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LOS NÚMEROS
RACIONALES
Prof. Isaías Correa Marín
OBJETIVOS:
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
numéricos en sus diversas formas de expresión,
tanto en las ciencias exactas como en las ciencias
sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria
naturales y enteros.
básica
en
los
números
OBJETIVOS:
• Aplicar las operaciones básicas en los números
racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones
con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
Contenidos
1. Números racionales (Q)
1.1 Propiedades de los racionales
1.2 Operatoria en los racionales
1.3 Transformaciones de números racionales
1.4 Comparación de fracciones
1.5 Secuencia numérica
2. Números irracionales (Q*)
3. Números reales ( IR )
4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.NÚMEROS RACIONALES (Q)
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde
todos los números se pueden escribir como fracción,
es decir:
Q=
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
a: numerador
y
b: denominador
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -1; 14; -2; 0,489; 2,18; -0,647
8
3 7
15
,0
NO es racional
Todo número entero es racional.
Por ejemplo:
3 es Natural
(3  IN),
3 es Cardinal (3  IN0),
3 es Entero (3 Z), y como
3=
3
1
, 3 es racional
IN  IN0  Z  Q
(3  Q).
Diagrama representativo:
1.1 Propiedades de los racionales
• Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el
denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que
el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y
de otra fraccionaria.
• Amplificar y simplificar fracciones
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
Ejemplo:
Al amplificar la fracción 2
3
2∙ 6
3∙ 6
=
12
18
por 6 resulta:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
Ejemplo:
Al simplificar la fracción 27
45
27 : 3
45 : 3
=
por 3 resulta:
9
15
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
Ejemplo:
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
1.2 Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
y
15
4
15
-
7
15
=
-3
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6+7
45
=
13
45
3. Si los denominadores son primos entre sí:
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
=
32 + 35
40
67
=
40
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
=
15 + 14
36
=
29
36
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
∙
7
8
-28
=
40
= -
28
40
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
-4
5
∙
8
7
=
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5
=
8∙5 + 3
5
=
43
5
-32
35
= -
32
35
1.3 Transformación de números racionales
• De fracción a decimal:
Se divide el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7
= 1,75
4
• De decimal finito a fracción:
El numerador corresponde al número sin comas, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
Ejemplo:
1,75 = 175 = 25∙7 = 7
100
4
25∙4
• De un número decimal periódico a fracción:
1.
El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2.
El denominador está formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2,35 = 235 – 2 = 233
99
99
0,376 = 376 – 0 = 376
999
999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se
repite indefinidamente.
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1.
El numerador de la fracción corresponde a la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma; y la
parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2.
El denominador queda formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como
cifras tenga el ante período.
Ejemplo:
3,21 = 321-32 =
90
289
90
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay
entre la coma decimal, y el período.
1.4 Comparación de fracciones
• Multiplicación cruzada:
Ejemplo:
Al comparar
13
15
9
y
(Multiplicando cruzado)
10
13 ∙ 10
y
15 ∙ 9
130
y
135
Como 130 < 135,
entonces:
13
15
<
9
10
• Igualando denominadores:
Ejemplo:
Al comparar
13
15
13∙4
15∙4
52
60
Como 52 > 35,
y
y
y
7
(Igualando denominadores)
12
7∙5
12∙5
35
60
entonces
13
15
>
7
12
• Transformar a decimal:
Ejemplo:
Al comparar
13 y 7
15
12
13
15
7
12
(Transformando a decimal)
=
0,86666666…
=
0,58333333…
Como 0,86 > 0,583 , entonces
13 > 7
15
12
• Igualando Numeradores:
Ejemplo:
Al comparar
10
3
10·13
3·13
130
39
Por lo tanto,
y
13
4
(Multiplicamos ambos numeradores
por un factor para obtener el m.c.m.
entre 10 y 13 en este caso 130)
13·10
y
4·10
130
y
40
10
3
es mayor que
13
4
1.5 Secuencia Numérica
Ejemplo:
En la secuencia:
6
5
, 16 ,
5
26 , 36 , ...
5
5
¿Qué número tendríamos que sumar a
para obtener el 7° término ?
1 ,
5
Respuesta:
De acuerdo a las características de la secuencia,
el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar
obtener el 7° término.
Es decir:
65 = 13
5
65
5
a
1
5
, para
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar
de la siguiente manera:
1 +1,
5
1 +3,
5
1°
2°
1 +5,
5
3°
1 + 7 , ... , 1 + 13…
5
5
4°
... ,
7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es
1 , más un número impar, lo que se expresa como:
5
1 + (2n - 1)
5
(Con n = posición del término)
2. Números Irracionales (Q*)
Son aquellos que NO se pueden escribir como
una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
.....  3,  2,  ,
Q
U
Q* =
Q*=
,....
3. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
3, -89,
-2; 2,18;  2; 23,491002
7
Diagrama representativo:
IN  IN0  Z  Q  IR
Q*  IR
4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
U
IR
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
 4,
 25 ,
6
 2,
4
 16
5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesiano
entre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IR x II = C
IN  IN0  Z  Q  IR  C
II  C
Sinteticemos en el siguiente
mapa conceptual
lo que hemos aprendido
Conjunto Q
Propiedades
y comparación
Operatoria
Transformaciones
Simplificación
Adición
Decimal finito a
fracción
Amplificación
Sustracción
Decimal periódico a
fracción
Fracciones
equivalentes
Multiplicación
Decimal semiperiódico
a
fracción
División