Download Diapositiva 1 - Matemáticas en el IES Valle del Oja

TEMA Nº 1
Conjuntos numéricos
Aprendizajes esperados:
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
numéricos en sus diversas formas de expresión,
tanto en las ciencias exactas como en las ciencias
sociales y en el ámbito cotidiano.
• Percibir la matemática como una disciplina en
evolución y desarrollo permanente.
• Aplicar la operatoria básica en los números
naturales y enteros.
• Aplicar las operaciones básicas y propiedades de
los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones
con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
Conjuntos Numéricos
1. Números Naturales
1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
3. Números Enteros
3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones
4.Números racionales (Q)
4.1 Propiedades de los racionales
4.2 Operatoria en los racionales
4.3 Transformaciones de números racionales
4.4 Comparación de fracciones
4.5 Secuencia numérica
5. Números irracionales (Q*)
6. Números reales ( IR )
7. Números imaginarios ( II )
8. Números complejos ( C )
1. Números Naturales (N)
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
1.1 Consecutividad numérica
• Sucesor
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene
sumando 1 al número, es decir:
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.
• Antecesor:
Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un
antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es
decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1
Naturales Consecutivos
n-1
antecesor
n
n+1
sucesor
1.2 Paridad e imparidad
• Números Pares
{2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par:
Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2
Antecesor par
2n
2n + 2
Sucesor par
• Números Impares
{1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su sucesor es 2n+1.
Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n-1, entonces
su antecesor es 2n-3.
2n - 3
2n -1
Antecesor impar
2n + 1
Sucesor impar
1.3 Números Primos
Son aquellos números que son sólo divisibles
por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 no es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores
• Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene
al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.
• Divisores
Se llama “divisor” de un número, aquel valor que
lo divide exactamente.
(Está contenido en él, una cantidad exacta de
veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen
exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir
24 por 5 resulta 4,8.
• Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más
números, corresponde al menor de los múltiplos
que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es
el menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través
del siguiente método:
Se divide por números primos hasta que en cada
columna quede 1, y el producto de ellos
corresponde al m.c.m.
3 6 15
3
1 2
5
2
1
5
5
1
m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
• Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más
números, corresponde al mayor número que los
divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el
mayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a
través del siguiente método:
Se divide por números primos que sean divisores
de cada número, hasta que ya no se pueda dividir
a todos en forma simultánea.
36
18
24
2
18
9
12
3
6
3
4
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6
1.6 Operaciones en IN
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Esta información se encuentra en tu libro en la
página 18.
Propiedades de la Adición:
a) Clausura: La suma de dos números naturales
es siempre un natural.
b)Conmutativa: Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
a+b=b+a
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
a + (b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9
13 + (14) =(18) + 9
27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación:
a)Clausura:
El producto de dos números naturales
es siempre un natural.
b)Conmutativa:
Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
a∙b = b∙a
Por ejemplo:
34∙5 = 5∙34
170 = 170
c) Asociativa:
Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
a (b∙c) = (a∙b) c
Por ejemplo:
4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3
4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
60 = 60
Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.
2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
2.1 Operaciones en IN0
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades
que en los naturales.
La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón
posee “elemento neutro aditivo”.
Si a es un número cardinal, entonces:
a+0=0+a=a
3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.
Se puede representar como:
Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Z-
Z+
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco
unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5
Luego,
5 unidades
|-20| = 20
0
5 unidades
|34| = 34
5
|-12| = 12…
3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
en los enteros, debemos considerar algunas reglas
con respecto a los signos:
Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:
a)
a + -b = a – b
Ejemplo:
5 + - 9 = 5 – 9 = -4
b)
a – (-b) = a + b
Ejemplo:
12 – (-8) = 12 + 8 = 20
c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
-5 + - 9 = -14
d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la
diferencia entre sus valores absolutos, conservando
el signo del mayor.
Ejemplo:
-10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
e) Si a y b son dos números enteros de igual
signo (positivos o negativos), entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
Ejemplo:
-42 ∙ -8 = + 336
28 : 7 = + 4
f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
37 ∙ -5 = -185
125 : -5 = -25
3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad
Conmutativa y Asociativa.
Ejemplo:
(-3) + 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma en los números enteros tiene “elemento
neutro”: el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8
3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los enteros,
hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.
Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
¿Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran
paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)
4° Adiciones y sustracciones
Resolver :
-5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 5 – 3
=0–3
=–3
4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que
se pueden escribir como fracción, es decir:
Q=
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
a: numerador
y
b: denominador
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -1; 14; -2; 0,489; 2,18; -0,647
8
3 7
15,
0
NO es racional
Todo número entero es racional.
Por ejemplo:
3 es Natural
(3  IN),
3 es Cardinal (3  IN0), y como
3=
3
1
, 3 es racional
IN  IN0  Z  Q
(3  Q).
Diagrama representativo:
4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)
• Amplificar y simplificar fracciones
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como denominador por un mismo
número.
Ejemplo:
Al amplificar la fracción 2
3
2∙ 6
3∙ 6
=
12
18
por 6 resulta:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como denominador por un mismo
número.
Ejemplo:
Al simplificar la fracción 27
45
27 : 3
45 : 3
=
por 3 resulta:
9
15
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
Ejemplo:
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
y
15
4
15
-
7
15
=
-3
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6+7
45
=
13
45
3. Si los denominadores son primos entre sí:
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
=
32 + 35
40
67
=
40
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
=
15 + 14
36
=
29
36
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
∙
7
8
-28
=
40
= -
28
40
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
-4
5
∙
8
7
=
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5
=
8∙5 + 3
5
=
43
5
-32
35
= -
32
35
4.3 Transformación de números racionales
(pág. 24 del libro)
• De fracción a decimal:
Se divide numerador por denominador.
Ejemplo:
7
= 1,75
4
• De decimal finito a fracción:
El numerador corresponde al número sin coma, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
Ejemplo:
1,75 = 175 = 25∙7 = 7
100
4
25∙4
• De un número decimal periódico a fracción:
1.
El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2.
El denominador está formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233
99
99
Ejemplo 2:
0,376 = 376 – 0 = 376
999
999
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1.
El numerador de la fracción corresponde a la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma; y la
parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2.
El denominador queda formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros
(0), como cifras tenga el ante período.
Ejemplo:
3,21 = 321-32 =
90
289
90
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay
entre la coma, y el período.
4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)
• Multiplicación cruzada:
Ejemplo:
Al comparar
13
15
9
y
(Multiplicando cruzado)
10
13 ∙ 10
y
15 ∙ 9
130
y
135
Como 130 < 135,
entonces:
13
15
<
9
10
• Igualar denominadores:
Ejemplo:
Al comparar
13
15
13∙4
15∙4
52
60
Como 52 > 35,
y
y
y
7
(Igualando denominadores)
12
7∙5
12∙5
35
60
entonces
13
15
>
7
12
• Transformar a decimal:
Ejemplo:
Al comparar
13 y 7
15
12
13
15
7
12
(Transformando a decimal)
=
0,86666666…
=
0,58333333…
Como 0,86 > 0,583 , entonces
13 > 7
15
12
4.5 Secuencia Numérica
Ejemplo:
En la secuencia:
6
5
, 16 ,
5
26 , 36 , ...
5
5
¿Qué número tendríamos que sumar a
para obtener el 7° término ?
1 ,
5
Respuesta:
De acuerdo a las características de la secuencia,
el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar
obtener el 7° término.
Es decir:
65 = 13
5
65
5
a
1
5
, para
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar
de la siguiente manera:
1 +1,
5
1 +3,
5
1°
2°
1 +5,
5
3°
1 + 7 , ... , 1 + 13…
5
5
4°
... ,
7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es
1 , más un número impar, lo que se expresa como:
5
1 + (2n - 1)
5
(Con n = posición del término)
5. Números Irracionales (Q*)
Son aquellos que NO se pueden escribir como
una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
.....  3,  2,  ,
Q
U
Q* =
Q*=
,....
6. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
3, -89,
-2; 2,18;  2; 23,491002
7
Diagrama representativo:
7. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
U
IR
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
 4,
 25 ,
6
 2,
4
 16
8. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
reales y los números imaginarios.
Ejemplos: 5,
-68,
-1;
8
Diagrama representativo:
6
 2, -0,647
Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.