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vectores
Conceptos generales
• Magnitudes vectoriales
• Ejes de coordenadas
• Dibujo de un vector
• Modulo dirección y
sentido
• Componentes de un
vector
• Cosenos directores
• Vectores unitarios
• Expresiones de un vector
Términos que se emplean y significado
matemático
• Ortogonal
• Independencia lineal
• Paralelo
• Perpendicular
• Perpendicular
• No se pueden obtener
unos de otros
• Forma 0 º
• Forma 90º
subíndices
•
•
•
•
•
•
•
•
x = parte x de algo
y = parte y de algo
z = parte z de algo
0 = inicial lo del principio
f = final, cuando acaba
i = inicial
A = situación inicial o de partida
B = situación final
símbolos
• Δ incremento (es una diferencia)
• ∑ suma ( se usa un subíndice para decir
cuantos elementos tiene)
• θ ángulo
• α ángulo con el eje x
• β ángulo con el eje y
• γ ángulo con el eje z
Términos que se emplean y significado
vectorial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Paralelo
Perpendicular
Proyección
Desplazamiento
Distancia
Angulo
Triangulo
paralelogramo
Diagonal mayor del Paralelogramo
Diagonal menor del paralelogramo
Área del paralelogramo
Superficie del triangulo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Producto vectorial
Producto escalar
Producto escalar
Diferencia de vectores
Modulo de la diferencia
Producto escalar
Diferencia de vectores
Suma de vectores
Suma de vectores
Diferencia de vectores
Modulo del producto vectorial
Modulo del producto vectorial/2
Magnitudes vectoriales
•
•
•
•
•
•
•
•
Vector de posición r
Velocidad v
Aceleración a
Campo gravitatorio g
Campo eléctrico E
Campo magnético B
Superficie S
Vector propagación
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
FUERZAS
Peso
Normal
Tensión
Fuerza de rozamiento
Fuerza elástica
Fuerza gravitatoria
Fuerza eléctrica
Fuerza magnética
Fuerza nuclear
Álgebra y calculo vectorial
•
•
•
•
•
•
•
Álgebra vectorial
Suma
Descomposición
Diferencia
Producto por un escalar
Producto escalar
Producto vectorial
• Calculo vectorial
• Derivación
• Integración vectorial
Escritura de un vector
• Mediante letras mayúsculas o minúsculas.
• En negrita
• Con una flecha encima
definiciones
coordenadas
Números que se dan para localizar un
punto en el que se encuentra un
cuerpo
Coordenadas cartesianas x, y, z
Coordenadas polares: r y φ
Ejes de coordenadas cartesianas
Son los ejes x y z
Z
X
P
Y
Símbolos de los ángulos
• Entre segmentos θ
• Con el eje x : φ
• Con los ejes x, y, z α, β, γ
catetoopuesto
sen 
hipotenusa
catetocontiguo
cos  
hipotenusa
Teorema de Pitágoras y del
coseno (a y b son módulos de
vectores)
R  a b
2
2
R  a  b  2ab cos 
2
2
Formula elemental de
trigonometría
sen
2θ
+
2
cos θ
=1
modulo
• Valor absoluto del vector
• Coincide con la distancia del segmento

A
2
2
Ax  Ay  Az
2
Vector unitario
• Es el que tiene de modulo la unidad
• El símbolo usado para designarlo es –u- con
un subíndice que indica su dirección
• u r dirección radial
• u x dirección x también i
• u y dirección y también j
• u z dirección z también k
Vectores unitarios ortogonales
•
•
•
•
Forman 90º entre sí
i
j
k

 A
u 
A
Cosenos directores
• Cosenos de los
ángulos que el vector
forma con el eje x y z
Ax
cos   
A
Ay
cos   
A
Az
cos   
A
dirección
• Línea que contiene al vector
• Se expresa por su vector unitario
Vector de posición
• Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0 y su
extremo el punto considerado
• Se representa con la letra r
Vector desplazamiento
• Es el vector cuyo origen es el punto de salida
de un móvil y cuyo extremo es el punto de
llegada
• Se representa como Δ r
Expresiones de un vector
•
•
•
•
Mediante tres números entre paréntesis
Mediante el modulo y su vector unitario
Mediante tres vectores unitarios ortogonales
Mediante su modulo y los cosenos directores

A  ( Ax , Ay , Az )
 
A ,u




A  Axi  Ay j  Az k

A , cos  , cos  , cos 
Suma de vectores
• Es el vector obtenido trasladando los vectores
y colocando e extremo de uno en el origen del
otro y uniendo origen con extremo
• También se obtiene por la regla del
paralelogramo
¿Cómo se hace la suma?
• Teorema del coseno
• Sumando las componentes
 
A B 

A

B


 
A B 
A  B  2 AB cos

Axi

Bxi


Axi  Bxi
2
2

 Ay j

 By j


Ay j  B y j

 Az k

 Bz k


Az k  Bz k
¿Qué significado tiene la suma?
• Es la diagonal mayor del paralelogramo
formado por los dos vectores
Componentes de un vector
• Son las proyecciones sobre los ejes x y z
Descomposición de un vector
• Es la operación contraria a la suma
• Teniendo el vector obtener las componentes
¿Como se hace la descomposición de un
vector?
• Mediante las formulas del seno y el coseno
Razón de la descomposición de
vectores
• Si tenemos una magnitud vectorial, podemos
hacer las operaciones en las que interviene
mediante el vector o mediante las
componentes.
• Descomponemos el vector
• Operamos escalarmente las componentes que
es mas fácil
• Volvemos a componer el vector
diferencia
• Es otro vector obtenido por la regla del
triangulo
¿Cómo se hace la diferencia?
• Mediante la regla del coseno
• Operando las componentes
¿Qué significa la diferencia?
• Es la distancia entre los extremos de los
vectores
Multiplicación por un escalar k
• Es el producto del vector por un numero
¿Cómo se hace la multiplicación por un
escalar?
• Se multiplica cada una de su componentes
¿Qué significado tiene la multiplicación por
un escalar?
• Es como si agrandáramos o disminuyéramos el
vector k veces
Producto escalar
• Es un escalar que se obtiene multiplicando
dos vectores.
¿Cómo se hace el producto escalar
• Multiplicando las componentes
• Se organiza ordenando los vectores uno
debajo del otro y coincidiendo las
componentes.
• Mediante la ecuación A B =A B cosθ

A


B

 
A B 

Axi

Bxi

Ay j

By j

Az k

Bz k
Ax Bx
Ay B y
Az Bz
Aplicaciones del producto escalar
• Conocer el ángulo entre dos vectores
• Saber si son perpendiculares
Producto vectorial
• Es el producto de dos vectores obteniéndose
un vector que tiene por módulo A B sen θ y
dirección y sentido perpendicular al plano
formado por los vectores
¿Cómo se hace el producto vectorial?
•
•
•
•
Su modulo se obtiene mediante la ecuación
A B = A B sen ө
Su dirección mediante la regla del tornillo
También se llama regla del la mano derecha,
del sacacorchos.
• Mediante un determinante
  
i
j k
  

A  B   Ax Ay Az 
B B B 
x
y
z


Aplicaciones del producto vectorial
• Hallar el ángulo entre los vectores
• Hallar el área del triángulo formado por ellos
• Hallar un vector perpendicular al plano
formado por ellos
Derivada de un vector
• Se deriva cada una de sus componentes
Derivadas elementales que se podrán
tener en las pruebas
• De una constante = 0
• De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por
el exponente
• De una raíz: se convierte en potencia
• De un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del
segundo por el primero
• De un cociente: derivada del numerador por el denominador- derivada
del denominador por el numerador.
• Del seno: el coseno
• Del coseno: - el seno
Integración vectorial
• Se integra cada una de sus componentes
Integrales elementales que se podrán
tener en las pruebas
• De d x es x + C
• Las constantes salen fuera de la integral
• De una potencia se suma 1 al exponente y se divide por
el numero obtenido.
• De una suma o diferencia: suma o diferencia de
integrales
• Del seno = - coseno
• Del coseno = seno
Notación
•
•
•
•
•
•
Escribir espacio inicial
Escribir posición inicial
Escribir tiempo final
Escribir velocidad en un tiempo t 1
Escribir aceleración en un tiempo t2
Escribir campo eléctrico E en un punto
Desarrollar
•
•
•
•
•
∆ x entre dos puntos
∆ t entre el comienzo y el final
∆ t entre dos tiempos cualquiera
∆ e entre la salida y la llegada
∆v entre el comienzo y el final
i 4
a
i 1
i
j 2
i 2
 a b
i 1
i
j 1
j
Usando el teorema de pitágoras, el seno
y coseno, y un dibujo demostrar
•

A

2
2
A  Ax  Ay
Ax 2  Ay 2  Az 2
sen 2  cos 2   1
Usando el producto por un escalar
y los vectores unitarios
ortogonales i, j, k y las razones
 trigonometricas, demostrar.
 A
u 
A




A  Axi  Ay j  Az k


Ax  A cos  Ay  A cos 

Az  A cos 
problemas
Los problemas que a continuación
aparecen no son para practicar sino
problemas tipo donde se concreta la
teoría y que hay que aprender.
Dado el vector A=(3,4,0)
•
•
•
•
•
•
•
Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales.
Hallar su módulo
Hallar su vector unitario
Expresarlo en función de su módulo y vector unitario
Indicar sus componentes
Hallar los cosenos directores
Expresarlo en función de su módulo y cosenos directores
OPERACIONES CON VECTORES
SUMA, RESTA, MULTIPLICACION,
DESCOMPOSICION, DERIVADA
INTEGRAL.
DESCOMPOSICIÓN: Dado un vector A en
el plano de modulo 10 formando 30º
con el eje x
•
•
•
•
•
•
Hallar la proyección sobre el eje x
Hallar la proyección sobre el eje y
Indicar los cosenos directores
Indicar como se escribe la proyección sobre el eje x
Indicar como se escribe la proyección sobre el eje y
Indicar qué relación existe entre ambas proyecciones.
Dados los vectores (2,12,3) y (3,1,2)
•
•
•
•
•
Hallar su suma
Hallar su diferencia
Hallar el producto escalar
Hallar el producto del primero por el escalar 2
Hallar el producto vectorial
Dados dos vectores A y B de módulos 6
y 8 formando 60 º
•
•
•
•
Hallar su suma
Hallar su diferencia
Hallar su producto escalar
Hallar el módulo de su producto vectorial
Dado el vector r = (t 3 , t 2, t)
• Expresarlo en función de los vectores unitarios
ortogonales
• Hallar su derivada
• Hallar su integral en función de t
aplicaciones
• Demostrar que los vectores (senθ, cos θ) y (–
cos θ, sen θ ) son ortogonales
• Realizar todos los productos escalares y
vectoriales posibles de i, j, k
• Hallar la derivada del vector (sen θ cos θ).
• Hallar el ángulo que forman los vectores
(3,4,0) (4,3,0)
• Hallar a para que los vectores siguientes
sean perpendiculares (2,3,1) y (1,-a,3)
• Demostrar que los vectores (3,-2,1) (2,1,4) (1,-3,5) forman un triángulo
rectángulo.
•
•
Desde un acantilado se dispara un
cañón que forma un ángulo de 60º
con la horizontal. La bala sale a 200
m/s. Descomponer la velocidad de la
bala.
Sobre un péndulo actúan dos fuerzas,
el peso hacia el centro de la tierra y la
tensión en la dirección de la cuerda y
hacia el techo. Elegir un sistema de
referencia para descomponer las
fuerzas que actúan sobre un péndulo
y descomponerlas
• Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre
(1,-1,2).
• Hallar los ángulos del vector (4,-1,3)
con los ejes cartesianos.
• Hallar el ángulo que deben formar dos
vector de módulos 3 y 4 para que su
suma sea 5
• Hallar un vector unitario perpendicular
al plano formado por los
vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el área del
triangulo que forman
•
•
•
El módulo de un vector es
y14
forma 90º con
el vector . (2,12,3). Hallar el módulo de su
suma
Los vectores de posición de dos puntos son 2,
1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión vectorial de los
tres lados del triángulo que forman al unir sus
extremos
Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1 el
módulo del vector de posición de su extremo es
9. Los cosenos directores son 2/3 1/3 2/3. Hallar
el vector desplazamiento
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de
movimiento: x = 10t y = 5t2
z=4
• A) Hallar el vector velocidad y
aceleración en t = 1 s
• B) Hallar la dirección de la
velocidad(vector unitario) y decir si el
movimiento es rectilinbeo o curvilíneo.
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento:
x = 2sent y =2 cos t z = 0
• A) Hallar el vector velocidad y aceleración en
t=s
• B) Hallar la dirección de la velocidad(vector
unitario) y decir si el movimiento es
rectilíneo o curvilíneo.
• C) Demostrar que el vector de posición y la
aceleración tienen la misma dirección
• D) Demostrar que la velocidad y la
aceleración son perpendiculares.
Una fuerza tiene la expresión
F = 2x i. Hallar el trabajo
desde x = 1 a x = 5
2
W= 1 F dr
Una fuerza tiene la expresión
F = 2 i + 3xj + z k
Hallal el trabajo desde el
punto (0,0,0) al (1,1,1)
Dada la fuerza F = senx i + cos x j.
Hallar el trabajo desde el punto
3,4 al 4,3