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MT-21
Clase
Generalidades de números
reales
PPTCES018MT21-A17V1
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Aprendizajes esperados
•
•
•
•
•
Identificar los conjuntos numéricos y sus características.
Comprender los conjuntos numéricos en función de los
problemas asociados a ellos.
Reconocer las propiedades de los números reales.
Clasificar los números enteros en función de sus características.
Determinar divisores y múltiplos de números enteros.
Contenidos
•
•
•
•
Propiedades de conjuntos numéricos.
Propiedades de operaciones.
Inversos aditivos y multiplicativos, consecutividad numérica y
paridad.
Múltiplos, divisores y números primos.
Pregunta oficial PSU
1. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número
entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un
número divisor
de 12. ¿Cuál
¿Qué significa
que pde las siguientes expresiones tiene por
resultado siempre
un número racional NO entero?
sea un múltiplo
A)
p
s
B)
r
q
C)
q
p
D)
E)
positivo de 6?
¿ Qué valores
¿Cuáles son los
podrían ser r?
números racionales
¿Por qué?
NO enteros?
s
r
s
q
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de Admisión 2016.
1. Conjuntos numéricos
2. Propiedades
3. Clasificación
4. Consecutividad
1. Conjuntos numéricos
1.1 Conjuntos numéricos
Diagrama representativo
IN
IN0
Z
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z = {…, – 3,Q*
– 2,
 1,32,
, 3, …}
= – 1,...0,
2 ,  ,
Q
Q=
Q*
II
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
C
bII = {─ i, ─ 2i, 3i,…}
C = {─IR
3 ─= i,Q─Ui, Q*
176,…}
i: unidad imaginaria, cuyo valor es 1
a
R
IN  IN0  Z  Q  IR  C
 ,...
1. Conjuntos numéricos
1.2 Ejemplo
Si a y b son números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
a
Si
representa a número irracional.
a
pertenece a los enteros, entonces a y b son enteros.
b
ALTERNATIVA
CORRECTA
III) Si c  a  b   1 , entonces c es un número complejo.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas.
C
Más información en la página 12 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 2 y 3 de tu guía.
2. Propiedades
2.1 Propiedades en los reales
Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
Conmutatividad
a+b=b+a
a∙b=b∙a
Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Distributividad
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c
2. Propiedades
2.1 Propiedades en los reales
Elemento neutro aditivo
a+0=0+a=a
Elemento neutro multiplicativo
a∙1=1∙a=a
Inverso aditivo (opuesto)
El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a)
Inverso multiplicativo (recíproco)
Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es
1
a
2. Propiedades
2.2 Ejemplo
La suma entre el doble del recíproco de
1
y el neutro multiplicativo,
4
menos la diferencia entre el opuesto de (– 3) y el neutro aditivo, es
A) 13
B)
6
C) 12
D)
7
E) 13
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Más información en las páginas
12 y 13 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 9 y 12 de tu guía.
3. Clasificación
3.1 Paridad e imparidad
• Números pares:
Números de la forma 2n, con n perteneciente a ℤ.
• Números impares: Números de la forma (2n + 1), con n perteneciente a ℤ.
3.2 Múltiplos
Los múltiplos de un número entero son aquellos que se obtienen al
multiplicarlo por algún otro número entero.
3. Clasificación
3.3 Divisores
Los divisores de un número entero son aquellos números enteros que
lo dividen exactamente (división con resto cero).
3.4 Números primos
Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí
mismos (solo tienen 2 divisores).
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}
El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.
3. Clasificación
3.5 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números enteros
positivos corresponde al menor de los múltiplos positivos que tienen en
común.
3.6 Máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números enteros positivos
corresponde al mayor de los divisores positivos que tienen en común.
3. Clasificación
3.7 Ejemplo
La suma entre los divisores primos de 186, es múltiplo de
A) 37
B) 31
C) 17
D) 10
E) 6
ALTERNATIVA
CORRECTA
E
Más información desde la página
13 a la 16 de tu libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 13 y 17 de tu guía.
Completa cada una de las oraciones presentadas a continuación
con uno de los siguientes conceptos: enteros positivos,
racionales, inverso aditivo, inverso multiplicativo, múltiplo,
divisor, par e impar.
i.
12 es ________________ de 72, ya que el cociente entre 72
y 12 es 6.
ii.
El ________________ de 0,2 es 5, debido al valor que se
obtiene a partir del producto entre estos números.
iii.
Si n es un número entero, entonces (4n + 3) es siempre un
número ________________.
iv.
El conjunto de los números naturales se conoce también
como el conjunto de los ________________.
4. Consecutividad
4.1 Consecutividad numérica
• Sucesor
Todo número entero tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su sucesor será (n + 1).
• Antecesor
Todo número entero tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su antecesor será (n – 1).
Enteros consecutivos
(n – 1)
antecesor
n
(n + 1)
sucesor
4. Posición y valor absoluto
4.3 Ejemplo
La suma entre el antecesor del sucesor par de |– 4| y el antecesor del
doble de | 8 | es
A)
12
B)
21
C)
20
D)
15
E) – 11
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
Más información en la página 13 de tu
libro.
¡AHORA TÚ! (5 minutos)
Ejercicios 7 y 11 de tu guía.
Pregunta oficial PSU
Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero
positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número
divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por
resultado siempre un número racional NO entero?
A)
p
s
B)
r
q
C)
q
p
D)
E)
s
r
s
q
Ahora responde la mayor cantidad de
preguntas posibles de tu guía.
¡MANOS A LA OBRA!
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de Admisión 2016.
ALTERNATIVA
CORRECTA
B
Síntesis de la clase
Recordemos…
-
¿Qué propiedades de los números reales conoces?
-
¿Cómo se puede expresar la suma de dos números pares
consecutivos?
-
¿Cuál es la diferencia entre los número racionales e irracionales?
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Operatoria en los racionales
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
Dificultad
estimada
1
B
Números racionales
Comprensión
Media
2
C
Números racionales
Comprensión
Fácil
3
A
Números racionales
ASE
Media
4
E
Números racionales
ASE
Fácil
5
A
Números racionales
ASE
Media
6
C
Números racionales
ASE
Media
7
D
Números racionales
Comprensión
Media
8
A
Números racionales
Comprensión
Media
9
D
Números racionales
Comprensión
Media
10
C
Números racionales
Comprensión
Media
11
C
Números racionales
Comprensión
Fácil
12
E
Números racionales
Aplicación
Fácil
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
Dificultad
estimada
13
D
Números racionales
ASE
Media
14
C
Números racionales
ASE
Media
15
B
Números racionales
ASE
Media
16
D
Números racionales
Comprensión
Media
17
B
Números racionales
Aplicación
Difícil
18
D
Números racionales
Aplicación
Media
19
B
Números racionales
ASE
Media
20
B
Números racionales
ASE
Media
21
C
Números racionales
ASE
Media
22
E
Números racionales
ASE
Media
23
E
Números racionales
ASE
Difícil
24
E
Números racionales
ASE
Difícil
25
D
Números racionales
ASE
Media
Equipo Editorial
Matemática
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