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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Campo eléctrico y Ley de Gauss
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2.1 Introducción
Unidad
II
2.2 Objetivo general
2.3 Objetivos especifico
2.4 Campo gravitacional
2.5 Líneas del campo gravitacional
2.6 Campo eléctrico
2.7 Superposición de campos
2.8 Dipolo eléctrico
2.9 Líneas de campo eléctrico
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo
eléctrico uniforme
2.11 Distribución continua de masa
2.12 Distribución continua de carga
2.13 Flujo eléctrico
2.14 Ley Gauss
2.15 Auto-evaluación
2.16 Solucionarlo
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Después
De
igual introduciremos
modo que el sollainfluye
ley de sobre
Gausslos
y planetas
las ventajas
no
2.1
Introducción
que proporciona
obstante
de estarsua empleo.
millonesEsta
de kilómetros,
ley facilita en
unamuchos
carga
casos elejercer
puede
calculouna
de fuerza
campossobre
eléctricos,
otra, las
aunsituaciones
cuando estén
que
pueden analizarse
separadas
por una gran
directamente
distancia.utilizando la ley de Gauss
es pequeña pero que pueden realizarse con extraordinaria
En este capitulo presentaremos y desarrollaremos el
facilidad, en particular, simplifica mucho el calculo de los
concepto del campo eléctrico para una distribución
campos eléctricos cuando hay simetría en la distribución
continúa o discreta de cargas en reposo, aprenderemos
de carga.
algunos modos en que nos puede ser útil evaluar el
Es justoeléctrico,
campo
decir que
así sicomo
la ley
la utilización
de Coulomb
de constituye
las líneas de
el
“caballopara
campo
de su
batalla”
representación..
de la electrostática, la ley de Gauss
proporciona “perspicacia”.
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Proporcionar
al estudiante los elementos fundamentales
2.2 Objetivo general
que estructuran y parametrizan conceptualmente la
intensidad del campo eléctrico y la determinación de
dicho campo generado por una distribución continua o
discreta de cargas, así como, la aplicación de la ley de
Gauss para relacionar el flujo eléctrico con la carga neta
de un conjunto de cargas puntuales.
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Proporcionar
al alumno los principios teóricos que
2.3 Objetivos específicos
relacionan el concepto de campo eléctrico con el de
líneas de fuerza para sistemas de carga sencillos y así
poder obtener información respecto a la dirección e
intensidad del mismo a partir del diagrama trazado.
Proyectar la aplicación temática al estudio del
movimiento de cargas en campos eléctricos como en el
caso de los tubos de rayos catódicos.
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La
masa tiene
una propiedad muy importante y es
2.4 Campo
gravitacional
modificar el espacio que la rodea formando un campo, el
campo gravitacional. Consideremos que la masa que
engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de
prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r
de sus centros se genera una fuerza de carácter
gravitacional.
Luis Felipe Millán B.
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La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da
el valor de la intensidad del campo gravitacional a esa
distancia r de su centro.
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Calcule
intensidad del campo gravitacional en la superficie
Ejemplola2.1
de la tierra, si el radio medio de la tierra r es 6.37*106 m, la
masa de la tierra M es 5.98*1024 Kg. y G (constante de
Cavendish) 6.67*10-11 N*m2/Kg2.
g = -G M / r2^
r = -9.8 m/s2 ^
r
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El
campo del
gravitacional
es radial, dirigido hacia el
2.5 Líneas
campo gravitacional
centro, en todas direcciones e intenso cerca de la
superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca.
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La
en su estado natural es eléctricamente neutra,
2.6 materia
Campo eléctrico
si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o
exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero
modifica el espacio que la rodea engendrando un campo
de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto
cargado que genera el campo es Q positiva y la carga que
colocamos
dentro del campo es Q a una distancia r de sus
FQQ
+
centros,entonces,
se produce
+ carácter
r una fuerza de
eléctrico. Q
Q
FQQ = KQQ / r2^
r
Luis Felipe Millán B.
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La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el
valor de la intensidad del campo eléctrico generado por
la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de
su centro.
EQ
+
r
Q
^
Luis Felipe Millán B.
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Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un
campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q
positiva u objeto cargado dentro de ese campo a una
distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza
electrostática.
FQQ
+
r
Q
Q
FQQ = KQQ / r2^
r
Luis Felipe Millán B.
+
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el
valor de la intensidad del campo eléctrico generado por
la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de
su centro.
+
EQ
r
Q
^
Luis Felipe Millán B.
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Campo eléctrico de repulsión generado por una carga
puntual u objeto cargado Q positiva a una distancia r.
r
+
Er = K Q / r2 ^
r (N/C)
actúa en dirección radial
Campo eléctrico de atracción generado por una carga
puntual u objeto cargado Q negativa a una distancia r.
r
-
Luis Felipe Millán B.
Er = K Q / r2 ^
r (N/C)
actúa en dirección radial
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El átomo2.2
de hidrogeno en su configuración normal, no
Ejemplo
excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un
protón a un distancia r = 5.3*10-11 m. ¿Cual es el campo
eléctrico debido al protón en la posición del electrón?
Er = K Q / r2^
r
K = 9*109 (N m/C2)
r = 5.3*10-11 m
Er = 5.13*1011 ^
r N/C
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Q = +1.6*10-19 C
^posición
El vector
j +5es:mCLa
vector
r es: de
Una
Q de^
el origen
2+32)1/2 del
Ejemplo
rcarga
= r2.6.1
r se
=magnitud
(1encuentra
= 2enm
x i + ry
coordenadas. Encuentre la magnitud del vector campo
El ángulo
que qforma
elmvector
= 3)
(3/1)
= 60oposicion con la
eléctrico
en elArtan
punto
(1,
horizontal es:
^j
El vector
eléctrico
es:
E =campo
Ex^
i +E
y
Y
SEy
El campo eléctrico^es de repulsion.
j
E = E cosq i + E senq ^
Por tanto esta dirigido hacia fuera.
E
Las componentes rectangulares
del
^
^
E = E (cosq i + senq j )
(1, 3)
vector campo eléctrico son:
m
q
2)(3/2 ^ + 1/2 ^
j)
E
=
(KQ/r
i
SEx
r
+
SEy
q
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j )N/C
E = 11.25*103(3/2 ^
i + 1/2^
3 N/Celéctrico es:
La magnitudEdel
vector campo
= 15.37*10
X
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Z
Una carga
Ejemplo
2.6.2 Q = +5 mC se encuentra en el origen,
2)1/2 = 53 m
rEncuentre
= distancia
(52 + 3la+de
5la
La
carga del
al punto
¿PORes:campo
QUE? (5,
3, 5)en
magnitud
vector
eléctrico
E
zm
El campo electrico
el
punto
(5,
3,
5)
m
E
^k
^j eléctrico
^i campo
El
vector
E
=
E
+
E
+
E
x
y
z
es de repulsion y
E
x
^
^
^
^k )kr
las
componenetes
E
Cosb^
E Cosg
E==E
ECosa
(Cosai ^
i+ +E Cosb
jj ++ Cosg
z
del vector campo
¿QueE significado
tiene la ecuacion?
^
=
E
u
eléctrico son:
direccion del = 46.62ro
aLa
= Arcos(5/53)
Ey
o
campo = 76.24
b =vector
Arcos(3/53)
La magnitud
del vector
2
o
eléctrico
es:
E = KQ/r = 849.06 N/C
g = Arcos(5/53) = 46.62
campo eléctrico es: X
+
rx
^i + 3/53
El vector
campo^j eléctrico
es:
E = 849.06(5/53
+ 5/53^k)
N/C
E = 583.14 ^
i + 202
k) N/C
ry ^j + 583.14 ^
Y
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Ya
el principiodedecampos
superposición
lineal es valido para
2.7 que
Superposición
eléctricos
la ley de Coulomb, también es valido para el campo
eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico
en un punto producido por una serie de n cargas.
puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno
de los campos individuales.
ET = E1 + E2 +...+ Ei +..... + En
ET = K(q1/r12 ^
r1 + q2/r22 ^
r2 +......+qi ri2 ^
ri+.......+ qn/rn2 ^
rn)
ET = K  qi / ri2 ^
r
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En la figura
resultante en el
Ejemplo
2.3 dibujar el campo eléctrico
E1
punto(*) debido a una carga Q1 positiva y dos cargas
negativas Q2 y Q3.
*
+
E2
Q1
-
Q2
E3
- Q3
Luis Felipe Millán B.
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Se tiene una carga Q1 positiva en el punto (x1,y1) y una
Ejemplo.2.4
carga Q2 negativa en el punto (-x2,y2). a) ¿Cual es la
magnitud yy la dirección del campo en el punto (x,y)? b)
Si Q1 = +2 mC y esta en (2,1) m, Q2 = -4 mC y esta en (1,3) m. ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en
2
2 ½
el punto (5,5) m? r2 r={(
2 x2 - x) +(y2 - y) } = 210 m
-
Q2 (-1,3)
r1 ={(x1 - x)2+(y1 - y)2}½ = 25 m = 5 m
r1
+
Q1 (2,1)
x
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E1y
y
E2x
-
Q2 (-1,3)
Luis Felipe Millán B.
a
q
E1x
Dibujamos la dirección de los campos.
E2y
Trazamos
unlas
marco
de referencia
x,y en el
Dibujamos
componentes
del campo
punto
donde
va a xevaluar
campo
eléctrico
en se
el eje
y en eleleje
y.
eléctrico.
+
Q1 (2,1)
x
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cosa=(x-(-x
Cosq
2)) /=r2(x-x
= (5-(-1))
1) / r1 = (5-2)
/ 40 /=56=/ 3210
/ 5 = 3 / 10
Sena=(y-y
Senq2 ) =/ r(y-y
2 = (5-3)
1 ) / r1/ =
40
(5-1)
= 2//52
= 4 / =5 1 / 10
y
r2
a
-
Q2 (-1,3)
r1
q
+
Q1 (2,1)
x
Luis Felipe Millán B.
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E1y
E2x
q
a
E2y
-
Q2 (-1,3)
+
Q1 (2,1)
Luis Felipe Millán B.
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E1x
E1y
E2x
q
a
E1x
E2y
E
x = (E
1x - E2x) campos
- respectivas
E2 Cosa) i
Ahora
sumamos
en sus
i = (E1 Cosq
j = (E1 Senq - E2 Sena) j
Ey = (E1y - E2y)
componentes.
^
^
Luis Felipe Millán B.
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^
^
Ex = K(Q1 Cosq / r12 - Q2 Cosa / r22)^
i
Ey = K(Q1 Senq / r12 - Q2 Sena / r22)^
j
Ex = 9*109 (2*10-6 * (3/5)/25 – 4*10-6 * (3/10)/40)
Ex = -421.8 N/C
Ey = 9*109 (2*10-6 * (4/5)/25 – 4*10-6 * (1/10)/40)
Ey = 291.4 N/C
E =(-421.8^
i + 291.4^
j)
2) magnitud del campo es:
E = (x2 + yLa
= ((-421.8)2 + 291.42)½ = 512.67 N/C
campo = 145.36°
l = Artan Dirección
(y / x)del
= -34.64°
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E
YX,Y
Trazamos
Un
Descomponemos
dipolo
el
consta
marco
los
de
vectores
referencia
dos
cargas
de igual
en elmagnitud
punto donde
pero
2.8 Dipolo
eléctrico
 Ex = ((E-x)+(E+x)) ^
i E+y
de signos
campo
vamos
a evaluar
eléctricos
contrarios
el campo.
separadas
en sus una distancia d = 2a. Si las
Dibujamos la dirección de
^
j

E
y
=
((E
+y
)-(E
-y
))
=
0
componentes
cargas son +5x,y
mC y -5 mC respectivamente, la separación
los campos
entre la cargas es de 20 cm y el punto de la bisectriz es de
2+a2) = 0.51 cm
r
=
(y
50 cm. Encontrar el campo eléctrico
en el punto
sobre
la
a
E
-x
+
E
+y
2+a2)
Cosa
=
a/r
=
a/(y
Sena
X
bisectriz.
a
= y/r
y
-y
+
Luis Felipe Millán B.
a
a
2a
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-
Ex = K (Q Cosa / r2 + Q Cosa / r2)^
i
Ex = 2 (K Q Cosa / r2)^
i
Ex = 2(K Q a / (y2 + a2)3/2) ^
i
E = K(Q2a) / ((y2 + a2)3/2) ^
i
P = Q2a = momento dipolar eléctrico
Ex = 67886.35^
i N/C
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q3
Se rtienen
tres
cargas
de
igual
magnitud
q que forman un
Ejemplo.2.5
1 = r2 = r3 = r
triángulo
de lado f2L. Si q1 es positiva y esta en
Cosf =equilátero
L/r
el rpunto
= L / (0,0),
(Cosf)q2 es positiva y se encuentra en (2L , 0) m
r3
y qr3=esL negativa
/ (3/2) y esta en (L , L3) m. Encuentre a) La
magnitud
la dirección del campo
eléctrico en el centro
E3
r = 2 Ly/ 3
del triángulo. Eb)
cm
Cual es la
2 Si q = 2mC y L = 50 E
1
magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro
del triángulo.
r2
r1
q1 + f
Luis Felipe Millán B.
f
2L
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+ q2
r1 = r2 = r3 = r
Cosf = L / r
r = L / (Cosf)
r = L / (3/2)
r = 2 L / 3
E2
- q3
Y
E3
E2y E1y
f
E1
f
X
E1x
E2x
i =0
Sx = (E1x - E2x)^
q1 +
Luis Felipe Millán B.
Sy = (E1y + E2x +E3) ^
j
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+ q2
- q3
Y
r = 2L / 3
l = ArTan (SEy / SEx) = Artan (SEy / ) = p / 2
E3
E2
E2y E1y
a
E1
a
E1x
E2x
S Ex = K (q1 /r2 Cosa - q2 /r2 Cosa)^
i =0
2) (1/2
2 Sena
2)^ 2)^
2+^
SEy = (S
3/4)(Kq/L
Eyy = K
(q/r
+ =q/+1)
r2^
Sena
j = 5(3/2)(Kq/L
+^
j
(3/2)Kq/L
j1/2
1.08*10
j q/r
N/C
j
q1 +
+ q2
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X
Se tienen dos cargas positivas de 4*10-9 C y 1*10-9 C,
Ejemplo.2.6
separadas una distancia r de 1 m. ¿En que punto diferente
2
E1
del infinito a lo largo de la Erecta
queq1 une
el+
Si
> q2 sus centros
+
r
1
r es la magnitud y lar2 direcciónq2
campo
neto
es
cero?
¿Cual
q1
del campo?
r
r1
r2
2
2)2r1210.67
21r
1
=
r
q
r
q
r
q
1
r
q
2
q
1
/
1
1
=
r
=
1
/
r
E
r
=
r
=
(q
1
r
1
1
1
q
r
=
q
1
=
2
1
+
=
+
E
2
2
=
q
r
+
2
0.33
2
q
/
2
r
(r
r
1
/
1
1
q
q
r
)
2
m
=
) m i N/C
q
1
/
r
=
q
2
/
(r
r
1
2
^
E1 = 81.0 i N/C
Kq1 / r1 = Kq2 / rE
222 = -81.00 ^
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Se tiene una carga positiva de 1*10-9 C y otra negativa de
Ejemplo.2.7
–9*10-9 C separadas una distancia de 1 m. ¿En que punto
E2 que rune
a Elo1 largo de la recta
susr2 centros diferente
del
1
r
+
Si
q
1 < q2
infinito el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud
y laq2
q1
dirección del campo?
r2
r1
r
2/1rr1+
2r+
2r=
2r)0.5
2)2 m
r
2
=
1
r
=
1.5
m
r
1
=
q
r
q
Kq
r
q
1
1
r
q
q
/
/
q
1
1
r
r
1
/
1
1
=
(q
=
=
r
1
1
=
q
q
q
2
q
2
q
Kq
2
2
/
1
2
q
/
(r
=
/
2
(r
r
1
r
+
r
1
/
)
2
1
+
q
r
q
2
1
1
^
E1 = -36. i N/C
i N/C
E1 = E2 E2 = 36 ^
1
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se coloca dentro de un campo eléctrico E una esfera de
Ejemplo.2.8
carga q y masa m, suspendida de una cuerda de longitud
l y masa despreciable, cuando esta en equilibrio forma un
ángulo q con la vertical. a) ¿Cual es la carga de la
partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda? b) Si la masa
de la esfera es de 1gr, el ángulo es 30° con la vertical
cuando esta en equilibrio y el campo es:
j )*104 N/C
i +20 ^
E = (-10^
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Y
E = -Ex^
j
i + Ey ^
F
T
Fy Ty
l
q
l
q
Fx
Tx
m,q
m,q
Luis Felipe Millán B.
W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
 Fx = (T Senq - Fx)^
i = (T Senq - Ex q)^
i =0
1) T Senq = Ex q
Fy = (T Cosq + Fy - W ) ^
j = (T Cosq + Ey q - W) ^
j=0
2) T Cosq = W - Ey q
q = mgDividimos
Tanq / mg
(E
Wy Tanq
1Tanq
en 2=–+
EqEyyTanq
x(E
q)qTanq
y=
Tanq
Tanq
26.26
= E+=x+E
qE
nC
xE
/x qx(W
=
) 26.26*10
- Ey q) -9 C
T = Ex q / Senq = 5.252 N
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La
Miguel
Faraday,
en
campo
1840
esintrodujo
proporcional
el usoade
la las
densidad
líneas de
2.9intensidad
Líneas
de del
campo
eléctrico
las
campo,
líneas,creía
estoque
es, el
eran
campo
reales
es yproporcional
las dotó dealpropiedades
numero de
líneas
elásticas,
que casi
pasansea pueden
través de“sentir”
un árealas
normal
líneas,
a lajalando
dirección
las
del
cargas
campo
para
N =que
E se
A junten o empujándolas para que se
Las
líneas
de cuando
campo desde
también
proporcionan
aparten.
Aun
el punto
de vista información
moderno las
sobre
delson
campo.
Lasayudan
líneas de
están
líneas ladeintensidad
campo no
reales,
a campo
visualizar
el
mas
juntas
el campo es intenso y mas separadas
campo
que sidonde
es real.
donde es débil.
Luis Felipe Millán B.
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2)
4)
3)
La
La
Propiedades
numero
intensidad
dirección
5) Lasdelíneas
del
líneas
del
de las
campo
campo
deque
líneas
campo
en
se
esdel
originan
un
proporcional
nunca
punto
campose
osiempre
eselectrostático
terminan
cruzan.
laadirección
la parten
densidad
en una
)El
Las
líneas
campo
electroestático
de
de cargas
líneas
de
lacampo,
tangente
adecir,
la línea
de
campo.
delíneas
las
carga
positivas
es
proporcional
yes
terminan
aalla
ennumero
carga.
las
cargas
N
negativas.
Q por
unidad de área. N = E  A
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Las líneas
Líneas
de campo
de campo
son radiales
de una carga
salen de
positiva.
la carga en
todas direcciones.
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
LasLíneas
líneas de
de campo
campo de
llegan
una acarga
la carga
negativa.
de todas
direcciones.
-
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
campo enuniforme
unas placas
planasdentro
y paralelas
SeLíneas
puedede
considerar
el campo
de las
placas, ya que la líneas de campo son paralelas.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
E+
Las
campo salen
de la carga
positiva
hacia la
El líneas
campode
eléctrico
es tangente
a la línea
de campo.
E
negativa o hacia el infinito
E+
Luis Felipe Millán B.
-
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Líneas de campo de dos cargas positiva
+
Luis Felipe Millán B.
+
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2.10
decon
partículas
cargadas
en
uniguales
campo
Entre
dosMovimiento
placas
planas
y paralelas
con cargas
y
Se
lanza
un
electrón
una velocidad
inicial
en la
eléctrico
uniforme
dirección
de
signos opuestos
del eje equidistante
existe
un campo
de las
eléctrico
placas.
E uniforme
¿En que
punto de las
dirigido
verticalmente
placas sale el hacia
electrón?
abajo, separadas una
distancia y y de longitud x.
++++++++++
y
VO
- - - - - - - - - x
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Como F = m a. y F = E q  a = E (q / m)
El movimiento enx el
X
es uniforme,
= veje
ot
t = x / vo ya que no hay
componente
horizontal
del campo.
La que
distancia
que
Para este tiempo
la distancia
vertical
recorre
el
2
2
y(t)y(t)
oy ½(Eq/m)(x/v
t uniforme
+ ½(E-)(-q)/m
o) t
recorre
electrón
a=lov=largo
del eje X.
electrón,elcon
movimiento
acelerado.
La posición delrelectrón
= x^
i +al ysalir
^j de las placas
La velocidad
y =+{(E-)(q-)/m}t
(Eqal/m)
salir
t de las placas es
vy = vertical
voy
j de lasvoplacas
La
Lavelocidad
velocidaddel
horizontal
salir
= vX
v electrón
= vox^iesal+ constante
vy ^
La dirección
al salir
F = Artan
(vy de
/ vxlas
) placas
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Entre
dos2.9
placas
planascon
y paralelas
con cargas
iguales y de
Ejemplo
Se
lanza
un electrón
una velocidad
inicial
a una opuestos
distancia
L la
dedirección
6 un
cm campo
de las
se encuentra
unade
6 m/s en
signos
v
0 = 6*10
existe
delplacas
eléctrico
eje equidistante
E uniforme
pantalla
s hacia
1600
de
las N/C
placas.
dirigido
¿En que
verticalmente
punto
de la
pantalla
abajo,
incideseparadas
unaelectrón?
el
distancia de 2 cm y de longitud de 4 cm.
++++++++++
S
y
vO
- - - - - - - - - x
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
L
Para
El tiempo
Laeste
posición
tiempo
para del
laladistancia
electrón
distanciahorizontal
alvertical
salir deque
las
recorrida
recorre
placas es:
el
-9 s
electrón,
movimiento
acelerado.
x = vo tcon
t = x / vo uniforme
= 8 ns = 8*10
y(t) = ½(Eq/m)(x/vo )2 = 0.90 cm
++++++++++
y
r = (4^
i + 0.9^
j ) cm
- - - - - - - - - x
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La
La velocidad
velocidad
del
vertical
electrón
al
salir
al salir
salir
delalas
de
placas
las placas
placas
es es:
LaEl
velocidad
La
electrón
dirección
horizontal
pega
al
en
es
de
pantalla
constante
las
S
6 m/s
vy = (EqFh/m)
t
=
2.25*10
^
Li +
* tan
(vF
y^
vx2.7
) =6 cm
24.23°
v==
(5Artan
2.25
j/=
)*10
m/s
h
voy
++++++++++
y
F
vox
S
L
- - - - - - - - - x
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
L
Entre
De
la dos
placa
placas
negativa
planas
parte
y paralelas
del reposo
conuncargas
electrón
iguales
(me =y
Ejemplo.2.10
-31 Kg.,
-19 C)una
de signos
9.1*10
opuestos
q = –1.6*10
separadas
y simultáneamente
distancia X de 4decm
la
4 N/C
-27
existe positiva
placa
un campo
sale eléctrico
del reposoEununiforme
protón (mde
p =4*10
1.67*10
-19 eje
dirigido
Kg.;
q =a lo
+1.6*10
largo del
C). X.
¿cuál es la velocidad de cada
partícula cuando se cruzan?. ¿En donde se cruzan?
+
+
+
-
-
+
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
-
2px)t
2m
xtp ==
X{(2X
½(Eq
=X½(Eq
= /p½Eq
/Eq)(m
m
X
p /pm
=
)t(1/
pp;m
++
xppxe+/½(Eq
e=(m
1/½(Eq
/pm
+ee/)t
m
m
e2e/e)}
m
)t2e1/2
)t2
xp = X me / (me + mp ) = 2.178*10-3 cm
xe = X mp / (me + mp ) = 3.9978 cm
X = 0.002178 cm + 3.9978 cm = 4 cm
+
+
+
-
-
+
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
-
-9 s
t = {(2X El
/ Eq)(m
tiempo
p mcuando
p / (mp +
semcruzan
e )}1/2 =es
3.37*10
:
vfp = vop + (Eqp/mp) * t = 12921.74 m/s^
i
vfe = voe + (Eqe/me) * t = -23.71*106 m/s^
i
+
+
+
-
-
+
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
-
Normalmente
Podemos
Cualquier
masa
seleccionar
resulta
lacontinua
podemos
sencillo
un
elemento
hallar un
como
suficientemente
volumen
la suma (V)
de
2.11 Distribución
derepresentar
masa
Densidad
volumétrica
de
masa
(r)
pequeño
un
suficientemente
numero
deinfinito
volumen
grande
de (dV)
masas
que contenga
que
quecontenga
se pueden
muchos
unconsiderar
elementos
elemento
infinitamente
masa (dm).
de
puntuales
de
masa individuales
M =pequeño
 mi. Por
o de
moléculas
ejemplo,
empleamos
M =Sielmi.elemento
laSidensidad
la masa
masase distribuye
continua
(dm)
de masa
se en
para
distribuye
describir(V)
en
un se
estado
eldefine:
volumen
de lar materia
(M)
el volumen
= M(dV)
/V
que
en realidad lasedensidad
componededemasa
un rgran
numero rde=
uniformemente,
se define:
dm/dV
moléculas
discretas.
r r= =dm
M//dV
V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si la masa
(M) se distribuye
Densidad
superficial
de masa suniformemente en toda el área
(A) se define la densidad superficial de masa: s = M / A.
b
Luis Felipe Millán B.
s=M/A
a
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Este elemento infinitesimal de área (dA) tiene un
elemento infinitesimal de masa (dm); la distribución
superficial de masa se define:
s = dm/dA = dm/(b da)
s = dm/dA= dm/(b da)
b
da
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si la masa (M)
se distribuye
en masa
una longitud
(L) de
Densidad
lineal de
l
manera uniforme se define la densidad lineal de masa:
l = M/L
l=M/L
M
L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La distribución lineal de masa se define como la relación
de un elemento infinitesimal de masa (dm) en un
elemento infinitesimal de longitud (dl) \ l = dm/dl
l = dm/dl
dm
dl
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Por
analogíaDistribución
cualquier
lineal
la podemos
de carga representar
2.12
Distribución
continuacarga
de
carga
como la suma de un numero infinito de cargas
infinitesimales que se pueden considerar puntuales
Q =  qi
++++ +++++ ++++++
L
l=Q/L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dQ
dl
l = dQ / dl
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Distribución superficial de carga
+++++++++++
+++++++++++
+++++++++++
+++++++++++
b
+ + +s+=+Q+ /+A+ + + +
+++++++++++
+++++++++++
Luis Felipe Millán B.
a
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
s = dQ /dA = dQ / (b*da)
b
Luis Felipe Millán B.
++
++
++
++
++
++
++
++
da
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Densidad volumétrica de carga (r)
r r= =dQ
Q // dV
V
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
Este
SeSumando
Seescoge
colección
elemento
deseaarbitrariamente
encontrar
todas
de
dq forma
las
produce
contribuciones
el campo
regular
un elemento
eléctrico
o irregular
de los
infinitesimal
en elementos
de
unpartículas
puntode
puntuales
carga
producido
(dq)cargadas
que
por
infinitesimales
campo
esta
una
representa
a dE
distribución
unaadistancia
una
deuna
distancia
campo
distribución
continua
r deldE
r.
punto
de donde
carga.
continua
se
va a evaluar
el campo
de carga
Q = qeléctrico.
i.
Q =dqqi
Q = qi
El campo eléctrico dE
producido por un dq es:
E == (K
(Kdq
dq/ /r2r)2^
)r^
dE
r
r
dE
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dividimos
Se desea2.11
encontrar
el Campo
hilo enlaeléctrico
pequeños
intensidad
elementos
del campo
eléctrico
a lo
Ejemplo
debido
a unainfinitesimales
hilo
cargado
Y largo dq
delcada
eje de
uno
unde
hilo
longitud
(delgado
dl (dx),
aislante)
y escogemos
a una distancia
(d) de uno de arbitrariamente
sus extremos y con
un elemento
una densidad lineal de
carga uniforme l.
d
+ + + + + + + + + + + +++++++++
L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Este elemento infinitesimal tiene carga dq, longitud dl, se
Y encuentra a una distancia r del punto donde se va a
encontrar el campo y genera un campo eléctrico dE.
dEx = K l dx / x2
r
Este es el campo eléctrico dE producido por un elemento
dE
= K dqsumamos
/ r2; dq =
l dl los
= ldE.
dx
dq,x ahora,
todos
r 22
++
dl
Luis Felipe Millán B.
r=x
EZ = 0 ; EY = 0
dq
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dEx X
Y
Ex = K l  dx / r2 x varia entre d y d + l
/ (d (l + d))
EEx x ==KK lQ (1/(d
l) – (1/d)
+ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
d
L
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ex
X
Y
Ejemplo
2.12 Campo
sobredel
la campo
mediatriz
debido a
Determinar
cual es eléctrico
la intensidad
eléctrico
+
unaunbarra
sobre+ la mediatriz de
hilo cargada
delgado, aislante con una
densidad
lineal de carga uniformemente distribuida.
+
Z
+
+ Se desea encontrar el campo eléctrico a una
+ distancia x sobre la mediatriz de la barra
+
+
X
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
Y
dq
dy +
Estos elementos infinitesimales, simétricos tienen
longitud dy, carga dq, están a una distancia r del
punto donde ser va a evaluar el campo eléctrico y
EY = 0generan
; EZ = un
0 campo eléctrico dE.
q
X
q dE
^
dEx = dE Cosq i
dEy dEx
+
Z
Luis Felipe Millán B.
Z
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
dEx = (K dq / r2) Cosq
dq = l dl = l dy
r = (x2+y2)1/2 ; Cosq = x / r
dEx = K (l dy) x / (x2+y2)3/2
+
r
q
dEx
X
Este es el E
campo
eléctrico
x = (K
l / x)  producido
Cosq dq por un dq,
Sea qy =varia
x Tanq
entre
dy
p/2= xy (Secq)
-p/2 2 dq,
reemplazamos, resolvemos, sumamos la
contribución de todos los dE y obtenemos:.
Z
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
Ex = l / (2p e x)
Ex
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo
deradio
un anillo
carga
Se desea2.13
encontrar
es la intensidad
delde
campo
SeCampo
tienecual
uneléctrico
anillo
de
eléctrico en el eje central
de un sanillo que tiene una carga
Runiforme
carga
l uniformemente distribuida.
R
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
Y
dq
+
r
Sea
Se desea
un elemento
encontrar
dq,elque
campo
se encuentra
eléctrico aenuna
un distancia
punto a una
r
del puntodistancia
donde se xvadel
a evaluar
eje central
el campo
del anillo.
eléctrico y
eléctrico dE.
Eque
Z = genera
0 ; EYun= campo
0
x
X
dEx = dE Cosq^
i
q
q
dEy
Z Luis+Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
dEx dE
Y
+
dEx =El(Kcampo
dq / r2eléctrico
) Cosq ;dedq
l dl = l dq
(R es.
da)
un=elemento
r =x (x
R2)R½ ;da)
Cosq
= 2x+/ Rr 2)3/2
dE
= 2K+ (l
x / (x
dl
r
da
Z Luis+Felipe Millán B.
q
x
Ex
El
campo
de2R+la
contribución
2) 3/2
2)R
3/2
ExE
RQxx/ (x
+
da
x= K
= lKeléctrico
/ 2(x
de atodos
elementos
varialos
entre
2p y 0 dq es.
2+ R
3/2 da)
 (K
Exx = K
* Ql*Rxx/ /(x(x2+
R2)2)3/2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Z
Tenemos
ellacampo
eléctrico
de un de
hilo
a una
z.
Encontrar
intensidad
del
campo
eléctrico
dedistancia
una
placa
Ejemplo
2.14
Campo
eléctrico
una
placa
carga
no conductora
el eje central
en unenpunto
la placa
uniformemente
Ez = l/(2pesobre
z). Dividimos
la placa
hilosz,luego
tienesumamos
una densidad
carga s uniformemente
todos superficial
los hilos y de
encontramos
el campo
distribuida.
eléctrico
de la placa.
Y
y
Luis Felipe Millán B.
X
x
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
La tira tiene un área dA, el elemento de carga dq genera
un elemento de campo dE, y se encuentra a una
distancia r del
punto
donde
se
va
a
encontrar
el
campo
dE
eléctrico.
dEz
a
q
qq
Ey = 0 ; Ex = 0
r
dq
a
a
dx
Luis Felipe Millán B.
Y
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
X
Vista en dos dimensiones
Z
dE
dEz
q q
dEx
q q
r
Ey
a
=0
; Ex = 0
Y

dx
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a
X
La distribución superficial de carga para la placa
s=Q/A
para un elemento infinitesimal
s = dq / dA = dq / (y dx)
Este dA tiene un elemento infinitesimal de carga dq,
entonces, la densidad
 s dxlineal
= dq /de
y =carga
l es: l = dq / y
dq
y
Luis Felipe Millán B.
l = dq / y
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
dEz = dE Cosq ^
k
dEz = (sz/(2pe))(dx/(x2+ z2))
Ez dEz = (l /(2pe r)) Cosq
l = sdx ; Cosq = z / r
r = (x2+z2)1/2
dEz = (sz /(2pe)) (dx/r2)
Tenemos el campo eléctrico de
una tira, ahora, sumamos la
contribución de todos los
elementos para encontrar el
campo eléctrico
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dEz = (sz /(2pe)) (dx / (x2+z2))
Ez =  (sz/(2pe)) (dx/(x2+z2))
Ez = (sz/(2pe))  (dx/(x2+z2))
Ez = (sz/(2pe))(1/z Artan(x/z))
Ez = s / (2e)
Z
Y
X
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El
Se
Encontrar
elemento
divide ella2.15
infinitesimal
disco
intensidad
en elementos
del
decampo
áreadedA
eléctrico
estadisco
dA,
a una
cada
sobre
distancia
uno
el eje
de
Ejemplo
Campo
eléctrico
deárea
un
cargado
central
estos
dedA
un tiene
disco
aun
de
delelemento
radio
centro.
R con
de carga
una densidad
dq.
uniformemente
superficial de carga s uniformemente distribuida.
Q
a
Q
R
R
R
da
Luis Felipe Millán B.
2p a da
2pa
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
a++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
dq
Escogemos
un elemento
de áreaeléctrico
dA, de radio
a,
Se
desea encontrar
el campo
en un
que aseuna
encuentra
a una
distancia
r deldel
punto
punto
x del
eje central
disco
r distancia
donde se va a evaluar el campo eléctrico y que
genera un elemento de campo dE.
Luis Felipe Millán B.
Z
Y
Ez = 0 ; Ey = 0
x
dA = 2pada
q
dEy
X
q
dE
dEx
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Z
dEx = dE Cosq^
i
a ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
Luis Felipe Millán B.
2) Cosq 2 2 2 3/2
dEx
Kxs2pada
/ (x
Ex ==(Kdq/r
Kxs2pada
/ (x+a+ )a2)3/2
2un
Campo
elemento,
ahora,
= (x2sde
+a(2pada)
)
du = 2 a da
dqsea
=eléctrico
sudA=
2)la
1/2contribución
sumamos
los
3/2
r = (x2+aEx
x de
//r utodos
= KCosq
xsp  = du
elementos.
x=R;x=0
x
Ex = (s /(2e))*{- x / (x2+ R2)/2}
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ex
Una pequeña
Ejemplo
2.16 esfera de masa (m) de 2 gr tiene una carga
q de 20*10-9 C y esta sujeto al extremo de un hilo de seda
de 10 cm longitud. El otro extremo del hilo esta sujeto a
una gran placa conductora vertical que tiene una carga
superficial s de 10*10-6 C/m2. Hállese el ángulo que
a
forma el hilo con la vertical.
l
T
(qE)
/W
Tana
= (sq)
F
/W
a = Artan{(sq)
q e(s/2
e(W
/) (W
/2W
e2) e)} = 30°
+
Fe
a
s
W
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
Weber,
su trabajo
Wilhelm
Eduard
importante
(1804-1891),
determinó,
físico
junto
alemán
con
Wilhelm
Eduard más
Weber
especializado la
Kohlrausch,
en electrodinámica.
relación entre las
Weber
unidades
escribiódeen carga
1824
un tratado sobre
electrostáticas
y electromagnéticas
el movimiento ondulatorio
(constantejunto
de Weber).
con su
hermano,
Esta
relación
colaboró
resultó ser
conigual
Gauss
a la velocidad
en el estudio
de la luz,del
y
geomagnetismo,
fue
utilizada másdurante
tarde por
eseJames
tiempo
Clerk
conectó
Maxwell
con para
dos
laboratorios
defender
su mediante
teoría electromagnética.
el telégrafo eléctrico
La unidad
desarrolló
SI del
variosmagnético
flujo
instrumentos
se denominó
para medir
weber.
la corriente eléctrica, en
especial el electro-dinamómetro para mediciones
absolutas.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
campo
electrostático
debido dea cualquier
una distribución
El
es una propiedad
campo
2.13flujo
Flujo F
eléctrico
continua de
vectorial,
resulta
cargaconveniente
siempre puede
considerar
encontrarse
el flujo
usando
de un
la
ley de vectorial
campo
Coulomb determinado
aunque el calculo
como sirequerido
fuese unapueda
medida
ser
complicado.
del
flujo o intensidad de penetración de los vectores de
campo a través de una superficie fija imaginaria en el
La ley de Gauss es una afirmación general sobre las
campo.
propiedades de los campos eléctricos y no esta restringida
a los Gauss
Carl
campos
expreso
electrostáticos
el concepto
como
de líneas
la ley de
de campo
Coulomb.
en
Cuandocuantitativa
forma
una distribución
e introdujo de
una carga
cantidad
tiene
llamada
suficiente
flujo
simetría,
para
elaborar
la leyladeimagen
Gauss puede
de las proporcionar
líneas que “fluyen”
un camino
a
elegante
determinarcerrada.
el campo electrostático en unos
través
de para
una superficie
pocos pasos simples.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El flujo eléctrico F se representa por medio de líneas de
campo eléctrico N que atraviesan algunas superficies
(F = N). Cuando la superficie que se esta cruzando
encierra una carga neta. el numero de líneas que traspasan
la superficie es directamente proporcional a la carga
dentro de la superficie F a Q
El flujo
proporcional
al campo
F aeléctrico
E An =esEndirectamente
A = E A Cosq
= A E
eléctrico y al área normal An de la superficie atravesada
por las líneas de un campo eléctrico uniforme..
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos una región del espacio donde existe un
campo eléctrico uniforme E. Colocamos dentro del
campo una superficie plana en distintas posiciones para
A el flujo eléctrico neto que atraviesa la
observar cual es
E
superficie.
q
q
A
F= E
An = En A = E A Cosq = A E
El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dAsuperficie regular de área cerrada, divididaE
Se tiene una
en elementos infinitesimales dA qinmersa dentro de un
q uniforme E. Se desea encontrar el flujo
campo eléctrico
neto que atraviesa la superficie.
Área
q
q
Fe  SFi = SEn dA = SEn dA= SE dA Cosq
El flujo eléctrico Fe que
la superficie cerrada A es :
Featraviesa
= SE  dA
Fe = E  dA
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Considere una superficie irregular de área cerrada,
dividida en elementos infinitesimales dA colocada en un
campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo
neto que atraviesa la superficie.
E
A
q
dA
Fe eléctrico
SFi = SEFne dA
SEn dA=
dA Cosq
El flujo
que=atraviesa
la SE
superficie
cerrada
es:
Firregular
e = SE AdA
Fe = E  dA
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Supongamos
que tenemos
una carga cualquier
positiva Qsuperficie
con sus
El flujo eléctrico
Fe que atraviesa
cerrada de
líneas
es independiente
campo. Cerramos
de la superficie
la cargaqueenencierra
diferentes
a la
carga.
superficies
cerradas.
+
Fe =  E  dA
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos
Ejemplo
2.17 un cilindro cerradoA hipotético de radio R
inmerso en un campo eléctrico uniforme E, siendo el eje
del cilindro paralelo al campo. ¿cuál es el valor del en
esta superficie cerrada?
E
E
A
A
F = E An + E An + E A^
F = E A Cos 180° + E A Cos 0° + E A Cos 90°
F = -E A + E A + 0 = 0
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
superficie
Ejemplo
2.18 cerrada tiene dimensiones a = b = 0.4 m y
c = 0.6 m el campo eléctrico por toda la región no es
uniforme y esta dado por E = (3 + 2x2)i N/C donde x esta
metros. ¿cuál es la carga neta encerrada por la superficie?
Y
a
c
a
X
b
Z
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Y
Flujo eléctrico que entra
F =  s E  dA = E A
Fe = (3.0 + 2.0x2) (ab)
Fe = {3.0 + 2.0 (0.4)2} (0.4*0.4)
Fe = 0.5312 (N/C)m2
a
a
X
b
Z
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Flujo eléctrico que sale
F =  s E  dA = E A
Fs = (3.0 + 2.0x2) (ab)
Fs = {3.0 + 2.0(0.4 + 0.6)2} (0.4*0.4)
Fs = 0.8 (N/C) m2
Y
a
c
a
X
b
Z
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Fn = Fs - Fe = 0.2688 (N/C)m2
Fn = Q / eo Q = eo Fn = 2.38 PC
Y
a
c
a
X
b
Z
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una carga2.19
puntualE Q se localiza en el eje de un disco de
Ejemplo
radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre
a
que si un cuarto del flujo eléctrico
(F/4) de la carga pasa
por el disco entonces R = 3b.Seleccionamos un elemento
a
de área dA = 2pada
R
R
dA = 2pada
Cos a = b/r
r
b
a
Fe =  E  dA = Q/eo
+
Luis Felipe Millán B.
r = (b2+a2)1/2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Fe =  (KQ / r2) (2pa da) ; r = (b2+a2)1/2
Fe =  (KQ / (b2+a2)) (2pa da) Cosa;
Cosa = b / r = b / (b2+a2)1/2
Fe =  (KQ / (b2+a2)) (2pada) (b / (b2+a2)1/2)
Fe = (KQp b)  (2a da) / (b2+a2)3/2
sea u = a2+b2
 du = 2ada
= (KQp b)  (du/u3/2)) ; a = R y a = 0
Fe = (2KQp b) {1 / b – 1 / (R2+b2)1/2}
Como (Fe / 4) = (Q / eo) (1/4) 
4Q / eo = (2KQpb)(1 / b – 1 / (R2+b2)1/2)
(1 / 4eo) = (2Kp){1- b / (R2+b2)1/2}
{1- b / (R2+b2)1/2} = 1/2
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Fe
b /(R2+b2)½ = ½
4b2 = R2+b2
Luis Felipe Millán B.
:
;
b2 /(R2+b2) = 1/4
R = 3b
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Descubrió
Gauss,
CarlelFriederich
Friedrich
método de(1777-1855),
los mínimos cuadrados,
matemáticoloalemán
que le
Johann Karl
Gauss
conocidocalcular
permitió
por sus la
muy
órbita
diversas
de Ceres;
contribuciones
formulo métodos
al campo
de
de la física,
calculo
que sirvieron
especialmente
a Leverrier
por sus
y Adams
estudiosen del
el
electromagnetismo.
descubrimiento
de Neptuno.
Junto conTrabajo
el físicoenalemán
el magnetismo
Wilhelm
Eduard Weber,
terrestre;
calculoGauss
la ubicación
realizó de
unalosintensa
polos magnéticos
investigacióny
sobre eluna
diseño
magnetismo.
escala de unidades para medir esta clase de
fenómenos
y contribuyo
al progreso
de la los
telegrafía
Entre sus más
importantes
trabajos están
de la
electromagnética.
aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la
electricidad; una unidad de inducción magnética recibe
su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el
campo de la óptica, especialmente en los sistemas de
lentes.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Sea Encerramos
una carga
carga Q
que
engenera
una esfera
un campo
(superficie
eléctrico
2.14
Ley
GaussQlapositiva
hipotética cerrada) deE.radio r y de elementos
infinitesimales dA
dA
dA
+
Fe =  E  dA = E(r) A
2)*(4p
Fe =F(1/(4p
e=  e
Eo))(Q
dA /=rQ
/ eo r2)
Luis Felipe Millán B.
Fe = Q / e o
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ley de Gauss

E  dA = Q / eo.
SeEl selecciona
El
campo eléctrico
elE elemento
partícula
de
puntual
área es
(dA)
producto
A =(E)
Q de
/ infinitesimal
euna
o, es
independiente
de
la
paralelo
inversamente
al campo
eléctrico
la distancia
paraneta,
queentonces
(r)
la magnitud
al cuadrado.
de
superficie
queproporcional
encierra
a laa(E)
carga
el flujo
este
sea constante
parte
superficie.
depende
únicamente
deesa
la (1
carga
neta
E  /sobre
r2 E
=
/ 4pde
eola) encerrada.
(Q / r2)
El área (A) de una esfera es directamente proporcional a
su radio r al cuadrado.
A  r2 A = 4p r22
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
ley de de
Gauss
Ejemplo 2.20 Campo La
eléctrico
una es:
partícula puntual

E  dA = Q / eo
El campo eléctrico E esta dirigido en todas direcciones,
encerramos la carga (Q) en una superficie hipotética
cerrada de tal manera que el +campo eléctrico sea el mismo
en cualquier punto de la superficie.
2^
E eldA
= E
E
Cosq
A = QQ/ euoobjeto
DondeE es
campo
debido
a la
puntual
(r) =
KQ
/dA
rcarga
r= E(r)
cargado, dA es un Eelemento
la /superficie
hipotética y
(r) (4p r2)de
=Q
eo
Q es la carga neta encerrada en
la superficie.
2
E(r) = Q / (4p r eo) = KQ / r2
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si colocamos una carga de prueba q positiva dentro del
campo generado por la carga Q a una distancia r.
+
+
E(r) = (KQ / r2)^
r
E(r) q = (KQ q / r2)^
r =F
Encontramos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 2.21 Campo eléctrico debido a una hilo cargado
dA
Envolvemos el hilo en una superficie (gaussiana
Sea
un
que
tiene
densidad
Queremos
En
las hilo
tapasencontrar
transversales
elluna
campo
el
flujo
eléctrico
eslineal
cero,
dede
puesto
uncarga
hilo
E
=
/
(2p
e
o r)
hipotética)
+ + + + + +cilíndrica
+ + + + + +de
+ +radio
+ + + +r,+ longitud
+ + + + +L,+ +de+ +tal
l,que,
quetiene
un
campo
eléctrico
que
Eproduce
^ una
A,
únicamente
densidad
lineal
hay
flujo
de+perpendicular
carga
eléctrico
l por
a una
elal
manera
que
eje
dellateral.
hilo.
distancia
área
r. el área transversal sea perpendicular a las
líneas de campo.

E  dA = Q / eo E A = Q/eo E(2p r L) = l L /
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
eo
Ejemplo
2.22superficies
Campo eléctrico
una placaa lado
cargada
Construimos
(cilindrosde
hipotéticos)
y
uniformemente
lado de la placa, de tal manera que el área transversal sea
paralelo a las líneas de campo.
Se
desea encontrar
campo
eléctrico
producido
por una
Consideremos
una elplaca
plana
con una
distribución
placa
planadenocarga
conductora
que tieneununa
densidad
superficial
uniforme
s que engendra
campo
eléctrico
Ey
de
carga
s. 2 perpendiculares
unas
líneas
de campo
a la superficie.
S. hipotética
1
S.uniforme
Gaussiana

E  dA = Q / eo. = E 2 A = s A /
s
E = s / 2eo
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
eo
Prueba experimental de la ley de Gauss
Supongamos que tenemos un balón de cobre
eléctricamente neutro con un orificio en la parte superior
y aislado
+ + de
+ tierra.
Colocamos cerca de la superficie del
balón
dos
esferas
conductoras
descargadas e introducimos una tercera
esfera
conductora
cargada
positivamente.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
A medida que la esfera cargada se introduce en el
balón. las esferas conductoras y el balón
permanecen eléctricamente neutros.
+++
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cuando la esfera cargada hace contacto con el balón, se
transfieren electrones del balón hacia la esfera quedando
este con defecto de electrones y la esfera eléctricamente
neutra, en tanto que, en las esferas conductoras se
produce una inducción de carga.
+
+
+
+
+ -- + +
+
+ +
+ + Esto muestra que cualquier carga
transferida a un conductor reside en
+
+
su
superficie
en
equilibrio
electroestático.
+
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Retiramos la esfera, la carga en el balón
se distribuyo inmediatamente en su
superficie y las esferas permanecen con
+ carga inducida.
+ + -- + +
+
Luis Felipe Millán B.
+
+
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
+
+
+
+
+ -- + +
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
+
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ahora podemos llevar el balón y cada una de las esferas
por separado a un electroscopio para constatar
efectivamente la presencia de carga eléctrica.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
--
+
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
++
A hora con el balón cargado y aislado de tierra,
vamos a introducir dos pequeñas esferas
conductoras descargadas
Colocamos las esferas en el interior del balón y
luego las retiramos
Si
llevamos
las
esferas
a
un
+
+
electroscopio podemos observar que
+
+ + + + estas permanecen descargadas, es
decir, en el interior del balón
+
+ +
+
conductor no hay carga neta para
+
inducir carga en las esferas
+ +
conductoras.
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
CONCLUSION
Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor, esta
se distribuye por si sola sobre la superficie de una
manera tal, que el campo eléctrico interior es cero,
entonces dentro de un conductor en equilibrio
electrostático la ley de Gauss indica que no puede haber
carga neta dentro del conductor.
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 2.23
Se tienen dos
laminas conductoras con densidad
- de diferente signo.
superficial s de cargas iguales pero
+
Calcule el campo eléctrico
a) a la derecha
de las placas b)
+
en el centro de las placas
c) a la izquierda
de las placas.
-
E=0
+
+ E = s /eo
E=0
+
b) c)
a)
E =EEs==/ss(2//e(2
(2
o)e
e+oo))s-–/ss(2// (2
e(2oe) oo=)) =s= /0eo
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2.15 Auto-evaluación
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dibuje la2.1suma vectorial de la intensidad del campo
Ejercicio
eléctrico en el punto
+
-
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dos
cargas
Ejercicio
2.2 positivas de igual magnitud están en los
puntos
(-a,0) y (a,0). Encuentre la magnitud y la
dirección del campo en el punto (0,a ). Si las cargas son
de +5 mC, y a es 50 cm. Cual es la magnitud y la
dirección del campo
R) 63639.6 N/C y 90°
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen 2.3
tres cargas de igual magnitud Q que forman un
Ejercicio
triángulo equilátero de lado L. Si Q1 es negativa y esta en
el punto (0,0), Q2 es positiva y se encuentra en (L,0) m y
Q3 es negativa y esta en (L/2,L3/2) m. Encuentre a) La
magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro
del triángulo. b) Si Q = 2 mC y L = 50 cm Cual es la
magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro
del triángulo.
R) 4.32*105 N/C y – 30°
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen 2.4
tres cargas Q1 es positiva y esta en el origen, Q2
Ejercicio
es negativa y esta en el punto (0,a). Q3 es negativa y esta
en el punto (a,0) a) ¿cuál es la magnitud y la dirección
del campo en el punto (a,a)? b) Si Q1 es +1 nC, Q2 es -2
nC y Q3 es -3 nC si a es 2 cm. ¿cuál es la magnitud y la
dirección del campo eléctrico en el punto (2,2) m?
R) 70128.02 N/C y a = 58.11°
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una carga2.5
Q1 negativa esta en el punto (-a,0) mientras Q2
Ejercicio
es positiva y esta en el punto (a,0). Encuentre a) La
intensidad del campo eléctrico la dirección en el punto
(2a,a) y b) Si a es 10 cm, Q1 es 20 nC, Q2 es 10 nC ¿cuál
es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el
punto (20,10) cm.
R) 3000.05 N/C y a = 60.56°
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen2.6
dos cargas puntuales negativas separadas una
Ejercicio
distancia r. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo
de la recta que une las cargas el campo neto es cero. Si q1
= -1 nC, q2 = -16 nC y la separación de las cargas es un
metro. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de
la recta que une las cargas el campo neto es cero?¿cuál es
la magnitud y la dirección del campo eléctrico?
E1 =(Kq1/r12)^
i = 225^
i N/C ; E2 = (Kq2/r22)^
i = -225^
i N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una esfera2.7
conductora de masa m, carga +Q, se suspende
Ejercicio
de una cuerda de masa despreciable y longitud l. Se
coloca dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido en
la dirección –i y forma un ángulo q con la vertical
cuando esta en equilibrio. ¿Cual es la carga de la
partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?. Si la masa es
de 10 gramos, el campo eléctrico es de 2000 N/C y el
ángulo cuando esta en equilibrio es de 37° ¿Cual es la
carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?.
R) Q = 3.69*10-6 C y T = 0.123 N
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Entre dos2.8
placas planas y paralelas con cargas iguales y
Ejercicio
de signo opuesto existe un campo eléctrico uniforme de
2000 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas
una distancia y de 2 cm y de longitud x de 3 cm. Se lanza
un protón en un punto equidistante entre las placas con
una velocidad inicial de 6*104 m/s. ¿Sale de las placas,
en que posición y con que velocidad o pega en la placa,
en que posición y con que velocidad?
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
hilo 2.9
aislante cargado uniformemente, de longitud l
Ejercicio
de 50 cm se dobla en forma de semicírculo, si el hilo tiene
la mitad de carga positiva de +50 nC y la mitad de carga
negativa de –50 nC, encuentre la magnitud del campo
en el centro del semicírculo.
R) E = 11309.7 N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una
barra2.10
aislante como la figura tiene una longitud de
Ejercicio
70 cm de largo, una carga negativa de –50 nC
distribuida uniformemente a lo largo de su longitud.
a)¿cuál es la densidad lineal de carga? b) ¿calcule el
campo eléctrico en un punto a una distancia de 5 cm del
extremo de la barra?
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
d
L
R) Ex = –12000 N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
la figura,
Ejercicio
2.11la barra aislante tiene una longitud de 70 cm
de longitud, a una distancia de 20 cm del eje que pasa por
el centro de la barra se genera un campo eléctrico de
12000 N/C. a) ¿cuál es la densidad superficial de carga?
+
b) ¿cuál es la carga?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Luis Felipe Millán B.
+
R) Q = 93.33 nC
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio
Un
anillo2.12
tiene una densidad lineal de carga l de –25
nC/m y un radio R de 10 cm. ¿Encuentre el valor del
campo a una distancia R de 10 cm del eje que pasa por
el centro del anillo?.
R) Ex = -4998.89 N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un
pedazo
de 10 gr de estireno tiene una carga neta q de
Ejercicio
2.13
–0.700 mC y flota sobre el centro de una lamina
horizontal de caucho que tiene una densidad de carga
uniforme en su superficie. ¿cuál es la carga en la unidad
de área de la lamina de caucho?. Si la carga Q de la
lamina es de 5 mC ¿cuál es el área de la lamina?
R) s = -2.48 mC/m2 y A = = 2.2 m2
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un disco2.14
cargado uniformemente tiene una densidad
Ejercicio
superficial de carga s de 10*10-9 C/m2 y un radio R.
¿calcule el campo eléctrico a una distancia R sobre el eje
central del disco?.
R) Ex = 165.63 N/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 2.15
a
h
E
q
H
x
Considérese una caja triangular cerrada que descansa
dentro de un campo eléctrico horizontal con una
magnitud de 2000N/C como en la figura si h = a =10 cm,
q = 60. Calcule el flujo eléctrico a través a) del
cuadrado ( superficie vertical) b) la superficie inclinada c)
toda la caja.
R) a) Fe = -20 Nm2/C b) Fs = 20 Nm2/C c) F = = 0
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 2.16
h
R
Un cono de radio R = .10 cm y altura h = 50 cm, esta en
un campo eléctrico uniforme E de 2000 N/C horizontal
penetra el cono como en la figura. Determine el flujo
eléctrico que penetra el cono.
R) F = - 100 Nm2/C
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 2.17
4Q
-3Q
2Q
Cuatro superficies cerradas una roja, una verde, una
amarilla y una azul, como aparece en la figura si Q es 2
nC. Encuentre el flujo neto.
Fv = 0
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2.16 Solucionario
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 2.1
+
-
+
Luis Felipe Millán B.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 2.2
S Ey = 2(KQ/r2) Sena
r = (a2+a2)1/2 = a2
Sena = a/r = a / (21/2 a) = 2/2
Ey
SEy = 2 (KQ / 2a2) (2/2)
SEy = 2 KQ / (2a2)
Sey = 63639.6 N/C
f = Artan (0/63939.6) = 90°
Ey
y
a
E
a
SEx = 0
r
r
a
+
Luis Felipe Millán B.
a
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a
+
- Q3
S 2.3
r1 = r2 = r3 = r
Cosf = (L/2) / r
r = L / (2 Cosf)
r = L / 3
f
r3
E2
E2y
E1x
E2x
r1
Q1 - ff
E1
E3
f
f
SEx = – E1x – E2x
Ex = –2(KQ /r2) Cos 30
Ex = –2(3KQ / L2) (3 / 2)
Ex = –(33 KQ) / L2
Ex = –3.7412*105 N/C
SEy = – E1y + E2y + E3
SEy = E3 = KQ/r2
SEy = 3 KQ/ L2
SEy = 2.16*105 N/C
r2
E1y
f
L/2
L
5 N/C : a = -30°
Luis Felipe Millán B. E = 4.32*10
U. AUTONOMA
DE COLOMBIA
+ Q2
S 2.4
Cosq = 2 /2
Senq = 2 /2
E1
E1y
q
E2y
a
-
E2
a
+
q
a
Luis Felipe Millán B.
E3
SEx = E1x – E2
SEx = (KQ1 / r12) Cosq – KQ2 / r22
SEx = (KQ1 / 2a2)(2 /2) – KQ2 /a2
SEx = – 37045 N/C
SEy = E1y – E3
SEy = KQ1 / r12 Senq – KQ3 / r22
SEy = (KQ1 / 2a2)(2 /2) – KQ3 /a2
SEy = – 59545 N/C
La magnitud y la dirección del campo
eléctrico son;
E = 70128.02 N/C y a = 58.11°
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2 21/2Cosa
2) Senq
SE
x r=
–2 –=
E1x
=y =(KQ
22/ +a
––=(KQ
11 //cm
rrcm
11^2)
Cosq
S 2.5
r2y
((2a-a)
= a10
a2
La
la(KQ
dirección
del
campo
eléctrico
es;
SE
y1magnitud
=E
=2x
E((2a-(-a))^2+a
E
1y
2r/22^2)
r)2)1/2
) Sena
=
(KQ
=0.14
0.32
2) (1/10)
SE
x Cosq
(1/2)
1q
(3/10)
Cosa
=KQ
a/(a
2)
;––Sena
=(10a^2)
a/(a2)
= 1/2)
SE
y==
KQ
E
=2=/23a/(a10)
3000.05
/(2a^2)
(2 a=2)1/2
(1/2)
N/C
= )3/10);
yKQ
KQf
1 //=
=(10a
60.56°
18.43°
SE
1474.35
= 45° N/C
Senq = a/(aSE
10)
yx =
=
2612.77
=a1/10);
N/C
q =18.43°
E2y
E1x
Luis Felipe Millán B.
a
q
+
E1y
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
E2x
S 2.6
q2
r2
Si
rq1
r
E2
< q2
r2
r1
r1
2r1=
2q
^
^12i1)N/Cm
q
rqrrKq
1q
q
1q
rq/i2/11N/C
r1=11r//21=
rEr(q
12=
r–=
=
2q
q
1r2E
+=1+Kq
q/21q
=2=
r(r
0.80
/+1/2r(r
11rr)/1q
2=
rm
21r2
)20.20
Er11 ==225
;1rq
-225
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E1
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
q1
S 2.7
T Senq – EQ = 0 \ T Senq = EQ
T Cosq – W = 0 \ T Cosq = mg
Tanq = EQ / mg, entonces,
Ty
Q = mg Tanq / E = 3.69 mC
T = EQ / Senq = 0.123 N
-E ^
i
F = EQ
q
l T
l
q
m,Q
Tx
m,Q
W
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S 2.8
++++++++++
y
vo
- - - - - - - - - -
(y/2)
x = v=
o t,
½(Eq
entonces,
p/mp) t2,
t = x /entonces
vo = 500 ns
y(500ns)
= ½(Eq
p) pt)2
t = (2(y/2)
mpp/m
/ Eq
= 323.1
nsen;
y(500ns)
-2.4
cm
pega ten
la=placa
^i ns)
pega
en
la placa
=ya
ocm
t
r =x(323.1
(1.94
- 1^
j )vque;
x(323.1
2.4 cmns>)1.0
= 1.94
cm cm
x
Vamos
Como
a velocidad
encontrar
en la placa,
el vamos
tiempo
que
elelvelocidad
tiempo
protón que
en
Comopega
la
inicial
en y (vaoy
)encontrar
esemplea
cero la
emplea el
recorrer
losprotón
3La
vertical
cm
horizontalmente,
en alrecorrer
incidir
en
1 cm
la
verticalmente,
para
es:
este
cony <ese
1
velocidad
al pegar
ensiplaca
la
placa
estiempo
4^
tiempo
cm
vy(323.2
salehallamos
dens)
las=placas
vlo
oy
(Eq/m
avanza
=horizontalmente.
–(Eq/m
t = – 61911.4 m/s
=–que
(6*10
ip)–t6.19
104 ^
j p))m/s
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S 2.9
++
+
+
+
dq+
^
2) da
^
^
2
E
y
=
-(2Kl
/r)

Cosa
E
y
=

(
2K(lrda)/r
Cosa
j
j
dE
dEyy= (-2(Kdq/r
dE Cosa) Cosa
- dE Cosa)j^
j
a varia
02 ^
dqentre
= l dlp/2
= ly(rda)
^
j
j
EdE
y=
y=
-(2KQ/(pr
-2 dE Cosa
))
^
Ey = -2K (Q/l)/r) Sena j
l = p r;a varia
entre N/C
p/2 y 0
E = 11309.7
dEx
r
+
+
dEx
+
-
a a
-
^
dEx = (dEx - dEx) i = 0
r
-
--
dEy dEy
-
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dq-
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S 2.10
a) La densidad lineal de carga es;
l = Q / L = -71.43*10-9 C/m.
b) El campo eléctrico es;
Ex = – K Q / (d (L+d ))^
i = –12000 N/C^
i
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
E
d
L
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S 2.11
El campo eléctrico es;
Ex = l / (2pe x)^
i
+
Por tanto; l = E (2pe0 x) = 133.33*10-9 C/m
+
+
l = Q / L, entonces, Q = l L = 93.33 nC
+
+
E
+
+
+
+
+
+
+
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+
S 2.12
Como la densidad lineal de carga l = Q / L,
r entonces, Q = l L = l (2pR) = -15.71 nC
Ex
La magnitud del campo a una distancia x es;
:Ex = KQx / (x2 + R2)3/2,
para x = R:
Ex = KQR / (R2+ R2)3/2 = KQR / (2R2)3/2,
Ex = KQ / (23/2)* R2) = -4998.89 N/C
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S 2.13
FE = Eq
El pedazo de estireno flota cuando:
Fg = FE, entonces, mg = Eq
mg = (s/2eo)q
s = 2eo mg / q = -2.48 mC/m2
Fg = mg
La densidad superficial de área es:
s = Q /A, entonces, A = Q / s = 2.2 m2
+s
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S 2.14
El campo eléctrico a una distancia x es;
Ex = (s /(2e)) * {1 - x/(x2+R2)1/2}
Cuando x = R , tenemos;
Ex = (s /(2e))*{1 - R/(2R2)1/2}
Ex = (s /(2e))*{1 - R/((2^½)(R2)1/2)}
Ex = (s /(2e))*{1 - (1/2)1/2} = 165.63 N/C
s
R
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E
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A2
S 2.15
a
A1
h
q
E
q
H
x
El flujo viene dado por; F = E  A = E A Cosq
x = h*tan q = 0.1732 m ; H = (x2+ h2) = 0.20 m
a) El flujo que entra es; Fe = E (a*h)1 *Cos180°= -20 Nm2/C
b) El flujo que sale es; Fs = E (a * H)2 *Cos60° = 20 Nm2/C
c) F = Fe = Fs = 0
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S 2.16
h
R
F = E An = E  A= E A Cosq
F = E A cos q = E (2(½ Rh)) cos 180° = - 100 Nm2/C
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S 2.17
4Q
-3Q
2Q
FR = SQ/e = (4Q–3Q+2Q) / e = 3Q / e = 678.58 Nm2/C
FAm = SQ/e = (–3Q+2Q) / e = –Q / e = –226.19 Nm22/C
FAz = SQ/e = (–3Q+2Q) / e = –Q / e = –226.19 Nm2/C
Fv = SQ/e = 0 / e = 0
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