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Números complejos
Material realizado por el
profesor Darío Cassoli
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Presentación
En el presente trabajo se tratará el tema números complejos, para lo cuál se desarrollarán los
siguientes tópicos:
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Representación gráfica
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Definición
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
Llamamos números complejos a los
números de la forma a + bi, donde
a y b son números reales e i es la
unidad imaginaria
Número real
Definimos número real como cualquier número racional (Q) o irracional (I).
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número
entero (Z), un decimal exacto o un decimal periódico (Q) y también mediante un
decimal con infinitas cifras no periódicas (I).
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la
recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el
1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan
todos los números enteros.
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta,
valiéndose de construcciones geométricas exactas, o bien mediante aproximaciones
decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un
número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia
biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.
Unidad imaginaria
Definimos el número i, al que llamamos
unidad imaginaria, como aquel cuyo cuadrado
es -1: i2 = -1
¡recuerda!
i2 = -1
Partes de un número
complejo
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
Si z es un número complejo:
z = a + bi
a es la parte real de z
b es la parte imaginaria de z
Ejemplos:
Nº
Parte real
Parte
imaginaria
lasificación
-2+3i
-2
3
Complejo
0+2i
0
2
Imaginario
puro
5+0i
5
0
Real
Actividades
Opuesto de un número
complejo
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
El complejo opuesto de z = a + bi es
–z y tiene opuestas las
componentes real e imaginaria de z.
-z = - a – bi.
Ejemplos:
z
-z
5+i
-5-i
1/3-6i
-1/3+6i
-9+2i
9-2i
-1-3i
1+3i
Conjugado de un número
complejo
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
Dado un complejo z = a + bi , su
conjugado (z) tiene la misma parte
real y opuesta la parte imaginaria.
z= a – bi
Ejemplos:
z
z
5+i
5-i
1/3-6i
1/3+6i
-9+2i
-9-2i
-1-3i
-1+3i
Operaciones
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
En el conjunto de los números
complejos (C) están bien definidas
las cuatro operaciones básicas:
Suma
Resta
Multiplicación
División
Actividades
Suma
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
La suma de números complejos se realiza
sumando las partes reales e imaginarias
por separado.
Ejemplo:
Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se
suman las partes reales 1 y 2, y a
continuación las partes imaginarias 4 y
-2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i.
En general decimos que para la suma se
cumple siempre que:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Actividades
Resta
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
Definimos a la resta z1- z2 como la suma
entre z1 y el opuesto de z2.
Ejemplo:
Para restar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se
suman z1 y - z2. Hacemos (1+4i)+(2+2i), luego sumamos las partes reales 1
y -2, y a continuación las partes
imaginarias 4 y 2, dando como resultado
z1- z2 = -1 + 6i.
En general decimos que para la resta se
cumple siempre que:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Actividades
Multiplicación
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
La multiplicación de números complejos
se basa en que i2 = -1, y que es válida la
propiedad distributiva respecto de la
suma y de la resta.
Ejemplo:
Sean z1 = 3+2i y z2 = 2-4i.
Para hacer z1* z2 , aplicamos la propiedad
distributiva:
(3+2i).(2-4i) = 6 – 12i + 4i – 8i2
= 6 – 12i + 4i – 8.(-1)
= 6 – 12i + 4i + 8
= 14 – 8i
Actividades
División
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
La división de números complejos se basa en que
i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la suma y de la
resta.
Ejemplo:
Sean z1= 3+2i y z2=2-4i.
Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el
conjugado del divisor (z2) aplicando la propiedad
distributiva:
3  2i 2  4i 6  12i  4i  8i 2


2  4i 2  4i 4  8i  8i  16i 2
6  12i  4i  8(1)

4  16(1)
6  16i  8

4  16
 2  16i
1 4

  i
20
10 5
Actividades
Representación gráfica
Definición
Partes de un número complejo
Opuesto de un número complejo
Conjugado de un número complejo
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación gráfica
Los números complejos se representan en el
plano mediante un sistema de ejes de
coordenadas cartesianas, donde el eje
horizontal será el eje real y el vertical el eje
imaginario.
El número quedará representado por un par
ordenado (a ; b) o bien mediante un vector
que une el origen con el punto (a ; b).
Eje imaginario
Ejemplo:
2
Z = 4 + 2i
4
Eje real