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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Corriente y resistencia
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Circuitos de corriente continua
Luis F Millán B
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6.1 Introducción
6.2
Objetivo
general
Unidad
VI
6.3 Objetivos específicos
6.4 Fuerza electromotriz
6.5 Circuito eléctrico
6.6 Circuito serie
6.7 Circuito paralelo
6.8 Circuito mixto
6.9 Conversión triangulo delta
6.10 Reglas de Kirchhoff
6.11 Circuitos RC
Auto-evaluación
6.13 Solucionarlo
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6.12
Podemos
Hemos
estudiado
comprender
comoel seflujo
mueven
de lalascorriente
cargas bajo
en los
la
6.1
Introducción
circuitos aplicando
influencia
de una diferencia
tan solode dos
potencial,
principios
y como
físicos
los
sencillos, yel los
resistores
de capacitores
la conservación
pueden
de influir
la carga
sobre
y elel de
flujo
la
conservación
de
la corriente yde
el movimiento
la energía.
de la carga.
En este capitulo
aprenderemos a aplicar estos principios en forma
Cuando se conectan entre si resistores, capacitores y
sistemática al análisis de circuitos.
acumuladores u otras fuentes de energía eléctrica,
El flujo cables
mediante
de energía.
conductores,
hacia yforman
desdecircuitos
los elementos
eléctricos.
del
circuito nos conducen al concepto de corrientes y voltajes
variables a través del tiempo, circuitos RC.
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Analizar
circuitos
6.2
Objetivo
generaleléctricos sencillos usando la ley de
ohm y las leyes de Kirchhoff, para luego establecer la
variación de la carga, la diferencia de potencial y la
corriente en otro tipo de circuitos como el circuito RC.
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Introducir
al específicos
estudiante en el cálculo de la resistencia
6.3
Objetivos
equivalente en circuitos serie, paralelo, en enunciar las
leyes de Kirchhoff y del uso de las mismas para analizar
diferentes circuitos de corriente continua.
Proporcionar al estudiante el soporte teórico y práctico
que lo familiarice con el proceso de convertir la energía
de una fuente eléctrica (fem) a un dispositivo donde se
aproveche.
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Las
Hay
fuentes
una gran
devariedad
energía de
eléctrica
fuentesque
de hacen
energíaque
eléctrica.
las cargas
Un
6.4 Fuerza
electromotriz
acumulador
se
muevan en
o una
los batería
circuitos,
convierte
se han lallamado
energía fuentes
químicadea
una fem;
una celda solar
convierte
la energía
de la luz
fuerza
electromotriz
fem (e).
En realidad
son fuentes
de
solar en no
energía,
unade
fem;
fuerza.
un termo
Una batería
polar produce
es un dispositivo
una fem como
que
resultado
gasta
energía
de unapara
diferencia
bombear
de temperaturas;
o impulsar unacargas,
gran
planta eléctrica
exactamente
igualcomercial
como unapuede
bombaquemar
de aguacarbón,
gasta energía
gas o
combustible
para
bombearnuclear
agua hacia
para unimpulsar
tanque elevado
un generador
con mayor
que
producepotencial
energía
una fem gravitacional.
o puede emplear la energía cinética del
agua corriente con el mismo objeto. Llamaremos batería
para representar cualquier fuente de fem (e).
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r
e
Luis F Millán B
Supongamos que se necesita un trabajo dW
para mover una carga dq de la terminal
negativa hacia la terminal positiva. La fem de
la batería se define como el elemento de
trabajo dW en la unidad de carga dq;
e = dW / dq, por tanto la unidad de la fem es,
julio / coulomb = Voltio. La palabra voltaje se
utiliza para dar la diferencia de potencial en los
terminales de una batería es equivalente al
voltaje del circuito abierto.
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De
unos alambres
idealizados
resistencia
Un
eléctrico
de unasin
batería
o fem (e)ydeuna
cd
6.5circuito
Circuito
eléctricoconsta
resistencia
que
tiene una
de resistencia
carga R interna r un borne positivo (+) y
un borne negativo (-).
b
c Cuando
Cuando portodas
una batería
las corrientes
pasa una
corriente
eléctricas,(I), esta
campos,
depende
potenciales,
del valor
etcétera,
circuito Rson
de
la fem (e),dey deun
la resistencias
yr
r
R constantes a través del tiempo,
hablamos del comportamiento de
corriente directa cd
e
a
Luis F Millán B
d
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b
r
e
a
Luis F Millán B
c Debido
Hay paso de
a que
corriente,
se define
cuandoa los
la
corriente como
portadores
de teniendo
carga dirección
negativa
opuesta a la de
(electrones)
salen
los electrones,
de la terminal
ayuda
a imaginar(-)quey hay
negativa
soncargas
atraídos
positivas
a la
R
que se mueven
terminal
positiva (+).
haciaEnlaelterminal
interior
negativa
de
una batería,
(-), o un
a proceso
la terminal
químico
que
tenga menor
regresa
las cargas
potencial.
negativas
La batería
a la
tiene unapositiva.
terminal
diferencia de potencial V
d entre sus terminales.
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b
r
e
a
Luis F Millán B
Por
Supongamos
tanto,
lael0,
que
batería
trabajo
eAl– Irpasar
– IR =
I la
= ediferencia
/del
(rneto
+ terminal
R) Wde
potencial
efectuado
negativo por
en
al esa
las
terminal
fuerza,
terminales
positivo,
al mandar
de la
el
como, V = IR \ e – Ir – V = 0,
carga
por
un
circuito
cerrado
es e.
potencial
aumenta
un
valor
batería
es
e
por
tanto
pasara
un
flujo
c
V =por
e –unelIr viaje
cero.
Cuando
Si hacemos
cruzamos
la resistencia
redondo
de
corriente
circuito.
Para
siohmica
la resistencia
rel
es cero,
que
comience
yinterna
enR,elpodemos
punto
potencial
ahacer
y
calcular
esar corriente
sigamos
disminuye
corriente
una
delLa
entonces,
I = ecantidad
/que
R, alrededor
y, el
eIr=potencial
Ve IR.
uso
del lahecho
R circuito.
caída deestapotencial
implica
una
eléctrico
relacionado
con una
disminución
de la energía de las
fuerza
conservativa.
cargas. Esta energía se convierte en
energía térmica en el resistor. El
cambio neto del potencial, al pasar
d por todo el circuito, es cero
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Un circuito de una espira consiste en un trayecto cerrado
- Ir - IR = 0
e
V
de la corriente, y lo representaremos de manera lineal.
La fem de la
Definimos
el batería
potencial
se definió
cero arbitrariamente,
como el elemento
en de
el
punto
no hay
cambio
potencial
en un
alambre
energíaa, dW
en la
unidadde de
carga dq,
igual
a e,
ideal
conductor
no
Al
hay
pasar
nocambio
hay
la corriente
corriente
cambio
de potencial
depor
ladel
un
resistencia
alambre
entonces,
alComo
atravesar
la
la
femen
terminal
ideal
interna
conductor.
r en
se
pierde
un alambre
un gana
potencial
eléctrico
negativo alpotencial
terminal
positivo
se
un potencial
ideal
de
-Ir
conductor
al
llegar
eléctrico de e.
Alla corriente
recorrer alla punto
corriente
a el la
resistencia
pierde
potencial de carga
es R se
cero
unnuevamente.
potencial eléctrico de -IR
b
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c
d
a
-3 A*1000
Cuando
Tenemos
cerramos
un
circuito
el
interruptor
eléctrico
el
amperímetro
que
consta
que
demide
un
El
voltaje
en
la
resistencia
R
es:
V
=
IR
=
20
W
Ejemplo 6.1
interruptor,
la
intensidaduna
de la
batería
corriente
V = de
20 voltios
30
eléctrica
voltios
marca
con 20
resistencia
mA (20
-3A). ¿Calcule
mili-amperios
= 20
la resistencia
rde
y
interna
El voltaje
r, en
unala
resistencia
rR
es: de
Vr
=1000
Ir = 20
W,-3 Ainterna
cables
*500 W
conexión,
la
diferencia
undeamperímetro
potencial
Vr =10
en la
Avoltios
resistencia
colocado en
R yserie
r? con la
resistencia
y un
SV = 0R \
e –voltímetro
Vr – V = V.
30 V – 20 V – 10 V = 0
V
R
e – Ir – IR = 0, entonces, r = (e – IR)/I
r = 500 W
e
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r
r
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A
Ejemplo 6.2
R
e2
+e2 –
e1 – Ir – IR = 0
e1
r
Se tiene el circuito de la figura si e1 = 10 V, e2 = 20 V,
r = 100 W, R = 500 W ¿cuál es la corriente que atraviesa
el circuito?.
e2 - e1 – I(r + R) = 0, entonces, I = e2 - e1 / (r + R)
I = 16.67mA = 16.67-3 A . En el sentido antihorario.
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Se
La
corriente
tiene
unexperimentalmente
sistema
que circula
de cuatro
por cada
que
resistencias
resistencia
a medida colocadas
que
es laaumenta
misma
en
6.6observa
Circuito
serie
la
independiente
la
de diferencia
su valor.
de
potencial
un
aumenta
voltímetro
de para
una
en
serieresistencia
con una batería
(e). SeColocamos
coloca
un amperímetro
manera
paralelo
proporcional
la resistencia
parasuma
medir
dela circula
diferencia
los voltajes
medir la con
intensidad
de yla la
corriente
que
por de
el
potencial
individuales
circuito. (V). es igual al voltaje de entrada (e ).
e = V1 + V2 + V3 + V4
V1
V2
V3
V4
R1
R2
R3
R4
I
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e
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A
Conclusiones
En
En un
un circuito cerrado
en serielalasuma
corriente
de los es
potenciales
idéntica en
es cero.
cada
resistencia, es decir, la corriente
I es constante.
SV = 0 \
Se – V1 – V2 – ...... – Vi – .... – Vn = 0
Se = V1 + V2 + ........ + Vi + ....... + Vn
Como V = I * R, Entonces,
IRe = IR1 + IR2 + IR3 +....+ IRi + ..... + IRn
IRe = I(R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn)
Re = (R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn)
Re = SRi
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Ejemplo
6.3
V1 = I R
1= 2.86
V2 =VI R2=V4.29
3 = IV
R3= 5.71
V4V= I R4= 7.14 V
V1
V2
V3
V4
R1
I
I=e
R2
R3
R4
Re = SRi = 700 W;
/ Re = 28.57 mA = 28.57-3 A
e
A
En la figura e = 20 V, R1= 100 W , R2 = 150 W ,
R3 = 200 W , R4 = 250 W.¿cuál la intensidad de corriente
y la diferencia de potencial en cada resistencia?
SV = 0 \ e – V1 – V2 – V3 – Vn = 0, entonces,
20 V – 2.86 V – 4.29 V –5.71-7.14 V = 0
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Se
un sistema
Cuando
El resistencias
Colocamos
extremo
se cierra
unizquierdo
en
amperímetro
paralelo
el interruptor
de ycada
(A)
una
6.7 tiene
Circuito
paralelode tres
comienza
resistencia
en
serie,
en
a esta
cada
fluir
sección
al corriente
mismo
del
fem e (batería), un interruptor
y cables
de
conexión.
eléctrica
potencialy(I)eléctrico
circuito
a través
así medimos
ydel
el circuito.
extremo
la
R3
derecho esintensidad
respectiva
también(I) una
de
superficieeléctrica.
corriente
equipotencial, por
tanto cada resistencia tiene
R2
idéntica diferencia de potencial.
V1 = V2 = V3 = e
R1
e
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R3
A3
It = I 1 + I 2 + I 3
A2
A4
A1
A
R2
I4 = I 2 + I 3
R1
It = I 1 + I 4
Como: e = V1 = V2 = V3,
e I=V/R
e/Re = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3
1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
e
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Conclusiones
Para un sistema de resistencias en paralelo el voltaje en
V1 = V2 = .................
= independientemente
VI = .............. = Vn del
cada resistencia
es el mismo
valor de esta.
Para 1/R
un circuito
resistencias
en paralelo
el reciproco
e = 1/R1 de
+ 1/R
2 + 1/R3 +.....+1/R
i +......
+ 1/Rn de
la resistencia equivalente es igual a la suma de los
1/R
S 1/R
i de ellas
recíprocos
dee =
cada
uno
La corriente total es igual a la suma de las corrientes
I = I1 + I2 + I3 + ...... + Ii + .... + In = SI
individuales que circula por cada una de las resistencias.
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Ejemplo
6.4 e = 10 V, R1= 200 W,
En la figura
R3
R2 = 300 W, R3 = 600 W, ¿cuál es
la resistencia equivalente? ¿cuál la I3 = V3/R3 = 16.67 mA
intensidad de corriente en cada
R2
resistencia?
I2 = V2/R2 = 33.33 mA
La resistencia equivalente es:
R1
1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
I1 = V1/R1 = 50 mA
1/Re = 1/ (0.01 W), entonces,
Re = 100 W
e
-3 A. estos
La e yIt las
= eresistencias
/R = 10V/100
están
W. Ien
t = paralelo,
100 mA =por
100tanto,
cuatro
elementos
se–encuentran
al mismo
S I = 0.
100 m A
50 m A – 33.33
mA potencial.
– 16.67 mA = 0
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Se
el circuito
6.8
Circuito
mixto
En ira
el reduciendo
siguiente
circuito
si lahasta
e =encontrar
30 V y laR resistencia
= 100 W.
equivalente,
con esta laequivalente,
corriente total.
Luego ynos
¿Encuentre lay resistencia
la corriente
la
devolvemos
vamos hallando
corrientes y los voltajes
diferencia deypotencial
en cada las
resistencia?.
18R
en cada resistencia.
R/2
9R
R/2
3R
4R
4R
4R
e
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R
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18R
R/2
9R
R/2
3R
4R
4R
4R
e
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R
1/R10 = 1/(18R) + 1/(9R) + /(3R)
1/R10 = 1/(2R)
R/2
R/2
R102R
= 2R
1/R11 = 1/(4R) + 1/(4R)
1/R11 = 2/(4R)
4R
R112R
= 2R
R
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R12 = R/2 + 2R + R/2
R123R= 3R
R13 = 2R + 4R
R136R
= 6R
R
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1/R14 = 1/(3R) + 1/(6R)
1/R14 = 3/(6R)
R142R
= 2R
R
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R = 2R + R
3R
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Ahora,
nosSientonces
regresamos
encontrando
el Wvoltaje y la
Si
e = 30V,
It =entonces,
V/R
= 0.1RAmperio
R
= 100, W,
e = 300
corriente en cada resistencia.
300 W
It = 0.1 A
30 V
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20 V
300W
0.066A
En un nudo la S I = 0
V/300
0.066 A=A0
I0.1A
= 20–V/600
W–=0.066A
0.0333
0.033A
0.0333 A
It = 0.1 A
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20 V
600W
10 V
30 V 100 W
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V = 0.0666 A * 50 W = 3.33 V
V = 0.066613.32V
A * 200 W =3.33V
13.32 V
3.33V
50 W
200 W
50 W
La SV = 0.
\6.66V
V = 0.0333A*200W
=
3.33 V + 13.32
V + 3.33 4000W
V - 13.32
V - 6.66 V = 0
V= 0.0333A*
= 13.32V
0.066A
0.0333 A
6.66 V
13.32 V
400 W
200 W
La SV = 0.
\
30V - 6.66 V - 13.32 V – 10 V = 0
It = 0.1 A
10 V
30V 100 W
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0.066A
3.33V
0.066A
50W
0.0333 A
13.32V
0.0074A
1800W
13.32V
0.0148A
900W
13.32V
0.0444A
300W
6.66V
0.0167A
400W
6.66V
0.0167A
400W
It = 0.1 A
30V
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3.33V
0.066A
50W
13.32V
0.0333A
400W
10V
0.1A
100W
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El valor
Se
tiene
puedeun
derealizar
sistema
una triangulo
resistencia
una
de resistencias
conversión
adicional
ende
es
forma
triangulo
igualdealtriangulo,
producto
a delta
6.9
Conversión
delta
colocando
de
estas
lasnoresistencias
se resistencias
encuentran
adyacentes
ni
adicionales.
en seriedividido
ni en paralelo.
la suma de las
resistencias que conforman el triangulo.
Ra = R1 * R2 / (R1 + R2 + R3)
Rb = R1 * R3 / (R1 + R2 + R3)
Rc = R2 * R3 / (R1 + R2 + R3)
Ra
R2
R1
Rc
Rb
R3
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Ejemplo
6.5 de la figura, si R es 50W y la fem (e) es
En el circuito
18.5 voltios ¿Encuentre la resistencia equivalente, el
voltaje y la corriente en cada resistencia?
4R
R
e
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6R*4R / (6R+4R+2R) = R
4R*2R
6R*2R
2R
2R/3
4R
Hacemos la conversión triangulo delta.
R
e
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R
e
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2R/3 + 2R = 8R/3
8R/3
2R + 4R = 6R
6R
R
e
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1/R = 1/(8R/3) + 1/(6R)
1/R = 3/(8R) + 1/(6R)
1/R = 13/(24R)
24R/13
R
e
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R + 24R/13 = 37R/13
37R/13
R
e
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1/R = 1/(37R/13) + 1/R
1/R = 13/(37R) + 1/R
1/R = 50/37R
37R/50
e
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Si R es 50W, entonces la resistencia equivalente
del circuito es: Re = 37*50W/ 50 = 37W
37W
18.5V
0.500A
SiItla= fem
(e)/ 37W
es de=18.5
voltios
0.500A
18.5V
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I2 = V / R = 18.5V/ 142.31W = 0.130A
0.130A
18.5V
142.31W
SI = 0 \ It – I1- I2 = 0
0.500A
– 0.370A
0.130A = 0
I1 = V / R
= 18.5V
/ 50W =–0.370A
0.370A
0.500A
18.5V
50 W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
SV==I *0 R
\=6.5V
+12.0V - 18.5V
=0
V
0.130A*92.31W
= 12.0V
12.0V
0.130A
92.31W
V = I * R = 0.130*50W = 6.50V
0.370A
0.500A
18.5V
50 W
18.5V
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
SI = 0 \ I2 – I3 – I4 = 0
0.130A – 0.090A – 0.040A = 0
12.0V
I4 = 0.090A
133.33W
0.130A
I43 = V / R = 12V / 133.33W
300W
I3 = 0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
12.0V
300W
V
R =3V
0.040A*200W
0.090A*33.33W
0.090A*100W
0.040A*100W
8V
9V
4V
3V0 = 0
SV==I *0 \
6.5V
+ 4V
+ 8V
–=
18.5V
+ 9V
– 8V
– =4V
=
0.090A
0.130A
0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
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SV
SV===000\\
\
SV
6.5V3V
3V
+ 4V
–V
6.5V
==
0=
+
V–+
–V4V
00
V==
=10.5V
9.5V
V
1V
V
1V
0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
1V
0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
I765 = V / R
I765 = 1V
10.5V
9.5W
/ 200W
/ /100V
300W
I765 = 0.005A
0.035A
0.095A
1V
200W
0.005A
0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
1V
200W
0.005A
0.040A
0.370A
0.500A
18.5V
50W
18.5V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Gustav Kirchhoff
1824 - 1887. Físico Alemán
realizo
investigaciones
importantes en los campos
de la electricidad, de la
galvanometria,
de
la
elasticidad
y
de
la
dilatación de los cuerpos.
Invento el espectroscopio y
descubrió los elementos
cesio y rubidio (1861).
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
I)
sumadede
las corrientes que entran a una unión
6.10La
Reglas
Kirchhoff
debe ser es igual a la suma de las corrientes que salen
de la misma unión. Esta regla es un enunciado de la
conservación de la carga. Toda la corriente que entra
a un punto dado en un circuito debe salir de ese punto
1
I4 acumularse en un
debido a que Ila
carga no debe
I2
punto.
I3
I5
SI = 0: I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si seLa
II)
recorre
sumaunalgebraica
resistor endelalos
dirección
cambios
dede
la corriente,
potencial el
a
cambio
través
del de
potencial
todos los
a través
elementos
del resistor
alrededor
es -IR
de cualquier
lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta regla
surge de la conservación de la energía. Una carga que
empieza a moverse por
cerrado en un
I cualquier lazo
-I R
circuito llegando al Ipunto de donde empezó debe
R energía como la que pierde si se define un
ganar-Itanta
cada punto
circuito.opuesta a la
Si sepotencial
recorre para
un resistor
en en
la el
dirección
corriente, el cambio del potencial a través del resistor es
+IR
I
+I R
I
+I R
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si una fem se atraviesa del borne negativo (-) al borne
positivo (+) en las terminales el cambio de potencial es
+e.
a
b
+e
Ya que pasamos de un potencial menor (-) a un potencial
mayor (+). Vb > Va. e = Vb - Va
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Si una fem se atraviesa del borne positivo (+) al borne
negativo (-) en las terminales el cambio de potencial es
-e.
a
b
-e
Ya que pasamos de un potencial mayor (+) a un potencial
menor (-). Vb > Va. -e = Va - Vb
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
R
e2
+e2 –
e1 – Ir – IR = 0
e1
r
SV = 0 : +e2 –
e1 – Ir – IR = 0 ,o,
SV = 0 : – e2 + IR + Ir + e1 = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Método
Ejemplo
6.6 I: vamos a considerar dos lazos y un nudo.
R
2R
R
3R
3R
e1
e2
5R
4R
Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V,
e2 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada
Luis F Millán B
resistencia.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Tomamos la corriente del lazo derecho en el sentido
horario y la del lazo izquierdo en sentido antihorario.
R
2R
R
3R
3R
e1
e2
I3
4R
Luis F Millán B
I1
I2
5R
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ecuación
parapara
la corriente,
en una la
unión
la=0SI
Ecuación
el lazo izquierdo
derecho
laSV
SV=
0 =0
-RI2
-2RI1
-3RI3
-RI1
+e 1
-3RI3
(1) I3 = I1 + I2
-3RI2
+e 2
+e 1
I3
-4RI1
I1
I2
-5RI2
(2) -I1(2R+R+4R) + e1-3RI3 = 0
(3) -I2(R+3R+5R) - 3RI3 + e2 + e1 = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Resolviendo
I1 = 0.0135A
-20I1
-30I3
-10I1
5V
I2 = 0.1216A
I3 = 0.1351A
(1) I3 = I1 + I2
-10I2
-30I3
-30I2
5V
10V
I3
-40I1
I1
I2
-50I2
(2) -(2)
I1(20+10+40)
- 70I1 + 5 -+30I
5 -3 =
30I
03 = 0
(3) -(3)
I2(10+30+50)
- 90I2 - 30I-3 30I
+ 103 + 510=+05 = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Método
Ejemplo
6.7 II: vamos a considerar dos mallas.
R
2R
R
3R
3R
e1
e2
5R
4R
Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V,
e1 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada
resistencia.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se
incluyepara
el latermino
–3RI
ba, por
que
la antihorario
corriente
Ecuación
Ecuación
para
la
malla
mallaizquierda
derecha
en
ensentido
sentido
horario
la Ilaba
recorre la resistencia 3R en
el==mismo
sentido de Iba
SV
SV
00
-RIb
-2RIa
-3RIa
-3RIb
-3RIb
+e 1
+e 1
+e2
-RIa
-4RIa
-5RIb
(1)(1)
–2RI
– Iaa(2R+R+4R+3R)
– RIa – 4RIa – 3RI
+ ae+1 –e13RI
– Ib3R
= 0= 0
(2)(2)
– RI
– bIb–(R+3R+5R+3R)
3RIb – 5RIb – 3RI
+ be+
2 +ee
2 1+–e
I1a3R=
– 3R0= 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Resolviendo
Ia = 0.0135A
-20Ia
-30Ia
-10Ia
+5V
-10Ib
Ib = 0.1216A
-30Ib
-30Ib
Ic = Ia + Ib
Ic = 0.1351A
+5V
+10V
Ic
-40Ia
Ia
Ib
-50Ib
(1) – I(1)
a(20+10+40+30)
5Vb–=I0b30 = 0
– 100Ia + 5V –+30I
– 120Ib + 10V++10V
5V –+30I
(2) – I(2)
b(10+30+50+30)
5Va=– 030Ia= 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 6.8
I1
I2
Rx
½A
e1
C
R
El circuito de la figura se ha conectado durante largo
tiempo, si R es 5 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, Ix = 0.5 A y el
capacitor C es de 2 mF ¿cuál es la diferencia de potencial
en el capacitor y como es su polaridad?
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
I1
I2
Rx
½A
e1
C
R
Como el circuito se ha conectado durante largo tiempo la
rama del capacitor
en
abierto,
Ecuación
nudo
S I = 0 por tanto, por
I1esta
= I2en
+ el
Icircuito
x=
I2 + :0.5
la resistencia R no circula corriente. Tomaremos
arbitrariamente el sentido de la corriente como aparece a
continuación.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Rx
Rx
½A ½A
Ecuación para el lazo
e1 izquierdo ene1sentido antihorario.
I1 = I2 + 0.5
Ecuación para el lazo derecho en sentido antihorario.
- 4RI2 - I22R + 0.5Rx - e1 = 0
+e1 – 0.5Rx + e2 – 2RI1 – 6RI1 = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
5V
Rx
Rx
½A ½A
5V
I1 = I2 + 0.5
15x +– 10V
0.5R–x 10I
– 40I
= 01 = 0
5V – 0.5R
1 –1 30I
La ecuación para el lazo izquierdo en sentido antihorario
La ecuación– para
el
lazo
derecho
20I20.5R
– 10I
x 2–+
5es:
0.5R
– 30Ix 2–en
=5Vsentido
0 = 0 horario es:
Resolviendo I1 = 0.357 A ; I2 = – 0.143 A ; Rx = 1.44 W
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
I1
I2
Rx
½A
e1
C
R
La corriente I1 es de signo positivo circula en el sentido
que asumimos antihorario, la corriente I2 (lazo derecho)
tiene signo negativo significa que va en sentido contrario
al que colocamos sentido horario.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
½A
0.72V
1.44W
5V
2mF
0V
5W
VV
V
V
===0,
=\
0.357A*
V
0.143A*
0.143A*10W
0.357A*10W
½A*
=\
*10.71V
30W
20W
5W
===–0V
0.72V
10.71V
1.43V
3.57V
En
EnEn
un
unun
lazo
lazo
lazo
SV=
S SV=
V=
0,
0,
\
–0A
10V
1.43V
–1.44W
+
5V
– =2.86V
+2.86V
3.57V
2.86V
+ 5V
–+10.71V
–V0.72V
c = 0,
==00
entonces, Vc = 7.85V ; Q = V*C = 7.85V * 2mF = 15.7mC
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
6.11 Circuitos RC
El circuito de la figura se
compone
de
una
resistencia R, un capacitor
00V
C
e
Luis F Millán B
R
C, una fem e, un
interruptor y cables de
conexión. Para
t < 0,
el Vc = VR = 0, colocamos
un voltímetro en el
capacitor, otro en la
resistencia y cerramos el
interruptor.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se cierra el interruptor
y el capacitor empieza
a cargarse. Para
t = 0, la corriente
inicial,
00V
C
50V
R
Io = e / R,
la diferencia de
potencial en la
resistencia es igual al
voltaje de la fem
VR = e y el voltaje en
el capacitor es cero
VC = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
10V
20
30
40
C
50V
R
ALa
medida
queinicial
el tiempo
capacitor
corriente
en ella
Para
cualquier
secarga
cargaen
el
voltaje
en elel
momento
que
se
cierra
el
capacitor
capacitor
aumentando
interruptor
es
estava
dada
por:
hasta
llegar
un
valor
(-t/(Rc))
e a/ eR.
Q =Io
C=e(1)
máximo
e, y ely
Al
transcurrir
el =
tiempo
Al
cerrardeelVc
interruptor
voltaje
enque
la resistencia
va
a el
medida
el capacitor
capacitor
inicialmente
disminuyendo
hasta
llegar
se carga
la corriente
en el
descargado
empieza
aalmacenar
cero. va
El diminuyendo
voltaje
el
circuito
carga en
hasta
capacitor
hasta
hacerse
cero
llegar
a una es:
cargay
dada
por: )
de:
Vviene
C =máxima
e (1
- e(-t/(Rc))
mientras
el* voltaje
en
C.
I =Qque
I=o ee(-t/(Rc))
la resistencia es
VR: VR = e e(-t/(Rc))
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cargado el capacitor en
un tiempo t, la corriente
es I = 0, la diferencia de
potencial en el capacitor
es igual al voltaje de la
50V
C
50V
Luis F Millán B
R
fem VC = e, el voltaje en
la resistencia es, VR = 0 y
la carga total es
Q=e*C
Desconectamos la fuente
y descargamos el
capacitor a través de la
resistencia.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
50V
C
R
Luis F Millán B
Para un tiempo t = 0, el
voltaje en la resistencia es
cero VR = 0 y el voltaje en
el capacitor es igual a la
fem Vc = e.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
A medida que el capacitor
se esta descargando el
voltaje viene dado por
40V
30
VC = ee(-t/(Rc)),
mientras que el voltaje en
la resistencia VR es:
C
R
VR = e (1 - e(-t/(Rc))).
La carga en el capacitor:
Q = C e e(-t/(Rc)).
Y la corriente es:
I = - Io e(-t/(Rc))
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
20V
10
00
C
R
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 6.9
C
e
Luis F Millán B
En el circuito de la figura se
tiene una resistencia R, un
capacitor C de 10 mF , una
batería e de 15 V, un interruptor
y cables de conexión. Al cerrar
el interruptor y transcurridos 5
R segundos se observa que la
diferencia de potencial en el
capacitor es 5 V. a)¿cuál es el
valor de la resistencia? b)¿qué
carga tiene el capacitor? c) ¿cuál
es la corriente ? d)¿cuál es el
voltaje en la resistencia?.
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a) El voltaje en el C es
5V
Vc = e (1 – e(-t/(Rc))) 
Vc/e = 1 – e(-t/(Rc))
C
e(-t/(Rc)) = 1 – Vc/e
15V
R
-t/(RC) = Ln(1 – Vc/e)
R = -(t/C) / Ln(1 – Vc/e) 
R = 61657.9 W.
b)Q = Ce (1 – e(-t/(Rc))) 
d) Como el voltaje en la R es
Q = 1000 mC
VR = e * e(-t/(Rc)) VR = 10 V c)I = (e/R)* e(-t/(Rc))  I(5
s) = 0.162 mA
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
6.12 Auto-evaluación
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a) ¿Cual 6.1
es la corriente en una resistencia de 10 W
Ejercicio
conectado a una batería que tiene una resistencia interna
de 1 W si el voltaje de la batería (Va – Vb = V) es de 15
V?. b) ¿cual es la fem de la batería?
R) a) I = 1.5 A
Luis F Millán B
b) Vab = 16.5 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una batería
Ejercicio
6.2tiene una fem de 10 V. El voltaje terminal de
la batería es de 12 V cuando esta entrega 20 watios de
potencia a una resistencia externa R.¿cuál es el valor de la
resistencia interna r y de la resistencia externa R?
R)
Luis F Millán B
r = 1.0 W y
R=5W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 6.3
a
2W
3W
1W
6W
4W
2W
b
2W
4W
En la figura encuentre a) La resistencia equivalente entre
a y b. b) Si por la resistencia de 4 W circula 0.5 A. ¿cual
es la diferencia de potencial entre a y b?.
R)
Luis F Millán B
Re = 3.5 W Vab = 14 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cuando dos
Ejercicio
6.4 resistores se conectan en serie con una
batería, se disipan 225 W con una corriente total de 5 A.
Para la misma corriente total, se disipan 50 W cuando los
resistores se conectan en paralelo. Determine los valores
de los resistores.
R)
Luis F Millán B
R1 = 6 W
y
R2 = 3 W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La corriente
Ejercicio
6.5 en un circuito se triplica conectando un
resistor de 500 W en paralelo con la resistencia del
circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia
del resistor de 500 W?
R)
Luis F Millán B
R = 1000 W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 6.6
1W
2W 2W
4V
2W
Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito
de la figura.
R) P(e) = 4W ; P(2W) = 2W; P(2W) = 0.5W;
P(2W) = 0.5W ; P(1W) = 1W
P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
2W
Ejercicio 6.7
a
7V
3W
b
6W
3W
2W
1W
En la figura encuentre la corriente y la diferencia de
potencial en cada resistencia.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 6.8
1W
3V
3W
2W
6W
2V
En la figura encuentre la corriente y la diferencia de
potencial en cada resistencia.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
6V
Ejercicio
6.9
2W
1W
4W
4 mF
Luis F Millán B
3V
Para el circuito mostrado en la
figura, calcule la corriente que
circula en cada resistencia y la
carga en el capacitor.
1W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
6V
Ejercicio
6.10
2W
2.14A Rx
4W
4 mF
Luis F Millán B
3V
En la figura el circuito esta
conectado durante un largo tiempo.
Encuentre la resistencia Rx y la
carga en el capacitor.
1W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un capacitor
Ejercicio
6.11completamente cargado almacena 10 Julios
de energía. Cuanta energía queda cuando su carga se ha
reducido a la mitad de su valor original.
R) U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En el circuito
Ejercicio
6.12 de la figura, a) Calcule la
constante a)de
tiempo.
t = RC
= 100 b)
s Para 50
segundos b)después
que mC
se cierra el
Q = 1180.41
100 mF
30
V
interruptor cual
la carga
I =es
18.2
mA , la corriente,
el voltaje en
capacitor
y en la
Vc =el11.8
V
1 MW
resistencia. V
c)R Cual
es V
la carga cuando
= 18.20
se carga completamente
el capacitor. d)
C) Q = 3000 mC
Cual es laD)carga,
la corriente,
Q = 1819.6
mC el voltaje
en el capacitor
y enmA
la resistencia 50
I = 18.2
segundo después
que V
el capacitor se
Vc = 18.20
comienza a Vdescargar
R = 11.8 Va través de la
resistencia.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 6.13
a
b
R1
C
V
R2
Luis F Millán B
R3
En el circuito de la figura,
R1 = 10 W, R2 = 20 W,
R) e = 20 V,
R3 = 30 W,
9.73 V
C a)
= V5c(100
mF. ms)
a) =Para
100 ms
I(100 ms)
A
después
que= 0.342
se lleva
el
Q (100ms)
48.65 el
mCvoltaje
interruptor
a a= ¿cuál
(100 ms) =la10.26
V y la
enb)elVccapacitor,
carga
Q (100 ms)
= 51.3
corriente?
b) 100
msmCdespués
ms) =
0.342 A a b.
queI(100
se lleva
el -interruptor
¿cuál el voltaje en el capacitor,
la carga y la corriente?
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio
6.14de la figura se ha
El circuito
conectado durante largo tiempo.
¿cuál es la diferencia de potencial
en el capacitor y que carga tiene?
1W
3W
1mF
5V
7W
R)
Luis F Millán B
Vc = ½ V y
Q = 0.5 1mC
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4W
6.13 Solucionario
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 6.1
a) Va – Vb = Vab = I*R 
15 V = I * 10 W \ I = 1.5 A
b
1W
e
10 W
e – I*r – I*R = 0 e = I*r + I*R
\ e = I*(r +R) e = 16.5 V
e – I*r = Vab e = I*r + V = 16.5 V
Vab  e
Vab = e – Ir = 16.5 V – 1.5 V = 15 V
b)
a
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 6.2
Vab = 10 V = VR
b
r
12 V
a
Luis F Millán B
R
P = I * Vab = Vab2 / R \
R = Vab2 / P R = 5 W
I = Vab / R = 2.0 A
ahora Vab = e - Vr
 I * r = e – Vab \
r = (e – Vab) / I r = 1.0 W
e–I*r–I*R=0
Prueba
12 V – 2 A * (1 W + 5 W) = 0
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 6.3
a
2W
3W
2W
6W
2W
Luis F Millán B
3W
1.5W
3.5W
1W
4W
3W 2W
1W
4W
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
b
3W
1W
a
2W
6W
4W
2W
b
2W
4W
La resistencia
equivalente
la rama0.5
de arriba
y abajo es
Por
la resistencia
de 4 Wen circula
A, entonces,
la
3
W, la diferencia
de potencial
en tres
cadaresistencias
rama es 6 V,espor
diferencia
de potencial
en estas
la
tanto,
corriente
es: I =por2 tanto,
A+2A
A 
mismalapor
estar entotal
paralelo,
V == 4I*R
V
= 0.5A*4 W V = 2 V.
La corriente que circula por la resistencia de 2 W es de 4
A,
V =resistencias
4 A * 2 W =de8 abajo
V
La entonces,
Re en las tres
es 1 W; por tanto, la
corriente y el voltaje en la rama de abajo es: I = V/R
La diferencia de potencial Vab = 8 V + 6 V = 14 V.
I = 2 V/1 W = 2 A, y, V = 2 A*(2 W + 1 W ) = 6 V.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 6.4
P = I * V = I * (I * R) = I2 * R
Ps = I2 * (R1 + R2) 225 W = (5A)2 * (R1 + R2)
\ 9 = R1 + R2
Pp = I2 (R1 * R2) / (R1 + R2) 
50 W = (5A)2 * (R1 * R2) / (R1 + R2)
\ 2 = (R1 * R2) / (R1 + R2), como, R1 = 9 - R2 
2 = (9 - R2) * R2 / ((9 - R2) + R2) = (9 - R2) * R2 / 9
18 = 9R2 – R22 R22 – 9R2 + 18 = 0
\R1 = 6 W, y, R2 = 3 W
Ps = (5 A)2 * 9 W = 225 W
Pp = (5 A)2 * 2 W = 50 W
Luis F Millán B
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S 6.5Para el circuito sencillo la batería y la resistencia
1) e = I * R
Para el circuito en paralelo de R y 500 W es
2) e = 3I * (R * 500 W / (R + 500 W)),
dividiendo 1 en 2
1 = (R/3) * (R +500 W) / (R * 500 W), 
1500 = 500 + R R = 1000 W
prueba si I = 1A 
1) e = 1 A * 1000 W = 1000 V
2) e = 3(1 A) * (1000 W * 500 W / (1000 W + 500 W))
e = 1000 V
Luis F Millán B
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S 6.6
1W
2W 2W
2W
1W
1W
2W
4W
Luis F Millán B
4V
) e=4V/
I*=I=
4V
* 1A
= 4W
I = V /P(ReP(
=
)e=*e4W
=1A
4V
* 1A
= 4W
P(e)
2
2
P(2W)
= I = *I2 R*=R(1A)
*2 2W
= =2W2W
P(2W)
=
(1A)
*
2W
= e * I==I4V
= 4W2 * 2W =P(4W)
2 * *R1A
P(2W)
=
(0.5A)
2 * R = (1A)2 * 1W =0.5W
P(1W)
=
I
1W
2
2
2
2
=P(2W)
I * R==I (1A)
* 4W
= 4W
P(e)
*
R
=
(0.5A)
*
2W
=
0.5W
2
2
P(1W) 2= I * R = (1A)
*
1W
=
1W
= 20 * 1W = 1W
4 V P(1W) = I *-RP(4W)
= (1A)
P(e) - P(2W) - P(1W) - P(1W) = 0
P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0
4V
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2W
S 6.7
a
7V
1.5
3 WW
b
I = 7V / (2 W6 +
W 1.5 W) = 2A
Vab =3VW(1.5 W) = 2 A * 1.5
W = 3V
2W
V (2 W) = 2A * 2 W = 4 V
61 W
Vab = VV(3
(1.5W)W)= =0.5A
V (6*W)
W) = 3 V
3 W= =V(3
1.5V
I (3W)W)= =0.5A
3 V */ 31 W
V(1
W=
= 1A
0.5V
I (6W)
W)==0.5A
3 V /*62WW==0.5A
V(2
1.0V
I (6 W) = 3V / 6W = 0.5A
SI(a) = 2A – 1A – 0.5A – 0.5A = 0
Luis F Millán B
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S 6.8
1W
I4
3V
I1 + I2 = I3
2W
I5
3W 2W
6W
3W
I3
I2
I1
4V
+3V – 1W*I1 – 2W *I3 = 0
3 – I1 – 2I3 = 0
+4 – 2W * I2 – 2W *I3 = 0
4 – 2 I2 – 2W *I3 = 0
2 – I2 – I3 = 0
V(3W) = V(6W) = V(2W) = 2.5V,
Resolviendo
entonces
I1 = 0.5A, I2 = 0.75A, I3 = 1.25A
I4 (3W) = 2.5V / 3W = 0.83 A
La diferencia de potencial
I5(6W) = 2.5V / 6W = 0.42 A \
V(2W) = 1.25A * 2W = 2.5 V
I3 = 0.83A + 0.42A = 1.25A
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6V
S 2W
6.9
I3
1W
3V
4W
4 mF
1W
1) I3 = I1 + I2
-1W* I3 + 6V - 2W* I2 = 0
I2
2) - I3 + 6 - 2 I2 = 0
-1W* I3 + 3V - 4W* I1 = 0
I1
3) - I3 + 3 - 4 I1 = 0
Resolviendo
I1 = 0.214 A, I2 = 1.93 A, I3 = 2.14 A
V(4W) = 0.214A * 4W = 0.856 V
3V- 0.856 V – V(1W) = 0V(1W) = 2.14V
6V - 2W* 1.93A – V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V
3V- 0.856 V – Vc = 0 Vc = 2.14 V
La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.6 mC
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S 6.10
2W
6V
I3 I2
2.14A Rx
3V
4W
4 mF
1W
I1
1) 2.14A = I1 + I2
- Rx*2.14A + 6V - 2W* I2 = 0
2) – 2.14 Rx + 6 - 2 I2 = 0
- Rx*2.14A + 3V - 4W* I1 = 0
3) – 2.14 Rx + 3 - 4 I1 = 0
Resolviendo
I1= 0.213A, I2 = 1.93A, Rx = 1W
V(4W) = 0.213A * 4W = 0.852 V
3V- 0.856 V – V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V
3V- 0.852 V – Vc = 0 Vc = 2.148 V
La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.59 mC
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S 6.11
1) U1 = ½Q2 / C
2) U2 = ½(Q/2)2 / C
Dividiendo 1 en 2
(U1/ U2) = 4 
U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios
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S 6.12
a) t = RC = 1*106 W * 100 10-6 F
t = 100 s
b) Q = e C (1 - e(-t/t))= 1180.41 mC
I = (e/R)e(-t/t) = 18.2 mA
Vc = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V
VR = e e(-t/t) = 18.20 V
C) Q = e C = 3000 mC
D) Q = e C e(-t/t) = 1819.6 mC
I = -(e/R)e(-t/t) = 18.2 mA
Vc = e e(-t/t) = 18.20 V
VR = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V
Luis F Millán B
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30 V
100 mF
1 MW
S 6.13
a
a
b
R = R1 + R2 = 30 W. t = 100 ms
t = RC = 150 ms e = 20 V
R1
C
V
R2
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R3
Vc(100 ms) = e (1 – e(-t/(RC)))
Vc(100 ms) = 9.73 V
I(100 ms) = Io e(-t/(RC))
I(100 ms) = 0.342 A
Q (100ms) = eC (1 – e(-t/(RC)))
Q (100ms) = 48.65 mC
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b
a
El voltaje en el capacitor es:
Vc(100 ms) = 9.73 V ,
R3 = 30 W e = 20 V
b
R1
C
V
R2
R3
Vc (100 ms) = e e(-t/(RC))
Vc (100 ms) = 10.26 V
Q (100 ms) = e(-t/(RC))
Q (100 ms) = 51.3 mC
I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) = - 0.342 A
Qt = C e = 100*10–6 C = 48.65 mC + 51.3 mC
e = 9.73 V + 10.26 V
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Como
S 6.14 el circuito hace rato esta
conectado en el capacitor se
comporta como un circuito
abierto, es decir por el capacitor
no circula corriente y la carga en
2 =QI1=+Vc*C.
I3
el capacitor Ies
5V
+5 -10 I3 = 0 I3 = ½ A
5 I1 + 10 I3 = 0 I1= 1 A
I2
3W
I1
1W
I3
1mF
7W
4W
V(3W) = 1.5 V, V(1W) = 1V -1.5V + Vc + 1V = 0
Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC
V(7W) = 3.5 V, V(4W) = 4V -3.5V + 4V - Vc = 0 
Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC
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