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Clara Helena Sánchez Botero
Departamento de Matemáticas
Problema
En una cárcel había tres presos, un vidente, un tuerto y un ciego. El
carcelero les hizo la siguiente propuesta: tengo tres sombreros
blancos y dos sombreros rojos. Pondré encima de sus cabezas un
sombrero, de tal manera que ustedes podrán ver el sombrero de los
demás pero no podrán ver su propio sombrero. Quien diga de qué
color es su sombrero y lo justifique plenamente podrá salir libre. El
que se equivoque será enviado a la celda de castigo. El carcelero
preguntó al vidente de qué color era su sombrero, el vidente lo
pensó un rato y dijo “no se, no me atrevo a responder”. Preguntó
entonces el carcelero al tuerto, y este respondió “no se, tengo
algunas sospechas, pero no puedo justificar plenamente mi
intuición”. El carcelero no le preguntó al ciego por obvias razones.
Sin embargo este le dijo mi sombrero es ____ y le dio las
explicaciones del caso. El ciego salió libre.
Se pregunta, ¿De qué color era el sombrero del ciego?, ¿Cómo lo
supo?
Razonar
Análisis de la situación
¿Será blanco?
Blanco¿se
¿Será
rojo?
Datos
1. Hay tres sombreros
blancos y dos rojos
2. Hay tres personajes: el
vidente que llamaremos V, el
tuerto que llamaremos T y el
ciego que llamaremos C.
3. El Vidente no sabe.
4. El Tuerto no sabe.
RAZONAR
Posibilidades de tener sombrero rojo
o sombrero blanco
El cuadro nos muestra que para el
ciego hay 4 posibilidades de tener
sombrero blanco y una posibilidad
de tener sombrero rojo. Esto le da
al sombrero blanco la probabilidad
de 4/7 y al rojo de 1/7. Esto es, la
probabilidad de tener sombrero
blanco es mucho mayor que la de
tener sombrero rojo; pero en todo
caso esa probabilidad es distinta
de cero. Si con este raciocinio me
la juego con el blanco puedo
terminar en la celda de castigo.
V
T
C
B
B
B
B
R
R
Esta no es
pues V lo
sabría
R
B
R
Esta no es
pues T lo
sabría
R
R
B
B
B
R
B
R
B
R
B
B
Solución y argumentación
El ciego respondió que su sombrero es blanco. Su
argumentación fue la siguiente: si mi sombrero
fuera rojo el tuerto habría dicho que su sombrero
es blanco, pues el estaría viendo un sobrero rojo y
uno blanco y si el de él fuera rojo habría hablado
el vidente, pero como el vidente no sabía de que
color era su sombrero entonces él tampoco dijo
de que color era su sombrero. Así que como hay
sólo dos posibilidades o tengo sombrero rojo o
tengo sombrero blanco y no puede ser rojo,
entonces mi sombrero es blanco.
Lógica
La lógica es una disciplina que se estudia desde la
Grecia antigua; su objetivo es estudiar las leyes que
gobiernan los argumentos válidos: aquellos para los
cuales de premisas o hipótesis verdaderas se puede
sacar una conclusión necesariamente verdadera. El
primer trabajo sistemático sobre lógica se debe a
Aristóteles, siglo III a.c, quien realizó la primera teoría
al respecto llamada teoría del silogismo. En el siglo XIX
los matemáticos algebrizaron la lógica y apareció la
hoy llamada lógica matemática.
Con el problema dado y sus solución daré una idea de
lo que la lógica aporta al conocimiento y cómo se usa.
Lógica
El razonamiento, argumento, del ciego está basado
en lo que en lógica se conoce como razonamiento
por reducción al absurdo (RAA). Se niega la tesis y
al razonar se llega a una contradicción: afirmar y
negar algo al mismo tiempo. EL RAA está basado en
que la lógica clásica acepta sólo dos valores de
verdad Verdadero o Falso, lo que a su vez se conoce
como Principio de tercero excluido. Además se
acepta que no puede una proposición ser verdadera
y falsa al mismo tiempo; este principio se llama
Principio de No Contradicción.
Análisis lógico
Observen cómo se manejan esos principios junto con otros
que se evidenciarán. Cuando el ciego sabe que hay sólo dos
tipos de sombreros rojo o blanco puede reducir esa
afirmación a blanco o no blanco (tercero excluido). Ahora
bien, si puede probar que no es rojo le queda la alternativa
única de ser blanco. Esta es una Regla de inferencia
conocida como el Modus Ponendo Tollens (MPT), que dice:
si tengo una alternativa P o Q y no se me da P pues me
queda Q, razonamiento de la vida cotidiana. La lógica
estudia este tipo de reglas y las formaliza de tal manera que
un argumento pueda ser revisado rigurosamente con ellas
para que se pueda garantizar que de premisas (hipótesis)
verdaderas se pueda llegar a una conclusión verdadera. Este
es el caso del argumento del ciego.
El ciego niega la tesis: mi sombreo es blanco. Esto es mi
sombrero es rojo. Pero si fuera rojo el tuerto hubiera sabido de
que color era su propio sombrero y habría salido libre. Pero no
salió. He ahí la contradicción.
Sin entrar en detalles este tipo de razonamientos son los
que están detrás de los programas de computador; por eso todo
ingeniero de sistemas debe saber y manejar adecuadamente la
lógica matemática.
Cualquier ser humano maneja la lógica de manera
intuitiva; esta es indispensable para apreciar con herramientas
racionales la calidad de un argumento sea propio o de un
interlocutor. Debemos usar la lógica para convencer a un
adversario y no usar otro tipo de medios no racionales!. Así no
sepamos cuáles son las reglas de inferencia que garanticen
nuestro argumento. Pero siempre es mejor saberlas!
TOPOLOGÍA
En las regiones más avanzadas de las matemáticas
modernas, algunas de las mejores mentes de hoy están
trabajando en mundos extraños de formas fascinantes e
improbables. Uno de estos campos se conoce como
topología. Este es un tipo especial de geometría referida
a las posibilidades de que las superficies puedan hacerse
retorcer, doblar, estirar o bien deformar, de una forma
determinada en otra. Algunas veces los topólogos
conciben formas que parecen imposibles, por ejemplo
una superficie con una sola cara.
Matemáticas Colección Científica de Life
Matematización de una hoja de papel
REVERSO
2 caras – 1 borde
ANVERSO
Después de cortar un rectángulo en dos partes…
¿se preservan caras y bordes?
ANTES
2 Caras – 1 Borde
DESPUES
2 caras – 1 borde c/u
Y si partimos el rectángulo de manera
diferente
ANTES
2 Caras – 1 Borde
DESPUES
2 caras – 1 borde c/u
¿Como crear un cilindro?
¿Cómo construir un cilindro a partir de un
rectángulo?
2 Caras
2 Bordes
Para
poder
hacer
la
transformación basta identificar
dos de los bordes del rectángulo
como lo ilustra la figura.
2 Caras
2 Bordes
Construcción de un cilindro a partir de un
rectángulo
Ahora cortemos el cilindro por la
mitad, ¿se mantiene la forma?
2 Caras
2 Bordes
2 Caras
2 Bordes
2 Caras
2 Bordes
Cortemos el cilindro por la tercera
parte
2 Caras
2 Bordes
2 Caras
2 Bordes
La banda de Möbius
¿Cómo construir una cinta de MÖBIUS a partir de un
rectángulo?
Basta identificar dos de los bordes del rectángulo como lo ilustra la figura.
2 Caras
2 Bordes
2 Caras
2 Bordes
¿Se preservarán caras y bordes?
NO
2 Caras
2 Bordes
1 Cara
1 Borde
¿Y si cortamos la Banda de Möbius
por la mitad?
1 Cara
1 Borde
En este caso se preservan
las caras y los bordes al igual
que en los ejemplos anteriores
1 Cara
1 Borde
Cortemos ahora de manera
diferente por la tercera parte
2 Caras
2
Bordes
1 Cara
1 Borde
1 Cara
1 Borde
¿Curioso no?
MÁS TRANSFORMACIONES
DE CILINDRO A TORO
2 Caras
2 Bordes
¿Caras?
¿Bordes?
PROCEDIMIENTO
Tomemos un Cilindro, el cual posee dos bordes
en forma de circunferencia, lo único que
debemos hacer es juntar las circunferencias
2 Caras
2 Bordes
¿Cómo es la Transformación?
Se
induce
la
transformación, con
tan solo unir los
bordes del cilindro.
De Cilindro a Botella de Klein
Esta transformación solo depende de la
transformación inducida sobre los
extremos
Transformación sobre circunferencias
jhhhjhj
Videos\Mobius.wmv
¿Cuáles son vecindades de p?
Geometría de la plastilina
Encuentre el
género al cual
pertenece
cada figura
¿Qué es una vecindad?
¿En qué se parecen una Dona y
un Pocillo de una sola Oreja?
Videos\Dona.wmv
Un modo de transformar anillos
enlazados en anillos sueltos SIN CORTAR
ninguno de ellos
TRANSFORMACIÓN
MARAVILLOSA
Es posible
transformar los tres
anillos enlazados de
la izquierda de la
figura de manera
que uno de ellos se
libere de los otros.
Videos\Not knot.wmv
¿SE DIVIRTIERON?
¿SE DEJARON TENTAR POR
LAS MATEMÁTICAS?