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U.D. 3 * 3º ESO E.Ap.
POTENCIAS Y RADICALES
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
1
U.D. 3.7 * 3º ESO E.Ap.
RADICALES
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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NÚMEROS IRRACIONALES
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Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números
IRRACIONALES
No se pueden escribir en forma de fracción.
Junto con los números racionales forman el conjunto de los números
REALES ( R )
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Ejemplo: 21,303003000…
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Los más importantes y característicos son:
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El número √2 = 1,4142… Diagonal de un cuadrado de lado la unidad.
El número π = 3,1415 … Cociente entre la longitud de la circunferencia y
el diámetro.
El número e = 2,7182… Base de los logaritmos neperianos, de enorme
importancia en el Bachillerato y estudios superiores.
El número Ø = 1,6182… Llamado número áureo, descubierto por los
griegos y romanos, y redescubierto en el Renacimiento.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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Raíz de un número
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Se denomina RAÍZ CUADRADA de un número real a otro número real
que elevado al cuadrado resulte el número dado.
• √a = b ↔ a = b2
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En general el número real b es raíz n-ésima de otro número real a si y
sólo si la potencia n-ésima de b es a.
• n
• √a = b ↔ a = bn
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EXPRESIÓN RADICAL
Índice (n)
n
√a =b
Raíz (b)
Signo (√ )
Radicando (a)
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CASUÍSTICA
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CASO 1
Índice par y radicando positivo
√ 4 = 2 y -2, pues 22 = 4
Pero también: √ 4 = – 2, pues (– 2)2 = 4
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CASO 2
Índice par y radicando negativo
4
4
√ -16 = No hay, pues no existe “b” tal que b = - 16
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CASO 3
Índice impar
3
√ 8 = 2 , pues 23 = 8
3
√ - 8 = - 2 , pues (- 2)3 = - 8
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Ejercicios
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En los siguientes número indica cuáles son racionales, calculando
su valor, y cuáles irracionales.
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√ 49 = 7  Racional
√ 7  Irracional (Pues 7 no es el cuadrado de un número racional)
0,121314…  Irracional, pues no es exacto ni existe el periodo.
3
√ – 27 = – 3  Racional
√8 = √(4.2) = √4. √2 = 2.√2  Irracional, pues es el doble de un
irracional, √2.
4
√ 81 = 3  Racional, pues 34 = 81
3
√ (– 1) = – 1 , pues (– 1)3 = – 1  Racional
√(9/4) = √9 / √4 = 3 / 2  Racional
√0,36 = 0,6  Racional
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RAÍCES Y POTENCIAS
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EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL
1/n
n
1/n n
n/n
1
n
Sea b = a
 b = (a
) =a
=a =a  b=√a
•
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1/n
1/n n
Y como b = a
 a
= √a
•
•
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Si n no es un número natural , sino racional, generalizando tenemos:
m/n n
a
= √ am
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Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia,
donde el exponente va a ser una fracción tal que el denominador, n, es
el índice del radical, y el numerador el exponente de la base.
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Ejemplos: √2 = 21/2 , 3√5 = 51/3 , 3√49 = 72/3 , 5√64 = 26/5
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EJEMPLO 1
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Simplifica:
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3 6 6/3 2
√2 =2 =2 =4
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EJEMPLO 2
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Simplifica:
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12 4 4/12 1/3 3
√2 =2
=2 = √2
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EJEMPLO 3
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Calcula, utilizando las potencias:
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6
6 3
3/6
½
√ 1331 = √ 11 = 11
= 11 = √ 11
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EJEMPLO 4
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Calcula, utilizando las potencias:
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5
5 10 10/5
2
√ 1024 = √ 2 = 2
=2 = 4
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EJEMPLO 5
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Calcula:
•
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3
1/3
3 1/3
3/3
1
√125 = 125 = (5 )
= 5
=5 =5
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EJEMPLO 6
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Calcula, utilizando las potencias:
•
•
5
3
3/5
5 3/5
15/5
3
√243 = 243 = (3 )
= 3
= 3 = 27
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