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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
DINAMICA
Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa
Silvia R. Beck - Walter von der Heyde
DEPARTAMENTO DE FISICA
Cátedras: Física General - Física II
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Dinámica de la partícula
Momentun lineal
Partícula libre es aquella que no está sujeta a
interacción alguna, lo que implica que debe estar
completamente aislada o ser la única en el universo.
Primera Ley de Newton: Ley de inercia
"....una partícula libre se encuentra en reposo o se mueve siempre en
línea recta con velocidad constante o sin aceleración"....
Momentum lineal de una partícula se define como
el producto de su masa por su velocidad.


p  mv
"....una partícula libre se mueve siempre con momentum
constante "...
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Dinámica de la partícula
Conservación del momentum
Principio de conservación del momentum:
El momentum total del sistema será:
En el tiempo (t):
P = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2
En el tiempo (t’):
P’ = p’1+ p’2 = m1 v’1 + m2 v’2
A
A’
v1
 
P  P'
p1  p2  cons tan te


 
 


p1  p2  p1'  p2' p1'  p1  p2  p2'
 


p1'  p1   p2'  p2 


p1  p2
(1)
v’2
B’
v2
B
"....el momentum total de un sistema
aislado de partículas es constante"...
Del principio de conservación del momentum se


observa que:
v’1
m’1 v’1
m1 v1
m’2 v’2
m2 v2
"el cambio de momentum de una partícula en un cierto intervalo de
tiempo es igual y opuesto del cambio de otra en el mismo intervalo "...
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DE FISICA
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Dinámica de la partícula
Redefinición de masa:
Suponiendo que la masa de una partícula es constante se puede
expresar el cambio de momentum en el tiempo ∆ t como:



p  mv   mv
Por lo tanto se tiene a partir de la ecuación:


p1  p2


m1v1  m2 v2
m2
v1

m1 v2
(2)
(2) indica que los cambios en la velocidad son inversos a las masas y nos
permite definir esta cantidad dinámicamente.
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Dinámica de la partícula
Leyes de Newton
Primera Ley de Newton: Ley de inercia
Segunda Ley de Newton: Concepto de fuerza
El cambio con respecto al tiempo del momentum de
una partícula se denomina FUERZA

 dp
F
dt
Si se considera que la masa permanece

constante se tiene:



d( mv ) 
dv
F 
F m
 ma
dt
dt
Tercera Ley de Newton: Acción y Reacción
Cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre
una es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra


p1  p2


p1
p
 2
t
t


dp1
dp2

dt
dt


F1   F2
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Fuerza de Fricción por deslizamiento:
Cuando hay dos cuerpos en contacto, tal el caso de un bloque sobre una placa plana, hay una
resistencia que se opone al movimiento relativo entre ambos debido a que los átomos de uno y
otro sólido forman pequeños enlaces temporales, que es necesario romper para conseguir el
desplazamiento relativo.
Estos enlaces se forman debido a las irregularidades del material, a la
presión con la que se forma el contacto y al área de la superficie de
contacto. Si empujamos el bloque dándole una cierta velocidad,
después de soltarlo disminuye la misma hasta detenerse. Esta perdida
de momentum indica que hay una fuerza opuesta al movimiento
reconocida como Fuerza de fricción por deslizamiento.
La mayoría de las superficies, aún las consideradas muy pulidas son
rugosas a escala microscópica y esa rugosidad se debe a los ’’picos de
superficies’’ y sus deformaciones posibles cuando dos cuerpos entran en
contacto. En las figuras, se observan dos situaciones de lo que se vería al
microscopio, En (a) el área más pequeña del bloque es la que se posa
sobre el plano y allí se aprecian deformaciones mayores de los picos de
las superficies por efecto de la presión.
En (b) se muestra que las deformaciones de los picos son menos
pronunciados por que la presión es menor.
Analizando las dos situaciones se puede deducir que el área real total de
contacto es esencialmente la misma en ambos casos.
(a)
(b)
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Las leyes del rozamiento por deslizamiento de dos superficies planas (tal el
caso del bloque y el plano), establecen que:
• La fuerza de rozamiento se opone al movimiento del bloque que se desliza sobre el plano.
• La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque.
• La fuerza de rozamiento no depende del área aparente de contacto.
• Una vez empezado el movimiento, la fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad.
Se observa un bloque arrastrado por una fuerza F horizontal.
Sobre el mismo actúan su peso mg, la fuerza normal N igual
al peso, y la fuerza de rozamiento Ff en la interfase bloque y
el plano de deslizamiento. Si el bloque desliza con velocidad
constante la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de
rozamiento por deslizamiento Ff..
Si duplicamos la masa m del bloque colocando encima de
éste otro igual, la fuerza normal N se duplica, la
fuerza F se duplica y por tanto, Ff también se duplica. La
fuerza de rozamiento por deslizamiento Ff es por lo tanto
proporcional a la fuerza normal N.
F f = uv f N
N
Movimiento
uv
F
Ff
mg
Ecuación del movimiento
m.a = F - uv f N
La constante adimensional de proporcionalidad f se denomina coeficiente de rozamiento y se
definen dos tipos: fs estático y otro cinético fk siendo el fs > fk la mayoría de los sistemas.
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Si representamos conjuntamente la fuerza de rozamiento estático y de
rozamiento dinámico para un bloque, como función de la fuerza tangencial
aplicada, obtenemos una gráfica como la de la figura
Ff = -uv f N
La pendiente del primer tramo es la unidad, ya que en
esa región la fuerza de rozamiento no ha alcanzado su
valor máximo y es igual en magnitud a la fuerza aplicada.
Cuando se alcanza el deslizamiento inminente Ffmáx se
produce un cambio brusco (que es muy fácil de
experimentar al desplazar un mueble, por ejemplo) y a
partir de ahí la fuerza de rozamiento es más o menos
constante, pero con fluctuaciones.
Si en lugar de aumentar fuéramos bajando, resultaría
una gráfica diferente.
Ff
Deslizamiento
inminente
Ffmáx
Ff = fkN
Ff = F
zona estática
zona dinámica
F
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Una caja de 10 Kg descansa sobre un piso horizontal siendo su coeficiente de fricción
estático (fs) = 0.4 y el de fricción cinética (fk) = 0.3.
Cual la fuerza de fricción Ff que obra sobre la caja si se ejerce una fuerza F horizontal
variable de magnitudes a) 10 N; b) 38N y c) 40 N.
N
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre: N - m.g = 0
Movimiento
uv
Despejando, la fuerza normal :
N = m.g
F
-2
Ff
N = 10 Kg . 9,8ms = 98 Newton
La fuerza de fricción estática para el caso es:
Ff = uv fsN = 0.4 (98N) = 39.2 N
mg
La fuerza de fricción estática se opone a cualquier fuerza aplicada, y hasta no sea
superada el cuerpo no se desplazará.
•
•
Cuando la fuerza aplicada es de F = 10 N, la caja no se moverá siendo Ff = F = 10 N.
•
Una fuerza de 40 N hará que la caja comience a moverse al ser mayor que la máxima
fuerza de fricción estática, 39.2 N. En adelante se tiene fricción cinética, en lugar de
fricción estática y la magnitud de la fricción cinética es N = 0.3(98N) = 29 N.
•
Cuando la fuerza aplicada es de F = 38 N, la caja no se moverá porque aún no supera
los 39.2 N y Ff = F = 38 N.
Si la fuerza aplicada continúa siendo F = 40 N, la aceleración que experimentará la
caja será a=F/m = (40N - 29N)/10kg = 1.1 m/s2
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DE FISICA
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Fuerza de Fricción en fluídos.
Cuando un cuerpo se mueve a velocidad relativamente baja a través de un
fluido, tal como un gas o un líquido, la fuerza de fricción puede obtenerse
aproximadamente suponiendo que es proporcional a la velocidad del cuerpo
y opuesta a ella.
Ff = - K ηv
El coeficiente de fricción K depende de la forma del cuerpo que para el caso
de una esfera de radio R será:
Ley de Stokes
K = 6pR
El coeficiente de fricción η depende de la fricción establecida entre capas de
fluido que se mueven a distintas velocidades llamada viscosidad por lo tanto
η recibe el nombre de coeficiente de viscosidad [Nsm-2]
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FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
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Dinámica de la partícula
Fuerzas de Rozamientos
Cuando un cuerpo se desplaza a través de un fluido viscoso bajo la acción de una
fuerza F, la fuerza resultante es F- Kηv y la ecuación del movimiento será:
ma = F - Kηv
Suponiendo F constante, un aumento de la aceleración hace
un aumento continuo de v por ende de la fuerza de fricción,
tal que eventualmente el miembro de la derecha se hace cero.
En ese instante la aceleración es cero y no hay aumento en la
velocidad, estando la fuerza de fricción equilibrada por la
fuerza aplicada.
El cuerpo continúa su movimiento con velocidad constante,
llamada velocidad límite vL
vL = - F / Kη
Ff
B
(Flotación)
(Fricción)
(Peso)
W= mg
vL = - mg / Kη (en caída libre)
De tenerse en cuenta el empuje ejercido por el fluido, (según el
Principio de Arquímedes igual al peso del fluido desalojado por
el cuerpo), la ecuación corregida será:
vL = (m- mf)g / Kη
Ff = K ηv
B = FB = mf g
W = Fw = m g
DEPARTAMENTO
DE FISICA
Dinámica de la partícula
Movimiento curvilíneo
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
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Fuerza central o centrípeta
Y
N
FN
v
FT
a
aN
O
T
S
F
A
aT
X
Cuando la fuerza tiene la misma dirección que la velocidad,
el movimiento es una línea recta. Para producir un
movimiento curvilíneo, la fuerza resultante debe hacer un
ángulo con la velocidad, de modo que la aceleración tenga
una componente perpendicular a la velocidad que
proporcionará el cambio en la dirección del movimiento.
Recordando que la fuerza, siempre que la masa sea
constante es paralela a la aceleración, se tiene para una

trayectoria curvilínea que: 

F m
dv
 ma
dt
Es de esperar entonces que esta fuerza F tenga una componente tangente a la trayectoria o
fuerza tangencial:


F  ma
FT  maT
aT 
dv
dt
FT  m
dv
dt
y que la fuerza también tenga una componente normal a la trayectoria llamada fuerza central

o centrípeta:

2
2
F  ma
FN  maN
aN 
v

FN  m
v

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DE FISICA
Dinámica de la partícula
Equilibrio del cuerpo rígido
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
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Un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultáneamente.
De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se traslada, y de vibración
de cada parte del cuerpo mientras se traslada y gira.
Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy complejo, por esta razón se
estudia cada movimiento en forma independiente.
Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen
posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no
deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento
de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales
la deformación del objeto es despreciable.
Centro de masa. Cada partícula sobre la que actúa el campo gravitacional está sometida a la
acción de una fuerza W = mg llamada peso. El peso resultante de un cuerpo, está dado por
la suma de los pesos de cada una de las partículas que lo compone y está aplicado en un
punto llamado centro de masa segun lsa ecuaciones siguientes:
W  i mi g
rc
rm g


mg
i i
i
i
i
xc 
 xm
m
i
i
i
i
i
yc 
 ym
m
i
i
i
i
i
zc 
 zm
m
i
i
i
i
i
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DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
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Dinámica de la partícula
Centro de masa
CM
CM
CM
El Centro de Masa, es un concepto físico que nos determina el punto en el que se puede
considerar que se concentra toda la masa de un objeto o de un sistema , que puede o no estar
dentro de los objetos del sistema (como en el caso de dos tenedores).
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DE FISICA
Dinámica de la partícula
Centro de masa
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CM
CM
CM
CM
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Dinámica de la partícula
Equilibrio del cuerpo rígido
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TORQUE DE UNA FUERZA Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un
cuerpo rígido, este realiza un movimiento de rotación en torno a un eje. La propiedad se
mide con una magnitud física llamada torque o momento de una fuerza (t ) que es la
capacidad de esa fuerza para producir un giro o rotación. Se prefiere usar el
nombre torque y no momento, porque este último lo emplea para referirse al momento
lineal o momentum (p=mv).
B
A
b
θ
r
C
O
B
b
O
A
r
C
θ
F
(a)
F
θ=0
b=0
A
O
F
r
C
(b)
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Dinámica de la partícula
Torque de una fuerza
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Si una fuerza F actúa sobre un cuerpo C que puede rotar alrededor del punto O y si la misma
no pasa por O, el efecto total será la rotación del cuerpo alrededor de ese punto y para el caso
que se muestra en el sentido de las agujas del reloj.
La efectividad en la rotación aumenta con la distancia perpendicular (brazo de palanca) b = OB
desde O a la línea de acción de la fuerza, por eso cuando abrimos una puerta, traccionamos lo
mas lejos de sus bisagras posible e intentamos conservar la dirección del empuje normal a la
misma. Ello sugiere definir una cantidad física t llamado torque de una fuerza mediante
la ecuación:
 
t  Fb
El torque de una fuerza se
define como el producto de una
unidad de fuerza por una unidad
de distancia. Del dibujo (a) se
tiene que:
t  Frsen
b  rsen
 
t  r F

θ=0
b=0
B
A
b
r
O
θ
F
O
A
F
r
C
C
(a)
(b)
En (b) se ve la acción de giro del cuerpo y en la última ecuación, el troque como el producto
vectorial de dos vectores, donde r el vector posición con respecto al punto O del punto A en
el cual actúa la fuerza F.
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DE FISICA
Dinámica de la partícula
Torque de una fuerza
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B
A
B
b
O
A
b1
θ F
r2
r


t  Fb
b  rsen
r1
O
b2
F2
(a)
θ F1
θ
B
(b)
El concepto de torque, se explica mediante una fuerza F rotacional.
Cuando se abre una puerta, figura (a), esta rota alrededor de sus bisagras interviniendo tanto
la intensidad de la fuerza aplicada (módulo), como la distancia perpendicular de su dirección a
las bisagras o eje de rotación O (brazo de palanca). 

 
El torque t  r  F puede expresarse como t  Fb siendo b  rsen
Cuando se abre una puerta giratoria figura (b), esta rota alrededor de un eje central debido a
dos fuerzas F1 y F2 que en caso de ser iguales, de sentido opuestos y de direcciones paralelas
denominamos “par o cupla”.
El torque sobre la puerta se debe a la suma de los torques de cada una de las fuerzas de
manera tal que el torque total
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Dinámica de la partícula
Torque de una fuerza
F
A
F
A
b=r/2
b
r
r
O
b=r/2
O
F´
F´
(a)
A
(b)
Un caso interesante es cuando se comparan dos puertas de idénticas dimensiones accionadas
por un conjunto de fuerzas de igual módulo tal como se muestran en las figuras (a)y (b).
Cuando se abre una puerta figura (a), esta rota alrededor de una bisagra O debido a un
torque total
debido a que
entonces
Cuando se abre la puerta de la figura (b), esta rota alrededor de un eje central debido a la
acción de las fuerzas F y F´ que en caso de ser iguales, de sentido opuestos y de direcciones
paralelas denominaremos “par o cupla”.
Se puede demostrar que el torque total
asume idéntico valor de la situación (a).
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Dinámica de la partícula
Equilibrio de Fuerzas
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ESTATICA. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario
considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación,
Por lo tanto se requiere cumplir con las condiciones siguientes:
La suma de todas las fuerzas debe ser cero (equilibrio de traslación)
La suma de todos los torques con respecto a cualquier punto debe ser
igual a cero (equilibrio rotacional)
F
i
i
Fb
1
1
Fb
2
2
t
0
i
i
0
Si las fuerzas se encuentran
todas en un plano, las
condiciones se reducen a las
tres ecuaciones siguientes:
F
i
ix
0
F
i
iy
0
t
i
i
0
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Equilibrio de Fuerzas
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Un cajón de embalaje de W=50 Kgf, se hace ascender por un plano inclinado de α=20º con una
aceleración a= 0,6 ms-2, mediante una fuerza F= 400 N inclinada  =37º con respecto al plano.
Calcular el valor del coeficiente de rozamiento fk entre las superficies
N
Las fuerzas que actúan sobre el cajón son:
F: la fuerza de ascenso del cajón.
W: el peso que está aplicado en su centro de masa.
Ff: la fuerza de fricción por deslizamiento del cajón.
N: reacción normal del plano.
Aplicando las condiciones de equilibrio tenemos:
F

α
Ff
α α
W
F
F
i
i
ix
iy
 F cos   Psen  Ff  ma Ff  F cos   Psen   ma
 N  Fsen  P cos   0 N  P cos   Fsen 
Recordando que Ff= fk.N que P=mg y que m=P/g se resuelven las ecuaciones de modo que:
P  50,0Kgf  9,8N Kgf   490N  F  400N 
fk 
F cos   Psen   ma
N
fk 
  20º   37º
F cos   Psen   P g a
P cos   Fsen
fk  0 ,553
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Dinámica de la partícula
Equilibrio de Fuerzas
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Una escalera AB de peso 40 kg descansa sobre una pared vertical haciendo un ángulo de 60º con
el suelo. Encontrar las fuerzas sobre la escalera en A y B. La escalera tiene rodillos en A de
modo que la fricción es despreciable.
A
Las fuerzas que actúan sobre la escalera son:
W: el peso que está aplicado en su centro de masa C
F1: la fuerza de fricción por deslizamiento del contacto escalera suelo.
F2: reacción normal del piso
F3:reacción normal de la pared.
Aplicando las condiciones de equilibrio tenemos:
F3
F
ix
i
C
W
F2
α
B
F
i
iy
 W  F2  0
Llamando L a la longitud de la escalera y evaluando los torques en B
de modo que los momentos de F1 y F2 sean ceros con la tercera
ecuación de equilibrio se tiene:
t
i
F1
 F1  F3  0
F3 
i
 W  21 L cos 60º   F3 Lsen60º   0
W cos 60º
 11,52 Kg
2sen60º
F1  F3  11,52Kg
F2  W  40Kg
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FIN
DINAMICA
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
[1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004)
Física Universitaria. Volumen 1. México.
[2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de
Física II. Editorial Aguilar. Madrid.
[3] ALONSO, M. y FINN, E. (1976) Física. Vol I: Mecánica. Fondo
Educativo Interamericano. U.S.A.
[4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico.
[5] FISICA GENERAL. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM.