores y exteriores. B) Pieza con
poco espesor. C) Pieza con múltiples ranuras ...........................................................................25
Figura 2.12: Distribución de corrientes en presencia de un agujero paralelo a la superficie a
calentar: (A) Agujero lejos de la zona de circulación de corrientes, (B) Agujero en el camino
de las corrientes .........................................................................................................................26
Figura 2.13: Distribución de corrientes en presencia de un hueco situado en la superficie de
calentamiento.............................................................................................................................27
Figura 2.14: Variación de la profundidad de penetración en función de la temperatura y de la
frecuencia para el Acero Inoxidable..........................................................................................29
Figura 2.15: Variación de la densidad de flujo magnético (B) y la permeabilidad magnética del
material calentado (μ) en función de la intensidad de campo magnético (H) para el acero 1010
...................................................................................................................................................31
Figura 2.16: Variación de la intensidad de campo magnético (H) y la permeabilidad magnética
del material calentado (μ) en función del radio de la pieza.......................................................32
Figura 2.17: Variación de la profundidad de penetración (δ) en función de la intensidad de
campo magnético (H) y de la frecuencia a temperatura de 21 C...............................................33
xii
Figura 2.18: Variación de la profundidad de penetración (δ) en función de la intensidad de
campo magnético (H) y de la frecuencia a temperatura de 612 C.............................................35
Figura 2.19: Distribución de corrientes por efecto proximidad en conductores cilíndricos: A)
un solo cable, B) dos cables con corrientes opuestas, C) dos cables con corrientes en el mismo
sentido........................................................................................................................................36
Figura 2.20: Distribución de corrientes por efecto proximidad en conductores rectangulares:
A) dos conductores con corrientes opuestas, B) dos conductores con corrientes en el mismo
sentido........................................................................................................................................38
Figura 2.21: Zona afectada por el calentamiento y distribución de corrientes en la pieza
cuando su eje no coincide con el del inductor ...........................................................................39
Figura 2.22: Efecto anillo en conductores rectangulares: A) Barra de cobre larga, B) Sección
transversal de un anillo de cobre ...............................................................................................40
Figura 2.23: Estructuras de Bobinas de Calentamiento.............................................................41
Figura 3.1: Esquema básico del sistema resonante serie con alimentación por tensión............43
Figura 3.2: Esquema básico del sistema resonante paralelo con alimentación por tensión .....44
Figura 3.3: Esquema básico del sistema resonante serie con alimentación por corriente ........44
Figura 3.4: Esquema básico del sistema resonante paralelo con alimentación por corriente...45
Figura 3.5: Sistema modificado de alimentación resonante .....................................................46
Figura 3.6: Bloques básicos de un sistema Delta .....................................................................47
Figura 3.7: Diagrama de conmutación para un modulador delta .............................................47
Figura 3.8: Esquema simplificado del circuito de resonancia en frontera (A) y formas de onda
relevantes (B).............................................................................................................................48
Figura 3.9: (A) Esquema simplificado del circuito multifrecuencial; (B) Estados de
conducción.................................................................................................................................49
Figura 3.10: Curvas de resonancia para varios materiales .......................................................50
Figura 3.11: Topología circuital de un sistema de corrimiento de fase....................................51
Figura 3.12: Relación de conmutación del grupo de potencia .................................................51
Figura 3.13: Topología de inversor con circuito resonante auxiliar.........................................52
Figura 4.1. Conjunto inductor – pieza y su modelo de transformador. .....................................54
Figura 4.2. Circuito equivalente del conjunto inductor – pieza.................................................56
xiii
Figura 4.3. Sistema bobina-carga parcialmente ensamblado. ...................................................57
Figura 4.4. Corte transversal del sistema bobina-carga.............................................................57
Figura 4.5. Circuito equivalente total de salida del sistema de calentamiento..........................60
Figura 4.6. Circuito simulado en SPICE. ..................................................................................64
Figura 4.7. Evaluación, mediante simulación AC, del sistema de salida resonante: (IRp)
freuencia 36,224KHz, Corriente 22,072A, (IRT) frecuencia 36,224KHz, Corriente 22,150A. .64
Figura 4.8. Respuesta analítica del sistema a la excitación sen(ωt )u (t ) evaluada mediante
MATLAB. .................................................................................................................................65
Figura 4.9. Simulación mediante SPICE de la respuesta del sistema a la excitación
sen(ωt )u (t ) . ..............................................................................................................................65
Figura 4.10. Módulo de la impedancia de un circuito resonante serie ......................................67
Figura 4.11. Fase de la impedancia de un circuito resonante serie ...........................................68
Figura 5.1. Esquema en bloques del inversor............................................................................69
Figura 5.2. Envolvente de la respuesta del sistema a sen(ωt )u (t ) evaluado en MATLAB.......71
Figura 5.3. Respuesta en potencia del sistema a un escalón unitario u(t) .................................73
Figura 5.4. Esquema de la red de compensación.......................................................................73
Figura 5.5. Circuito RL Equivalente .........................................................................................74
Figura 5.6. Esquema de bloques del sensor de potencia ...........................................................75
Figura 5.7. Circuito del filtro pasa-bajo propuesto....................................................................77
Figura 5.8. Diagrama de Bode del filtro pasa-bajo Simulado Mediante SPICE. ......................77
Figura 5.9. Diagrama de Bode Analítico del filtro pasa-bajo....................................................80
Figura 6.1. Diagrama del Sistema de Calentamiento. ...............................................................82
Figura 6.2. Bloque de Potencia usado en el Inversor: (A) Diagrama eléctrico, (B) Encapsulado
...................................................................................................................................................83
Figura 6.3. Sistema Manejador (driver) usado en el Inversor ...................................................84
Figura 6.4. Esquema de la etapa de Potencia del Inversor ........................................................85
Figura 6.5. Esquema simplificado del generador de sincronía..................................................86
xiv
Figura 6.6. Circuito impreso de la tarjeta de potencia...............................................................87
Figura 6.7. Amplificador Diferencial Capacitivo......................................................................88
Figura 6.8. Amplificador Diferencial Capacitivo real...............................................................89
Figura 6.9. Diagrama de Bode del Amplificador Diferencial Capacitivo real. .........................90
Figura 6.10. Amplificador Diferencial Capacitivo con compensación de fase. ........................90
Figura 6.11. Diagrama de Bode del Amplificador Diferencial Capacitivo con compensación de
fase.............................................................................................................................................91
Figura 6.12. Respuesta real del Amplificador Diferencial Capacitivo a una entrada alterna....92
Figura 6.13. Fabricación y conexión del condensador de entrada.............................................93
Figura 6.14. Sistema de Medición de Corriente ........................................................................94
Figura 6.15. Sistema de Generación de la referencia de Corriente ...........................................95
Figura 6.16. Circuito de Generación de la Señal de Potencia ...................................................95
Figura 6.17. Diagrama de Bode del Filtro Pasa-Bajo final .......................................................96
Figura 6.18. Diagrama de Bode del Sistema Sensor de Potencia..............................................97
Figura 6.19. Circuito de realimentación del PLL ......................................................................99
Figura 6.20. Relación de cruce por cero de corriente (Ch1) y la conmutación de la tensión
(Ch3), para valores binarios de retardo 00 (A), 01 (B), 10 (C) y 11 (D).................................100
Figura 6.21. Circuito de Generación Delta y Protección contra Sobrecorrientes....................101
Figura 6.22. Circuito final del Compensador PID...................................................................102
Figura 6.23. Circuito de medición de corriente RMS verdadera.............................................103
Figura 6.24. Circuito de Centralización de Protecciones ........................................................103
Figura 6.25. Detalle de la Interfaz Hombre-Máquina y de la Comunicación Serie ................104
Figura 6.26. Función f(t) Típica de Alimentación en Fuentes de Alta Frecuencia .................107
Figura 6.27. Corte Transversal de un Transformador de Alta Frecuencia ..............................110
Figura 6.28. Modelo Eléctrico de un Transformador Real......................................................110
Figura 6.29. Topologías de transformadores de Alta Frecuencia: (A) No imbricado, (B)
Imbricado y (C) Coaxial ..........................................................................................................112
xv
Figura 6.30. Simulación de transformadores de Alta Frecuencia mediante Elementos Finitos:
(A) No imbricado, (B) Imbricado, (C) Coaxial. (1) Módulo de la densidad de Corriente
(35A/mm2 máx.), (2) Densidad y Líneas de Campo Imaginarias (0,2T máx.), (3) Densidad y
Líneas de Campo Reales (0,025T máx.)..................................................................................113
Figura 6.31. Transformador de Alta Frecuencia: (A) Parcialmente Montado con el núcleo, (B):
Detalle del Primario dentro del Secundario, (C) Transformador Ensamblado........................116
Figura 6.32. Sistema de Refrigeración: (A) Entrada de Agua y Enfriamiento del Módulo de
Potencia, (B): Detalle de la conexión al transformador y al condensador. .............................117
Figura 6.33. Sistema de Conexionado Eléctrico......................................................................118
Figura 6.34. Respuesta al Escalón del Inversor.......................................................................120
Figura 6.35. Respuesta a lazo abierto del Inversor: (Arriba) Diagrama de Bode, (Abajo)
Diagrama de Polos y Ceros .....................................................................................................121
Figura 6.36. Respuesta a lazo cerrado del Inversor: (Arriba) Diagrama de Bode, (Abajo)
Diagrama de Polos y Ceros .....................................................................................................122
Figura 6.37. Circuito final del Compensador PID...................................................................123
Figura 6.38. Implementación Física del Sistema de Calentamiento Inductivo .......................124
Figura 6.39. Etapa de Potencia del Inversor............................................................................124
Figura 6.40. Detalle del Horno de Inducción y su Carga ........................................................125
Figura 6.41. Detalle de la Línea de Transmisión.....................................................................125
Figura 6.42. Detalle del Visualizador y de los Datos Presentados ..........................................125
Figura 7.1. Resistencia del termistor del Módulo de Potencia vs. Temperatura. ....................127
Figura 7.2. Circuito de Polarización del Termistor .................................................................127
Figura 7.4. Verificación de la Linealidad del Sensor de Corriente .........................................129
Figura 7.5. Calibración Global del Sensor de Corriente..........................................................130
Figura 7.6. Verificación de la Linealidad del Sensor de Voltaje.............................................131
Figura 7.7. Obtención de la Constante de Escalamiento para el Sensor de Potencia..............133
Figura 7.8. Calibración Final del Sensor de Potencia..............................................................133
Figura 7.9. Potencia de Salida en Función de la Corriente al Cuadrado para una Carga de
Aluminio y en Vacío ...............................................................................................................135
xvi
Figura 7.10. Oscilograma General del Proceso de Transferencia de Energía: (Ch1) Forma de
Onda de la Corriente, (Ch3) Tensión de los IGBT de Potencia, (Ch4) Forma de Onda de la
Tensión sobre la Bobina ..........................................................................................................137
Figura 7.11. Detalle del Proceso de Conmutación mostrando ZCS: (Ch1) Forma de Onda de la
Corriente, (Ch3) Tensión de los IGBT de Potencia ................................................................138
Figura 7.12. Carga de Aluminio Fundido en el Horno de Inducción ......................................139
Figura 7.13. Diagrama de Tiempo de la Falla en el Inversor: (Ch1) Corriente sobre la Bobina
de Inducción, (Ch2) Referencia de Frecuencia, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de
Potencia y (Ch4) Señal de manejo de los IGBT de Potencia ..................................................140
Figura 7.14. Topología del Inversor Medio-Puente ................................................................141
Figura 7.15. Detalle de la Falla en el Inversor: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de Inducción,
(Ch2) Referencia de Frecuencia, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y (Ch4)
Señal de manejo de los IGBT de Potencia ..............................................................................142
Figura 7.16. Respuesta a lazo cerrado del Inversor sin Transformador: (Arriba) Diagrama de
Bode, (Abajo) Diagrama de Polos y Ceros .............................................................................144
Figura 7.17. Efecto del Control Delta sin Transformador: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de
Inducción, (Ch2) Potencia de Salida, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y
(Ch4) Tensión en la Bobina. (A) 250W, (B) 500W, (C) 750W y (D) 1KW ...........................145
Figura 7.18. Gráfica Potencia-Tensión para el Control Delta sin Transformador ..................146
Figura 7.19. Detalle de las Formas de Onda para una relación elevada de la Tensión de Bus
respecto a la Potencia de Salida: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de Inducción, (Ch2)
Potencia de Salida, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y (Ch4) Tensión en la
Bobina......................................................................................................................................147
Figura 7.20. Evolución de la Potencia y la Corriente de Salida para el Inversor sin
Transformador y a una consigna de 500W..............................................................................148
Figura 7.21. Evolución de la Potencia de Salida para el Inversor sin Transformador frente a
Variaciones en la Consigna .....................................................................................................149
Figura 10.1: Aproximación a la sección cilíndrica mediante una lámina delgada. .................161
Figura 10.2: Relación de Resistencia AC vs. DC del cobre en función de la frecuencia........163
Figura 10.3: Relación de Resistencia AC vs. DC del cobre en función de α..........................164
xvii
Lista de Símbolos y Abreviaturas
μ:
Permeabilidad magnética del material calentado.
μ0 :
Permeabilidad magnética del vacío.
r
H, H :
r
B, B :
Densidad de flujo magnético.
N:
Número de espiras del inductor.
I, i:
Corriente por el inductor.
l:
Longitud del circuito magnético o del inductor.
ε:
Fem o fuerza electromotriz.
ε:
Constante dieléctrica del medio.
Φ:
Flujo del campo magnético.
P:
Potencia disipada en la resistencia equivalente de la pieza a calentar.
Req:
Resistencia equivalente por la que circula la corriente inducida.
iF:
r
J:
Corrientes inducidas en la pieza.
ρC:
r
D:
Densidad de carga del medio.
Vector desplazamiento.
σ:
Conductividad del material calentado.
ρ:
r
∇:
r
n
r
E RT :
r
H RT :
r
E RT t :
r
E RT n :
r
H RT t :
r
H RT n :
Resistividad eléctrica.
( )
( )
( )
( )
Campo magnético alterno.
Densidad de corriente.
Operador nabla.
Vector normal a la superficie de la pieza calentada.
Campo eléctrico en la región de transición.
Campo magnético en la región de transición.
Componente tangencial del campo eléctrico en la región de transición.
Componente normal del campo eléctrico en la región de transición.
Componente tangencial del campo magnético en la región de transición.
Componente normal del campo magnético en la región de transición.
xviii
ϖ:
r
H0 :
Frecuencia de los campos (en rad/s).
δ:
Profundidad de penetración.
Zs:
Impedancia superficial.
r:
Radio del cilindro usado como pieza a calentar.
RS:
Resistencia superficial de la pieza a calentar.
J0:
Densidad de corriente en la superficie de la pieza.
P0:
Potencia disipada en la superficie de la pieza.
µ0:
Permeabilidad magnética del vacío = 4π ⋅ 10 −7 .
µr:
Permeabilidad magnética relativa del material.
Aa:
Area eficaz para el flujo del campo magnético en el exterior de la bobina.
A:
Area eficaz para el flujo del campo magnético en la pieza.
l:
Longitud de la bobina de calentamiento.
la :
r
Ha :
Longitud del camino magnético externo a la bobina.
Campo magnético en el exterior de la bobina.
KR:
Factor de corrección de la resistencia equivalente.
S:
Superficie total calentada.
RN:
Resistencia por vuelta de la pieza.
Rb:
Resistencia de la bobina de calentamiento para esa frecuencia.
ηcal:
Rendimiento del calentamiento.
fcr:
Frecuencia crítica de calentamiento.
Hcr:
Intensidad de campo magnético crítica.
µmax:
Permeabilidad magnética máxima del material calentado.
Hsup:
Intensidad de campo magnético en la superficie del material.
Tc:
Temperatura de Curie o punto de Curie.
Q:
Factor de calidad.
Preac:
Potencia reactiva almacenada en el inductor.
Pact:
Potencia activa disipada en la resistencia.
D:
Factor de disipación.
RE:
Resistencia que presenta la cara exterior del tubo.
LE:
Inductancia que presenta la cara exterior del tubo.
Campo magnético en la superficie de la pieza.
xix
RI:
Resistencia que presenta la cara interior del tubo.
LI:
Inductancia que presenta la cara interior del tubo.
e:
Energía de carga del condensador del resonante.
L:
Inductancia del inductor de calentamiento.
C:
Condensador para compensar la potencia reactiva de L.
iC :
Corriente por el condensador.
i L:
Corriente por la bobina.
vC:
Tensión en el condensador.
vL:
Tensión en la bobina.
Vp:
Tensión en el condensador en el instante inicial.
Ip :
Corriente por la bobina máxima del oscilador ideal.
vin:
Tensión de entrada del circuito R-L-C.
c1:
Constante dependiente del valor de la tensión de vC en el instante t=0.
ξ:
Parámetro de amortiguamiento.
ωr, ω0:
Frecuencia de resonancia (en rad/s).
Zc:
Impedancia característica.
s:
Variable de la Transformada de Laplace.
Z(s):
Función impedancia.
Z(sN):
Función impedancia normalizada.
sN:
Variable de la Transformada de Laplace normalizada.
ωN:
Frecuencia de resonancia normalizada.
Vin:
Tensión de entrada al circuito LRC.
R, Req:
Resistencia equivalente del modelo serie de inductor de calentamiento.
i:
Corriente por el circuito LRC.
Pres:
Potencia máxima especificada en la resistencia.
Q:
Factor de calidad de la bobina a la frecuencia de resonancia.
n:
Relación de transformación de un transformador de potencia activa.
f:
Frecuencia de resonancia del oscilador serie.
V, vs:
Tensión de salida del puente inversor.
I, is:
Corriente de salida del puente inversor.
IGBT:
Insulated Gate Bipolar Transistor.
P, W:
Potencia de salida del inversor serie.
xx
V:
Tensión soportada por el conmutador.
I:
Corriente por el conmutador.
φ, ϕ:
Fase entre corriente y tensión de salida del inversor serie.
Ipico:
Corriente de pico de salida del puente inversor serie.
Isalida:
Forma de onda de la corriente de salida del inversor serie.
Vsalida:
Forma de onda de tensión de salida del inversor serie con onda cuadrada.
α:
Razón entre la diferencia de radio de un tubo y el espesor de la piel.
VDC:
Tensión de alimentación del inversor.
ID
Corriente continua directa máxima o corriente directa.
VR:
Tensión inversa aplicada a un diodo durante su conmutación a corte.
Vf:
Tensión de conducción inicial en un diodo.
lp :
Inductancia de dispersión del primario del transformador de salida.
Lp:
Inductancia de magnetización del primario del transformador de salida.
ls :
Inductancia de dispersión secundario.
B:
Densidad de flujo del núcleo del transformador de salida.
Tj:
Temperatura de la unión.
a, n:
Relación de vueltas=Np/Ns
Cp:
Capacitancia equivalente al primario
Cs:
Capacitancia equivalente al secundario
Eg:
Fuente de voltaje
Eout:
Voltaje de salida
K:
Coeficiente de acoplamiento
Rp:
Resistencia del primario
Rc:
Resistencia equivalente a las pérdidas del núcleo
Rg:
Impedancia de la fuente
Rl:
Impedancia de carga
Rs:
Resistencia del secundario
ZCS:
Zero Current Switching (Conmutación a cero Coriente)
PID:
Red de compensación Proporcional Integro-Diferencial
1
1.
Introducción
1.1. Presentación
La inducción electromagnética, como concepto operativo, tiene sus orígenes con el desarrollo
del transformador, alrededor de los años cincuenta del siglo diecinueve, seguido en 1884 por
los análisis de las corrientes parásitas en materiales conductores sometidos a campos
magnéticos alternantes. En aquellos tiempos estas corrientes representaban un problema para
el usuario, debido a que únicamente producían pérdidas en el material y no hubo intentos
reales de aprovecharlas entonces. Esto cambió en 1906, cuando fue introducido el primer
sistema de calentamiento basado en las corrientes parásitas, también llamadas de Foucault, con
el fin de utilizarlo en fundición de metales. En 1916, el Dr. E. F. Northrup [1] comenzó sus
experimentos usando corrientes a mayor frecuencia, lo que condujo al desarrollo de hornos de
fundición mediante inducción electromagnética. Inmediatamente y en rápida sucesión, fueron
realizados otros desarrollos y mejoras, de manera que hoy día, los procesos de calentamiento
inductivo encuentran amplios usos en la industria metalmecánica, así como en otras áreas.
1.2. Aplicaciones
El calentamiento inductivo se utiliza en varias aplicaciones industriales y caseras donde se
requiere calentamiento de metales, tales como soldadura, endurecimiento, forja, fundición,
expansión, relajamiento de estrés, templado, etc. Sus principales usos industriales son, sin
embargo, la unión de piezas metálicas y el endurecimiento localizado de partes de acero
(engranajes, tornillos, barras, etc.), aunque está ganando campo en aplicaciones tales como
fabricación de semiconductores, industria alimenticia y tratamiento de desechos nucleares. El
calentamiento inductivo no es necesariamente el mejor método para todos los casos, sin
embargo hay condiciones en algunos procesos que impiden el uso de otros métodos. Un caso
emblemático es la fundición o soldadura en atmósferas inertes o en el vacío. Una descripción
más detallada de las diversas aplicaciones se presenta a continuación.
™ Forja: Se consigue un calentamiento homogéneo del material mediante un inductor
tipo solenoide para su posterior proceso de conformado mecánico. Este proceso se
suele realizar a altas potencias y frecuencias bajas.
™ Fusión: Los materiales son llevados a su temperatura de fusión en el interior de un
2
crisol. Igual que la forja, este suele realizarse a altas potencias y bajas frecuencias.
™ Tratamientos térmicos [2]: Los más comunes son el temple, revenido y normalizado de
piezas de acero. En el temple, la superficie de la pieza es sometida a un calentamiento
rápido y a un posterior enfriamiento con lo que se consigue una transformación de la
estructura y composición del acero con objeto de aumentar su dureza. En los revenidos
y normalizados un calentamiento controlado de la pieza reduce tensiones mecánicas o
defectos de estructura del acero. Los temples se realizan con potencias elevadas y
frecuencias en torno a los 10 kHz mientras que los revenidos y normalizados son
realizados con bajas frecuencias y potencias, de manera que el proceso se realice
homogéneamente en toda la pieza.
™ Soldadura: Mediante un calentamiento a alta temperatura de partes de una misma
pieza o piezas distintas se consiguen soldaduras de alta calidad. Una aplicación especial
de soldadura en la que es prácticamente imprescindible el uso del calentamiento por
inducción, es la soldadura de tubo llamado sin costura, en la que los bordes de una banda
de acero previamente conformado de manera cilíndrica se sueldan longitudinalmente para
producir de modo continuo tubería de alta calidad.
™ Sellado de envases: Algunos envases de material plástico contienen sustancias que no
pueden exponerse a los agentes externos. El sellado se realiza añadiendo una fina
cubierta metálica (de aluminio) que se calienta por inducción consiguiéndose un
posterior pegado debido a la fusión del plástico del envase con otro que se encuentra
bajo la cubierta metálica.
™ Curado de adhesivos y pastas sellantes (bonding): El sector automotriz suele usar
pastas especiales para asegurar el perfecto sellado y unión de diversas piezas, sobre
todo de la carrocería de los vehículos. Mediante calentamiento por inducción de las
superficies metálicas donde han sido depositadas estas pastas, se acelera el curado de
las mismas, optimizando su distribución y fraguado.
™ Cocinas de inducción: Mediante la inducción es posible construir cocinas con las que
se consigue calentar ciertos utensilios metálicos (ollas y sartenes) con gran rapidez,
seguridad y rendimiento.
™ Sobrecalentamiento de gases ionizados. En la generación de plasmas gaseosos de alta
temperatura es posible, mediante la inducción, aumentar aun más la temperatura del
gas ya que éste, en forma de plasma, es conductor.
™ Fabricación de semiconductores: El calentamiento por inducción se utiliza también en
procesos de crecimiento de cristales de germanio y silicio, dopaje y deposición
epitaxial.
™ Extrusión: Para obtener perfiles de diferentes materiales como aluminio, cobre, acero,
etc. se parte del material a una determinada temperatura. Esta temperatura se consigue
por medio del calentamiento por inducción.
™ Calentamiento de banda: Se utiliza el calentamiento por inducción para obtener
bandas calientes en procesos de tratamiento en continuo.
™ Zunchado: A este proceso también se le conoce como pegado por presión. Consiste en
calentar una pieza circular para que se dilate. Una vez dilatada la pieza exterior se
3
introduce en su interior otra pieza fría, cuando se enfría y contrae la pieza exterior estas
dos piezas quedan perfectamente unidas sin necesidad de adhesivos.
™ Vulcanizado: Este proceso se realiza en continuo y consiste en calentar un metal que se
encuentra en el interior de una goma que lo recubre por completo. Destacan en esta
aplicación el calentamiento de cables conductores (cable submarino) y el de perfiles de
goma para las puertas de los automóviles.
™ Secado: Se pueden secar tanto materiales conductores como no conductores que se
encuentran unidos a metales. Estos procesos siempre se realizan a potencias bajas
4
2.
Principios Básicos del Calentamiento Inductivo
2.1. Fenómenos que originan calentamiento por inducción
Un sistema de calentamiento inductivo consta de tres partes principales: un generador de
corriente alterna, una bobina de calentamiento y la pieza a calentar, que se sitúa en el interior
de la bobina tal y como se puede ver en la figura 2.1 [76].
Figura 2.1: Diagrama básico de un sistema de calentamiento inductivo
Cuando la corriente alterna del generador pasa por la bobina, se genera un campo magnético
variable, de la misma frecuencia que la corriente de excitación, cerca de la superficie de la
pieza. Este campo magnético puede producir el calentamiento de la pieza mediante dos
fenómenos bien diferenciados:
™ Pérdidas por efecto Joule: Es la principal causa de disipación en el calentamiento por
inducción. Se basa en el hecho de que el campo magnético aplicado induce corrientes
sobre la superficie del material (llamadas corrientes de Foucault) y éstas producen el
calentamiento por efecto Joule. Se produce tanto en materiales ferromagnéticos (con
permeabilidad magnética μ mayor que la del vacío μ0), como en materiales no
ferromagnéticos (μ ≈ μ0).
™ Pérdidas por histéresis: Cuando se genera un campo magnético alterno H en el interior
de un material ferromagnético, la respuesta magnética B del material se ve retrasada
respecto al campo H aplicado, debido a que el campo B en el interior del material
corresponde a la suma del campo H aplicado y el creado por sus propios dipolos
magnéticos y éstos últimos tardan cierto tiempo en orientarse en la dirección del campo
aplicado; éste fenómeno, que se conoce como histéresis magnética, es el responsable
de la energía liberada en el proceso de reorientación de los dipolos magnéticos. Su
5
contribución al calentamiento es menor que la del efecto Joule y sólo es considerable
en materiales ferromagnéticos y a temperaturas que estén por debajo de la temperatura
de Curie.
Lo anterior conlleva a concluir que el mecanismo más importante de generación de calor en
una pieza calentada por inducción procede del efecto Joule, por lo que el estudio que se
realizará a continuación se centrará, únicamente, en la descripción de las pérdidas generadas
por éste último.
2.2. El principio físico del calentamiento por inducción
Usando la ley de Ampère es posible calcular el campo magnético generado por un inductor al
cual se le hace pasar una determinada corriente eléctrica. La amplitud y distribución de dicho
campo viene dado por la ley
r r
N ⋅ i = ∫ H ⋅ dl = H ⋅ l
(2.1)
Donde N es el número de espiras del inductor, i la corriente que lo atraviesa, H el campo
magnético y l la longitud del circuito.
Si la corriente introducida en el inductor es alterna se conseguirá crear un campo magnético
variable en el tiempo que en la sección especificada generará un flujo magnético también
alterno. Según la ley de Faraday, en toda sustancia conductora que se encuentra en el interior
de un campo magnético variable se genera una fuerza electromotriz (fem) cuyo valor es:
ε =− N ⋅
Donde
dφ
dt
(2.2)
ε es la fuerza electromotriz inducida, N el número de espiras del inductor y φ el flujo
del campo magnético.
A las corrientes provocadas por esta fuerza electromotriz en el interior de la sustancia
conductora se les denomina corrientes inducidas o corrientes de Foucault, iF ,y son las
responsables últimas del calentamiento por efecto Joule, cuya ley es:
P = i F2 ⋅ Req
(2.3)
6
Donde P es la potencia disipada en la resistencia equivalente de la pieza a calentar Req por la
que circula la corriente inducida iF.
2.3. El efecto transformador
El proceso de transferencia de energía entre el inductor y el material a calentar es similar, por
su principio, al de un transformador en el que el primario está constituido por el inductor, y la
pieza se corresponde con el núcleo y el secundario. A este secundario se le conecta en paralelo
una resistencia cuyo valor se corresponde con el valor de la resistencia equivalente de la pieza.
La relación de transformación es igual al número de espiras que tenga el inductor, puesto que
la pieza se comporta como un secundario de una sola espira que alimenta a una resistencia que
depende del material y de diversos parámetros físicos y eléctricos. Esto último puede
apreciarse en la figura 2.2
Figura 2.2: Distribución de Corriente en un Sistema de Calentamiento Inductivo
La resistencia equivalente de la pieza es, por lo general, de valor muy pequeño, por lo que para
generar pérdidas apreciables por efecto Joule (i2R) es necesario inducir grandes corrientes en
la carga.
La disipación de calor por efecto Joule se realiza en el interior mismo de la sustancia donde se
generan las corrientes inducidas, con lo que el calentamiento inductivo se convierte en un
método de calentamiento para materiales conductores en el que no hay transferencia de calor
desde una fuente externa, de modo que no hay pérdidas de energía por este proceso de
7
transmisión. Es decir, desde el inductor se transfiere energía electromagnética que se convierte
en energía térmica directamente en el material a calentar, por lo tanto, en el calentamiento del
material, no hay partes de la fuente de energía en contacto con la pieza a tratar térmicamente,
ni gases en combustión, ni cualquier otro elemento que limite la posición o forma del material
a calentar que puede estar en un entorno aislado de la fuente, sumergido en un líquido,
cubierto por sustancias aislantes, en atmósferas gaseosas o incluso en el vacío.
2.4. La región de transición
Se denomina región de transición a la zona de la pieza en la cual se inducen campos
electromagnéticos cuando ésta se encuentra en el interior de una bobina de calentamiento
sometida a corrientes alternas. Esto se puede apreciar en la figura 2.2 como el anillo punteado
que forma la corona externa de la carga
La región de transición determina el circuito equivalente que forma el conjunto formado por el
inductor y la pieza. El circuito equivalente depende básicamente del campo magnético
producido por el inductor y de las características electromagnéticas de la carga. Para poder
determinar el modelo eléctrico equivalente que forma el conjunto bobina-carga, se procederá a
realizar una introducción a los fenómenos electromagnéticos que se producen en el entorno
entre ambos [3].
2.4.1
Los campos en la región de transición
Las cuatro ecuaciones de Maxwell en los medios materiales son:
rr ρ
∇E = C
(2.4)
r r
∇H = 0
(2.5)
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
(2.6)
r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
(2.7)
ε
r
r
r
r
Donde E es el campo eléctrico, B la inducción magnética, H el campo magnético, J la
8
densidad de corriente, ρC la densidad de carga, ε la constante dieléctrica del medio y teniendo
en cuenta que:
r
r
D =ε ⋅E
(2.8)
r
r
J =σ ⋅E
(2.9)
r
r E
J=
(2.10)
ρ
r
Donde D es el vector desplazamiento, σ es la conductividad del material calentado y ρ su
resistividad eléctrica.
En el caso de buenos conductores, tal como son las cargas utilizadas en calentamiento por
inducción, se cumple que:
σ ≈ 10 7
(2.11)
ε ≈ 10 −12
(2.12)
por lo que la cuarta ecuación de Maxwell (2.7) para la región de transición queda como:
r
r r r ∂D
r
∇× H = J +
≈J
∂t
(2.13)
Admitiendo la simetría traslacional, las variaciones de los campos son mucho más apreciables
en la dirección normal que en cualquier otra dirección tangencial a la superficie, por lo que
puede sustituirse:
r
r ∂
∇ → n⋅
∂z
(2.14)
Mediante esta sustitución se pueden definir los vectores tangenciales y los vectores normales
para los campos eléctrico y magnético en la región de transición de la siguiente manera:
(E ) = nr × E
r
r
RT t
RT
(H ) = nr × H
r
r
RT t
RT
(2.15)
(2.16)
9
(E )
r r
= n ⋅ E RT
(2.17)
(Hr )
r r
= n ⋅ H RT
(2.18)
r
RT n
RT n
r
r
Donde E RT es el campo eléctrico en la región de transición, H RT es el campo magnético en la
r
región de transición, E RT t es la componente tangencial del campo eléctrico en la región de
r
transición, E RT n es la componente normal del campo eléctrico en la región de transición,
r
r
H RT t es la componente tangencial del campo magnético en la región de transición y H RT n
( )
( )
(
)
(
)
es la componente normal del campo magnético en la región de transición.
Las ecuaciones de Maxwell (2.6) y (2.7) para la región de transición quedan como:
r
r
r r
∂ BRT
= − j ⋅ϖ ⋅ μ ⋅ H RT
∇ × E RT = −
∂t
(2.19)
r r
r
r
∇ × H RT ≈ J RT = σ ⋅ E RT
(2.20)
Donde ϖ es la frecuencia de los campos (en rad/s).
Realizando la sustitución de (2.14) en las ecuaciones (2.19) y (2.20), éstas quedan como:
r
r
r r
r ∂E RT
= − j ⋅ϖ ⋅ μ ⋅ H RT
∇ × E RT = n ×
∂z
(2.21)
r
r
r r
r ∂H RT
= σ ⋅ E RT
∇ × H RT = n ×
∂z
(2.22)
Despejando los campos en la región de transición y sustituyendo (2.15) y (2.16) en (2.21) y
(2.22) estas últimas ecuaciones quedan:
r
H RT =
j
∂ r
⋅ ( E RT ) t
ϖ ⋅ μ ∂z
r
1 ∂ r
E RT = ⋅ ( H RT ) t
σ ∂z
(2.23)
(2.24)
Sustituyendo estas ecuaciones en (2.17) y en (2.18) se comprueba que los vectores normales
10
para los campos eléctrico y magnético valen cero.
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (2.23) y (2.24) se obtiene la solución para
el campo magnético y eléctrico en la región de transición [4].
− (1+ j ) z
r
r
H RT = H 0 ⋅ e δ
(2.25)
r
r
r
E RT = Z s ( H RT × n )
(2.26)
r
Donde H 0 es el campo magnético en la superficie de la pieza, δ es la profundidad de
penetración (2.27) y Zs es la impedancia superficial (2.28).
δ=
Zs =
2.4.2
2
ϖ ⋅ μ ⋅σ
1+ j
σ ⋅δ
(2.27)
(2.28)
Las corrientes inducidas en la región de transición
Las corrientes inducidas en el interior de la pieza dependen del campo eléctrico y de la
conductividad del material calentado, puesto que pueden despreciarse los efectos de radiación
del campo al tratarse de frecuencias de trabajo cuya longitud de onda es muy superior a las
dimensiones del sistema. La longitud de onda para 500 kHz es de 600 metros y el sistema no
supera el medio metro.
λ = c⋅
2 ⋅π
ϖ
(2.29)
donde λ es la longitud de onda de los campos generados por el inductor de calentamiento. En
la figura 2.3 puede verse la longitud de onda para frecuencias entre 1 kHz y 1 MHz.
11
1,0E+06
λ( f)
1,0E+05
1,0E+04
1,0E+03
1,0E+02
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
1,0E+06
Figura 2.3: Longitud de onda λ (m) en función de la frecuencia f (Hz).
Por lo tanto aplicando la ecuación generalizada de la ley de Ohm:
r
r
J =σ ⋅E
(2.30)
se obtiene la distribución de corrientes en la región de transición como:
r
r
r
r
J RT = σ ⋅ E RT = σ ⋅ Z s ⋅ ( H RT × n )
2.4.3
(2.31)
La potencia disipada en la región de transición
Aplicando la ley de Joule generalizada se obtiene el valor medio temporal de la potencia
disipada por unidad de volumen en el conductor. Esta potencia disipada por unidad vendrá
dada por la siguiente expresión:
r 2 −2 z
dP σ r 2 σ
2
= E = ⋅ ZS ⋅ H0 ⋅e δ
dV 2
2
donde se ha sustituido el valor del campo eléctrico de la ecuación (2.26).
La potencia disipada por unidad de superficie será:
(2.32)
12
r
2
dP σ ⋅ Z S ⋅ H 0
=
dS
2
2
∫
r
0
−2 z
e
δ
⋅ dz =
RS
2
−2 r
⎛
⎞ r
⋅ ⎜⎜1 − e δ ⎟⎟ ⋅ H 0
⎝
⎠
2
(2.33)
donde r es el radio del cilindro y RS su resistencia superficial dada por:
RS = Re(Z S ) =
2.4.4
ρ
1
=
σ ⋅δ δ
(2.34)
Profundidad de penetración
Sustituyendo la ecuación (2.25) en la (2.31) se puede expresar la densidad de corriente como:
J (r )= J 0 ⋅ e - δ
r
(2.35)
donde J0 es la densidad de corriente en la superficie.
Lo mismo puede hacerse para la ecuación (2.32), resultando:
P(r )= P0 ⋅ e - δ
2r
(2.36)
donde P0 es la potencia disipada en la superficie.
En la figura 2.4 puede verse el valor normalizado para la densidad de corriente y la potencia
en función del radio normalizado a δ. En la superficie se tiene la máxima densidad de corriente
y va disminuyendo conforme se avanza hacia el interior del material. Denominando J0 a la
densidad de corriente en la superficie de la pieza, a una distancia δ la densidad de corriente es
tan sólo de 0,37 J0 y a dos veces la profundidad de penetración es de 0,13 J0. La potencia
disipada en la pieza también es máxima en la superficie y disminuye más rápidamente que la
densidad de corriente. Si denominamos P0 la potencia disipada en la superficie, a una distancia
δ la potencia disipada es de 0,13 P0.
13
1
0,9
0,8
J(r)/Jo
0,7
P(r)/Po
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
r/δ
Figura 2.4: Valor normalizado para la densidad de corriente (J) y la potencia (P) en función
del radio normalizado r/δ.
La ecuación (2.27) puede escribirse en función de parámetros relativos de la siguiente manera:
δ=
ρ
π ⋅ f ⋅ μo ⋅ μr
(2.37)
donde μ0 es la permeabilidad magnética del vacío, 4 π 10-7, y μr la permeabilidad magnética
relativa del material.
La profundidad de penetración disminuye cuando la frecuencia aumenta o la permeabilidad
magnética del material es mayor o cuando su resistividad disminuye; mientras que la
profundidad de penetración aumenta cuando lo hace la resistividad o al disminuir la frecuencia
o al disminuir la permeabilidad de cuerpo conductor a calentar.
La figura 2.5 muestra la variación de la profundidad de penetración en función de la
frecuencia, para algunos materiales [5].
14
δ (mm)
100
Grafito 20-1300ºC
Acero 800ºC
Cobre 800ºC
Aluminio 500ºC
Aluminio 20ºC
Cobre 20ºC
Acero 20ºC μr=40
Acero 20ºC μr=100
10
1
0.1
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000 f (kHz)
Figura 2.5: Profundidad de penetración en función de la frecuencia, para diversos materiales.
Por orden de importancia hay que destacar los siguientes materiales: en primer lugar el cobre,
puesto que todos los inductores, transformadores y conexionado que forman el circuito de
salida se realizan con él; en segundo lugar el acero porque la mayoría de los procesos de
calentamiento por inducción se realizan sobre piezas de este material.
1,20
1,00
δ(f)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
100
200
300
400
500
f (KHz)
Figura 2.6: Profundidad de penetración (mm) del cobre en función de la frecuencia.
15
10,0
9,0
WAC/WDC
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
f (KHz)
Figura 2.7: Pérdidas relativas de conducción en un inductor de cobre en función de la
frecuencia.
En la figura 2.6 puede apreciarse como varía la profundidad de penetración en cobre en
función de la frecuencia. De igual manera en la figura 2.7 se muestra la variación de la
potencia relativa (Potencia AC/ Potencia DC) disipada en un tubo de cobre de 1 mm de pared,
al someterlo a una corriente de amplitud constante y frecuencia variable. Puede consultarse el
Apéndice A1 para una deducción de las fórmulas relevantes.
Para frecuencias inferiores a los 5 kHz y un tubo de cobre de 1 mm de pared, la potencia
perdida se mantiene constante, puesto que siempre se está utilizando toda la pared del tubo;
por lo tanto la elección de la frecuencia de funcionamiento es uno de los parámetros más
importantes a tener en cuenta en el diseño de una aplicación de calentamiento por inducción.
Una frecuencia muy alta provoca más pérdidas en los conductores del inductor para la misma
corriente, puesto que las mismas se distribuyen en una sección menor.
Desde el punto de vista de la pieza, la elección de la frecuencia de las corrientes del inductor
es determinante. Así, por ejemplo, para la fusión de metales en grandes crisoles se utilizan
frecuencias muy bajas (50 ó 60 Hz), para la forja de metales con simetría cilíndrica donde se
pretende un calentamiento homogéneo de la pieza en todo su diámetro, se ha de utilizar una
frecuencia tal que se asegure que la profundidad de penetración sea similar al radio de la pieza,
por lo general estas frecuencias se encuentran en torno a 1 kHz. El calor se genera en una
franja muy grande de la pieza y se transmite al interior por conducción térmica.
16
Sin embargo, para temples donde se especifique una profundidad reducida, la frecuencia de
trabajo debe ser relativamente alta, estas aplicaciones se realizan a frecuencias de unos 10
kHz. Para el calentamiento de materiales de poca permeabilidad magnética como el aluminio,
cobre o determinados aceros, se utilizan frecuencias en torno a los 50 kHz. Para el temple de
coronas donde la parte a calentar es la exterior y el inductor es cilíndrico, se utilizan
frecuencias de unos 100 kHz, mientras que para la aplicación de soldadura de tubo se
requieren frecuencias del orden de 400 kHz. De todo lo anterior puede concluirse que la
selección de la frecuencia de trabajo depende de la utilización que se quiera del calentamiento
por inducción. La gama de frecuencias utilizadas en calentamiento por inducción abarca desde
los 50 Hz hasta 1 MHz.
2.5. Resistencia equivalente
Una vez analizado el comportamiento de los campos electromagnéticos en la carga y su
profundidad de penetración, se obtendrá una expresión que indique el valor de la resistencia
eléctrica equivalente que presenta una pieza cilíndrica situada en el interior de un inductor de
calentamiento. Una vez encontrada esta resistencia equivalente se podrá determinar el
conjunto bobina-pieza en términos eléctricos; con este esquema eléctrico se puede utilizar la
teoría de redes para poder estudiar el fenómeno bobina-pieza como un circuito eléctrico.
En la ecuación (2.33) se describe la relación existente entre la intensidad del campo magnético
aplicado y la potencia que éste disipa sobre la pieza. A continuación se describirá la relación
existente entre la corriente que circula por la bobina y el campo magnético que genera, lo que
permitirá deducir la relación entre la corriente y la potencia y, así, obtener la resistencia
equivalente de la pieza. Para ello, se parte de la configuración mostrada en la figura 2.1. Las
líneas de campo magnético se cierran sobre sí mismas rodeando a las N espiras de la bobina de
calentamiento, por las que circula una corriente alterna I. El camino magnético que describen
las líneas de campo por el exterior de la bobina puede imaginarse como una brecha (gap) de
grandes dimensiones, con una sección Aa, y una longitud la,. El campo en el interior de la
bobina se concentra sobre la superficie de la pieza en un área A, que, o es muy pequeña, si la
profundidad de penetración es menor que el radio de la pieza, o es igual a la sección de la
misma si la profundidad de penetración es mayor que dicho radio.
17
Aplicando la ley de Ampère, la integral de circulación del campo magnético H a lo largo de su
camino será igual a la corriente total que atraviesa la superficie encerrada por dicho camino.
Tomando un camino en el conductor muy cercano a su superficie, sólo habrá que considerar la
corriente de la bobina y no las corrientes superficiales de la pieza, por tanto,
r
r
N ⋅ I = H 0 ⋅ l + H a ⋅ la
(2.38)
r
r
Donde H 0 es el campo magnético en la superficie de la pieza y H a es el campo magnético en
el exterior de la bobina.
Cuando se trabaja en vacío (sin pieza) los dos términos de (2.38) son del mismo orden de
magnitud. Cuando se trabaja con una pieza ferromagnética el campo magnético en la
superficie de la misma es mucho mayor, por lo que la expresión (2.38) queda como:
r
N ⋅I
H0 =
l
(2.39)
Sustituyendo (2.39) en (2.33), se obtiene una ecuación que relaciona la densidad de potencia
con la corriente que circula por el inductor
−2 r
⎞ r 2 1
R ⎛
dP
N2
= S ⋅ ⎜⎜1 − e δ ⎟⎟ ⋅ H 0 = ⋅ RS ⋅ K R ⋅ 2 ⋅ I 2
dS
2 ⎝
2
l
⎠
(2.40)
Donde el factor KR se denomina factor de corrección de la resistencia equivalente y viene dado
por la siguiente expresión:
K R = 1− e
−
2r
δ
(2.41)
La potencia total disipada se obtendrá multiplicando por la superficie total calentada, S, de la
pieza ferromagnética.
P=
N2
1
⋅ RS ⋅ K R ⋅ S ⋅ 2 ⋅ I 2
2
l
(2.42)
De la ecuación (2.42) se deduce que, a efectos de disipación, la pieza calentada por inducción
se comporta como una resistencia de valor:
18
Req = RS ⋅ K R ⋅ S ⋅
N2
l2
(2.43)
Esta Req se encuentra en serie con el inductor de calentamiento, puesto que la potencia que
disipa depende de la corriente que circule por el inductor. En esta resistencia se disipa toda la
potencia correspondiente a la energía transmitida a la pieza.
Si en la ecuación (2.43) se sustituye el valor de la superficie total calentada S por el valor de su
perímetro p y longitud l, se obtiene una ecuación reducida de la resistencia equivalente.
Req = K R ⋅ N 2 ⋅ R N
(2.44)
donde RN es la resistencia por vuelta, que se define como:
RN = ρ ⋅
p
δ ⋅l
(2.45)
En la ecuación (2.45) se observa la dependencia geométrica de la resistencia por vuelta, ya que
se corresponde con el concepto habitual de resistencia, donde p es la longitud de la resistencia,
y δ1 es la sección efectiva de conductor por la que circulan las corrientes superficiales.
En la figura 2.8 puede verse la representación geométrica del parámetro RN o resistencia por
vuelta. A mayor profundidad de penetración o mayor longitud, la resistencia que ofrece la
pieza es menor, puesto que la corriente inducida dispone de más sección para circular por ella.
Si el perímetro de la pieza aumenta, la resistencia de la pieza también es mayor, puesto que las
corrientes tienen que recorrer un camino mayor.
19
Figura 2.8: Caracterización geométrica de la resistencia por vuelta.
Puesto que la mayoría de las veces la pieza tiene forma cilíndrica, el cálculo de la resistencia
equivalente para esta geometría es de especial interés. A partir de la ecuación (2.43) puede
obtenerse la resistencia equivalente para las piezas cilíndricas con solo sustituir el valor de la
superficie calentada S.
Req = K R ⋅ N 2 ⋅ ρ ⋅
2 ⋅ π ⋅r
δ ⋅l
(2.46)
Teniendo en cuenta que la potencia disipada, para un valor de corriente del inductor I
determinada, va a ser directamente proporcional a la Req, de estas últimas ecuaciones se
pueden extraer las siguientes conclusiones:
™ Los inductores con mayor número de espiras obtendrán una disipación mayor de
energía siempre que se mantenga la misma corriente por el inductor y la misma
profundidad de penetración. Esto implica que la frecuencia de la corriente por el
inductor se mantiene, mientras que la tensión que necesita el inductor tiene que
aumentar, puesto que aumenta la impedancia del mismo al tener mayor número de
espiras.
™ La potencia disipada aumentará cuanto mayor sea la resistividad del material. En el
caso del acero la disipación es mayor que en otros materiales como el cobre o el
aluminio.
™ La potencia disipada variará con la temperatura cuando la resistividad del material
varíe con la temperatura. Así se explica que en materiales como el acero se disipe
mayor energía a medida que aumenta su temperatura, esto se debe al aumento de la
20
resistividad ρ con la temperatura. Este efecto se mantiene dentro de un rango que viene
limitado por la temperatura de Curie.
™ Se disipa mayor energía cuando disminuye la profundidad de penetración de las
corrientes inducidas. Ello explica que para aumentar la eficacia del calentamiento por
inducción de algunos materiales como cobre o aluminio de bajo valor de resistividad,
haya que aumentar la frecuencia de la corriente con el objeto de disminuir δ y con ello
aumentar la potencia disipada. También se puede explicar que en el acero caiga
bruscamente la potencia cuando se alcanza la temperatura de Curie, puesto que en esas
condiciones la permeabilidad magnética desciende y por lo tanto la profundidad de
penetración aumenta.
Como consecuencia de la definición de resistencia equivalente se derivan dos conceptos
nuevos que tienen que ver con ésta. En primer lugar el concepto de rendimiento del
calentamiento y en segundo lugar el concepto de frecuencia crítica, las cuales serán tratadas a
continuación.
2.5.1
Rendimiento del calentamiento
En el caso del calentamiento por inducción las corrientes son muy elevadas y por tanto la
resistencia asociada a las vueltas de la bobina de calentamiento debe ser considerada a efectos
de rendimiento. También a efectos de rendimiento deben de considerarse las corrientes más
pequeñas pero que se producen a frecuencias muy elevadas, puesto que la circulación de
dichas corrientes se efectúa por una capa muy fina del inductor, tal y como muestra la figura
2.6. Estas corrientes de alta frecuencia pueden estar circulando por capas superficiales
inferiores a 0.1 mm, con lo que la potencia disipada en el inductor es elevada (figura 2.7).
Se define el rendimiento de calentamiento ηcal como el cociente entre la potencia disipada en
la pieza, y la suma de la disipada en la pieza más la disipada en el inductor, es decir:
η cal =
I 2 ⋅ Req
I ⋅ Req + I ⋅ Rb
2
2
=
Req
Req + Rb
(2.47)
donde Rb es la resistencia del inductor para esa frecuencia.
Para una resistencia equivalente dada, el rendimiento disminuye cuando la resistencia del
inductor aumenta. Por eso se utiliza el material de cobre para la construcción de las bobinas de
inducción, dada su baja resistividad. Algunos inductores utilizan refrigeraciones por aire, pero
para la mayoría de las aplicaciones industriales de alta potencia se hacen circular miles de
21
amperios por el inductor por lo que necesitan otros métodos de refrigeración. Por lo tanto lo
más usual es utilizar tubo de cobre para la realización de los inductores y de esta manera
pueden ser refrigerados mediante la circulación de agua por su interior.
2.5.2
Frecuencia crítica
El concepto de frecuencia crítica está íntimamente ligado con el de rendimiento y con KR. La
frecuencia crítica es aquella por debajo de la cual el rendimiento de calentamiento cae
rápidamente. Cuando la profundidad de penetración se hace mayor que la cuarta parte del
diámetro de la pieza se produce una disminución rápida del factor de corrección de la
resistencia equivalente (KR), lo que causa una disminución de la resistencia equivalente (Req)
y una caída del rendimiento de calentamiento (ηcal).
Considerando la ecuación (2.27) que relaciona la profundidad de penetración (δ) con la
frecuencia (f), se obtiene el valor de la frecuencia crítica como:
f cr =
4⋅ ρ
π ⋅μ ⋅r2
(2.48)
donde fcr es la frecuencia crítica.
En las aplicaciones de tratamiento térmico superficial como el temple, la frecuencia de trabajo
es superior a la frecuencia crítica, siendo la resistencia equivalente proporcional a la raíz
cuadrada de la frecuencia. Las aplicaciones que requieren un calentamiento muy uniforme,
como la forja, utilizan una frecuencia de trabajo inferior a la frecuencia crítica. En este caso la
resistencia equivalente es muy pequeña, porque el factor de corrección de la resistencia
equivalente es muy pequeño. Para compensar este fenómeno, los generadores de temple
superficial utilizan inductores de calentamiento de muy pocas espiras (una o dos), mientras
que los inductores de forja tienen una gran número de espiras (alrededor de veinte),
compensando de esta manera el factor de corrección de la resistencia equivalente y
manteniendo similares resistencias equivalentes.
2.6. Parámetros que influyen en el calentamiento por inducción
Hasta ahora se ha descrito el comportamiento del fenómeno físico del calentamiento por
inducción, desarrollando los parámetros que se ven involucrados en este proceso, tales como
22
la profundidad de penetración o la resistencia equivalente. En este apartado se estudiará como
influyen estos parámetros en las aplicaciones en las que se usa el calentamiento por inducción.
En primer lugar se estudiaran los parámetros relacionados con la pieza y con su inductor de
calentamiento y en segundo lugar los relacionados con la frecuencia y potencia del
calentamiento.
2.6.1
El tipo de pieza a calentar
Los procesos de calentamiento por inducción persiguen conseguir el calentamiento de una
pieza conductora, pero este proceso tiene que realizarse de forma que cumpla con unos
requisitos para que el proceso se realice de la forma más adecuada posible. Optimizar el
proceso significa, por una parte, que toda la energía consumida sea transmitida a la pieza, y
por la otra, que este proceso posea un estándar de calidad alto y repetible.
Al transmitir toda la energía a la pieza se consigue que el calentamiento por inducción sea una
técnica muy rápida de calentamiento, por lo que los procesos realizados mediante este método
son más rápidos que los procesos en los que la transmisión del calor se realiza desde fuentes
de calor que se encuentran más calientes que la pieza a calentar. En los procesos en los que la
fuente de calor es externa resulta importante la conductividad térmica de los materiales que se
están calentando, puesto que el calor se transmite de fuera hacia dentro. En el caso del
calentamiento por inducción la conductividad térmica del material puede ser usada para que el
calor se transmita al interior, como es el caso de la forja de metales, en el que el proceso es
lento para que la temperatura sea lo más homogénea posible; o puede ser usada para que el
calor no se transmita al interior, como es el caso de los tratamientos superficiales de metales
en los que se produce un calentamiento muy rápido de la superficie que se desea tratar y
posteriormente se enfría mediante chorros de agua. De esta forma se utiliza la conductividad
térmica de los materiales a calentar de manera que se pueda realizar el calentamiento que se
desea.
En los procesos como la soldadura de tubo en continuo, el proceso se realiza de forma que en
un punto del material hay temperaturas del orden de 1500 ºC y a unos pocos milímetros la
temperatura es inferior a los 30 ºC, formándose entre dichos puntos una zona que se denomina
de transición, puesto que en un punto el material se ha fundido mientras que en otro muy
23
próximo no se ha producido ninguna alteración del estado original del metal.
Por tratarse de un proceso totalmente electrónico puede cuantificarse la energía que se le ha
suministrado a cada pieza y de esta manera realizar un control de la calidad del calentamiento,
o lo que es lo mismo de la energía que ha absorbido cada pieza.
El calentamiento de la pieza depende de su geometría y de la zona que se desea calentar. En el
presente trabajo hasta el momento se han tomado simetrías planas o cilíndricas similares a la
presentada en la figura 2.9 [76].
Figura 2.9: Sección transversal de una pieza cilíndrica con su inductor de calentamiento.
Sin embargo, en la mayoría de los casos la pieza a calentar por inducción presenta unas formas
diferentes de la cilíndrica de la figura 2.9. En la figura 2.10 [76] pueden verse diferentes piezas
cuyo tratamiento térmico debe de realizarse en diferentes partes donde la simetría puede o no
existir.
24
Figura 2.10: Piezas sin simetría cilíndrica con su inductor de calentamiento.
Otro fenómeno que hace disminuir bruscamente el rendimiento del calentamiento es la
cancelación de corrientes en piezas abiertas, como es el caso de tubos sin terminar de cerrar.
Para cada una de estas piezas hay que seleccionar la frecuencia de trabajo mínima para que no
se produzcan cancelaciones de las corrientes inducidas. En la figura 2.11B puede verse como
se producen cancelaciones de las corrientes que circulan por el interior de la pieza, mientras
que la figura 2.11A muestra como se produce un lazo ininterrumpido de corrientes por la
pieza. Para que el fenómeno de la cancelación de corrientes no se produzca, la pieza tiene que
tener un espesor que sea superior a tres veces la profundidad de penetración, de manera de
dejar al menos un espesor δ de margen entre las corrientes que circulan por ambas caras,
permitiendo que éstas circulen por la parte interior de la pieza y se cierren por su perfil
exterior. En la figura 2.11C se muestra una pieza multiranurada, donde la circulación de la
corriente tiende a acumularse en las ranuras denotadas por T en la Figura 2.11. Esta
aglomeración de corrientes suele producir un sobrecalentamiento en las esquinas. En caso que
este efecto sea importante para la pieza, es posible realizar insertos de cobre en las ranuras, de
manera de evitar esta acumulación de corriente.
Para los materiales ferromagnéticos en los que la permeabilidad magnética es función de la
temperatura, el fenómeno de la cancelación de corrientes también depende de la temperatura a
la que se tenga que calentar la pieza. Si la temperatura de la pieza supera la temperatura de
25
Curie, la permeabilidad relativa del material disminuye, por lo que la profundidad de
penetración (δ) (ver ecuación 2.27) aumenta, pudiendo producirse el fenómeno de cancelación
de corrientes.
Figura 2.11: Fenómeno de cancelación de corrientes debida al espesor de las piezas abiertas:
A) Pieza en la que las corrientes circulan por las caras interiores y exteriores. B) Pieza con
poco espesor. C) Pieza con múltiples ranuras
Un factor importante que determina el resultado final del proceso de calentamiento por
inducción de la pieza, consiste en la presencia de orificios en la superficie o cerca de ella. Por
lo general el inductor de calentamiento está rodeando la pieza, motivo por el cual la fuente del
campo magnético genera corrientes en la superficie exterior de la pieza. Se distinguen dos
casos diferentes, el primero cuando el orificio es paralelo a la superficie a calentar y el
segundo cuando el orificio se encuentra en la superficie calentada de la pieza.
En el caso de que el orificio se encuentre en el interior de la pieza y paralelo a la superficie a
calentar, dependiendo de la perturbación que origine en las corrientes superficiales puede
provocar sobrecalentamientos en la pieza.
En la figura 2.12 puede verse, mediante los resultados de una simulación de Elementos Finitos
Magnéticos, que si el hueco paralelo a la superficie a calentar se encuentra alejado de las
corrientes inducidas (Figura 2.12A), éstas no se ven afectadas y el calentamiento de la pieza se
produce de manera uniforme. Sin embargo, en el caso en el que el hueco se encuentre en el
camino de las corrientes inducidas (Figura 2.12B), éstas tienen que variar su trayectoria,
26
incrementando la densidad de corriente entre el hueco y la superficie de la pieza. Este
incremento de la densidad de corriente puntual hace que las pérdidas por efecto Joule sean
mayores lo que implica que la temperatura será superior a la del resto de la pieza. Se puede
concluir, por lo tanto, que un agujero paralelo y cercano a la superficie provoca un
sobrecalentamiento en la superficie más cercana al mismo.
La localización de los agujeros en la superficie de la pieza también produce un calentamiento
heterogéneo en la misma. Un agujero siempre es un cambio de la conductividad de la pieza
que modifica el camino de las corrientes, como puede verse en la figura 2.13. Las corrientes
que están circulando por la superficie de la pieza encuentran un agujero que modifica la
trayectoria de las mismas. Si el inductor se encuentra en posición horizontal, las corrientes
inducidas también son horizontales, por lo que se desvían hacia la parte superior e inferior del
agujero por los caminos de mínima impedancia. Esta modificación de los caminos de las
corrientes produce un aumento en su densidad en las zonas superior e inferior y por lo tanto un
mayor calentamiento de estas zonas.
A
B
Figura 2.12: Distribución de corrientes en presencia de un agujero paralelo a la superficie a
calentar: (A) Agujero lejos de la zona de circulación de corrientes, (B) Agujero en el camino
de las corrientes
27
Figura 2.13: Distribución de corrientes en presencia de un hueco situado en la superficie de
calentamiento.
Las zonas situadas a derecha e izquierda del agujero se quedan más frías puesto que
prácticamente no circulan corrientes por ellas. Estas variaciones de temperatura alrededor del
hueco hacen que en tratamientos de temple superficial aparezcan, además de variaciones de la
dureza del material, tensiones provocadas por los cambios de estructura del metal las cuales
originan grietas o pequeñas roturas.
2.6.2
Intensidad del campo magnético
Anteriormente se mencionó la profundidad de penetración, definiéndola como una función de
los parámetros eléctricos y magnéticos del material, además de un parámetro externo. La
ecuación 2.37 puede escribirse como:
δ=
1
⋅
π ⋅ μ0
1
ρ
⋅
f
μr
(2.49)
donde el primer término es una constante de valor aproximado 503 (cuando la profundidad de
penetración se expresa en el sistema internacional), el segundo término corresponde a las
propiedades electromagnéticas del material y el tercer término alude a la frecuencia de la
fuente que genera el campo electromagnético.
La ecuación 2.49 puede escribirse, por tanto, como:
28
δ = 503 ⋅
ρ
1
⋅
f
μr
(2.50)
Como ha sido mencionado en apartados anteriores, a una profundidad δ de la superficie de la
pieza la densidad de corriente (J) es el 37 % de la que hay en la superficie, mientras que la
densidad de potencia es aproximadamente el 14 % de la que hay en la superficie, por lo que se
puede concluir que la mayor parte de la potencia disipada se encuentra en una capa de
profundidad δ, todo lo cual es válido siempre que no haya cambios de las variables de la
ecuación 2.50. Pero en calentamiento por inducción siempre hay variación de la temperatura,
por lo que hay que tener en cuenta como cambian los diferentes parámetros con la misma.
Otro parámetro variable es el campo magnético en el interior de la pieza, por lo que hay que
tener en cuenta los parámetros dependientes de él. Se pueden distinguir dos casos, los
materiales no magnéticos y los materiales ferromagnéticos.
En el caso de materiales no magnéticos la permeabilidad magnética relativa μr es equivalente a
la del aire y se le asigna un valor de 1, por lo que este parámetro no influye en el cálculo de la
profundidad de penetración. No ocurre lo mismo con la resistividad ρ que sí varía con la
temperatura, más concretamente, en este tipo de materiales, durante el ciclo de calentamiento
se incrementa en valores de hasta 4 ó 5 veces su valor inicial. Por lo tanto, para metales no
magnéticos, durante el ciclo de calentamiento por inducción la profundidad de penetración
puede aumentar considerablemente. En la figura 2.14 puede verse como varía la profundidad
de penetración para el acero inoxidable no magnético en función de la frecuencia y de la
temperatura [6]
29
80
60
50
40
30
20
0,06
Profundidad de Penetración (mm)
70
10
0,5
1
2,5
Fre c
u
4
en cia
0
8
(KHz
)
10
20
30
800
70
200
1200
(C
tura
pe ra
Te m
)
Figura 2.14: Variación de la profundidad de penetración en función de la temperatura y de la
frecuencia para el Acero Inoxidable.
En la tabla 2.1 se muestra la variación de la profundidad de penetración a diferentes
temperaturas y frecuencias para distintos materiales no magnéticos. En la segunda columna se
aprecia como evoluciona la resistividad al variar la temperatura. Esta variación de la
resistividad hace que el cálculo obtenido mediante 2.50 sólo pueda cumplirse en determinadas
condiciones de temperatura, pero como durante el proceso de calentamiento por inducción la
temperatura está variando, hay que seleccionar la frecuencia de trabajo para que el
calentamiento que se obtenga sea el deseado.
El caso de materiales ferromagnéticos es completamente diferente, ya que puede variar tanto
la resistividad (ρ) como la permeabilidad magnética (μ), y ésta última no sólo varía con la
temperatura sino que lo hace también con la intensidad de campo magnético.
Los aceros magnéticos utilizados como carga en calentamiento por inducción presentan
variaciones de la permeabilidad magnética relativa que van desde 1 hasta 500, dependiendo de
la intensidad de campo magnético (H) y de la temperatura.
Material
30
Temperatura
ºC
20
Aluminio
250
500
20
Cobre
500
900
20
Latón
400
900
20
Acero inoxidable
800
1200
20
Plata
300
800
20
Tungsteno
1500
2800
20
Titanio
600
1200
Resistividad
μΩ. m
0,027
0,053
0,087
0,018
0,05
0,085
0,065
0,114
0,203
0,69
1,15
1,24
0,017
0,038
0,07
0,05
0,55
1,04
0,5
1,4
1,8
0,06
10,70
15,00
19,20
8,81
14,50
19,30
16,60
21,90
29,30
53,90
69,60
72,30
8,34
12,70
17,20
14,50
48,20
66,20
45,90
76,80
87,10
0,5
3,70
5,18
6,64
3,05
5,03
6,67
5,74
7,60
10,10
18,70
24,10
25,10
2,89
4,39
5,95
5,03
16,70
22,90
15,90
26,60
30,20
1
2,61
3,66
4,69
2,16
3,56
4,72
4,06
5,37
7,17
13,20
17,10
17,70
2,04
3,10
4,21
3,56
11,80
16,20
11,30
18,80
21,30
2,5
1,65
2,32
2,97
1,36
2,25
2,98
2,56
3,40
4,53
8,36
10,80
11,20
1,29
1,96
2,66
2,25
7,46
10,30
7,11
11,90
13,50
Frecuencia (KHz)
4
8
1,30
0,92
1,83
1,29
2,35
1,66
1,08
0,76
1,78
1,26
2,36
1,67
2,03
1,43
2,69
1,90
3,58
2,53
6,61
4,67
8,53
6,03
8,86
6,26
1,02
0,72
1,55
1,10
2,10
1,49
1,78
1,26
5,90
4,17
8,11
5,74
5,62
3,98
9,41
6,65
10,70
7,54
10
0,83
1,16
1,48
0,68
1,12
1,49
1,28
1,70
2,27
4,18
5,39
5,60
0,65
0,98
1,33
1,12
3,73
5,13
3,56
5,95
6,75
30
0,48
0,67
0,86
0,39
0,65
0,86
0,74
0,98
1,31
2,41
3,11
3,23
0,37
0,57
0,77
0,65
2,15
2,96
2,05
3,44
3,90
70
0,31
0,44
0,56
0,26
0,43
0,56
0,48
0,64
0,86
1,58
2,04
2,12
0,24
0,37
0,50
0,43
1,41
1,94
1,34
2,25
2,55
200
0,18
0,26
0,33
0,15
0,25
0,33
0,29
0,38
0,51
0,93
1,21
1,25
0,14
0,22
0,30
0,25
0,83
1,15
0,80
1,33
1,51
Tabla 2.1. Variación de la profundidad de penetración para varios materiales no magnéticos en
función de la temperatura y de la frecuencia.
La curva de la magnetización describe una relación no lineal entre la densidad de flujo
magnético (B) y la intensidad de campo magnético (H). La variación no lineal de
permeabilidad magnética del material calentado (μr) viene dada por la ecuación 2.51.
μr =
B
μ0 ⋅ H
(2.51)
Esta ecuación, que relaciona la densidad de flujo magnético (B) con la intensidad de campo
magnético (H), se puede ejemplificar mejor en la figura 2.15, la cual está hecha para el acero
tipo 1010. El punto donde la permeabilidad magnética del material calentado (μ) es máxima,
corresponde a una intensidad de campo magnético (H) determinada que se denomina Hcr o
intensidad de campo magnético crítica. Si la intensidad de campo magnético (H) es mayor que
la intensidad de campo magnético crítica (Hcr), la permeabilidad magnética del material
calentado (μ) es menor que la permeabilidad magnética máxima del material calentado (μmax),
y cuanto más aumenta la intensidad de campo magnético (H) menor se hace la permeabilidad
magnética del material calentado (μ) y, por tanto, según la ecuación 2.50 mayor es la
profundidad de penetración (δ). Si la intensidad de campo magnético (H) tiende a infinito, la
permeabilidad magnética del material calentado (μ) tiende a la unidad.
2500
2,5
2000
2
1500
1,5
μ
μ
Β
1000
500
0
1,0E+02
1
B (Tesla)
31
0,5
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
0
1,0E+06
H (A/m)
Figura 2.15: Variación de la densidad de flujo magnético (B) y la permeabilidad magnética del
material calentado (μ) en función de la intensidad de campo magnético (H) para el acero 1010
En los procesos convencionales de calentamiento por inducción, la intensidad de campo
magnético en la superficie del material (Hsup) es mucho mayor que la intensidad de campo
magnético crítica (Hcr), por lo que la permeabilidad magnética (μ) en la superficie es menor
que la permeabilidad magnética máxima del material (μmax) y, por tanto, la profundidad de
penetración (δ) no se corresponde con los resultados esperados, siendo mayor de lo calculado
por la ecuación 2.50. En conclusión, una pieza de acero ferromagnético a la misma
temperatura y con la misma frecuencia de trabajo tiene diferentes profundidades de
penetración (δ) debido a las diferencias de la intensidad de campo magnético (H) aplicado a la
superficie de dicha pieza.
32
Radio min.
2000
2500
2000
μ
1500
1500
μ
Η
1000
1000
500
0
1,0E+02
H interno (A/m)
2500
Distancia al Ce ntro
Radio máx.
500
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
0
1,0E+06
H (A/m)
Figura 2.16: Variación de la intensidad de campo magnético (H) y la permeabilidad magnética
del material calentado (μ) en función del radio de la pieza.
En una pieza de simetría cilíndrica se puede aplicar la ecuación 2.25, donde la intensidad de
campo magnético (H) disminuye en el interior de la pieza de forma exponencial siendo
máxima en la superficie. En la figura 2.16 puede verse como la intensidad de campo
magnético (H) disminuye en la dirección del centro de la pieza y la permeabilidad magnética
del material calentado (μ) aumenta hasta la permeabilidad magnética máxima (μmax) y luego
disminuye. El punto donde se produce la permeabilidad magnética máxima (μmax) corresponde
con la intensidad de campo magnético crítica (Hcr). Por lo tanto, la permeabilidad magnética
del material ferromagnético calentado por inducción (μ) no se refiere a un valor concreto y
uniforme en todo el interior de la pieza, sino a una función que depende, entre otras cosas, de
la intensidad de campo magnético que ha sido aplicado a la superficie (Hsup) y de la
distribución de dicho campo en el interior de la pieza. Por consiguiente la definición de la
profundidad de penetración (δ) obtenida mediante la ecuación 2.50 no puede ser utilizada,
puesto que no hay una distribución constante de la permeabilidad magnética del material a lo
largo del espesor de la pieza.
33
Como método práctico se utiliza la intensidad de campo magnético (Hsup) en la superficie de la
pieza para el cálculo de la profundidad de penetración (δ) pero de forma definida para cada
material. En la figura 2.17 se muestra gráficamente el valor de la profundidad de penetración
(δ) en milímetros, para el acero al carbono (1045) a una temperatura de 21 ºC en función de la
frecuencia y de la intensidad de campo magnético [7].
Profundidad de Penetración (mm)
12
10
8
6
4
2
ci a
en
cu
e
r
F
60
500
10
3000
40
100000
160
120
80
In tensidad de
Cam po (A/m
)
10000
200
30000
0
280
)
(Hz
Figura 2.17: Variación de la profundidad de penetración (δ) en función de la intensidad de
campo magnético (H) y de la frecuencia a temperatura de 21 C.
La tabla 2.2 presenta en forma numérica los valores de la profundidad de penetración en
milímetros para diferentes frecuencias e intensidades de campo magnético para un material
1045. Se puede apreciar como la profundidad de penetración aumenta en un factor entre 3 y 4
cuando la intensidad de campo magnético aumenta de 10 a 280 A/m.
Desde otro punto de vista, la profundidad de penetración también es una función de la
temperatura. Al comienzo del ciclo de calentamiento de una pieza ferromagnética la
penetración de la corriente en la pieza aumenta lentamente con la temperatura debido a que
aumenta su resistividad con la temperatura.
H (A/m)
21
C
10
40
80
120
160
200
280
60
2,5
4,7
6,3
7,76
8,76
9,63
11,2
500
0,88
1,63
2,2
2,69
3,03
3,33
3,89
Frecuencia (Hz)
3000
10000
0,36
0,2
0,67
0,36
0,9
0,49
1,1
0,6
1,24
0,68
1,36
0,75
1,59
0,87
30000
0,11
0,21
0,28
0,35
0,39
0,43
0,5
100000
0,06
0,12
0,16
0,19
0,21
0,24
0,27
δ (mm)
34
Tabla 2.2. Variación de la profundidad de penetración (mm) para acero al carbono 1045 a
21ºC en función de la intensidad de campo magnético y de la frecuencia.
Durante la primera parte del ciclo la profundidad de penetración aumenta lentamente, porque
la permeabilidad magnética relativa del material ferromagnético se mantiene más o menos
constante y sólo influye la variación de la resistividad con la temperatura. Cuando la
temperatura alcanza valores próximos a 550 ºC (para el acero), la permeabilidad magnética
disminuye cada vez más, por lo que la profundidad de penetración aumenta rápidamente con
la temperatura. A una temperatura crítica, denominada temperatura de Curie (Tc) o punto de
Curie, la permeabilidad magnética disminuye rápidamente hasta la unidad porque el metal se
comienza a comportar como no magnético. La consecuencia de esta rápida disminución de la
permeabilidad magnética es un incremento muy significativo de la profundidad de
penetración. Después del punto de Curie la profundidad de penetración continúa aumentando
debido al incremento de la resistividad eléctrica del material con la temperatura. El incremento
de la profundidad de penetración con la temperatura debido al aumento de la resistividad del
material no es significativo comparado con el gran incremento ocasionado por cambio del
H (A/m)
62
1
C
10
40
80
120
160
200
280
60
8,5
15,5
20,9
24,5
27,4
29,8
33,5
500
2,97
5,38
7,25
8,5
9,48
10,3
11,6
Frecuencia (Hz)
3000
10000
1,21
0,66
2,2
1,2
2,96
1,62
3,47
1,9
3,87
2,12
4,2
2,31
4,74
2,6
30000
0,38
0,69
0,94
1,1
1,22
1,33
1,5
100000
0,21
0,38
0,51
0,6
0,67
0,73
0,82
δ (mm)
comportamiento magnético a la temperatura de Curie.
Tabla 2.3. Variación de la profundidad de penetración (mm) para acero al carbono 1045 a
621ºC en función de la intensidad de campo magnético y de la frecuencia.
35
La tabla 2.3 y la figura 2.18 presentan los valores de la profundidad de penetración en
milímetros para diferentes frecuencias e intensidades de campo magnético, para el acero tipo
1045 a temperatura de 621 ºC. Comparando estos datos con los presentados en la tabla 2.2
puede verse como las diferencias de la profundidad de penetración para el mismo material son
del orden de cuatro; estas variaciones son debidas al cambio del comportamiento magnético
por efecto del punto de Curie.
Profundidad de Penetración (mm)
35
30
25
20
15
10
5
e
cu
Fre
ia (
nc
60
10
500
40
100000
160
120
80
Intensidad de
Cam po (A/m
)
10000
200
30000
280
3000
0
)
Hz
Figura 2.18: Variación de la profundidad de penetración (δ) en función de la intensidad de
campo magnético (H) y de la frecuencia a temperatura de 612 C.
2.6.3
Posición relativa entre inductor y pieza
La posición relativa entre inductor y pieza es un parámetro importante en el calentamiento por
inducción, ya que la distribución de corrientes en el inductor y en la pieza depende de dicha
posición. Este efecto se ve agravado cuando se realizan procesos repetitivos en los que se
calientan piezas de forma automática y continuada, puesto que si la posición de las piezas o
del inductor no son siempre las mismas, el resultado del tratamiento térmico no es repetitivo y,
por tanto, no se puede asegurar la calidad de todas las piezas.
En la posición relativa entre inductor y pieza intervienen tres fenómenos diferenciados que
son: el efecto proximidad, el efecto ranura y el efecto anillo. Estos dos últimos son de menor
36
importancia que el primero y consecuencia de él.
Hasta el momento, en la discusión del efecto piel o profundidad de penetración se ha supuesto
que el conductor estaba solo en su entorno, cosa que no sucede en las aplicaciones prácticas de
calentamiento por inducción, siempre existen otros conductores donde también están
circulando corrientes que generan campos magnéticos que interfieren con el del conductor
estudiado, modificando tanto su distribución de corrientes como de potencia de pérdidas.
A
B
C
Figura 2.19: Distribución de corrientes por efecto proximidad en conductores cilíndricos: A)
un solo cable, B) dos cables con corrientes opuestas, C) dos cables con corrientes en el mismo
sentido
En la figura 2.19 puede verse, como resultado de una simulación de Elementos Finitos
Magnéticos, como se distribuyen las corrientes en uno o varios conductores cuando aparece el
efecto proximidad. En la figura (A) se observa que la distribución de corrientes se hace por el
exterior del conductor cilíndrico de manera uniforme. Este efecto ocurre debido al efecto piel
previamente explicado. El tamaño de la capa externa por donde circula la corriente viene
determinado por la profundidad de penetración. La imagen (B) muestra la distribución de
corrientes cuando hay dos conductores próximos por los que la corriente circula en sentidos
opuestos. En este caso las corrientes se concentran en las caras más próximas de los dos
conductores y un gran campo magnético se genera entre ellos. Este efecto se debe a que las
líneas de campo magnético entre los dos conductores tienen el mismo sentido. En el espacio
alrededor de los dos conductores las líneas de campo tienen sentidos opuestos y se cancelan
unas con otras, este es el efecto que se consigue con los cables coaxiales. La figura (C)
muestra la distribución de corrientes cuando hay dos conductores próximos por los que la
corriente circula en el mismo sentido. En este caso las corrientes se concentran en las caras
más alejadas de los dos conductores y el campo magnético entre los dos conductores es
37
mínimo. Este efecto se debe a que las líneas de campo magnético entre los mismos tienen
sentidos opuestos y se cancelan unas con otras. En el espacio alrededor de los dos conductores
las líneas de campo tienen el mismo sentido y se suman unas a otras formando, a una cierta
distancia, una distribución de la intensidad de campo magnético similar a la que formaría un
solo conductor con la suma de las corrientes.
En la figura 2.20 puede verse como se distribuyen las corrientes en conductores próximos
cuando no hay un eje de simetría común. La parte (A) muestra a las corrientes concentrándose
en las caras interiores, porque las mismas tienen sentidos opuestos y la mayor densidad de
corriente se da en las zonas más cercanas entre ambos conductores. Este es el caso que más se
aproxima al calentamiento por inducción, en el que uno de los conductores es el inductor y el
otro es la pieza, en la cual se generan corrientes que tienen un sentido opuesto a las que
circulan por el inductor y son más intensas cuanto más cerca se encuentren ambas. Si una
pieza no mantiene constante su posición relativa con respecto al inductor, las corrientes
inducidas y el calentamiento que éstas producen sobre la misma no son constantes y cada
calentamiento puede ser diferente. La figura (B) muestra el mismo caso que la figura 2.19C,
en el que las corrientes circulan en el mismo sentido, sólo que ahora la mayor densidad de
corriente se produce justo en la parte exterior y más alejada de los conductores.
En la figura 2.21 puede verse el calentamiento y la distribución de corrientes cuando varía la
posición relativa entre el inductor y la pieza. Cuando la pieza no gira sobre su eje, y no está
centrado el inductor con respecto al eje de la pieza, se produce un calentamiento desigual. En
la parte más cercana al inductor la profundidad de penetración es mayor y la zona calentada
está muy bien definida, mientras que en la zona más alejada la profundidad de penetración es
mucho menor y se produce una sombra alrededor de la zona calentada que difumina los
límites del calentamiento.
38
A
B
Figura 2.20: Distribución de corrientes por efecto proximidad en conductores rectangulares:
A) dos conductores con corrientes opuestas, B) dos conductores con corrientes en el mismo
sentido.
Para minimizar este efecto en piezas con simetría cilíndrica se hace girar la misma en torno a
su eje. Con una rotación suficientemente rápida, todas las piezas presentan el mismo
calentamiento aunque varíe la distancia relativa entre el inductor y cada una de ellas. Otro
efecto digno de mencionarse es el efecto ranura, el cual consiste en hacer pasar toda la
corriente del inductor por una de sus caras exteriores. Para que se produzca este efecto no es
necesaria la presencia de la pieza.
39
Figura 2.21: Zona afectada por el calentamiento y distribución de corrientes en la pieza
cuando su eje no coincide con el del inductor
El efecto ranura se consigue por medio de “concentradores”, estos concentradores son
pequeñas láminas de material magnético con forma de “U” que se colocan a lo largo del
inductor dejando una de sus caras libre, estas láminas provocan que toda la corriente del
inductor circule por la cara no cubierta por las láminas magnéticas. Este efecto, unido al efecto
proximidad, son utilizados para el temple muy localizado de piezas, pues la corriente del
inductor circula por la cara enfrentada a la pieza y las corrientes inducidas en la misma están
muy localizadas, produciéndose una zona de calentamiento que es idéntica al inductor que la
produjo. Este tipo de operación se denomina calentamiento selectivo y es ampliamente
utilizado en temple de piezas de la industria del automóvil.
Hasta ahora se ha visto como se produce la distribución de corrientes en conductores
rectilíneos, Ahora bien, cuando el conductor no es recto, como es el caso de la mayoría de los
inductores utilizados en calentamiento por inducción, las corrientes se distribuyen de manera
diferente. Estos inductores consisten en barras o tubos de cobre que forman una o varias
espiras alrededor de la pieza. En la figura 2.22 se pueden apreciar estas diferencias. En la parte
(A) se muestra la simulación mediante FEMM de una barra larga (20mm x 5mm x 100mm),
mientras que la parte (B) presenta la simulación de un corte transversal de un anillo de
diámetro 25mm y sección de barra de 20mm x 5mm.
40
A
B
Figura 2.22: Efecto anillo en conductores rectangulares: A) Barra de cobre larga, B) Sección
transversal de un anillo de cobre
Las corrientes y las líneas de campo mostradas en la figura 2.22A se redistribuirán si esta
barra se dobla para formar una espira (figura 2.22B). Las líneas de campo se concentrarán en
el centro del anillo y por lo tanto la densidad del campo magnético será mayor en el interior
del anillo que fuera, donde las líneas están más diseminadas. Las corrientes se concentran por
el interior de la espira o anillo, por lo que puede decirse que el efecto anillo es similar al efecto
proximidad. Este efecto produce una concentración de corriente sobre la superficie interior del
inductor de calentamiento, incrementándose el mismo en inductores multiespira. El efecto
anillo puede tener consecuencias positivas o negativas sobre el proceso de calentamiento por
inducción. Por ejemplo, en el calentamiento tradicional de cilindros, en los que el inductor
rodea a la pieza por su parte exterior, tal como se muestra en la figura 2.23A, el efecto anillo
juega un papel positivo puesto que la combinación del efecto piel, el efecto proximidad y el
efecto anillo consiguen que haya una gran concentración de corriente por el inductor muy
cercana a la pieza, en este caso se dice que la pieza está muy bien acoplada. Este mismo efecto
juega un papel negativo en el calentamiento por inducción de superficies internas (figura
2.23B), en el que el inductor está en el interior de la pieza que se desea calentar. En este caso
las corrientes se concentran en el interior de la bobina cuando la pieza está en su exterior,
provocando un acople muy malo entre el inductor y la pieza. En este tipo de calentamiento el
rendimiento es muy bajo y para mejorarlo se utilizan concentradores que, por el efecto ranura,
hacen que aumente la corriente por la parte externa del inductor de calentamiento.
41
Figura 2.23: Estructuras de Bobinas de Calentamiento.
El efecto ranura se ve incrementado por el efecto proximidad, mejorando el rendimiento total
de la aplicación, sin embargo, es el efecto ranura el de mayor peso a la hora de distribuir las
corrientes por el inductor. El efecto anillo es necesario tenerlo en cuenta también en el diseño
de las conexiones de los componentes que unen el inductor con sus circuitos, pues si se
producen ángulos abruptos aparece en ellos un sobrecalentamiento. Este efecto también es de
vital importancia en el diseño de los transformadores de alta corriente.
Resumiendo, han sido presentadas las bases teóricas del calentamiento inductivo, así como la
manera como varían las zonas de la pieza calentada en función del tipo y forma del material,
tipo de fuente de excitación y relación entre la fuente (inductor) y la pieza. El parámetro que
indica el resultado del calentamiento es la distribución de las corrientes en la pieza y la
profundidad que éstas alcanzan (o profundidad de penetración). En concreto se ha revisado
como influyen, en el calentamiento de una pieza, los siguientes parámetros:
™ La naturaleza del material a calentar y su estado.
™ La naturaleza del material conductor del inductor.
™ La frecuencia de la corriente
™ La intensidad de campo magnético del inductor.
™ El acoplamiento entre el inductor y la pieza a calentar.
™ El tipo de inductor y sus características geométricas.
42
3.
Topologías de Control de Sistemas Resonantes
3.1. Presentación
Los sistemas resonantes pueden ser divididos en dos grandes grupos, resonantes serie y
paralelo. Ambas topologías poseen sus ventajas y desventajas inherentes. De igual manera, la
alimentación de la fuente puede ser por corriente o por tensión. La alimentación por corriente
es adecuada para elementos conmutadores autobloqueantes, tales como los SCR, aunque es
posible que para los tiristores que operan a frecuencias elevadas sea necesario incluir el diodo
en serie. Si se utilizan transistores MOSFET o IGBT’s, es necesario adicionarle un diodo
rápido en serie con cada dispositivo, lo que aumenta el costo y la complejidad del conjunto. El
sistema alimentado por tensión no adolece de este problema para los dos últimos dispositivos
ya que es factible hacer uso del diodo parásito incluido en el transistor MOS ó en el diodo que
generalmente es incluido en el mismo encapsulado de los IGBT; de igual manera, si se quiere
usar un sistema de alimentación por tensión con un SCR, hace falta colocar un diodo en
antiparalelo con el dispositivo.
Debido a los argumentos estipulados anteriormente, hace falta realizar conmutación suave
para minimizar las pérdidas del sistema y proteger los dispositivos de potencia. Para lograr
esto lo usual es tener un generador de potencia de frecuencia variable, anclado con la
frecuencia de resonancia natural del sistema. Este anclaje puede ser hecho con la tensión o a la
corriente del sistema, lo que conllevaría a un sistema de conmutación a cero tensión o cero
corriente. Una vez conseguido este enganche, aparece el problema inherente de los sistemas
resonantes, esto es, la generación de elevadas corrientes y tensiones. Un mecanismo clásico es
regular la tensión DC de entrada mediante un rectificador controlado y un lazo de control
independiente capaz de mantener la salida dentro de ciertos puntos de operación. El
inconveniente de este método es la necesidad de montar dispositivos adicionales que
nuevamente incrementan el costo y la complejidad total. Una mejor solución sería la de
aprovechar los mismos dispositivos de conmutación de alta frecuencia como dispositivos
reguladores.
3.2. Control en régimen resonante permanente
Hablando estrictamente, un sistema que esté en régimen de resonancia permanente no es
43
intrínsicamente controlable, por lo tanto hay que manejar la fuente de energía asociada al
sistema, mediante un rectificador controlado y asociado al lazo de control. Un sistema de este
tipo se muestra gráficamente en la figura 3.1. [12, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 26, 27, 30, 33, 35,
36, 40, 41, 42, 43, 45, 46]
Fuente DC Controlada
Conmutador alta frecuencia
2
2
L1
D1
D2
S
L2
1
1
R
C2
C1
2
D4
1
D3
1
2
T
Figura 3.1: Esquema básico del sistema resonante serie con alimentación por tensión
En este esquema L1, C1 y los tiristores, forman una fuente DC regulable. La parte de alta
frecuencia se comanda para de mantener el sistema a la frecuencia de resonancia natural dada
por L2 y C2. Hay que hacer notar que L2 es la bobina de inducción, pudiendo tener un
transformador de acople, el cual no aparece indicado en este esquema simplificado.
La topología mostrada en la figura 3.1 corresponde a un sistema de resonancia en serie
alimentado con fuente de tensión. El circuito mostrado en la figura 3.2 corresponde a la
versión de resonancia en paralelo con alimentación por tensión. Este último circuito debe tener
algún sistema de bloqueo de DC, ya que de otra manera L3 podría saturarse. En este circuito
se hace necesario colocar una inductancia adicional (L2) para conformar un circuito L-LC, con
el fin, entre otras cosas, de eliminar la incompatibilidad topológica de enfrentar dos fuentes de
tensión [11, 12, 20, 43]. De igual forma que para el caso anterior, el circuito puede contener un
transformador de adaptación a la carga, el cual no aparece indicado.
Las otras topologías utilizadas aparecen mostradas en las figuras 3.3 y 3.4 y corresponden a
sistemas resonantes serie [12, 17] y paralelo [9, 18, 23, 28, 34, 38, 41] respectivamente, con
alimentación por corriente. Igual que para el caso de la figura 3.2, el circuito de la figura 3.3
44
incluye un condensador adicional (C), con el fin de evitar el conflicto entre dos fuentes de
corriente. Este circuito conforma una red C-CL [11, 12].
Fuente DC Controlada
1
Conmutador de Alta Frecuencia
2
L3
1
2
L2
R
C
1
S
2
T
Figura 3.2: Esquema básico del sistema resonante paralelo con alimentación por tensión
Es fácil verificar que variando la corriente o la tensión de la fuente DC se puede regular la
potencia sobre la bobina de inducción, por lo tanto, el sistema completo debe poseer al menos
dos lazos de control, uno para la fuente DC y otro para comandar los conmutadores de alta
frecuencia, para permanecer bajo el régimen de resonancia.
Fuente DC Controlada
1
Conmutador de Alta Frecuencia
2
C2
L2
1
2
R
S
C
T
Figura 3.3: Esquema básico del sistema resonante serie con alimentación por corriente
Las topologías usuales corresponden a las de las figuras 3.1 y 3.4, en la que la bobina de filtro
es, en la práctica, una bobina trifásica para minimizar el solapamiento de la conmutación de
45
los tiristores.
Fuente DC Controlada
Conmutador alta frecuencia
L1
2
D2
2
D1
1
1
R
T
C2
1
1
2
L2
2
S
D3
D4
Figura 3.4: Esquema básico del sistema resonante paralelo con alimentación por corriente
3.3. Sistemas de control cuasi-resonantes
La filosofía de control detrás de este grupo de métodos busca usar la etapa de alta frecuencia
para mantener el sistema en resonancia y a la vez regular la potencia sobre la carga. Esto
modificaría la estructura del sistema de tal manera que disminuiría costos y simplificaría el
diseño del rectificador de entrada; esto último se muestra en la figura 3.5, a modo de ejemplo,
sobre la topología de un sistema resonante serie y alimentación por voltaje. El resto de las
topologías deben ser modificadas acorde.
La diferencia fundamental es el cambió de un rectificador controlado a un rectificador normal
basado en un puente de diodos convencional, que es considerablemente más simple y
económico que la versión controlada. Por supuesto, los mecanismos de control deben ser
implementados de manera de poder lograr un ajuste de la potencia sobre la carga. Para realizar
esto existen varias alternativas, por lo que a continuación se nombran varias de ellas
46
Fuente DC no Controlada
1
Conmutador de Alta Frecuencia
2
L
R
1
S
C
2
T
Figura 3.5: Sistema modificado de alimentación resonante
3.3.1
Modulación Delta [14, 37]
El sistema de modulación delta es usado ampliamente en comunicaciones digitales y en
adquisición de datos, ya que representa una forma de construcción de conversores analógicodigital y digital-analógico de fácil implementación. La topología de modulación delta también
puede ser usada como mecanismo de control o regulación y su fundamento básico puede ser
apreciado en la figura 3.6. En esta figura aparecen los bloques constructivos básicos de un
modulador delta, a saber, un integrador, un comparador, un muestreador y el bloque de
potencia constituido por un sistema resonante serie (SRI), tal como el mostrado en la figura
3.5. Obviando momentáneamente el bloque de control, cuando Io es menor que Iref, la salida
del comparador es un ‘uno’ lógico, que es almacenado sincrónicamente en el elemento
muestreador y su salida comanda dos de los interruptores de potencia, SW1 y SW2, que están
diagonalmente separados. Si se mantiene la condición Io<Iref, en el siguiente semiciclo se
comanda los otros dos interruptores, SW3 y SW4, de esta manera el sistema conmuta en modo
activo, incrementando la corriente hasta que Io>Iref. Cuando esta condición se satisface, el
sistema pasa de conmutar en modo activo a conmutar de modo pasivo, manteniendo sin
cambios el último estado utilizado, de manera de dejar un camino para la corriente a través de
SW1 y D2 o bien SW3 y D4. Este proceso hace decrecer de un modo exponencial la amplitud
de salida, descargando la energía a la carga. Una vez que reaparece la condición Io<Iref, el
sistema vuelve a su modo activo. Estas transiciones se muestran en la figura 3.7.
47
fc
Iref +
1
+
Ie
Io
+
0
Iref
ZCS SRI
Io
Ki +sKd
s
Figura 3.6: Bloques básicos de un sistema Delta
Figura 3.7: Diagrama de conmutación para un modulador delta
3.3.2
Resonancia en la frontera (edge resonance) [8, 39, 44]
Este método permite una conmutación suave de los dispositivos de potencia, utilizando un
limitador activo, ayudado por un condensador, que opera a frecuencia constante y permite
variación de la potencia de salida. En la figura 3.8 se muestra un esquema simplificado que
hace uso de este método. Esta topología permite mantener la frecuencia de conmutación fija,
variar la potencia de salida y a la vez mantener un conmutación suave por cero tensión (ZVS).
La bobina de inducción L1, junto con el condensador C1 forman el circuito resonante principal,
activado periódicamente por SW1. El conjunto Cs y SWs forman el limitador activo,
restringiendo el voltaje de SW1 a aproximadamente 2V1. El período apagado de SW1 consiste
en un intervalo de transición cuasiresonante, durante el cual se opera en ZVS y un estado no
resonante durante el cual se limita la tensión con SWs y Cs. Se puede obtener un control de
potencia variando el periodo de operación de SW1 mientras se mantiene fija la frecuencia de
operación.
48
Cs
Ds
SWs
V1
L1
1
2
C1 SW1
A
D1
B
Figura 3.8: Esquema simplificado del circuito de resonancia en frontera (A) y formas de onda
relevantes (B)
3.3.3
Sistema multifrecuencial [10]
Para determinadas circunstancias, tales como el tratamiento térmico de engranajes, se hace
deseable poseer dos frecuencias de oscilación, dado que la penetración y, por lo tanto, el
cambio de temperatura en las diferentes partes del material es función de la frecuencia de
operación, la componente de baja frecuencia transfiere poca energía pero penetra más
profundamente el material. Contrariamente, la parte de alta frecuencia penetra poco, pero
permite calentamientos mayores, de esta manera puede ser logrado un perfil de
endurecimiento más controlado. En la figura 3.9A aparece un esquema simplificado de esta
topología. Existen seis modos de conmutación los cuales se muestran el la figura 3.9B. Estos
modos son
™ Modo 1 ( 0 ≤ t ≤ t1 ): La corriente inicial se suministra a la carga bajo un estado
resonante LC1 a través del primer condensador resonante C1 con SW1, SW4 y D1
encendidos.
™ Modo 2 ( t1 ≤ t ≤ t 2 ): El condensador C2 se carga bajo el estado resonante LC2 debido a
que C2<<C1 con SW4 apagado, SW1 y D3 encendidos. Cuando la corriente de salida i
llega a cero, los diodos D1 y D3 se apagan.
™ Modo 3 ( t 2 ≤ t ≤ t 3 ): La corriente se bloquea mediante los diodos D1 y D3.
™ Modo 4 ( t 3 ≤ t ≤ t 4 ): El condensador C2 se descarga y la corriente reversa i fluye por el
estado resonante LC2 con SW2, SW3 y D2 encendidos. Cuando la tensión sobre el
49
condensador C2 se hace cero en t=t4, el diodo D4 se enciende.
™ Modo 5 ( t 4 ≤ t ≤ t 5 ): La corriente reversa i disminuye bajo el estado resonante LC1 con
D4 encendido automáticamente. Cuando la corriente de salida i llega a cero, los diodos
D2 y D4 se apagan.
™ Modo 6 ( t 5 ≤ t ≤ t 6 ): El circuito permanece en un estado de espera hasta el comienzo
del próximo ciclo.
C1
L1
1
SW3
1
SW2
D4
D2
SW4
1
V1
D3
2
2
2
SW1
1
2
D1
C2
A
B
Figura 3.9: (A) Esquema simplificado del circuito multifrecuencial; (B) Estados de
conducción
En este sistema, los interruptores SW1 a SW4 se encienden en ZCS, mientras que SW1 a SW3
se apagan en ZCS y SW4 se apaga en ZVS. El sistema constituye, de facto, un sistema
resonante doble.
Vale la pena comentar que el sistema multifrecuencia usado para temple de superficies
geométricas complejas, tales como engranajes, requieren potencias muy elevadas y tiempos de
calentamiento extraordinariamente cortos (del orden de 0,2 seg)
3.3.4
Control por PFM (Pulse Frequency Modulation) [13, 29]
Este método hace uso de alguna de las topologías mostradas en las figura 3.5 y sus derivadas,
como elementos de potencia, pero en lugar de mantener el sistema en resonancia permanente,
50
la frecuencia se ajusta de manera de estar siempre por encima de ella, de esta forma la
corriente y/o la tensión disminuye sobre el sistema, generando así, un cambio de potencia.
Figura 3.10: Curvas de resonancia para varios materiales
La figura 3.10 muestra algunas curvas de resonancia para un horno de inducción [13] con
cargas compuestas por tres tipos de materiales distintos (hierro y dos tipos de aleaciones de
aluminio). Independientemente del tipo de material, se puede observar las curvas típicas de
resonancia de un sistema RLC con un factor Q cambiante. Si el sistema de control se desvía
del pico de la curva, se obtiene un cambio importante en la corriente del sistema. Ahora bien,
la desviación puede ser a frecuencias inferiores o superiores del pico, sin embargo, para
efectos de los conmutadores de alta frecuencia es más conveniente estar en frecuencias
superiores, ya que de esa manera y usando una red amortiguadora (snubber) adecuada, la
conmutación puede ser realizada a cero voltaje [49].
3.3.5
Desplazamiento de fase [24, 25, 31, 32]
La topología básica está representada en la figura 3.11. Se puede apreciar que la estructura de
conmutación es diferente a la estándar y esta última puede ser observada en la figura 3.12 [24].
51
Figura 3.11: Topología circuital de un sistema de corrimiento de fase
Se puede observar que en esencia corresponde al circuito mostrado en la figura 3.5 con un
transformador de acoplamiento. Cos es el condensador del circuito tanque y Cdc es un
condensador de bloqueo de DC, para evitar saturación del transformador de acople.
En la figura 3.12 se muestra la secuencia de conmutación de los cuatro transistores, que difiere
de la estándar Q1-Q2 y Q3-Q4, para tener siempre un camino de corriente a través de los
interruptores
Figura 3.12: Relación de conmutación del grupo de potencia
La última curva de la figura 3.12, muestra la relación de voltaje-corriente para el sistema. Se
puede observar claramente una diferencia de fase entre ambas, lo que forma el principal
mecanismo de control de potencia, ya que la potencia sobre la carga es V ∗ I ∗ cos(Φ ) .
Modificando Φ, se controla la potencia sobre la carga.
52
3.3.6
Resonancia con circuitos activos [21]
Por ciertas circunstancias, bien sea económicas o de complejidad del circuito, cuando el uso de
topologías permanentemente resonantes no es adecuado, este tipo de sistema permite utilizar
una red activa como elemento resonante secundario, con la ventaja que su necesidad de
manejo de potencia es inferior a la requerida por los interruptores principales. Un esquema de
este estilo puede ser apreciado en la figura 3.13.
Conmutador alta
frecuencia
2
L1
SW1
Sistema
Resonante
Activo
Carga
D1
C3
2
Fuente DC
D3
L2
SW3
1
208 VAC
1
C1
208 VAC
L3
C5
2
1
SW2
C2
D2
C4
Figura 3.13: Topología de inversor con circuito resonante auxiliar
El circuito resonante auxiliar está formado por SW3, D3, L3 y C4 y su función es la de cargar
y descargar los condensadores del snubber sin pérdidas, compuestos por C2 y C3 cada vez
que no haya suficiente corriente en la carga para realizar esta función. Esto garantiza la
conmutación suave para cualquier condición de la carga. El control de potencia se realiza
mediante cambios en la frecuencia de operación de los elementos conmutadores.
Luego de analizar en detalle las topologías presentadas, se concluyó que la que mejor encajaba
con el trabajo que se está realizando es la configuración resonante serie controlada en potencia
mediante un sistema delta, conocido también como Modulación por Densidad de Pulsos. Los
capítulos siguientes estarán centrados en el estudio detallado de la red serie y del sistema de
control de potencia basado en modulación delta.
Con el fin de establecer un marco de referencia y realizar una síntesis de los elementos que
hasta ahora se han elaborado, los criterios de diseño del sistema a desarrollar pueden resumirse
en la tabla 3.1.
53
Criterio de Diseño
Especificación
Frecuencia mínima de trabajo
Frecuencia máxima de trabajo
Potencia máxima de salida
Tensión de alimentación
Topología de potencia
20 KHz
100 KHz
10 KW
Trifásica 208VAC 60Hz
Medio Puente
Modulación por Densidad de Pulsos (Delta)
Tipo de control
con realimentación en potencia
Red de compensación del lazo de control
PID
Tipo de conmutación
ZCS
Tabla 3.1. Criterios de Diseño del Inversor Resonante
54
4.
Estudio del Generador Resonante Serie
4.1. Presentación
En este capítulo se hace una descripción del generador resonante serie. Se definirá de manera
precisa el modelo de la bobina de calentamiento con su carga, partiendo del modelo resonante
tipo serie que se introdujo en el capítulo anterior. Haciendo uso de la simulación de elementos
finitos magnéticos se obtendrán los parámetros de cálculo para el sistema de bobina y carga y
se simulará mediante SPICE el sistema resonante desarrollado.
4.2. Modelo serie de inductor con carga
4.2.1
El efecto transformador
Tal como se mencionó en la sección 2.3 y se visualizó en la figura 2.2, la bobina de
calentamiento junto con su carga, se comportan como un transformador con un acople
considerablemente menor que la unidad, por lo que se le puede modelar mediante dos
inductancias acopladas, tal como se muestra en la figura 4.1.
I1
I2
+
+
V1
Ls
Lp
Rs
V2
-
M
A
B
Figura 4.1. Conjunto inductor – pieza y su modelo de transformador.
Donde Lp es la inductancia de la bobina de calentamiento, Ls y Rs son la inductancia y la
resistencia óhmica que forma la espira que aparece en la carga por efecto piel y por último M,
que representa la inductancia mutua entre ambas bobinas. Al realizar un análisis de mallas
para este circuito, se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
V1 = jωL p I 1 − jωMI 2
(4.1)
− V2 = − jωMI 1 + jωLs I 2
(4.2)
55
donde jω es j2π f, siendo f la frecuencia de trabajo y j = − 1 .
Tomando en consideración que I1 señala hacia el extremo con punto e I2 hacia el extremo sin
punto, la convención de punto dicta los signos menos para los términos de inductancia mutua.
I2 en función de I1 vale, por lo tanto
I2 =
jω M
I1
R s + jω L s
(4.3)
Donde Rs = V2 I 2 . Utilizando 4.3, para eliminar I2 de 4.1, se tiene
⎡
ω 2M 2 ⎤
V1 = ⎢ jωL p +
⎥ I1
Rs + jωLs ⎦
⎣
(4.4)
Esta expresión posee una interesante connotación. Sugiere que la impedancia Z = V1 I1 ,
orientada hacia el puerto primario, es equivalente a un inductor simple (no acoplado) de L p
henrys en serie con una segunda impedancia. Esta segunda impedancia muestra el efecto del
devanado secundario y una carga cuando aparecen reflejadas en el circuito primario.
Z R ( jω ) =
ω 2M 2
Rs + jωLs
(4.5)
Multiplicando y dividiendo 4.5 por Rs − jωLs , queda
Rs − jωLs
Rs ω 2 M 2
j ω 3 Ls M 2
ω 2M 2
⋅
=
−
Rs + jωLs Rs − jωLs Rs2 + ω 2 L2s Rs2 + ω 2 L2s
(4.6)
El primer término de 4.6 corresponde a la parte real de la ecuación y representa la resistencia
óhmica de la carga reflejada al primario del transformador. Rescribiendo la segunda parte de
4.6 de la siguiente forma
⎡ ω 2 Ls M 2 ⎤
j ω 3 Ls M 2
− 2
= jω ⎢ − 2
2 2 ⎥
Rs + ω 2 L2s
⎣ R s + ω Ls ⎦
(4.7)
es fácil comprobar que éste término reflejado se comporta como una inductancia de valor
56
negativo que se resta de la inductancia del primario, obligando a una variación incremental de
la frecuencia de resonancia del sistema completo. Una vez obtenidos estos parámetros, el
circuito equivalente del sistema bobina-carga se puede representar por el circuito mostrado en
la figura 4.2B.
I1
I2
V1
Ls
Lp
Rs
V2
+
- +
-
-
+ +
-
V1
-
-
Lp
Rp
I1
+
+
M
A
R's
L's
B
Figura 4.2. Circuito equivalente del conjunto inductor – pieza.
Donde R’s y L’s son la parte real e imaginaria, respectivamente, de 4.6, Rp corresponde a la
resistencia óhmica de la bobina de calentamiento y a la línea de transmisión asociada desde el
generador. Existe, así mismo, una inductancia adicional en serie que no se muestra en la figura
4.2B y que está asociada a la línea de transmisión, acoples eléctricos y otras inductancias
parásitas.
Los parámetros anteriormente deducidos son difícilmente cuantificables de manera analítica,
salvo en los casos mas simples de simetría axial o radial, sin embargo, éste no es el caso para
la mayoría de los sistemas, donde a veces ni siquiera existe la simetría. A tal efecto, en el
apartado siguiente se mostrará un método de cálculo basado en simulación de Elementos
Finitos Magnéticos FEMM [49] como herramienta para extraer los parámetros de interés del
sistema.
4.2.2
Simulación mediante Elementos Finitos Magnéticos
En este proyecto y a efectos de prueba, se construyó un pequeño sistema de calentamiento que
incluye la bobina de calefacción incrustada en cemento refractario. Este sistema, parcialmente
ensamblado, se muestra en la figura 4.3, donde aparece la bobina sin incrustar y el crisol de
calentamiento.
57
Figura 4.3. Sistema bobina-carga parcialmente ensamblado.
Como puede apreciarse en la figura 4.3, ni la bobina ni la carga tienen una forma que permita
calcular los parámetros necesarios de manera cerrada, aunque si poseen simetría axial, lo que
permite utilizar una versión de FEMM bidimensional. Dado que el mecanismo de simulación
es el tipo eje-simétrico [50], la figura 4.4 solo muestra la mitad del corte transversal del
sistema bobina-carga, ya que internamente el sistema de simulación toma en cuenta el
volumen completo debido a la simetría rotacional sobre el eje Z.
20mm
C
Figura 4.4. Corte transversal del sistema bobina-carga.
Este es el insumo de entrada para el programa de simulación. Hay que hacer notar que para
58
efectos de cálculo solo se utiliza la concha exterior de la carga, que aparece por efecto piel, y
es la parte denotada en la figura 4.4 como C. Los cálculos fueron realizados para una carga de
aluminio, siendo la bobina de calentamiento realizada de tubería de cobre de 0.8mm de
espesor. Las definiciones relevantes para la realización de los cálculos [51] se transcriben a
continuación
Lself =
∫ A ⋅ JdV
Lmutual =
(4.8)
i2
∫A ⋅J
1
2
i1i2
dV2
=
n2
i1 a 2
∫ A dV
1
2
(4.9)
donde Lself y Lmutual son las inductancias propias y mutua de las bobinas del sistema; A es el
potencial vectorial magnético, J la densidad de corriente, dV el diferencial de volumen, a el
área asociada, n el número de espiras e i la corriente total. Los subíndices numéricos se
refieren a la bobina particular: 1 es la bobina de calentamiento y 2 la carga.
El dibujo mostrado en la figura 4.4, que fue realizado mediante AUTOCAD® y luego
exportado al programa FEMM usando el estándar de intercambio de dibujos DXF, permite la
calcular la auto inductancia de la bobina de calentamiento (Lp), así como la de la concha o
cáscara que se forma por efecto piel en la carga (Ls), mediante la evaluación de 4.8. También
permite evaluar 4.9, con lo que se obtiene la inductancia mutua (M) del sistema bobina-carga.
El programa de simulación permite calcular, así mismo, la corriente total y la potencia
disipada, por lo que las resistencias asociadas a la carga y a la bobina de calentamiento se
pueden calcular mediante la ecuación
R=
W
i2
(4.10)
La tabla 4.1 muestra los resultados de estas evaluaciones basadas en la simulación por
Elementos Finitos Magnéticos para el sistema propuesto
59
Parámetro
Lp
Ls
M
Rp
Rs
Valor Directo
8,08 μH
0,015 μH
0,173 μH
29.1 mΩ
121 μΩ
Tabla 4.1. Parámetros obtenidos mediante simulación de elementos finitos para el sistema de
calentamiento.
Ahora es posible obtener el valor de la constante de acoplamiento k del modelo, la cual viene
dada por
k=
M
L p Ls
=
0,173
8,08 ⋅ 0,015
= 0,496
(4.11)
Como puede apreciarse, el coeficiente de acople es bastante bajo, lo que justifica plenamente
el uso del modelo basado en inductores acoplados.
La consecuencia directa del uso de este método es que se puede reducir, de manera exacta, el
sistema bobina-carga a un sistema RL tipo serie, de igual manera permite la evaluación
numérica de los parámetros eléctricos de cualquier topología complicada.
4.3. Generador Resonante Serie
Se denomina generador resonante serie al convertidor AC/AC cuya entrada es la red eléctrica
(generalmente trifásica) y cuya carga es un circuito resonante serie. El circuito resonante serie
consiste en un circuito RLC donde R representa la resistencia óhmica de la carga reflejada al
primario (R’s) más la resistencia de pérdida de la bobina de calefacción y de su línea de
transmisión asociada (Rp), L es la inductancia de la bobina de calentamiento (Lp) más las
inductancias parásitas (Lt) del sistema menos la inductancia reflejada de la carga (L’s) y, por
último C, que es el condensador usado para compensación de la potencia reactiva. El circuito
equivalente total se presenta en la figura 4.5
60
Rp+R's
Lt+Lp-L's
I
V
C
Figura 4.5. Circuito equivalente total de salida del sistema de calentamiento.
Por lo tanto, ahora se justifica el análisis del circuito RLC clásico, con el fin de obtener
información relevante para el funcionamiento del sistema.
4.3.1
Circuitos de salida para calentamiento por inducción
Para que se pueda dar el fenómeno denominado calentamiento por inducción es necesario
disponer de la pieza, del inductor de calentamiento y de un generador de corriente alterna de
alta frecuencia capaz de inyectar suficiente corriente por el inductor. Aunque existen otros
métodos, la forma más eficiente de conseguir esta corriente alterna es mediante la resonancia
entre la bobina de calentamiento y un condensador C. Este condensador compensa la potencia
reactiva debida a la inductancia de la bobina, generándose un circuito resonante que involucra
al condensador, las inductancias y las resistencias asociadas. Estos componentes determinan
en última instancia la frecuencia de trabajo.
4.3.2
Análisis del circuito RLC bajo régimen de resonancia permanente
Una de las características más relevantes del presente trabajo es qué el sistema debe funcionar
en régimen de resonancia permanente, por lo que se hace necesario calcular que sucede con un
sistema serie al cual se le excita con una señal V de frecuencia igual a la de resonancia. Para
efectos del cálculo, se tomarán los valores L, C y R totales definidos en la figura 4.5, dado que
todos esos parámetros influyen en la frecuencia de resonancia del sistema. Usando la Ley de
Kirchoff de tensiones en el dominio de Laplace para el circuito mostrado en la figura 4.5, se
tiene
V−
I ( s)
⎡ 1
⎤
− s ⋅ LI ( s ) − R ⋅ I ( s ) = 0 ⇒ V = I ( s ) ⎢
+ sL + R ⎥
sC
⎣ sC
⎦
(4.12)
61
Por otro lado, el valor que se quiere deducir finalmente es la potencia real sobre el sistema y
esto implica obtener el voltaje (o la corriente) sobre la resistencia óhmica del sistema, por lo
tanto se puede decir
VR = I ( s) R
(4.13)
luego, la función de transferencia del sistema, referenciado a la resistencia es
VR ( s)
=
1
V (s)
R
sC
(4.14)
+ sL + R
Arreglando los términos y normalizando la ecuación, se tiene
sR
VR ( s)
L
= 2
V (s) s + s R + 1
L
LC
(4.15)
Al buscar las raíces de la ecuación de segundo orden del denominador de 4.15, se puede
factorizar la misma y por expansión en fracciones parciales obtener la solución temporal de la
ecuación, luego
2
R
1
⎛ R ⎞
s=−
± ⎜ ⎟ −
LC
2L
⎝ 2L ⎠
(4.16)
Ahora bien, es necesario que el sistema tenga una respuesta compleja, ya que se quiere que sea
oscilatoria, por lo tanto se debe cumplir que
2
1
⎛ R ⎞
⎜ ⎟ <
LC
⎝ 2L ⎠
(4.17)
luego, 4.15 puede escribirse como
sR
sR
VR ( s)
L
L
=
=
2
V ( s ) ( s + (a + jω ))( s + (a − jω )) (( s + a ) + ω 2 )
2
(4.18)
R
1
⎛ R ⎞
y jω = ⎜ ⎟ −
. Hay que hacer notar que la definición de frecuencia
donde a =
LC
2L
⎝ 2L ⎠
62
de resonancia difiere ligeramente de la definición clásica
1
, debido a que el sistema
LC
trabaja precisamente en el punto de resonancia y no es factible realizar aproximaciones.
Ahora bien, el sistema debe alimentarse con una señal de naturaleza tal que alguna de sus
armónicas coincida con la frecuencia de resonancia del sistema, esto es, V = Vi sen(ωt ) por lo
tanto
sR
sR
ω
L
L
⋅ Vi 2
=
VR (s) =
V ( s) =
2
2
2
2
(( s + a ) + ω )
(( s + a) + ω )
(s + ω 2 )
R
sω
Vi
2
L (( s + a) + ω 2 )( s 2 + ω 2 )
(4.19)
Realizando la expansión en fracciones parciales y antitransformando 4.19, se obtiene,
finalmente
V R (t ) = Vi
Dado que 2a =
V R (t ) = Vi
⎤
⎡
2ω 2 − (a 2 + 2ω 2 )e − at
R
1
− at
(
1
ω
e
)
cos(
ω
t
)
sen(ωt )⎥
−
+
2
2 ⎢
a
L (a + 4ω ) ⎣
⎦
(4.20)
R
, 4.20 puede escribirse como
L
[
2
a (1 − ωe − at ) cos(ωt ) + sen(ωt )(2ω 2 − (a 2 + 2ω 2 )e − at )
2
(a + 4ω )
2
]
(4.21)
Como los valores reflejados dependen de ω , se realizó una simulación mediante SPICE del
circuito completo con los datos obtenidos por FEMM, a fin de precisar la frecuencia de trabajo
del sistema. El circuito real y el modelado se presentan en la figura 4.6, mientras que el
resultado para ambos sistemas se muestra en la figura 4.7. Hay que hacer notar que se estimó
la inductancia de transmisión (Lt) en 1μH, basado en consideraciones sobre líneas de
transmisión [52] y se midió de manera precisa el condensador, dando un valor de 2,718μF.
Como puede apreciarse en la figura 4.7, es prácticamente indistinguible el sistema real del
modelo RLC serie, lo que en definitiva valida de ahora en adelante el uso de este último a
efectos de cálculo del sistema de control.
63
La tabla 4.2 resume los parámetros obtenidos mediante la simulación de elementos finitos, así
como los valores reflejados y los valores RLC finales usados en la simulación. Queda por
verificar la respuesta temporal del sistema. Esto último se realizó evaluando 4.21, usando
Matlab y el resultado puede verse en la figura 4.8. Igualmente se realizó una simulación
temporal mediante SPICE del circuito modelado mostrado en la figura 4.6, la cual se presenta
en la figura 4.9. De las figuras 4.8 y 4.9 se puede observar que ambas son, nuevamente,
virtualmente idénticas, dando finalmente una expresión del comportamiento de un sistema
resonante alimentado permanentemente a la frecuencia de resonancia. La evolución del
sistema, expresado en 4.21 será la base para la obtención del subsistema de control del
inversor. Sobre este tópico se volverá en el capítulo siguiente: Desarrollo del Sistema de
Control de Potencia.
Parámetro
Lp (H)
Ls (H)
M (H)
Rp (Ω)
Rs (Ω)
C (F)
ω (rad/s)
f (Hz)
Valor Directo
8,080E-06
1,500E-08
1,730E-07
2,910E-02
1,210E-04
2,718E-06
227.602
36.224
Rp+R's (mΩ) Lp-L's+Lt (μH)
45,175
7,087
Valor Reflejado
8,080E-06
1,993E-06
1,730E-01
2,910E-02
1,607E-02
2,718E-06
227.602
36.224
C (μF)
2,718
Tabla 4.2. Parámetros directos y reflejados para el sistema de calentamiento.
64
Sistema Real
Rs
K K1
K_Linear
COUPLING = 0.496
121u
.015uH
Lp
8.08uH
I
Ls
Rp 29.1m
Lt
1uH
C1 2.718u
V1
1Vac
0Vdc
I
Sistema Modelado
0
RT 45.175m
L
7.087u
C2 2.718u
0
Figura 4.6. Circuito simulado en SPICE.
Figura 4.7. Evaluación, mediante simulación AC, del sistema de salida resonante: (IRp)
freuencia 36,224KHz, Corriente 22,072A, (IRT) frecuencia 36,224KHz, Corriente 22,150A.
65
1
0.8
0.6
Amplitud (V)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
t (s)
1.5
-3
x 10
Figura 4.8. Respuesta analítica del sistema a la excitación sen(ωt )u (t ) evaluada mediante
MATLAB.
Figura 4.9. Simulación mediante SPICE de la respuesta del sistema a la excitación
sen(ωt )u (t ) .
66
4.3.3
Impedancia del circuito RLC
Debido a la condición de fuente de corriente que representa el inductor en un circuito serie, los
circuitos resonantes deben estar alimentados mediante una fuente de tensión, por lo que resulta
necesario averiguar como varía la impedancia del circuito con la fase, dado que al estar
permanentemente en resonancia esta impedancia, referenciada a la frecuencia, siempre es la
mínima posible, pero siempre es factible cambiar la fase de conmutación de la fuente de
tensión respecto a la corriente del sistema.
Reescribiendo 4.12 se puede obtener la impedancia en el dominio de Laplace
V (s) ⎡ 1
⎤
=⎢
+ sL + R ⎥ =
I ( s ) ⎣ sC
⎦
s2 +
R
1
s+
L
LC
1
s
L
(4.22)
La función de transferencia correspondiente a la impedancia del circuito viene dada por:
Z ( s) =
V ( s ) ( s − z1 ) ⋅ ( s − z 2 )
=
1
I ( s)
⋅s
L
(4.23)
Donde se aprecia que existen dos ceros y un polo. La función impedancia también se puede
escribir de la siguiente forma:
Z (s N ) = Req ⋅
sN
+1
Q
sN
Q
s N2 +
(4.24)
donde:
sN = s / ω0
Q=
L ⋅ω0
Req
Y cambiando la variable s por jω queda:
(4.25)
(4.26)
67
Z ( jω N ) = Req
1 − ω N2 + j ⋅
j⋅
ωN
ωN
Q
(4.27)
Q
con:
ω N = ω / ω0
(4.28)
La frecuencia de resonancia ω0 corresponde a la frecuencia dada en radianes, donde la
impedancia del condensador y la inductancia tienen la misma magnitud y oposición de fase. Esto
hace que la impedancia total de estos componentes se haga cero, por lo tanto para ω0 la
impedancia del circuito resonante es RT (puramente resistiva). En las figuras 4.10 y 4.11 se
muestran los diagramas de amplitud y fase de la impedancia del circuito. Hay que tener en cuenta
que la representación del módulo de la impedancia está normalizada al valor de RT.
Módulo (Z)/R
100
10
1
0,1
1
f/fo
Figura 4.10. Módulo de la impedancia de un circuito resonante serie
10
68
Fase(Z) Grados
90
0
-90
0,1
1
10
f/fo
Figura 4.11. Fase de la impedancia de un circuito resonante serie
Si la fase es positiva significa que el circuito trabaja en modo inductivo y que la tensión estará
adelantada respecto de la corriente. Contrariamente cuando la fase es negativa significa que el
circuito trabaja en modo capacitivo y que la tensión estará retrasada respecto de la corriente.
Esto último implica que si la conmutación de tensión se realiza antes del cruce por cero de la
corriente, la misma será inductiva y si se hace después será capacitiva. Esto tiene una gran
repercusión en el proceso de conmutación de los dispositivos de potencia [53].
69
5.
Desarrollo del Sistema de Control de Potencia
5.1. Presentación
Este proyecto involucra el desarrollo de un sistema de inducción con control de potencia, sin
embargo la medición y el control siempre parten de obtener un modelo matemático para la
planta que se quiere controlar. Este capítulo está dedicado a la obtención de dicho modelo así
como a la escogencia del sistema de control y su entonación, usando programas en Matlab,
donde se simularán y ajustarán los parámetros de control del sistema.
5.2. Esquema del Sistema de Control
En la figura 5.1 se presenta el esquema en bloques del inversor, donde aparecen las partes
principales del mismo y cuya descripción se hace a continuación
™ Wref: Nivel de referencia de potencia
™ We: Error en la potencia
™ Wf: Señal de realimentación provista por el sensor
™ Wo: Potencia sobre la carga
™ Comparador y FlipFlop: Generación de la señal delta sincrónica
™ Potencia: Bloque compuesto por la fuente de alimentación, conmutadores de potencia,
red de calentamiento y carga
™ PID: Red de compensación proporcional-integro-diferencial
™ Sensor: Sistema de medición de la potencia real
fc
Wref +
Wf
We
Kp+ Ki
s +sKd
PID
1
0
Flip-Flop
Comparador
Sensor
Figura 5.1. Esquema en bloques del inversor
ZCS SRI
Potencia
Wo
70
5.3. Modelos Matemáticos del Inversor
5.3.1
Sistema Calentamiento (planta)
Dado que el sistema propuesto funcionará en régimen resonante permanente, la tensión y la
corriente sobre la carga son sinusoidales, por lo que la potencia sobre ella viene dada por
2
2
VRMS
VPico
W =
=
RT
2 RT
(5.1)
y dado que el valor RMS puede ser definido sobre un ciclo de la señal oscilatoria, es posible
aproximar la potencia total al valor de la envolvente de la sinusoide, el cual corresponde al
valor VPico de la señal de voltaje, por lo que partiendo de (4.21), que se transcribe nuevamente
para facilidad de trabajo
V R (t ) = Vi
[
2
a (1 − ωe − at ) cos(ωt ) + sen(ωt )(2ω 2 − (a 2 + 2ω 2 )e − at )
(a + 4ω 2 )
2
]
(5.2)
se puede obtener la envolvente simplemente reemplazando los términos oscilatorios por el
valor 1, con lo que 5.2 se convierte en
V R (t ) = Vi
[
2
a (1 − ωe − at ) + 2ω 2 − (a 2 + 2ω 2 )e − at
2
(a + 4ω )
2
]
(5.3)
Arreglando los términos
V R (t ) = Vi
[
2
a + 2ω 2 − (a 2 + aω + 2ω 2 )e − at
(a + 4ω 2 )
2
]
(5.4)
Factorizando 5.4, se obtiene
2(a + 2ω 2 ) ⎡ (a 2 + aω + 2ω 2 ) − at ⎤
V R (t ) = Vi 2
1−
e ⎥ = Vi K 1 (1 − K 2 e − at )
2 ⎢
2
(a + 4ω ) ⎣
(a + 2ω )
⎦
(5.5)
con
K1 =
2(a + 2ω 2 )
(a 2 + 4ω 2 )
y
K2 =
(a 2 + aω + 2ω 2 )
(a + 2ω 2 )
(5.6)
71
El resultado anterior posee una interpretación interesante, a saber, la respuesta a una excitación
del tipo sen(ω 0 t )u (t ) de un sistema resonante con frecuencia de resonancia ω 0 , equivale a la
respuesta de un sistema de primer orden a una excitación tipo u (t ) .
Superponiendo las gráficas correspondientes a la evaluación de 5.6 y 5.2, se puede apreciar
que 5.6 efectivamente representa la función envolvente buscada y evoluciona como un sistema
de primer orden. Este resultado se muestra en la figura 5.2.
1
0.8
0.6
Amplitud (V)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
t (s)
1.5
-3
x 10
Figura 5.2. Envolvente de la respuesta del sistema a sen(ωt )u (t ) evaluado en MATLAB
Lo que es más, ahora está claro que la aproximación del cálculo de potencia estipulado antes
es mejor en la medida que la envolvente varíe mucho más lento que la señal oscilatoria y, dado
que según 5.5 la evolución de la envolvente depende de a y la de la parte oscilatoria depende
de ω, la condición que debe satisfacer el sistema es que a<< ω, por lo que se puede hacer uso
de 5.1 y calcular la potencia sobre la carga como
W (t ) =
2
VPico
V2
V 2 (t ) Vi 2 2
= R
=
K 1 (1 − K 2 e − at ) 2 = i K 12 (1 − 2 K 2 e − at + K 2 e − 2 at )
2 RT
2 RT
2 RT
2 RT
(5.7)
72
Transformando 5.7 al dominio de Laplace, se obtiene
W (s) =
Vi 2 2 1 2 K 2
K2
)
K1 ( −
+
2 RT
s s + a s + 2a
(5.8)
Expandiendo 5.8 se tiene
W (s) =
Vi 2 2 ( K 22 − 2 K 2 + 1) s 2 + (3 − 4 K 2 + K 22 )as + 2a 2
K1 (
)
2 RT
s 3 + 3as 2 + 2a 2 s
Ahora bien 5.9 representa la potencia sobre la carga como respuesta a un escalón
(5.9)
Vi 2
u(s) , o
2 RT
lo que es lo mismo
W ( s ) = H ( s )u ( s )
(5.10)
Donde H (s) es la función de transferencia de la planta y u ( s ) = 1s es la transformada de u(t),
por lo tanto
Vi 2 2 ( K 22 − 2 K 2 + 1) s 2 + (3 − 4 K 2 + K 22 )as + 2a 2
sW ( s ) = H ( s ) =
K1 (
)
2 RT
s 2 + 3as + 2a 2
(5.11)
Utilizando Matlab para hallar la respuesta al escalón de H (s) , se obtiene la gráfica mostrada
Vi 2
= 1 ).
en la figura 5.3, que representa la evolución de la planta a una excitación unitaria (
2 RT
5.3.2
Modelo Matemático de la Red de Compensación (PID)
El modelo escogido como red de compensación está conformado por un sistema ProporcionalIntegro-Diferencial (PID) [54] cuyo circuito asociado se puede apreciar en la figura 5.4 y está
compuesto por un amplificador operacional, dos resistencias y dos condensadores.
73
1
0.9
0.8
0.7
Amplitud
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3
Tiempo (sec)
x 10
Figura 5.3. Respuesta en potencia del sistema a un escalón unitario u(t)
C1
R2
C2
R1
2
-
V-
4
VEE
U1A
0
+
8
3
1
V+
OUT
VCC
Figura 5.4. Esquema de la red de compensación
Usando la teoría de amplificadores operacionales y el equivalente de los componentes
reactivos en el dominio de Laplace, es fácil ver que
VO ( s )
Z (s)
=− 2
=−
Vi ( s )
Z 1 (s)
R2 +
1
sC 2
R1
sC1
R1 +
1
sC1
(5.12)
74
Simplificando y arreglando los términos, de 5.12, esta se convierte en
sR2 C 2 + 1
(sR2 C 2 + 1)(sR1C1 + 1)
VO ( s )
sC 2
=−
=−
R1
sR1C 2
Vi ( s )
sR1C1 + 1
(5.13)
No es posible, en este momento, obtener la respuesta parcial (diagrama de Bode) de 5.13,
debido a que se desconocen los valores que deben tener los componentes. Estos valores serán
obtenidos posteriormente a través de un proceso interactivo para estabilizar el sistema a lazo
cerrado, una vez se conozcan todos los parámetros del sistema inversor.
5.3.3
Modelo Matemático del Sensor de Potencia
Tal como se ha establecido, el conjunto bobina-carga se puede modelar como un inductor en
serie con una resistencia, tal como se muestra en la figura 5.5.
R
L
I0sen(ωt)
V0 cos(ωt- φ)
Figura 5.5. Circuito RL Equivalente
Las relaciones fasoriales provienen del hecho que
VL = L
di
d
= LI 0 sen(ωt ) = LI 0 cos(ωt )
dt
dt
(5.14)
Pero por Ley de Kirchoff de Tensiones
V = VL + VR = LI 0 cos(ωt ) + RI 0 sen(ωt ) = V0 cos(ωt − φ )
Ahora bien, la potencia sobre el sistema de calentamiento es VI, por lo tanto
(5.15)
75
W = VI = V0 I 0 sen(ωt ) cos(ωt − φ )
(5.16)
Por igualdades trigonométricas, se tiene
W =
V0 I 0
V I
sen(2ωt − φ ) + 0 0 sen(φ )
2
2
(5.17)
Por lo que la potencia total posee una parte oscilatoria de frecuencia 2ω más una parte fija
que varía como el seno del ángulo de desfasaje entre tensión y corriente. Dado que el
promedio por ciclo de un seno (o un coseno) es cero, se puede definir una potencia promedio:
W =
V0 I 0
V I
sen(φ ) ≈ 0 0 φ
2
2
(5.18)
La aproximación anterior se puede realizar debido a que φ , en radianes, es casi cero, lo que
significa que se puede aproximar el seno a su argumento.
Toda la deducción anterior sugiere el diseño del sensor como un sistema que mida la tensión y
la corriente sobre la bobina de calentamiento, multiplique ambas cantidades y las promedie, lo
que en definitiva significa filtrar la señal de potencia para extraer la parte DC representada en
5.17. La figura 5.6 muestra el diagrama en bloques del sensor necesario para obtener la
potencia sobre la carga.
C
V
X
W
Filtro Pasa
Bajos
W
I
Figura 5.6. Esquema de bloques del sensor de potencia
La implantación física de este sensor deberá poseer un sistema de medición de tensión y de
corriente con límites bastante elevados, debido a que estando en resonancia, para este sistema,
76
las mismas pueden llegar al orden de mil voltios y quinientos amperios, respectivamente. Sin
embargo estos instrumentos son sistemas lineales que en definitiva escalan estos valores a
unos pocos voltios, susceptibles de ser manejados por un convertidor analógico-digital u otro
sistema analógico. Queda por definir el filtro pasa-bajo necesario para obtener la potencia
promedio; esto se puede lograr usando la frecuencia límite inferior de resonancia de 20KHz
estipulada en la tabla 3.1. De 5.17 se observa que la componente AC de la potencia es dos
veces la frecuencia de resonancia, por lo que se obtendría 40KHz como frecuencia mínima a
ser eliminada. El otro aspecto importante es que φ es pequeño y por lo tanto la componente
DC es también pequeña. El orden de magnitud de φ es de 1 grado o aproximadamente 0.017
radianes y el valor máximo del sen(2ωt − φ ) es 1, por lo tanto
V AC
=
VDC
V0 I 0
sen(2ωt − φ )
1
2
≅ = 57,3 = 35dBV
V0 I 0
φ
sen(φ )
2
(5.19)
5.19 estipula entonces que hace falta, al menos, un rechazo de 35dB a 40kHz, para disponer de
una señal DC suficientemente estable para que sirva de medición de potencia.
Por otro lado, un filtro de alta atenuación generalmente conlleva un retardo alto y una
respuesta lenta, características perjudiciales para una respuesta rápida del sistema de control.
Por todo esto se escogió, como compromiso, un filtro pasa-bajo tipo Bessel con frecuencia de
corte de 5KHz, que provee una respuesta de fase plana a lo largo de su ancho de banda, así
mismo tiene un sobrepaso muy pequeño en su respuesta al escalón [55]. El esquema usado en
definitiva se muestra en la figura 5.7, mientras que el diagrama de Bode es presentado en la
figura 5.8.
77
R2
63.4k
R5
54.9k
C1
150p
-
1
OUT U1A
3
+
V+
C2
470p
Vo
R4
54.9k
4
6
C4
680p
Vee
-
V-
Vee
7
OUT U1B
5
+
V+
2
Vi
1Vac
0Vdc
R6
154k
4
R3
110k
Va
V-
R1
63.4k
C3
68p
0
0
Vcc
0
0
8
0
8
Vcc
Figura 5.7. Circuito del filtro pasa-bajo propuesto
Figura 5.8. Diagrama de Bode del filtro pasa-bajo Simulado Mediante SPICE.
78
Nótese en la figura 5.8 que la atenuación a 40KHz sobrepasa el criterio de diseño estipulado
en 5.19. Queda ahora por obtener la función de transferencia del filtro total, con el fin de poder
incluirlo dentro del diseño del lazo de control.
Dado que el filtro está compuesto de dos etapas idénticas, salvo los valores de sus
componentes, se procederá a obtener la función de transferencia de la primera etapa y
posteriormente se multiplicará por otra igual con los valores ajustados.
Nuevamente, haciendo uso de la teoría de amplificadores operacionales y el equivalente de los
componentes reactivos en el dominio de Laplace y usando las tensiones de nodo Vi, Va y Vo
mostradas en la figura 5.7, se pueden plantear las ecuaciones de nodo del filtro
Vi − Va
V
V
V − VO
− a − a − a
=0
1
R1
R3
R2
sC 2
(5.20)
Va Va − VO
−
1
R3
sC1
(5.21)
De 5.21 se puede despejar Va
Va = −
V O sR 3 C 1
1 − sR 3 C 1
(5.22)
y de 5.20 se puede despejar Vi
⎛ R R + R1 R3 + R2 R3 + sR1 R2 R3 C 2
Vi = Va R1 ⎜⎜ 1 2
R1 R2 R3
⎝
⎞ R1VO
⎟⎟ −
R2
⎠
(5.23)
Sustituyendo 5.22 en 5.23
Vi = −
VO sR3 C1 ⎛ R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 + sR1 R2 R3 C 2
⎜
1 − sR3 C1 ⎜⎝
R2 R3
Simplificando y sacando factor común Vo
⎞ R1VO
⎟⎟ −
R2
⎠
(5.24)
79
⎡ (R R + R1 R3 + R2 R3 + sR1 R2 R3 C 2 )sC1 R1 ⎤
Vi
= −⎢ 1 2
+ ⎥
(1 − sR3C1 )R2
VO
R2 ⎦
⎣
(5.25)
Sumando las fracciones e invirtiendo
⎛ VO
⎜⎜
⎝ Vi
⎞
⎡
⎤
(1 − sR3C1 )R2
⎟⎟ = − ⎢
⎥
⎠1
⎣ (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 + sR1 R2 R3 C 2 )sC1 + (1 − sR3 C1 )R1 ⎦
(5.26)
dado que la ganancia de la segunda etapa es funcionalmente idéntica a la primera, se puede
inferir directamente que
⎛ VO
⎜⎜
⎝ Vi
⎞
⎡
⎤
(1 − sR6 C3 )R5
⎟⎟ = − ⎢
⎥
⎠2
⎣ (R4 R5 + R4 R6 + R5 R6 + sR4 R5 R6 C 4 )sC 3 + (1 − sR6 C 3 )R4 ⎦
(5.27)
Los subíndices de 5.26 y 5.27 se refieren a la etapa particular del filtro.
Sustituyendo los valores dados para el filtro y multiplicando 5.26 y 5.27, se obtiene
⎛ VO
⎜⎜
⎝ Vi
⎞
⎡
⎤
0,6014 s 2 − 9,388 ⋅ 10 4 s + 3,481 ⋅ 10 9
⎟⎟ = ⎢
−9 4
−4 3
2
5
9 ⎥
⎠ T ⎣1,020 ⋅ 10 s + 1,292 ⋅ 10 s + 7,766s + 2,436 ⋅ 10 s + 3,481 ⋅ 10 ⎦
(5.28)
El diagrama de Bode de esta función de transferencia, evaluado analíticamente usando Matlab,
puede verse en la figura 5.9, la cual se compara favorablemente con la figura 5.8 obtenida
mediante la simulación SPICE.
80
0
Magnitud (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
360
Fase (deg)
270
180
90
0
-90
-180
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Frecuencia (Hz)
Figura 5.9. Diagrama de Bode Analítico del filtro pasa-bajo.
Con este tópico se da por concluida la parte teórica del proyecto. En los siguientes apartados
se trabajarán los detalles de diseño y construcción físicos del sistema de calentamiento.
81
6.
Implementación Física del Sistema de Calentamiento
6.1. Presentación
En esta parte del trabajo se presenta la estructura física del equipo diseñado, la evaluación
final de la red de compensación y los diferentes subsistemas que lo componen. La
implementación física del sistema incluye el diseño y construcción de varias partes, a saber
™ Sistema de Potencia: incluye el grupo de transistores de potencia (IGBT) y su manejador
(Driver) asociado, el rectificador, los subsistemas de medición de corriente, tensión y
potencia, así como el circuito de enganche de frecuencia para sincronía con la corriente.
™ Sistema de control: incluye la etapa de control, supervisión, visualización y comunicación
del equipo
™ Transformador de Salida: transformador necesario para acoplar y aislar galvánicamente la
parte de potencia de la bobina de calentamiento y de la carga.
™ Sistema de Calentamiento: consta de la bobina de calentamiento inmersa en cemento
refractario y el conexionado necesario para transmitir la corriente desde el inversor hacia
la bobina con su refrigeración asociada. Esta etapa también incluye el condensador
necesario para mantener el sistema bajo régimen de resonancia
™ Miscelánea: Sistema de refrigeración y conexionado eléctrico.
En la figura 6.1 se puede observar el diagrama de bloques del equipo desarrollado y su
relación interna
82
Sistema de
calentamiento
3
2
Transformador
6
5
4
1
2
3
1
Fuente
De
Poder
Manejador
Disparo
4
5
2
6
Entrada AC
1
Etapa de Potencia
I
V
Control
+5
+15
-15
Figura 6.1. Diagrama del Sistema de Calentamiento.
6.2. Sistema de Potencia
6.2.1
Módulo Rectificador y Salida de Potencia
Dada la gran variedad de dispositivos existentes en el mercado, con una amplia gama de
características y precios, la escogencia del sistema de potencia tuvo, como elemento decisorio,
la facilidad de montaje y el precio. Por este aspecto se decidió por un módulo integrado de la
casa EUPEC [56] o FUJI [57] que incluye el rectificador trifásico, seis IGBT configurados en
tres medio-puente más un séptimo IGBT libre (no usado en este proyecto) y un termistor para
la medición de temperatura del dispositivo. La figura 6.2 muestra el diagrama eléctrico y su
empaque. Como puede apreciarse en la parte B, las conexiones se realizan directamente sobre
el circuito impreso, facilitando el montaje final.
Este sistema monobloque es bastante económico y, dependiendo del modelo, puede manejar
corrientes y tensiones desde 15A y 600V hasta 75A y 1200V. Para este proyecto en particular
se escogió un módulo FUJI de 35 A y 1200V de tensión de ruptura [58].
15
16
17
18
19
20
22
22A
9
8
21A
21
83
NTC
1A
1
7
7A
4
4A
5
5A
6
6A
2A
2
A
11
12
10
13
24
24A
14
23A
23
3A
3
B
Figura 6.2. Bloque de Potencia usado en el Inversor: (A) Diagrama eléctrico, (B) Encapsulado
6.2.2
Módulo Manejador (driver)
Dada su versatilidad se decidió usar un manejador de la casa Suiza CONCEPT que tiene una
larga trayectoria fabricando sistemas de manejo aislados y protegidos para IGBT y Mosfet
[59], aunque este módulo no es la escogencia más económica. El dispositivo utilizado es
concretamente el IHD680, capaz de manejar dos transistores independientes con corrientes de
salida de hasta +/-8 A y 6W de potencia promedio de manejo [60]. La figura 6.3 muestra el
diagrama de bloques y conexiones de este manejador.
84
Figura 6.3. Sistema Manejador (driver) usado en el Inversor
6.2.3
Circuito Final de Potencia
Este apartado explica la topología utilizada para la etapa de potencia del circuito inversor de
alta frecuencia, brevemente, ya que la misma es un circuito estándar y no tiene mayor aporte al
proyecto más que la necesidad de una etapa capaz de manejar los requerimientos de tensión y
corriente. El circuito finalmente usado para el inversor coloca los tres medio-puente del
módulo en paralelo, dando una capacidad total de manejo del orden de 100A. Igualmente al
circuito se le incluyeron los sistemas de medición de tensión y corriente necesarios para la
protección y supervisión de los parámetros del inversor. El circuito de potencia usado se
muestra en la figura 6.4
1
1
12
1
JH2
D8
1N4007
1
1
2
3
JP4
CHRGI
1
2
3
R17
22
R18
22
1
R19
22
RV3
RV4
RV5
11VRms
11VRms
11VRms
TP6
1
1
JH1
JP2
CHRGO
HVout
D6
1N4007
HVin
2
85
15
16
17
18
19
20
22
22A
9
8
21A
21
TP7
Z1 FP35R12KS4C
NTC
1A
1
0.1u
1250V
C27
0.1u
1250V
2A
2
3A
3
0.1u
1250V
0.1u
1250V
0.1u
1250V
D7
1N4007
17
4
3
10
Fault1
VCC
IN1+
IN1VDD
COM2
E2
14
HV-
1
1
24
22
R30
R31
RV7
22 RV8
22
11VRms
11VRms
R29
RV6
22
11VRms
TP9
25
21
20
23
TP11
C37
22u
C38
100u
D10
16V
C39
330n
C40
1
D17
6V2
4n7
R32
22
TP10
IGBT I
15
16
1
2
GND
GND
ME1
SO2+
G1
Ref1
Cb1
Cs1
SO2-
30
Disparo
\Disparo
COM1
E1
R33
68
36
32
31
34
SO1+
S01-
D12
11DQ10
35
33
1
C43
22u
C44
100u
D16
16V
C45
C46
330n
4n7
1
D13
11DQ10
3
8
9
11
12
Fault0
G2
Ref2
Cb2
Cs2
D9
1N4007
TP8
R28
68
19
2
4
VCC
IN2-
VCC
VCC
C41
220u
IN2+
RefIN+
RefIN-
VDD
ME2
1
18
TP15
IHD680
D11
5V6
D14
11DQ10
R35
10
1W
T3
250:1
RV9
4VRms
C42
0.1u
R34
1k
D15
11DQ10
6
7
1
2
U4A
MC33152
7
TP14
U5
1
4
U4B
MC33152
5
12
0.1u
1250V
11
C30
12
C29
23A
23
C28
7
7A
4
4A
5
5A
6
6A
10
T
Neutro
1
2
2
C26
13
JP9
C25
R
S
1
2
24
24A
JP6
VCC
Figura 6.4. Esquema de la etapa de Potencia del Inversor
Las señales digitales de control pasan por U3A y U3B que actúan como amplificadores
rápidos de tensión y corriente, ya que el manejador CONCEPT requiere señales de 15V de
amplitud y hasta 1 amperio de corriente, mientras que las señales de control son de 5V con una
capacidad de pocos miliamperios. Los componentes de salida asociados al módulo C37, 38, 39
y 40 así como D13 y D14 para el lado alto del conmutador y sus homólogos para el lado bajo
son usados como filtro de la DC de salida y para programar los tiempos y amplitudes de
respuesta del manejador frente a sobrecargas de los IGBT. El transformador T3 y su
rectificador de onda completa asociado se usan para generar una salida de falla en caso
producirse una sobrecarga en el lado negativo de la fuente de tensión, la cual puede no ser
detectada por el manejador CONCEPT debido a que este último mide desaturaciones de los
transistores y no una falla modo común. Por otro lado, los varistores RV2 a RV7 son usados
para proteger la puerta (gate) de los transistores de potencia contra posibles picos de tensión
superiores a 20V.
86
6.2.4
Generación de sincronía
Un criterio de diseño central al sistema planteado es el requisito de mantener la conmutación
de los transistores de potencia en sincronía con los cruces por cero de la corriente con el fin de
minimizar las pérdidas dinámicas en los mismos. A este fin se incorporó un transformador de
corriente y un PLL (Phase Locked Loop) como mecanismo capaz de generar una referencia de
fase en sincronía con la corriente del sistema. El circuito presentado en la figura 6.5 muestra
un esquema simplificado de esta parte.
VDD
R1
1.5k
VDD
400KHz@0
3
4
14
6
C11
220p
10k
R12
330k
16
SIN
4046
PP
P1
P2
1
2
13
CX
CX
INH
R1
R2
VCOIN
8
R11
7
5
11
12
U1
CIN
VCOUT
VDD
R4
1.5k
VSS
1
TP2
DEMO
ZEN
9
10
15
R9
1k TP17
1
R37
1k
C12
22n
Figura 6.5. Esquema simplificado del generador de sincronía
El PLL escogido es el estándar industrial 4046, cuyo funcionamiento no se estudiará en este
texto debido a que está ampliamente explicado en otras partes [61]. La entrada (pata 14) del
PLL proviene del circuito de generación de referencia de corriente, mientras que el cierre del
lazo de frecuencia se encuentra en la tarjeta de control y no en la de potencia, por lo que la
explicación de ambas se detallará más adelante. La figura 6.6 muestra el circuito impreso
realizado para la etapa de potencia. La fotografía, donde se pueden apreciar las pistas de alta
corriente, fue tomada a trasluz con el fin de poder visualizar ambas caras.
87
Figura 6.6. Circuito impreso de la tarjeta de potencia.
6.3. Sensor de Tensión, Corriente y Potencia
6.3.1
Medición de Tensión
Tal como se explicó en el apartado 5.3.3, el sensor de potencia necesita la medición la tensión
(y de la corriente) sobre la bobina de calentamiento. Una de las mayores dificultades
encontradas en este proyecto fue medir tensiones elevadas a alta frecuencia de manera precisa,
por lo que se desarrolló para tal fin un sistema novedoso.
Al estudiar la manera de transmitir la señal de alta frecuencia y alta tensión presente en la
bobina de un sistema resonante al sistema de medición, la opción más obvia es utilizar cables
coaxiales, ya que estos tienen la ventaja de poder soportar miles de voltios a varios cientos de
megahertz, según su construcción. Sin embargo, la capacitancia intrínseca del cable formaría
un filtro con la resistencia equivalente de entrada de un amplificador convencional, con su
consiguiente variación en fase y dado que la relación de fases entre tensión y corriente es un
parámetro fundamental en el sensor, se trató de encontrar la manera de usar dicha capacitancia
en favor del sistema, lo que condujo a pensar en un amplificador diferencial que usara
88
condensadores como elementos de realimentación.
Partiendo de la topología de un amplificador diferencial convencional, se puede postular uno
cuyos elementos de realimentación estén constituidos por capacitancias, tal como se muestra
en la figura 6.7. Por teoría básica de amplificadores operacionales se sabe que
1
VO Z 2 sC 2 C1
=
=
=
1
Vi
Z1
C2
sC1
(6.1)
C2
4
VEE
5
-
+
V-
6
7
OUT U1B
AD812
V+
C1
8
C1
VCC
C2
0
Figura 6.7. Amplificador Diferencial Capacitivo.
La capacitancia C1 está conformada por la que existe entre el conductor central y la malla de
un coaxial y se puede ajustar simplemente cambiando la longitud del cable hasta disponer de
la que se necesite. C2 se ajusta hasta obtener la relación de atenuación que se requiera y debe
poseer unas características controladas de variabilidad con la temperatura. Es conveniente
incluso que físicamente se encuentren lo más juntas posibles para que su valor cambie en la
misma medida y no se pierda el balance en el amplificador diferencial.
Ahora bien, el amplificador real necesita una corriente mínima de polarización, que para el
dispositivo escogido se sitúa en alrededor de 25 pA [62], por lo que la aplicación real debe
incluir resistencias capaces de suministrar dicha corriente. El circuito modificado se muestra
en la figura 6.8, en la cual se pueden apreciar los valores escogidos de capacitancia para un
sistema atenuador de relación 100:1. El amplificador es de entrada JFET, con un ancho de
banda de 8MHz y bajo ruido, que lo hace adecuado para la aplicación especificada.
89
En la figura 6.9 se muestra el diagrama de Bode de esta configuración, realizada mediante una
simulación con SPICE que utiliza el modelo específico suministrado por Analog Devices para
este dispositivo. En la figura se puede apreciar que la respuesta es esencialmente plana desde
10Hz hasta 500KHz. La respuesta en fase es algo más restringida, acercándose a cero grados
en 100Hz y empezando a desviarse otra vez en 100KHz.
R1
22meg
C2 4.7n
C3 47p
5
-
+
R2
22meg
4.7n
C4
V-
4
VEE
7
OUT U1B
AD8512
V+
6
8
C1 47p
VCC
0
Figura 6.8. Amplificador Diferencial Capacitivo real.
El desarrollo matemático realizado anteriormente para el medidor de potencia se basa en la
medición de fase entre tensión y corriente y dado que se espera trabajar la resonancia hasta
una frecuencia de 100KHz, el desfasaje mostrado en la figura 6.9 es algo elevado para esa
frecuencia (alrededor de 0,6º) que está en el orden de magnitud de la fase que se quiere medir,
por esto se introdujo una modificación para compensar, en la medida de lo posible, dicho
problema. El circuito modificado se presenta en la figura 6.10 y su diagrama de Bode en la
figura 6.11. El cable coaxial usado para este instrumento es cable coaxial de teflón, con una
tensión de ruptura de 1500V RMS y 95pF/m [63] lo que da como resultado que C1 y C3 están
conformados por dos pedazos de 48cm de longitud.
90
Figura 6.9. Diagrama de Bode del Amplificador Diferencial Capacitivo real.
R1
22meg
R4
3.48
VEE
6
C3 47p
5
-
+
8
4.7n
C4
7
OUT U1B
AD8512
V+
C1 47p
V-
4
C2 4.7n
VCC
R2
22meg
R6
3.48
0
Figura 6.10. Amplificador Diferencial Capacitivo con compensación de fase.
Aunque las resistencias agregadas son de pequeño valor, fueron suficientes como para
disminuir el error de fase a la mitad de su valor original a 100KHz, sin que se afecte la
ganancia en amplitud.
91
Figura 6.11. Diagrama de Bode del Amplificador Diferencial Capacitivo con compensación de
fase.
En todo caso, el ancho de banda útil se extiende por tres décadas, desde 100Hz hasta 100KHz,
lo que lo hace un sistema muy adecuado para la medición de tensiones elevadas, siendo la
limitante máxima la tensión de ruptura del aislante del cable coaxial usado que, dependiendo
del tipo, puede llegar hasta varios miles de voltios. En la figura 6.12 se muestra la respuesta
real del instrumento. Las condiciones de esta prueba se realizaron aplicando una señal alterna
de 36KHz y 402,5V RMS de amplitud a la entrada, obteniéndose una salida de 3,464V RMS,
por lo que la atenuación real del circuito queda en
Vi
C
402,5
= 1 =
= 116,2
VO C 2 3,464
(6.2)
en lugar de los 100 calculados por relación de capacitancias. Esto se puede explicar por el
hecho que los datos del fabricante, en cuanto a capacitancias por unidad de longitud, así como
la precisión de los otros condensadores siempre tienen una variación sobre los valores
nominales.
92
A
B
Figura 6.12. Respuesta real del Amplificador Diferencial Capacitivo a una entrada alterna
La figura 6.12B muestra una ampliación en tiempo de la señal mostrada en la parte A, donde
no se puede apreciar una diferencia de fase mensurable.
En las imágenes mostradas en la figura 6.13 puede observarse la implementación del
condensador de entrada (A), montado en un arnés que lo conectará a la entrada de la bobina de
93
inducción (B). Como puede apreciarse, el arnés está conectado al conductor central mientras
que la malla está libre. En el otro extremo se conectará la malla al circuito, mientras que el
conductor central será el que esté libre. Este arreglo se hizo para que la zona de alto voltaje
esté todo el tiempo resguardada al usuario.
A
B
Figura 6.13. Fabricación y conexión del condensador de entrada
94
6.3.2
Medición y Generación de la Referencia de Corriente
Tanto la medición como la referencia de corriente utilizan un sistema convencional de
transformador de corriente, seguido por una cadena conformadora de señal para adecuarla a su
uso específico. La figura 6.14 muestra el circuito utilizado para instrumentar la medición de la
corriente.
2
12
4
RV2
3.5VDC
R17
2.49
13
-
VDD
14
OUT U2D
AD8513
VSS
11
3
+
V-
IMeas
V+
4
T1
250:1
1
R19
9.09k
R20
1k
C11
180p
Figura 6.14. Sistema de Medición de Corriente
Con el fin de minimizar la disipación de potencia sobre la resistencia de medición R17, ésta se
colocó de un valor bajo, amplificando posteriormente este voltaje mediante el amplificador no
inversor U2D. El condensador C11 actúa de compensación para obtener una respuesta en fase
lo más plana posible. La función de transferencia teórica total de este circuito es
VO 2,49Ω ⎛ 9,09 KΩ ⎞
V
=
⋅ ⎜1 +
⎟ = 0,1005
1KΩ ⎠
Ii
A
250 ⎝
(6.3)
El varistor RV2 tiene la función de proteger al sistema contra sobrepicos que pudiesen pasar
por el transformador.
La figura 6.15 muestra el circuito utilizado como generación de la referencia de corriente que
alimenta al PLL. El transformador T2 genera una señal de corriente cuya amplitud en tensión
viene limitada por el varistor RV1; a continuación la señal es amplificada por el circuito
conformado por U1 y sus componentes asociados. Este circuito es un amplificador diferencial
compensado para mejorar su característica en fase. Para centrar el punto de operación del PLL
se superpone una señal DC de amplitud 7,5V, de manera que la salida de este circuito sea una
señal cuasi cuadrada, adecuada para que el PLL mantenga su enganche en frecuencia en muy
95
variadas circunstancias.
T2
250:1
R3
10k
R2 1k
IRef -
2
3
RV1
3.5VDC
4
1
3
C4
-
+
V-
4
180p
PLLOut
6
OUT U1
AD8510
V+
2
C2
VDD
180p
7
IRef +
R6 1k
VDD
R7
20k
R8
20k
Figura 6.15. Sistema de Generación de la referencia de Corriente
6.3.3
Medición de Potencia
Teniendo disponible la tensión y la corriente sobre la bobina de calentamiento, queda
multiplicarlas y filtrarlas, tal como se postuló en el apartado 5.3.3. Esto último se realizó
utilizando el multiplicador analógico AD633 [65], tal como se muestra en la figura 6.16
R12
63.4k
110k
C7
150p
C8
33p
110k
500kVA -> 8.58974V
+
V+
3
C9
470p
VDD
11
V-
VSS
-
105k
22.6k
5
C10
1n
+
4
VSS
6
R18
1
OUT U2A
AD8513
V-
63.4k
R16
VSS
-
7
OUT U2B
AD8513
V+
2
VDD
4
R15
5
V-
R14
11
VDD
X1
X2
Y1 W
Y2
Z
3
7
8
1
2
4
V+
6
U3
AD633-SOIC
V
I
R13
Figura 6.16. Circuito de Generación de la Señal de Potencia
La función de transferencias del multiplicador AD633 es
W =
( X 1 − X 2) ⋅ (Y 1 − Y 2)
+Z
10
(6.4)
Como se puede notar en la figura 6.16, X2, Y2 y Z están conectados a cero voltios, por lo que
la función de transferencia definitiva es
96
W =
( X 1 ⋅ Y 1)
10
(6.5)
Esta señal W posteriormente se filtra con el circuito desarrollado en el apartado 5.3.3. Nótese
que el circuito de la figura 6.16 muestra, en su segunda etapa, valores diferentes de los
componentes con respecto a los valores dados en el estudio teórico. Esto último se debe a que
la señal de potencia generada en el multiplicador resulta de muy baja amplitud y por tanto se
modificó ligeramente el filtro para que tuviera una ganancia de alrededor de 5 en lugar de 1,
sin embargo, la respuesta de fase y de amplitud (salvo la ganancia) permanecen inalteradas, tal
como se puede apreciar en la figura 6.17
Figura 6.17. Diagrama de Bode del Filtro Pasa-Bajo final
6.3.4
Función de transferencia total del Sensor de Potencia
Es este momento se dispone de toda la información necesaria para calcular la función de
transferencia total del sistema de medición de potencia, información esta que es necesaria para
cerrar el lazo de control y corresponde al bloque Sensor de la figura 5.1.
Partiendo de 5.18 y sustituyendo todas las variables necesarias
97
W ≈
V0 I 0
V I
1
4,86 1 1
φ= 0 0φ=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ V p I pφ = 2,091 ⋅ 10 − 4 V p I pφ
2
2
116,2 10 10 2
(6.6)
El primer término de 6.6 corresponde a la atenuación que tiene el sensor de tensión, el
segundo a la del sensor de corriente, el tercero al factor de división incluido en el
multiplicador dado por 6.5 y el último proviene del valor medio calculado en 5.18.
Ahora bien, al estudiar este factor se puede constatar que su rango o alcance es muy pequeño,
ya que para una entrada de 10kW apenas se generarían 2 voltios a la salida y dado que el
sistema está pensado para una potencia de salida máxima de 10kW, este factor no da margen
de control y poca precisión en la supervisión. Por todo lo anterior se decidió agregar un
amplificador de ganancia 4,64 y así disponer de margen de control suficiente. En la figura 6.18
se muestra el diagrama de bode del sensor de potencia completo.
Magnitud (dB)
0
-50
-100
-150
-200
360
Fase (deg)
270
180
90
0
-90
-180
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
Frecuencia (Hz)
Figura 6.18. Diagrama de Bode del Sistema Sensor de Potencia
Y por último, la función de transferencia del sensor, la cual será usada en la sintonización del
lazo de control.
98
W ( s) =
3,868 ⋅ 10 −4 s 2 − 135,1s + 6,766 ⋅ 10 6
5,736 ⋅ 10 −10 s 4 + 1,046 ⋅ 10 − 4 s 3 + 5,801s 2 + 1,884 ⋅ 10 5 s + 1,433 ⋅ 10 9
(6.7)
6.4. Sistema de Control y Supervisión
El núcleo del sistema de supervisión es un microprocesador de la casa Microchip,
específicamente el PIC16F877 [65]. Este micro controlador es el encargado de supervisar las
labores del inversor, manejar la interfaz hombre-máquina y las comunicaciones seriales. El
subsistema completo de control y supervisión concentra todos los circuitos necesarios para:
™ Cerrar el lazo de generación de frecuencia con el PLL.
™ Generación del delta sincrónico.
™ Cerrar el lazo de control con el sistema PID.
™ Medición de la corriente RMS de la bobina de inducción.
™ Protecciones
™ Interfaz hombre-máquina y comunicaciones RS-232
6.4.1
Cierre del Lazo del PLL
Como se explicó anteriormente, en el sistema de potencia existe un PLL encargado de seguir
la corriente del sistema de manera de poder conmutar en los cruces por cero de la misma y por
ende estar permanentemente en resonancia. Ahora bien, desde el momento en que el sensor
encuentra que la corriente cruzó por cero hasta el momento en que los dispositivos de potencia
efectivamente pueden conmutar, pueden pasar varios cientos de nanosegundos, dependiendo
de los retardos parciales del manejador, de los dispositivos de potencia y de toda la cadena de
mando asociada. Este retardo hace que la conmutación sea capacitiva y remitiéndose a los
resultados obtenidos en el apartado 4.3.3 y a la referencia [53], donde se demuestra que el
proceso de conmutación capacitiva es bastante perjudicial para los diodos paralelos, se hace
necesario adelantar la fase de conmutación para así asegurar ZCS o, en el peor de los casos,
conmutación inductiva, de manera de proteger los diodos internos.
El trabajo de adelantar la conmutación con el fin de contrarrestar el retraso de los componentes
forma parte del lazo de generación de frecuencia asociado con el PLL. Colocando retardos
programables en el lazo de realimentación del PLL se puede lograr un adelanto en la señal de
mando de potencia. El circuito mostrado en la figura 6.19 detalla este proceso. Para obtener el
99
retardo programable se usó el dispositivo de la casa Maxim, el DS1023 [66], capaz de proveer
256 pasos programables de retardo. Los flip-flops U2A y U5A dividen por cuatro la
frecuencia de salida del PLL, con el fin de obtener referencias de reloj de dos (2X) y cuatro
veces (4X) la frecuencia de oscilación natural. La referencia 2X se usa para permitir que el
control delta pueda cambiar cada medio ciclo de la señal de corriente mientras que la
referencia 4X se usa como señal de identificación de corriente máxima, ya que está desfasada
90º respecto al cruce por cero.
R1
1k
16
15
14
13
12
11
10
9
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
U2A
74HC74
14
SW DIP-8
11
2
VCC
U7B
CLKOut
1
15
3
2
CLK Q
D
PRE
SDO/P0
P1/CLK
OUT
D/P2
P3
P4
P5
P6
P7
IN
P/S
REF/PWM
MS
Q
6
\Disparo
5
Disparo
4
3
4
5
6
7
10
12
13
VCC
1
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
VCC
VCC
1
9
3
LE
2
CLR
16
15
14
13
12
11
10
9
TP2
DS1023
CLK Q
D
PRE
1
2
3
4
5
6
7
8
U3
4
SW1
CLR
1
1
2
3
4
5
6
7
8
TP8
Q
U5A
6 74HC74
5
VCC
74HC132
5
1
4
6
D2
5.1V
M1
IRLD110
CLKin
Figura 6.19. Circuito de realimentación del PLL
Con el fin de demostrar el efecto de retraso programable, en la figura 6.20 se puede ver como
se modifica la relación de cruce por cero de corriente y la conmutación de la tensión, cuando
los bits P7-P6 de U3 toman los valores 00 (A), 01 (B), 10 (C) y 11 (D). Nótese que la relación
en la figura 6.20A es capacitiva, ya que el cambio de tensión ocurre después del cruce por cero
de la corriente; (B) es ZCS ya que ambas coinciden, mientras que (C) y (D) son inductivas,
debido a que la conmutación de tensión antecede al cruce por cero de la corriente. Es fácil
observar que la conmutación más adecuada coincide con el ZCS, ya que no hace falta
transferirle o quitarle energía a los elementos reactivos del sistema
100
A
B
C
D
Figura 6.20. Relación de cruce por cero de corriente (Ch1) y la conmutación de la tensión
(Ch3), para valores binarios de retardo 00 (A), 01 (B), 10 (C) y 11 (D)
6.4.2
Generación del Delta Sincrónico
La generación de la señal de control delta de potencia se realiza mediante el circuito de la
figura 6.21, en donde están representadas las partes principales del mismo. La secuencia
comienza con el comparador U6, que provee una salida binaria dependiendo del valor
entregado por el sistema PID, según se estipula en 6.8
⎧0 si PID < 0
Salida = ⎨
⎩1 si PID > 0
(6.8)
101
Esta salida se almacena en el FLIP-FLOP U5B en la transición positiva de la señal Disparo.
Ahora bien, si la salida Q de U5B está en cero, implica que el PID está por debajo de cero, por
lo que se requiere inyectar energía al sistema. Esto se logra haciendo que el selector
conformado por U1B, C y D, envíe la señal de reloj denominada 100KHz@0 hacia la entrada
D de U2B, entregando por tanto energía al sistema. Por el contrario, si la salida de U5B está
en uno, implica que hay que disminuir la salida ya que está muy alta, por lo que el selector
anterior realimenta la salida de U2B a su entrada D, manteniendo el sistema así bloqueado,
independientemente de las transiciones de reloj.
6.4.3
Protección contra Sobre-Corrientes
Un sistema resonante tiene la desventaja que la corriente puede crecer de manera muy rápida y
a cotas bastante elevadas, por lo que se hace necesario disponer de algún mecanismo que
impida la destrucción del sistema en caso de falla del sistema de control. Esto se implantó,
para este sistema, usando un detector de picos asociado con el sensor de corriente. Este
detector está conformado por el diodo rápido D3 y el condensador C2. El divisor formado por
R6-R8 prefija la amplitud de disparo de U7A (disparador de Schmitt). La salida de U7A se
conecta a la entrada de PRESET de U5B, lo que efectivamente hace que la secuencia de
disparos quede bloqueada durante un tiempo que es proporcional al valor C2(R6+R8).
Después de ese tiempo, el control delta queda de nuevo activo.
J1
\Disparo
3
2
1
Disparo
200KHz@0
U2B
74HC74
100KHz@0
13
VCC
U1B
U6
LM311
4
1
1
R6
10k
C2
10n
R8
10k
74HC132
10
12
13
74HC132
11
74HC132
8
CLR
CLK Q
D
Q
8
8
7
6
5
9
U4
Enbl
Vcc
T1
Power
Input GND
T2
AUX
UC3715
VCC
68k
2
VSS
U1D
9
12
56k
U7A
Q
11
U1C
9
PRE
12
D
U5B
74HC74
6
10
13
CLK Q
74HC132
R5
-
7
5
8
VCC
R4
+
3
D3
1N914
4
CLR
2
11
PRE
PID
R3
510
10
5
6
8
VDD
VCC
3
Figura 6.21. Circuito de Generación Delta y Protección contra Sobrecorrientes
VCC
1
2
3
4
LSw
HSw
102
Una vez generada la señal Delta, ésta se envía al dispositivo U4 que tiene como finalidad la
generación de las señales verdadera y negada que serán enviadas al manejador CONCEPT. U4
tiene también el propósito de evitar el solapamiento en el manejo de los dispositivos de
potencia, ya que se le pueden programar tiempos muertos entre transiciones. Para el caso que
nos ocupa, se programaron tiempo muertos del orden de 200ns, que son suficientes para
asegurar que cuando un dispositivo se encienda el otra ya se haya apagado.
6.4.4
Cierre del Lazo de Control con el Sistema PID
Aunque el sistema PID ya se explicó en el apartado 5.3.2, el sistema implantado difiere
ligeramente debido a la inclusión de un amplificador inversor de ganancia unitaria, con el fin
de compensar el signo que inherentemente existe en el compensador. El circuito definitivo se
muestra en la figura 6.22.
R12
C5
C6
R13
10k
VSS
3
R19
5.1k
1
U10A
TLC084
4
Referencia
7
U10B
TLC084
+
Medición
-
5
2
10k
+
11
R16
-
6
11
VSS
4
R15
VDD
VDD
Figura 6.22. Circuito final del Compensador PID
6.4.5
Medición de la Corriente RMS de la Bobina de Inducción
A efectos de supervisión fue incluido un convertidor RMS verdadero, cuya salida se digitaliza
en el microprocesador y se utiliza para posterior comprobación. El encargado de la conversión
a RMS es el dispositivo AD636 [67], cuya implantación se muestra en la figura 6.23. Dado
que el dispositivo mide pequeñas señales (<200 mV), la corriente I se divide por 10 para
adecuar los valores a su entrada. La salida del AD636 es una fuente de corriente y se utiliza a
R30 como convertidor corriente-tensión, llevándola al rango 0 a 5V del convertidor analógicodigital
103
C4
R28
1n
U9
I
1
9.09k
VDD
VSS
R29
1k
14
3
7
VIN
CAV
RL
COM
+VS
-VS
DBOUT
IOUT
BUFOUT
BUFIN
4
9
10
5
8
6
AD636
R30
68k
Figura 6.23. Circuito de medición de corriente RMS verdadera
6.4.6
Protecciones
El inversor contiene varios sistemas de protección. Ya se mencionaron los intrínsecos al
manejador de potencia CONCEPT y a la protección contra sobre corrientes implementada en
el circuito de generación Delta, solo queda por explicar la protección contra fallas en modo
común, cuyo sensor fue explicado en el apartado 6.2.3. El circuito implementado se muestra
en la figura 6.24
D6 1N914
TP16
1
Q
CLK Q
IntF0
TP21
IntF2
VCC
6
74HC74
12
Fault111
D
U15B
Q
CLK Q
13
R27
10k
INT
1
74HC74
13
D8 1N914
9
8
1k
D7 1N914
TP19
1
5
10
D
PRE
12
11 3
U15A
CLR
2
74HC132
Q
CLK Q
1
9
R26
1k
74HC132
U7D
13
8
CLR
R25
1k U7C
10
PRE
4
VCC
D
U13B
CLR
12
Fault011
PRE
10
VCC
R24
9
IntF1
8
74HC74
Res
Figura 6.24. Circuito de Centralización de Protecciones
La salida del sensor modo común se aplica al divisor compuesto por R25 y R26, se conforma
mediante U7C y se invierte con U7D. Si se activa el disparador U7C, se genera un pulso de
reloj que almacena en el FLIP-FLOP U15A un ‘uno’ lógico y activa la interrupción del
microprocesador mediante el diodo D7 del OR cableado compuesto por D6, D7 y D8. La
rutina de interrupción decidirá que acciones tomar para esta eventualidad.
104
De igual manera, si se llega a activar una falla detectada por el manejador CONCEPT (Fault0,
Fault1), ésta se almacena en U13B y U15B, generando la interrupción al microprocesador
mediante D6 y D8 respectivamente.
6.4.7
Interfaz Hombre-Máquina y Comunicaciones RS-232
El último circuito importante presente en el sistema de control y supervisión es la interfaz
hombre-máquina y la comunicación serie. El circuito es lo suficientemente estándar como para
que su explicación no sea relevante para este trabajo. De cualquier manera se presenta en la
figura 6.25 e incluye las conexiones del microprocesador, su conexión para programación en
línea ICD, la interfaz serial RS-232 y la interfaz teclado-visualizador, basado este último en el
estándar industrial para controlador de LCD Hitachi HD44330.
J6
ICD
VCC
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
11
32
PIC16F877
RA0/AN0
RA1/AN1
RA2/AN2/Vref -/CVref
RA3/AN3/VREF+
RA4/TOCKI/C1Out
RA5/AN4/SS/C2Out
VCC
VDD
VDD
U8
NTC
Vpwr
Irms
PWR
IntF1
IntF2
PGD
PGC
VCC
INT
Res
IntF0
CTR1
ClkUP
ClkDW
PGC
PGD
33
34
35
36
37
38
39
40
T1
T2
T3
T4
T5
T6
TX
RX
15
16
17
18
23
24
25
26
RBO/INT
RB1
RB2
RB3/PGM
RB4
RB5
RB6/PGC
RB7/PGD
R14
1k
MCLR/Vpp
1
SW2
MClr
RCO/T1OSO/T1CKI
RC1/T1OSI/CCP2
RC2/CCP1
RC3/SCK/SCL
RC4/SDI/SDA
RC5/SDO
RC6/TX/CK
RC7/RX/DT
D0
D2
D4
D6
C8
22p
OSC1/CLKIN
13
Y1
16MHz
R17
100
VCC
D4
D5
D6
D7
19
20
21
22
27
28
29
30
14
C10
T2
T4
T6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
RS
E
D1
D3
D5
D7
T1
T3
T5
22p
RE0/RD/AN5/
RE1/WR/AN6
RE2/CS/AN7
IntF0
D4
LED
Led2
D5
LED
16
15
14
13
12
11
10
9
12
31
CTR2
8
Led2
9
PLLInh 10
OSC2/CLKOUT
RD0/PSP0
RD1/PSP1
RD2/PSP2
RD3/PSP3
RD4/PSP4
RD5/PSP5
RD6/PSP6
RD7/PSP7
Vss
Vss
E
RS
R/W
J3
VCC
J5
R21
U14
C20
10u
C21
10u
1
3
4
5
2
6
C22
10u C23
10u
TTLout1
TTLout2
TTLin1
TTLin2
C+
C1C2+
C2V+
V-
232in1
232in2
232out1
232out2
13
8
14
7
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
1k
1
2
3
4
5
6
7
8
12
9
11
10
VCC
MAX232
Figura 6.25. Detalle de la Interfaz Hombre-Máquina y de la Comunicación Serie
105
6.5. Análisis y Escogencia del Transformador de Acople
Un sistema de calentamiento inductivo está construido para alimentar un inductor que, por
requisitos físicos, debe estar referenciado a tierra y, dado que la alimentación del generador
suele provenir directamente de la red eléctrica, si se conectasen directamente se produciría un
cortocircuito. Es por esta razón que se debe colocar un transformador en alguna parte del
sistema. Podría colocarse en la entrada eléctrica del generador, lo que implicaría un
transformador trifásico de 50 o 60 Hz de la potencia del generador, lo que obligaría a un
dispositivo voluminoso, pesado y caro. Otra alternativa, mucho más adecuada, es alimentar
directamente el generador de la red y colocar un transformador de alta frecuencia a su salida,
con la doble ventaja de aislar la carga y adaptar las impedancias del generador y la bobina. El
diseño de este transformador es relativamente simple, aunque se deben cuidar algunos detalles,
tales como las capacitancias e inductancias parásitas.
6.5.1
Cálculo Simplificado de un Transformador Convencional
El principal parámetro que hace falta evaluar en un transformador es la densidad de campo, B,
la cual no debe sobrepasar, bajo ninguna circunstancia, el valor BMAX del material del núcleo,
ya que si eso ocurriera, el material estaría en estado de saturación, lo que representaría, de
hecho, una disminución de la permeabilidad a un factor cercano a 1 y por lo tanto una
reducción de la impedancia efectiva que presenta el primario del transformador a la fuente, la
cual se vería disminuida a valores cercanos a la resistencia en DC del conductor que
constituye la bobina del transformador; en otras palabras, la fuente que alimenta el
transformador vería algo equivalente a un corto-circuito. El valor BMAX viene dado por el
fabricante y se puede conseguir en las especificaciones técnicas del material. En la deducción
presentada a continuación se supone una señal de entrada puramente AC, es decir, que no
contiene una parte continua.
El cálculo de B se puede deducir partiendo de la Ley de Faraday, a saber:
E=N
dΦ
dt
Se puede redefinir
(6.9)
dΦ
dt
como el cambio sinusoidal de la densidad de flujo (B), donde
Φ = B ∗ A , y A representa el área del núcleo en cm2. El símbolo, para la densidad de flujo,
106
puede ser B, BOP o BMAX. B y BOP representan la densidad de flujo operativa, mientras que
BMAX representa la máxima densidad de flujo posible y a veces se le conoce por BSAT, ya que
es la densidad de flujo de saturación del núcleo.
dΦ
dB
=A
dt
dt
(6.10)
Para una tensión sinusoidal E = V cos(ωt )
E
dB V cos(ωt )
=A
=
N
dt
N
(6.11)
Integrando (6.3), queda
t
B=
V
V
cos(ωτ )dτ =
sin(ωt )dt
∫
AN 0
ANω
(6.12)
La tasa de cambio máxima ocurrirá cuando sin(ωt ) = 1 , en cuyo momento
BMAX =
V
V
=
ANω 2πANf
(6.13)
y dado que el valor de tensión se suele presentar en valor RMS, 6.13 puede ser expresada
como
BMAX =
Vrms
2Vrms
=
2πANf 4.44 ANf
(6.14)
Ahora bien, la excitación en transformadores de alta frecuencia raramente es un voltaje
sinusoidal, realmente es una señal rectangular, tal como se presenta en la figura 6.26, y cuyo
ciclo de trabajo se le hace variar de manera tal que la tensión de salida permanezca entre
límites precisos, independientemente de la carga que esté conectada a la salida del
transformador. Expresando la función resultante, en unidades normalizadas, se tiene
107
π πτ
π πτ
⎧
⎪− V para − 2 − T ≤ t ≤ − 2 + T
⎪
π πτ
π πτ
⎪ V para + −
≤t ≤+ +
E=⎨
2 T
2 T
⎪
⎪
0 en el resto
⎪
⎩
(6.15)
+V
−π
τ
+π/2
−π/2
+π
τ
-V
Figura 6.26. Función f(t) Típica de Alimentación en Fuentes de Alta Frecuencia
Ahora se puede deducir el valor de B para una excitación del tipo presentado. Se calculará la
integral para el intervalo − π ≤ t ≤ π .
1
B=
AN
τ
2
Vτ
∫ Edt = 2 AN
−τ
(6.16)
2
El máximo de B ocurrirá para τ = T 2 , por lo tanto de 6.16 se puede obtener
BMAX =
VT
V
=
4 AN 4 ANf
(6.17)
Se puede observar que las ecuaciones 6.14 y 6.17 son muy parecidas, exceptuando las
constante 4,44 y 4 que dividen, respectivamente, a cada una de ellas. Estas constantes son un
factor de forma que proviene del hecho de tomar una señal de excitación sinusoidal o
cuadrada. De estas ecuaciones se puede calcular el número de espiras necesarias para realizar
un bobinado adecuado del transformador, los únicos datos que hacen falta son provistos por el
fabricante del material del núcleo.
Dado que la topología de la salida de potencia es de medio puente, sobre el primario del
108
transformador se aplicará una tensión pico de valor Vbus/2, en otras palabras, la tensión pico
sobre el primario es de 150Vdc para este proyecto. Por otro lado, dado que existe
disponibilidad del núcleo de ferrita ferroxcube, tipo EE42-42-15, material 3C8 [68], el diseño
se basará en ellos.
Ahora bien, aunque el voltaje de excitación es en la realidad de forma cuadrada, hace falta
realizar un análisis de Fourier de dicha tensión para conocer la amplitud de la primera
armónica, que es la única que realmente importa, dado que el sistema está en resonancia y se
rechazan todas las demás. Partiendo de la definición de Series de Fourier y aplicándosela a la
función f(t) mostrada en la figura 6.26, con τ = π
Bn =
1
π
π
∫ 150 f (t )sen(nt )dt = −
−π
0
150
π
∫ sen(nt )dt +
−π
150
π
π
∫ sen(nt )dt
(6.18)
0
Evaluando esta integral para n=1, se tiene
B1 = −
150
π
0
∫ sen(t )dt +
−π
150
π
π
∫ sen(t )dt =
0
4 ⋅ 150
π
= 191V
(6.19)
El resultado 6.19 da el valor de la tensión sinusoidal de excitación que será usada de ahora en
adelante para evaluar el transformador.
Datos
Frecuencia mínima (f)
Voltaje de Primario (VPRI)
Área del núcleo (Ae)
Flujo Operativo (BOP)
Longitud del camino magnético (Ie)
Permeabilidad Relativa (μe)
Permeabilidad del vacío (μ0)
Valor
20 KHz
191 V
236 mm2
0,1 T
98 mm
2000
4π ⋅ 10 −7
Tabla 6.1. Datos de Entrada para el cálculo del Transformador de Acople
Con el fin de minimizar las pérdidas del transformador, se estableció el uso de un conductor
tipo Litz para el primario y dado que la corriente es del orden de 100A, se usó un cable de 120
conductores de calibre 28, lo que da una sección de cobre eficaz del orden de 12 mm2. Con
estas especificaciones entran en el núcleo de la ferrita seleccionada 5 vueltas. Ahora hace falta
109
calcular el área total de núcleo que es necesaria para que el transformador cumpla con los
requisitos de diseño
Rescribiendo 6.14 para tomar en cuenta múltiples núcleos, se tiene
BMAX =
V
2π (nA) Nf
(6.20)
Despejando n de 6.20 y remplazando las variables con los datos de la tabla 6.1, se tiene
n=
191
= 12,88 ≅ 12
2 ⋅ π ⋅ 20000 ⋅ 236 ⋅ 10 − 6 ⋅ 5 ⋅ 0,1
(6.21)
O sea que hacen falta algo más de 12 núcleos para conformar el transformador requerido. Se
escogieron 12 en lugar de 13 núcleos por requisitos físicos de espacio. Reevaluando la
densidad de flujo para esta área, se tiene
BMAX =
191
= 0,107
2 ⋅ π ⋅ 20000 ⋅ 12 ⋅ 236 ⋅ 10 −6 ⋅ 5
(6.22)
Aunque la densidad operativa de flujo aumentó un 7%, todavía está muy por debajo de la
máxima especificada por el fabricante de 0,2T
En la figura 6.27 se muestra un corte transversal del transformador diseñado. Nótese que el
primario está compuesto por 5 espiras de alambre de cobre de sección circular, mientras que el
secundario es de lámina de cobre El dibujo está a escala y las dimensiones son 42mm x 42mm.
El diámetro del cable del primario es de 4mm, mientras que el espesor de las láminas de cobre
que constituye el secundario es de 3mm. Los elementos aislantes no fueron dibujados dado
que no afectan las propiedades magnéticas del transformador, aunque los espacios vacíos que
hay entre los diferentes elementos están dispuestos de manera adecuada para garantizar un
aislamiento correcto.
En la figura 6.28 se muestra en detalle el circuito equivalente de un transformador [69], en el
cual se puede apreciar que la inductancia de magnetización, kL p , está siempre presente como
parte del circuito. Ahora bien, se puede calcular la corriente que circula por esa inductancia
usando la relación V = L di dt , la forma de onda de tensión sinusoidal y k=1.
110
Figura 6.27. Corte Transversal de un Transformador de Alta Frecuencia
Rg
Eg
Rp
lp
a2 ls
Cp
kLp
a=Relación de vueltas=Np/Ns
Cp=Capacitancia equivalente al primario
Cs= Capacitancia equivalente al secundario
Eg=Fuente de voltaje
Eout=Voltaje de salida
k=Coeficiente de acoplamiento
Rp=Resistencia del primario
Rc
a2Rs
Cs
a2
a2Rl
aEout
Lp=Inductancia del primario
lp= Inductancia de dispersión primario
ls= Inductancia de dispersión secundario
Rc=Resistencia equivalente a las pérdidas del núcleo
Rg=Impedancia de la fuente
Rl= Impedancia de carga
Rs=Resistencia del secundario
Figura 6.28. Modelo Eléctrico de un Transformador Real
V cos(ωt )
1
Vsen(ωτ )dτ = −
∫
L0
ωL
t
I=
(6.23)
La corriente máxima ocurrirá cuando cos(ωt ) = 1 , en cuyo momento
I MAX =
V
V
=
ωL 2πfL
(6.24)
La inductancia de magnetización del transformador resulta difícil de obtener de manera
111
directa, ya que siendo el núcleo un material magnético no lineal, la inductancia depende del
punto de operación del transformador. Para obtener la inductancia de trabajo, se hicieron
varias pruebas con Elementos Finitos [51], calculados a 20KHz, hasta que la tensión reportada
sobre los extremos del primario se acercó adecuadamente a los 191V de alimentación. Esta
inductancia resultó aproximadamente de 23mH, por lo tanto la corriente de magnetización
para una frecuencia mínima de 20KHz tiene el valor de
I=
191V
V
=
= 0,066 A
2πfL 6,28 ⋅ 20000 Hz ⋅ 23 ⋅ 10 −3 H
(6.25)
De la figura 6.27 y del resultado 6.23, se puede inferir que existe una diferencia de fase de 90
grados entre la tensión y la corriente, dado que la tensión tiene forma sinusoidal y la corriente
cosinusoidal, por lo que la corriente total sobre el bobinado primario se puede expresar como
I = I PRIM sen(ωt ) − jI MAG cos(ωt )
I = I SEC
NS
sen(ωt ) − jI MAG cos(ωt )
NP
(6.26)
(6.27)
Donde Np y Ns corresponden al número de vueltas para el primario y el secundario,
respectivamente. La ecuación 6.26 permite desglosar la corriente del primario en dos partes.
La parte real corresponde a la corriente del secundario reflejada hacia el primario, mientras
que la parte imaginaria muestra exclusivamente la corriente de magnetización del núcleo. Este
resultado es importante para lograr alimentar correctamente el programa de simulación de
elementos finitos.
Se escoge una corriente pico nominal de 100 A circulando por el devanado primario (500 A
pico por el secundario). Evaluando 6.26 con los datos obtenidos, se tiene
I = 100sen(ωt ) − j 0,066 cos(ωt )
(6.28)
Ahora bien, las funciones seno y coseno son periódicas y están desfasadas 90 grados, por lo
que 6.28 puede escribirse también como
I = 100 cos(ωt ) + j 0,066sen(ωt )
(6.29)
112
6.5.2
Simulación a través de Elementos Finitos Magnéticos
Con el fin de poder lograr una comparación entre los diversos tipos de transformadores, se
estudiarán dos topologías de transformadores convencionales y una de tipo coaxial, todas
usando núcleos en E. La figura 6.29 muestra las tres topologías propuestas y en todas se utiliza
cable tipo Litz de sección circular para el primario.
A
B
C
Figura 6.29. Topologías de transformadores de Alta Frecuencia: (A) No imbricado, (B)
Imbricado y (C) Coaxial
La figura 6.29A muestra un bobinado convencional, con el secundario de lámina de cobre
rectangular. (B) también muestra un sistema convencional de bobinado, pero en este caso se
divide el secundario en dos mitades que se colocan en paralelo a la salida del transformador,
con el fin de soportar las corrientes involucradas y, por último (C), que está construido con un
tubo de cobre conformado para adaptarlo a la ventana de bobinado. Aunque (B) y (C)
aparentan ser similares, (C) es mucho más robusto, tanto del punto de vista eléctrico como del
mecánico, ya que al ser el secundario un tubo, la sección de conducción es obviamente mayor
que en (A) y en (B) y su firmeza estructural es también muy superior a simples láminas. La
topología C se denomina también coaxial y es ampliamente usada en sistemas de potencia de
radio frecuencia [70] y también en fuentes conmutadas de alta potencia [71], [72], [73].
Los cálculos realizados en puntos anteriores muestran el comportamiento promedio del
transformador, sin embargo, los métodos numéricos actuales basados en Elementos Finitos
permiten realizar un análisis más detallado del mismo. En la figura 6.30 se muestra un arreglo
de imágenes que están conformadas por los módulo de la densidad de Corriente (primera fila)
113
con una densidad máxima de corriente de 35A/mm2, las densidades de campo magnético B y
las líneas de campo imaginarios (segunda fila) con un máximo de 0,2T y por último la tercera
fila que muestra la parte reales de B y las líneas de campo, con un máximo de 0,025T.
1
2
3
A
B
C
Figura 6.30. Simulación de transformadores de Alta Frecuencia mediante Elementos Finitos:
(A) No imbricado, (B) Imbricado, (C) Coaxial. (1) Módulo de la densidad de Corriente
(35A/mm2 máx.), (2) Densidad y Líneas de Campo Imaginarias (0,2T máx.), (3) Densidad y
Líneas de Campo Reales (0,025T máx.)
La primera serie de imágenes muestran la densidad de corriente sobre los bobinados primario
114
y secundario. Es posible apreciar en la figura 1A que ésta presenta la peor distribución de
corriente, ya que casi toda ella circula por secciones pequeñas del conductor. Este efecto se
reduce en la figura 1B y más aún en la 1C, ya que en el secundario del transformador coaxial
existe más área de conducción de cobre que en las anteriores.
La densidad de campo magnético imaginario, figuras 2A, 2B y 2C, muestran que aunque la
mayor parte del núcleo está por debajo de los 0,1 Tesla, que representa el valor calculado por
6.22, existen puntos que sobrepasan los 0,2 Tesla, que es el punto máximo de trabajo sugerido
por el fabricante. Estos puntos representan puntos críticos dentro del núcleo, ya que las
pérdidas en ellos pueden llegar a ser tan grandes que sobrecalienten localizadamente el mismo
y llegar incluso a fracturar la ferrita por estrés térmico. Igualmente se puede observar que las
tres imágenes se parecen mucho, lo cual es de esperar, ya que este flujo proviene de la
componente imaginaria de 6.30 y sólo está presente en el primario del transformador.
Una comparación interesante resulta de las siguientes tres figuras (3A, 3B y 3C) que
representan las líneas de campo y la parte real de B. Nótese que las escalas poseen un orden de
magnitud de diferencia con respecto a las anteriores (parte imaginaria de B). Esto último
puede explicarse debido a que la componente de la corriente que magnetiza al núcleo es la que
genera la mayor parte de la densidad de campo en el mismo. Si el transformador fuese ideal, el
campo magnético producido por la corriente en el secundario debería contrarrestar
exactamente el campo producido por la corriente en el primario, pero de hecho no es así, ya
que el acoplamiento de los dos devanados no es exacto, permitiendo así un flujo residual de un
orden de magnitud inferior al anterior, que, aunque bajo, no es despreciable. Otro efecto muy
importante que se puede observar en esta serie de imágenes es que el transformador no
imbricado muestra líneas y flujo real permeando el núcleo. Este efecto aumenta a medida que
aumenta la corriente de salida del transformador, por lo tanto se podrá llegar a un nivel de
corriente tal que este flujo puede saturar el núcleo. El transformador imbricado también
adolece de este problema, aunque en mucha menor medida, mientras que el transformador
coaxial no muestra ningún efecto de este tipo ya que todo el campo está contenido en el
espacio inter-bobina. Esto implica que al transformador coaxial se le puede extraer mucha mas
corriente que a los anteriores modelos antes de llegar a saturar su núcleo. Aunado a esta
ventaja eléctrica está la ventaja mecánica de la robustez, lo que lo hace el candidato adecuado
115
para este proyecto.
Como comentario final sobre este diseño, al ser el secundario del transformador un tubo
cerrado, resultaría relativamente fácil de hacerle circular agua en su interior a efectos de
refrigerarlo.
6.5.3
Implementación física del transformador
Una vez establecida la topología del transformador de salida, se procedió a conformar un tubo
de cobre de 22 milímetros de diámetro hasta que calzara dentro del espacio de bobinado del
núcleo de ferrita escogido tipo EE42-42-20, tal como aparece dibujado en la figura 6.29C. La
figura 6.31A muestra el transformador con su núcleo parcialmente montado, mientras que la
figura 6.31B muestra el detalle del primario bobinado completamente ya dentro del secundario
y terminado con una capa de barniz eléctrico y por último la figura 6.31C muestra el
transformador completamente ensamblado.
Ahora que está definido el transformador de salida, resta modificar ligeramente la función de
transferencia del sensor de corriente, ya que los cálculos anteriores sobre corriente siempre
estaban referidos al primario del transformador de salida. La ecuación 6.2 se modifica,
entonces, de la siguiente manera
VO 1 2,49Ω ⎛ 9,09 KΩ ⎞
V
= ⋅
⋅ ⎜1 +
⎟ = 0,0201
5 250 ⎝
1KΩ ⎠
Ii
A
(6.30)
donde el término 1/5 corresponde a la relación de vueltas del transformador de salida. Con el
fin de compensar esta atenuación adicional del sensor de potencia, se incluyó en la tarjeta de
control un amplificador no inversor de ganancia 5 y así poder mantener la función de
transferencia total del sensor sin modificaciones.
116
A
B
C
Figura 6.31. Transformador de Alta Frecuencia: (A) Parcialmente Montado con el núcleo, (B):
Detalle del Primario dentro del Secundario, (C) Transformador Ensamblado.
6.6. Sistemas Secundarios
6.6.1
Sistema de Refrigeración
Dadas las elevadas corrientes que se generan en la salida del sistema de calentamiento, se hace
imprescindible hacer circular algún refrigerante por, al menos, la bobina de calentamiento. Sin
embargo ya que hace falta refrigeración para la bobina, se puede usar ésta misma para el
módulo de potencia, evitando así el uso de un disipador adicional. La figura 6.32A muestra
una fotografía de este montaje, donde la entrada de agua (izquierda), que es el refrigerante
utilizado, se hace pasar por la placa de disipación del módulo de potencia (derecha). La salida
117
de la placa se envía al punto de referencia del transformador de salida y de ahí a la bobina de
calentamiento. El regreso de la refrigeración se hace por el lado de alta tensión de la bobina,
que está en serie con el condensador de resonancia, lo que contribuye a una refrigeración
parcial del mismo y, pasando por una tubería de teflón, se elimina del sistema. El detalle de la
conexión, tanto al transformador, como al condensador se puede apreciar en la figura 6.32B
A
B
Figura 6.32. Sistema de Refrigeración: (A) Entrada de Agua y Enfriamiento del Módulo de
Potencia, (B): Detalle de la conexión al transformador y al condensador.
118
6.6.2
Sistema Eléctrico
El último subsistema que se detallará es el de conexionado eléctrico de potencia. Dado que la
alimentación será tomada de la red trifásica, se hace necesario el uso de contactores
controlados con el fin de asegurar la correcta secuencia de encendido y apagado del sistema,
éste ultimo posiblemente de emergencia. La figura 6.33 detalla este conexionado.
R1
330
J1
DSCHR
R2
330
1
2
R3
330
M
L1
L1
L2
L2
L3
L3
T1
J2
Rectif icador
T2
1
2
3
4
T3
R4
330
D
J3
CHGRO
1
2
3
L1
T1
L2
T2
L3
T3
J4
CHGRI
1
2
3
G
J5
120 VAC
On
Off
J6
Fuente
1
2
1
2
4
4
1
J7
ContCTR
1
3
5
J8
CHRG Cnt
8
3
5
8
6
1
2
6
7
2
1
2
LS1
M
7
2
LS2
D
J9
24 VAC
1
2
Figura 6.33. Sistema de Conexionado Eléctrico
Aunque este esquema es bastante explícito, hace falta aclarar algunos detalles. El contactor M
controla la entrada eléctrica principal y posee un contacto auxiliar, normalmente cerrado, cuyo
fin es descargar los condensadores del filtro de potencia del inversor, mientras que el contactor
D, que se activa desde el sistema de control y maneja el bus DC, permite una carga lenta de
los mismos.
El relé LS1 se activa por el usuario mediante el pulsador llamado On energizando el sistema,
mientras que se desactiva con el normalmente cerrado Off. Este relé, a su vez, comanda el
contactor M, que conecta la entrada trifásica al rectificador de potencia.
119
6.7. Entonación del Sistema PID
Ahora que definitivamente se conocen todos los parámetros del inversor, se procederá a
realizar la entonación del lazo de control utilizando para ello el programa SISOTOOL de
Matlab, contenida en la herramienta computacional de Control [74]. En breves palabras, este
programa permite manipular la interacción presente entre un sistema y su lazo de control de
manera de obtener la estabilidad del mismo. Para ello son necesarias las funciones de
transferencias de la planta (ecuación 5.11), el sensor (ecuación 6.6) y la expresión de la misma
para la red de compensación (ecuación 5.13). Manipulando la estructura de ceros y polos del
sistema completo se pueden obtener los márgenes de fase y ganancia que, según el criterio de
Nyquist, permiten que el sistema permanezca estable ante variaciones externas tales como
tensión de alimentación, cambios en la carga, etc. Los valores finales de la red de
compensación se pueden obtener luego a partir de dicha estructura de polos y ceros.
Recordando la expresión anteriormente desarrollada para la planta (5.11), y adecuándola para
las constantes del sistema, se tiene
H P ( s) =
Vi ⋅ I i
( K 2 − 2 K 2 + 1) s 2 + (3 − 4 K 2 + K 22 )as + 2a 2
⋅ K 12 ( 2
)
2
s 2 + 3as + 2a 2
(6.31)
Donde Vi e Ii corresponden a los valores de tensión pico (38,2V) y corriente pico (500A) a la
salida del transformador. La tensión proviene del valor calculado en 6.19 dividido por la
relación de vueltas (191/5). El valor de corriente aparece del valor nominal usado en 6.28
multiplicado por la relación de vueltas (100·500). Evaluando 6.31 con estos valores, se tiene
H P (s) =
0,3177 s 2 + 2,695 ⋅ 10 5 s + 1,150 ⋅ 1011
s 2 + 7361s + 1,204 ⋅ 10 7
(6.32)
La respuesta al escalón de esta función se puede observar en la figura 6.34. Como puede
apreciarse el sistema a lazo abierto, excitado con un escalón, llega a un límite máximo de unos
9,5 Kw., que está muy cerca del valor de diseño. La respuesta del sensor es directamente la
desarrollada en 6.6, así como la expresión para el PID. Alimentando el programa SISOTOOL
con estas funciones de transferencia, se obtiene el resultado mostrado en la figura 6.35
120
10000
9000
8000
Amplitud (W)
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo (sec)
4
4.5
-3
x 10
Figura 6.34. Respuesta al Escalón del Inversor
Colocándole al programa de diseño la función de transferencia del compensador PID y
ajustando interactivamente los valores de los parámetros se obtiene el resultado mostrado en la
figura 6.36. La función de transferencia para la red de compensación obtenida es
H C ( s ) = 100
(0,00039s + 1)(0,00022s + 1)
s
(6.33)
Ahora bien, cuando se compara esta función con 6.34, que es equivalente a 5.13 con el signo
eliminado, ya que la red implantada en la realidad posee signo positivo (ver apartado 6.4.4) se
tiene
VO ( s ) (sR2 C 2 + 1)(sR1C1 + 1)
=
Vi ( s )
sR1C 2
(6.34)
es fácil ver que se debe cumplir que
R1 ⋅ C 2 = 0,01
R2 ⋅ C 2 = 0,00039
R1 ⋅ C1 = 0,00022
(6.35)
0.44
-2.5
-8
-2
-1.5
0.32
0.44
-1 0.6
-0.5 0.84
0
0.5 0.84
1 0.6
1.5
2
0.32
6
x 10
-6
0.23
0.23
-4
0.16
0.16
-2
0.1
0.1
Real Axis
0.05
0
2e+006
1.5e+006
1e+006
5e+005
5e+005
1e+006
1.5e+006
2e+006
0.05
Root Locus Editor (C)
2
4
x 10
5
6
Magnitude (dB)
Phase (deg)
2.5
2
10
P.M.: -90.7 deg
Freq: 1.69e+004 rad/sec
G.M.: -17.6 dB
Freq: 6.8e+003 rad/sec
Unstable loop
0
10
-360
0
360
720
-200
-150
-100
-50
0
50
4
10
Frequency (rad/sec)
Open-Loop Bode Editor (C)
6
10
8
10
121
Figura 6.35. Respuesta a lazo abierto del Inversor: (Arriba) Diagrama de Bode, (Abajo)
Diagrama de Polos y Ceros
Imag Axis
-5
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.6
0.72
0.84
0.92
0.98
0.98
0.92
0.84
0.72
0.6
5
x 10
-3
0.46
0.46
-2
0.3
0.3
-1
0.16
0
1
Real Axis
4e+005
3e+005
2e+005
1e+005
1e+005
2e+005
3e+005
4e+005
0.16
Root Locus Editor (C)
2
3
4
x 10
5
5
Magnitude (dB)
Phase (deg)
5
3
10
P.M.: 55.2 deg
Freq: 4.2e+003 rad/sec
G.M.: 12.1 dB
Freq: 1.24e+004 rad/sec
Stable loop
2
10
-180
0
180
360
540
720
-150
-100
-50
0
50
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
6
10
Open-Loop Bode Editor (C)
7
10
8
10
122
Figura 6.36. Respuesta a lazo cerrado del Inversor: (Arriba) Diagrama de Bode, (Abajo)
Diagrama de Polos y Ceros
Imag Axis
123
La obtención de los valores es ahora inmediata a partir de 6.35, si se postula un valor inicial.
Por ejemplo R1=100kΩ.
R1 ⋅ C 2 = 0,01 = 1 ⋅ 10 5 ⋅ C 2 ⇒ C 2 = 0,1μF
R2 ⋅ C 2 = 0,00039 = 0,1 ⋅ 10 −6 ⋅ R2 ⇒ R2 = 3,9kΩ
R1 ⋅ C1 = 0,00022 = ⋅10 5 ⋅ C1 ⇒ C1 = 2,2nF
(6.36)
Por lo tanto el circuito de compensación mostrado en la figura 6.37 constituye la red PID final
implantada para este proyecto.
C5
2.2n
R12
3.9k
C6
.1u
10k
R15
100k
VSS
7
U10B
TLC084
3
+
4
R19
5.1k
1
U10A
TLC084
4
-
Referencia
2
10k
+
11
R16
-
5
11
VSS
6
Medición
R13
VDD
VDD
Figura 6.37. Circuito final del Compensador PID
Hay que resaltar que, según los datos mostrados en la figura 6.36, el margen de fase es de unos
55 grados y el de ganancia es de unos 12dB los cuales, según el criterio de Nyquist, son
adecuados para garantizar la estabilidad en un amplio rango de operación.
6.7.1
Montaje Físico del Inversor y del Horno de Inducción
Este apartado presenta algunas fotografías donde se puede observar la implementación física
del sistema de calentamiento. La figura 6.38 muestra una imagen global del equipo, mientras
que la 6.39 presenta el detalle del circuito electrónico de potencia.
El horno de calentamiento se muestra en la figura 6.40 donde puede apreciarse el crisol con
una carga de aluminio en él, mientras que el detalle de la línea de transmisión realizada desde
el inversor hasta el horno se muestra en la figura 6.41. Por último, la figura 6.42 muestra una
124
fotografía del visualizador utilizado, presentando la temperatura del módulo (Td), la tensión
DC del bus (Vb), la corriente sobre la bobina (Ic), la potencia de salida (Po) y el tiempo de
operación del equipo. Las tres informaciones restantes son el indicador de transmisión de
datos (Tx), la activación del PLL (PLL) y el ajuste de potencia (Pot)
Figura 6.38. Implementación Física del Sistema de Calentamiento Inductivo
Figura 6.39. Etapa de Potencia del Inversor
125
Figura 6.40. Detalle del Horno de Inducción y su Carga
Figura 6.41. Detalle de la Línea de Transmisión
Figura 6.42. Detalle del Visualizador y de los Datos Presentados
126
7.
Resultados Experimentales y su Análisis
7.1. Presentación
Los resultados experimentales se muestran en dos fases. Una primera, con la calibración de los
sensores incluidos dentro del sistema y una segunda con los datos experimentales del inversor
a lazo abierto y del sistema de regulación de potencia.
7.2. Calibración de los Sensores
7.2.1
Sistema de Adquisición de Datos
Antes de entrar en el punto de la calibración de los sensores, hace falta describir brevemente el
sistema de adquisición de datos usado. Como se explicó en el apartado 6.4, el corazón de la
instrumentación es un microprocesador PIC16F877, que posee 8 entradas analógicas de 10
bits, aunque para este proyecto solo se utilizan 4. El programa de control es un microkernel de
tiempo real, hecho en lenguaje C, el cual es controlado por el reloj del microprocesador y toma
seis mil datos por segundo y, dado que se utilizan 4 entradas, la tasa de muestreo es de 1500
muestras por segundo por canal. A efectos de mejorar la precisión y disminuir el ruido, se
promedian 250 muestras de cada canal, lo que en definitiva da 6 muestras por canal por
segundo. El microkernel adquiere los datos y los acumula en una palabra entera de 32 bits, así
que suponiendo que la entrada de tensión es la máxima, la conversión de 10 bits da el número
1023 que, sumado 250 veces, da como resultado un número máximo de 255750. Este valor
luego se convierte en un dato de coma flotante, mediante las constantes de calibración
obtenidas en base a referencias industriales, tales como osciloscopios y/o multímetros de
reconocida calibración.
7.2.2
Sensor de Temperatura del Módulo de Potencia
Tal como fue mostrado en el apartado de implantación física, el módulo de potencia contiene
un termistor que permite medir la temperatura del mismo, ahora bien, es bien sabido que los
termistores poseen características no lineales, tal como puede apreciarse en la figura 7.1, que
es la resistencia dada por el fabricante del termistor en función de la temperatura.
En la figura 7.2 puede verse el circuito que polariza el termistor con el fin de poder obtener un
voltaje que sea función de la temperatura
127
Figura 7.1. Resistencia del termistor del Módulo de Potencia vs. Temperatura.
Digitalizando la respuesta del fabricante mostrada en la figura 7.1 y realizando el cálculo del
divisor de tensión que aparece entre el termistor y la resistencia de 2k, se puede obtener una
gráfica de temperatura versus tensión que permite, mediante un ajuste polinómico, obtener la
ecuación de calibración para este sensor. Esta gráfica y su polinomio ajustado se muestran en
la figura 7.3
+5V
2k
RT1
THERMISTOR
t
0
Figura 7.2. Circuito de Polarización del Termistor
128
4
3
2
y = 9,262E-01x - 1,225E+01x + 5,665E+01x - 1,353E+02x + 1,956E+02
2
R = 9,996E-01
160
140
Temperatura (ºC)
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
Tensión de Salida (V)
Figura 7.3. Curva de Ajuste para el Sistema de Medición de Temperatura del Módulo de
Potencia
Una vez establecida esta correspondencia, el sistema es capaz de visualizar y almacenar la
temperatura del bloque de potencia, con lo cual es posible establecer correspondencia entre
parámetros tales como la corriente de salida y la evolución en temperatura, así como de
disponer de un sistema de protección adicional, ya que si la temperatura del bloque de
potencia supera cierto valor, el microprocesador es capaz de apagar el inversor.
7.2.3
Verificación de la Linealidad y Calibración del Sensor de Corriente
Considerando que la medición de corriente es crítica para el correcto desempeño del inversor y
dada la cantidad de elementos involucrada en el sensor de corriente (transformador de
corriente, resistencia de conversión, amplificador compensador de ganancia), se utilizó una
técnica directa, midiendo con una punta de prueba de corriente modelo A6302 y un
osciloscopio Tektronix, modelo TDS3054, los valores RMS de corriente sobre el primario del
transformador y las tensiones de salida del sensor y del sensor mas el amplificador, con el fin
de verificar la linealidad en cada una de las etapas. En la tabla 7.1 se muestran las medidas
realizadas, aunque hay que hacer notar que las puntas de corriente disponibles permitían medir
129
de manera correcta solo hasta unos 20A RMS, por lo que la calibración se realizó hasta algo
menos de ese rango. Remitiéndose a la figura 6.14, Sal Sensor se refiere a la medición de
tensión sobre la resistencia R17, Sal Amp a la medida en la salida de U2D, Isec es el valor
calculado de la corriente de secundario obtenida multiplicando la relación de vueltas del
transformador de potencia por la corriente del primario y Panel UA se refiere a la medición
numérica cruda explicada anteriormente y mostrada directamente en el panel visualizador.
Iprim (A rms) Sal Sensor (mV rms)
5,02
56,0
7,47
84,9
10,06
113,7
12,62
142,7
15,06
170,8
Sal Amp (mV rms)
559,0
825,0
1101,0
1384,0
1660,0
Sal Amp (V rms)
0,559
0,825
1,101
1,384
1,660
Isec (A rms) Isec (A pk)
25,10
35,50
37,33
52,79
50,28
71,10
63,08
89,20
75,30
106,49
Panel UA
18310
27580
37040
46780
56200
Tabla 7.1. Mediciones Realizadas para la Verificación y Calibración del Sensor de Corriente
La figura 7.4 muestra la graficación de estos valores junto con una regresión lineal de los
mismos y se puede apreciar que el coeficiente de ajuste para ambos casos es de cuatro nueves,
lo que implica una elevada linealidad del sistema de medición de corriente
y = 11,322x
2
R = 0,9999
160
140
Salida del Sensor (mV RMS)
1600
y = 110,03x
2
R = 0,9999
1400
120
1200
100
1000
80
800
60
600
40
400
20
200
Salida del Sensor+ Amplificador (mV RMS)
1800
180
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Corriente del Primario (A RMS)
Figura 7.4. Verificación de la Linealidad del Sensor de Corriente
Dividiendo la pendiente de ambas gráficas se puede obtener la ganancia del amplificador, la
130
cual llega a 9,72. La discrepancia con la ganancia teórica del amplificador, que debería ser de
10,09, está dentro del rango de precisión de los componentes utilizados.
Para obtener la constante de calibración del sistema, se usan los datos mostrados en la figura
7.5, que muestra la gráfica de la corriente RMS del secundario en función de la lectura del
visualizador, realizada en Unidades Arbitrarias (UA)
80
Corriente del Secundario (A RMS)
70
y = 0,001348x
R2 = 0,999670
60
50
40
30
20
10
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Valor de Salida del Convertidor Analógico Digital (UA)
Figura 7.5. Calibración Global del Sensor de Corriente
El valor obtenido mediante la regresión lineal de los datos del sensor de corriente es la
constante multiplicativa que se usará en el programa manejado por el microprocesador para
obtener la corriente real sobre la bobina de calentamiento.
7.2.4
Verificación de la Linealidad del Sensor de Voltaje
Aún cuando el microcontrolador no mide directamente la tensión sobre la bobina de
calentamiento, esta medición forma parte intrínseca de la medición de potencia, por lo que es
necesario verificar de igual manera su linealidad, de hecho, las figuras 6.12A y B ya
anticiparon este valor, sin embargo se realizarán varias medidas a diferentes amplitudes para
obtener la respuesta total y la regresión que dará la constante de calibración en tensión. La
131
tabla 7.2 muestra estos valores y la figura 7.6 la regresión lineal de los mismos.
Como puede apreciarse la gráfica obtenida es casi una recta ideal, donde la constante de ajuste
R2 tiene más de cuatro nueves de precisión, indicando un ajuste casi perfecto. Invirtiendo la
pendiente de la recta, se obtiene la atenuación del sensor, que es en definitiva de 115,87.
Vbob (V rms)
9,60
19,90
29,90
40,00
50,10
100,00
150,40
200,00
250,10
300,00
349,80
Salida Sensor (V rms)
0,0847
0,1735
0,2598
0,3475
0,4350
0,8570
1,2940
1,7215
2,1495
2,6000
3,0180
Tabla 7.2. Mediciones Realizadas para la Verificación del Sensor de Voltaje
3,5
Salida del Sensor (V RMS)
3,0
2,5
y = 0,00863x
2
R = 0,99997
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
50
100
150
200
250
300
350
Voltaje en la Bobina de Calentamiento (V RMS)
Figura 7.6. Verificación de la Linealidad del Sensor de Voltaje
7.2.5
Calibración del Sensor de Potencia
Habiendo verificado la linealidad en los sensores de corriente y tensión, queda pendiente la
calibración del sensor de potencia como un todo. Esto se realizó usando nuevamente el
132
osciloscopio Tektronix TDS3054 y las funciones matemáticas incorporadas en él. El
procedimiento consistió en tomar la señal de corriente directamente del sensor ya validado y la
tensión a la salida del inversor y multiplicarlas internamente en el osciloscopio y calcular su
valor promedio. Al mismo tiempo se medirá la salida del sensor de potencia y la salida
numérica del convertidor analógico-digital. Todos estos datos se resumen en la tabla 7.3
V*I (V*V)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
V*I (W)
0
321,32
642,64
963,96
1285,28
1606,6
1927,92
2249,24
2570,56
V*I (KW) Sal Sensor (mV) Panel (UA)
0,00000
28
200
0,32132
121
4960
0,64264
217
10250
0,96396
325
15680
1,28528
427
21170
1,60660
538
26940
1,92792
644
32550
2,24924
750
38050
2,57056
860
43850
Tabla 7.3. Mediciones Realizadas para la Calibración del Sensor de Potencia
Hay que hacer mención que la primera columna representa la medición dada por el
osciloscopio como multiplicación de la salida del sensor de corriente por la tensión de la
bobina; ésto se tuvo que realizar así debido a la imposibilidad de medir corrientes elevadas
directamente. La segunda columna se calcula a partir del valor de la función de transferencia
del sensor de corriente, corregida por la relación valor pico/valor RMS de la señal de
corriente. Los datos para este cálculo están en la tabla 7.1 (Sal Amp e Isec) y la gráfica que
permite calcular el valor de corrección se presenta a continuación en la figura 7.7.
La figura 7.8 resume los datos de la tabla 7.3 y presenta la constante de calibración para el
sensor de potencia
133
120
Corriente de la Bobina (A pk)
100
y = 64,264x
2
R = 0,9999
80
60
40
20
0
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Salida del Sensor (V RMS)
Figura 7.7. Obtención de la Constante de Escalamiento para el Sensor de Potencia
3,0
2,5
y = 5,93421E-05x
2
R = 9,99166E-01
Potencia (KW)
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Valor Panel (UA)
Figura 7.8. Calibración Final del Sensor de Potencia
45000
50000
134
7.3. Resultados Experimentales del Sistema a Lazo Abierto
Este apartado pretende mostrar los detalles del sistema de calentamiento correspondientes a
tópicos tales como mediciones de los parámetros del sistema resonante, conmutación del
dispositivo de potencia y formas de onda en general.
7.3.1
Evaluación de las Resistencias Asociadas en Vacío y con Carga
En primer lugar hay que mencionar que una de las operaciones programadas dentro del
microkernel de soporte del sistema de medición, es la transmisión serial de los parámetros
medidos por el inversor hacia un computador. Utilizando esta facilidad, se obtuvo la gráfica
mostrada en la figura 7.9, en la cual se presentan las potencias entregadas en función de la
corriente circulante al cuadrado, para una carga de aluminio y en vacío. La pendiente de estas
rectas representa el valor de la resistencia asociada. Se puede observar que la pendiente de la
recta para el aluminio es mayor que en vacío, mientras que la diferencia entre ambos valores
da como resultado la resistencia reflejada de la carga y equivale a 14,1 mΩ.
La evaluación de la parte real de la ecuación 4.6 con los parámetros de funcionamiento, arroja
como resultado el valor de 16,1mΩ, cifra que se compara favorablemente con el valor de
14,1mΩ medido anteriormente. La diferencia se puede atribuir, entre otras cosas, a la
conductividad del aluminio usada en el programa de elementos finitos para calcular los
parámetros y la del aluminio utilizado en el experimento, ya que éste puede traer otros metales
en aleación. De igual manera, el modelo dibujado para ser utilizado como base de cálculo en el
programa de elementos finitos difícilmente es una reproducción exacta de la realidad, debido a
que siempre existen imprecisiones al momento de la fabricación; aún así la diferencia total
entre el dato experimental y el teórico es pequeña y del orden de 12%
El valor de 40,8mΩ de resistencia, correspondiente a la medición en vacío, incluye todas las
pérdidas del sistema, no solamente la de la bobina de calefacción, que fue la que se calculó
mediante Elementos Finitos y alcanzaba la cantidad de 29,1mΩ. La diferencia de 11,7mΩ se
debe a la las pérdidas generadas en la línea de transmisión implantada en el sistema así como
en las conexiones de bronce utilizadas para unir los diferentes elementos del sistema. La
medición de la resistencia DC del sistema de calentamiento arrojó como resultado 8 mΩ e
incluye la resistencia DC, tanto de la bobina de calentamiento como de la línea de transmisión.
135
De estos resultados se infiere que la mayor parte de la potencia se disipa en la bobina y en la
línea de transmisión. Evaluando la ecuación 2.47 con estos valores, se puede obtener la
eficiencia de calentamiento de este sistema en particular
η cal =
Req
Req + Rb
=
14.1
= 0,256
54.9
(7.1)
De esta cifra se desprende que la eficiencia particular de este sistema es muy baja, debiéndose
esta a las pérdidas en la línea de transmisión y en la bobina de calentamiento.
6000
y = 0,0549x
2
R = 0,9999
5000
y = 0,0408x
2
R = 0,9999
Potencia (W)
4000
3000
2000
Aluminio
1000
Sin Carga
Lineal (Aluminio)
Lineal (Sin Carga)
0
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
2
Corriente al cuadrado (A )
Figura 7.9. Potencia de Salida en Función de la Corriente al Cuadrado para una Carga de
Aluminio y en Vacío
7.3.2
Evaluación de las Frecuencias de Resonancia con Carga y en Vacío.
La tabla 7.4 muestra un resumen de los valores teóricos y experimentales utilizados para el
cálculo de las frecuencias de resonancia del sistema, tanto con carga como con en vacío. En
esta tabla se puede observar una coincidencia muy buena entre las frecuencias calculadas
teóricamente y las mediciones experimentales de la misma, lo cual permite inferir que el
modelo utilizado es correcto, ya que la frecuencia es un parámetro fácil de medir con precisión
136
y resume la información de la respuesta del sistema.
Parámetro
L (μH)
R (mΩ)
C (μF)
f teórica (kHz)
f experimental (kHz)
Valor con Carga
7,087
45,175
2,718
36,26
36,34
Valor en Vacío
9,080
29,100
2,718
32,04
32,55
Error (%)
0,22
1,57
Tabla 7.4. Comparación de las Frecuencias de Resonancias Teórica y Experimental
El mayor error (1,57%) corresponde a la medición en vacío y es debida a que sin carga, el
campo magnético producido por la bobina de inducción se dispersa en mucha mayor medida,
ya que no existe un campo contrario (el producido por la carga) que tienda a neutralizarlo y,
como tanto la estructura de soporte del horno como la mesa de soporte del experimento son
metálicas, esa dispersión del campo implica pérdidas en dichas estructuras y se refleja como
una resistencia adicional. De hecho, al realizar los experimentos en vacío durante suficiente
tiempo, estas estructuras se calentaban hasta unos 50 ºC, mostrando efectivamente pérdidas no
relacionadas con la bobina y/o la carga, pero que sin embargo afectan el funcionamiento
global del sistema.
7.3.3
Formas de Onda Asociadas a la Conmutación
La ventaja más grande que posee el sistema resonante es la posibilidad de tener conmutación
sin pérdidas, bajo el esquema de conmutación en corriente cero (ZCS). La figura 7.10 muestra
un oscilograma general del proceso de transferencia de potencia
Como se puede observar, la conmutación de la tensión de alimentación (3) es una señal
cuadrada de amplitud de 36V con la misma fase que la corriente sobre la bobina. Tal como es
de esperarse, la tensión sobre la misma está desfasada 90º con respecto a la corriente, como
corresponde a un sistema inductivo. Esta prueba se realizó a 1KW de potencia de salida con
140A de corriente sobre la bobina.
137
Figura 7.10. Oscilograma General del Proceso de Transferencia de Energía: (Ch1) Forma de
Onda de la Corriente, (Ch3) Tensión de los IGBT de Potencia, (Ch4) Forma de Onda de la
Tensión sobre la Bobina
Con el fin de verificar el estado ZCS, la figura 7.11 muestra el detalle de esta conmutación, en
donde se puede verificar que la misma se produce a cero corriente.
Para mostrar adecuadamente el efecto de ZCS, se superpusieron las curvas de corriente y
tensión. Se puede verificar que la conmutación es muy rápida, de menos de 100
nanosegundos. Este es uno de los efectos de ZCS, ya que al no tener que conmutar corriente,
el efecto Miller del IGBT se hace prácticamente inexistente.
138
Figura 7.11. Detalle del Proceso de Conmutación mostrando ZCS: (Ch1) Forma de Onda de la
Corriente, (Ch3) Tensión de los IGBT de Potencia
Por último y a efectos demostrativos, la figura 7.12 muestra la fotografía de una carga de
aluminio fundido en el horno de inducción. Debido a limitaciones de los componentes,
específicamente del condensador resonante, cuya tensión de trabajo máxima es de 500 V
RMS, la potencia máxima disponible para el inversor es de unos 4,5 KW, ya que a potencias
superiores se rebasaría la tensión de ruptura, pudiéndose llegar a dañar el condensador.
139
Figura 7.12. Carga de Aluminio Fundido en el Horno de Inducción
Una vez verificado que el sistema estaba en capacidad de realizar las tareas especificadas, se
intentó activar el control Delta para verificar su funcionamiento, sin embargo este no trabajó
de manera correcta, activándose las protecciones del manejador del bloque de potencia cada
vez que se intentaba sobrepasar unos pocos cientos de vatios de salida.
7.3.4
Efectos del Control Delta sobre el Inversor con Transformador
Con el fin de establecer bajo qué condiciones ocurría la falla, se programó el osciloscopio para
que se disparara con niveles de corriente anormalmente elevados, obteniéndose la imagen
mostrada en la figura 7.13, donde se muestran las variables relevantes del caso. El canal 1
presenta la corriente de salida, que hasta el momento de producirse la falla, estaba en el orden
de 150A pico, lo que significa una potencia de salida del orden de 1KW. El canal 2 presenta la
referencia de frecuencia para el PLL, el canal 3 la tensión de los conmutadores con respecto a
la referencia formada por los condensadores del medio puente (ver figura 7.14) y, por último,
el canal 4 muestra la señal de disparo de los dispositivo de potencia.
Una vez que el control Delta se activa, aproximadamente a los 480μs del inicio del
oscilograma, comenzaron una serie de oscilaciones parásitas de baja frecuencia, cuya
140
frecuencia se puede estimar, de acuerdo a la imagen de la figura 7.13, en unos 4,2 KHz, con
efectos contraproducentes para la estabilidad del sistema. Esta oscilación crecía con el tiempo,
modulando el bus DC y haciendo que los transistores conmutaran en zonas de corriente
distinta a cero, generando impulsos de corriente de una magnitud tal que llegaban a saturar el
sensor, o sea que eran superiores a 750A.
Figura 7.13. Diagrama de Tiempo de la Falla en el Inversor: (Ch1) Corriente sobre la Bobina
de Inducción, (Ch2) Referencia de Frecuencia, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de
Potencia y (Ch4) Señal de manejo de los IGBT de Potencia
Una vez llegado al límite de los transistores, los circuitos de protección del manejador se
disparaban y apagaban el inversor.
Para explicar el origen de la falla, hay que recordar la topología utilizada para la etapa de
141
potencia. En la figura 7.14 se muestra dicha topología, la cual es un medio puente, alimentado
por el punto central de un divisor capacitivo. Otro condensador, en serie con el transformador,
se usa como bloqueo de la DC.
1
2
Figura 7.14. Topología del Inversor Medio-Puente
Ahora bien, el condensador equivalente que queda en serie con el transformador es de 7,5μF y
si se toma la frecuencia de oscilación parásita de 4,2 KHz y se calcula la inductancia que se
precisa para que esto suceda, se tiene
4200 =
1
2π L ⋅ 7,5μF
∴ L = 192 μH
(7.2)
Esta es la inductancia vista desde el lado primario del transformador de potencia, el cual tiene
una relación de vueltas de 5 y por lo tanto refleja la inductancia por un factor de 25, lo que
implica que la inductancia que genera el problema es de aproximadamente 8 μH, que es
justamente el valor de la inductancia total del sistema resonante bajo carga.
Esta inestabilidad es, entonces, intrínseca a la topología medio puente con transformador, por
lo que no se puede utilizar, al menos en la versión implementada en este trabajo, como un
sistema resonante con control Delta. La solución es utilizar una topología de puente completo
con capacidad de conectar a la vez los transistores de la misma rama en los momentos en que
el control Delta requiere que la energía sobre el sistema disminuya. Una posible topología de
este tipo se muestra, por ejemplo, en la figura 3.11.
La figura 7.15 muestra una ampliación del momento en que surge el error. Se puede apreciar
claramente que incluso la referencia de frecuencia (Canal 2) desaparece durante un ciclo de la
señal de corriente, aunque el PLL sigue enganchado a la referencia, debido a que no es capaz
142
de seguir variaciones tan cortas. El inconveniente surge cuando el sistema conmuta fuera del
punto adecuado, creyendo que está en corriente cero generando los picos mostrados en la
figura 7.15, canal 1.
Figura 7.15. Detalle de la Falla en el Inversor: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de Inducción,
(Ch2) Referencia de Frecuencia, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y (Ch4)
Señal de manejo de los IGBT de Potencia
A medida que transcurre el tiempo, dado que la oscilación de baja frecuencia aumenta de
amplitud, el efecto se va haciendo cada vez más pronunciado hasta que, finalmente, se apaga
el inversor por exceso de corriente.
7.3.5
Efectos del Control Delta sobre el Inversor sin Transformador
Eliminando el transformador es posible verificar que esta inestabilidad desaparece, ya que el
143
condensador de resonancia es el mismo de bloqueo DC, con lo cual no puede existir una
frecuencia de resonancia distinta de la que estipula el circuito resonante RLC.
Para demostrar este punto se modificó el inversor, quitando el transformador y el condensador
de bloqueo DC. Así mismo se recalibraron los sensores para eliminar el factor de escala que el
transformador de salida produce en la corriente y se volvió a probar el lazo de control con la
herramienta SISOTOOL de Matlab. El resultado de esta corrida es presentado en la figura
7.16 y muestra que los componentes escogidos siguen siendo adecuados para el control de este
lazo, ya que los márgenes de ganancia y fase son aún mejores que para el caso con
transformador.
Habiendo comprobado este punto, se procedió a verificar el desempeño del sistema. La figura
7.17 presenta cuatro oscilogramas que muestran el efecto del control delta para cuatro ajustes
de punto de operación diferentes, a saber, 250, 500, 750 y 1000 vatios. La tensión de
alimentación para esta prueba se situó en 100 voltios.
-5
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.6
0.72
0.84
0.92
0.98
0.98
0.92
0.84
0.72
0.6
5
x 10
-3
0.46
0.46
-2
0.3
0.3
-1
0.16
0
1
Real Axis
4e+005
3e+005
2e+005
1e+005
1e+005
2e+005
3e+005
4e+005
0.16
Root Locus Editor (C)
2
3
4
x 10
5
5
Magnitude (dB)
Phase (deg)
5
3
10
P.M.: 82.1 deg
Freq: 897 rad/sec
G.M.: 26.1 dB
Freq: 1.24e+004 rad/sec
Stable loop
2
10
-180
0
180
360
540
720
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
6
10
Open-Loop Bode Editor (C)
7
10
8
10
144
Figura 7.16. Respuesta a lazo cerrado del Inversor sin Transformador: (Arriba) Diagrama de
Bode, (Abajo) Diagrama de Polos y Ceros
Imag Axis
145
A
B
C
D
Figura 7.17. Efecto del Control Delta sin Transformador: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de
Inducción, (Ch2) Potencia de Salida, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y
(Ch4) Tensión en la Bobina. (A) 250W, (B) 500W, (C) 750W y (D) 1KW
Se puede apreciar la manera como va cambiando la forma de onda según el punto de ajuste.
Para 250W (A) la señal de tensión sobre los conmutadores de potencia está distribuida según
un patrón casi regular y con un período de aproximadamente 250 μs, mientras que en la
siguiente (B) se decrementa este periodo, que ya no es tan regular, aunque en promedio es de
aproximadamente de 150 μs, por lo tanto está entregando más energía a la carga. Las
imágenes (C) y (D) muestran las señales seudo aleatorias, características de la modulación
delta [75] que en promedio aportan cada vez más energía a la carga, tal como se puede ver
146
claramente en el Canal 2 de los oscilogramas, que muestra como va en aumento la potencia
instantánea de salida, para cada uno de los casos presentados.
Con el fin de establecer si el control delta es capaz de estabilizar en definitiva la potencia de
salida, se hicieron varios experimentos con el inversor, tomando los datos del mismo vía
conexión serial, tal como fue explicado anteriormente. Los experimentos consistían en medir
la potencia en función de la tensión colocando cinco valores de consigna y variando la tensión
de alimentación. El resultado se muestra en la figura 7.18, donde puede apreciarse claramente
el crecimiento parabólico de la potencia con respecto a la tensión, mientras el valor de la
misma sea menor que la consigna. Una vez que este punto se alcanza y el control se activa, la
potencia de salida permanece constante a pesar del aumento de tensión del bus.
1,3
1,2
1,1
Potencia de Salida (KW)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
Tensión de Bus (V)
Figura 7.18. Gráfica Potencia-Tensión para el Control Delta sin Transformador
La gráfica Potencia-Voltaje (P-V) tiene una connotación similar a las gráficas corriente-voltaje
(I-V) comúnmente utilizadas para describir el comportamiento de un dispositivo eléctrico o
electrónico. En este caso, el hecho que una vez que el control comienza a trabajar, o sea, una
vez que la señal de potencia alcanzó la consigna, el comportamiento del sistema es del tipo
147
potencia constante, lo que demuestra, efectivamente, que el inversor mantiene la potencia fija,
independientemente de las variaciones externas.
En la figura 7.18 se puede apreciar también que existen variaciones leves en la salida de
potencia, esto es fácil de explicar dada la naturaleza discreta del control delta. Éste es capaz de
regular únicamente en unidades de medio ciclo de la corriente (o de la tensión) resonante, tal
como se pudo comprobar en la figura 7.17; agregando a este hecho, el retardo inherente al
sistema PID, se pueden explicar, entonces, que pueden existir variaciones en la salida. Sin
embargo las mismas están muy acotadas, incluso para relaciones Tensión de Bus-Potencia de
Salida (V/P) elevadas, donde el control necesita inyectar solo pequeños pulsos de energía para
mantener la salida constante. Esto último puede verse en la figura 7.19, donde se pueden
apreciar las formas de onda para un bus DC de 230V y una potencia de salida de 500W
Figura 7.19. Detalle de las Formas de Onda para una relación elevada de la Tensión de Bus
respecto a la Potencia de Salida: (Ch1) Corriente sobre la Bobina de Inducción, (Ch2)
Potencia de Salida, (Ch3) Tensión sobre los Conmutadores de Potencia y (Ch4) Tensión en la
Bobina.
148
Ahora bien, la escala de tiempo para obtener el promedio de potencia es de un segundo, a
efectos de la medición mostrada en la figura 7.19, mientras que al aplicar potencia sobre una
carga para calentarla, su inercia térmica realiza, de hecho, promedios en la energía en al menos
un orden de magnitud superior en tiempo, dependiendo de la cantidad de masa a calentar, lo
que significa que las variaciones que inherentemente tiene el sistema delta, en la práctica no
afecta el resultado del calentamiento. Esto último puede demostrarse mediante una medición a
largo plazo (de varios minutos) de manera de comprobar la estabilidad temporal del sistema.
La figura 7.20 muestra los resultados de una corrida de 15 minutos, con una tensión de bus de
0,56
44
0,55
43
0,54
42
0,53
41
0,52
40
0,51
39
0,5
38
Corriente de Salida (A RMS)
Potencia de Salida (KW)
100V y acero como carga. La consigna fue colocada en 500W.
W = -8E-07t + 0,5193
840
780
720
660
600
540
480
420
360
300
240
180
36
120
0,48
60
37
0
0,49
Tiempo de Prueba (s)
Figura 7.20. Evolución de la Potencia y la Corriente de Salida para el Inversor sin
Transformador y a una consigna de 500W
En el momento de comenzar la prueba, el acero estaba a temperatura ambiente. A medida que
el acero se calentaba, la corriente sobre la bobina aumentó de 38A RMS a más de 43A RMS,
lo cual se debe a los cambios físicos sobre el metal, tal como fue explicado en el capítulo 2.
Sin embargo, la potencia promedio se mantiene constante durante la corrida. La demostración
de ello aparece en la recta ajustada a los datos experimentales, la cual tiene una pendiente
149
despreciable con respecto a su valor medio. La variación de la corriente se define como
ΔI =
43 − 38
⋅ 100 = 13%
38
(7.3)
Ahora bien, tomando en cuenta la duración del experimento, la variación de potencia se puede
definir como
ΔW =
− 8 ⋅ 10 −7 ⋅ t
− 8 ⋅ 10 −7 ⋅ 890
− 7.12 ⋅ 10 −4
⋅ 100 =
⋅ 100 =
⋅ 100 = −0,13% (7.4)
0,5193
0,5193
0,5193
O sea, que mientras que la corriente subió 13%, la potencia disminuyó, durante este
experimento, en 0,13%, dando una relación de control sobre variaciones en la carga del orden
de 100.
Por último, con el fin de evaluar la estabilidad del sistema a cambios en la consigna, se realizó
una corrida variando la misma de manera equiespaciada, desde 0KW hasta 1,4kW,
aproximadamente. Los resultados se muestran en la figura 7.21
1,6
1,4
Potencia de Salida (KW)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Tiempo de Prueba (s)
Figura 7.21. Evolución de la Potencia de Salida para el Inversor sin Transformador frente a
Variaciones en la Consigna
150
El resultado presentado muestra una clara estabilidad de la potencia de salida frente a cambios
abruptos del punto de consigna, sin embargo hace falta notar que aparece un pico en la
potencia de salida, a medida que la relación V/P se hace menor (extremo derecho de la figura
7.21). Esto tiene que ver con la reserva de potencia almacenada en el sistema, con respecto a la
potencia de salida. Dicho de otra manera, a medida que la potencia de salida se acerca al
máximo disponible, al lazo de control le toma algo más de tiempo volver la salida a su valor
regulado, de ahí la aparición de dicho pico. En todo caso, éste es de corta duración y no
sobrepasa al 11% del valor final, lo que es perfectamente soportable tanto por el sistema como
por la carga.
151
8.
Conclusiones
1. Se logró demostrar la premisa fundamental y original de esta investigación, a saber, que un
sistema de calentamiento inductivo basado en un inversor con control por Modulación de
Densidad de Pulsos (Delta), bajo régimen resonante permanente y compensado mediante
una red PID, permite controlar la potencia de salida minimizando, al mismo tiempo, las
pérdidas por conmutación en los semiconductores de salida.
2. Otros aportes novedosos que surgieron de este estudio están conformados por el modelo de
inductancias acopladas del sistema bobina-carga, así como el amplificador diferencial
capacitivo que conforma una parte importante del sensor de potencia de alta frecuencia.
3. El modelaje del sistema bobina-carga basado en inductancias acopladas permite reducir
cualquier topología a un equivalente preciso RLC, requiriéndose para su cálculo los
valores de autoinductancia y resistencia, tanto de la carga como de la bobina de
calentamiento, así como de la inductancia mutua entre ambas. Estos parámetros pueden ser
evaluados analíticamente si la topología es lo suficientemente sencilla, o por elementos
finitos magnéticos u otro sistema numérico, en caso contrario. El modelo evaluado en este
trabajo mediante FEMM demostró ser preciso, ya que se obtuvo una correlación elevada
entre la respuesta teórica y experimental del sistema de calentamiento.
4. El amplificador diferencial capacitivo propuesto en este trabajo es un dispositivo novedoso
capaz de medir tensiones elevadas con un gran ancho de banda, poseyendo al mismo
tiempo un desfasaje intrínseco extremadamente pequeño, característica imprescindible
para su uso como un medidor de potencia en situaciones donde el factor de potencia cos
(φ) es muy bajo.
5. La topología de potencia de medio puente no puede ser utilizada en un inversor delta con
transformador, debido a que aparecen dos frecuencias de resonancia. Una es la frecuencia
de interés que viene determinada por el circuito RLC principal, la otra proviene de la
resonancia entre el sistema RL de carga y el condensador serie equivalente
correspondiente a la rama pasiva del medio puente, produciendo oscilaciones de baja
frecuencia no sincronizadas con la resonancia fundamental y que desestabilizan totalmente
152
el sistema de control, impidiendo el estado de conmutación en cero corriente y activando
las protecciones del inversor.
6. La evolución de la corriente y de la tensión, tanto pico como RMS, de un sistema RLC
serie que se mantiene en régimen de resonancia permanente, equivale al de un sistema de
primer orden, es decir, posee una evolución temporal representada por un crecimiento o
decrecimiento exponencial.
7. La red de compensación tipo PID, debidamente ajustada con herramientas avanzadas de
control, permite estabilizar en potencia al inversor contra factores externos tales como
variaciones en la tensión de alimentación y variaciones de los parámetros físicos de la
carga por cambios en su temperatura.
8. El sensor de potencia basado en la multiplicación analógica de los valores instantáneos de
tensión y corriente permite realizar mediciones de una manera precisa y rápida,
característica necesaria para poder controlar adecuadamente el inversor bajo régimen de
potencia constante.
9. La potencia promedio suministrada por un inversor resonante basado en control delta se
mantiene constante a lo largo del tiempo, permitiendo así la repetibilidad del proceso para
series de piezas.
10. La bobina y la línea de transmisión montadas demostraron poseer pérdidas elevadas. Estas
pérdidas provienen principalmente del efecto piel y de efecto proximidad, las cuales
aportan alrededor de 32 mΩ de los aproximadamente 40 mΩ que aparecen como pérdidas.
Los 8 mΩ restantes provienen de la resistencia DC de la tubería de cobre, la bobina y de
las conexiones de bronce usadas para la refrigeración.
11. El transformador de potencia elaborado, de tipo coaxial, presentó un desempeño adecuado,
ya que mientras el sistema estaba en régimen oscilatorio permanente, es decir, sin control,
se pudo extraer del mismo un máximo de 5KW, potencia esta que estuvo limitada
principalmente por la tensión de ruptura del condensador de resonancia. Sin embargo, el
transformador no presentó un calentamiento apreciable en su núcleo y un incremento
153
moderado de temperatura en su secundario, llegando a estar alrededor de 50ºC después de
30 minutos de prueba y a una corriente de aproximadamente 350A RMS.
12. El análisis de Elementos Finitos Magnéticos FEMM es una herramienta de gran valor a la
hora de determinar de manera precisa los parámetros de calentamiento en topologías
complejas. Entre los parámetros que se pueden obtener cabe mencionar la forma óptima de
la bobina de inducción a fin de calentar los puntos requeridos, las pérdidas asociadas al
sistema, la potencia neta transferida a la carga y la inductancia y resistencia equivalentes
de la misma.
154
9.
Bibliografía
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Tesis Doctoral, Universitat deValència, Valencia, 1999, España
[5]. Martínez, J.; Esteve, V.; “Inversores Resonantes Serie para Calentamiento por
Inducción, Primera Edición”, Pág. 9, Editorial Moliner-40, Valencia, 2003, España
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160
10. Apéndices
161
10.1. Cálculo aproximado de la variación de la potencia disipada en un
conductor cilíndrico de cobre en función de la frecuencia
Los cálculos relacionados con los efectos de la frecuencia en la distribución de corrientes en
un objeto de simetría cilíndrica, implican el uso de las funciones de Bessel
reales e
imaginarias [10.1], sin embargo es fácil, mediante una transformación simple, obtener
resultados equivalentes. En la figura 10.1 se muestra la sección de un tubo de cobre usado
típicamente como material para hacer la bobina de calentamiento inductivo. La premisa
fundamental de esta aproximación se basa en que la sección que conduce la corriente, bien sea
por usar un tubo o por efecto piel, hace que Ra~Rb, por lo tanto, dado que el área de
conducción de la tubería es
A = π ( Rb2 − Ra2 ) = π ( Rb + Ra )( Rb − Ra )
(10.1)
al realizar la aproximación antes indicada, se obtiene
A = π ( Rb + Ra )( Rb − Ra ) ≅ π ( Rb + Rb )( Rb − Ra ) = 2π ( Rb − Ra )
(10.2)
que es justamente el área de la sección rectangular mostrada en la figura A.1
Rb-Ra
2*pi*Rb
Líneas de Campo Magnético
Ra
Rb
x
Figura 10.1: Aproximación a la sección cilíndrica mediante una lámina delgada.
Ahora bien, 10.3 muestra la variación de la densidad de corriente en función de la distancia en
162
el eje x dentro del material.
J (r )= J 0 ⋅ e - δ
x
(10.3)
por lo tanto la corriente total I es
Rb − Ra
I=
Rb − Ra
∫ J (r )da = ∫
0
x
J 0 2πRb e δ dx = 2πJ 0
-
0
Rb − Ra
∫
x
e δ dx
(10.4)
0
Resolviendo la integral, da como resultado
I = 2πJ 0 Rbδ (1 − e
− ( Rb − Ra )
δ
)
(10.5)
Que, en el límite cuando δ tiende a infinito, o sea, cuando la frecuencia de trabajo tiende a 0,
queda
I DC = 2πJ 0 Rb ( Rb − Ra )
(10.6)
que es justamente la densidad de corriente por el área del rectángulo mostrado en la figura
10.1
Por otro lado es fácil ver que I/J tiene unidades de área y representa el factor geométrico del
área efectiva de conducción. 10.6, junto con la definición de la resistencia de un conductor,
permite obtener
R=
ρl
A
=
ρl
I/J
(10.7)
donde l es la longitud del conductor y A su sección. Por lo que puede expresarse de esta
manera tanto la resistencia AC como DC del conductor, obteniéndose
ρl
R AC [I / J ]AC [I / J ]DC
2πRb ( Rb − Ra )
( Rb − Ra )
=
=
=
=
− ( Rb − R a )
ρl
[I / J ]AC 2πRbδ (1 − e
RDC
δ (1 − e − ( Rb − Ra ) δ )
δ)
[I / J ]DC
(10.8)
163
Si se define
α=
( Rb − Ra )
(10.9)
δ
10.8 puede escribirse como
R AC
α
=
R DC (1 − e −α )
(10.10)
La figura 10.2 muestra la evaluación de 10.8, donde se puede apreciar como varía la relación
de resistencias en función de la frecuencia. Así mismo, la figura 10.3 muestra esta variación
como función del parámetro α. Los cálculos fueron realizados para un tubo de cobre con un
espesor de 1 mm.
10,0
9,0
RAC/RDC
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
f (KHz)
Figura 10.2: Relación de Resistencia AC vs. DC del cobre en función de la frecuencia.
Como el efecto de calentamiento sobre una pieza es directamente proporcional a la potencia
disipada por ella, que a su vez es proporcional al cuadrado de la corriente que por ella fluye, se
puede ver que es necesario mantener la corriente sobre la bobina de calentamiento,
independientemente de las pérdidas de conducción que en las mismas pudiesen ser generadas,
164
por lo tanto la potencia disipada en el inductor (WAC) se puede expresar como
W AC = I 02 R AC
(10.11)
10,0
9,0
RAC/RDC
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
2
4
6
8
10
α=(rb-ra)/δ
Figura 10.3: Relación de Resistencia AC vs. DC del cobre en función de α.
mientras que las pérdidas en DC son
WDC = I 02 RDC
(10.12)
Relacionando A1.11 con A1.12, se tiene
W AC I 02 R AC R AC
=
=
WDC I 02 RDC RDC
(10.13)
de 10.13 se deduce que, manteniendo la corriente de excitación igual, la relación de la
potencia disipada en la bobina de calentamiento por efecto piel, con respecto a la disipada en
DC, se corresponde directamente con la relación de ambas resistencias.
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165
166
10.2. Listado del microkernel en C de manejo y supervisión
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
////
InductionControl.C
////
////
////
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#include <16F877A.h>
#device ADC=10
#include <stdlib.h>
#include <induction.h>
#fuses HS,NOWDT,NOPROTECT,NOLVP,PUT
#use delay(clock=CLK_freq)
#use rs232(baud=19200, xmit=PIN_C6, rcv=PIN_C7)
#include <lcd420_portD.c>
int count_fast=CNT_fast, pot;
struct AnaIN AnaACQ={0,0,0,0,0,0};
int KYB;
#byte KYB = 7
//Port C Mapping
void main()
{
int sec=0, min=0, hour=0, DataTX=0;
int count_slow=CNT_slow, i;
int last_state=0;
short int Vbus_set=FALSE, toggle=FALSE, toggleTX=FALSE;
float Last_vbus=100;
union AnaResult AnaDATA, AnaTX;
lcd_init();
//Mínima tensión de Bus
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//
Entradas Analógicas: AN1...AN4
//
//
Conversion Clock: /32
//
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
setup_adc_ports (AN0_AN1_AN2_AN3_AN4);
setup_adc (ADC_CLOCK_DIV_32);
set_adc_channel (0);
delay_us(20);
read_adc (ADC_START_ONLY);
delay_us(50);
// Inicializar la primera Conversion
// Espera de 2Tad para iniciar conversión
output_low (PIN_E0);
// Activar contactor AC
// Asegurar tiempo de conversión
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//
Programación y habilitación de Interrupciones
//
//
//
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
setup_timer_1(T1_INTERNAL|T1_DIV_BY_1);
// setup interrupts
set_timer1 (TIMER1_VAL);
enable_interrupts(INT_TIMER1);
enable_interrupts(GLOBAL);
pot=64;
// Inicializar potenciómetro
167
Set_pot(-64);
pot=0;
output_low (PIN_E2);
lcd_gotoxy(14,3);
printf(lcd_putc, "PLL OFF");
lcd_gotoxy(15,2);
printf(lcd_putc, "TX OFF");
// en 0
// Marcador de Posición del potenciómetro en 0
// Desactivar PLL
while (true)
{
if (count_fast==0)
{
count_fast=CNT_fast;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Colocar aquí el despacho de rutinas. Se ejecutarán 1 vez cada 10mS (100 veces por segundo //
//
//
//
//
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
if (AnaACQ.mean==Convertion_mean)
{
AnaDATA.Data[0]=Poly_eval(AnaACQ.Data[0]*Convertion_constant);
// Convertir a temperatura (C) via ajuste Polinomial
for (i=1;i<4;i++)
// Convertir a float via ajuste lineal
{
AnaDATA.Data[i]=AnaACQ.Data[i]*Scale[i-1]+Offset[i-1];
}
for (i=0;i<4;i++)
// Promediar los valores medidos
{
AnaTX.Data[i]+=AnaDATA.Data[i];
}
AnaACQ.CHN_cnt=0;
// Reinicializar a cero variables de Adquisición
AnaACQ.mean=0;
for (i=0;i<4;i++)
AnaACQ.Data[i]=0;
// Presentar los datos por pantalla
lcd_gotoxy(1,1);
printf(lcd_putc, "Td=%5.1fC", AnaDATA.Data[0]);
lcd_gotoxy(1,2);
printf(lcd_putc, "Vb=%5.1fV", AnaDATA.Data[1]);
lcd_gotoxy(1,3);
printf(lcd_putc, "Ic=%5.1fA", AnaDATA.Data[2]);
lcd_gotoxy(1,4);
printf(lcd_putc, "Po=%5.2fkW", AnaDATA.Data[3]);
lcd_gotoxy(14,4);
printf(lcd_putc, "Pot=%2u", pot);
}
// Rutina de encendido del contactor DC
if (!Vbus_set)
{
if (((AnaDATA.Data[1]-Last_vbus)<0.0)
// Esperar a que se estabilice la tensión de Alimentación
&&
(AnaDATA.Data[1]>Vbus_min))
// y que se alcance la tensión mínima de funcionamiento
{
Vbus_set=TRUE;
// Deshabilitar posteriores actualizaciones
output_high (PIN_B3);
// Activar contactor DC
168
}
}
// Rutina de Reloj
if (++count_slow==CNT_slow)
{
count_slow=0;
if (++sec>59)
{
sec=0;
if (++min>59)
{
min=0;
if(++hour>99)
{
hour=0;
}
}
}
lcd_gotoxy(13,1);
printf(lcd_putc,"%02U:%02U:%02U", hour, min, sec);
if (toggleTX)
{
printf("%02U:%02U:%02U\t", hour, min, sec);
// Si está habilitada la transmsión
printf("%5.1f\t", AnaTX.Data[0]/6.0);
// enviar por la línea RS-232
printf("%5.1f\t", AnaTX.Data[1]/6.0);
printf("%5.1f\t", AnaTX.Data[2]/6.0);
printf("%5.3f\n", AnaTX.Data[3]/6.0);
}
for (i=0;i<4;i++)
// poner en cero los datos promediados
{
AnaTX.Data[i]=0.0;
}
}
if ((0b00111111&(KYB^last_state)))
{
last_state=KYB;
if (bit_test(KYB, 0))
{
if (!toggle)
{
output_high (PIN_E2);
lcd_gotoxy(14,3);
printf(lcd_putc, "PLL
toggle=TRUE;
}
else
{
output_low (PIN_E2);
lcd_gotoxy(14,3);
printf(lcd_putc, "PLL
toggle=FALSE;
}
}
else if (bit_test(KYB, 1))
{
Set_pot(5);
}
else if (bit_test(KYB, 2))
// Verificar si hubo cambio en el teclado
// Actualizar el valor del último estado
// Si hubo cambio de 0-->1
// y si toggle está en 0,
// Activar PLL
ON ");
// Desactivar PLL
OFF");
// Verificar si hubo cambio de 0-->1
// Verificar si hubo cambio de 0-->1
169
{
Set_pot(-5);
}
else if (bit_test(KYB, 3))
// Verificar si hubo cambio de 0-->1
{
if (!toggleTX)
// y si toggleTX está en 0,
{
lcd_gotoxy(15,2);
// Habilitar Transmisión
printf(lcd_putc, "TX ON ");
toggleTX=TRUE;
printf("Inicio Datos # %03U\n", DataTX);
// Crear encabezado
}
else
{
lcd_gotoxy(15,2);
printf(lcd_putc, "TX OFF");
toggleTX=FALSE;
printf("Fin Datos # %03U\n\n", DataTX++);
// Crear Fin de Grupo
}
}
else if (bit_test(KYB, 4))
// Verificar si hubo cambio de 0-->1
{
Set_pot(1);
}
else if (bit_test(KYB, 5))
// Verificar si hubo cambio de 0-->1
{
Set_pot(-1);
}
else
{
delay_us(10);
}
}
}
}
}
float Poly_eval(float x)
// Rutina de evaluación Polinómiva
{
float y;
y=((((Poly[0]*x+Poly[1])*x)+Poly[2])*x+Poly[3])*x+Poly[4];
return (y);
}
void Set_pot (signed int n)
{
int i;
if ((pot+n)<=50 && (pot+n)>=0)
{
for (i=0; i<abs(n); i++)
{
if (n>0)
{
output_low (PIN_B4);
delay_us(1200);
output_high (PIN_B4);
delay_us(1200);
pot++;
}
else if (n<0)
{
output_low (PIN_B5);
delay_us(1200);
output_high (PIN_B5);
delay_us(1200);
// Rutina de modificación del Potenciómetro
170
}
pot--;
}
}
}
#INT_TIMER1
void Timer1_INT()
{
set_timer1(TIMER1_VAL);
// sets timer to interrupt in (1/INT_PER_SECOND) us
count_fast--;
if (AnaACQ.mean<Convertion_mean)
{
AnaACQ.Data[AnaACQ.CHN_cnt]+=read_adc(ADC_READ_ONLY); // Leer la última conversión
if (++AnaACQ.CHN_cnt>Last_channel)
// Si se ha llegado al número de canal máximo
{
AnaACQ.CHN_cnt=0;
++AnaACQ.mean;
}
set_adc_channel (AnaACQ.CHN_cnt);
// Habilitar el siguiente canal
delay_us(10);
// Espera de 2Tad para iniciar conversión
read_adc (ADC_START_ONLY);
// Activar la conversión
}
}