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TRIGONOMETRÍA (Primera parte) Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. 2 INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 3 • NOCIONES PREVIAS • SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO. • R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA • R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA. 4 NOCIONES PREVIAS 1. a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza b.TEOREMA DE TALES 2. TEOREMA DE PITÁGORAS 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H s h S H h S. árbol pequeño (s) A Sombra del árbol grande (S) H B h A’ B’ s O S OB' BB' k (razón de proporcionalidad) OA ' AA' Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 6 1.b. TEOREMA DE TALES r Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten E’ D’ C’ B’ E’’ D’’ C’’ A’ B’’ O A O A B C D E r’ A’ B’ B OA OA ' AB A ' B' o tambien OB OB' OB OB' TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. 7 Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal (En la calculadora MODE DEG) (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo de 1 giro Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s 2 /2 RADIANES 8 Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 210º 50g S. centesimal Radianes S.sexagesimal S. centesimal Radianes 60g 100g 2π/3 5π/6 140º 240º 350g 90g 7π/8 25g 3 9 Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º 66g 66m 66s 50g 133g 33m 33s 60g 233g 33m 33s 100g 166g 66m 66s 3 4 3 10 7 6 2 5 6 S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14” S. centesimal 155g 55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m 66s 25g 190g 98m 59s Radianes 14 18 7 4 7 8 9 20 4 3 8 3 S. centesimal Radianes 2 3 10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO B Sea ABC un triángulo rectángulo en A. a Se definen seis razones trigonométricas c Cateto adyacente o contiguo a C A C b sen Ĉ cateto opuesto c hipotenusa a sec Ĉ cos Ĉ cateto adyacente b hipotenusa a cos ec Ĉ tg Ĉ cateto opuesto c cateto adyacente b hipotenusa a cateto adyacente b cot g Ĉ sec Ĉ 1 cos Ĉ hipotenusa a cateto opuesto c cos ec Ĉ cateto adyacente b cateto opuesto c cot g Ĉ 1 sen Ĉ 1 tg Ĉ 11 VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa. B a C A 0<c<a Es decir: 0<b<a En consecuencia: C b 0 sen Ĉ c 1 a sec Ĉ 0 cos Ĉ b 1 a cos ec Ĉ c 0 tg Ĉ b a 1 b a 1 c 0 cot g Ĉ b c 12 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º 1. R.T. DE 30º y 60º 2. R.T. DE 45º R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) C Sea ABC un triángulo equilátero Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º l l Trazamos una altura CH A En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide B H l l/2 C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 2 l x 2 l2 2 x 2 l2 2 l 4 x2 x2 4l l 4 2 2 3l2 x 4 x l 60º 2 3l 4 30º x l 3 2 H B l/2 14 R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) l 3 l 3 3 sen 60º 2 l 2l 2 C l 3 2 30º l l l 1 cos 60º 2 l 2l 2 l 3 l 3 3 cos 30º 2 l 2l 2 3 sen 60º 2 3 tg 60º 2 3 1 cos 60º 2 2 1 2 1 3 tg 30º 2 3 3 2 3 3 2 60º H B l/2 Observa que: sen 60º = cos 30º l l 1 sen 30º 2 l 2l 2 sec 60º 1 2 cos 60º sec 30º 1 2 cos 30º 3 cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg60º = tg 30º sec 60º =cosec30º Cosec 60º =sec30º cos ec 60º 1 2 sen 60º 3 1 1 3 cot g 60º tg 60º 3 3 cos ec 30º cot g 30º 1 2 sen 30º 1 3 3 3 3 tg 30º 3 15 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) C D Sea ABCD un cuadrado Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º l Trazamos la diagonal AC En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide 45º y el ángulo C mide A B l 45º C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras x x l l 2 2 2 x 2l 2 45º l 45º x 2l 2 2 x l 2 A l B 16 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) C sen 45º l l 2 1 2 2 2 45º cos 45º l l 2 l 1 2 2 2 l tg 45º 1 l 1 2 2 2 2 cos 45º 2 2 1 2 cos ec 45º 2 sen 45º 2 1 1 cot g 45º 1 tg 45º 1 l 45º A sec 45º 2 l B Observa que: sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º 17 R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y 90º C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grados, el ángulo C mide 90º a b 90º α B c sen (90º ) c cos a sec 90º cos 90º b sen a cos ec 90º 1 1 sec sen 90º cos c cot g b cot g 90º 1 1 tg tg 90º cot g tg 90º A 1 1 cos ec cos 90º sen 18 RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA sen2 cos2 1 Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b c a 2 2 Si dividimos la expresión anterior por a2 2 2 a 2 b c a 2 2 2 a a a Expresándolo de otra forma: 2 C 2 2 b c 1 a a O lo que es lo mismo: Que normalmente expresaremos de la forma: b α B c A sen 2 cos 2 1 sen cos 1 2 2 19 OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES C Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b c a 2 2 2 B Si dividimos la expresión anterior por 2 2 a b2 o por b α c c2 A b2 c 2 a2 2 2 2 c c c 2 b c a b2 b2 b2 Expresándolo de otra forma: 1 cot g cos ec 2 2 1 cot g2 cos ec 2 1 tg sec 2 2 1 tg2 sec 2 20 Circunferencia goniométrica 1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO 3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE 4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas Uno de los lados del ángulo Y deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda a O 1 X A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 22 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y sen ordenada y' y y radio r 1 cos abscisa x' x x radio r 1 Q(x’,y’) P(x,y) a O 1 r X tg α= ordenada y' y = = , si x 0 abscisa x' x 23 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y sec α= radio r 1 = = , si x 0 abscisa x' x Q(x’,y’) P(x,y) cosec α= radio r 1 = = , si y 0 ordenada y' y a O 1 r X abscisa x' x cotg α= = = , si y 0 ordenada y' y Observamos que los valores de las relaciones trigonométricas, no dependen del punto elegido sobre el lado terminal del ángulo, por lo tanto, a partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 24 (Circunferencia goniométrica) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA De acuerdo a las definiciones: sen α y tg α cos α x α tg α = sen cos α cos α x cotg α sen α y sα cotg α = sco en α 1 1 sec α cos α x 1 sec α = cos α 1 1 cosec α cosec α = 1 sen α y sen α 25 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º Y1 A A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. y 120º 60º 60º -1 -x sen120º y sen 60º y O cos120º x cos 60º x 1 X tg 120º -1 sec 120º 2 3 2 cos ec 120º 2 3 3 1 2 y y tg 60º 3 x x cot g120º 3 3 26 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º). Y1 Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 1 2 3 cos 210º x cos 30º 2 A sen 210º y sen 30º 210º y 30º -1 -y -x 30º O A’ x 1 X tg 210º -1 2 3 sec 210º 3 cos ec 210º 2 y y 3 tg 30º x x 3 cot g 210º 3 27 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º y 180º + Y1 y π + En la circunferencia goniométrica dibujamos y 180º + 180º+ -1 -y -x O A’ sen 180º y sen A y x 1 cos 180º x cos X tg 180º -1 sen sen cos cos y y x x tg tg tg 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). sen 315º sen 45º 315º cos 315º cos 45º -1 O 1 X 2 2 2 2 tg 315º tg 45º 1 -1 sec 315º 2 cos ec 315º 2 cot g 315º 1 29 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º y 360º- y 2π- Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos y 360º - sen 360º y sen A 360º- y cos 360º x cos -1 O - x 1 -y A’ -1 sen 2 sen X tg 360º cos 2 cos y y tg x x tg 2 tg 30 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS y 180º - y π - Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos y 180º - 180º- α y y -1 sen 180º y sen A A’ -x α O x 1 cos 180º x cos X tg 180º -1 sen sen cos cos y y tg x x tg 180º tg 31 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Y1 y - En la circunferencia goniométrica dibujamos y - A y -1 O -α x sen sen cos x cos 1 -y X A’ -1 sen y sen cos cos tg y y tg x x tg tg 32 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Y1 360º k, 2k, k k Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia +360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del A ángulo 2π+α sen 2 sen y -1 O -1 sen 360º sen x 1 cos 2 cos X cos 360º cos tg 2 tg tg 360º tg 33 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y1 y 90º - y 2 A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos y 90º- x α O sen 90º x cos A 90°-α -1 α y α y x 1 cos 90º y sen X tg 90º -1 sen cos 2 cos sen 2 x cot g y tg cot g 2 34 SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. Y sen 0º = 0 1 sen 90º = 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0 35 COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. Y cos 0º = 1 1 cos 90º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cos180º = -1 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cos 270º = 0 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cos 360º = 1 36 TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Recordemos que tg ordenada y abscisa x siendo P(x,y) un punto sobre el lado terminal del ángulo, con x≠0. Entonces tg 0º= 0 tg180º=0 tg 360º=0 ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene ordenada 0 y abscisa distinta de 0. tg 90º y tg 270º no están definidas ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene abscisa 0. 37 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNCIÓN SENO 2. FUNCIÓN COSENO 3. FUNCIÓN TANGENTE 4. FUNCIÓN COTANGENTE 5. FUNCIÓN SECANTE 6. FUNCIÓN COSECANTE GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 1 3 2 2 2 1 2 0 6 4 1 2 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 2 2 3 2 1 a sen a 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 7 6 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 5 4 4 3 1 2 3 2 2 2 3 2 5 3 1 7 4 11 3 1 3 2 2 2 2 2 0 39 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 40 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 6 4 1 2 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 2 2 3 2 1 a COS a 0 6 4 3 2 2 3 1 3 2 2 2 1 2 0 3 4 5 6 1 2 3 2 2 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 1 3 2 2 2 1 2 0 7 4 11 3 1 2 3 2 2 2 2 1 41 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 42 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3 1 3 3 0 3 3 6 4 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 1 3 43 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 44 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 3 1 3 3 0 3 3 6 4 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 1 3 45 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 46 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 1 0 6 4 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 1 47 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 48 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 1 0 6 4 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 6 4 3 3 2 5 7 11 3 4 3 2 1 49 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 50 TRIGONOMETRÍA (Segunda parte) INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 52 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. 3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD 4. TEOREMA DEL SENO 5. TEOREMA DEL COSENO 6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS M B Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β. Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo α+β en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. Y sen b A b b O P N BP AM AN OB OB AB cos OA sen OB OB senb cos OB cos b sen OB X sen b sen cos b cos senb54 COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS B M Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. Y cos b OP ON NP ON BM OB OB OB A b b O P N X OA cos AB sen OB OB cos b cos OB senb sen OB cos b cos cos b sen senb 55 TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS sen b sen cos b cos senb tg b cos b cos cos b sen senb Simplificando sen cos b cos senb cos cos b cos cos b cos cos b sen senb cos cos b cos cos b Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb tg tg b 1 tg tg b sen b sen cos b cos senb cos b cos cos b sen senb tg tgb tg b 1 tg tgb 56 R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen b sen b sen cos b cos sen b sen cos b cos senb 1 sen cos b cos senb cos b cos b cos cos b sen sen b cos cos b sen senb cos cos b sen senb tg tg b tg tgb tg b tg b 1 tg tg b 1 tg tgb tg tgb 1 tg tgb 57 R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen b sen cos b cos senb sen b sen cos b cos senb cos b cos cos b sen senb cos b cos cos b sen senb tg tg b 1 tg tg b tg tg b tg b 1 tg tg b tg b 58 R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen 2 sen sen cos cos sen 2 sen cos cos 2 cos cos cos sen sen cos2 sen2 tg 2 tg tg tg 1 tg tg 2tg 1 tg2 sen 2 2 sen cos 2 2 cos 2 cos sen tg 2 2tg 1 tg2 59 R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) 2 2 2 2 2 cos 2 cos sen 1 sen sen 1 2sen 2sen2 1 cos 2 1 cos 2 2 sen 2 1 cos 2 sen 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos sen cos 1 cos 2 cos 1 2 cos2 1 cos 2 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 2 1 cos cos 2 2 sen 1 cos tg 2 1 cos cos 1 cos 2 2 1 cos 2 tg 1 cos 2 60 1. Teorema del seno 2. Teorema del coseno TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a a b c los senos de los ángulos opuestos. sen  sen B̂ sen Ĉ El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. C Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces: hC b sen  b sen  a sen B̂ hC a sen B̂ a b sen  sen B̂ A b a hC hA c Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A: b c hA b sen Ĉ b sen Ĉ c sen B̂ sen B̂ sen Ĉ hA c sen B̂ H B 62 Medida de los ángulos en una circunferencia Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A b O b 180º-2 B O 2b 180º-2b 2b b g C 360º-(180º-2 180º-2 b 360º - 360º + 2 2 b 2 2 b 2 b 2g 63 Medida de los ángulos en una circunferencia Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º g g 180º Todos los ángulos g 2g g inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. 64 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO a b c 2R sen  sen B̂ sen Ĉ Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. A B a Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). A’ C a 2R 2R 2R 1 sen Â' sen 90º Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: a a 2R sen  sen  ' La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. 65 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo 1 S c hc 2 La superficie del triángulo ABC es: C En el triángulo AHC : sen  hC b hC b sen  b a hC Sustituyendo en la primera expresión: 1 S c b sen  2 A c H B 66 Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: 1 S c b sen  2 C Por el Teorema del seno : a 2R sen  a sen  2R Sustituyendo en la primera expresión: 1 a S c b 2 2R b a R A c B a b c S 4R 67 TEOREMA DEL COSENO El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: C a2 h2 c m 2 h2 c 2 2cm m2 (en AHC) b h b m c 2cm m 2 2 2 a 2 b2 m2 c 2 2cm m2 b2 c 2 2cm (Como en AHC m = b . cos A) Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos: A m c-m c H B a2 b2 c 2 2 b c cos  b2 a2 c 2 2 a c cos B̂ c 2 a2 b2 2 a b cos Ĉ 68 CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: a2 b2 c 2 2 b c cos  C b Si A < 90º a B C A a2 b2 c 2 A c b cos A >0 a Si A = 90º cos A = 0 a2 b2 c 2 ( Teorema de Pitágoras ) c B a Si A > 90º C cos A < 0 b a2 b2 c 2 B c A 69