Download Números racionales.

NÚMEROS REALES
U. D. 1
@ Angel Prieto Benito
*
4º ESO E. AP.
Matemáticas 4º ESO E. AP.
1
NÚMEROS
RACIONALES
U. D. 1.2
@ Angel Prieto Benito
*
4º ESO E. AP.
Matemáticas 4º ESO E. AP.
2
NÚMEROS RACIONALES
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•
•
NATURALES (N)
•
•
NÚMERO RACIONAL
Números RACIONALES es el conjunto, Q, tal que se pueden expresar
como división de dos números enteros a y b, a/b, de modo que b<>0.
•
Todos los números enteros son racionales: 2 = 2 / 1 ; pero no todos los
racionales son enteros: 2 / 3 no es número entero.
Todos los números fraccionarios son racionales; pero no todos los
números racionales son fraccionarios, aunque sí se puedan expresar
como fracciones. Por ejemplo el 2 se puede expresar como 2 / 1, pero es
un número entero, no es fraccionario.
•
ENTEROS ( Z)
NEGATIVOS
RACIONALES ( Q )
FRACCIONARIOS
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FRACCIONES
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ALGUNAS DEFINICIONES
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•
Una fracción es la expresión de PARTES de la UNIDAD.
Ejemplo: 2 / 3
Se toman 2 de las 3 partes en que se ha dividido a la unidad.
•
Una unidad fraccionaria es la unidad dividida entre otro número
entero cualquiera
Ejemplo: 1 / 4
•
•
•
•
Un número racional es todo aquel que se puede expresar como
división entre dos números enteros.
Ejemplo: - 5 / 7
En caso de números fraccionarios negativos, el signo menos ( – ) delante
de la fracción o en el numerador.
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UTILIDADES
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UTILIDAD DE LAS FRACCIONES
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•
1.
Para expresar partes de una cantidad.
Dos quintos de una herencia.
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2.
Como proporción.
2 de cada 3 personas son adultas.
•
•
3.
Como operador
Tres cuartos de 100 g.
•
•
4.
Como escala
Plano callejero a escala 1: 2.000
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•
5.
Como expresión decimal
En lugar de 0,4 podemos poner 4 / 10
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FRACCIÓN COMO OPERADOR
•
La fracción se convierte en operador cuando lo utilizamos como factor que
multiplica o divide a un resultado parcial o a la unidad.
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Ejemplo
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•
Hallar los 2 / 3 de 30.
•
•
•
2
2
30
2.30
60
--- de 30 = ---- . ------ = --------- = ------- = 20
3
3
1
3.1
3
•
Recordar que cualquier número entero se convierte en racional al ser
dividido por la unidad:
3=3/1 ;
-2=-2/1
•
Utilizada la fracción como operador, tenemos:
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Q COMO CONJUNTO DENSO
•
CONJUNTO DENSO
•
El conjunto de todos los números enteros más los fraccionarios son los
números RACIONALES (Q)
Decimos que es un conjunto denso cuando entre dos de ellos siempre cabe
otro de la misma naturaleza.
•
•
•
Ejemplo:
Halla un número racional comprendido entre 4 / 7 y 5 / 7
•
Entre el 4 y el 5 no hay ningún número entero, pero …
•
4 / 7 = 8 / 14 y 5 / 7 = 10 / 14
•
•
El número racional 9 / 14 estará comprendido entre 4 / 7 y 5 / 7
Y así, entre dos números racionales podemos detectar al menos otro.
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TIPOS DE FRACCIONES
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•
FRACCIÓN PROPIA
Es aquella cuyo numerador es menor que el denominador y que, al efectuar
el cociente, resulta un número menor que la unidad.
•
•
•
•
Ejemplos
2
--- = 0,4000
5
•
•
FRACCIÓN IMPROPIA
Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador, siendo el
cociente mayor que la unidad.
•
•
•
•
Ejemplos
7
--- = 1,4000
5
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7
; – ----- = – 0,3684
19
;
27
----- = 1,4210
19
8
; ---- = 0,8889
9
8
; – ------ = – 0,0080
999
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8
•
Las FRACCIONES IMPROPIAS se dividen a su vez en dos:
•
•
NÚMERO ENTERO
Es aquella fracción cuyo numerador es múltiplo del denominador, en
cuyo caso al efectuar la división el resultado es un número entero.
•
•
•
•
Ejemplos
8
--- = 2
4
•
•
NÚMERO MIXTO
Es aquella fracción impropia cuyo numerador no es múltiplo del
denominador.
•
•
•
•
Ejemplos
8
2
--- = 2 ----3
3
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95
; – ----- = – 5
19
121
; ------- = 11
11
15
3
; – ----- = – 3 ----- ;
4
4
121
1
------- = 40 ---3
3
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Fracción decimal
•
•
FRACCIÓN DECIMAL
Es aquella cuyo numerador es 10 o una de sus potencias.
•
•
•
•
Ejemplos
2
--- = 0,2000
10
•
En estos casos la expresión decimal resultante tiene las mismas cifras
significativas que el numerador.
•
•
EJERCICIO INVERSO
Expresa en forma de fracción las siguientes expresiones decimales
exactas:
25
7
354
105
0,25 = ----- ; – 0,7 = – ------- ; 0,00345 = ----------- ; 10,5 = -------100
10
100000
10
•
•
•
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7
; – ----- = – 0,0700
100
1924
; -------- = 1,9240
1000
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SUMA DE FRACCIONES
•
Para SUMAR o RESTAR fracciones, se puede dar tres casos:
•
•
1.- QUE TENGAN EL MISMO DENOMINADOR
Entonces el resultado es otra fracción de igual denominador y como
numerador la suma o resta de los numeradores.
•
•
2.- QUE TENGAN DISTINTO DENOMINADOR
Entonces el resultado es otra fracción cuyo denominador es el m.c.m. de
los denominadores y como numerador la suma o resta de los nuevos
numeradores de las fracciones equivalentes.
•
3.-
•
Se transforma el número entero en fracción y se opera como en el caso
anterior.
•
Para MULTIPLICAR una fracción por un número se multiplica dicho
número por el NUMERADOR de la fracción.
QUE HAYA NÚMEROS ENTEROS EN LA SUMA
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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Ejemplo de aplicación
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•
En una escuela el 20% de los alumnos son rubios, la séptima parte del
resto son morenos, y finalmente hay 48 alumnos pelirrojos.
¿Cuántos alumnos hay en la escuela?
¿Cuántos de ellos son rubios?
¿Cuántos de ellos son morenos?
•
RESOLUCIÓN
•
•
El 20% es, en fracción, 20 / 100 = 1 / 5 son rubios.
Restantes alumnos: 1 – 1 / 5 = (5 / 5) – (1 / 5 ) = 4 / 5.
•
•
•
1 / 7 de 4 / 5 = 1/ 7 . 4 / 5 = 4 / 35 son morenos.
1 / 5 + 4 / 35 = (7 + 4) / 35 = 11 / 35 son rubios o morenos.
1 – 11 / 35 = (35 – 11) / 35 = 24 / 35 son los 48 alumnos pelirrojos.
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… RESOLUCIÓN
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El común denominador de todas las fracciones es 35.
La unidad fraccionaria es 1 / 35
La unidad fraccionaria, 1 / 35, representa a los 2 alumnos pelirrojos.
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Luego el total son 35.2 = 70 alumnos
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1 / 5 . 70 = 70 / 5 = 14 son rubios.
1 / 7 . ( 70 – 14) = 1 / 7 . 56 = 56 / 7 = 8 son morenos.
Además hay 48 alumnos pelirrojos.
•
Comprobación:
•
14 + 8 + 48 = 70 alumnos.
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