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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Potencial eléctrico
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
3.1
Introducción
Unidad
III
3.2 Objetivo general
3.3 Objetivos específicos
3.4 Fuerza conservativa y energía potencial
3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico
3.6 Diferencia de potencial en un campo eléctrico
uniforme
3.7 Superficies equipotenciales
3.8 Conservación de la energía
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
3 .9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales
3.10 Energía potencial generada por cargas puntuales
3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de
carga
3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial
3.13 Auto-evaluación
3.14 Solucionario
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
mecánica
capituloseintroducimos
introduce el método
concepto
de energía
de energía
para
3.1 este
Introducción
el estudioescalar),
(cantidad
de la electrostática.
esta se utiliza para
La fuerza
formular
eléctrica
la ley de
es
conservativa,
la
conservacióny de
así,la una
energía.
particula
Al emplear
con carga
la ley odeuna
la
colección de particulas
conservación
de la energía,
cargadas
podemos
tiene energía
evitar potencial.
trabajar
Esa energía con
directamente
potencial
fuerzaspuede
cuando
transformarse
se resuelven en
problemas
energía
cinética
mecánicos.
La fuerza eléctrica al igual que la fuerza
Comenzamos escon
gravitacional,
consecuencia
la energíade potencial
las leyes fundamentales
eléctrica, un
escalar
de
la naturaleza.
que caracteriza a una fuerza electrostática. Luego,
generalizamos hasta el potencial eléctrico, calculamos el
potencial para distribuciones continuas y discretas de
cargas y demostraremos que el campo eléctrico y el
potencial eléctrico están relacionados estrechamente.
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Desarrollar
el alumno la capacidad de utilizar el
3.2 Objetivo en
general
concepto de energía potencial de un sistema continuo o
discreto de cargas para ser aplicado en problemas de
conservación de la energía y así calcular la diferencia de
potencial entre dos puntos dado el campo eléctrico en la
región.
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Integrar
conceptualmente
3.3 Objetivos
específicos la relación entre el potencial
eléctrico y la intensidad del campo eléctrico.
Enfrentar con buenos fundamentos el estudio de los
problemas técnicos y científicos de la energía eléctrica
que origina fenómenos, como las chispas o descargas
eléctricas.
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Supongamos que tenemos un campo gravitacional g, (el
campo apunta hacia
potenciales
decrecientes)
y
Una los
fuerza
es conservativa
cuando el
3.4 Fuerza conservativa
y energía
potencial
colocamos dentro del
campo
un efectuado
cuerpo de masa
trabajo
(W)
por lam.fuerza,
sobre una partícula que se mueve bajo
su influencia entre dos puntos es
independiente de la trayectoria, solo
depende de la posición inicial y final
del cuerpo y no de los detalles de
cómo paso de su posición inicial a la
final, es decir, una fuerza es
conservativa cuando el trabajo (W)
realizado a lo largo de una trayectoria
g
cerrada es a cero.
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La energía potencial se presenta en
conexión con fuerzas conservativas
como la fuerza de gravedad y la fuerza
elástica de un resorte. Cuando un
cuerpo se desplaza en sentido
contrario al campo gravitacional
realiza un trabajo negativo.
g
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El movimiento de una partícula de masa m en un campo
gravitacional (g), es análogo al movimiento de una
+
partícula de carga q positiva en un campo eléctrico (E).
Cuando una partícula
de carga
desplaza
en
Para mover
una positiva
partículase en
sentido
sentido contrario
al campo
realiza un trabajo
contrario
al eléctrico
campo (gravitacional
o
negativo.
eléctrico) se requiere del trabajo de un
agente externo. Si la fuerza externa es
Supongamos que tenemos un campo eléctrico E y
igual y opuesta a la fuerza debida al
colocamos dentro del campo una partícula de carga
campo, la energía cinética (K) de la
positiva.
partícula no cambia. En este caso todo el
trabajo externo se almacena como energía
potencial (U) del sistema.
E
+
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+
La fuerza gravitacional (mg) es una fuerza
conservativa, como la fuerza eléctrica (EQ)
tiene la misma forma de la fuerza
gravitacional, por analogía, la fuerza
eléctrica es también una fuerza conservativa,
por tanto los fenómenos electrostáticos
pueden describirse convenientemente en
términos de una energía potencial eléctrica y
de un potencial eléctrico.
E +
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La energía potencial gravitacional cerca de la tierra viene
dada por: Ug = mgy. Se puede obtener una función que no
dependa de la masa (m), definiendo el potencial
gravitacional como la energía potencial en la unidad de
masa. Vg = Ug / m. También se puede obtener un
potencial eléctrico que no dependa de la carga (q).
V = U / q, entonces, Voltio = (Julio / Columbio).
El potencial gravitacional o eléctrico en un punto, es el
trabajo externo necesario para desplazar una unidad de
masa m o de carga q desde el nivel inicial yi hasta una
altura final yf dada sin cambiar su rapidez.
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W = – DU = – (Uf – Uí)
Uf
El trabajo es igual a la variación
negativa de la energía potencial.
El signo menos indica que el
trabajo positivo realizado por la
fuerza conservativa disminuye
la energía potencial. Si la fuerza
externa es igual y opuesta a la
fuerza debida al campo, la E
energía cinética (K) de la
partícula no cambia.
Uí
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yf
yi
3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico
Para un desplazamiento
DU / q = – infinitesimal
E  ds = DV.ds, el trabajo se define:
W =  F ds y W = – DU
La diferencia
de de
energía
eléctrica
(DU)de oun
Cuando
una carga
pruebapotencial
(q) se coloca
dentro
energíaelectrostático
potencial (U)
en eluna
campo
eléctrico.
campo
(E)reside
se genera
fuerza
eléctrica
La diferencia(F)detalpotencial
(DV) o potencial eléctrico (V)
conservativa
que
es una característica
las cargas
F = E *escalar
q : We =independiente
 E * q  ds =de
– DU
que se puedan colocar en el campo eléctrico.
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La
Eldiferencia
cambio dedeenergía
potencial
potencial
DV (VaDU
- Vb=) entre
(Ub –los
Uapuntos
) entrealos
y
bpuntos
se define:
a y b se define:
DV = DU
/ qE = –ds=E qds
b –b V
DU
- q 
DV= =VU
– a.Ua
Como la fuerza es conservativa, La integral ( es de línea,
no dependeDU
de =laqtrayectoria
a y b sino
de la posición
DV (Julioentre
= Columbio
* Voltio)
inicial y la posición final, la integración se efectúa a lo largo
de
trayectoriadea ylabenergía
por donde
se mueve
carga.
Lala variación
potencial
DUla es
directamente
proporcional a la diferencia de potencial DV entre dos
puntos (DU a DV), como la energía es un escalar el
potencial también es escalar.
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potencial
eléctrico
en DV
cualquier
ElElcambio
La
diferencia
dede
energía
potencial
potencial
(VDU
a - punto
V
=b)(U
entre
bde
– un
U
losacampo
) puntos
entre es:
dos
ay
b se define:
puntos
a y b se define:
/ q = – / E
 ds = V=
b –Voltio)
Va
V DV
= U=/ DU
q Julio
Columbio
= q-conservativa,
q E  ds =
= Voltio
qLa
DVintegral
=*UColumbio)
b- U
Como la fuerza
(a es de línea,
U =DU
V *es
Julio
no depende
DUde= la
q DV
trayectoria
(Julio =entre
Columbio
a y b sino
* Voltio)
de la posición
Es decir,
1 julio definal,
trabajo
efectuarse
para llevar
inicial
y la posición
y, ladebe
integración
se efectúa
a lo
una
carga
de un Columbio
a través
dela
largo
trayectoria
por medio
deade
la una
cual
se
mueve
La
DUde
esladirectamente
proporcional
DVdiferencia
(DU
a DV),
potencial
de un
carga
como
(q)
la energía
entre
a es
yvoltio.
un
b. escalar el potencial también es escalar.
Electrón-voltio
1eV = 1.6*10–19 C * 1V = 1.6*10–19 Julios.
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¿Qué
cambio
Ejemplo
3.1 de energía potencial experimenta una carga
de 10 mC cuando se mueve entre dos puntos para los
cuales la diferencia de potencial es de 50 voltios?
DU = q * DV, entonces, DU = 500 mJulios = 5*10-4 J
DU = 5*10-4 J *(1 eV / 1.6*10-19 J) = 3.125*1015 eV
eV = electrón-voltio = 1.6*10-19 julios
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Ejemplo
A través 3.2
de que diferencia de potencial se necesitaría
acelerar a) ¿Un electrón para que alcance el 30% de la
velocidad de la luz? b) ¿Un protón para que alcance el
30% de la velocidad de la luz?¿Hacia donde se desplaza
cada partícula?
Vb
Va
Vb < Va
E
a) V = C * 30%= 3*108 m/s * 30% = 90*106 m/s
W = DK = ½ m v2 = 3.6855*10-15 J
W = -q* DV \Vb – Va = W /-q = 23034.38 Voltios
El electrón va hacia la izquierda, al potencial creciente
b) W = DK = ½ m v2= 6.7635-12 J
W = - q* DV \ Vb – Va = W /-q = - 42.276 Voltios
El protón va hacia la derecha, al potencial decreciente
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¿Qué diferencia
de potencial se necesita para frenar un
Ejemplo
3.3
electrón que tiene una velocidad inicial de 2*106 m/s?
Va
Vb < Va
Vb
E
W = DK = ½ m vf2 - ½ m vi2
W = (0 - 1.82*10-18) J = -1.82*10-18 J
W = -DU = q DV
DV = -(-1.82 10-18 J)/q = 1.82 10-18/ -1.6 10-19 C
DV = -11.375 V
El electrón se desacelera hacia los potenciales
decrecientes, es decir en el sentido del campo eléctrico.
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En un relámpago
típico la diferencia de potencial entre
Ejemplo
3.4
los puntos de la descarga es alrededor de 1.0*109 V y la
cantidad de carga transferida es de 30 C. a) ¿cuánta
energía se libera? b) ¿si toda la energía liberada pudiera
emplearse para acelerar un automóvil de 1200 Kg desde
el reposo ¿cuál seria su velocidad final?
a) W = DU = q DV = 30 C * 109 V = 3*1010 J
b) W = ½mvf2 – ½mvi2 , entonces,
vi = (2W/m) = 7071.07 m/s
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En
La
un
diferencia
campo de
eléctrico
de
dos
puntos con
es
3.6 Diferencia
potencial
campo
eléctrico
DVpotencial
= –uniforme
en
E un
dxentre
= hay
– Edos
dx puntos
independiente
potenciales
Vaa =yde–VE
bla
. xtrayectoria,
esto confirma
uniforme
Vb – V
; evaluado entre
xi = a y que
xf = un
b
campo eléctrico
uniformeabyesestático
esa =conservativo
e
la longitud
l; Vb – V
– El
independienteEldesigno
la carga
quesignifica
se coloque
menos
queen
Vbel<campo.
Va
V =Va – Vb = E l
E
Va
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l
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Vb
Como: VDV
a-V
= dx
Va – =Vb– E

Vc =dxVb
= c– E
Cosa
El resultado
todos
Vc muestra
– Va = – que
E Cosa
x ;los
xi =puntos
a y xen
f =un
c plano
perpendiculares
al campo
uniforme
longitud
ac = deléctrico
y Cosa
= l / d están al
mismo potencial.Vc A
una
–V
a =distribución
– E (l/d) d =continua
– E l de puntos
que tienen
mismo
potencial
El el
signo
menos
significase
quele Vllama
c < Va superficie

equipotencial.
V =DV =Va – Vc = E l
Vc
d
E
a
Va
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l
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Vb
En dos puntos
Ejemplo
3.5 de un campo eléctrico. El potencial en a
Va = -40 V, y el potencial en b Vb +120 V ¿Cuánto
trabajo realiza una fuerza externa al mover una carga q
de –2*10-6 C y otra de 2*10-6 C de b a a?
DV = V = Va – Vb = -40 V – 150 V= -190 V
W1 = q DV = (-190 V)*(-2*10-6 C) = 5.8*10-4 J
W2 = q DV = (-190 V)*(2*10-6 C) = -5.8*10-4 J
Va
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Vb > Va
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Vb
Un electrón
Ejemplo
3.6 que se mueve verticalmente hacia arriba
tiene una velocidad inicial de 4*106 m/s en el origen. Su
velocidad se reduce a 2*106 m/s en el punto x = 0 y
y = 2 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el
origen y este punto. ¿cuál esta a mayor potencial?
Como
partícula
DK =una
- DU=
-qDVde\carga
½mvnegativa
f2 - ½mvse
i2 desacelera
= -q(Vb – Ven
a) la
2 - vicampo
2 ) / -q =eléctrico,
dirección
campo
½m(vfdel
½m(vf2 - ventonces,
i2 ) / q = Vbel– V
a
eléctrico esta dirigido
Vb – Vverticalmente
a = -34.125 V hacia arriba y el
punto acomo
(0,0)Vesta
ab,mayor
potencial
que
puntoVb (0,2)
a >V
entonces,
Va – V
b = el
34.125
cm.
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3.7 Superficies equipotenciales
E
Cada placa es atravesada por un campo eléctrico
uniforme que es perpendicular al plano de la placa, por
tanto, cada placa esta al mismo potencial.
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Las superficies esféricas son atravesada por un campo
eléctrico perpendicular al plano de la placa, por tanto, las
superficies de cada una de las esferas están al mismo
potencial.
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Las superficies esféricas son atravesada por un campo
eléctrico perpendicular, por tanto, las superficie de cada
una de las esferas están al mismo potencial.
-
Luis Felipe Millán B.
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3.8 Conservación de la energía
DU = -q E  dx ; Si q > 0 
(Vatenemos
– Vpositiva
b)= (–q)
(+DV)
= –DUen eluniforme
Cuando una –q
Supongamos
partícula
que
un campo
se
desplaza
eléctrico
sentido
deluna
campo
eléctrico
se acelera,
E,
diferencia
de potencial
DVgana
= V,energía
donde, cinética
Va > Vby,
Esto
significa
que una parte
partícula
positiva
mueve ena
cedepartícula
una
energía positiva
potencial,
puesto
del punto
que ela campo
aque
b. seeléctrico
la
dirección
del potenciales
campo eléctrico
pierde energía potencial.
punta
hacia los
decrecientes.
E
V+a
+
Luis Felipe Millán B.
+
+
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+
Vb
DU = – q E  dx ; Si q > 0 
–q (Vb – Va)= (–q) (– DV) = DU
Esto
significa
que una positiva
partícula se
positiva
queen
se el
mueve
en
Cuando
una partícula
desplaza
sentido
la
dirección
contraria
al campo
eléctrico gana
contrario
al campo
eléctrico
se desacelera,
gana energía
potencial.
potencial y cede energía cinética,
E
+Va
+
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+
+
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+
Vb
Supongamos que una carga positiva se mueve en un
campo eléctrico
puntos a y b. Como la
W uniforme
= -DU entre
y Wlos
= DK
fuerza eléctrica es -DU
conservativa
energía se conserva
= DK la

-q (Vb - Va) = Kb - Ka
q Va - qVb = Kb - Ka
Ka + qVa = Kb + qVb
Ea = Eb
E
+a
V
+
Vb
Ei
Ef
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Calcule
velocidad de un protón que es acelerado desde
Ejemplola3.7
el reposo a través de una diferencia de potencial de 150
V.
E
+
+
+
+
Va
DV = (Va – Vb) > 0 ; vi = 0
W = DK = – DU
½mvf2 – ½mvi2 = – q(Vb – Va)
= (2*q (Va – Vb) /mp)½
169.54*103 m/s
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+
Vb
vf
vf =
Calcule la
Ejemplo
3.8velocidad de un electrón que es acelerado
desde el reposo a través de una diferencia de potencial
E
de 150V.
Vb
Va
DVcarga
= (Vbnegativa
– Va) < se
0 acelera
; vi = 0en la dirección
Una partícula de
= DK = – DU
contraria el campoW eléctrico,
es decir, hacia los
½mvf2 - ½mvi2 = (– q) (Vb – Va)
potenciales crecientes.
½mvf2 = – q (Vb – Va)
vf = (2q(Va – Vb) /me)½
vf
= 7.26*106 m/s
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Un bloque
Ejemplo
3.9de masa m y carga q positiva esta unido a un
resorte de constante k. El bloque esta en una superficie
horizontal rugosa en su estado natural. De esta manera el
sistema se coloca en un campo eléctrico uniforme
horizontal. Si m = 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m,
E = 5*105 N/C. mk = 0.2 ¿En que cantidad máxima se
alarga el resorte?.
Luis Felipe Millán B.
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m
q
m
q
E
Ei K
=bE+f –UW
fr
Ef – EWi =
fr =
gb
+
Ka + Uga + UUeaeb++UUa b – Wfr
Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr
Ua = Ueb +Ub – (– mk N x)
qVa = ½kx2 + qVb – (– mk mg x)
q (Va – Vb) = ½kx2 + mk mg x
q (Ex) = ½kx2 + mk mg x
q E = ½kx + mk mg
(q E - mk mg) = ½kx
x = 2 (q E - mk mg) / k
x = 0.3432 m
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DV
- E  debido
ds
La
de potencial
entre
dos= puntos
3.9 diferencia
Potencial eléctrico
debido
a cargas
puntuales a una
carga puntual (q) depende únicamente
las coordenadas
DV = - de
Er Cosa
ds
radial inicial ra y radial final rb.
DV = - Er dr
ds
B
a
rb
dr
Cosa= dr / ds
dr = ds Cosa
+
Sea un campo eléctrico E generado por una carga positiva q
E = (Kq/r2)^
r
ra
DV = -(Kq/r2 ) dr : r varia entre rb y ra
Vb - Va = -Kq(1/r) ; r = rb y r = ra
Vb - Va = Kq(1/rb - 1/ra)
Va = Kq/ra ; Vb = Kq/rb
A
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Vb = Kq / rb
Va - Vb = Kq (1/ra - 1/rb) = Vab
+
ra
A Va = Kq / ra
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rb
B
Potencial de una carga puntual positiva a una distancia r
de su centro.
r
V=Kq/r
+
NOTA: El potencial es un escalar debe tenerse en cuenta el
signo de la carga.
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Potencial de una carga puntual negativa a una distancia
r de su centro.
r
V = -K q / r
-
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q1
Supongamos
Potencial que
eléctrico
tenemos
generado
tres cargas
por una
puntuales
serie deq1cargas
, q2, q3
y se desea puntuales
encontrar (principio
el potencial
deeléctrico
superposición);
en un punto.
V = V1 + V2 +......+
r1 Vi +...........+ Vn ; V = K  qiq/r3i
r3
r2
Sea r1, r2, r3 las distancias correspondientes de cada una de las
cargas
+ al punto.
V = K  qi/ri
Luis Felipe Millán B.
q2
; V = K(- q1/r1 + q2/r2 - q3/r3)
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Se
tienen3.10
cuatro cargas negativas iguales que forman un
Ejemplo
2ael potencial eléctrico en el
cuadrado de lado 2a.- ¿cuál es
centro del cuadrado si a es 5 cm y q = -2 nC?
2a
-
-
V = K  qi/ri ; V = K(- q1/a - q2/a - q3/a – q4/a )
V = -4K q / a2 = -1018.23 V
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Una carga3.11
+q se encuentra en el origen y una carga –2q
Ejemplo
esta en el punto (3,0) cm. ¿Para que valor (es) finito(s) a
lo largo de la recta que une las cargas el potencial
eléctrico es cero?
r
+
a) Escogemos un punto entre las cargas, cerca de la de
r1
r2
menor magnitud.
K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1
pero. r = r1 + r2 ; r2 = 2(r – r2) = 2r – 2r2\3r2 = 2r ;
r2 = 2 cm y r1 = 1 cm \
V1 = Kq1/r1 = 1800 V y V2 = -Kq2/r2 = -1800 V
Luis Felipe Millán B.
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b) Escogemos un punto por fuera de las cargas y cerca
de la de menor magnitud.
r
r1 +
r
r2
K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ;
r2 = 2r1 pero. r2 = r1 + r ; r2 = 2 (r2 – r) = 2r2 – 2r\
r2 = 2r ; r2 = 6 cm y r1 = 3 cm \
V1 = Kq1/r1 = 600 V y V2 = -Kq2/r2 = -600 V
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Una carga
q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una
Ejemplo
3.12
carga q2 de +2*10-6 C. Si
r a 2 cm de la carga positiva
-1 del reposo un protón. ¿cuál es su velocidad
+2
cuando
qparte
a
q
b
r1a
r2a
esta a 2 cm de la carga negativa?. ¿cuál es su energía
cinética en
Vaelectrón-voltio?
= K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 V
r1b
r2b
Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V
Ea = Eb ; Ua + Ka = Ub+ Kb 
qpVa + 0 = ½mp vb2 + qp Vb
vb = {2qp(Va - Vb) / mp}1/2 = 13.93*106 m/s
Ek = ½mpv2 = 1.62*10-13 J = 1.01 *106 eV
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+
Tres cargas puntuales forman un triangulo equilátero de
Ejemplo.3.13
lado a a) Encuentre
en ;elf=centro
r1 = r2 =elr3 potencial
= r : a= 30
120 del
triangulo. b) si a = 50 cm. q1 = 1 mC q2 = 2 mC q3 = 3 mC
Sena/
r2 = Senf/ a
¿cuánto avale el potencial en el centro
del triangulo?
r2 = r = a * Sena/ Senf
r1
r = (a*1/2) / (3/2)
r = a / 3 = 0.29 m
r3
f
a
+
r2
V = K(q1/r1 - q2/r2 + q3/r3)
V = (K / r)(q1 - q2 + q3)
V = (3 K / a)(q1 - q2 + q3)
V = 62353.83 V
/
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El
Se
trabajo
tiene
una
requerido
carga q1para
positiva
llevarque
unaproduce
carga qpuntuales
2un
delpotencial
infinito
3.10
Energía
potencial
generada
por
cargas
aVla
1 adistancia
una distancia
r de qr.1 con velocidad constante es.
1 = 1Kq
/r - (Kq1/r) q2 U =V-V
q21=
+
r
q1
q2
trabajo
una
q1 delun
infinito
a la V2
SeLaEl
tiene
energía
unarequerido
potencial
carga q2para
negativa
de llevar
una carga
quecarga
produce
negativa
y una
potencial
positiva
distancia
r dedistancia
q2 sin acelerarla.
a una
esta dado porr.
U = V1(- q2) = (-V2) q1 = - Kq1q2 /r
U = -V2q1V=2 -= (Kq
-Kq22/r)
/r q1
+
q1
Luis Felipe Millán B.
r
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
-
q2
Calcule
El trabajo
la
energía
total que
requerida
es necesario
para para
agrupar
mantener
tres este
cargas
Ejemplo
3.14
positivas formando
si cada
sistemaunentriangulo
equilibrio equilátero,
es:
carga es de 5mC yUlos
de 10 cm. ¿cuánto vale la
= Ulados
13 + U12 + U23
energía
para
mantener
las
cargas
agrupadas?
U =K{q1q3 /r13 + q1q2 /r12 + q2q3 /r23}= 3Kq2 / r
r1 = r2 = r3 = r = .10 m; q1 = q2 = q3 = q =5mC
U = 6.75 Julios
+
+
r13
q3
q1
r12
r23
q2
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no
Ejemplo.3.15
excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un
protón a un distancia r de 5.3*10–11 m. a) ¿cuál es el
potencial eléctrico debido al protón en la posición del
electrón? b) ¿cuál es la energía electrostática entre las
dos partículas?
a) V = K (+q) / r = +27.17 V
r
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
b) U = Vp (-q) = (K q/r)(-q) = - K q2 / r
U = -4.35*10-18 Julios
r
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dos placas
paralelas que tiene carga igual pero de signos
Ejemplo
3.16.
contrario están separadas 12 cm. Cada placa tiene una
densidad superficial s de 36 nC/m2 Un protón se libera
desde el reposo de la placa positiva determine a) la
diferencia de potencial en las placas. b) la energía del
protón cuando llega a la placa negativa. c) la velocidad
del protón cuando llega ala placa negativa. d) la
aceleración del protón. e) la fuerza sobre el protón f) El
campo eléctrico.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a) El campo eléctrico entre una placas planas y paralelas
viene dado por: E = s/e0= 4071.5 V/m
La diferencia de potencial entre las placas paralelas es:
DV = Vb - Va = -E d = - 488.58 V
V = Va - Vb = E d = 488.58 V
b) El trabajo realizado es W = -qDV = 7.82*10-17
Julios, c) DK = - DU \ ½mvf2 - ½mvi2 = -q DV
vf = (2(-q)(DV) / m )1/2 = 3.0597*103 m/s
d) la aceleración a = Eq/m = 3.9*1011 m/s2
e) La magnitud de la fuerza sobre el protón
F = ma = 6.51*10-16 N
f) El campo eléctrico F = E q entonces
E = F/q = 4071.63 N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
las contribuciones
de los elementos
3.11Sumando
Potencialtodas
eléctrico
de una distribución
continua de
carga
infinitesimales dq.
= K
dq
/eléctrico
r cargadas
Una
Se escoge
desea
colección
encontrar
arbitrariamente
de partículas
elVpotencial
un
puntuales
elemento
infinitesimal
en representa
un punto
de
El potencial
eléctrico
(dV)
producido
por
(dq).
producido
carga
(dq)distribución
por
queuna
estadistribución
a una
r del de
punto
dei.donde
una
continua
de
Qcarga.
= q
dV
=distancia
K dqcontinua
/ rcarga
se va a calcular el potencial eléctrico.
Q =dq
Dqi
Q = Dqi
r
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Distribución lineal de carga
l = Q/L = dq/dl
Distribución superficial de carga
s= Q/A = dq/dA
Distribución volumétrica de carga
r= Q/V = dq/dV
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se
desea3.17
encontrar
el potencial
eléctrico
de un
de
Ejemplo
Potencial
eléctrico debido
a una
hilohilo
cargado
Y
longitud (L) y distribución uniforme de carga l en un
punto a lo largo
eje y a una
distancia
(d) de uno de
Dividimos
al hilodeensupequeños
elementos
infinitesimales.
sus extremos.
+++++++++++++
d
L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Y
Escogemos arbitrariamente run elemento que tiene carga
dq y longitud dl.
r 22
++ ++ ++++ ++ ++
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Y
dV = K l dx / x
Este
Esteeselemento
el potencial
eléctrico
se un
encuentra
sumamos
distancia
la r
dV = infinitesimal
K dq
/r
dqelemento,
= l dl a=una
ldx
r;de
del puntocontribución
donde se vade
a encontrar
todos los elementos.
el potencial eléctrico.
r 22
r=x
++
dl
Luis Felipe Millán B.
dq
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Y
V = K l dx /x
x varia entre d y d + L
V = K (Q/L) Ln ((L+d) / d)
+++++++++++++
d
L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Y
Ejemplo 3.18 Potencial eléctrico de un hilo cargado
+
+
+
Se + tiene un hilo de longitud (L), con distribución
uniforme
de carga l y se desea encontrar el potencial
+
eléctrico
a una distancia x perpendicular a uno de sus
+
+
extremos.
+
Seleccionamos arbitrariamente un elemento dq, que
+
+ tiene una longitud dy y se encuentra a una distancia
+ r del punto donde se va a encontrar el potencial
+ eléctrico.
+
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
dy +
dV = K dq / r ; dq = l dL = ldy ; r = (x2+ y2)1/2
2+ y2)1/2
dV
=
K
ldy
/
(x
dq
Este es el potencial eléctrico de un elemento, ahora,
sumamos la contribución de todos los elementos.
r
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
V = Kl  dy / (x2 + y2)1/2) ; y varia de 0 a L
+
V = Kl { Ln(y + (x2+y2))} y varia de 0 a L
r
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
V = Kl{Ln (L+(x2+L2)) – Ln L)}
V = K (Q/L) {Ln (L + (x2+L2)/ x)}
Luis Felipe Millán B.
X
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 3.19 Potencial eléctrico de un aro a lo largo del
eje central
R
Potencial
deradio
un aro
lo una
largodistribución
del eje central, y a
Se
tiene uneléctrico
anillo de
R acon
una distancia
x de Q
su centro, el aro tiene un radio R y una
continua
de carga
distribución de carga l.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
dq
+
r
Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto a
una distancia x del eje central del anillo.
x
q
dl
X
1/2
dVV
==
K
dql(l
/lR
;da
dq2/+=(x
l22+
dl
(R da
dV
R=}2l
)1/2da
=K
{K
/(x
R
)
=rR(Q/2pR)
1/2
2+
Tenemos el potencial
eléctrico
un2)elemento,
ahora,
V =ra=p;a=0
K
Q 2/ +(xR2de
R
= (x
)^½
sumamos la contribución de todos los elementos
+
Y
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 3.20 Potencial eléctrico sobre el eje central de
un disco
Potencial
Se
divide el
eléctrico
disco ena elementos
una distancia
de área
x endA,
el eje
cada
central
uno con
de
un disco
carga
dq.de radio R con una densidad superficial de carga
s uniformemente distribuida.
QQ
a
El elemento infinitesimal de área dA y se encuentra a una
R
RR
distancia a del centro
del disco.
da
Luis Felipe Millán B.
pa da
pa
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
Vdq
= (s/(e0*{x +R½ - x}
+
+a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r
x
X
2/+a
2)1/2
1/2
2
2)1/2
V
=

Ks2pada
/
(x
V
=
(1/4p
e
0
)
sp

du
u
dV
=
Kdq/r
;dq
=
sdA=
spada)
dV
=
K(spada)
/
(x
+a
Se desea encontrar
el
potencial
eléctrico
en un
pada
2+a
22)=du
x
=
R
;
x
02)1/2 = 2ada
sea
u
=
(x
r
=
(x
punto
a unaeléctrico
distanciade
x del
centro.
potencial
un+aelemento,
sumamos la
contribución de todos los elementos.
Luis Felipe Millán B.
Y
q
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial
DV = - E  ds  dV = - E  ds
Si el campo eléctrico es radial
E  ds = Er  dr \
dV = - Er  dr
Er = - (dV/dr)^
r
Si el campo eléctrico tiene solo
componente en x, y o z
dV = - Ex  dx  Ex = - (dV/dx)^
i
dV = - Ey  dy  Ey = - (dV/dy) ^
j
dV = - Ez  dz  Ex = - (dV/dz) ^
k
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si el campo eléctrico tiene componente en
x, y, z ;
s = x ^
i + y ^
j + z ^
k 
V = - Ex  x  Ex = - (V / x)^
i
V = - Ey  y  Ey = - (V / dy)^
j
V = - Ez  z  Ez = - (V / z)^
k
E = - (/x^
i + /y^
j + /z^
k) V
E = - V
El campo eléctrico es igual al negativo del
gradiente del potencial.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Sobre
La
componente
cierta
región
del del
vector
espacio,
campo
el potencial
eléctrico
eléctrico
es igual es
al
Ejemplo
E23.21
x = (10 x y3 z – y z2+ 6 x z2)^
i
N/C
2+ 3 x
2z2 potencial con respecto a la
V = 5 xEyy 3de
negativo
z
–
la
x
y
deriva
z
del
2
2
= (15 x y z – x z2)^
j N/C
coordenada.
2y3– 2 x y z + 6 x2z) ^
E
z
=
(5
x
k N/C
Encuentre las expresiones para las componentes
x, y y z
^i - 62esta
^j + 0región.
^k ) N/C¿cuál es la
del campo
eléctrico
E(2,1,-1)
= (- 9sobre
es p (2,1,-1)?
magnitud yLalamagnitud
dirección del
del campo
campo eléctrico
en el punto
E = (Ex2 + Ey2 + Ez2) = 62.65 N/C
La dirección del vector campo eléctrico con
respecto a cada componente es
Cosa= Ex / E  a= Arcos (Ex / E) = 98.26°
Cosb= Ey / E  b= Arcos (Ey / E) = 171.74°
Cosg= Ez / E  b= Arcos (Ez / E) = 90°
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 3.22
+
Un dipolo se localiza en eje Y como en la figura a)
Si el punto esta alejado del dipolo r >> a ¿cuál es el
potencial en el punto? b) ¿cuál es la componente del
campo eléctrico en Ex, Ey, Eq, Er?
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Er
r+
+
a
-a
r
ra
a
Luis Felipe Millán B.
Eayx== --V
( V// a
 x)
EE
ai
=
(V/x)
j^
^
2+y
2)3/2
3/2)-)/ r2 x} ^
V
=
K
(q/r
+Cosa/
q/r
2
V
=
K
(P)
2
2
EEx y=E=a-{KP
(x
/
(x
i
E
r
=
(
V/

r)
^
=Kp/r Cosa
a
a^
KPx(1/(x
+y 2) / ^
)r2 /x
j
½
2-- r2r)2+(x
225/2
2+))5/2yi
=
Kq
(r
)
/
(r
*r
2
Como;
=
+y
)
2
EExEr=V
KP(2x
y
/
(x
+y
=
-K
P
Cosa
(1/r
)
/
 r^
r
E
a
=
KP/r
Sena
a
y = 3KPxy / (x +y )^^
j
2+y
2)½
r+ = r ECosa=
-r a=2Cosa;r
=
r
+
a
Cosa
3
x
/r
=
x
/
(x
K P Cosa / r ^
r
r- - r+ = (r +a Cosa(r - a Cosa)
entonces
r-V-=r+K= P2 xa /Cosa
(x2+y2)3/2
r-*r+ @r2
V = K(q2 a) Cosa/ r2
V
= K (P) Cosa/ r2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
3.13 Auto-evaluación
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
¿Qué cambio
Ejercicio
3.1 de energía potencial experimenta una carga
de +50 mC cuando se mueve entre dos puntos para los
cuales la diferencia de potencial es de +150 voltios?
R) DU = 4.6875*1016 eV
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
¿Qué
diferencia
de potencial se necesita para frenar un
Ejercicio
3.2
protón que tiene una velocidad inicial de 12103 m/s?
R) Va – Vb = 75.15 V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
¿Cuánto 3.3
trabajo se realiza al mover el numero de
Ejercicio
avogadro de electrones al moverse en línea recta a partir
de un punto inicial (a) donde el potencial es 20 V hasta
un punto final (b) donde el potencial es –20 V?
R) W = -3.8528*106 Julios
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un
positrón
Ejercicio
3.4 tiene la carga de un protón y masa de un
electrón. Suponga que un positrón se mueve 6 cm en la
dirección de un campo eléctrico uniforme de 6000 V/m.
a) ¿cuánta energía gana o pierde el positrón?. b) ¿cuánta
energía cinética?
R) a) W = – 5.76*10-17 J y b) W = +5.76*10-17 J
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 3.5
10 cm
x
+
+
5 mC
2 mC
-3 mC
Las cargas mostradas en la figura están fijas en el
espacio. Determine el valor de la distancia x de modo
que el valor de la energía potencial eléctrica del sistema
sea cero.
R) x = 0.15 m
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
gota3.6
esférica con una carga de 32 pF tiene un
Ejercicio
potencial de 512 V en su superficie. Si dos de tales gotas
de la misma carga y radio se combinan para formar una
sola gota esférica ¿cuál es el potencial de la nueva gota
así formada?
R) V2 = 812.75 V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 3.7
m
q
Un bloque de masa m y carga q positiva se encuentra en
una superficie horizontal sin fricción y esta unido a un
resorte de constante k. De esa manera el sistema se
coloca en un campo eléctrico uniforme E horizontal. a)
¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?. b) Si m
= 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. ¿En
que cantidad máxima se alarga el resorte?.
R) a) x = 2q E/k y b) x = 0.5 m
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Tres cargas
Ejercicio
3.8iguales de +2 mC se encuentran formando un
triangulo equilátero de lado a de 2 cm. Si se abastece de
energía a razón de 600 Watios, ¿cuántas horas se
necesitarían para mover a una de las cargas al punto
medio de la línea que une las otras dos cargas?
R) 6000 s = 1.67 h
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Calcule la3.9
energía requerida para agrupar cuatro cargas
Ejercicio
negativas formando un rectángulo de lado 2a horizontal
y
a vertical. Si Q es –5 mC y a es 5 cm. ¿cuánto vale la
energía para mantener las cargas agrupadas de esa
manera?.
-
2a
-
a
-
-
R) U = 17.52 J
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
A
una distancia
Ejercicio
3.10 r de una carga puntual Q, el potencial
eléctrico es de 500 V y la magnitud del campo eléctrico
es 250 V/m. ¿Cuál es el valor del radio y de la carga?
R) r = 2 m y Q = 111.11 C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio
3.11 con carga de 4 mC y masa de 0.1 gr se
Una partícula
mantiene en un posición fija, una segunda carga de 2 mC
se encuentra inicialmente en reposo a 1 cm. Luego se
suelta la segunda carga y es repelida por la primera.
¿Determine la velocidad en el instante que se encuentra
a 1.5 cm?
R) vb = 219.09 m/s
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
carga3.12
q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una
Ejercicio
carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga negativa
parte del reposo un electrón ¿cuál es su velocidad cuando
esta a 2 cm de la carga positiva? ¿Cuál es su energía
cinética en electrón-voltio?
R) va = 5.97*108 m/s y Ek = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
cierta3.13
región del espacio el potencial eléctrico es
Ejercicio
V = 10x + 5x2y3z - 2xyz2. Encuentre las expresiones de
las componentes del campo eléctrico sobre esta región.
¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico
en el punto p de coordenadas (1,2.-1).
R) E (1,2,-1); = (74^
i + 62^
j - 48 ^
k ) N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dos
placas
planas y paralelas tienen cargas iguales pero
Ejercicio
3.14
de diferente signo, una diferencia de potencial de 500 V
y están separadas 2.0 cm. Un electrón es proyectado de
una placa hacia la segunda ¿cuál es la velocidad inicial
del electrón si llega al reposo justo en la superficie de la
segunda placa?.
R) vo = 13.26*106 m/s
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
lamina
Ejercicio
3.15 infinita de carga tiene una densidad
superficial de carga s = 20 mC/m2 ¿cuál es la separación
entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales
difieren de
40 V?
R) V = 17.68 cm
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
¿cuántos
electrones hay que extraerse de un conductor
Ejercicio 3.16
esférico de radio de 10 cm inicialmente descargado para
producir un potencial de 10 KV?
R) N = 6.25*1011 electrones.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dos
anillos
Ejercicio
3.17coaxiales de radio R están separados una
distancia 2R. a) ¿Calcule el potencial eléctrico en un
punto sobre el eje común a una distancia R entre los dos
anillo, suponiendo que cada anillo tiene una carga
distribuida uniformemente? b) Si la carga distribuida
uniformemente es de 10 nC y el radio de 10 cm ¿Calcule
el potencial eléctrico en un punto sobre el eje común a
una distancia R entre los dos anillo?.
R) a) Vt = 2½ KQ / r b) Vt = 1272.79 V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 3.18
rb
ra
Se tiene una arandela de radio interior ra,
radio exterior rb y densidad superficial
uniforme de carga s. Halle el potencial
eléctrico a una distancia x de su eje central
y a partir del potencial encuentre el campo
eléctrico en ese punto.
R) a) V = Ksp2 {(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½}
b) E = (s/2e0{x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½}
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
3.16 Solucionarlo
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.1
Va
Va > Vb ; Va – Vb = DV
Vb
E
DU = q * DV, entonces, DU = 7500 mJ = 7500*10-6 J
1 eV = un electrón-voltio = 1.6*10-19 julios
DU = 7500*10-6 J *( 1 eV / 1.6*10-19 J) = 4.6875*1016 eV
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.2
Va
Vb < Va
+
Vb
+
E
– DU = DK \ – (QVb – QVa) = ½mp vb2 – ½mp va 2
–
Q (Vb – Va) = ½mp vb2
Va
– Vb = ½mp vb2/ Q
Va – Vb = (1.2024*10-17) J / 1.6*10-19 C) = 75.15 V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.3
20 V
Vb < Va
-20 V
E
Al mover una carga positiva en la dirección del campo
eléctrico se hace un trabajo positivo, al mover una carga
negativa en la dirección del campo eléctrico se realiza
un trabajo negativo.
W = – DU = – QDV = – Q (Vb – Va)
W = –(6.02*1023 átomos/mol*–1.6*10-19 C/átomo)(–20–
20)V
W = -3.8528*106 Julios
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Va
S 3.4
Vb < Va
+
Vb
+
E
a) W = – DU = – QDV = – Q (Vb – Va)
W = – Q (Va – Vb) = – Q (E x)
W = – (1.6*10-19 C) * (6000 V/m * 0.06 m) = – 5.76*10-17 J
b) W = DK = +5.76*10-17 J
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.5
+
5 mC
10 cm
+
2 mC
x
-
-3 mC
U = KQ1Q2 / r12 – KQ1Q3 / r13 – KQ2 Q3/ r32 = 0
Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.10+x) m – Q3 Q2/ x = 0
10 x2 – 1.1 x – 0.06 = 0
x = 0.15 m
U = K (Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.25) m – Q3 Q2/ 0.15) = 0
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.6
1) V1 = KQ / r1 2) V2 = K2Q / r2
Dividiendo 1 en 2, V1/ V2 = r2 / 2r1
3) Volumen1 = 4/3 p r13 4) Volumen2 = 4/3 p r23
Dividiendo 3 en 4, entonces,
Volumen1 / Volumen2 = r13/ r2 3
pero; 2 Volumen1 = Volumen2, entonces,
Volumen1/ 2Volumen1 = r13/ r23
/ 2 = r13/ r23; 1 / 2 = r13/ r23
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
1
r23= 2 r13\
r2 = 21/3 r1
V1/ V2 = 21/3 r1 / 2r1
V1/ V2 = 21/3 / 2 = 1 / 22/3
V2 = V1 * 22/3 = 812.75 V
r1 = KQ / V1 = 5.625*10-4 m :
2) r2 = K2Q / V2 = 7.087*10-4 m
r2 = 21/3 r1 = 7.087*10-4 m
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.7
m
q
m
q
E
=UU
E
EiE=f =KK
aE+
bi +
gafgb
++UUeaeb++UU
ab
Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb + Ueb + Ub
Ua = Ueb + Ub
qVa = ½kx2 + qVb
q (Va – Vb) = ½kx2
q (Ex) = ½kx2
q E = ½kx \2q E/k = x
x = 0.5 m
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.8
+
++
+
++
2/ a 2 =
2/ 2a/ =
= KQ2 2// a(a/2)
+ KQ
/
a
+
KQ
(a/2)
DU U
= 5KQ
-2 3KQ
2KQ
3.6 MJ
2
2
U = KQ /a
+ KQ
+ KQ /a
2/ a /a
U = 65KQ
=J/s)
9 MJ
t = DU / P = 3.6*10
J / 2(600
= 6000 s = 1.67 h
U = 3 KQ / a = 5.4 MJ
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.9
-
2a
-
a
-
-
U = k Q2 {1/2a + 1/(a 5) + 1/a + 1/a + 1/(a 5) + 1/2a}
U = k Q2/a {1 + 2 / 5 + 2}
U = KQ2/a {3 + 2 / 5} = 17.52 J
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.10
1) V = KQ / r
2) E = KQ / r2
Dividiendo 1 en 2
r = V / E = 500 V / 250 V/m = 2 m
Q = r V / K = 111.11 nC
Q = r2 E / K = 111.11 nC
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.11
rba=1.0
=1.5 cm
+
+
+
Q1
Q2
Q2
22
Efi == U
U
K
Q7.2
22 VabJ +=K
af =JQ
(KQ1-5/rKg
ab) +v½
Eafi ++
=K
Eaff ==
\Q
4.8
+2 5*10
b2,m vab
-50Kg vb2
E
f
=
4.8
E
i
J
=
+
7.2
5*10
J
+
entonces vb = 219.09 m/s
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.12
q1
+
q2
r
a
b
r1a
Va = K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 V
r1b
r2b
Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V
Ea = Eb ; Ub + Kb = Ua + Ka

qeVb + 0 = ½meva2+ qe Va
va = {2qe(Vb - Va) / me}½ = 5.97*108 m/s
Ek = ½mev2 = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
r2a
S 3.13
E = - {10x + 5(x2)(y3)z - 2xy(z2)}/ s
Ex = - V / x = -{10 + 10x(y3)z - 2y(z2)}
Ey = - V / y = -{15(x2)(y2)z - 2x(z2) }
Ez = - V / z = -{5(x2)(y3) - 4xyz}
E (1,2,-1); = (74^
i + 62^
j - 48^
k ) N/C
La magnitud del campo es :
E = (Ex + Ey + Ez )½ = 107.81 N/C
La dirección del campo es:
Cosa= Ex / E a= Arcos Ex / E) = 46.55°
Cosb= Ey / E b= Arcos Ey / E) = 54.89°
Cosc= Ez / E c= Arcos Ez / E) = 116.43°
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.14
-
+
-
++
Luis Felipe Millán B.
- -
vf2 = vo2+ 2(EQe/me) * d = 0
vo2= -2 (V/d)(Qe/me) * d
vo = (-2 (VQe/me)
vo =-2*(500 V)(-1.6*10-19 C) / 9.1*10-31 Kg)
vo = 13.26*106 m/s
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.15
s
s
d
V = E d = (s /eo) d, entonces, d = V eo / s= 17.68 cm
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.16
r
V = KQ / r, entonces, Qt = rV/K = 100 nC
Qt = Nqe \ N = Qt /Qe = 6.25*1011 electrones.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 3.17
R
R
El potencial eléctrico de un anillo a una distancia x es;
V = K Q / (x2+ R2)½
El potencial eléctrico neto a una distancia x = R;
a) Vt = 2 (KQ / (2R2)½ ) = 2(K Q / (2½ R)) = 2½ KQ / r
b) Vt = 1272.79 V
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a) dV = KdQ / r = K (sdA) / (z2+x2)½
dV = Ks(2pz dz) / (z2+x2)½
S 3.18
V = Ksp(zdz)/ (z2+x2)½
rb
r
z varia entre ra y rb
z
ra
Luis Felipe Millán B.
x
V = Kspdu/ u½
V = Ksp2 u½
V = Ksp2 {(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½}
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
rb
b) E = -V/x
E = - Ksp2 {(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½ }/x
E = - Ksp2 {x/(rb2+x2)½ - x/(ra2+x2)½}
E = Ksp2 {x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½}
E = (s/2e0{x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½}
r
z
ra
Luis Felipe Millán B.
x
U. AUTONOMA DE COLOMBIA