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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL U.D. 14 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1 VARIABLE DISCRETA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD U.D. 14.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2 Definiciones • En un experimento aleatorio se llama variable aleatoria toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. • Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar valores aislados (valores finitos en un intervalo finito). Por ejemplo, edad de una persona, nº de hermanos, etc. • • • • Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los valores posibles de un intervalo (infinitos valores en un intervalo finito). Por ejemplo, peso de una persona, altura de una persona, etc. La función o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3 • PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD • 1.La probabilidad pi de un valor xi, pi = P(X = xi) es un número no negativo entre 0 y 1 0 ≤ pi ≤ 1 2.La suma de las probabilidades de los valores del recorrido de la variable es 1. Σ pi = 1 3.La probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor dentro de un conjunto de valores concretos es la suma de probabilidades asociadas a cada uno de ellos. • • • • • • • • • EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se lanzan un dado al aire con 1 uno, 2 doses y 3 treses. Valores de la variable aleatoria discreta xi 1 2 3 Probabilidades correspondientes pi 1/6 2/6 3/6 Se observa que los valores de pi son positivos, entre 0 y 1. La suma de probabilidades es 1/ 6 + 2/ 6 + 3/6 = 6/6 = 1 P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X=1)+P(X=2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = ½ = 0,50 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4 • EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 • Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente. Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente distinto. Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 3 ≤ x ≤ 10. X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en este caso ) en [ 3 , 10 ] Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy grande de veces. Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es suficientemente grande. Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable aleatoria en la distribución de probabilidades. La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución de frecuencias. • • • • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5 Tabulación de resultados observados X 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 0 1 3 0 0 3 2 10 f 5 10 18 27 19 11 7 3 100 f 18 19 36 32 26 30 26 15 200 f 100 130 240 200 140 80 60 50 1000 hi 0,10 0,13 0,24 0,20 0,14 0,08 0,06 0,05 1 P(X) 0,10 0,13 0,24 0,20 0,14 0,08 0,06 0,05 1 La frecuencia relativa (hi) es hi = f / Σ f , que es la probabilidad P(x) cuando Σ f es muy grande. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6 • … EJEMPLO 2 • Se observa que las distintas probabilidades presentan un valor positivo entre 0 y 1. • • • • • • • P(X=xi) 0,24 La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable es la unidad. Es una función de probabilidad discreta. Calculemos la probabilidad de que se junten 5, 6 ó 7 amigos: P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X=5) + + P(X=6) + P(X=7) = = 0,24 + 0,20 + 0,14 = = 0,58 @ Angel Prieto Benito 0,20 0,14 0,10 0,05 3 4 5 6 7 8 9 10 X FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Matemáticas Aplicadas CS I 7